JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) $AB$ की ढाल $M_{AB} = \frac{4}{-5}$ है। $CP \perp AB$ होने के कारण $CP$ की ढाल $M_{CP} = \frac{5}{4}$ है।
$CP$ का समीकरण $y - 1 = \frac{5}{4}(x - 1)$ अर्थात $5x - 4y - 1 = 0$ ... $(1)$ है।
$AP$ की ढाल $M_{AP} = -1$ है। $BC \perp AP$ होने के कारण $BC$ की ढाल $1$ है।
$BC$ का समीकरण $y - 3 = 1(x + 2)$ अर्थात $x - y + 5 = 0$ ... $(2)$ है।
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$\alpha = 21$ और $\beta = 26$ प्राप्त होता है। अतः $\alpha + \beta = 47$ है।
$\triangle PAB$ के परिकेंद्र $(h, k)$ के लिए लंब समद्विभाजकों को हल करने पर $h = -19/2$ और $k = -23/2$ प्राप्त होता है।
अतः $2(h + k) = -42$ है।
अंतिम मान $(\alpha + \beta) + 2(h + k) = 47 - 42 = 5$ है।

(C) कुल आवृत्ति $N = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{2c + 2c + 3c + 4c + 5c + 6c}{7} = \frac{22c}{7}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2$.
$\sum f_i x_i^2 = 2(c)^2 + 1(2c)^2 + 1(3c)^2 + 1(4c)^2 + 1(5c)^2 + 1(6c)^2 = c^2(2 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 92c^2$.
$\sigma^2 = \frac{92c^2}{7} - \left(\frac{22c}{7}\right)^2 = \frac{92c^2}{7} - \frac{484c^2}{49} = \frac{644c^2 - 484c^2}{49} = \frac{160c^2}{49}$.
दिया गया है कि $\sigma^2 = 160$,इसलिए $\frac{160c^2}{49} = 160$.
$c^2 = 49 \Rightarrow c = 7$ (चूंकि $c \in N$).

(A) $(x^{2/3} + \frac{1}{2}x^{-2/5})^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^9C_r (x^{2/3})^{9-r} (\frac{1}{2} x^{-2/5})^r$ है।
$T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{1}{2})^r x^{6 - \frac{16r}{15}}$।
$x^{2/3}$ के गुणांक के लिए,$6 - \frac{16r}{15} = \frac{2}{3}$ रखें।
$r = 5$ प्राप्त होता है।
$x^{2/3}$ का गुणांक $= {}^9C_5 (\frac{1}{2})^5 = \frac{63}{16}$।
$x^{-2/5}$ के गुणांक के लिए,$6 - \frac{16r}{15} = -\frac{2}{5}$ रखें।
$r = 6$ प्राप्त होता है।
$x^{-2/5}$ का गुणांक $= {}^9C_6 (\frac{1}{2})^6 = \frac{21}{16}$।
गुणांकों का योग $= \frac{63}{16} + \frac{21}{16} = \frac{21}{4}$।

(D) अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
दिया है $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = 57$,अतः $\frac{a}{1-r} = 57$ $(I)$.
दिया है $\sum_{n=0}^{\infty} a^3 r^{3n} = 9747$,यह एक $G.P.$ है जिसका प्रथम पद $a^3$ और सार्व अनुपात $r^3$ है।
अतः,$\frac{a^3}{1-r^3} = 9747$ $(II)$.
$(I)^3$ को $(II)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a^3}{(1-r)^3} \times \frac{1-r^3}{a^3} = \frac{57^3}{9747}$
$\frac{1-r^3}{(1-r)^3} = 19$
$\frac{1+r+r^2}{(1-r)^2} = 19$
$18r^2 - 39r + 18 = 0$
$6r^2 - 13r + 6 = 0$
$(2r-3)(3r-2) = 0$
चूँकि $|r| < 1$,इसलिए $r = \frac{2}{3}$ लेने पर।
$a = 57(1 - \frac{2}{3}) = 19$.
अतः,$a + 18r = 19 + 18(\frac{2}{3}) = 31$.

(C) मान लीजिए कि तीन उछालों के परिणाम $x_1, x_2, x_3$ हैं,जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
हम उस प्रायिकता की तलाश कर रहे हैं जहाँ $x_1 < x_2 < x_3$ हो।
पासे को तीन बार उछालने पर कुल संभावित परिणाम $6^3 = 216$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के सेट से $3$ अलग-अलग संख्याओं को चुनने के तरीकों की संख्या है,जो $^6C_3$ द्वारा दी गई है।
$^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
एक बार $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुन ली जाने के बाद,उन्हें बढ़ते क्रम $(x_1 < x_2 < x_3)$ में व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है।
इसलिए,प्रायिकता $\frac{^6C_3}{6^3} = \frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ है।

(B) समीकरण $x^2 - \sqrt{2}x - \sqrt{3} = 0$ के लिए,मूल $\alpha$ और $\beta$ निम्न संबंध को संतुष्ट करते हैं:
$P_{n+2} = \sqrt{2}P_{n+1} + \sqrt{3}P_n$
$n=10$ के लिए,$P_{12} = \sqrt{2}P_{11} + \sqrt{3}P_{10}$
$n=9$ के लिए,$P_{11} = \sqrt{2}P_{10} + \sqrt{3}P_9 \Rightarrow \sqrt{3}P_9 = P_{11} - \sqrt{2}P_{10}$
दी गई अभिव्यक्ति में मान रखने पर:
$E = (11\sqrt{3} - 10\sqrt{2})P_{10} + (11\sqrt{2} + 10)P_{11} - 11(\sqrt{2}P_{11} + \sqrt{3}P_{10})$
$E = 10(P_{11} - \sqrt{2}P_{10}) = 10(\sqrt{3}P_9) = 10\sqrt{3}P_9$.

(A) माना परवलय $P: y^2=8x$ पर बिंदु $(x_1, y_1) = (2t^2, 4t)$ है।
वृत्त $C: x^2+y^2=4$ की जीवा का समीकरण जो $(x_1, y_1)$ पर समद्विभाजित होती है,$T=S_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ का मान $xx_1+yy_1-4$ है और $S_1$ का मान $x_1^2+y_1^2-4$ है।
अतः,$xx_1+yy_1 = x_1^2+y_1^2$.
चूंकि यह जीवा $(\alpha, 0)$ से गुजरती है,हमारे पास $\alpha x_1 = x_1^2+y_1^2$ है।
$x_1=2t^2$ और $y_1=4t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha(2t^2) = (2t^2)^2 + (4t)^2 = 4t^4 + 16t^2$ प्राप्त होता है।
$2t^2$ से विभाजित करने पर ($t \neq 0$ मानते हुए),हमें $\alpha = 2t^2 + 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$।
जीवा के वृत्त के भीतर अस्तित्व के लिए,मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वृत्त के अंदर होना चाहिए,इसलिए $x_1^2+y_1^2 < 4$।
$x_1^2+y_1^2 = \alpha x_1 = \alpha(2t^2)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमारे पास $2\alpha t^2 < 4$,या $\alpha t^2 < 2$ है।
$t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha \left(\frac{\alpha-8}{2}\right) < 2$ प्राप्त होता है,जो $\alpha^2 - 8\alpha - 4 < 0$ में सरल हो जाता है।
$\alpha^2 - 8\alpha - 4 = 0$ के मूल $\alpha = \frac{8 \pm \sqrt{64+16}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{5}$ हैं।
अतः,$4-2\sqrt{5} < \alpha < 4+2\sqrt{5}$।
इसके अलावा,चूंकि $t^2 > 0$,हमारे पास $\frac{\alpha-8}{2} > 0$ है,इसलिए $\alpha > 8$।
इन दोनों को मिलाने पर,$\alpha \in (8, 4+2\sqrt{5})$।
अतः,$p=8$ और $q=4+2\sqrt{5}$।
तब $(2q-p)^2 = (2(4+2\sqrt{5})-8)^2 = (8+4\sqrt{5}-8)^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 = 80$।

(D) माना तीन अंकों की संख्या $N = 100a + 10b + c$ है,जहाँ $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
हमें $a + b + c = 14$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
समावेशन-अपवर्जन (Inclusion-Exclusion) विधि का उपयोग करते हुए:
$a' = a - 1$ लेने पर,$a' + b + c = 13$,जहाँ $0 \leq a' \leq 8$,$0 \leq b \leq 9$,और $0 \leq c \leq 9$ है।
कुल हल = $\binom{15}{2} = 105$ है।
सीमा से बाहर के मामलों को घटाने पर:
$a' \geq 9$ के लिए: $\binom{6}{2} = 15$ है।
$b \geq 10$ के लिए: $\binom{5}{2} = 10$ है।
$c \geq 10$ के लिए: $\binom{5}{2} = 10$ है।
कुल हल = $105 - (15 + 10 + 10) = 70$ है।

