JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए $P$,$AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है।
$P = \left(\frac{\alpha-2}{2}, \frac{\beta-1}{2}\right) = \left(\frac{\gamma+1}{2}, \frac{\delta+0}{2}\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha-2 = \gamma+1 \Rightarrow \alpha-\gamma = 3 \dots(1)$
$\beta-1 = \delta \Rightarrow \beta-\delta = 1 \dots(2)$
चूंकि $C(\alpha, \beta)$,$2x-y=5$ पर स्थित है,इसलिए $2\alpha-\beta=5 \dots(3)$
चूंकि $D(\gamma, \delta)$,$3x-2y=6$ पर स्थित है,इसलिए $3\gamma-2\delta=6 \dots(4)$
$(2)$ से,$\delta = \beta-1$. इसे $(4)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3\gamma - 2(\beta-1) = 6 \Rightarrow 3\gamma - 2\beta = 4 \dots(5)$
$(1)$ से,$\gamma = \alpha-3$. इसे $(5)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(\alpha-3) - 2\beta = 4$ $\Rightarrow 3\alpha - 9 - 2\beta = 4$ $\Rightarrow 3\alpha - 2\beta = 13 \dots(6)$
$(3)$ और $(6)$ को हल करने पर:
$2\alpha - \beta = 5 \Rightarrow \beta = 2\alpha - 5$
$3\alpha - 2(2\alpha-5) = 13$ $\Rightarrow 3\alpha - 4\alpha + 10 = 13$ $\Rightarrow -\alpha = 3$ $\Rightarrow \alpha = -3$
$\beta = 2(-3) - 5 = -11$
$\gamma = -3-3 = -6$
$\delta = -11-1 = -12$
$|\alpha+\beta+\gamma+\delta| = |-3-11-6-12| = |-32| = 32$

(D) दिया गया व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = (x+3)^{n-1}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{x+2}{x+3}$ है,जिसमें $n$ पद हैं।
योग सूत्र $S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}$ का उपयोग करने पर:
$S = (x+3)^{n-1} \frac{1 - (\frac{x+2}{x+3})^n}{1 - \frac{x+2}{x+3}} = (x+3)^n - (x+2)^n$.
गुणांकों का योग $\sum \alpha_r$ प्राप्त करने के लिए $x=1$ रखने पर:
$\sum \alpha_r = (1+3)^n - (1+2)^n = 4^n - 3^n$.
दिया गया है कि $\sum \alpha_r = \beta^n - \gamma^n$,इसलिए $\beta = 4$ और $\gamma = 3$ है।
अतः,$\beta^2 + \gamma^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

(C) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2 e^x - b \log _e(1+x) + c x e^{-x}}{x^2 \sin x} = 1$.
टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$,$\log _e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$,$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \dots$,और $\sin x \approx x$.
व्यंजक बनता है $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{a x^2(1+x+\dots) - b(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) + c x(1 - x + \frac{x^2}{2} - \dots)}{x^3} = 1$.
$x$ की घातों के अनुसार पदों को व्यवस्थित करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(c-b)x + (a + \frac{b}{2} - c)x^2 + (a - \frac{b}{3} + \frac{c}{2})x^3 + \dots}{x^3} = 1$.
सीमा के अस्तित्व और $1$ के बराबर होने के लिए,$x$ और $x^2$ के गुणांक $0$ होने चाहिए:
$c - b = 0 \implies c = b$.
$a + \frac{b}{2} - c = 0 \implies a + \frac{b}{2} - b = 0 \implies a = \frac{b}{2}$.
$x^3$ का गुणांक $1$ होना चाहिए: $a - \frac{b}{3} + \frac{c}{2} = 1$.
$a = \frac{b}{2}$ और $c = b$ रखने पर: $\frac{b}{2} - \frac{b}{3} + \frac{b}{2} = 1 \implies b - \frac{b}{3} = 1 \implies \frac{2b}{3} = 1 \implies b = \frac{3}{2}$.
अतः,$c = \frac{3}{2}$ और $a = \frac{3}{4}$.
इसलिए $16(a^2 + b^2 + c^2) = 16((\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2) = 16(\frac{9}{16} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}) = 9 + 36 + 36 = 81$.

(A) हमें $\tan A = \frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}}$ और $\tan B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}$ दिया गया है।
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(A+B) = \frac{\frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}}$
$= \frac{\frac{1 + x}{\sqrt{x(x^2+x+1)}}}{1 - \frac{1}{x^2+x+1}} = \frac{(1+x) \sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{x}(x^2+x)}$
$= \frac{(1+x) \sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{x} \cdot x(x+1)} = \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x\sqrt{x}} = \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^3}}$
$= \sqrt{x^{-1} + x^{-2} + x^{-3}} = \tan C$.
अतः,$A+B = C$ प्राप्त होता है।

(C) यह प्रश्न $5$ अलग-अलग वस्तुओं को $4$ अविभेद्य बक्सों में वितरित करने के तरीकों की संख्या पूछता है,जहाँ बक्से खाली हो सकते हैं। यह दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं $S(5, k)$ का योग है,जहाँ $k = 1, 2, 3, 4$ है।
$S(5, 1) = 1$ (सभी $5$ एक कार्यालय में)
$S(5, 2) = 15$ ($5$ को $2$ गैर-रिक्त सेटों में विभाजित करना: $4+1$ या $3+2$)
$S(5, 3) = 25$ ($5$ को $3$ गैर-रिक्त सेटों में विभाजित करना: $3+1+1$ या $2+2+1$)
$S(5, 4) = 10$ ($5$ को $4$ गैर-रिक्त सेटों में विभाजित करना: $2+1+1+1$)
कुल तरीके $n = S(5, 1) + S(5, 2) + S(5, 3) + S(5, 4) = 1 + 15 + 25 + 10 = 51$.

