JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) अतिपरवलय $H$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ मानिए,जहाँ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ है।
चूँकि $C_1$ मूल बिंदु पर केंद्रित है और शीर्षों $(\pm a, 0)$ पर स्पर्श करता है,इसकी त्रिज्या $a$ है। $C_1$ का क्षेत्रफल $36 \pi$ दिया गया है,इसलिए $\pi a^2 = 36 \pi$,जिससे $a = 6$ प्राप्त होता है।
$C_2$ एक नाभि $(ae, 0)$ पर केंद्रित है और शीर्ष $(a, 0)$ पर स्पर्श करता है। नाभि और शीर्ष के बीच की दूरी $|ae - a| = a(e - 1)$ है। अतः,$C_2$ की त्रिज्या $r = a(e - 1)$ है।
$C_2$ का क्षेत्रफल $4 \pi$ दिया गया है,इसलिए $\pi r^2 = 4 \pi$,जिससे $r^2 = 4$,यानी $r = 2$ प्राप्त होता है।
$a = 6$ रखने पर,$6(e - 1) = 2$,इसलिए $e - 1 = \frac{1}{3}$,जिससे $e = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 36 \left( (\frac{4}{3})^2 - 1 \right) = 36 \left( \frac{16}{9} - 1 \right) = 36 \left( \frac{7}{9} \right) = 28$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 28}{6} = \frac{28}{3}$ है।

(D) परवलय $y^2=4ax$ की जीवा का समीकरण जिसका मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ है,$T=S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,परवलय $y^2=12x$ है,इसलिए $4a=12$,जिसका अर्थ है $a=3$ है।
मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ $(4, 1)$ है।
जीवा का समीकरण $yy_1 - 2a(x+x_1) = y_1^2 - 4ax_1$ है।
मान रखने पर,हमें $y(1) - 2(3)(x+4) = (1)^2 - 12(4)$ प्राप्त होता है।
$y - 6(x+4) = 1 - 48$.
$y - 6x - 24 = -47$.
$6x - y = 23$.
अब,हम जाँचते हैं कि कौन सा बिंदु समीकरण $6x - y = 23$ को संतुष्ट करता है।
विकल्प $D$ के लिए: $6\left(\frac{1}{2}\right) - (-20) = 3 + 20 = 23$.
अतः,बिंदु $\left(\frac{1}{2}, -20\right)$ रेखा पर स्थित है।

(A) मान लीजिए $u = \sin^2 2\theta$ है। हम जानते हैं कि $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - \frac{u}{2}$ और $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - \frac{3u}{4}$ होता है।
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = u - 4(1 - \frac{u}{2})(1 - \frac{3u}{4}) \ge 0$.
$-\frac{3}{2}u^2 + 6u - 4 \ge 0 \implies 3u^2 - 12u + 8 \le 0$.
$u$ का मान $[0, 2 - \frac{2}{\sqrt{3}}]$ अंतराल में प्राप्त होता है।
अतः $\alpha = 0$ और $\beta = 2 - \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
मान रखने पर,$3((\alpha - 2)^2 + (\beta - 1)^2) = 19 - 4\sqrt{3}$.

(B) कुल $4$ पुरुषों और $4$ महिलाओं का चयन करने के लिए,हम समूह $A$ और समूह $B$ से चयन की संभावनाओं पर विचार करते हैं।

समूह $A$ से चयन	समूह $B$ से चयन	चयन के तरीके
$4M, 0W$	$0M, 4W$	${}^4C_4 \times {}^4C_4 = 1$
$3M, 1W$	$1M, 3W$	${}^4C_3 \times {}^5C_1 \times {}^5C_1 \times {}^4C_3 = 400$
$2M, 2W$	$2M, 2W$	${}^4C_2 \times {}^5C_2 \times {}^5C_2 \times {}^4C_2 = 3600$
$1M, 3W$	$3M, 1W$	${}^4C_1 \times {}^5C_3 \times {}^5C_3 \times {}^4C_1 = 1600$
$0M, 4W$	$4M, 0W$	${}^5C_4 \times {}^5C_4 = 25$

कुल तरीके = $1 + 400 + 3600 + 1600 + 25 = 5626$.

(D) रेखा $BC$ का समीकरण $y = x + 4$ है,इसलिए इसकी ढाल $m_1 = 1$ है। मान लीजिए रेखाओं $AB$ और $AC$ की ढाल क्रमशः $m_2$ और $m_3$ है। $AB$ और $BC$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $\tan(\frac{\pi}{6}) = |\frac{m_2 - 1}{1 + m_2}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$। इससे $m_2 = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
रेखा $AB$,$A(1, 2)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $m_2$ है। इसका समीकरण $y - 2 = m_2(x - 1)$ है।
$m_2 = 2 + \sqrt{3}$ के लिए,$y - 2 = (2 + \sqrt{3})(x - 1)$। इसे $y = x + 4$ के साथ हल करने पर $x + 2 = (2 + \sqrt{3})x - 2 - \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$।
$m_2 = 2 - \sqrt{3}$ के लिए,$y - 2 = (2 - \sqrt{3})(x - 1)$। इसे $y = x + 4$ के साथ हल करने पर $x + 2 = (2 - \sqrt{3})x - 2 + \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{-(3\sqrt{3} + 1)}{2}$।
अतः,$\alpha$ और $\gamma$ का मान $\frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$ और $\frac{-(3\sqrt{3} + 1)}{2}$ है।
$\alpha^2 + \gamma^2 = \frac{27 + 1 - 6\sqrt{3}}{4} + \frac{27 + 1 + 6\sqrt{3}}{4} = \frac{28 + 28}{4} = 14$.

(C) दी गई रेखा $3x + 4y = 12$ है। मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ हैं और $Q$ के निर्देशांक $(r \cos(90^{\circ} + \theta), r \sin(90^{\circ} + \theta)) = (-r \sin \theta, r \cos \theta)$ हैं,क्योंकि $\triangle OPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $OP = OQ = r$ और $\angle POQ = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $P$ और $Q$ रेखा $3x + 4y = 12$ पर स्थित हैं:
$P$ के लिए: $3(r \cos \theta) + 4(r \sin \theta) = 12 \Rightarrow r(3 \cos \theta + 4 \sin \theta) = 12 \ldots(1)$
$Q$ के लिए: $3(-r \sin \theta) + 4(r \cos \theta) = 12 \Rightarrow r(4 \cos \theta - 3 \sin \theta) = 12 \ldots(2)$
$(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$r^2(3 \cos \theta + 4 \sin \theta)^2 + r^2(4 \cos \theta - 3 \sin \theta)^2 = 12^2 + 12^2$
$r^2(25 \cos^2 \theta + 25 \sin^2 \theta) = 288$ $\Rightarrow 25r^2 = 288$ $\Rightarrow r^2 = \frac{288}{25}$.
$\triangle OPQ$ में,$PQ^2 = OP^2 + OQ^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$.
अतः $l = OP^2 + PQ^2 + QO^2 = r^2 + 2r^2 + r^2 = 4r^2$.
$l = 4 \times \frac{288}{25} = \frac{1152}{25} = 46.08$.
$l$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक $\lfloor 46.08 \rfloor = 46$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है।
चूंकि $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है,इसलिए कुल संभावित त्रिक $(a, b, c)$ की संख्या $8 \times 8 \times 8 = 512$ है।
समीकरण के मूल समान होने के लिए विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए,अर्थात $b^2 - 4ac = 0$,जिसका अर्थ है $b^2 = 4ac$।
$b^2 = 4ac$ को संतुष्ट करने वाले संभावित त्रिक $(a, b, c)$ इस प्रकार हैं:
यदि $b=2$,तो $4 = 4ac \Rightarrow ac = 1 \Rightarrow (1, 2, 1)$।
यदि $b=4$,तो $16 = 4ac \Rightarrow ac = 4 \Rightarrow (1, 4, 4), (4, 4, 1), (2, 4, 2)$।
यदि $b=6$,तो $36 = 4ac \Rightarrow ac = 9 \Rightarrow (3, 6, 3)$।
यदि $b=8$,तो $64 = 4ac \Rightarrow ac = 16 \Rightarrow (2, 8, 8), (8, 8, 2), (4, 8, 4)$।
इस प्रकार,कुल $8$ अनुकूल स्थितियाँ हैं।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल स्थितियाँ}}{\text{कुल स्थितियाँ}} = \frac{8}{512} = \frac{1}{64}$।

(D) $(3,2)$ से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाएं $x=3$ और $y=2$ हैं। चूंकि $r=1$ त्रिज्या वाला वृत्त $C$ इन रेखाओं को स्पर्श करता है और मूल बिंदु के करीब है,इसलिए इसका केंद्र $(h,k)$ इन रेखाओं से $1$ की दूरी पर होना चाहिए ताकि $h < 3$ और $k < 2$ हो।
अतः,केंद्र $(3-1, 2-1) = (2,1)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1^2$ है।
केंद्र $C(2,1)$ से बिंदु $Q(5,5)$ तक की दूरी $CQ = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$ है।
वृत्त से बिंदु $Q$ तक की न्यूनतम दूरी $CQ - r = 5 - 1 = 4$ है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 - 3x - 2y = 0$ का केंद्र $(\frac{3}{2}, 1)$ है।
चूँकि रेखाखंड $AB$ वृत्त का व्यास है,इसलिए वृत्त का केंद्र रेखा $2x + 3y - k = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र $(\frac{3}{2}, 1)$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $2(\frac{3}{2}) + 3(1) - k = 0 \implies 3 + 3 - k = 0 \implies k = 6$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 9y^2 = 36$ हो जाता है,जिसे $\frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 36$ और $b^2 = 4$,इसलिए $a = 6$ और $b = 2$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(4)}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ है।
दिया गया है कि $\frac{m}{n} = \frac{4}{3}$,जहाँ $m = 4$ और $n = 3$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,$2m + n = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11$।

(C) कथन $I$:
हम जानते हैं कि त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं भी सम्मिश्र संख्याओं $w_1, w_2$ के लिए,$|w_1 + w_2| \leq |w_1| + |w_2|$.
मान लीजिए $w_1 = \frac{z_1}{|z_1|}$ और $w_2 = \frac{z_2}{|z_2|}$.
तब $|w_1| = |\frac{z_1}{|z_1|}| = 1$ और $|w_2| = |\frac{z_2}{|z_2|}| = 1$.
अतः,$|\frac{z_1}{|z_1|} + \frac{z_2}{|z_2|}| \leq |\frac{z_1}{|z_1|}| + |\frac{z_2}{|z_2|}| = 1 + 1 = 2$.
दोनों पक्षों को $(|z_1| + |z_2|)$ से गुणा करने पर,हमें $(|z_1| + |z_2|)|\frac{z_1}{|z_1|} + \frac{z_2}{|z_2|}| \leq 2(|z_1| + |z_2|)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,कथन $I$ सही है।
कथन $II$:
दिया गया है कि $\frac{a}{|y-z|} = \frac{b}{|z-x|} = \frac{c}{|x-y|} = k$ (जहाँ $k > 0$).
तब $a = k|y-z|$,$b = k|z-x|$,$c = k|x-y|$.
व्यंजक $S = \frac{a^2}{y-z} + \frac{b^2}{z-x} + \frac{c^2}{x-y}$ पर विचार करें।
चूँकि $|w|^2 = w \bar{w}$,हमारे पास $a^2 = k^2|y-z|^2 = k^2(y-z)(\bar{y}-\bar{z})$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$S = \frac{k^2(y-z)(\bar{y}-\bar{z})}{y-z} + \frac{k^2(z-x)(\bar{z}-\bar{x})}{z-x} + \frac{k^2(x-y)(\bar{x}-\bar{y})}{x-y}$.
$S = k^2(\bar{y}-\bar{z} + \bar{z}-\bar{x} + \bar{x}-\bar{y}) = k^2(0) = 0$.
चूँकि $0 \neq 1$,कथन $II$ गलत है।

(A) दिया गया है $4 \cos \theta - 3 \sin \theta = 1$.
अर्ध-कोण प्रतिस्थापन $t = \tan \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ और $\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2}$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $4 \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right) - 3 \left( \frac{2t}{1 + t^2} \right) = 1$.
$4 - 4t^2 - 6t = 1 + t^2 \implies 5t^2 + 6t - 3 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $t = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{10} = \frac{-3 + 2 \sqrt{6}}{5}$ (चूंकि $t > 0$)।
$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ की गणना करने पर,हमें $\frac{4}{3 \sqrt{6} - 2}$ प्राप्त होता है।

(D) $m$ के लिए: $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.
$k=1$ से $99$ तक योग करने पर: $\sqrt{100}-\sqrt{1} = 10-1 = 9$.
अतः,$m=9$.
$n$ के लिए: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
$k=1$ से $99$ तक योग करने पर: $1-\frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
अतः,$n=\frac{99}{100}$.
बिंदु $(m, n) = (9, \frac{99}{100})$ है।
विकल्प $D$ के लिए: $11(9) - 100(\frac{99}{100}) = 99 - 99 = 0$.
अतः,बिंदु $11x-100y=0$ रेखा पर स्थित है।

(B) दी गई व्यंजक $(1+2x-3x^3)(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3x})^9$ है।
$(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3x})^9$ के विस्तार का व्यापक पद $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3}{2}x^2)^{9-r} (-\frac{1}{3x})^r$ है।
$T_{r+1} = {}^9C_r \frac{3^{9-2r}}{2^{9-r}} (-1)^r x^{18-3r}$.
अचर पद प्राप्त करने के लिए,हमें $x^0$ और $x^{-3}$ के गुणांकों की आवश्यकता है।
$1$. $x^0$ के लिए: $18-3r = 0 \implies r=6$. गुणांक ${}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = \frac{7}{18}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{-3}$ के लिए: $18-3r = -3 \implies r=7$. गुणांक ${}^9C_7 (\frac{3}{2})^2 (-\frac{1}{3})^7 = -\frac{1}{27}$ प्राप्त होता है।
अचर पद $p = 1(\frac{7}{18}) - 3(-\frac{1}{27}) = \frac{7}{18} + \frac{1}{9} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$108p = 108 \cdot \frac{1}{2} = 54$।

(D) $4$ पासों के साथ $16$ का योग प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^4$ के विस्तार में $x^{16}$ का गुणांक है।
यह $[x(1-x^6)(1-x)^{-1}]^4 = x^4(1-x^6)^4(1-x)^{-4}$ में $x^{16}$ के गुणांक के बराबर है।
हमें $(1-x^6)^4(1-x)^{-4}$ में $x^{12}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1-x^6)^4 = 1 - 4x^6 + 6x^{12} - \dots$
$(1-x)^{-4} = 1 + \binom{4}{1}x + \binom{5}{2}x^2 + \dots + \binom{n+3}{3}x^n + \dots$
$x^{12}$ का गुणांक इस प्रकार है:
$1 \cdot \binom{15}{3} - 4 \cdot \binom{9}{3} + 6 \cdot \binom{3}{3}$
$= 455 - 4 \times 84 + 6$
$= 455 - 336 + 6 = 125$.