(B) परवलय $y^2=4ax$ के लिए,$4a=6$,इसलिए $a=\frac{3}{2}$ है। मान लीजिए बिंदु $A, B, C$ क्रमशः $(at_1^2, 2at_1), (at_2^2, 2at_2), (at_3^2, 2at_3)$ हैं।
रेखा $L$,$C$ से होकर गुजरती है और $x$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y=2at_3$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y(t_1+t_2)=2x+2at_1t_2$ है।
बिंदु $D$,$AB$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $2at_3(t_1+t_2)=2x_D+2at_1t_2$,जिससे $x_D=a(t_1t_3+t_2t_3-t_1t_2)$ प्राप्त होता है।
$AM = |2at_1 - 2at_3| = |2a(t_1-t_3)|$.
$BN = |2at_2 - 2at_3| = |2a(t_2-t_3)|$.
$CD = |x_D - at_3^2| = |a(t_1t_3+t_2t_3-t_1t_2-t_3^2)| = a|(t_3-t_1)(t_3-t_2)|$.
अतः,$\frac{AM \cdot BN}{CD} = \frac{|2a(t_1-t_3)| \cdot |2a(t_2-t_3)|}{a|(t_3-t_1)(t_3-t_2)|} = 4a$.
चूंकि $a=\frac{3}{2}$ है,इसलिए $4a = 4 \times \frac{3}{2} = 6$ है।
अतः,$\left(\frac{AM \cdot BN}{CD}\right)^2 = 6^2 = 36$।

(D) दूसरा पद $\sum_{k=1}^{1012} \frac{1}{(2k)(2k-1)} = \sum_{k=1}^{1012} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k}\right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}$ है।
दिया गया समीकरण: $\sum_{k=1}^{1012} \frac{1}{\alpha+k} - \sum_{k=1}^{1012} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k}\right) = \frac{1}{2024}$ है।
अतः,$\sum_{k=1}^{1012} \frac{1}{\alpha+k} = \alpha = 1011$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\alpha \beta \gamma = 45$ और रैखिक समीकरणों का निकाय:
$x(\alpha, 1, 2) + y(1, \beta, 2) + z(2, 3, \gamma) = (0, 0, 0)$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$1) \alpha x + y + 2z = 0$
$2) x + \beta y + 3z = 0$
$3) 2x + 2y + \gamma z = 0$
चूंकि $xyz \neq 0$,निकाय का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,जिसका अर्थ है कि गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \alpha & 1 & 2 \\ 1 & \beta & 3 \\ 2 & 2 & \gamma \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\alpha(\beta \gamma - 6) - 1(\gamma - 6) + 2(2 - 2\beta) = 0$
$\alpha \beta \gamma - 6\alpha - \gamma + 6 + 4 - 4\beta = 0$
$\alpha \beta \gamma = 45$ प्रतिस्थापित करने पर:
$45 - 6\alpha - \gamma + 10 - 4\beta = 0$
$55 - (6\alpha + 4\beta + \gamma) = 0$
अतः,$6\alpha + 4\beta + \gamma = 55$.

(C) मान लीजिए $I_k = \int_0^1 (1-x^7)^k dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$I_k = [x(1-x^7)^k]_0^1 - \int_0^1 x \cdot k(1-x^7)^{k-1} \cdot (-7x^6) dx$.
$I_k = 0 + 7k \int_0^1 x^7(1-x^7)^{k-1} dx$.
चूंकि $x^7 = 1 - (1-x^7)$,इसलिए $I_k = 7k \int_0^1 (1-(1-x^7))(1-x^7)^{k-1} dx$.
$I_k = 7k [I_{k-1} - I_k]$.
$I_k(1+7k) = 7k I_{k-1} \Rightarrow \frac{I_{k-1}}{I_k} = \frac{7k+1}{7k}$.
$k$ को $k+1$ से बदलने पर,हमें $\frac{I_k}{I_{k+1}} = \frac{7(k+1)+1}{7(k+1)} = \frac{7k+8}{7k+7}$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_k = \frac{7k+8}{7k+7}$.
तब $r_k - 1 = \frac{7k+8 - (7k+7)}{7k+7} = \frac{1}{7(k+1)}$.
इसलिए,$\frac{1}{7(r_k-1)} = k+1$.
अंत में,$\sum_{k=1}^{10} (k+1) = 2+3+4+...+11 = \frac{10}{2}(2+11) = 5 \times 13 = 65$.

(D) दिया गया समीकरण: $\cot ^{-1} 3+\cot ^{-1} 4+\cot ^{-1} 5+\cot ^{-1} n=\frac{\pi}{4}$.
$x > 0$ के लिए $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} (1/x)$ का उपयोग करके $\tan ^{-1}$ में बदलने पर:
$\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{4}+\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{n}=\frac{\pi}{4}$.
सबसे पहले,$\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{4} = \tan ^{-1} \left(\frac{1/3+1/4}{1-(1/3)(1/4)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{7/12}{11/12}\right) = \tan ^{-1} \frac{7}{11}$ प्राप्त करते हैं।
अब,$\tan ^{-1} \frac{1}{5}$ जोड़ने पर: $\tan ^{-1} \frac{7}{11}+\tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \left(\frac{7/11+1/5}{1-(7/11)(1/5)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{46/55}{48/55}\right) = \tan ^{-1} \frac{46}{48} = \tan ^{-1} \frac{23}{24}$.
अतः,$\tan ^{-1} \frac{23}{24} + \tan ^{-1} \frac{1}{n} = \frac{\pi}{4}$.
$\tan ^{-1} \frac{1}{n} = \tan ^{-1} 1 - \tan ^{-1} \frac{23}{24} = \tan ^{-1} \left(\frac{1-23/24}{1+(1)(23/24)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{1/24}{47/24}\right) = \tan ^{-1} \frac{1}{47}$.
इस प्रकार,$n = 47$।

(A) रेखा बिंदुओं $A(2, -5, 11)$ और $B(-6, 7, -5)$ से गुजरती है।
रेखा के दिक अनुपात $(-6-2, 7-(-5), -5-11) = (-8, 12, -16)$ हैं।
$-4$ से विभाजित करने पर,सरल दिक अनुपात $(2, -3, 4)$ प्राप्त होते हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{2} = \frac{y+5}{-3} = \frac{z-11}{4} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$,$(2\lambda+2, -3\lambda-5, 4\lambda+11)$ है।
सदिश $\vec{RQ} = (2\lambda+2-1, -3\lambda-5-7, 4\lambda+11-6) = (2\lambda+1, -3\lambda-12, 4\lambda+5)$ है।
चूंकि $RQ$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{RQ}$ और दिशा सदिश $(2, -3, 4)$ का अदिश गुणनफल $0$ है:
$2(2\lambda+1) - 3(-3\lambda-12) + 4(4\lambda+5) = 0$
$4\lambda + 2 + 9\lambda + 36 + 16\lambda + 20 = 0$
$29\lambda + 58 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$Q$ के निर्देशांकों में $\lambda = -2$ रखने पर:
$Q = (2(-2)+2, -3(-2)-5, 4(-2)+11) = (-2, 1, 3)$.
$P(10, -2, -1)$ और $Q(-2, 1, 3)$ के बीच की दूरी $PQ$ है:
$PQ = \sqrt{(-2-10)^2 + (1-(-2))^2 + (3-(-1))^2}$
$PQ = \sqrt{(-12)^2 + (3)^2 + (4)^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13$.

(B) दिया गया है $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
सदिश त्रिक गुणनफल (vector triple product) के नियम $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
यहाँ $\vec{a} = (2, -3, 4)$,$\vec{b} = (3, 4, -5)$,$|\vec{a}|^2 = 29$,$|\vec{b}|^2 = 50$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = -26$,और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 13$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-26 \vec{a} - 29 \vec{b} + 13 \vec{a} - 29 \vec{c} + 13 \vec{b} - (-26) \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
$-13 \vec{a} - 16 \vec{b} - 3 \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$-13 (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 16 |\vec{b}|^2 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = [\vec{a}, \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}, \vec{b}]$.
$-13 (-26) - 16 (50) - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 8 & 13 \\ 3 & 4 & -5 \end{vmatrix}$.
$338 - 800 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = -396$.
$-462 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = -396 \Rightarrow -3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 66 \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{c} = -22$.
अतः,$24 - (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 24 - (-22) = 46$.