(D) माना $z = x + iy$। प्रतिबंध $|z-1|=1$ का अर्थ है $(x-1)^2 + y^2 = 1$,जो $x^2 + y^2 - 2x = 0$ में सरल होता है।
दूसरा प्रतिबंध $(\sqrt{2}-1)(2x) - i(2iy) = 2\sqrt{2}$ है,जो $(\sqrt{2}-1)x + y = \sqrt{2}$ में सरल होता है,या $y = \sqrt{2} - (\sqrt{2}-1)x$।
प्रथम समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $(x-1)^2 + (\sqrt{2} - (\sqrt{2}-1)x)^2 = 1$।
इसे सरल करने पर: $(2 - \sqrt{2})x^2 - (3 - \sqrt{2})x + 1 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(x-1)((2-\sqrt{2})x - 1) = 0$।
अतः,$x = 1$ या $x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$x=1$ के लिए,$y = 1$। अतः $z_2 = 1+i$।
$x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,$y = \frac{1}{\sqrt{2}}$। अतः $z_1 = (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) + i\frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः $|\sqrt{2}z_1 - z_2|^2 = |(\sqrt{2} + 1 + i) - (1+i)|^2 = |\sqrt{2}|^2 = 2$।

(C) दिए गए प्रेक्षण: $125, 170, 190, 210, 230, a, b$। माध्यिका $170$ है,इसलिए हम उन्हें $125, a, b, 170, 190, 210, 230$ के रूप में व्यवस्थित करते हैं।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{|125-170| + |a-170| + |b-170| + |170-170| + |190-170| + |210-170| + |230-170|}{7} = \frac{205}{7}$।
गणना करने पर $a+b = 130$ प्राप्त होता है।
माध्य $\bar{x} = 165$ प्राप्त होता है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= 30$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^x = 10$
ध्यान दें कि $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$ है। अतः,$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$।
मान लीजिए $t = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^x$ है। तो समीकरण $t + \frac{1}{t} = 10$ बन जाता है।
$t$ से गुणा करने पर,हमें $t^2 - 10t + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$।
चूंकि $5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ और $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$ है,इसलिए $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ या $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$।
अतः,$x = 2$ या $x = -2$ है।
इसलिए,समुच्चय $S = \{2, -2\}$ है,और $S$ में अवयवों की संख्या $2$ है।

(C) अतिपरवलय $x^2 - y^2 \operatorname{cosec}^2 \theta = 5$ को $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{5 \sin^2 \theta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी उत्केंद्रता $e_h = \sqrt{1 + \sin^2 \theta}$ है।
दीर्घवृत्त $x^2 \operatorname{cosec}^2 \theta + y^2 = 5$ को $\frac{x^2}{5 \sin^2 \theta} + \frac{y^2}{5} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी उत्केंद्रता $e_c = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \cos \theta$ है।
दिया गया है कि $e_h = \sqrt{7} e_c$,इसलिए:
$\sqrt{1 + \sin^2 \theta} = \sqrt{7} \cos \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 + \sin^2 \theta = 7 \cos^2 \theta = 7(1 - \sin^2 \theta)$.
$8 \sin^2 \theta = 6 \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{3}{4}$.
चूंकि $0 < \theta < \pi / 2$,इसलिए $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e$ का मान $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
दिया गया है $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $e^2 = \frac{1}{2}$।
अतः,$1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \sqrt{14}$ है।
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ से,$b^2 = \frac{a^2}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे नाभिलंब के सूत्र में रखने पर: $\frac{2(a^2/2)}{a} = \sqrt{14} \Rightarrow a = \sqrt{14}$।
तब $b^2 = \frac{14}{2} = 7$।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_H$ का मान $e_H^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ रखने पर,$e_H^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $3, a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,सार्व अंतर $d$ है। अतः $a = 3+d, b = 3+2d, c = 3+3d$.
$3, a-1, b+1, c+9$ एक $G.P.$ में हैं,मान रखने पर:
$3, 2+d, 4+2d, 12+3d$ एक $G.P.$ में हैं।
$G.P.$ के लिए,$(2+d)^2 = 3(4+2d)$.
$4 + 4d + d^2 = 12 + 6d \Rightarrow d^2 - 2d - 8 = 0$.
$(d-4)(d+2) = 0$,अतः $d = 4$ या $d = -2$.
स्थिति $1$: यदि $d = 4$,तो $a = 7, b = 11, c = 15$। अनुक्रम $3, 6, 12, 24$ है,जो $G.P.$ है।
$a, b, c$ का समांतर माध्य $\frac{7+11+15}{3} = 11$ है।

(D) दो वृत्तों के दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d$ को $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ को संतुष्ट करना चाहिए।
वृत्त $C$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0,0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $C^{\prime}$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2\lambda, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4\lambda^2-9}$ है।
शर्त $|2 - \sqrt{4\lambda^2-9}| < 2|\lambda| < 2 + \sqrt{4\lambda^2-9}$ को हल करने पर,हमें $\lambda \in (-\infty, -\frac{13}{8}) \cup (\frac{13}{8}, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः $a = -\frac{13}{8}$ और $b = \frac{13}{8}$ है।
बिंदु $(-1, 6)$ प्राप्त होता है,जो वक्र $6x^2+y^2=42$ पर स्थित है।