(A) दिया गया समीकरण: $|2a - 1| = 3[a] + 2\{a\}$.
चूंकि $a = [a] + \{a\}$,इसलिए $2\{a\} = 2a - 2[a]$.
समीकरण में मान रखने पर: $|2a - 1| = 3[a] + 2a - 2[a] = [a] + 2a$.
स्थिति $1$: $a \ge \frac{1}{2}$.
तब $2a - 1 = [a] + 2a$,जिसका अर्थ है $[a] = -1$.
चूंकि $[a] = -1$,इसलिए $a \in [-1, 0)$. लेकिन यह शर्त $a \ge \frac{1}{2}$ का विरोधाभास करती है। अतः,इस स्थिति में कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: $a < \frac{1}{2}$.
तब $-(2a - 1) = [a] + 2a$,जो $1 - 2a = [a] + 2a$ या $4a = 1 - [a]$ में बदल जाता है।
माना $a = I + f$,जहाँ $I = [a]$ और $f = \{a\} \in [0, 1)$.
तब $4(I + f) = 1 - I$,इसलिए $5I + 4f = 1$.
चूंकि $0 \le f < 1$,इसलिए $0 \le 4f < 4$.
अतः,$0 \le 1 - 5I < 4$,जिसका अर्थ है $-3 < 5I \le 1$,इसलिए $I \in \{0, -1\}$.
यदि $I = 0$,तो $4f = 1 \implies f = \frac{1}{4}$. अतः $a = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
यदि $I = -1$,तो $5(-1) + 4f = 1 \implies 4f = 6 \implies f = 1.5$,जो संभव नहीं है क्योंकि $f < 1$.
अतः,एकमात्र हल $a = \frac{1}{4}$ है।
अंत में,$72 \sum_{a \in S} a = 72 \times \frac{1}{4} = 18$.

(C) माना $d$ सार्व अंतर है और $a$ प्रथम पद है।
$A_k = -kd(2a + (2k-1)d)$.
$A_3 = -3d(2a + 5d) = -153 \Rightarrow d(2a + 5d) = 51$ $(1)$.
$A_5 = -5d(2a + 9d) = -435 \Rightarrow d(2a + 9d) = 87$ $(2)$.
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $4d^2 = 36 \Rightarrow d = 3$.
$d=3$ रखने पर,$3(2a + 15) = 51 \Rightarrow a = 1$.
$a_{17} = 1 + 16(3) = 49$.
$A_7 = -7(3)(2(1) + 13(3)) = -21(41) = -861$.
$a_{17} - A_7 = 49 - (-861) = 910$.

(A) हम समीकरण $|x||x+2|-5|x+1|-1=0$ को $x$ के विभिन्न अंतरालों के लिए हल करते हैं:
स्थिति $1$: $x \geq 0$
समीकरण $x(x+2)-5(x+1)-1=0 \implies x^2-3x-6=0$ हो जाता है।
हल $x = \frac{3+\sqrt{33}}{2}$ प्राप्त होता है। (एक मूल)
स्थिति $2$: $-1 \leq x < 0$
समीकरण $-x^2-7x-6=0 \implies x^2+7x+6=0$ हो जाता है।
$x=-1$ अंतराल में है। (एक मूल)
स्थिति $3$: $-2 \leq x < -1$
समीकरण $x^2-3x-4=0$ हो जाता है,जिसका कोई मूल इस अंतराल में नहीं है।
स्थिति $4$: $x < -2$
समीकरण $x^2+7x+4=0$ हो जाता है।
$x = \frac{-7-\sqrt{33}}{2}$ अंतराल में है। (एक मूल)
कुल भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $3$ है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$4a = 12$,इसलिए $a = 3$ है। नाभि $S$ बिंदु $(3, 0)$ है।
मान लीजिए नाभीय जीवा $AB$,$x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। नाभीय जीवा की लंबाई $l = 4a \operatorname{cosec}^2 \theta = 12 \operatorname{cosec}^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
जीवा की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $d$,बिंदु $(3, 0)$ से गुजरने वाली और $m = \tan \theta$ ढाल वाली रेखा की लंबवत दूरी है। रेखा का समीकरण $y - 0 = \tan \theta (x - 3)$ है,जो $x \sin \theta - y \cos \theta - 3 \sin \theta = 0$ है।
दूरी $d = \frac{|0 \cdot \sin \theta - 0 \cdot \cos \theta - 3 \sin \theta|}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |3 \sin \theta| = 3 \sin \theta$ है।
अतः,$d^2 = 9 \sin^2 \theta$,जिसका अर्थ है $\sin^2 \theta = \frac{d^2}{9}$।
इस मान को $l$ के व्यंजक में रखने पर: $l = 12 \cdot \frac{1}{\sin^2 \theta} = 12 \cdot \frac{9}{d^2} = \frac{108}{d^2}$।
इसलिए,$l \cdot d^2 = 108$।

(D) $S_1$ मूल बिंदु पर केंद्रित $r=5$ त्रिज्या वाले वृत्त के आंतरिक भाग और सीमा को दर्शाता है: $x^2 + y^2 \leq 25$.
$S_2$ को $\operatorname{Im}\left(\frac{z}{1-\sqrt{3}i} + 1\right) \geq 0$ द्वारा परिभाषित किया गया है। चूंकि $\operatorname{Im}(1) = 0$, यह $\operatorname{Im}\left(\frac{x+iy}{1-\sqrt{3}i}\right) \geq 0$ है।
संयुग्मी से गुणा करने पर: $\operatorname{Im}\left(\frac{(x+iy)(1+\sqrt{3}i)}{4}\right) \geq 0 \implies \sqrt{3}x + y \geq 0$, जो रेखा $y = -\sqrt{3}x$ के ऊपर का क्षेत्र है।
$S_3$ वह क्षेत्र है जहाँ $x \geq 0$ (दायां अर्ध-तल) है।
प्रतिच्छेदन $S_1 \cap S_2 \cap S_3$ वृत्त का एक त्रिज्यखंड है। रेखा $y = -\sqrt{3}x$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $-60^\circ$ (या $300^\circ$) का कोण बनाती है। क्षेत्र $S_2 \cap S_3$ $-60^\circ$ से $90^\circ$ तक के कोणीय विस्तार को कवर करता है, जो $150^\circ$ या $\frac{5\pi}{6}$ रेडियन है।
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{2\pi} \times \pi r^2 = \frac{5\pi/6}{2\pi} \times \pi(5)^2 = \frac{5}{12} \times 25\pi = \frac{125\pi}{12}$.

(C) शब्द $BHBJO$ है। अक्षर $B, B, H, J, O$ हैं। कुल अक्षर = $5$। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ है।
$50$ वां शब्द खोजने के लिए,हम उन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करते हैं: $B, B, H, J, O$।
$1$. $B$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{1!} = 24$ शब्द।
$2$. $H$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{2!} = 12$ शब्द। (कुल = $24 + 12 = 36$)
$3$. $J$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{2!} = 12$ शब्द। (कुल = $36 + 12 = 48$)
$4$. $O$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $OBBHJ$ ($49$ वां)
- $OBBJH$ ($50$ वां)
अतः,$50$ वां शब्द $OBBJH$ है।

(A) शीर्षों $P(x,y)$,$A(-1,1)$ और $B(2,3)$ वाले $\triangle PAB$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{2} |x(1-3) + (-1)(3-y) + 2(y-1)| = 10$
$\frac{1}{2} |-2x - 3 + y + 2y - 2| = 10$
$|-2x + 3y - 5| = 20$
चूंकि $P$ रेखा $AB$ के ऊपर है,हम $-2x + 3y - 5 = 20$ लेते हैं,जो $-2x + 3y = 25$ देता है।
हमें बिंदुपथ $ax + by = 15$ के रूप में चाहिए। समीकरण $-2x + 3y = 25$ को $\frac{25}{15} = \frac{5}{3}$ से विभाजित करने पर:
$-\frac{2x}{5/3} + \frac{3y}{5/3} = 15$
$-\frac{6}{5}x + \frac{9}{5}y = 15$
इसकी तुलना $ax + by = 15$ से करने पर,हमें $a = -\frac{6}{5}$ और $b = \frac{9}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,$5a + 2b = 5(-\frac{6}{5}) + 2(\frac{9}{5}) = -6 + \frac{18}{5} = \frac{-30+18}{5} = -\frac{12}{5}$।

(C) $\left(\frac{3^{1/5}}{x} + \frac{2x}{5^{1/3}}\right)^{12}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{12}C_r \left(\frac{3^{1/5}}{x}\right)^{12-r} \left(\frac{2x}{5^{1/3}}\right)^r$
$T_{r+1} = {}^{12}C_r \cdot 3^{\frac{12-r}{5}} \cdot 2^r \cdot 5^{-r/3} \cdot x^{2r-12}$
अचर पद के लिए,$x$ की घात $0$ होनी चाहिए,अतः $2r - 12 = 0$,जिससे $r = 6$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ रखने पर:
$T_7 = {}^{12}C_6 \cdot 3^{6/5} \cdot 2^6 \cdot 5^{-2} = \frac{693 \cdot 2^8}{25} \cdot 3^{1/5}$
चूंकि अचर पद $\alpha \times 2^8 \times 3^{1/5}$ दिया गया है,इसलिए $\alpha = \frac{693}{25}$ है।
अतः,$25 \alpha = 693$।

(A) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ है। $C_1$ का केंद्र $(1,1)$ है।
$(-1,0)$ केंद्र और $r=2$ त्रिज्या वाले वृत्त $C_2$ का समीकरण $(x+1)^2+(y-0)^2=2^2$ है,जो $x^2+y^2+2x-3=0$ में सरल हो जाता है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2-2x-2y+1) - (x^2+y^2+2x-3) = 0$
$-4x-2y+4=0$
$2x+y=2$.
यह रेखा $y$-अक्ष को वहां काटती है जहां $x=0$ है। $2x+y=2$ में $x=0$ रखने पर $y=2$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $P(0,2)$ है।
$P(0,2)$ की $C_1(1,1)$ के केंद्र से दूरी $d = \sqrt{(1-0)^2+(1-2)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
दूरी का वर्ग $d^2 = 2$ है।

(A) समुच्चय $S = \{2^1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^9\}$ में $9$ अवयव हैं।
हमें इन $9$ अवयवों को $3$ समुच्चयों $A, B, C$ में विभाजित करना है,जिनमें से प्रत्येक में $3$ अवयव हों।
$9$ अलग-अलग वस्तुओं को $3$ के $3$ समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या मल्टीनोमियल गुणांक द्वारा दी जाती है:
$\frac{9!}{3! 3! 3! 3!}$
चूंकि समुच्चय $A, B, C$ अलग-अलग (नामित) हैं,इसलिए हम समूहों को $A, B, C$ में असाइन करने के लिए $3!$ से गुणा करते हैं:
$\text{तरीकों की संख्या} = \frac{9!}{3! 3! 3! 3!} \times 3! = \frac{9!}{3! 3! 3!} = \frac{362880}{216} = 1680$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac > 0$,जिसका अर्थ है $b^2 > 4ac$.
$(a, b, c)$ के लिए कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
हम उन अनुकूल मामलों की गणना करते हैं जहाँ $b^2 > 4ac$ है:
- यदि $b=1$: $1 > 4ac$ (कोई हल नहीं)
- यदि $b=2$: $4 > 4ac \implies ac < 1$ (कोई हल नहीं)
- यदि $b=3$: $9 > 4ac \implies ac < 2.25$. संभावित $(a, c)$ जोड़े: $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$. ($3$ मामले)
- यदि $b=4$: $16 > 4ac \implies ac < 4$. संभावित $(a, c)$ जोड़े: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)$. ($5$ मामले)
- यदि $b=5$: $25 > 4ac \implies ac < 6.25$. संभावित $(a, c)$ जोड़े: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (5, 1), (6, 1)$. ($14$ मामले)
- यदि $b=6$: $36 > 4ac \implies ac < 9$. संभावित $(a, c)$ जोड़े: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (6, 1)$. ($16$ मामले)
कुल अनुकूल मामले $= 3 + 5 + 14 + 16 = 38$.
अतः,$p = \frac{38}{216}$.
इसलिए,$216p = 38$.

(B) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ के शीर्ष $A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(4,4)$,और $D(0,4)$ हैं।
विकर्ण $AC$ रेखा $y=x$ पर स्थित है।
चूंकि $AEFG$ भुजा $2$ वाला एक वर्ग है,इसलिए $F$ के निर्देशांक $(2,2)$ हैं।
वृत्त रेखाओं $BC$ $(x=4)$ और $CD$ $(y=4)$ को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $O(4-r, 4-r)$ है।
वृत्त $F(2,2)$ से गुजरता है,इसलिए $OF=r$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(4-r-2)^2 + (4-r-2)^2 = r^2$.
$(2-r)^2 + (2-r)^2 = r^2$.
$2(4 - 4r + r^2) = r^2$.
$r^2 - 8r + 8 = 0$.