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ और संबंध $R$ जो $4x \leq 5y$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,हम उन अवयवों $(x, y)$ को सूचीबद्ध करते हैं जिनके लिए $4x \leq 5y$ है:
$x=1$ के लिए: $4 \leq 5y \implies y \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ($5$ अवयव)
$x=2$ के लिए: $8 \leq 5y \implies y \in \{2, 3, 4, 5\}$ ($4$ अवयव)
$x=3$ के लिए: $12 \leq 5y \implies y \in \{3, 4, 5\}$ ($3$ अवयव)
$x=4$ के लिए: $16 \leq 5y \implies y \in \{4, 5\}$ ($2$ अवयव)
$x=5$ के लिए: $20 \leq 5y \implies y \in \{4, 5\}$ ($2$ अवयव)
कुल अवयव $m = 5 + 4 + 3 + 2 + 2 = 16$.
$R$ को सममित बनाने के लिए,प्रत्येक $(x, y) \in R$ जहाँ $x \neq y$ है,के लिए $(y, x) \in R$ होना चाहिए।
$R$ में वे अवयव जहाँ $x \neq y$ है,वे हैं: $(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 4)$।
ऐसी $11$ जोड़ियाँ हैं।
हम जाँचते हैं कि इनमें से कौन सी जोड़ियाँ $(y, x)$ पहले से $R$ में नहीं हैं:
$(2, 1) \notin R$,$(3, 1) \notin R$,$(4, 1) \notin R$,$(5, 1) \notin R$,$(3, 2) \notin R$,$(4, 2) \notin R$,$(5, 2) \notin R$,$(4, 3) \notin R$,$(5, 3) \notin R$।
ध्यान दें कि $(5, 4) \in R$ और $(4, 5) \in R$,इसलिए यह जोड़ी पहले से ही सममित है।
जोड़े जाने वाले अवयव $\{(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (4, 3), (5, 3)\}$ हैं।
अतः,$n = 9$।
इसलिए,$m + n = 16 + 9 = 25$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{(2+\alpha)x - \beta y + 2}{\beta x - 2\alpha y - (\beta\gamma - 4\alpha)}$ है।
वृत्त को दर्शाने के लिए,समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ के रूप में होना चाहिए।
अवकल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\beta x - 2\alpha y - (\beta\gamma - 4\alpha)) dy = ((2+\alpha)x - \beta y + 2) dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $((2+\alpha)x - \beta y + 2) dx - (\beta x - 2\alpha y - (\beta\gamma - 4\alpha)) dy = 0$.
वृत्त का प्रतिनिधित्व करने वाले सटीक अवकल समीकरण के लिए,$xy$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $\beta = 0$.
$\beta = 0$ रखने पर: $((2+\alpha)x + 2) dx - (-2\alpha y + 4\alpha) dy = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int ((2+\alpha)x + 2) dx = \int (-2\alpha y + 4\alpha) dy$.
$\frac{(2+\alpha)x^2}{2} + 2x = -\alpha y^2 + 4\alpha y + C$.
चूंकि यह मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $C = 0$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{2+\alpha}{2} x^2 + \alpha y^2 + 2x - 4\alpha y = 0$.
वृत्त के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए: $\frac{2+\alpha}{2} = \alpha \Rightarrow 2+\alpha = 2\alpha \Rightarrow \alpha = 2$.
$\alpha = 2$ रखने पर: $\frac{4}{2} x^2 + 2y^2 + 2x - 8y = 0 \Rightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2x - 8y = 0$.
$2$ से विभाजित करने पर: $x^2 + y^2 + x - 4y = 0$.
केंद्र $(-\frac{1}{2}, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (2)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$ है।

(C) माना $f(x) = (\frac{1}{x})^{2x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = 2x \ln(\frac{1}{x}) = -2x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -2(1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) = -2(\ln(x) + 1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$\ln(x) = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{e}$.
चूंकि $x < \frac{1}{e}$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > \frac{1}{e}$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $x = \frac{1}{e}$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।
अतः,सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \leq f(\frac{1}{e})$.
$f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{2(1/e)} = e^{2/e}$.
किसी भी $x$ के लिए,$(\frac{1}{x})^{2x} \leq e^{2/e}$.
$x = \frac{1}{\pi}$ लेने पर,$(\frac{1}{1/\pi})^{2(1/\pi)} \leq e^{2/e}$.
$\pi^{2/\pi} \leq e^{2/e}$.
दोनों पक्षों की घात $\frac{\pi e}{2}$ लेने पर,$(\pi^{2/\pi})^{\pi e/2} \leq (e^{2/e})^{\pi e/2}$.
$\pi^e \leq e^\pi$.
चूंकि $\pi \neq e$,इसलिए $e^\pi > \pi^e$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\vec{a} = 6\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 6^2 + 1^2 + (-1)^2 = 36 + 1 + 1 = 38$.
दिया गया है $|\vec{c} - \vec{a}| = 2\sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 8$ प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 6|\vec{c}|$ और $|\vec{a}|^2 = 38$ रखने पर,$|\vec{c}|^2 + 38 - 2(6|\vec{c}|) = 8$ प्राप्त होता है।
$|\vec{c}|^2 - 12|\vec{c}| + 30 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $|\vec{c}|$ का मान निकालने पर: $|\vec{c}| = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2} = 6 \pm \sqrt{6}$.
चूंकि $|\vec{c}| \geq 6$,हम $|\vec{c}| = 6 + \sqrt{6}$ लेते हैं।
अब,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \sin(60^{\circ})$ होता है।
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = (3\sqrt{3}) (6 + \sqrt{6}) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2}(6 + \sqrt{6})$.

(D) दिया गया है कि $g(x) = h(e^x) \cdot e^{h(x)}$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$g^{\prime}(x) = h(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^{h(x)}) + e^{h(x)} \cdot \frac{d}{dx}(h(e^x))$
$g^{\prime}(x) = h(e^x) \cdot e^{h(x)} \cdot h^{\prime}(x) + e^{h(x)} \cdot h^{\prime}(e^x) \cdot e^x$
अब,$x = 0$ रखने पर:
$g^{\prime}(0) = h(e^0) \cdot e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(0) + e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(e^0) \cdot e^0$
$g^{\prime}(0) = h(1) \cdot e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(0) + e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(1) \cdot 1$
दिया गया है कि $h(0)=0$,$h(1)=1$,और $h^{\prime}(0)=h^{\prime}(1)=2$:
$g^{\prime}(0) = (1) \cdot e^0 \cdot (2) + e^0 \cdot (2) \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 2 + 2 = 4$.

(D) मान लीजिए रेखा $L: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-1}{-1} = t$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $S(t, t+3, 1-t)$ है।
सदिश $\vec{QS} = (t-3, t+6, -t)$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, -1)$ है।
चूंकि $\vec{QS} \perp \vec{v}$,इसलिए $(t-3)(1) + (t+6)(1) + (-t)(-1) = 0$,जिससे $3t+3=0 \implies t=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबपाद $S(-1, 2, 2)$ है।
चूंकि $S$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{\alpha+3}{2} = -1, \frac{\beta-3}{2} = 2, \frac{\gamma+1}{2} = 2$,जिससे $P(-5, 7, 3)$ प्राप्त होता है।
सदिश $\vec{RQ} = (1, -8, 2)$ और $\vec{RP} = (-7, 2, 4)$ है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{RQ} \times \vec{RP}|$.
$\vec{RQ} \times \vec{RP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -8 & 2 \\ -7 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -36\hat{i} - 18\hat{j} - 54\hat{k}$.
क्षेत्रफल $\lambda = \frac{1}{2} \sqrt{(-36)^2 + (-18)^2 + (-54)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4536} = 9\sqrt{14}$.
चूंकि $\lambda^2 = 14K$,इसलिए $81 \times 14 = 14K$,अतः $K = 81$.

(D) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए,$\sin 5x$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
इसलिए,$-\sin 5x$ भी $[-1, 1]$ अंतराल में स्थित है।
सभी पदों में $7$ जोड़ने पर,हमें $7 - \sin 5x \in [7 - 1, 7 + 1]$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $7 - \sin 5x \in [6, 8]$ हो जाता है।
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,$f(x) = \frac{1}{7 - \sin 5x}$ का परिसर $\left[\frac{1}{8}, \frac{1}{6}\right]$ है।

(B) दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
सबसे पहले,$\vec{v} = \vec{a} \times (\hat{i} + \hat{j})$ की गणना करें:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-1)) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(2 - 1) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
इसके बाद,$\vec{w} = \vec{v} \times \hat{i} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i} = \hat{i} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i} = 0 - (-\hat{k}) + \hat{j} = \hat{j} + \hat{k}$.
फिर,$\vec{b} = \vec{w} \times \hat{i} = (\hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i} = -\hat{k} + \hat{j} = \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $p = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{j} - \hat{k}) = 0 + 1 + 1 = 2$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
अतः,$p = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
प्रक्षेप का वर्ग $p^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$ है।

(C) क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया गया है:
$Area = \int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{a}{x^2}\right) dx$
$= \left[ \ln|x| + \frac{a}{x} \right]_1^2$
$= (\ln 2 + \frac{a}{2}) - (\ln 1 + \frac{a}{1})$
$= \ln 2 + \frac{a}{2} - a = \ln 2 - \frac{a}{2}$
दिया गया है कि क्षेत्रफल $(\ln 2) - \frac{1}{7}$ है,इसलिए तुलना करने पर:
$\ln 2 - \frac{a}{2} = \ln 2 - \frac{1}{7}$
$-\frac{a}{2} = -\frac{1}{7}$
$a = \frac{2}{7}$
अब,$7a - 3$ का मान ज्ञात करते हैं:
$7(\frac{2}{7}) - 3 = 2 - 3 = -1$