(B) हमें $x + 2y + 3z = 42$ के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
एक निश्चित $z$ के लिए,$x + 2y = 42 - 3z$ के हलों की संख्या $y$ के संभावित मानों की संख्या है,जो $\lfloor \frac{42 - 3z}{2} \rfloor + 1$ है।
हम $z = 0, 1, 2, \dots, 14$ के लिए योग करते हैं:
कुल योग = $22 + 20 + 19 + 17 + 16 + 14 + 13 + 11 + 10 + 8 + 7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 169$.

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{(x+1)^6}{x^6} (1+x^2)^7 (1-x^3)^8 = \frac{1}{x^6} (1+x)^6 (1+x^2)^7 (1-x^3)^8$ है।
हमें $(1+x)^6 (1+x^2)^7 (1-x^3)^8$ में $x^{36}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
सामान्य पद $\binom{6}{r_1} \binom{7}{r_2} \binom{8}{r_3} (-1)^{r_3} x^{r_1 + 2r_2 + 3r_3}$ है।
हमें $r_1 + 2r_2 + 3r_3 = 36$ की शर्त पूरी करनी है,जहाँ $0 \le r_1 \le 6, 0 \le r_2 \le 7, 0 \le r_3 \le 8$ है।
सभी संभावित त्रिकों $(r_1, r_2, r_3)$ के लिए गुणांकों का योग करने पर $\alpha = -678$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\alpha| = 678$।

(D) पहली समांतर श्रेणी $A_1 = 3, 7, 11, 15, \ldots, 403$ है,जिसका सार्व अंतर $d_1 = 4$ है।
दूसरी समांतर श्रेणी $A_2 = 2, 5, 8, 11, \ldots, 404$ है,जिसका सार्व अंतर $d_2 = 3$ है।
उभयनिष्ठ पद एक नई समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसका सार्व अंतर $\text{LCM}(4, 3) = 12$ है।
पहला उभयनिष्ठ पद $11$ है।
मान लीजिए उभयनिष्ठ पद $11, 23, 35, \ldots, L$ हैं,जहाँ $L \leq 403$ है।
$n$-वाँ पद $a_n = 11 + (n - 1) \times 12$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $11 + (n - 1) \times 12 \leq 403$ चाहिए,जिसका अर्थ है $(n - 1) \times 12 \leq 392$,इसलिए $n - 1 \leq 32.66$ है।
अतः,$n - 1 = 32$,जिससे $n = 33$ प्राप्त होता है।
अंतिम पद $L = 11 + 32 \times 12 = 11 + 384 = 395$ है।
इन $33$ पदों का योग $S_{33} = \frac{n}{2}(a + L) = \frac{33}{2}(11 + 395) = \frac{33}{2}(406) = 33 \times 203 = 6699$ है।

(A) दक्षिणपक्ष सीमा $(R)$ के लिए:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} f(h) = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(1-h^2) \sin ^{-1}(1-h)}{h(1-h^2)}$
$= \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(1-h^2)}{h} \cdot \frac{\sin ^{-1}(1)}{1} = \frac{\pi}{2} \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(1-h^2)}{h}$.
मान लीजिए $\cos ^{-1}(1-h^2) = \theta$,तो $\cos \theta = 1-h^2$,इसलिए $h = \sqrt{1-\cos \theta} = \sqrt{2} \sin(\theta/2)$.
जैसे ही $h \rightarrow 0^{+}$,$\theta \rightarrow 0^{+}$.
$R = \frac{\pi}{2} \lim _{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\theta}{\sqrt{2} \sin(\theta/2)} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2} \cdot (1/2)} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
अतः,$R^2 = \frac{\pi^2}{2}$.
वामपक्ष सीमा $(L)$ के लिए:
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} f(-h) = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(1-(1-h)^2) \sin ^{-1}(1-(1-h))}{(1-h)-(1-h)^3} = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(2h-h^2) \sin ^{-1}(h)}{(1-h)(1-(1-h)^2)} = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(2h-h^2) \sin ^{-1}(h)}{(1-h)(2h-h^2)} = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(0) \cdot h}{1 \cdot 2h} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$L^2 = \frac{\pi^2}{16}$.
अंत में,$\frac{32}{\pi^2} (L^2 + R^2) = \frac{32}{\pi^2} \left(\frac{\pi^2}{16} + \frac{\pi^2}{2}\right) = \frac{32}{\pi^2} \left(\frac{\pi^2 + 8\pi^2}{16}\right) = 2 \cdot 9 = 18$.