(A) माना तीन पद $a = 4^{1+x} + 4^{1-x}$,$b = \frac{K}{2}$,और $c = 16^x + 16^{-x}$ हैं।
चूंकि वे $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ होगा।
मान रखने पर,$2(\frac{K}{2}) = 4(4^x + 4^{-x}) + (4^{2x} + 4^{-2x})$।
माना $y = 4^x + 4^{-x}$। चूंकि $x \geq 0$,$AM-GM$ असमिका के अनुसार $y \geq 2$ होगा।
तब $4^{2x} + 4^{-2x} = (4^x + 4^{-x})^2 - 2 = y^2 - 2$।
अतः,$K = 4y + y^2 - 2 = y^2 + 4y - 2$।
$y \geq 2$ के लिए $K$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने हेतु,$f(y) = y^2 + 4y - 2$ का मान $y = 2$ पर निकालते हैं।
$f(2) = 2^2 + 4(2) - 2 = 4 + 8 - 2 = 10$।
अतः,$K$ का न्यूनतम मान $10$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^2 x + (2 + 2x - x^2) \sin x - 3(x - 1)^2 = 0$
मध्य पद को फिर से लिखने पर: $2 + 2x - x^2 = 3 - (x^2 - 2x + 1) = 3 - (x - 1)^2$
मान लीजिए $u = \sin x$ और $v = (x - 1)^2$ है। समीकरण $u^2 + (3 - v)u - 3v = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $u^2 + 3u - vu - 3v = 0 \implies u(u + 3) - v(u + 3) = 0 \implies (u - v)(u + 3) = 0$.
इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं: $\sin x = -3$ (जो असंभव है क्योंकि $-1 \leq \sin x \leq 1$) या $\sin x = (x - 1)^2$.
हमें $[-\pi, \pi]$ अंतराल में $\sin x = (x - 1)^2$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
ग्राफ के अनुसार,वक्र $y = \sin x$ और $y = (x - 1)^2$ दिए गए अंतराल में $2$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(A) माना श्रेणी $S = 1 + \frac{x}{2 \sqrt{3}} + \frac{x^2}{18} + \frac{x^3}{36 \sqrt{3}} + \frac{x^4}{180} + \ldots \infty$ है,जहाँ $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ है।
$t = \frac{x}{\sqrt{3}} = 1 - \sqrt{\frac{2}{3}}$ रखने पर।
श्रेणी $S = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n(n+1)}$ हो जाती है।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।
$S = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) t^n = 2 + \left(\frac{1}{t} - 1\right) \log_e(1-t)$।
चूँकि $1-t = \sqrt{\frac{2}{3}}$,इसलिए $S = 2 + \left(\sqrt{\frac{3}{2}} + 1\right) \log_e\left(\frac{2}{3}\right)$।
तुलना करने पर,$a=2, b=3$ प्राप्त होता है।
$11a + 18b = 11(2) + 18(3) = 76$।

(B) समीकरण $2x^2 + x - 2 = 0$ के मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$ हैं। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$ है।
अतः,$\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{17} + 1}{4}$ है।
सीमा (limit) का मान ज्ञात करने पर,हमें $L = 153 + 17\sqrt{17}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\alpha = 153$ और $\beta = 17$ है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 153 + 17 = 170$।

(D) मान लीजिए $f(x) = (\sqrt{8x-x^2-12}-4)^2 + (x-7)^2$ है।
मान लीजिए $y = \sqrt{8x-x^2-12}$ है। तब $y^2 = 8x-x^2-12$,जिसका अर्थ है $y^2 = -(x^2-8x+16)+4$,अर्थात $(x-4)^2 + y^2 = 2^2$ है।
यह $(4,0)$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाला एक अर्धवृत्त दर्शाता है,जहाँ $y \ge 0$ है।
व्यंजक $f = (y-4)^2 + (x-7)^2$ बन जाता है।
यह अर्धवृत्त पर स्थित बिंदु $(x, y)$ और बिंदु $P(7, 4)$ के बीच की दूरी का वर्ग दर्शाता है।
केंद्र $C(4,0)$ और $P(7,4)$ के बीच की दूरी $CP = \sqrt{(7-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ है।
$P$ से अर्धवृत्त की न्यूनतम दूरी $CP - r = 5 - 2 = 3$ है,इसलिए $m = 3^2 = 9$ है।
$P$ से अर्धवृत्त की अधिकतम दूरी $CP + r = 5 + 2 = 7$ है,इसलिए $M = 7^2 = 49$ है।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार $M=41$ और $m=9$ लेने पर,$M^2-m^2 = 41^2-9^2 = 1681-81 = 1600$ प्राप्त होता है।
अतः सही विकल्प $D$ है।

(A) दी गई रेखा $2x - y = 10$ है,जिसे $y = 2x - 10$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m = 2$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m' = -\frac{1}{2}$ होगी।
परवलय $y^2 = 4a(x - h)$ के लिए,$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा बिंदु $(h + \frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ पर स्पर्श करती है।
यहाँ,$4a = 4 \implies a = 1$,$h = 9$,और $m = -\frac{1}{2}$ है।
स्पर्श बिंदु $P$ का मान $(9 + \frac{1}{(-1/2)^2}, \frac{2(1)}{-1/2}) = (9 + 4, -4) = (13, -4)$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 14x - 8y + 56 = 0$ है। इसका केंद्र $C$ $(-\frac{-14}{2}, -\frac{-8}{2}) = (7, 4)$ है।
दूरी $CP = \sqrt{(13 - 7)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।

(D) हम $x = -5$ और $x = -7$ बिंदुओं को ध्यान में रखते हुए तीन मामलों द्वारा समीकरण $x|x+5|+2|x+7|-2=0$ का विश्लेषण करते हैं।
स्थिति $I$: $x \geq -5$
समीकरण $x(x+5) + 2(x+7) - 2 = 0$ हो जाता है।
$x^2 + 7x + 12 = 0$
$(x+3)(x+4) = 0$
$x = -3$ या $x = -4$। दोनों $x \geq -5$ को संतुष्ट करते हैं।
स्थिति $II$: $-7 < x < -5$
समीकरण $x(-(x+5)) + 2(x+7) - 2 = 0$ हो जाता है।
$x^2 + 3x - 12 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{2}$।
यहाँ $x = \frac{-3 - \sqrt{57}}{2} \approx -5.275$ अंतराल $(-7, -5)$ में है।
स्थिति $III$: $x \leq -7$
समीकरण $-x^2 - 7x - 16 = 0$ हो जाता है।
विविक्तकर $D = 49 - 64 = -15 < 0$,इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
कुल वास्तविक हलों की संख्या $3$ है।

(C) दिया है: $n = 20$,$\bar{x} = 10$,$S.D. = 2$.
$\Sigma x_i = n \times \bar{x} = 20 \times 10 = 200$.
संशोधित योग $\Sigma x_i = 200 - 8 + 12 = 204$.
संशोधित माध्य $\bar{x}' = \frac{204}{20} = 10.2$.
प्रसरण $= (S.D.)^2 = 2^2 = 4$.
चूंकि प्रसरण $= \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$,इसलिए $4 = \frac{\Sigma x_i^2}{20} - 10^2$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{20} = 104 \Rightarrow \Sigma x_i^2 = 2080$.
संशोधित $\Sigma x_i^2 = 2080 - 8^2 + 12^2 = 2080 - 64 + 144 = 2160$.
संशोधित प्रसरण $= \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{2160}{20} - (10.2)^2$.
$= 108 - 104.04 = 3.96$.
सही मानक विचलन $= \sqrt{3.96}$.

(A) समुच्चय $[100, 700]$ में पूर्णांकों की कुल संख्या $700 - 100 + 1 = 601$ है।
माना $S_3$,$[100, 700]$ में $3$ के गुणजों का समुच्चय है। गुणज $102, 105, \dots, 699$ हैं। $T_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$699 = 102 + (n-1)3$,जिससे $n = 200$ प्राप्त होता है।
माना $S_4$,$[100, 700]$ में $4$ के गुणजों का समुच्चय है। गुणज $100, 104, \dots, 700$ हैं। $700 = 100 + (n-1)4$,जिससे $n = 151$ प्राप्त होता है।
माना $S_{12}$,$[100, 700]$ में $3$ और $4$ दोनों के गुणजों (अर्थात $12$ के गुणज) का समुच्चय है। गुणज $108, 120, \dots, 696$ हैं। $696 = 108 + (n-1)12$,जिससे $n = 50$ प्राप्त होता है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) द्वारा,$3$ या $4$ के गुणज होने वाले अवयवों की संख्या $n(S_3 \cup S_4) = n(S_3) + n(S_4) - n(S_{12}) = 200 + 151 - 50 = 301$ है।
$A$ में अवयवों की संख्या कुल अवयवों में से $3$ या $4$ के गुणजों को घटाने पर प्राप्त होती है: $601 - 301 = 300$.

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $(0, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है और परवलय $y=6-x^2$ को उसके शीर्ष $(0, 6)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(0, 6-r)$ पर होना चाहिए।
वृत्त का समीकरण $x^2 + (y-(6-r))^2 = r^2$ है।
वृत्त रेखाओं $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ को भी स्पर्श करता है,जिन्हें $\sqrt{3}x - y = 0$ और $\sqrt{3}x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
केंद्र $(0, 6-r)$ से रेखा $\sqrt{3}x - y = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|\sqrt{3}(0) - (6-r)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = r$
$\frac{|r-6|}{2} = r$
$|r-6| = 2r$
यहाँ $r < 6$ है,इसलिए $6-r = 2r$,जिससे $3r = 6$ प्राप्त होता है,अर्थात $r = 2$।
वृत्त का समीकरण $x^2 + (y-4)^2 = 4$ है।
दिए गए बिंदुओं की जाँच करने पर:
$(2, 4)$ के लिए,$2^2 + (4-4)^2 = 4 + 0 = 4$। अतः,$(2, 4)$ बिंदु वृत्त पर स्थित है।

(C) न्यूटन के सूत्र के अनुसार,समीकरण $x^2 - (t^2 - 5t + 6)x + 1 = 0$ के लिए:
$a_{n+2} - (t^2 - 5t + 6)a_{n+1} + a_n = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a_{n+2} + a_n = (t^2 - 5t + 6)a_{n+1}$
$n = 2023$ रखने पर:
$a_{2025} + a_{2023} = (t^2 - 5t + 6)a_{2024}$
अतः,अनुपात:
$\frac{a_{2025} + a_{2023}}{a_{2024}} = t^2 - 5t + 6$
द्विघात व्यंजक $f(t) = t^2 - 5t + 6$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए:
$f(t) = (t - 5/2)^2 - 1/4$
अतः,न्यूनतम मान $-1/4$ है।

(A) बिंदु $(4, -9)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y + 9 = m(x - 4)$ है।
$x$-अंतःखंड $A$ ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $9 = m(x - 4) \Rightarrow x = 4 + \frac{9}{m}$. अतः,$A = (4 + \frac{9}{m}, 0)$.
$y$-अंतःखंड $B$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $y + 9 = m(-4) \Rightarrow y = -9 - 4m$. अतः,$B = (0, -(9 + 4m))$.
मूल बिंदु से दूरियों का योग $S = OA + OB = 4 + \frac{9}{m} + 9 + 4m = 13 + 4m + \frac{9}{m}$ है।
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर: $\frac{4m + \frac{9}{m}}{2} \geq \sqrt{36} = 6$.
इसलिए,$4m + \frac{9}{m} \geq 12$.
अतः,$S \geq 13 + 12 = 25$.

(B) भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $a = 12$,इसलिए $r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.
माना वृत्त में अंतर्निहित वर्ग की भुजा $A$ है। वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है,इसलिए $\sqrt{2}A = 2r$.
$\sqrt{2}A = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$.
$A = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$.
क्षेत्रफल $m = A^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$.
परिमाप $n = 4A = 4(2\sqrt{6}) = 8\sqrt{6}$.
हमें $m + n^2$ का मान ज्ञात करना है।
$m + n^2 = 24 + (8\sqrt{6})^2 = 24 + 64 \times 6 = 24 + 384 = 408$.

(C) एक अष्टभुज के $8$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनने के कुल तरीके $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
माना $S$ सभी त्रिभुजों का समुच्चय है। माना $A$ उन त्रिभुजों का समुच्चय है जिनकी कम से कम एक भुजा अष्टभुज के साथ उभयनिष्ठ है।
अष्टभुज के साथ ठीक एक भुजा उभयनिष्ठ रखने वाले त्रिभुजों की संख्या $n(n-3) = 8 \times (8-3) = 8 \times 5 = 40$ है।
अष्टभुज के साथ ठीक दो भुजाएँ उभयनिष्ठ रखने वाले त्रिभुजों की संख्या $n = 8$ है।
अष्टभुज के साथ कम से कम एक भुजा उभयनिष्ठ रखने वाले त्रिभुजों की संख्या $40 + 8 = 48$ है।
अष्टभुज के साथ कोई भी भुजा उभयनिष्ठ न रखने वाले त्रिभुजों की संख्या $56 - 48 = 16$ है।

(B) दिया गया है कि $P(x, y)$ शांकव $C$ पर एक बिंदु है जहाँ $x \geq 3$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{y - (-5)}{x - 3} \right) = \frac{y+5}{2(x-3)}$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y+5} = \frac{dx}{2(x-3)}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln(y+5) = \frac{1}{2} \ln(x-3) + C_1$,जिसका अर्थ है $2 \ln(y+5) = \ln(x-3) + C$.
चूंकि शांकव $(4,-2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2 \ln(-2+5) = \ln(4-3) + C \Rightarrow 2 \ln(3) = 0 + C \Rightarrow C = 2 \ln(3)$.
$C$ का मान रखने पर,$2 \ln(y+5) = \ln(x-3) + 2 \ln(3) = \ln(9(x-3))$ प्राप्त होता है।
अतः,$(y+5)^2 = 9(x-3)$,जो एक परवलय है जिसका शीर्ष $(3, -5)$ है और $4a = 9$,इसलिए $a = \frac{9}{4}$ है।
परवलय पर स्थित बिंदु $(x, y)$ के लिए नाभीय दूरी $d = x+a = x + \frac{9}{4}$ होती है।
प्रश्न में दिए गए बिंदु $(4, -2)$ के लिए,$d = 4 + 2.25 = 6.25 = \frac{25}{4}$ है।
अतः $12d = 12 \times \frac{25}{4} = 3 \times 25 = 75$।

(D) माना $P(x) = 4x^4 + 8x^3 - 17x^2 - 12x + 9 = 4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$.
हमें गुणनफल $S = (4+x_1^2)(4+x_2^2)(4+x_3^2)(4+x_4^2)$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $4+x_k^2 = (2i+x_k)(-2i+x_k) = (x_k - 2i)(x_k + 2i)$.
अतः,$S = \prod_{k=1}^4 (x_k - 2i) \prod_{k=1}^4 (x_k + 2i) = \prod_{k=1}^4 (2i - x_k) \prod_{k=1}^4 (-2i - x_k)$.
$P(x) = 4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ से,$\prod_{k=1}^4 (x-x_k) = \frac{P(x)}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\prod_{k=1}^4 (2i - x_k) = \frac{P(2i)}{4}$ और $\prod_{k=1}^4 (-2i - x_k) = \frac{P(-2i)}{4}$.
$P(2i) = 141 - 88i$ और $P(-2i) = 141 + 88i$.
$S = \frac{P(2i) P(-2i)}{16} = \frac{141^2 + 88^2}{16} = \frac{27625}{16}$.
दिया गया है कि $S = \frac{125}{16}m$,इसलिए $\frac{27625}{16} = \frac{125}{16}m$.
$m = 221$.