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ है।
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 \tan^2 x + b^2}$ प्राप्त होता है।
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx$ होगा।
समाकलन $I = \int \frac{du}{a^2 u^2 + b^2} = \frac{1}{a^2} \int \frac{du}{u^2 + (b/a)^2}$ हो जाता है।
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1}(\frac{x}{k}) + C$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{a}{b} \tan^{-1}(\frac{u}{b/a}) + C = \frac{1}{ab} \tan^{-1}(\frac{a}{b} \tan x) + C$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{1}{12} \tan^{-1}(3 \tan x) + C$ के साथ तुलना करने पर,$ab = 12$ और $\frac{a}{b} = 3$ प्राप्त होता है।
$\frac{a}{b} = 3$ से,$a = 3b$ मिलता है। $ab = 12$ में मान रखने पर,$(3b)b = 12 \implies 3b^2 = 12 \implies b^2 = 4 \implies b = 2$ ($a, b > 0$ मानते हुए)।
अतः $a = 3(2) = 6$ है।
अब $6 \sin x + 2 \cos x$ का अधिकतम मान $A \sin x + B \cos x$ के सूत्र $\sqrt{A^2 + B^2}$ के अनुसार $\sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$ होगा।

(C) दिया है $|A|=3$ और कोटि $n=3$ है।
हम गुणधर्म $|\operatorname{adj}(B)| = |B|^{n-1} = |B|^2$ का उपयोग करते हैं।
माना $X = (2A)^{-1}$ है। तो $|X| = |(2A)^{-1}| = \frac{1}{|2A|} = \frac{1}{2^3 |A|} = \frac{1}{8 \times 3} = \frac{1}{24}$ है।
चरण $1$: $|\operatorname{adj}(3X)| = |3X|^2 = (3^3 |X|)^2 = (27 \times \frac{1}{24})^2 = (\frac{9}{8})^2 = \frac{81}{64}$ है।
चरण $2$: $|\operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X))| = | -3 \operatorname{adj}(3X) |^2 = ((-3)^3 |\operatorname{adj}(3X)|)^2 = (-27 \times \frac{81}{64})^2 = (\frac{2187}{64})^2$ है।
चरण $3$: $|\operatorname{adj}(-4 \operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X)))| = | -4 \operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X)) |^2 = ((-4)^3 |\operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X))|)^2 = (-64 \times (\frac{2187}{64})^2)^2 = (-\frac{2187^2}{64})^2 = \frac{2187^4}{64^2} = \frac{3^{28}}{2^{12}} = 2^{-12} \cdot 3^{28}$ है।
$2^m 3^n$ से तुलना करने पर,$m = -12$ और $n = 28$ प्राप्त होता है।
अतः,$m+2n = -12 + 2(28) = 44$ है।

(A) फलन $f(x) = [\frac{x}{2} + 3] - [\sqrt{x}]$ वहाँ असंतत है जहाँ $[\frac{x}{2} + 3]$ या $[\sqrt{x}]$ असंतत हैं।
$1$. पद $[\frac{x}{2} + 3]$ तब असंतत होता है जब $\frac{x}{2} + 3$ एक पूर्णांक हो।
$x \in [0, 8]$ के लिए,$\frac{x}{2} + 3$ का मान $[3, 7]$ में होता है।
अतः,$\frac{x}{2} + 3 \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $\frac{x}{2} \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \implies x \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
$2$. पद $[\sqrt{x}]$ तब असंतत होता है जब $\sqrt{x}$ एक पूर्णांक हो।
$x \in [0, 8]$ के लिए,$\sqrt{x} \in [0, \sqrt{8}] \approx [0, 2.82]$.
अतः,$\sqrt{x} \in \{0, 1, 2\}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x \in \{0, 1, 4\}$.
$3$. $[0, 8]$ में असंतत बिंदुओं का समुच्चय $S$ इन बिंदुओं का संघ है:
$S = \{0, 1, 2, 4, 6, 8\}$.
हालाँकि,हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या किसी बिंदु पर जंप (jumps) रद्द हो जाते हैं।
$x=0$ पर: $f(0) = [3] - [0] = 3$. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 3$. संतत है।
$x=4$ पर: $f(4) = [2+3] - [2] = 3$.
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = [4.99] - [1.99] = 4 - 1 = 3$.
$\lim_{x \to 4^+} f(x) = [5.00...] - [2.00...] = 5 - 2 = 3$. संतत है।
अतः,असंतत बिंदु $S = \{1, 2, 6, 8\}$ हैं।
$S$ के तत्वों का योग $1 + 2 + 6 + 8 = 17$ है।

(D) हम समाकलन $I = \int_0^3 [x^2] dx + \int_0^3 [\frac{x^2}{2}] dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
$\int_0^3 [x^2] dx$ के लिए:
$[x^2] = 0$ जब $x \in [0, 1)$,$1$ जब $x \in [1, \sqrt{2})$,$2$ जब $x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3})$,$3$ जब $x \in [\sqrt{3}, 2)$,$4$ जब $x \in [2, \sqrt{5})$,$5$ जब $x \in [\sqrt{5}, \sqrt{6})$,$6$ जब $x \in [\sqrt{6}, \sqrt{7})$,$7$ जब $x \in [\sqrt{7}, \sqrt{8})$,$8$ जब $x \in [\sqrt{8}, 3)$।
इसका मान $24 - 3\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - \sqrt{6} - \sqrt{7}$ प्राप्त होता है।
$\int_0^3 [\frac{x^2}{2}] dx$ के लिए:
$[\frac{x^2}{2}] = 0$ जब $x \in [0, \sqrt{2})$,$1$ जब $x \in [\sqrt{2}, 2)$,$2$ जब $x \in [2, \sqrt{6})$,$3$ जब $x \in [\sqrt{6}, \sqrt{8})$,$4$ जब $x \in [\sqrt{8}, 3)$।
इसका मान $10 - 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
दोनों का योग करने पर: $I = 34 - 6\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - 2\sqrt{6} - \sqrt{7}$।
तुलना करने पर $a = 31, b = -6, c = -2$ लेने पर,$a + b + c = 31 - 6 - 2 = 23$ प्राप्त होता है।

(A) यादृच्छिक चर $X$ एक हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का पालन करता है जिसके पैरामीटर $N=12$ (कुल वस्तुएं),$K=3$ (दोषपूर्ण वस्तुएं),और $n=5$ (नमूना आकार) हैं।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का प्रसरण $\sigma^2 = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\sigma^2 = 5 \cdot \frac{3}{12} \cdot \frac{12-3}{12} \cdot \frac{12-5}{12-1}$.
$\sigma^2 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{12} \cdot \frac{7}{11} = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{11} = \frac{105}{176}$.
दिया गया है कि $\sigma^2 = \frac{m}{n} = \frac{105}{176}$,जहाँ $\operatorname{gcd}(105, 176) = 1$.
अतः,$m = 105$ और $n = 176$.
$n-m = 176 - 105 = 71$.

(C) रेखाएँ $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{p}$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{q}$ के रूप में हैं,जहाँ $\vec{a}_1 = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{p} = 3 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a}_2 = -2 \hat{i} - 5 \hat{j} + 4 \hat{k}$,और $\vec{q} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{||\vec{p} \times \vec{q}||}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6 \hat{i} - 15 \hat{j} + 3 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $||\vec{p} \times \vec{q}|| = \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + 3^2} = 3\sqrt{30}$ है।
अब,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-2-\lambda) \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = 6\lambda + 126$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $d = \frac{44}{\sqrt{30}}$,इसलिए $\frac{|6\lambda + 126|}{3\sqrt{30}} = \frac{44}{\sqrt{30}}$ होगा।
$|6\lambda + 126| = 132$ प्राप्त होता है।
अतः $6\lambda + 126 = 132$ या $6\lambda + 126 = -132$ होगा।
स्थिति $1$: $\lambda = 1$.
स्थिति $2$: $\lambda = -43$.
अतः,$|\lambda|$ का अधिकतम मान $43$ है।