(B) दिए गए समीकरण: $x^2 + y^2 = 3$ और $x^2 = 2y$ हैं।
$x^2 = 2y$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $2y + y^2 = 3 \Rightarrow y^2 + 2y - 3 = 0$.
$(y + 3)(y - 1) = 0 \Rightarrow y = 1$ (चूंकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $y > 0$)।
$y = 1$ के लिए,$x^2 = 2(1) = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$। अतः,$P = (\sqrt{2}, 1)$।
चूंकि $P$ रेखा $L: \sqrt{2}x + y = \alpha$ पर स्थित है,इसलिए $\sqrt{2}(\sqrt{2}) + 1 = \alpha \Rightarrow \alpha = 3$।
रेखा $L$ का समीकरण $\sqrt{2}x + y - 3 = 0$ है। केंद्र $Q_1, Q_2$,$y$-अक्ष पर हैं,इसलिए मान लीजिए $Q = (0, k)$।
वृत्त की त्रिज्या $r = 2\sqrt{3}$ है। बिंदु $(0, k)$ से रेखा $\sqrt{2}x + y - 3 = 0$ की दूरी $r$ है:
$\frac{|\sqrt{2}(0) + k - 3|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2}} = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow \frac{|k - 3|}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow |k - 3| = 6$।
$k - 3 = 6 \Rightarrow k = 9$ या $k - 3 = -6 \Rightarrow k = -3$।
अतः,$Q_1 = (0, 9)$ और $Q_2 = (0, -3)$।
शीर्षों $(\sqrt{2}, 1), (0, 9), (0, -3)$ वाले $\triangle PQ_1Q_2$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\sqrt{2}(9 - (-3)) + 0 + 0| = \frac{1}{2} |\sqrt{2}(12)| = 6\sqrt{2}$।
क्षेत्रफल का वर्ग $(6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$ है।

(B) समुच्चय $P$ केंद्र $C(-2, 3)$ और त्रिज्या $r=1$ वाले एक वृत्त को दर्शाता है। समुच्चय $Q$ को $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq -8$ द्वारा परिभाषित किया गया है। माना $z=x+iy$,तो $(x+iy)(1+i)+(x-iy)(1-i) \leq -8$,जो सरल होकर $2x-2y \leq -8$,या $x-y \leq -4$,अर्थात $y \geq x+4$ हो जाता है।
हम दूरी $f(z) = |z-(3-2i)|$ का चरम मान ज्ञात करना चाहते हैं,जो $z$ से बिंदु $A(3, -2)$ तक की दूरी है।
रेखा $L: x-y+4=0$ केंद्र $C(-2, 3)$ से होकर गुजरती है। $C(-2, 3)$ से रेखा $x-y+4=0$ की दूरी $\frac{|-2-3+4|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ है,इसलिए रेखा वृत्त को काटती है।
बिंदु $A(3, -2)$ रेखा $x+y-1=0$ पर स्थित है। $A$ से रेखा $x-y+4=0$ की दूरी $\frac{|3-(-2)+4|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$ है।
अधिकतम दूरी $A(3, -2)$ से सबसे दूर वृत्त पर स्थित बिंदु $z_1$ पर प्राप्त होती है। $A(3, -2)$ और $C(-2, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{3-(-2)}{-2-3} = -1$ है। रेखा $y-3 = -1(x+2) \Rightarrow x+y-1=0$ है।
$z_1$ वृत्त पर वह बिंदु है जो $C$ से $A$ की विपरीत दिशा में रेखा $x+y-1=0$ पर $1$ की दूरी पर है। $C$ से $A$ की विपरीत दिशा में इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है। अतः $z_1 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
$|z_1|^2 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-5\sqrt{2}$ है।
$z_2$ $P \cap Q$ में $A(3, -2)$ के सबसे निकट का बिंदु है। यह रेखा $x-y+4=0$ और वृत्त की परिधि का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $x-y+4=0$ और $(x+2)^2+(y-3)^2=1$ को हल करने पर $z_2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$ प्राप्त होता है।
$|z_2|^2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-\sqrt{2}$ है।
$|z_1|^2+2|z_2|^2 = (14-5\sqrt{2}) + 2(14-\sqrt{2}) = 42-7\sqrt{2}$ है।
अतः,$\alpha=42, \beta=-7$,इसलिए $\alpha+\beta=35$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $px^2+qx-r=0$ है। चूँकि $p, q, r$ एक $G$.$P$. के लगातार पद हैं,हम $q=pk$ और $r=pk^2$ ले सकते हैं।
समीकरण में मान रखने पर: $px^2+pkx-pk^2=0$.
$p$ से विभाजित करने पर: $x^2+kx-k^2=0$.
मूलों $\alpha, \beta$ के लिए,$\alpha+\beta = -k$ और $\alpha\beta = -k^2$ है।
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{3}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-k}{-k^2} = \frac{1}{k} = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $k = \frac{4}{3}$।
$(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (-k)^2 - 4(-k^2) = 5k^2$।
$k = \frac{4}{3}$ रखने पर: $(\alpha-\beta)^2 = 5 \times (\frac{4}{3})^2 = 5 \times \frac{16}{9} = \frac{80}{9}$।

(D) दिया गया समीकरण: $4 \sin^2 x - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4(1 - \cos^2 x) - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$4 - 4 \cos^2 x - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$-4 \cos^3 x - 4 \cos^2 x - 4 \cos x + 13 = 0$
$4 \cos^3 x + 4 \cos^2 x + 4 \cos x = 13$
माना $f(t) = 4t^3 + 4t^2 + 4t$ जहाँ $t = \cos x \in [-1, 1]$ है।
$[-1, 1]$ पर $f(t)$ का अधिकतम मान $t = 1$ पर प्राप्त होता है:
$f(1) = 4(1)^3 + 4(1)^2 + 4(1) = 4 + 4 + 4 = 12$.
चूँकि बाएँ पक्ष का अधिकतम मान $12$ है,यह कभी भी $13$ के बराबर नहीं हो सकता।
अतः,कोई हल नहीं है।