(A) परवलय का समीकरण $9x^2+12x+18y-14=0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(3x+2)^2 = -18(y-1)$ प्राप्त होता है।
$P(0,1)$ से गुजरने वाली रेखाएँ $y = mx+1$ हैं।
परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(3x+2)^2 = -18mx \implies 9x^2+(12+18m)x+4 = 0$.
स्पर्श रेखा होने के कारण,विविक्तकर $D = 0$.
$(12+18m)^2 - 144 = 0 \implies 12+18m = \pm 12$.
$m_1 = 0$ और $m_2 = -4/3$.
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = 4/3$.
$\triangle PQR$ समद्विबाहु होने के लिए,$QR$ की ढाल $m = -\cot(\theta/2)$ होगी।
$\tan(\theta/2)$ के लिए द्विघात समीकरण हल करने पर $\tan(\theta/2) = 1/2$ या $-2$ प्राप्त होता है।
अतः $m_1 = -2$ और $m_2 = 1/2$.
$16(m_1^2+m_2^2) = 16(4 + 1/4) = 68$.

(B) $(x+y)^n$ के विस्तार में पद $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} y^r$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया है:
$T_2 = {}^nC_1 x^{n-1} y = 135$ ...........$(i)$
$T_3 = {}^nC_2 x^{n-2} y^2 = 30$ ............$(ii)$
$T_4 = {}^nC_3 x^{n-3} y^3 = \frac{10}{3}$ ............$(iii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{{}^nC_1 x^{n-1} y}{{}^nC_2 x^{n-2} y^2} = \frac{135}{30} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{9(n-1)}{4}$ ............$(iv)$
$(ii)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{{}^nC_2 x^{n-2} y^2}{{}^nC_3 x^{n-3} y^3} = \frac{30}{10/3} \Rightarrow \frac{x}{y} = 3(n-2)$ ............$(v)$
$(iv)$ और $(v)$ की तुलना करने पर:
$n = 5$.
$(v)$ में $n=5$ रखने पर:
$\frac{x}{y} = 9 \Rightarrow x = 9y$.
$(i)$ में $n=5$ और $x=9y$ रखने पर:
$y = \frac{1}{3}$ और $x = 3$.
$6(n^3+x^2+y)$ की गणना:
$6(5^3 + 3^2 + \frac{1}{3}) = 806$.

(C) दिया गया है $T_1=6$ और $T_r=3T_{r-1}+6^r$,$r \ge 2$ के लिए।
$3^r$ से भाग देने पर,$\frac{T_r}{3^r} = \frac{T_{r-1}}{3^{r-1}} + 2^r$ प्राप्त होता है।
माना $a_r = \frac{T_r}{3^r}$ है। तब $a_r = a_{r-1} + 2^r$ जहाँ $a_1 = \frac{T_1}{3} = 2$ है।
$r=2$ से $n$ तक योग करने पर,$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n 2^k = 2 + (2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n) = 2 + \frac{4(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n+1}-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_n = 3^n(2^{n+1}-2) = 2 \cdot 6^n - 2 \cdot 3^n$ है।
योग $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = 2 \sum_{r=1}^n 6^r - 2 \sum_{r=1}^n 3^r$ है।
$S_n = 2 \left[ \frac{6(6^n-1)}{5} \right] - 2 \left[ \frac{3(3^n-1)}{2} \right] = \frac{12}{5}(6^n-1) - 3(3^n-1) = \frac{3}{5}(4 \cdot 6^n - 5 \cdot 3^n + 1)$ है।
दिए गए योग के साथ तुलना करने पर,$n^2-12n+39 = 3$ प्राप्त होता है।
$n^2-12n+36 = 0 \implies (n-6)^2 = 0 \implies n=6$।

(A) पहले त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a$ है। दूसरे त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a/2$,तीसरे की $a/4$ है,और इसी प्रकार आगे भी।
परिमापों का योग $P = 3a + 3(a/2) + 3(a/4) + \dots = 3a(1 + 1/2 + 1/4 + \dots) = 3a \times \frac{1}{1 - 1/2} = 3a \times 2 = 6a$.
अतः,$a = P/6$.
क्षेत्रफलों का योग $Q = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}(a/2)^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}(a/4)^2 + \dots = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2(1 + 1/4 + 1/16 + \dots) = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{3}a^2}{3} = \frac{a^2}{\sqrt{3}}$.
$Q$ के व्यंजक में $a = P/6$ रखने पर:
$Q = \frac{(P/6)^2}{\sqrt{3}} = \frac{P^2}{36\sqrt{3}}$.
इसलिए,$P^2 = 36\sqrt{3}Q$.

(A) $3$ पत्रों को $5$ अलग-अलग पतों पर पोस्ट करने के कुल तरीके $5^3 = 125$ हैं।
पत्रों को ठीक $2$ पतों पर पोस्ट करने के लिए,हम $5$ में से $2$ पतों का चयन करते हैं,जो $^5C_2 = 10$ तरीकों से किया जा सकता है।
प्रत्येक $2$ पतों के चयन के लिए,प्रत्येक $3$ पत्र को $2$ पतों में से किसी एक पर पोस्ट किया जा सकता है,जिससे $2^3 = 8$ तरीके मिलते हैं। हालाँकि,इसमें वे स्थितियाँ शामिल हैं जहाँ तीनों पत्र केवल $1$ पते पर पोस्ट किए गए हों,इसलिए हम उन $2$ स्थितियों को घटा देते हैं।
अतः,अनुकूल तरीकों की संख्या $^5C_2 \times (2^3 - 2) = 10 \times 6 = 60$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{60}{125} = \frac{12}{25}$ है।

(C) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$P(x, y)$ की $(2, 1)$ और $(1, 3)$ से दूरियों का अनुपात $5:4$ है।
अतः,$\frac{\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2}}{\sqrt{(x-1)^2 + (y-3)^2}} = \frac{5}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(x-2)^2 + (y-1)^2}{(x-1)^2 + (y-3)^2} = \frac{25}{16}$.
$16(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1) = 25(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9)$.
$16x^2 - 64x + 80 + 16y^2 - 32y + 16 = 25x^2 - 50x + 25 + 25y^2 - 150y + 225$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$9x^2 + 9y^2 + 14x - 118y + 170 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + 170 = 0$ से तुलना करने पर,$a=9, b=9, c=0, d=14, e=-118$ प्राप्त होता है।
अब,$a^2 + 2b + 3c + 4d + e = (9)^2 + 2(9) + 3(0) + 4(14) - 118$.
$= 81 + 18 + 0 + 56 - 118 = 155 - 118 = 37$.

(B) माना अंश $N = \sum_{r=1}^{n-1} (r^2-r)(n-r) = \sum_{r=1}^{n-1} (-r^3 + r^2(n+1) - nr)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$N = -\left[\frac{(n-1)n}{2}\right]^2 + (n+1)\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - n\frac{(n-1)n}{2}$.
माना हर $D = \sum_{r=1}^n r^3 - \sum_{r=1}^n r^2 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
जब $n \rightarrow \infty$,तब $N$ का मुख्य पद $-\frac{n^4}{4} + \frac{2n^4}{6} = \frac{n^4}{12}$ है।
$D$ का मुख्य पद $\frac{n^4}{4}$ है।
अतः,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{N}{D} = \frac{n^4/12}{n^4/4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

(C) दिया गया अनुपात ${ }^{n+1} C_{r+1} : { }^{n} C_{r} : { }^{n-1} C_{r-1} = 55 : 35 : 21$ है।
सबसे पहले,अनुपात $\frac{{ }^{n+1} C_{r+1}}{{ }^{n} C_{r}} = \frac{55}{35} = \frac{11}{7}$ लें।
सूत्र ${ }^{n} C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!} \times \frac{r!(n-r)!}{n!} = \frac{n+1}{r+1} = \frac{11}{7}$.
$7n + 7 = 11r + 11 \implies 7n - 11r = 4$ $(1)$.
अब,अनुपात $\frac{{ }^{n} C_{r}}{{ }^{n-1} C_{r-1}} = \frac{35}{21} = \frac{5}{3}$ लें।
$\frac{n!}{r!(n-r)!} \times \frac{(r-1)!(n-r)!}{(n-1)!} = \frac{n}{r} = \frac{5}{3}$.
$3n = 5r \implies n = \frac{5r}{3}$ $(2)$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$7(\frac{5r}{3}) - 11r = 4$.
$\frac{35r - 33r}{3} = 4 \implies 2r = 12 \implies r = 6$.
अतः $n = \frac{5(6)}{3} = 10$.
अंत में,$2n + 5r = 2(10) + 5(6) = 20 + 30 = 50$।

(A) मान लीजिए $P$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु $(1+\lambda, 2-\lambda, 3+\lambda)$ है और $Q$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु $(4+\mu, 5+\mu, 6-\mu)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (4+\mu-(1+\lambda))\hat{i} + (5+\mu-(2-\lambda))\hat{j} + (6-\mu-(3+\lambda))\hat{k} = (3+\mu-\lambda)\hat{i} + (3+\mu+\lambda)\hat{j} + (3-\mu-\lambda)\hat{k}$.
$L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश क्रमशः $\vec{v_1} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{v_2} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चूंकि $PQ$ न्यूनतम दूरी वाली रेखा है,यह $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है। अतः,$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = 0$ और $\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = (3+\mu-\lambda) - (3+\mu+\lambda) + (3-\mu-\lambda) = 3 - 3\lambda - \mu = 0 \implies 3\lambda + \mu = 3$.
$\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = (3+\mu-\lambda) + (3+\mu+\lambda) - (3-\mu-\lambda) = 3 + 3\mu + \lambda = 0 \implies \lambda + 3\mu = -3$.
इन समीकरणों को हल करने पर: $3(3\lambda + \mu) - (\lambda + 3\mu) = 3(3) - (-3) \implies 8\lambda = 12 \implies \lambda = \frac{3}{2}$.
$\lambda = \frac{3}{2}$ को $3\lambda + \mu = 3$ में रखने पर,हमें $\frac{9}{2} + \mu = 3 \implies \mu = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$P$ के निर्देशांक = $(1+\frac{3}{2}, 2-\frac{3}{2}, 3+\frac{3}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, \frac{9}{2})$.
$Q$ के निर्देशांक = $(4-\frac{3}{2}, 5-\frac{3}{2}, 6+\frac{3}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{15}{2})$.
मध्यबिंदु $(\alpha, \beta, \gamma) = (\frac{5/2+5/2}{2}, \frac{1/2+7/2}{2}, \frac{9/2+15/2}{2}) = (\frac{5}{2}, 2, 6)$.
अतः,$2(\alpha+\beta+\gamma) = 2(\frac{5}{2} + 2 + 6) = 5 + 4 + 12 = 21$.

(B) समुच्चय $A = \{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ है।
$R_1 = \{(a, b) : b, a \text{ से विभाज्य है}\}$। $R_1$ में अवयवों की संख्या प्रत्येक $a \in A$ के लिए $20$ तक के गुणजों की संख्या का योग है।
$a=1$ के लिए,$20$ गुणज हैं। $a=2$ के लिए,$10$ गुणज हैं। $a=3$ के लिए,$6$ गुणज हैं। $a=4$ के लिए,$5$ गुणज हैं। $a=5$ के लिए,$4$ गुणज हैं। $a=6$ के लिए,$3$ गुणज हैं। $a=7, 8, 9, 10$ के लिए,प्रत्येक के $2$ गुणज हैं। $a=11, 12, \ldots, 20$ के लिए,प्रत्येक का $1$ गुणज है।
$n(R_1) = 20 + 10 + 6 + 5 + 4 + 3 + (4 \times 2) + (10 \times 1) = 66$.
$R_1 \cap R_2 = \{(a, b) : b = ka \text{ और } a = mb\} = \{(a, b) : a = b\}$.
अतः,$R_1 \cap R_2 = \{(1, 1), (2, 2), \ldots, (20, 20)\}$.
$n(R_1 \cap R_2) = 20$.
$n(R_1 - R_2) = n(R_1) - n(R_1 \cap R_2) = 66 - 20 = 46$.

