यदि sin left(frac{y}{x}right)=log |x|+frac{al | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$.$x \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ से भाग

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$.$x \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ से भाग देने पर:$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{\cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.समीकरण में मान प्रतिस्थापित करने पर:$v + x \frac{d v}{d x} = v + \frac{1}{\cos v}$.$x \frac{d v}{d x} = \sec v$.चरों को अलग करने पर:$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.$\sin v = \log |x| + C$.$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$.$y(1) = \frac{\pi}{3}$ दिया गया है,अतः $\sin \left(\frac{\pi/3}{1}\right) = \log |1| + C$.$\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = 0 + C \implies C = \frac{\sqrt{3}}{2}$.हल $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + \frac{\alpha}{2}$ से तुलना करने पर,$\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \alpha = \sqrt{3}$.अतः,$\alpha^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

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