(D) मान लीजिए $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर एक बिंदु है।
$P$ से गुजरने वाली रेखा $y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $x = 3 \cos \theta$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ को $Q = (3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ पर मिलती है।
मान लीजिए $PQ$ पर बिंदु $R = (h, k)$ है जहाँ $PR:RQ = 4:3$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$h = 3 \cos \theta$ और $k = \frac{4(3 \sin \theta) + 3(2 \sin \theta)}{4+3} = \frac{18}{7} \sin \theta$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{h}{3}$ और $\sin \theta = \frac{7k}{18}$ है।
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{h^2}{9} + \frac{49k^2}{324} = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदुपथ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{(18/7)^2} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = \frac{324}{49}$ है। चूंकि $a^2 > b^2$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{36}{49}} = \frac{\sqrt{13}}{7}$ है।

(D) $(a+b)^{18}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{18}C_r a^{18-r} b^r$ है।
सातवें पद $(T_7)$ के लिए,$r=6$:
$T_7 = {}^{18}C_6 \left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}\right)^{12} \left(\frac{1}{2} x^{-\frac{2}{3}}\right)^6 = {}^{18}C_6 \cdot 3^{-12} \cdot 2^{-6}$.
अतः,$m = {}^{18}C_6 \cdot 3^{-12} \cdot 2^{-6}$.
तेरहवें पद $(T_{13})$ के लिए,$r=12$:
$T_{13} = {}^{18}C_{12} \left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}\right)^6 \left(\frac{1}{2} x^{-\frac{2}{3}}\right)^{12} = {}^{18}C_{12} \cdot 3^{-6} \cdot 2^{-12}$.
चूंकि ${}^{18}C_6 = {}^{18}C_{12}$,इसलिए:
$\frac{n}{m} = \frac{3^{-6} \cdot 2^{-12}}{3^{-12} \cdot 2^{-6}} = 3^6 \cdot 2^{-6} = \left(\frac{3}{2}\right)^6$.
अतः $\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right)^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

(C) दिया गया है $S_{10} = 390$। सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ का उपयोग करने पर:
$\frac{10}{2}[2a + 9d] = 390 \Rightarrow 2a + 9d = 78$ $......(1)$
दसवें पद $(t_{10})$ और पांचवें पद $(t_5)$ का अनुपात $15:7$ है:
$\frac{a + 9d}{a + 4d} = \frac{15}{7}$ $\Rightarrow 7(a + 9d) = 15(a + 4d)$ $\Rightarrow 7a + 63d = 15a + 60d$ $\Rightarrow 8a = 3d$ $\Rightarrow d = \frac{8a}{3}$ $......(2)$
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2a + 9(\frac{8a}{3}) = 78$ $\Rightarrow 2a + 24a = 78$ $\Rightarrow 26a = 78$ $\Rightarrow a = 3$
$a = 3$ का मान $(2)$ में रखने पर,$d = \frac{8(3)}{3} = 8$।
हमें $S_{15} - S_5$ ज्ञात करना है:
$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[2(3) + 14(8)] - \frac{5}{2}[2(3) + 4(8)]$
$= \frac{15}{2}[6 + 112] - \frac{5}{2}[6 + 32]$
$= \frac{15}{2}(118) - \frac{5}{2}(38) = 15(59) - 5(19) = 885 - 95 = 790$.

(D) माना $z_0 = -\frac{1}{2}(3+4i) = -\frac{3}{2} - 2i$ है।
हमें $|z - z_0|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है,जहाँ $|z| \geq 1$ है।
ज्यामितीय रूप से,यह इकाई वृत्त $|z|=1$ पर या उसके बाहर स्थित बिंदु $z$ से स्थिर बिंदु $z_0 = -\frac{3}{2} - 2i$ तक की न्यूनतम दूरी को दर्शाता है।
मूल बिंदु से बिंदु $z_0$ की दूरी $|z_0| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ है।
चूंकि बिंदु $z_0$ इकाई वृत्त के बाहर स्थित है $(|z_0| = 2.5 > 1)$,इसलिए वृत्त $|z|=1$ से बिंदु $z_0$ तक की न्यूनतम दूरी $|z_0| - r$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r=1$ इकाई वृत्त की त्रिज्या है।
न्यूनतम मान $= |z_0| - 1 = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$.

(A) दिए गए $n=10$ प्रेक्षण $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$ हैं।
$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\alpha)=2$ से,हमें $\sum x_i - 10\alpha = 2$ प्राप्त होता है।
माध्य $\mu = \frac{\sum x_i}{10} = \frac{6}{5}$ दिया गया है,इसलिए $\sum x_i = 12$ है।
प्रथम समीकरण में $\sum x_i = 12$ रखने पर: $12 - 10\alpha = 2$ $\Rightarrow 10\alpha = 10$ $\Rightarrow \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2 = \frac{84}{25}$ है।
हम जानते हैं कि $\sum (x_i - \beta)^2 = \sum x_i^2 - 2\beta \sum x_i + 10\beta^2 = 40$ है।
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\frac{6}{5})^2 = \frac{84}{25}$ से,$\frac{\sum x_i^2}{10} = \frac{84}{25} + \frac{36}{25} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5}$,इसलिए $\sum x_i^2 = 48$ है।
$\sum x_i^2 = 48$ और $\sum x_i = 12$ को $48 - 2\beta(12) + 10\beta^2 = 40$ में रखने पर:
$10\beta^2 - 24\beta + 8 = 0 \Rightarrow 5\beta^2 - 12\beta + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(5\beta - 2)(\beta - 2) = 0$।
चूंकि $\beta$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $\beta = 2$ है।
अतः,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{2}{1} = 2$ है।