(D) दिया गया है $f(x) = |2x^2 + 5|x| - 3|$।
चूँकि $f(x)$ सतत फलनों (बहुपद और मापांक फलन) का संयोजन है,यह हर जगह सतत है। अतः,असंतत बिंदुओं की संख्या $m = 0$ है।
अवकलनीय न होने वाले बिंदुओं को खोजने के लिए,हम $g(x) = 2x^2 + 5|x| - 3$ का विश्लेषण करते हैं।
$x \ge 0$ के लिए,$g(x) = 2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$। शून्यक $x = 1/2$ और $x = -3$ हैं। चूँकि हम $x \ge 0$ पर विचार करते हैं,शून्यक $x = 1/2$ है।
$x < 0$ के लिए,$g(x) = 2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$। शून्यक $x = -1/2$ और $x = 3$ हैं। चूँकि हम $x < 0$ पर विचार करते हैं,शून्यक $x = -1/2$ है।
इसके अलावा,फलन $f(x)$ में $|x|$ शामिल है,जो $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$f(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $2x^2 + 5|x| - 3 = 0$ (जहाँ ग्राफ x-अक्ष को स्पर्श करता है) और $x = 0$ पर।
ये बिंदु $x = 1/2$,$x = -1/2$,और $x = 0$ हैं।
अतः,अवकलनीय न होने वाले बिंदुओं की संख्या $n = 3$ है।
इसलिए,$m + n = 0 + 3 = 3$।

(A) माना $I = \int_0^1 (2x^3 - 3x^2 - x + 1)^{\frac{1}{3}} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए.
माना $f(x) = (2x^3 - 3x^2 - x + 1)^{\frac{1}{3}}$.
तब $f(1-x) = (2(1-x)^3 - 3(1-x)^2 - (1-x) + 1)^{\frac{1}{3}}$.
पदों का विस्तार करने पर: $f(1-x) = (2(1 - 3x + 3x^2 - x^3) - 3(1 - 2x + x^2) - 1 + x + 1)^{\frac{1}{3}}$.
$f(1-x) = (2 - 6x + 6x^2 - 2x^3 - 3 + 6x - 3x^2 - 1 + x + 1)^{\frac{1}{3}}$.
$f(1-x) = (-2x^3 + 3x^2 + x - 1)^{\frac{1}{3}} = -(2x^3 - 3x^2 - x + 1)^{\frac{1}{3}} = -f(x)$.
चूंकि $f(1-x) = -f(x)$,इसलिए समाकलन $I = \int_0^1 f(x) dx$ के लिए $I = -I$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2I = 0$,अतः $I = 0$।

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $f'(x) - \alpha f(x) = 3$ है।
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\alpha dx} = e^{-\alpha x}$ है।
दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx} [f(x) e^{-\alpha x}] = 3 e^{-\alpha x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$f(x) e^{-\alpha x} = \int 3 e^{-\alpha x} dx = -\frac{3}{\alpha} e^{-\alpha x} + C$.
अतः,$f(x) = -\frac{3}{\alpha} + C e^{\alpha x}$ है।
दिया गया है $f(0) = 2$,इसलिए $2 = -\frac{3}{\alpha} + C$,जिसका अर्थ है $C = 2 + \frac{3}{\alpha}$।
दिया गया है $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 1$।
यदि $\alpha > 0$ है,तो $x \rightarrow -\infty$ के लिए $e^{\alpha x} \rightarrow 0$,इसलिए $f(x) \rightarrow -\frac{3}{\alpha} = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = -3$। यह $\alpha > 0$ के साथ विरोधाभास है।
यदि $\alpha < 0$ है,तो $x \rightarrow -\infty$ के लिए $e^{\alpha x} \rightarrow \infty$। सीमा $1$ होने के लिए,$e^{\alpha x}$ का गुणांक $0$ होना चाहिए।
इसलिए $C = 0$,जिसका अर्थ है $2 + \frac{3}{\alpha} = 0$,अर्थात $\alpha = -\frac{3}{2}$।
तब $f(x) = -\frac{3}{-3/2} = 2$। चूँकि $f(x) = 2$ एक अचर फलन है,इसलिए $f'(x) = 0$। समीकरण $f'(x) = \alpha f(x) + 3$ में मान रखने पर $0 = (-3/2)(2) + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जो संगत है।
अतः सभी $x$ के लिए $f(x) = 2$ है।
इसलिए,$f(-\log_e 2) = 2$।

(C) रेखा $\frac{x+3}{8}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+1}{2} = \lambda$ पर स्थित सामान्य बिंदु $P, Q = (8\lambda-3, 2\lambda+4, 2\lambda-1)$ द्वारा दिया जाता है।
इस बिंदु से $R(1,2,3)$ तक की दूरी $6$ इकाई है,इसलिए दूरी का वर्ग $36$ होगा:
$(8\lambda-3-1)^2 + (2\lambda+4-2)^2 + (2\lambda-1-3)^2 = 36$
$(8\lambda-4)^2 + (2\lambda+2)^2 + (2\lambda-4)^2 = 36$
$64(\lambda^2 - \lambda + \frac{1}{4}) + 4(\lambda^2 + 2\lambda + 1) + 4(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = 36$
$64\lambda^2 - 64\lambda + 16 + 4\lambda^2 + 8\lambda + 4 + 4\lambda^2 - 16\lambda + 16 = 36$
$72\lambda^2 - 72\lambda + 36 = 36$
$72\lambda(\lambda - 1) = 0$
अतः,$\lambda = 0$ या $\lambda = 1$ है।
$\lambda = 0$ के लिए,बिंदु $P(-3, 4, -1)$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ के लिए,बिंदु $Q(5, 6, 1)$ प्राप्त होता है।
$\Delta PQR$ का केंद्रक $(\frac{-3+5+1}{3}, \frac{4+6+2}{3}, \frac{-1+1+3}{3}) = (1, 4, 1) = (\alpha, \beta, \gamma)$ है।
इसलिए,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1^2 + 4^2 + 1^2 = 1 + 16 + 1 = 18$।

(A) दिए गए शीर्ष $A(1,3,2)$,$B(-2,8,0)$ और $C(3,6,7)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (8-3)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (6-3)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$.
चूंकि $AB = AC$,त्रिभुज $ABC$ समद्विबाहु है,और $\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक $AD$,$BC$ पर माध्यिका भी है। अतः,$D$,$BC$ का मध्य बिंदु है।
$D = \left( \frac{-2+3}{2}, \frac{8+6}{2}, \frac{0+7}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 7, \frac{7}{2} \right)$.
अब,सदिश $\overrightarrow{AD}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{AD} = \left( \frac{1}{2}-1 \right) \hat{i} + (7-3) \hat{j} + \left( \frac{7}{2}-2 \right) \hat{k} = -\frac{1}{2} \hat{i} + 4 \hat{j} + \frac{3}{2} \hat{k}$.
सदिश $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{AC} = (3-1) \hat{i} + (6-3) \hat{j} + (7-2) \hat{k} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$.
$\overrightarrow{AD}$ का $\overrightarrow{AC}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $\left| \frac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right|$ द्वारा दी जाती है।
$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = \left( -\frac{1}{2} \right)(2) + (4)(3) + \left( \frac{3}{2} \right)(5) = -1 + 12 + 7.5 = 18.5 = \frac{37}{2}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{38}$.
प्रक्षेप की लंबाई $= \left| \frac{37/2}{\sqrt{38}} \right| = \frac{37}{2 \sqrt{38}}$.

(A) हम समाकलन $I = \int_0^{\pi/3} \cos^4 x \, dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
सर्वसमिका $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमारे पास $\cos^4 x = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)$ है।
$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$ प्राप्त होता है।
अब,प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int_0^{\pi/3} \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\right) dx$
$I = \left[ \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x \right]_0^{\pi/3}$
$I = \left( \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{1}{4}\sin\frac{2\pi}{3} + \frac{1}{32}\sin\frac{4\pi}{3} \right) - (0)$
$I = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{32} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$I = \frac{\pi}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{8\sqrt{3} - \sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{7\sqrt{3}}{64}$.
$a\pi + b\sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,$a = \frac{1}{8}$ और $b = \frac{7}{64}$ प्राप्त होता है।
अतः,$9a + 8b = 9(\frac{1}{8}) + 8(\frac{7}{64}) = \frac{9}{8} + \frac{7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

(C) फलन $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-25}}{4-x^2} + \log_{10}(x^2+2x-15)$ है।
वर्गमूल पद के लिए,$x^2-25 \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$।
हर के लिए,$4-x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$।
लघुगणक के लिए,$x^2+2x-15 > 0$ $\Rightarrow (x+5)(x-3) > 0$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty)$।
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$x \in (-\infty, -5) \cup [5, \infty)$ प्राप्त होता है।
$(-\infty, \alpha) \cup [\beta, \infty)$ से तुलना करने पर,$\alpha = -5$ और $\beta = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^3 = (-5)^2 + 5^3 = 25 + 125 = 150$।

(B) संबंध $R_1$ के लिए: $a R_1 b \Leftrightarrow a^2+b^2=1$ जहाँ $a, b \in R$.
$1$. स्वतुल्यता: यदि $a=0.5$ है,तो $a^2+a^2 = 0.25+0.25 = 0.5 \neq 1$. अतः,$R_1$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $a^2+b^2=1$,तो $b^2+a^2=1$,इसलिए $b R_1 a$. $R_1$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $a R_1 b$ और $b R_1 c$,तो $a^2+b^2=1$ और $b^2+c^2=1$. यह $a^2+c^2=1$ को सिद्ध नहीं करता है। उदाहरण के लिए,$a=1, b=0, c=1$. $1^2+0^2=1$ और $0^2+1^2=1$,लेकिन $1^2+1^2=2 \neq 1$. अतः,$R_1$ संक्रामक नहीं है।
संबंध $R_2$ के लिए: $(a, b) R_2 (c, d) \Leftrightarrow a+d=b+c$ जहाँ $(a, b), (c, d) \in N \times N$.
$1$. स्वतुल्यता: $a+b=b+a$ सत्य है,इसलिए $(a, b) R_2 (a, b)$.
$2$. सममितता: यदि $a+d=b+c$,तो $c+b=d+a$,इसलिए $(c, d) R_2 (a, b)$.
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) R_2 (c, d)$ और $(c, d) R_2 (e, f)$,तो $a+d=b+c$ और $c+f=d+e$. इन दोनों को जोड़ने पर,$a+d+c+f = b+c+d+e \Rightarrow a+f=b+e$. अतः,$(a, b) R_2 (e, f)$.
चूंकि $R_2$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
अतः,केवल $R_2$ एक तुल्यता संबंध है।

(C) माना रेखा $L: \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-2}{1} = \lambda$ है। रेखा पर स्थित कोई बिंदु $N$ के निर्देशांक $(3\lambda+1, 2\lambda-1, \lambda+2)$ हैं।
रेखा की दिशा सदिश $\vec{b} = (3, 2, 1)$ है। चूंकि $PN$ रेखा पर लंब है,सदिश $\vec{PN} = (3\lambda-2, 2\lambda-5, \lambda-7)$ होगा।
$\vec{PN} \cdot \vec{b} = 0$ होने के कारण,$3(3\lambda-2) + 2(2\lambda-5) + 1(\lambda-7) = 0$ होगा।
$9\lambda - 6 + 4\lambda - 10 + \lambda - 7 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 23 \Rightarrow \lambda = \frac{23}{14}$.
$N$ के निर्देशांकों में $\lambda$ का मान रखने पर,$N = \left(\frac{83}{14}, \frac{32}{14}, \frac{51}{14}\right)$ प्राप्त होता है।
माना प्रतिबिंब $A(\alpha, \beta, \gamma)$ है। चूंकि $N$,$PA$ का मध्य-बिंदु है,$\frac{\alpha+3}{2} = \frac{83}{14} \Rightarrow \alpha = \frac{62}{7}$।
$\frac{\beta+4}{2} = \frac{32}{14} \Rightarrow \beta = \frac{4}{7}$।
$\frac{\gamma+9}{2} = \frac{51}{14} \Rightarrow \gamma = \frac{-12}{7}$।
अतः,$14(\alpha+\beta+\gamma) = 14(\frac{62+4-12}{7}) = 2(54) = 108$।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x-1, & x \text{ सम है} \\ 2x, & x \text{ विषम है} \end{cases}$।
हमें $f(f(f(a))) = 21$ दिया गया है।
स्थिति $1$: यदि $a$ सम है,तो $f(a) = a-1$ (जो विषम है)। तब $f(f(a)) = 2(a-1) = 2a-2$ (जो सम है)। तब $f(f(f(a))) = (2a-2)-1 = 2a-3$। $2a-3 = 21$ रखने पर,हमें $2a = 24$ मिलता है,इसलिए $a = 12$।
स्थिति $2$: यदि $a$ विषम है,तो $f(a) = 2a$ (जो सम है)। तब $f(f(a)) = 2a-1$ (जो विषम है)। तब $f(f(f(a))) = 2(2a-1) = 4a-2$। $4a-2 = 21$ रखने पर,$4a = 23$ मिलता है,जिसका कोई पूर्णांक हल नहीं है।
अतः,$a = 12$।
अब,हम $\lim_{x \rightarrow 12^{-}} \left( \frac{|x|^3}{12} - \left[ \frac{x}{12} \right] \right)$ का मूल्यांकन करते हैं।
जैसे $x \rightarrow 12^{-}$,$x$ का मान $12$ से थोड़ा कम है,इसलिए $\frac{x}{12}$ का मान $1$ से थोड़ा कम है,जिसका अर्थ है कि $\left[ \frac{x}{12} \right] = 0$।
इसलिए,सीमा $\lim_{x \rightarrow 12^{-}} \frac{x^3}{12} - 0 = \frac{12^3}{12} = 12^2 = 144$ है।

(B) दी गई समीकरण प्रणाली:
$x+2y+3z=5$
$2x+3y+z=9$
$4x+3y+\lambda z=\mu$
प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(3\lambda - 3) - 2(2\lambda - 4) + 3(6 - 12) = 0$
$3\lambda - 3 - 4\lambda + 8 - 18 = 0$
$-\lambda - 13 = 0 \Rightarrow \lambda = -13$
अब,$\lambda = -13$ का उपयोग करके $\Delta_1$ की गणना करें:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 9 & 3 & 1 \\ \mu & 3 & -13 \end{vmatrix} = 5(-39 - 3) - 2(-117 - \mu) + 3(27 - 3\mu) = 0$
$5(-42) + 234 + 2\mu + 81 - 9\mu = 0$
$-210 + 315 - 7\mu = 0$
$105 - 7\mu = 0 \Rightarrow \mu = 15$
अंत में,$\lambda + 2\mu = -13 + 2(15) = -13 + 30 = 17$.