(A) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ और सारणिक $D_1, D_2, D_3$ सभी शून्य होने चाहिए।
सबसे पहले,हम $D_3 = 0$ की गणना करते हैं:
$D_3 = \begin{vmatrix} 2 & 7 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & \mu & -1 \end{vmatrix} = 2(-2 - 4\mu) - 7(-3 - 4) + 3(3\mu - 2) = 0$
$-4 - 8\mu + 49 + 9\mu - 6 = 0$
$\mu + 39 = 0 \Rightarrow \mu = -39$
इसके बाद,$\mu = -39$ के साथ $D = 0$ की गणना करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 7 & \lambda \\ 3 & 2 & 5 \\ 1 & -39 & 32 \end{vmatrix} = 2(64 + 195) - 7(96 - 5) + \lambda(-117 - 2) = 0$
$2(259) - 7(91) - 119\lambda = 0$
$518 - 637 - 119\lambda = 0$
$-119 - 119\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$
अंत में,हम $(\lambda - \mu)$ ज्ञात करते हैं:
$\lambda - \mu = -1 - (-39) = -1 + 39 = 38$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(e^y+1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ है।
इसे $d((e^y+1) \sin x) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $(e^y+1) \sin x = C$ प्राप्त होता है।
चूंकि हल बिंदु $(\frac{\pi}{2}, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x = \frac{\pi}{2}$ और $y = 0$ रखने पर:
$(e^0+1) \sin(\frac{\pi}{2}) = C \Rightarrow (1+1)(1) = C \Rightarrow C = 2$.
अतः,वक्र का समीकरण $(e^y+1) \sin x = 2$ है।
अब,हमें $e^{y(\frac{\pi}{6})}$ का मान ज्ञात करना है। समीकरण में $x = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:
$(e^y+1) \sin(\frac{\pi}{6}) = 2$.
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $(e^y+1) \cdot \frac{1}{2} = 2$.
$e^y+1 = 4$.
$e^y = 3$.
अतः,$e^{y(\frac{\pi}{6})}$ का मान $3$ है।

(D) हमें $I_n = \int_0^1 (1 - x^k)^n dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = (1 - x^k)^n$ और $dv = dx$ लें। तब $du = n(1 - x^k)^{n-1} (-k x^{k-1}) dx$ और $v = x$ होगा।
$I_n = [x(1 - x^k)^n]_0^1 - \int_0^1 x \cdot n(1 - x^k)^{n-1} (-k x^{k-1}) dx$
$I_n = 0 + nk \int_0^1 x^k (1 - x^k)^{n-1} dx$
$I_n = nk \int_0^1 (x^k - 1 + 1)(1 - x^k)^{n-1} dx$
$I_n = nk \int_0^1 [-(1 - x^k)^n + (1 - x^k)^{n-1}] dx$
$I_n = -nk I_n + nk I_{n-1}$
$I_n(1 + nk) = nk I_{n-1} \Rightarrow \frac{I_n}{I_{n-1}} = \frac{nk}{nk + 1}$
दिया है $147 I_{20} = 148 I_{21}$,इसलिए $\frac{I_{21}}{I_{20}} = \frac{147}{148}$।
$n = 21$ के लिए पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए: $\frac{I_{21}}{I_{20}} = \frac{21k}{21k + 1}$।
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{21k}{21k + 1} = \frac{147}{148}$।
$21k \cdot 148 = 147(21k + 1)$
$3108k = 3087k + 147$
$21k = 147 \Rightarrow k = 7$.

(A) मान लीजिए $P(x, y, z)$ प्रथम अष्टांश में है,$OP = \gamma = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
$P$ का $xy$-समतल पर प्रक्षेप $Q(x, y, 0)$ है।
मान लीजिए $OQ = r = \sqrt{x^2+y^2}$.
$OQ$ और धनात्मक $x$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ है,इसलिए $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$.
$OP$ और धनात्मक $z$-अक्ष के बीच का कोण $\phi$ है,इसलिए $z = OP \cos \phi = \gamma \cos \phi$.
साथ ही,$r = OP \sin \phi = \gamma \sin \phi$.
अतः,$x = \gamma \sin \phi \cos \theta$,$y = \gamma \sin \phi \sin \theta$,और $z = \gamma \cos \phi$.
$P(x, y, z)$ की $x$-अक्ष से दूरी $\sqrt{y^2+z^2}$ है।
मान रखने पर: $\sqrt{(\gamma \sin \phi \sin \theta)^2 + (\gamma \cos \phi)^2} = \gamma \sqrt{\sin^2 \phi \sin^2 \theta + \cos^2 \phi}$.
$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\gamma \sqrt{\sin^2 \phi \sin^2 \theta + 1 - \sin^2 \phi} = \gamma \sqrt{1 - \sin^2 \phi (1 - \sin^2 \theta)} = \gamma \sqrt{1 - \sin^2 \phi \cos^2 \theta}$.

(A) दिया गया फलन: $f(x) = (x-2)^{2/3}(2x+1)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[(x-2)^{2/3}] \cdot (2x+1) + (x-2)^{2/3} \cdot \frac{d}{dx}[2x+1]$
$f'(x) = \frac{2}{3}(x-2)^{-1/3}(2x+1) + 2(x-2)^{2/3}$
$2(x-2)^{-1/3}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = 2(x-2)^{-1/3} [\frac{1}{3}(2x+1) + (x-2)]$
$f'(x) = \frac{2}{3(x-2)^{1/3}} [2x + 1 + 3x - 6]$
$f'(x) = \frac{2(5x-5)}{3(x-2)^{1/3}} = \frac{10(x-1)}{3(x-2)^{1/3}}$
क्रांतिक बिंदु तब प्राप्त होते हैं जब $f'(x) = 0$ हो या $f'(x)$ अपरिभाषित हो।
$f'(x) = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$.
$f'(x)$ अपरिभाषित है जब हर शून्य हो,अर्थात $x-2 = 0 \implies x = 2$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x=1$ और $x=2$ हैं।
कुल $2$ क्रांतिक बिंदु हैं।

(B) दिया गया है कि वक्र $y=f(x)$ के अंतर्गत $x=0$ से $x=a$ तक का क्षेत्रफल $\int_0^a f(x) dx = e^{-a}+4a^2+a-1$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,दोनों पक्षों का $a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $f(a) = \frac{d}{da}(e^{-a}+4a^2+a-1) = -e^{-a}+8a+1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = -e^{-x}+8x+1$ है।
व्यापक हल $y = c_1 f(x) + c_2$ दिया गया है,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = c_1 f'(x) = c_1(e^{-x}+8)$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = c_1 f''(x) = c_1(e^{-x})$।
द्वितीय अवकलज से,$c_1 = e^x \frac{d^2y}{dx^2}$ प्राप्त होता है।
$c_1$ का मान प्रथम अवकलज समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = (e^x \frac{d^2y}{dx^2})(e^{-x}+8) = \frac{d^2y}{dx^2}(1+8e^x)$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $(8e^x+1) \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x)=4 \cos ^3 x+3 \sqrt{3} \cos ^2 x-10$,जहाँ $x \in(0, 2 \pi)$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = 4(3 \cos ^2 x)(-\sin x) + 3 \sqrt{3}(2 \cos x)(-\sin x)$
$f^{\prime}(x) = -12 \cos ^2 x \sin x - 6 \sqrt{3} \cos x \sin x$
$f^{\prime}(x) = -6 \sin x \cos x (2 \cos x + \sqrt{3})$
$f^{\prime}(x) = -3 \sin(2x) (2 \cos x + \sqrt{3})$
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को ज्ञात करने के लिए,$f^{\prime}(x) = 0$ रखें:
$-3 \sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \Rightarrow x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$
$2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$
$(0, 2\pi)$ में क्रांतिक बिंदु $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$ हैं।
$f^{\prime}(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ है।
$x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ है।
$x \in (\frac{5\pi}{6}, \pi)$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ है।
$x \in (\pi, \frac{7\pi}{6})$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ है।
$x \in (\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ है।
$x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ है।
स्थानीय उच्चिष्ठ तब होता है जब $f^{\prime}(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है। यह $x = \frac{5\pi}{6}$ और $x = \frac{3\pi}{2}$ पर होता है।
अतः,स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदुओं की संख्या $2$ है।

(B) दिया गया अभिलक्षणिक समीकरण $A^3 - 4A^2 + A + 21I = 0$ है।
अभिलक्षणिक बहुपद $P(\lambda) = \lambda^3 - 4\lambda^2 + \lambda + 21 = 0$ है।
आइगेन मानों का योग (आव्यूह $A$ का ट्रेस) $\lambda^2$ के गुणांक के चिह्न परिवर्तन के बराबर होता है,इसलिए $\text{tr}(A) = 2 + 3 + b = 4$,जिससे $b = -1$ प्राप्त होता है।
आव्यूह $A$ का सारणिक अभिलक्षणिक बहुपद के अचर पद के चिह्न परिवर्तन के बराबर होता है ($3 \times 3$ आव्यूह के लिए),इसलिए $|A| = -21$ है।
सारणिक की गणना करने पर: $|A| = 2(3b - 5) - a(b - 0) + 0 = 6b - 10 - ab = -21$ प्राप्त होता है।
$b = -1$ रखने पर: $6(-1) - 10 - a(-1) = -21 \Rightarrow -6 - 10 + a = -21 \Rightarrow -16 + a = -21 \Rightarrow a = -5$ प्राप्त होता है।
अंततः,$2a + 3b = 2(-5) + 3(-1) = -10 - 3 = -13$ है।

(B) रेखाएं इस प्रकार हैं:
$L_1: \overrightarrow{r} = (2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k})$
$L_2: \overrightarrow{r} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$
माना $\overrightarrow{a_1} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ और $\overrightarrow{a_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
माना $\overrightarrow{p} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{q} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
तब $\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1} = (2-2)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
क्रॉस गुणनफल $\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}$ है:
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-12) - \hat{j}(1-8) + \hat{k}(3+6) = -15\hat{i} + 7\hat{j} + 9\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}| = \sqrt{(-15)^2 + 7^2 + 9^2} = \sqrt{225 + 49 + 81} = \sqrt{355}$.
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1}) \cdot (\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q})}{|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}|} \right|$ द्वारा दी जाती है।
$d = \left| \frac{(0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-15\hat{i} + 7\hat{j} + 9\hat{k})}{\sqrt{355}} \right| = \left| \frac{0 + 14 + 18}{\sqrt{355}} \right| = \frac{32}{\sqrt{355}}$.
$\frac{m}{\sqrt{n}}$ से तुलना करने पर,हमें $m = 32$ और $n = 355$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{gcd}(32, 355) = 1$,इसलिए $m+n = 32 + 355 = 387$.