(B) माना $A$ अजय के परीक्षा में उपस्थित होने की घटना है और $V$ विजय के परीक्षा में उपस्थित होने की घटना है।
दिया गया है: $P(\overline{A}) = \frac{2}{7}$,इसलिए $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
दिया गया है: $P(A \cap V) = \frac{1}{5}$.
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि अजय उपस्थित हो और विजय उपस्थित न हो,जो $P(A \cap \overline{V})$ है।
समुच्चय के गुण का उपयोग करते हुए,$P(A) = P(A \cap V) + P(A \cap \overline{V})$.
मान रखने पर: $\frac{5}{7} = \frac{1}{5} + P(A \cap \overline{V})$.
$P(A \cap \overline{V}) = \frac{5}{7} - \frac{1}{5} = \frac{25 - 7}{35} = \frac{18}{35}$.

(A) मान लीजिए $M(h, k)$ मूल बिंदु $O(0, 0)$ से खींची गई जीवा का मध्य बिंदु है।
वृत्त $x^2+(y-1)^2=1$ का केंद्र $C(0, 1)$ है।
चूंकि $CM \perp OM$,उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है:
$\left(\frac{k-1}{h-0}\right) \cdot \left(\frac{k-0}{h-0}\right) = -1$
$\frac{k(k-1)}{h^2} = -1$
$k^2-k = -h^2$
$h^2+k^2-k = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2+y^2-y=0$ है।
यह एक वृत्त है जिसका केंद्र $(0, 1/2)$ और त्रिज्या $r = 1/2$ है।
रेखा $x+y-1=0$ है।
केंद्र $(0, 1/2)$ से रेखा $x+y-1=0$ की लंबवत दूरी $p$ है:
$p = \frac{|0 + 1/2 - 1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
जीवा $PQ$ की लंबाई $2\sqrt{r^2-p^2}$ है:
$PQ = 2\sqrt{(1/2)^2 - (1/(2\sqrt{2}))^2} = 2\sqrt{1/4 - 1/8} = 2\sqrt{1/8} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) माना $G.P.$ के तीन क्रमिक पद $a, ar, ar^2$ हैं जहाँ $a > 0$ और $r > 1$ है।
त्रिभुज की भुजाओं के लिए,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
$a + ar > ar^2 \implies 1 + r > r^2 \implies r^2 - r - 1 < 0$.
$r^2 - r - 1 = 0$ के मूल $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
चूंकि $r > 1$,शर्त $r^2 - r - 1 < 0$ का अर्थ है $1 < r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$।
$\sqrt{5} \approx 2.236$ है,इसलिए $\frac{1 + 2.236}{2} = 1.618$ है।
अतः,$1 < r < 1.618$ है।
इसलिए,$[r] = 1$ है।
$[-r]$ के लिए,$1 < r < 1.618$ होने पर,$-1.618 < -r < -1$ होगा।
अतः,$[-r] = -2$ है।
इस प्रकार,$3[r] + [-r] = 3(1) + (-2) = 3 - 2 = 1$।

(B) कुल $20$ रेखाएँ हैं। मान लीजिए $S_1 = \{L_1, L_3, \ldots, L_{19}\}$ $10$ समांतर रेखाओं का समुच्चय है और $S_2 = \{L_2, L_4, \ldots, L_{20}\}$ एक सामान्य बिंदु $P$ से गुजरने वाली $10$ रेखाओं का समुच्चय है।
रेखाओं के युग्मों की कुल संख्या $\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ है।
चूंकि $S_1$ की $10$ रेखाएँ समांतर हैं,वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। अतः,हम $\binom{10}{2} = 45$ प्रतिच्छेदन बिंदु खो देते हैं।
चूंकि $S_2$ की $10$ रेखाएँ बिंदु $P$ पर संगामी हैं,वे $\binom{10}{2} = 45$ अलग-अलग बिंदुओं के बजाय केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,हम $45 - 1 = 44$ प्रतिच्छेदन बिंदु खो देते हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या $190 - 45 - 44 = 101$ है।

(C) त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $S_2 = \frac{ab(a+b)}{2}$ है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $y = (a - b)x + ab$ है।
परवलय और रेखा द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $S_1 = \frac{(a+b)^3}{6}$ है।
अतः,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{3} \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 \right)$ है।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर,न्यूनतम मान $\frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $m = 4$ और $n = 3$ है,इसलिए $m + n = 7$।