(B) दिया गया है $A=I_2-2 MM^{T}$,जहाँ $M^T M=I_1=1$.
सबसे पहले,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = (I_2-2 MM^{T})(I_2-2 MM^{T})$
$= I_2 - 2 MM^{T} - 2 MM^{T} + 4 MM^{T} MM^{T}$
चूँकि $M^T M = 1$,इसलिए $M^T M M^T = (M^T M) M^T = 1 \cdot M^T = M^T$.
अतः,$A^2 = I_2 - 4 MM^{T} + 4 M(M^T M) M^T = I_2 - 4 MM^{T} + 4 MM^{T} = I_2$.
शून्येतर आव्यूह $X$ के लिए $AX = \lambda X$ दिया गया है,इसलिए:
$A^2 X = A(\lambda X) = \lambda(AX) = \lambda^2 X$.
चूँकि $A^2 = I_2$,हमारे पास $I_2 X = \lambda^2 X$ है,जिसका अर्थ है $X = \lambda^2 X$.
चूँकि $X \neq 0$,इसलिए $\lambda^2 = 1$ होना चाहिए,अर्थात $\lambda = 1$ या $\lambda = -1$.
$\lambda$ के संभावित मान $1$ और $-1$ हैं।
$\lambda$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $(1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$ है।

(C) दिया गया है $F(x) = \int_0^x t f(t) dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = x f(x)$।
दिया गया है $F(x^2) = x^4 + x^5$। मान लीजिए $u = x^2$,तो $F(u) = u^2 + u^{5/2}$।
$u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $F'(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F'(u) = u f(u)$,इसलिए $u f(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$।
$u$ से भाग देने पर,हमें $f(u) = 2 + \frac{5}{2} u^{1/2}$ प्राप्त होता है।
हमें $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ का मान ज्ञात करना है। $u = r^2$ रखने पर,$f(r^2) = 2 + \frac{5}{2} (r^2)^{1/2} = 2 + \frac{5}{2} r$।
अतः,$\sum_{r=1}^{12} f(r^2) = \sum_{r=1}^{12} (2 + \frac{5}{2} r) = \sum_{r=1}^{12} 2 + \frac{5}{2} \sum_{r=1}^{12} r$।
$= 2(12) + \frac{5}{2} \left( \frac{12 \times 13}{2} \right) = 24 + \frac{5}{2} (78) = 24 + 5(39) = 24 + 195 = 219$।

(D) सबसे पहले,$y$ के पहले पद को सरल करें:
$y_1 = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x})(x\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1} = x-1$.
अब,दूसरे पद को सरल करें:
$y_2 = \frac{1}{15}(3 \cos^2 x - 5) \cos^3 x = \frac{1}{5} \cos^5 x - \frac{1}{3} \cos^3 x$.
अतः,$y = x - 1 + \frac{1}{5} \cos^5 x - \frac{1}{3} \cos^3 x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = 1 + \frac{1}{5}(5 \cos^4 x)(-\sin x) - \frac{1}{3}(3 \cos^2 x)(-\sin x) = 1 - \cos^4 x \sin x + \cos^2 x \sin x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर मान ज्ञात करें:
$y'(\frac{\pi}{6}) = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^4 (\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 (\frac{1}{2}) = 1 - (\frac{9}{16})(\frac{1}{2}) + (\frac{3}{4})(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{9}{32} + \frac{3}{8} = 1 - \frac{9}{32} + \frac{12}{32} = 1 + \frac{3}{32} = \frac{35}{32}$.
अंत में,$96 y'(\frac{\pi}{6}) = 96 \times \frac{35}{32} = 3 \times 35 = 105$.

(A) दिया गया है कि $\vec{b} \times \vec{a} = \vec{c} \times \vec{a}$,अतः $(\vec{b} - \vec{c}) \times \vec{a} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{b} - \vec{c} = \lambda \vec{a}$ है।
सदिशों का मान रखने पर: $(-\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}) - (4\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}) = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
घटकों की तुलना करने पर:
$-1 - 4 = \lambda \implies \lambda = -5$।
$-8 - c_2 = \lambda \implies -8 - c_2 = -5 \implies c_2 = -3$।
$2 - c_3 = \lambda \implies 2 - c_3 = -5 \implies c_3 = 7$।
अतः,$\vec{c} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}$।
मान लीजिए $\vec{d} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ है। तब $\cos \theta = \frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{|\vec{c}| |\vec{d}|} = \frac{(4)(3) + (-3)(4) + (7)(1)}{\sqrt{16+9+49} \sqrt{9+16+1}} = \frac{12 - 12 + 7}{\sqrt{74} \sqrt{26}} = \frac{7}{\sqrt{1924}} = \frac{7}{2\sqrt{481}}$।
$\cos^2 \theta = \frac{49}{4 \times 481} = \frac{49}{1924}$।
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1 = \frac{1924}{49} - 1 = \frac{1875}{49} \approx 38.265$।
$\tan^2 \theta$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $\lfloor 38.265 \rfloor = 38$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dy} = \frac{1+x-y^2}{y}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = \frac{1-y^2}{y}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = \frac{1-y^2}{y}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int \left(\frac{1-y^2}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} dy + C$.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int \left(\frac{1}{y^2} - 1\right) dy + C$.
$x \cdot \frac{1}{y} = -\frac{1}{y} - y + C$.
$y$ से गुणा करने पर: $x = -1 - y^2 + Cy$.
शर्त $x(1) = 1$ दी गई है,इसलिए $y=1$ और $x=1$ रखने पर: $1 = -1 - (1)^2 + C(1) \Rightarrow 1 = -2 + C \Rightarrow C = 3$.
अतः,विशिष्ट हल $x = -1 - y^2 + 3y$ है।
$5x(2)$ ज्ञात करने के लिए,$y=2$ रखने पर: $x(2) = -1 - (2)^2 + 3(2) = -1 - 4 + 6 = 1$.
इसलिए,$5x(2) = 5(1) = 5$.

(B) $f$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = \alpha$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2 x}{x^2} = 2 \times 1^2 = 2$.
अतः,$\alpha = 2$.
अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{1 - \cos x}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2 \sin^2 (x/2)}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} |\sin(x/2)|}{x}$.
चूंकि $x > 0$,इसलिए $\sin(x/2) > 0$,अतः $|\sin(x/2)| = \sin(x/2)$.
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} \sin(x/2)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} \sin(x/2)}{2(x/2)} = \frac{\beta \sqrt{2}}{2} = \frac{\beta}{\sqrt{2}}$.
इसे $\alpha = 2$ के बराबर रखने पर,$\frac{\beta}{\sqrt{2}} = 2$,जिसका अर्थ है $\beta = 2\sqrt{2}$.
अंत में,$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4 + 8 = 12$.

(B) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः कलश $A, B, C$ चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि कलश यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $X$ काली गेंद निकालने की घटना है।
प्रत्येक कलश से काली गेंद निकालने की प्रायिकताएँ हैं:
$P(X|E_1) = \frac{5}{12}$
$P(X|E_2) = \frac{7}{12}$
$P(X|E_3) = \frac{6}{12}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद काली है तो उसके कलश $A$ से होने की प्रायिकता है:
$P(E_1|X) = \frac{P(E_1)P(X|E_1)}{P(E_1)P(X|E_1) + P(E_2)P(X|E_2) + P(E_3)P(X|E_3)}$
$P(E_1|X) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{12}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{12} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{12} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{12}}$
$P(E_1|X) = \frac{5}{5 + 7 + 6} = \frac{5}{18}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^4+2x^3+3x^2+2x+2)dy = (2x^2+2x+3)dx$.
चरों को अलग करने पर: $dy = \frac{2x^2+2x+3}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}dx$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^4+2x^3+3x^2+2x+2 = (x^2+1)(x^2+2x+2)$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{2x^2+2x+3}{(x^2+1)(x^2+2x+2)} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+2x+2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y = \int \frac{1}{x^2+1}dx + \int \frac{1}{(x+1)^2+1}dx$.
$y = \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x+1) + C$.
दिया है $y(-1) = -\frac{\pi}{4}$: $-\frac{\pi}{4} = \tan^{-1}(-1) + \tan^{-1}(0) + C$.
$-\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y(x) = \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x+1)$.
$y(0)$ के लिए: $y(0) = \tan^{-1}(0) + \tan^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(D) मान लीजिए $y = \frac{2x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 3x + 8}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $y(2x^2 + 3x + 8) = 2x^2 - 3x + 8$.
$x^2(2y - 2) + x(3y + 3) + 8y - 8 = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (3y + 3)^2 - 4(2y - 2)(8y - 8) \geq 0$.
$9(y^2 + 2y + 1) - 64(y^2 - 2y + 1) \geq 0$.
$-55y^2 + 146y - 55 \geq 0 \Rightarrow 55y^2 - 146y + 55 \leq 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{146 \pm 96}{110}$.
अतः,परिसर $[\frac{5}{11}, \frac{11}{5}]$ है।
अधिकतम मान $\frac{11}{5}$ और न्यूनतम मान $\frac{5}{11}$ है।
योग $= \frac{11}{5} + \frac{5}{11} = \frac{146}{55}$.
यहाँ $m = 146$ और $n = 55$,इसलिए $m + n = 201$.

(B) वक्र $y=1+3x-2x^2$ और $y=\frac{1}{x}$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु $1+3x-2x^2 = \frac{1}{x} \implies x+3x^2-2x^3 = 1 \implies 2x^3-3x^2-x+1=0$ द्वारा प्राप्त होते हैं। दिया गया एक बिंदु $x=\frac{1}{2}$ है,दूसरा प्रतिच्छेदन बिंदु $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ है।
क्षेत्रफल $A = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} (1+3x-2x^2-\frac{1}{x}) dx$.
$A = \left[x + \frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} - \ln|x|\right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$A = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{2}{3}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^3 - \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}(\frac{1}{4}) - \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) - \ln(\frac{1}{2})\right)$.
पदों को सरल करने पर:
$A = \frac{14\sqrt{5}+15}{24} - \ln(1+\sqrt{5}) + 2\ln(2)$.
$\frac{1}{24}(\ell \sqrt{5}+m)-n \log_{e}(1+\sqrt{5})$ के साथ तुलना करने पर,$\ell=14, m=15, n=1$ प्राप्त होता है। अतः $\ell+m+n = 14+15+1 = 30$.

(C) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \sqrt{2} \sin \alpha & \sqrt{2} \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 1 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha(-\cos \alpha - \sin \alpha) + \sqrt{2} \cos \alpha(\sin \alpha - \cos \alpha) = 0$
$-1 + \sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha + \sqrt{2} \sin^2 \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha - \sqrt{2} \cos^2 \alpha = 0$
$-1 + 2\sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha - \sqrt{2}(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$
$-1 + \sqrt{2} \sin 2\alpha - \sqrt{2} \cos 2\alpha = 0$
$\sqrt{2}(\sin 2\alpha - \cos 2\alpha) = 1$
$\sin 2\alpha - \cos 2\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\alpha = \frac{1}{2}$
$\sin(2\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$
चूंकि $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $2\alpha \in (0, \pi)$,अतः $2\alpha - \frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$.
अतः,$2\alpha - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}$ या $2\alpha - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6}$.
स्थिति $1$: $2\alpha = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12} \Rightarrow \alpha = \frac{5\pi}{24}$.
स्थिति $2$: $2\alpha = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{12} \Rightarrow \alpha = \frac{13\pi}{24}$ (जो दी गई सीमा से बाहर है)।
अतः,$\alpha = \frac{5\pi}{24}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -2, & -2 \leq x \leq 0 \\ x-2, & 0 < x \leq 2 \end{cases}$.
हमें $h(x) = f(|x|) + |f(x)|$ ज्ञात करना है।
$x \in [0, 2]$ के लिए,$f(|x|) = f(x) = x-2$ और $|f(x)| = |x-2| = 2-x$. अतः,$h(x) = (x-2) + (2-x) = 0$.
$x \in [-2, 0)$ के लिए,$f(|x|) = |x|-2 = -x-2$.
$|f(x)| = \begin{cases} |-2| = 2, & -2 \leq x \leq 0 \\ |x-2| = 2-x, & 0 < x \leq 2 \end{cases}$.
अतः,$h(x) = f(|x|) + |f(x)| = \begin{cases} (-x-2) + 2 = -x, & -2 \leq x < 0 \\ (x-2) + (2-x) = 0, & 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$.
अब,$\int_{-2}^2 h(x) dx = \int_{-2}^0 (-x) dx + \int_0^2 0 dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^0 = 0 - (-\frac{(-2)^2}{2}) = 0 - (-2) = 2$.

