मान लीजिए कि एक $A.P.$ के किन्हीं तीन अलग-अलग क्रमिक पदों $a, b, c$ के लिए,रेखाएं $ax + by + c = 0$ बिंदु $P$ पर संगामी हैं और $Q(\alpha, \beta)$ एक ऐसा बिंदु है कि समीकरण निकाय $x + y + z = 6$,$2x + 5y + \alpha z = \beta$ और $x + 2y + 3z = 4$ के अनंत हल हैं। तो $(PQ)^2$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $M = (a_{ij})$,$i, j \in \{1, 2, 3\}$,एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ यदि $j+1$,$i$ से विभाज्य है तो $a_{ij} = 1$,अन्यथा $a_{ij} = 0$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $M$ व्युत्क्रमणीय है
$(B)$ एक शून्येतर स्तंभ आव्यूह $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$ का अस्तित्व है ताकि $M \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \end{bmatrix}$
$(C)$ समुच्चय $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ रिक्त नहीं है,जहाँ $0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$(D)$ आव्यूह $(M - 2I)$ व्युत्क्रमणीय है,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $D = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ है। तो निकाय $AX = D$ का

मान लीजिए $S_1$ और $S_2$ उन सभी $a \in R - \{0\}$ के समुच्चय हैं जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय:
$a x + 2 a y - 3 a z = 1$
$(2 a + 1) x + (2 a + 3) y + (a + 1) z = 2$
$(3 a + 5) x + (a + 5) y + (a + 2) z = 3$
के क्रमशः अद्वितीय हल और अनंत हल हैं। तो:

मान लीजिए $\alpha$,$x^2+x+1=0$ का एक हल है,और $\mathbb{R}$ में कुछ $a$ और $b$ के लिए,$\begin{bmatrix} 4 & a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 16 & 13 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -14 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है। यदि $\frac{4}{\alpha^4} + \frac{m}{\alpha^a} + \frac{n}{\alpha^b} = 3$ है,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए।

रैखिक समीकरणों के निकाय $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ और $a_3x + b_3y + c_3z + d_3 = 0$ पर विचार करें। मान लीजिए $\Delta (a,b,c)$ सारणिक $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ को दर्शाता है। यदि $\Delta (a,b,c) \neq 0$ है,तो उपरोक्त समीकरणों के अद्वितीय हल में $x$ का मान क्या है?