(B) दिया गया है $I(x)=\int \frac{6}{\sin ^2 x(1-\cot x)^2} d x$.
हम समाकलन को $I(x)=\int \frac{6 \operatorname{cosec}^2 x}{(1-\cot x)^2} d x$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $t = 1-\cot x$. तब $dt = \operatorname{cosec}^2 x d x$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें $I(x) = \int \frac{6}{t^2} dt = -\frac{6}{t} + C = -\frac{6}{1-\cot x} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$I(x) = \frac{6}{\cot x - 1} + C$.
$x = \frac{\pi}{12}$ के लिए,$\cot(\frac{\pi}{12}) = 2+\sqrt{3}$.
$I(\frac{\pi}{12}) = \frac{6}{2+\sqrt{3}-1} + C = \frac{6}{1+\sqrt{3}} + C = 3(\sqrt{3}-1) + C$.
यदि $C=3$ लें,तो $I(\frac{\pi}{12}) = 3\sqrt{3}-3+3 = 3\sqrt{3}$.

(B) सबसे पहले,$2310$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें:
$2310 = 231 \times 10 = 3 \times 7 \times 11 \times 2 \times 5$.
अतः,समुच्चय $A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ है।
अब,प्रत्येक $x \in A$ के लिए $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(2) = [\log_2(2^2 + [2^3/5])] = [\log_2(4 + [1.6])] = [\log_2(5)] = 2$.
$f(3) = [\log_2(3^2 + [3^3/5])] = [\log_2(9 + [5.4])] = [\log_2(14)] = 3$.
$f(5) = [\log_2(5^2 + [5^3/5])] = [\log_2(25 + 25)] = [\log_2(50)] = 5$.
$f(7) = [\log_2(7^2 + [7^3/5])] = [\log_2(49 + [68.6])] = [\log_2(117)] = 6$.
$f(11) = [\log_2(11^2 + [11^3/5])] = [\log_2(121 + [266.2])] = [\log_2(387)] = 8$.
$f$ का परिसर $B = \{2, 3, 5, 6, 8\}$ है।
चूंकि समुच्चय $A$ में $5$ अवयव हैं और समुच्चय $B$ में $5$ अवयव हैं,इसलिए $A$ से $B$ तक एकैकी फलनों की संख्या $5! = 120$ होगी।

(B) दिया गया है $f(x) = \cos x - x + 1$.
अवकलन करने पर: $f'(x) = -\sin x - 1$.
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,इसलिए $f'(x) = -(\sin x + 1) \le 0$ सभी $x \in R$ के लिए।
अतः,$f(x)$ पूरे $R$ पर निरंतर ह्रासमान फलन है।
$(S1)$ के लिए: $[0, \pi]$ के अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करने पर: $f(0) = \cos(0) - 0 + 1 = 2$ और $f(\pi) = \cos(\pi) - \pi + 1 = -1 - \pi + 1 = -\pi$.
चूंकि $f(0) = 2 > 0$ और $f(\pi) = -\pi < 0$,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$(0, \pi)$ में केवल एक हल मौजूद है क्योंकि $f$ निरंतर ह्रासमान है। इसलिए,$(S1)$ सही है।
$(S2)$ के लिए: सभी $x$ के लिए $f'(x) \le 0$ है,इसलिए $f(x)$ पूरे अंतराल $[0, \pi]$ में ह्रासमान है। अतः,यह कथन कि यह $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ में वर्धमान है,गलत है। इसलिए,$(S2)$ गलत है।
निष्कर्ष: केवल $(S1)$ सही है।

(C) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ अधिक कोण पर झुके होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ हो।
दिया गया है $\vec{a} = \alpha t \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = t \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \alpha t \hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\alpha t)(t) + (6)(-2) + (-3)(-2 \alpha t) = \alpha t^2 - 12 + 6 \alpha t$।
हमें सभी $t \in R$ के लिए $\alpha t^2 + 6 \alpha t - 12 < 0$ की आवश्यकता है।
एक द्विघात व्यंजक $f(t) = At^2 + Bt + C$ के सभी $t$ के लिए ऋणात्मक होने के लिए,$A < 0$ और विविक्तकर $D = B^2 - 4AC < 0$ होना चाहिए।
यहाँ $A = \alpha$,$B = 6 \alpha$,और $C = -12$ है।
शर्त $1$: $\alpha < 0$।
शर्त $2$: $D = (6 \alpha)^2 - 4(\alpha)(-12) = 36 \alpha^2 + 48 \alpha < 0$।
$12 \alpha (3 \alpha + 4) < 0$,जिसका अर्थ है $-\frac{4}{3} < \alpha < 0$।
यदि $\alpha = 0$ है,तो व्यंजक $-12 < 0$ हो जाता है,जो सभी $t \in R$ के लिए सत्य है।
इन दोनों को मिलाने पर,$\alpha$ का समुच्चय $(-\frac{4}{3}, 0]$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) e^{\tan x} dx + \cos^2 x(1+e^{2 \tan x}) dy = 0$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{e^{\tan x}}{\cos^2 x(1+e^{2 \tan x})} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$.
चूँकि $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$,हमारे पास है:
$\frac{\sec^2 x e^{\tan x}}{1+(e^{\tan x})^2} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sec^2 x e^{\tan x}}{1+(e^{\tan x})^2} dx + \int \frac{dy}{1+y^2} = C$.
मान लीजिए $u = e^{\tan x}$,तो $du = e^{\tan x} \sec^2 x dx$। अतः:
$\tan^{-1}(e^{\tan x}) + \tan^{-1}(y) = C$.
$y(0) = 1$ दिया गया है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$\tan^{-1}(e^{\tan 0}) + \tan^{-1}(1) = C \implies \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$\tan^{-1}(e^{\tan x}) + \tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(A) + \cot^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\tan^{-1}(y) = \cot^{-1}(e^{\tan x}) = \tan^{-1}(\frac{1}{e^{\tan x}})$.
इस प्रकार,$y = \frac{1}{e^{\tan x}}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{e^{\tan(\pi/4)}} = \frac{1}{e^1} = \frac{1}{e}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$।
$A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करें: $|A - \lambda I| = 0$.
$\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(1-\lambda) + 1 = \lambda^2 - 3\lambda + 3 = 0$.
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^2 - 3A + 3I = 0$,अतः $A^2 = 3A - 3I$.
हम देखते हैं कि $A^6 = -27I = -3^3 I$.
तब $A^{12} = (A^6)^2 = (-3^3 I)^2 = 3^6 I$.
$A^{13} = A^{12} \cdot A = 3^6 A = 3^6 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 3^6 & -3^6 \\ 3^6 & 3^6 \end{bmatrix}$.
$A^{13}$ के विकर्ण तत्वों का योग (ट्रेस) $2 \cdot 3^6 + 3^6 = 3 \cdot 3^6 = 3^7$ है।
दिया गया है कि योग $3^n$ है,इसलिए $3^n = 3^7$,जिसका अर्थ है कि $n = 7$।

(C) कुल गेंदें = $5 + 4 = 9$ हैं। हम $3$ गेंदें निकालते हैं। $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
मान लीजिए $X$ नीली गेंदों की संख्या है। माध्य $\bar{X} = E[X] = n \times p$,जहाँ $n=3$ और $p$ नीली गेंद निकालने की प्रायिकता है,$p = \frac{5}{9}$।
अतः,$\bar{X} = 3 \times \frac{5}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$।
मान लीजिए $Y$ पीली गेंदों की संख्या है। माध्य $\bar{Y} = E[Y] = n \times p'$,जहाँ $n=3$ और $p'$ पीली गेंद निकालने की प्रायिकता है,$p' = \frac{4}{9}$।
अतः,$\bar{Y} = 3 \times \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$।
हमें $7 \bar{X} + 4 \bar{Y}$ का मान ज्ञात करना है:
$7 \bar{X} + 4 \bar{Y} = 7 \left(\frac{5}{3}\right) + 4 \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{35}{3} + \frac{16}{3} = \frac{51}{3} = 17$.