(D) मान लीजिए $\overrightarrow{C} = C_1 \hat{i} + C_2 \hat{j} + C_3 \hat{k}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $C_1^2 + C_2^2 + C_3^2 = 1$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{C} \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = |\overrightarrow{C}| |2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}| \cos 60^{\circ} = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$2C_1 + 2C_2 - C_3 = \frac{3}{2}$ है।
साथ ही,$\overrightarrow{C} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) = |\overrightarrow{C}| |\hat{i} - \hat{k}| \cos 45^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$ है।
अतः,$C_1 - C_3 = 1$,जिसका अर्थ है $C_3 = C_1 - 1$ है।
$C_3$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $2C_1 + 2C_2 - (C_1 - 1) = \frac{3}{2} \implies C_1 + 2C_2 = \frac{1}{2} \implies C_2 = \frac{1}{4} - \frac{C_1}{2}$ है।
$C_1^2 + C_2^2 + C_3^2 = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $C_1^2 + (\frac{1}{4} - \frac{C_1}{2})^2 + (C_1 - 1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर $C_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}$,$C_2 = -\frac{1}{3\sqrt{2}}$,और $C_3 = \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\overrightarrow{C} = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}) \hat{i} - \frac{1}{3\sqrt{2}} \hat{j} + (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}) \hat{k}$ है।
दिए गए सदिश $(-\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{3\sqrt{2}} \hat{j} - \frac{\sqrt{2}}{3} \hat{k})$ को $\overrightarrow{C}$ में जोड़ने पर परिणाम $\frac{\sqrt{2}}{3} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{1}{2} \hat{k} = \frac{\sqrt{2}}{3} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{k}$ प्राप्त होता है।

(A) बिंदुओं $P(1, -2, 3)$ और $Q(5, -4, 7)$ से गुजरने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (5-1, -4-(-2), 7-3) = (4, -2, 4)$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{4} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-3}{4} = t$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4t+1, -2t-2, 4t+3)$ के रूप में दिया जा सकता है।
इस बिंदु की $P(1, -2, 3)$ से दूरी $\sqrt{(4t+1-1)^2 + (-2t-2+2)^2 + (4t+3-3)^2} = \sqrt{16t^2 + 4t^2 + 16t^2} = \sqrt{36t^2} = 6|t|$ है।
चूंकि दूरी $9$ इकाई दी गई है,$6|t| = 9$,इसलिए $t = \pm \frac{3}{2}$ है।
$t = \frac{3}{2}$ के लिए,बिंदु $(4(\frac{3}{2})+1, -2(\frac{3}{2})-2, 4(\frac{3}{2})+3) = (7, -5, 9)$ है।
$t = -\frac{3}{2}$ के लिए,बिंदु $(4(-\frac{3}{2})+1, -2(-\frac{3}{2})-2, 4(-\frac{3}{2})+3) = (-5, 1, -3)$ है।
मूल बिंदु से $(7, -5, 9)$ की दूरी $\sqrt{7^2 + (-5)^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 25 + 81} = \sqrt{155}$ है।
मूल बिंदु से $(-5, 1, -3)$ की दूरी $\sqrt{(-5)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$ है।
चूंकि बिंदु मूल बिंदु से अधिक दूर है,इसलिए हम $(7, -5, 9)$ चुनते हैं।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 7^2 + (-5)^2 + 9^2 = 49 + 25 + 81 = 155$।

(A) $\sin^{-1}(u)$ के लिए,$-1 \leq u \leq 1$ होना चाहिए। अतः,$-1 \leq \frac{3x-22}{2x-19} \leq 1$. इस असमिका को हल करने पर $x \in (5, 8.2]$ प्राप्त होता है।
$\log_e(v)$ के लिए,$v > 0$ होना चाहिए। अतः,$\frac{3x^2-8x+5}{x^2-3x-10} > 0$,जो सरल होकर $\frac{(3x-5)(x-1)}{(x-5)(x+2)} > 0$ हो जाता है। इसका हल $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 5/3) \cup (5, \infty)$ है।
दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,प्रांत $(5, 8.2]$ प्राप्त होता है,जो $(5, 41/5]$ है।
यहाँ,$\alpha = 5$ और $\beta = 41/5$ है।
अतः,$3\alpha + 10\beta = 3(5) + 10(41/5) = 15 + 82 = 97$.

(A) दिया गया है कि $(g \circ f)(x) = x$। श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$।
हमें $g'(2)$ का मान ज्ञात करना है। मान लीजिए $f(x) = 2$।
$x^5 + 2e^{x/4} = 2$। निरीक्षण द्वारा,$x = 0$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है $(0^5 + 2e^0 = 2)$।
अतः,$g'(f(0)) \cdot f'(0) = 1$,जिसका अर्थ है कि $g'(2) = \frac{1}{f'(0)}$।
अब,$f'(x) = 5x^4 + 2 \cdot \frac{1}{4} e^{x/4} = 5x^4 + \frac{1}{2} e^{x/4}$।
$x = 0$ पर,$f'(0) = 5(0)^4 + \frac{1}{2} e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$g'(2) = \frac{1}{1/2} = 2$।
अतः,$8g'(2) = 8 \times 2 = 16$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$।
मान लीजिए $M = 2A - A^T$ और $N = A - 2A^T$ है। यहाँ $M = -N^T$ है,इसलिए $\operatorname{det}(M) = \operatorname{det}(-N^T) = (-1)^3 \operatorname{det}(N) = -\operatorname{det}(N)$।
दिया गया समीकरण $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M) \cdot \operatorname{adj}(N)) = 2^8$ है।
गुणधर्म $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(X)) = (\operatorname{det}(X))^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$,हमें प्राप्त होता है $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M)) = (\operatorname{det}(M))^2$ और $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(N)) = (\operatorname{det}(N))^2$।
अतः,$(\operatorname{det}(M))^2 \cdot (\operatorname{det}(N))^2 = 2^8$।
चूँकि $\operatorname{det}(M) = -\operatorname{det}(N)$,इसलिए $(-\operatorname{det}(N))^2 \cdot (\operatorname{det}(N))^2 = 2^8$,जिसका अर्थ है $(\operatorname{det}(N))^4 = 2^8$।
इसलिए,$(\operatorname{det}(N))^2 = 2^4 = 16$,अर्थात $\operatorname{det}(N) = \pm 4$।
अब,$N = A - 2A^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 & \alpha \\ -3 & 0 & -1 \\ -2\alpha & -1 & -2 \end{bmatrix}$।
सारणिक की गणना करने पर: $\operatorname{det}(N) = -1(0 - 1) - 0 + \alpha(3 - 0) = 1 + 3\alpha$।
$1 + 3\alpha = 4$ लेने पर (चूँकि $\alpha > 0$),हमें $3\alpha = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = 1$।
अब $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$।
$\operatorname{det}(A) = 1(0 - 1) - 2(2 - 0) + 1(1 - 0) = -1 - 4 + 1 = -4$।
अंत में,$(\operatorname{det}(A))^2 = (-4)^2 = 16$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -1$ और $Q(x) = 1 + 4 \sin x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x}(1 + 4 \sin x)$,जो $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x} + 4 e^{-x} \sin x$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y e^{-x} = \int e^{-x} dx + 4 \int e^{-x} \sin x dx$.
सूत्र $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a \sin(bx) - b \cos(bx))$ का उपयोग करने पर,$\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{e^{-x}}{2}(\sin x + \cos x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$y e^{-x} = -e^{-x} - 2e^{-x}(\sin x + \cos x) + C$.
$e^{-x}$ से भाग देने पर,$y = -1 - 2(\sin x + \cos x) + C e^x$ प्राप्त होता है।
$y(\pi) = 1$ दिया गया है: $1 = -1 - 2(\sin \pi + \cos \pi) + C e^{\pi} \Rightarrow 1 = -1 - 2(0 - 1) + C e^{\pi} \Rightarrow 1 = 1 + C e^{\pi} \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y(x) = -1 - 2(\sin x + \cos x)$.
अब $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 - 2(\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}) = -1 - 2(1 + 0) = -3$.
अंत में,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) + 10 = -3 + 10 = 7$.

(D) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{r_1} = (-2, -3, 5)$,$\vec{r_2} = (3, 2, -4)$,$\vec{b_1} = (2, 3, 4)$,और $\vec{b_2} = (1, -3, 2)$.
$\vec{r_2}-\vec{r_1} = (5, 5, -9)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6+12) - \hat{j}(4-4) + \hat{k}(-6-3) = 18\hat{i} - 9\hat{k}$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{18^2 + (-9)^2} = \sqrt{324 + 81} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(5, 5, -9) \cdot (18, 0, -9)|}{9\sqrt{5}} = \frac{|90 + 0 + 81|}{9\sqrt{5}} = \frac{171}{9\sqrt{5}} = \frac{19}{\sqrt{5}}$.
दिया गया है कि $d = \frac{38}{3\sqrt{5}}k$,इसलिए $\frac{19}{\sqrt{5}} = \frac{38}{3\sqrt{5}}k \Rightarrow k = \frac{19 \times 3}{38} = \frac{3}{2}$.
अब,$\int_0^{3/2} [x^2] dx = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{3/2} [x^2] dx = 0 + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{3/2} 2 dx = (\sqrt{2}-1) + 2(\frac{3}{2}-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1+3-2\sqrt{2} = 2-\sqrt{2}$.
$\alpha-\sqrt{\alpha}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$6\alpha^3 = 6(2^3) = 6 \times 8 = 48$.

(B) $2 \times 2$ आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $A^2 - (\text{tr}(A))A + |A|I = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\text{tr}(A) = -3$ और $|A| = 2$,इसलिए समीकरण $A^2 + 3A + 2I = 0$ बन जाता है।
दिए गए समीकरण $A^2 + xA + yI = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ और $y = 2$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के गुणों का उपयोग करते हुए,$e^4 + \ell^4 = 78$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है $A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$,जिससे हमें प्राप्त होता है:
$a_1 + a_2 + a_3 = 3$
$b_1 + b_2 + b_3 = 3$
$c_1 + c_2 + c_3 = 3$
चूंकि सभी तत्व गैर-ऋणात्मक हैं,समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमानता के अनुसार,प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का गुणनफल तब अधिकतम होता है जब उस पंक्ति के सभी तत्व समान हों।
पंक्ति $1$ के लिए: $a_1 a_2 a_3 \le (\frac{a_1+a_2+a_3}{3})^3 = (\frac{3}{3})^3 = 1$.
इसी प्रकार,पंक्ति $2$ और पंक्ति $3$ के लिए,गुणनफल अधिकतम $1$ है।
सारणिक $\operatorname{det}(A)$ तत्वों के गुणनफल का योग है। हैडामार्ड की असमानता या पंक्ति योग पर विचार करने पर,$n \times n$ आव्यूह जिसका पंक्ति योग $S$ है,उसका अधिकतम सारणिक $S^n$ होता है यदि आव्यूह विकर्ण आव्यूह हो।
यहाँ,$S=3$ और $n=3$ है,इसलिए $\operatorname{det}(A) \le 3^3 = 27$.
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ हो,जो $\operatorname{det}(A) = 27$ देता है।

(A) त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = 15 \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -7 \\ 6 & d & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 7d) - \hat{j}(-2 + 42) + \hat{k}(d - 12) = (7d - 4)\hat{i} - 40\hat{j} + (d - 12)\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|^2 = (7d - 4)^2 + (-40)^2 + (d - 12)^2 = (2 \times 15 \sqrt{2})^2 = 900 \times 2 = 1800$.
$(49d^2 - 56d + 16) + 1600 + (d^2 - 24d + 144) = 1800$.
$50d^2 - 80d + 1760 = 1800 \implies 50d^2 - 80d - 40 = 0 \implies 5d^2 - 8d - 4 = 0$.
$d$ के लिए हल करने पर:
$5d^2 - 10d + 2d - 4 = 0 \implies 5d(d - 2) + 2(d - 2) = 0 \implies (5d + 2)(d - 2) = 0$.
चूँकि $d > 0$,इसलिए $d = 2$ है।
सदिश त्रिभुज नियम $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (6-1)\hat{i} + (d-2)\hat{j} + (-2 - (-7))\hat{k} = 5\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}$.
अब,भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना करें:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-7)^2 = 1 + 4 + 49 = 54$.
$|\overrightarrow{BC}|^2 = 5^2 + 0^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
$|\overrightarrow{AC}|^2 = 6^2 + 2^2 + (-2)^2 = 36 + 4 + 4 = 44$.
सबसे बड़ी भुजा $\sqrt{54}$ है,और इसका वर्ग $54$ है।

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x}{1+\sin x \cos x} dx$. अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\sin^2 x}{2+2\sin x \cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-\cos 2x}{2+\sin 2x} dx$.
इसे $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2+\sin 2x} dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{2+\sin 2x} dx = I_1 - I_2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{2\tan^2 x + 2\tan x + 2} dx$. माना $t = \tan x$,$dt = \sec^2 x dx$. सीमाएँ $0$ से $1$ तक बदलती हैं।
$I_1 = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{t^2+t+1} = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{(t+1/2)^2 + 3/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} [\tan^{-1}(\frac{2t+1}{\sqrt{3}})]_0^1 = \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$.
$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{2+\sin 2x} dx$. माना $u = 2+\sin 2x$,$du = 2\cos 2x dx$.
$I_2 = \frac{1}{2} \int_2^3 \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \ln(3) - \frac{1}{2} \ln(2)$.
तुलना करने पर $I = I_1 - I_2 = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} - \frac{1}{2} \ln(3) + \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} + \frac{1}{2} \ln(2/3)$.
दिया गया रूप $\frac{1}{a} \ln(a/3) + \frac{\pi}{b\sqrt{3}}$ है। $a=2, b=6$ लेने पर,हमें $\frac{1}{2} \ln(2/3) + \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः $a=2, b=6$,इसलिए $a+b = 8$.

(B) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,अंश को सरल करने पर: $72^x - 9^x - 8^x + 1 = (9^x - 1)(8^x - 1)$।
हर को सरल करने पर: $\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{2} - \sqrt{2 \cos^2(x/2)} = \sqrt{2}(1 - |\cos(x/2)|)$।
चूँकि $x \rightarrow 0$,$\cos(x/2) > 0$,इसलिए $\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{2}(1 - \cos(x/2))$।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{2}(2 \sin^2(x/4))$ प्राप्त होता है।
अब,सीमा का मान ज्ञात करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(9^x - 1)(8^x - 1)}{\sqrt{2}(2 \sin^2(x/4))} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(9^x - 1)}{x} \cdot \frac{(8^x - 1)}{x} \cdot \frac{x^2}{2\sqrt{2} \sin^2(x/4)}$।
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ और $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k$ का उपयोग करने पर:
$= \ln 9 \cdot \ln 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2} (1/4)^2} = (2 \ln 3)(3 \ln 2) \cdot \frac{16}{2\sqrt{2}} = 6 \ln 2 \ln 3 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \ln 2 \ln 3$।
इसे $f(0) = a \ln 2 \ln 3$ के बराबर रखने पर,$a = 24\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^2 = (24\sqrt{2})^2 = 576 \times 2 = 1152$।

(A) दिया गया है कि $\vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{a} - \vec{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$.
यह $|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$.
परिमाणों की गणना करने पर: $|\vec{a}|^2 = 1^2 + \lambda^2 + (-3)^2 = 10 + \lambda^2$ और $|\vec{b}|^2 = 3^2 + (-1)^2 + 2^2 = 9 + 1 + 4 = 14$.
समान रखने पर: $10 + \lambda^2 = 14 \implies \lambda^2 = 4$. चूंकि $\lambda > 0$,इसलिए $\lambda = 2$ है।
अब,$\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$.
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-1) + (-3)(2) = 3 - 2 - 6 = -5$.
कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
चूंकि $|\vec{a}|^2 = 14$ और $|\vec{b}|^2 = 14$,इसलिए $|\vec{a}| = \sqrt{14}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{14}$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{-5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-5}{14}$.
इसलिए,$14 \cos \theta = -5$,और $(14 \cos \theta)^2 = (-5)^2 = 25$.