(D) दिए गए परवलय $2y^2 = kx$ और $ky^2 = 2(y - x)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{2y^2}{k}$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$ky^2 = 2(y - \frac{2y^2}{k})$
$ky^2 = 2y - \frac{4y^2}{k}$
$y^2(k + \frac{4}{k}) = 2y$
$y(y(k + \frac{4}{k}) - 2) = 0$
अतः,$y = 0$ या $y = \frac{2}{k + \frac{4}{k}} = \frac{2k}{k^2 + 4}$।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (x_2 - x_1) dy = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} ((y - \frac{ky^2}{2}) - \frac{2y^2}{k}) dy$
$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (y - (\frac{k}{2} + \frac{2}{k})y^2) dy$
$A = [\frac{y^2}{2} - (\frac{k^2 + 4}{2k}) \frac{y^3}{3}]_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}}$
$A = \frac{1}{2}(\frac{2k}{k^2 + 4})^2 - \frac{k^2 + 4}{6k} (\frac{2k}{k^2 + 4})^3 = \frac{1}{6} (\frac{2k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} (\frac{k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} \frac{1}{(k + \frac{4}{k})^2}$।
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हर $(k + \frac{4}{k})^2$ को न्यूनतम होना चाहिए।
$AM \geq GM$ के अनुसार,$k + \frac{4}{k} \geq 2\sqrt{k \cdot \frac{4}{k}} = 4$ ($k > 0$ के लिए) या $k + \frac{4}{k} \leq -4$ ($k < 0$ के लिए)।
$(k + \frac{4}{k})^2$ का न्यूनतम मान $16$ है,जो तब होता है जब $k = \frac{4}{k}$,अर्थात $k^2 = 4$,इसलिए $k = 2$ या $k = -2$।
इन मानों के वर्गों का योग $2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$ है।

(B) दिया गया है कि $A = (-1, 0)$ और $B$ धनात्मक $x$-अक्ष पर है,मान लीजिए $B = (b, 0)$ जहाँ $b > 0$ है।
चूँकि $AB = AC$ और $\angle A = 120^{\circ}$ है,आधार कोण $\angle B = \angle C = 30^{\circ}$ हैं।
$\triangle ABC$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर: $\frac{AB}{\sin 30^{\circ}} = \frac{BC}{\sin 120^{\circ}}$.
$\frac{AB}{1/2} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}$ $\Rightarrow 2AB = 8$ $\Rightarrow AB = 4$.
चूँकि $A = (-1, 0)$ और $B = (b, 0)$ है,$AB = |b - (-1)| = b + 1 = 4$,इसलिए $b = 3$.
अतः,$B = (3, 0)$.
रेखा $BC$ की ढाल $\tan(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\tan 30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखा $BC$ का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 3) \Rightarrow x + \sqrt{3}y = 3$ है।
$x + \sqrt{3}y = 3$ और $y = x + 3$ को हल करने पर:
$x = y - 3$ को पहले समीकरण में रखने पर: $(y - 3) + \sqrt{3}y = 3$ $\Rightarrow y(1 + \sqrt{3}) = 6$ $\Rightarrow y = \frac{6}{\sqrt{3} + 1} = 3(\sqrt{3} - 1)$.
तब $x = 3(\sqrt{3} - 1) - 3 = 3\sqrt{3} - 6$.
अतः $\alpha = 3(\sqrt{3} - 2)$ और $\beta = 3(\sqrt{3} - 1)$.
$\frac{\beta^4}{\alpha^2} = \frac{[3(\sqrt{3} - 1)]^4}{[3(\sqrt{3} - 2)]^2} = 36$.

(C) त्रिभुज के शीर्ष $A(-1, 3)$,$B(-2, 2)$ और $C(3, -1)$ हैं।
भुजाओं के समीकरण:
$AC$ का समीकरण: ढाल $m = -1$,समीकरण $x + y = 2$ है।
$AB$ का समीकरण: ढाल $m = 1$,समीकरण $x - y + 4 = 0$ है।
$BC$ का समीकरण: ढाल $m = -\frac{3}{5}$,समीकरण $3x + 5y - 4 = 0$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ को $d=1$ इकाई अंदर की ओर स्थानांतरित करने पर,नई रेखा $ax + by + c \pm \sqrt{a^2+b^2} = 0$ प्राप्त होती है।
$AC: x + y - 2 = 0$ के लिए,नई रेखा $x + y = 2 - \sqrt{2}$ है।
मूल बिंदु के सबसे निकट की भुजा $x + y = 2 - \sqrt{2}$ है।

(B) कुल बिंदुओं की संख्या $n = 5 + 6 + 7 = 18$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $18$ में से $3$ बिंदुओं का चयन करना होगा,जिसे $^{18}C_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
हालाँकि,एक ही भुजा पर स्थित बिंदु संरेख होते हैं और त्रिभुज नहीं बना सकते।
भुजा $AB$ पर $5$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु चुनकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^{5}C_3$ है।
भुजा $BC$ पर $6$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु चुनकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^{6}C_3$ है।
भुजा $CA$ पर $7$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु चुनकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $^{7}C_3$ है।
कुल त्रिभुजों की संख्या = $^{18}C_3 - (^{5}C_3 + ^{6}C_3 + ^{7}C_3)$।
गणना: $^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$।
$^{5}C_3 = 10$,$^{6}C_3 = 20$,$^{7}C_3 = 35$।
कुल त्रिभुज = $816 - (10 + 20 + 35) = 816 - 65 = 751$।

(A) $(2^{\frac{1}{5}} + 5^{\frac{1}{3}})^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_{r} (2^{\frac{1}{5}})^{15-r} (5^{\frac{1}{3}})^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $T_{r+1} = {}^{15}C_{r} 2^{3 - \frac{r}{5}} 5^{\frac{r}{3}}$ प्राप्त होता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$2$ और $5$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए और $r$,$3$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 15$,$r$ के लिए संभावित मान $0$ और $15$ हैं।
$r = 0$ के लिए,$T_1 = {}^{15}C_0 2^3 5^0 = 1 \times 8 \times 1 = 8$।
$r = 15$ के लिए,$T_{16} = {}^{15}C_{15} 2^0 5^5 = 1 \times 1 \times 3125 = 3125$।
सभी परिमेय पदों का योग $8 + 3125 = 3133$ है।