(D) दिया गया है $\vec{a}=9 \hat{i}-13 \hat{j}+25 \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+7 \hat{j}-13 \hat{k}$,और $\vec{c}=17 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$।
$\vec{r} \times \vec{a}=(\vec{b}+\vec{c}) \times \vec{a}$ से,$(\vec{r}-(\vec{b}+\vec{c})) \times \vec{a} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\vec{r}-(\vec{b}+\vec{c}) = \lambda \vec{a}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए,अतः $\vec{r} = \lambda \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$।
दिया गया है $\vec{r} \cdot (\vec{b}-\vec{c}) = 0$,$\vec{r}$ का मान रखने पर:
$(\lambda \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{c}) = 0$.
$\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}) + |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (9)(3) + (-13)(7) + (25)(-13) = 27 - 91 - 325 = -389$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (9)(17) + (-13)(-2) + (25)(1) = 153 + 26 + 25 = 204$.
$|\vec{b}|^2 = 3^2 + 7^2 + (-13)^2 = 9 + 49 + 169 = 227$.
$|\vec{c}|^2 = 17^2 + (-2)^2 + 1^2 = 289 + 4 + 1 = 294$.
$\lambda (-389 - 204) + 227 - 294 = 0 \Rightarrow -593 \lambda - 67 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{67}{593}$.
अतः,$\vec{r} = -\frac{67}{593} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
$593 \vec{r} + 67 \vec{a} = 593(\vec{b} + \vec{c})$.
$\frac{|593 \vec{r} + 67 \vec{a}|^2}{(593)^2} = |\vec{b} + \vec{c}|^2$.
$\vec{b} + \vec{c} = (3+17)\hat{i} + (7-2)\hat{j} + (-13+1)\hat{k} = 20\hat{i} + 5\hat{j} - 12\hat{k}$.
$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = 20^2 + 5^2 + (-12)^2 = 400 + 25 + 144 = 569$.

(A) क्षेत्र $y = \min \{\sin x, \cos x\}$ और $x$-अक्ष द्वारा $x = -\pi$ से $x = \pi$ के बीच घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $A$ उस भाग का समाकलन है जहाँ $y < 0$ है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$A = \int_{-\pi}^{-3\pi/4} -\sin x \, dx + \int_{-3\pi/4}^{-\pi/2} -\cos x \, dx + \int_{0}^{\pi/4} \sin x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx$
प्रत्येक भाग की गणना:
$1$. $\int_{-\pi}^{-3\pi/4} -\sin x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2$. $\int_{-3\pi/4}^{-\pi/2} -\cos x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$3$. $\int_{0}^{\pi/4} \sin x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$4$. $\int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
कुल क्षेत्रफल $A = 4(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$। विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $16$ है।

(B) दिया गया है $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{c} = 3\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$.
अतः $\vec{b} + \vec{c} = (2+3)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (-5+\lambda)\hat{k} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + (\lambda-5)\hat{k}$.
चूंकि $\vec{r}$,$\vec{b} + \vec{c}$ की दिशा में एक इकाई सदिश है,इसलिए $\vec{r} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{|\vec{b} + \vec{c}|}$.
दिया गया है $\vec{r} \cdot \vec{a} = 3$,अतः $\frac{(\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{b} + \vec{c}|} = 3$.
$(\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a} = (5\hat{i} + 2\hat{j} + (\lambda-5)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 5(1) + 2(2) + 3(\lambda-5) = 5 + 4 + 3\lambda - 15 = 3\lambda - 6$.
$|\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (\lambda-5)^2} = \sqrt{25 + 4 + \lambda^2 - 10\lambda + 25} = \sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{3\lambda - 6}{\sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}} = 3$.
$3$ से भाग देने पर: $\frac{\lambda - 2}{\sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\lambda - 2)^2 = \lambda^2 - 10\lambda + 54$.
$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = \lambda^2 - 10\lambda + 54$.
$6\lambda = 50$.
$3\lambda = 25$.

(C) दिया गया सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{lll}\alpha & b & c \\ a & \beta & c \\ a & b & \gamma\end{array}\right|=0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha-a & b-\beta & 0 \\ 0 & \beta-b & c-\gamma \\ a & b & \gamma\end{array}\right|=0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(\alpha-a)[(\beta-b)\gamma - b(c-\gamma)] - (b-\beta)[0 - a(c-\gamma)] + 0 = 0$
$(\alpha-a)(\beta-b)\gamma - b(\alpha-a)(c-\gamma) + a(b-\beta)(c-\gamma) = 0$
पूरे समीकरण को $(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{(\alpha-a)(\beta-b)\gamma}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} - \frac{b(\alpha-a)(c-\gamma)}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} + \frac{a(b-\beta)(c-\gamma)}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} = 0$
$\frac{\gamma}{\gamma-c} + \frac{b}{\beta-b} + \frac{a}{\alpha-a} = 0$

(B) समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 7 & 9 & \mu \\ 5 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$ की गणना करें।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $1(18-\mu) - 4(14-5\mu) - 1(7-45) = 0$.
$18 - \mu - 56 + 20\mu + 38 = 0$.
$19\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$.
अब,$\Delta_x = 0$ के लिए:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} \lambda & 4 & -1 \\ -3 & 9 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $\lambda(18-0) - 4(-6-0) - 1(-3+9) = 0$.
$18\lambda + 24 - 6 = 0$.
$18\lambda = -18 \Rightarrow \lambda = -1$.
अंत में,$(2\mu + 3\lambda) = 2(0) + 3(-1) = -3$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाएं समांतर हैं क्योंकि उनके दिशा सदिश $\vec{b}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b}_2 = 4\hat{i} + 6\hat{j} + 8\hat{k} = 2\vec{b}_1$ हैं।
दो समांतर रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\vec{a}_1 = \lambda\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{a}_2 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2-\lambda)\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$।
सदिश गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $|12\hat{i} - 4\lambda\hat{j} + (3\lambda-6)\hat{k}| = 13$।
वर्ग करने पर: $144 + 16\lambda^2 + (3\lambda-6)^2 = 169$।
$144 + 16\lambda^2 + 9\lambda^2 - 36\lambda + 36 = 169 \implies 25\lambda^2 - 36\lambda + 11 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(25\lambda - 11)(\lambda - 1) = 0$।
अतः $\lambda = 1$ या $\lambda = \frac{11}{25}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec y \frac{dy}{dx} + 2x \sin y = x^3 \cos y$.
दोनों पक्षों को $\cos y$ से विभाजित करने पर (या $\sec y$ से गुणा करने पर):
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} + 2x \tan y = x^3$.
माना $t = \tan y$,तब $\frac{dt}{dx} = \sec^2 y \frac{dy}{dx}$.
समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है: $\frac{dt}{dx} + 2xt = x^3$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$.
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(t e^{x^2}) = x^3 e^{x^2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $t e^{x^2} = \int x^3 e^{x^2} dx + C$.
माना $u = x^2$,तब $du = 2x dx$,इसलिए $\int x^3 e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int u e^u du = \frac{1}{2} (u e^u - e^u) + C = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$.
अतः,$\tan y \cdot e^{x^2} = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$.
दिया गया है कि $y(1) = 0$,इसलिए $\tan(0) \cdot e^1 = \frac{1}{2} e^1 (1 - 1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.
अतः,$\tan y = \frac{1}{2} (x^2 - 1)$.
$x = \sqrt{3}$ के लिए,$\tan y = \frac{1}{2} ((\sqrt{3})^2 - 1) = \frac{1}{2} (3 - 1) = 1$.
चूँकि $\tan y = 1$,इसलिए $y = \frac{\pi}{4}$.

(B) सबसे पहले,वृत्त $x^2+y^2=8$ और परवलय $y^2=2x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
वृत्त के समीकरण में $y^2=2x$ रखने पर: $x^2+2x-8=0$.
$(x+4)(x-2)=0$,इसलिए $x=2$ (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $x \ge 0$ है)।
$x=2$ पर,$y^2=4$,इसलिए $y=2$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ तक वृत्त के नीचे का क्षेत्रफल माइनस $x=0$ से $x=2$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \int_0^2 \sqrt{8-x^2} dx - \int_0^2 \sqrt{2x} dx$
$= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{8-x^2} + \frac{8}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right) \right]_0^2 - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2$
$= \left( \frac{2}{2}\sqrt{8-4} + 4\sin^{-1}\left(\frac{2}{2\sqrt{2}}\right) \right) - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2^{3/2})$
$= (1 \cdot 2 + 4 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2\sqrt{2})$
$= 2 + \pi - \frac{8}{3} = \pi - \frac{2}{3}$.