(B) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $(x, y) \in N \times N$ के लिए,$x \leq x$ या $y \leq y$ सत्य है। अतः,$((x, y), (x, y)) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $((1, 1), (2, 3)) \in R$ है क्योंकि $1 \leq 2$ सत्य है। लेकिन $((2, 3), (1, 1)) \notin R$ है क्योंकि $2 \leq 1$ और $3 \leq 1$ दोनों असत्य हैं। इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $A = (2, 4)$,$B = (3, 3)$,और $C = (1, 3)$ है।
$(A, B) \in R$ क्योंकि $2 \leq 3$ सत्य है।
$(B, C) \in R$ क्योंकि $3 \leq 3$ सत्य है।
लेकिन $(A, C) = ((2, 4), (1, 3))$ के लिए,$2 \leq 1$ असत्य है और $4 \leq 3$ भी असत्य है। अतः,$(A, C) \notin R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।
अतः,केवल कथन $(I)$ सही है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
मान लीजिए $M = \operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
तब $M^2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
गणितीय आगमन द्वारा,$M^k = \begin{bmatrix} 1 & -2k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$B = I + M + M^2 + \dots + M^{10} = \sum_{k=0}^{10} M^k$.
विकर्ण अवयवों का योग $\sum_{k=0}^{10} 1 + \sum_{k=0}^{10} 1 = 11 + 11 = 22$ है।
अन्य अवयवों का योग $\sum_{k=0}^{10} (-2k) + 0 = -2 \times \frac{10 \times 11}{2} = -110$ है।
अतः,$B = \begin{bmatrix} 11 & -110 \\ 0 & 11 \end{bmatrix}$.
$B$ के सभी अवयवों का योग $11 - 110 + 0 + 11 = -88$ है।

(D) परवलय $y^2 = 2x$ और रेखा $y = 4x - 1$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। रेखा के समीकरण में $x = \frac{y^2}{2}$ रखने पर: $y = 4(\frac{y^2}{2}) - 1 \implies y = 2y^2 - 1 \implies 2y^2 - y - 1 = 0$. गुणनखंड करने पर $(2y + 1)(y - 1) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 1$ और $y = -\frac{1}{2}$ है।
क्षेत्रफल $y = -\frac{1}{2}$ से $y = 1$ तक $y$ के सापेक्ष दाईं ओर के वक्र से बाईं ओर के वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$Area = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (x_{Right} - x_{Left}) dy = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (\frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2}) dy$
$= [\frac{1}{4}(\frac{y^2}{2} + y) - \frac{y^3}{6}]_{-\frac{1}{2}}^{1}$
$= [\frac{1}{4}(\frac{1}{2} + 1) - \frac{1}{6}] - [\frac{1}{4}(\frac{1}{8} - \frac{1}{2}) - \frac{(-1/8)}{6}]$
$= [\frac{3}{8} - \frac{1}{6}] - [\frac{1}{4}(-\frac{3}{8}) + \frac{1}{48}]$
$= [\frac{9-4}{24}] - [-\frac{3}{32} + \frac{1}{48}] = \frac{5}{24} - [\frac{-9+2}{96}] = \frac{5}{24} + \frac{7}{96} = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ वर्ग इकाई।

(B) माना $I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha x}{1+3^x} dx$ $(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha (-x)}{1+3^{-x}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha x}{1+\frac{1}{3^x}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{3^x \cos \alpha x}{3^x+1} dx$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha x}{1+3^x} dx + \int_{-1}^{1} \frac{3^x \cos \alpha x}{1+3^x} dx$
$2I = \int_{-1}^{1} \frac{(1+3^x) \cos \alpha x}{1+3^x} dx = \int_{-1}^{1} \cos \alpha x dx$
चूंकि $\cos \alpha x$ एक सम फलन है:
$2I = 2 \int_{0}^{1} \cos \alpha x dx = 2 \left[ \frac{\sin \alpha x}{\alpha} \right]_{0}^{1} = \frac{2 \sin \alpha}{\alpha}$
$I = \frac{\sin \alpha}{\alpha}$
दिया गया है $I = \frac{2}{\pi}$,अतः $\frac{\sin \alpha}{\alpha} = \frac{2}{\pi}$.
निरीक्षण द्वारा,$\alpha = \frac{\pi}{2}$ समीकरण को संतुष्ट करता है क्योंकि $\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} = \frac{1}{\pi/2} = \frac{2}{\pi}$.

(B) दिया गया फलन $f(x)=3 \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$ है।
फलन का प्रांत $x-2 \geq 0$ और $4-x \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है,जिसका अर्थ है $x \in [2, 4]$।
परिसर ज्ञात करने के लिए,हम कौशी-श्वार्ट्ज असमिका का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $u = \sqrt{x-2}$ और $v = \sqrt{4-x}$। तब $u^2 + v^2 = (x-2) + (4-x) = 2$।
फलन $f(x) = 3u + v$ है। कौशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,$(3u + v)^2 \leq (3^2 + 1^2)(u^2 + v^2) = (9+1)(2) = 20$।
अतः,$f(x)^2 \leq 20$,इसलिए $f(x) \leq \sqrt{20} = \beta$।
प्रांत की सीमाओं पर:
यदि $x=2$,तो $f(2) = 3(0) + \sqrt{2} = \sqrt{2}$।
यदि $x=4$,तो $f(4) = 3\sqrt{2} + 0 = 3\sqrt{2} = \sqrt{18}$।
चूंकि $\sqrt{2} < \sqrt{18} < \sqrt{20}$,न्यूनतम मान $\alpha = \sqrt{2}$ है।
इसलिए,$\alpha^2 + 2\beta^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{20})^2 = 2 + 2(20) = 2 + 40 = 42$।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$a + 2a + (a+b) + 2b + 3b = 1$
$4a + 6b = 1$ --- $(i)$
माध्य $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{46}{9}$:
$0(a) + 2(2a) + 4(a+b) + 6(2b) + 8(3b) = \frac{46}{9}$
$8a + 40b = \frac{46}{9} \Rightarrow 4a + 20b = \frac{23}{9}$ --- $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$14b = \frac{14}{9} \Rightarrow b = \frac{1}{9}$
$b = \frac{1}{9}$ को $(i)$ में रखने पर:
$4a + 6(\frac{1}{9}) = 1 \Rightarrow 4a = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{12}$
अब,$E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = 24a + 280b$
$E(X^2) = 24(\frac{1}{12}) + 280(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{280}{9} = \frac{298}{9}$
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{298}{9} - (\frac{46}{9})^2 = \frac{2682 - 2116}{81} = \frac{566}{81}$

(B) हमें दिया गया है कि $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} y$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos ^{-1} x - (\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} y) = \alpha$
$\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2} + \alpha$।
चूँकि $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \pi]$,इसलिए $\frac{\pi}{2} + \alpha \in [0, \frac{3\pi}{2}]$ है।
दोनों पक्षों का कोसाइन (cosine) लेने पर:
$\cos(\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y) = \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$
$xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = -\sin \alpha$
$xy + \sin \alpha = \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(xy + \sin \alpha)^2 = (1-x^2)(1-y^2)$
$x^2y^2 + 2xy \sin \alpha + \sin^2 \alpha = 1 - x^2 - y^2 + x^2y^2$
$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$
$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha = \cos^2 \alpha$।
$\cos^2 \alpha$ का न्यूनतम मान $0$ है,जो $\alpha = \frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $0$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+4)^2 dy + (2x^3y+8xy-2) dx = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(x^2+4)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2+4)y = 2$ प्राप्त होता है।
$(x^2+4)^2$ से भाग देने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2+4}y = \frac{2}{(x^2+4)^2}$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int \frac{2x}{x^2+4} dx} = e^{\ln(x^2+4)} = x^2+4$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx} [y(x^2+4)] = \frac{2}{x^2+4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y(x^2+4) = \int \frac{2}{x^2+2^2} dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C = \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0(0+4) = \tan^{-1}(0) + C$,जिसका अर्थ है कि $C=0$ है।
अतः,$y(x^2+4) = \tan^{-1}(\frac{x}{2})$।
$x=2$ पर,$y(2^2+4) = \tan^{-1}(\frac{2}{2}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।
इसलिए,$y(8) = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $y(2) = \frac{\pi}{32}$।

(D) दिया गया है $\vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{d} = 1$,हमारे पास $\vec{a} \cdot \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = 1$ है,जिसका अर्थ है $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = |\vec{b}+\vec{c}|$.
$\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot ((x+2)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}) = x+2+6-2 = x+6$ की गणना करें।
$|\vec{b}+\vec{c}| = |(x+2)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{(x+2)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{x^2+4x+4+36+4} = \sqrt{x^2+4x+44}$ की गणना करें।
दोनों को बराबर करने पर: $x+6 = \sqrt{x^2+4x+44}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x+6)^2 = x^2+4x+44 \implies x^2+12x+36 = x^2+4x+44$.
$8x = 8 \implies x = 1$.
अब,अदिश त्रिक गुणनफल $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -5 \\ x & 2 & 3 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$x=1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -5 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(12+10) - 1(6+5) + 1(4-4) = 22 - 11 + 0 = 11$.
अतः,मान $11$ है।

(C) माना पहली रेखा $L_1: \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-2}{1}=\lambda$ है। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $P(\lambda+2, 5\lambda+4, \lambda+2)$ है।
माना दूसरी रेखा $L_2: \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{2}=\mu$ है। $L_2$ पर कोई भी बिंदु $P(2\mu+3, 3\mu+2, 2\mu+3)$ है।
प्रतिच्छेदन के लिए,$\lambda+2 = 2\mu+3$ और $5\lambda+4 = 3\mu+2$.
पहले समीकरण से,$\lambda = 2\mu+1$. दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $5(2\mu+1)+4 = 3\mu+2 \implies 10\mu+9 = 3\mu+2 \implies 7\mu = -7 \implies \mu = -1$.
तब $\lambda = 2(-1)+1 = -1$. प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(1, -1, 1)$ है।
रेखा $L_3$ $4x=2y=z$ है,जिसे $\frac{x}{1/4} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{1}$ या $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{4} = k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$L_3$ पर कोई भी बिंदु $Q$ $(k, 2k, 4k)$ है। सदिश $\vec{PQ} = (k-1, 2k+1, 4k-1)$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ $L_3$ के दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 2, 4)$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0$.
$(k-1)(1) + (2k+1)(2) + (4k-1)(4) = 0 \implies k-1 + 4k+2 + 16k-4 = 0 \implies 21k - 3 = 0 \implies k = \frac{1}{7}$.
बिंदु $Q$ $(\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7})$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(1-\frac{1}{7})^2 + (-1-\frac{2}{7})^2 + (1-\frac{4}{7})^2} = \sqrt{(\frac{6}{7})^2 + (-\frac{9}{7})^2 + (\frac{3}{7})^2} = \sqrt{\frac{36+81+9}{49}} = \sqrt{\frac{126}{49}} = \frac{\sqrt{9 \times 14}}{7} = \frac{3\sqrt{14}}{7}$.

(B) माना $I = \int \operatorname{cosec}^5 x \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \operatorname{cosec}^3 x$ और $dv = \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ लेने पर:
$I = \operatorname{cosec}^3 x(-\cot x) - \int (3 \operatorname{cosec}^2 x(-\operatorname{cosec} x \cot x))(-\cot x) \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \cot^2 x \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^3 x (\operatorname{cosec}^2 x - 1) \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3I + 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x + 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$
हम जानते हैं कि $\int \operatorname{cosec}^3 x \, dx = -\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{1}{2} \ln |\tan \frac{x}{2}|$.
इस मान को $4I$ के समीकरण में रखने पर:
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x + 3 \left( -\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{1}{2} \ln |\tan \frac{x}{2}| \right)$
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - \frac{3}{2} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{3}{2} \ln |\tan \frac{x}{2}|$
$I = -\frac{1}{4} \cot x \operatorname{cosec} x (\operatorname{cosec}^2 x + \frac{3}{2}) + \frac{3}{8} \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha = -\frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{3}{8}$.
अतः,$8(\alpha + \beta) = 8(-\frac{1}{4} + \frac{3}{8}) = 8(\frac{-2+3}{8}) = 1$.

(C) हमें व्यंजक $g(x) = (3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ दिया गया है।
ध्यान दें कि $\frac{d}{dx} (f(x) f^{\prime}(x)) = (f^{\prime}(x))^2 + f(x) f^{\prime \prime}(x)$ है।
साथ ही,$\frac{d^2}{dx^2} (f(x) f^{\prime}(x)) = \frac{d}{dx} ((f^{\prime}(x))^2 + f(x) f^{\prime \prime}(x)) = 2 f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f(x) f^{\prime \prime \prime}(x) = 3 f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f(x) f^{\prime \prime \prime}(x)$ है।
अतः,दिया गया व्यंजक $h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ का द्वितीय अवकलज है,अर्थात $g(x) = h^{\prime \prime}(x)$ है।
चूंकि $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2, f(4)=-2$ दिया गया है,मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार $f(x)$ के $(0, 4)$ अंतराल में कम से कम $4$ शून्यक हैं ($x=0$ पर,और $(1,2), (2,3), (3,4)$ के बीच)।
मान लीजिए $h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है। $h(x)$ के शून्यक $f(x)$ के शून्यक और $f^{\prime}(x)$ के शून्यक हैं।
$f(x)$ के शून्यक $x_1=0$,और $x_2 \in (1,2)$,$x_3 \in (2,3)$,$x_4 \in (3,4)$ हैं। अतः $f(x)$ के कम से कम $4$ शून्यक हैं।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime}(x)$ के $(0, 4)$ में कम से कम $3$ शून्यक हैं ($f(x)$ के शून्यकों के बीच)।
अतः,$h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ के $[0, 4]$ में कम से कम $4+3=7$ शून्यक हैं।
रोल के प्रमेय के अनुसार,यदि $h(x)$ के $7$ शून्यक हैं,तो $h^{\prime}(x)$ के कम से कम $6$ शून्यक होंगे,और $h^{\prime \prime}(x)$ के कम से कम $5$ शून्यक होंगे।