(B) दिया गया है कि $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{c} \times (-2 \vec{a}+3 \vec{b})$.
इसे $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c} + (-2 \vec{a}+3 \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(\vec{a}+\vec{b}-2 \vec{a}+3 \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$.
$(4 \vec{b}-\vec{a}) \times \vec{c} = \vec{0}$.
इसका अर्थ है कि $\vec{c}$,$(4 \vec{b}-\vec{a})$ के समांतर है।
माना $\vec{c} = \lambda(4 \vec{b}-\vec{a})$.
$4 \vec{b}-\vec{a} = 4(11 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - (4 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = 40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$.
अतः,$\vec{c} = \lambda(40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k})$.
दिया गया है कि $(2 \vec{a}+3 \vec{b}) \cdot \vec{c} = 1670$.
$2 \vec{a}+3 \vec{b} = 2(4 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + 3(11 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = 41 \hat{i}-5 \hat{j}+5 \hat{k}$.
$(41 \hat{i}-5 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot \lambda(40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}) = 1670$.
$\lambda(1640 + 15 + 15) = 1670$.
$1670 \lambda = 1670 \Rightarrow \lambda = 1$.
इस प्रकार,$\vec{c} = 40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$.
$|\vec{c}|^2 = 40^2 + (-3)^2 + 3^2 = 1600 + 9 + 9 = 1618$.

(A) दिया गया है $f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x+1$.
अवकलन करने पर: $f'(x)=6x^2-18ax+12a^2$.
स्थानीय चरम मानों के लिए $f'(x)=0$ रखने पर,$6(x^2-3ax+2a^2)=0$,जिसका गुणनखंड $6(x-a)(x-2a)=0$ है।
मूल $x=a$ और $x=2a$ हैं।
चूंकि $x=\alpha$ पर स्थानीय उच्चतम और $x=\alpha^2$ पर स्थानीय निम्नतम है,दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $\alpha=a$ और $\alpha^2=2a$. अतः $a^2=2a \Rightarrow a(a-2)=0$. चूंकि $a>0$,इसलिए $a=2$.
यदि $a=2$ है,तो मूल $\alpha=2$ और $\alpha^2=4$ हैं। समीकरण $(x-2)(x-4)=x^2-6x+8=0$ है।
स्थिति $2$: $\alpha=2a$ और $\alpha^2=a$. अतः $(2a)^2=a \Rightarrow 4a^2-a=0 \Rightarrow a(4a-1)=0$. चूंकि $a>0$,इसलिए $a=1/4$.
यदि $a=1/4$ है,तो मूल $\alpha=1/2$ और $\alpha^2=1/4$ हैं। समीकरण $(x-1/2)(x-1/4)=x^2-(3/4)x+1/8=0$ अर्थात $8x^2-6x+1=0$ है।
द्वितीय अवकलज $f''(x)=12x-18a$ की जाँच करने पर:
$a=2$ के लिए,$f''(2)=-12 < 0$ (उच्चतम) और $f''(4)=12 > 0$ (निम्नतम)। यह सही है।
$a=1/4$ के लिए,$f''(1/2)=1.5 > 0$ (निम्नतम) और $f''(1/4)=-1.5 < 0$ (उच्चतम)। यह प्रश्न के विपरीत है।
अतः,सही समीकरण $x^2-6x+8=0$ है।

(A) मान लीजिए कि $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः थैले $X, Y, Z$ चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए कि $A$ एक-रुपये का सिक्का निकालने की घटना है।
प्रत्येक थैले से एक-रुपये का सिक्का निकालने की प्रायिकता है:
$P(A|E_1) = \frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$
$P(A|E_2) = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$
$P(A|E_3) = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,सिक्के के थैले $Y$ से आने की प्रायिकता है:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{9}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{9}}$
$P(E_2|A) = \frac{4}{5+4+3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

(A) दिया गया समाकलन $\int_\alpha^{\log _e 4} \frac{dx}{\sqrt{e^{x}-1}}=\frac{\pi}{6}$ है।
मान लीजिए $e^{x}-1=t^2$,तो $e^x dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{2t dt}{t^2+1}$।
जब $x = \log_e 4$,तो $t = \sqrt{e^{\log_e 4}-1} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$।
जब $x = \alpha$,तो $t = \sqrt{e^\alpha-1}$।
समाकलन $\int_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}} \frac{2t dt}{t(t^2+1)} = 2 \int_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}} \frac{dt}{t^2+1} = 2 [\tan^{-1} t]_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}}$ हो जाता है।
यह $2(\tan^{-1} \sqrt{3} - \tan^{-1} \sqrt{e^\alpha-1}) = 2(\frac{\pi}{3} - \tan^{-1} \sqrt{e^\alpha-1}) = \frac{\pi}{6}$ के बराबर है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\pi}{3} - \tan^{-1} \sqrt{e^\alpha-1} = \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\tan^{-1} \sqrt{e^\alpha-1} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$\sqrt{e^\alpha-1} = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,जिसका अर्थ है $e^\alpha-1 = 1$,इसलिए $e^\alpha = 2$।
तब $e^{-\alpha} = \frac{1}{2}$।
$2$ और $\frac{1}{2}$ मूल वाला द्विघात समीकरण $(x-2)(x-\frac{1}{2}) = 0$ है,जो $x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$ या $2x^2 - 5x + 2 = 0$ में सरल हो जाता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
सबसे पहले,हम $f(|x|)$ ज्ञात करते हैं:
$x \in [-a, 0]$ के लिए,$|x| \in [0, a]$,इसलिए $f(|x|) = |x| + a = -x + a$.
$x \in (0, a]$ के लिए,$|x| \in (0, a]$,इसलिए $f(|x|) = |x| + a = x + a$.
अतः,$f(|x|) = \begin{cases} -x+a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
अगला,हम $|f(x)|$ ज्ञात करते हैं:
$x \in [-a, 0]$ के लिए,$f(x) = -a$,इसलिए $|f(x)| = |-a| = a$.
$x \in (0, a]$ के लिए,$f(x) = x+a$,इसलिए $|f(x)| = |x+a| = x+a$.
अतः,$|f(x)| = \begin{cases} a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
अब,$g(x) = \frac{f(|x|) - |f(x)|}{2}$:
$x \in [-a, 0]$ के लिए,$g(x) = \frac{(-x+a) - a}{2} = \frac{-x}{2}$.
$x \in (0, a]$ के लिए,$g(x) = \frac{(x+a) - (x+a)}{2} = 0$.
इसलिए,$g(x) = \begin{cases} -x/2 & -a \leq x \leq 0 \\ 0 & 0 < x \leq a \end{cases}$.
$g(x)$ का विश्लेषण:
$1$. एकैकी: $x \in (0, a]$ के लिए,$g(x) = 0$ है। चूँकि $g(0.1) = 0$ और $g(0.2) = 0$,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
$2$. आच्छादक: $g(x)$ का परिसर $[0, a/2]$ है। चूँकि सह-प्रांत $[-a, a]$ है,परिसर सह-प्रांत के बराबर नहीं है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
अतः,$g(x)$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) $A \times B$ पर संबंध $R$ के लिए,$(a, b) R (c, d)$ तब सत्य है यदि $3ad - 7bc$ सम है।
$1$. स्वतुल्यता: जाँचें कि क्या $(a, b) R (a, b)$ सत्य है।
$3ab - 7ba = 3ab - 7ab = -4ab$। चूँकि $-4ab$ किसी भी $a \in A, b \in B$ के लिए हमेशा सम होता है,इसलिए संबंध स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) R (c, d)$ सत्य है,तो $3ad - 7bc$ सम है।
हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या $(c, d) R (a, b)$ सत्य है,अर्थात क्या $3cb - 7da$ सम है।
ध्यान दें कि $3cb - 7da = -(3ad - 7bc)$। यदि $3ad - 7bc$ सम है,तो $-(3ad - 7bc)$ भी सम होगा। अतः,संबंध सममित है।
$3$. संक्रामकता: जाँचें कि क्या $(a, b) R (c, d)$ और $(c, d) R (e, f)$ का अर्थ $(a, b) R (e, f)$ है।
मान लीजिए $(a, b) = (3, 4)$,$(c, d) = (6, 4)$,और $(e, f) = (3, 1)$ है।
$(3, 4) R (6, 4)$ के लिए: $3(3)(4) - 7(4)(6) = 36 - 168 = -132$ (सम)।
$(6, 4) R (3, 1)$ के लिए: $3(6)(1) - 7(4)(3) = 18 - 84 = -66$ (सम)।
$(3, 4) R (3, 1)$ के लिए: $3(3)(1) - 7(4)(3) = 9 - 84 = -75$ (विषम)।
चूँकि $(3, 4) R (6, 4)$ और $(6, 4) R (3, 1)$ सत्य हैं,लेकिन $(3, 4) R (3, 1)$ असत्य है,इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है।
अतः,संबंध स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।