(D) मान लीजिए $A.P.$ है $a, a+d, a+2d, \dots$ और $G.P.$ है $2, p, q, \dots$
दिया गया है कि $2, p, q$ $A.P.$ के $7^{\text{th}}, 8^{\text{th}}, 13^{\text{th}}$ पद हैं:
$2 = a + 6d \quad \dots(i)$
$p = a + 7d \quad \dots(ii)$
$q = a + 12d \quad \dots(iii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर,$p - 2 = d$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ में से $(ii)$ घटाने पर,$q - p = 5d$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q - p = 5(p - 2)$,इसलिए $q = 6p - 10$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2, p, q$ $G.P.$ में हैं,$p^2 = 2q$।
$q = 6p - 10$ प्रतिस्थापित करने पर,$p^2 = 2(6p - 10) \implies p^2 - 12p + 20 = 0$।
$p$ के लिए हल करने पर,$(p - 10)(p - 2) = 0$,अतः $p = 10$ या $p = 2$।
यदि $p = 2$ है,तो $q = 2$ होता है,जो $q \neq 2$ की शर्त का खंडन करता है। अतः,$p = 10$।
तब $d = p - 2 = 8$ और $a = 2 - 6(8) = -46$।
$G.P.$ है $2, 10, 50, 250, 1250, \dots$
$G.P.$ का $5^{\text{th}}$ पद $2 \times 5^4 = 1250$ है।
मान लीजिए यह $A.P.$ का $n^{\text{th}}$ पद है: $1250 = a + (n - 1)d$।
$1250 = -46 + (n - 1)8 \implies 1296 = (n - 1)8 \implies n - 1 = 162 \implies n = 163$.

(A) प्रेक्षण $-3, 4, 7, -6, a, b$ हैं। $N = 6$।
माध्य $\overline{x} = \frac{-3 + 4 + 7 - 6 + a + b}{6} = 2 \implies a + b = 10$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - (\overline{x})^2 = 23$।
$\frac{9 + 16 + 49 + 36 + a^2 + b^2}{6} = 27 \implies a^2 + b^2 = 52$।
$a$ और $b$ के मान $4$ और $6$ प्राप्त होते हैं।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन = $\frac{\sum |x_i - \overline{x}|}{6} = \frac{5 + 2 + 5 + 8 + 2 + 4}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$।

(D) समीकरण $ax^2 + bx + 1 = 0$ के मूल $2$ और $6$ दिए गए हैं।
मूलों का योग: $2 + 6 = 8 = -\frac{b}{a} \implies b = -8a$.
मूलों का गुणनफल: $2 \times 6 = 12 = \frac{1}{a} \implies a = \frac{1}{12}$.
$a$ का मान $b = -8a$ में रखने पर: $b = -8 \times \frac{1}{12} = -\frac{2}{3}$.
अब,नए मूलों की गणना करें:
मूल $1 = \frac{1}{2a + b} = \frac{1}{2(\frac{1}{12}) - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{6} - \frac{4}{6}} = \frac{1}{-\frac{3}{6}} = -2$.
मूल $2 = \frac{1}{6a + b} = \frac{1}{6(\frac{1}{12}) - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{2}{3}} = \frac{1}{-\frac{1}{6}} = -6$.
$-2$ और $-6$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $(x + 2)(x + 6) = 0$ है।
$x^2 + 8x + 12 = 0$.

(B) मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $\bar{z} = x - iy$ और $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।
दिया गया समीकरण: $(x - iy)^2 + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$ है।
$(x^2 - y^2 - 2ixy) + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$ है।
काल्पनिक भाग को शून्य के बराबर रखने पर: $-2xy = 0 \implies x = 0$ या $y = 0$ है।
स्थिति $1$: यदि $x = 0$,तो $-y^2 + |y| = 0 \implies |y|^2 = |y|$ है। चूँकि $z \neq 0$,इसलिए $|y| = 1$,अतः $y = 1$ या $y = -1$ है। इस प्रकार,$z_1 = i$ और $z_2 = -i$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $y = 0$,तो $x^2 + |x| = 0 \implies |x|^2 + |x| = 0$ है। चूँकि $|x| \geq 0$,यह दर्शाता है कि $|x| = 0$,अतः $x = 0$ है,जो $z = 0$ देता है (जो शून्येतर हल नहीं है)।
शून्येतर हल $z_1 = i$ और $z_2 = -i$ हैं।
योग $\alpha = i + (-i) = 0$ है।
गुणनफल $\beta = i \times (-i) = -i^2 = 1$ है।
अतः,$4(\alpha^2 + \beta^2) = 4(0^2 + 1^2) = 4(1) = 4$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-10x-6y+30=0$ है।
इसे $(x-5)^2+(y-3)^2 = 4 = 2^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,केंद्र $(5, 3)$ है और त्रिज्या $R = 2$ है।
माना वर्ग की भुजाएँ $y=x+c$ और $x+y+d=0$ के समानांतर हैं।
केंद्र $(5, 3)$ से इन रेखाओं की दूरी $R/\sqrt{2} = \sqrt{2}$ होनी चाहिए।
$y-x-c=0$ के लिए: $\left|\frac{3-5-c}{\sqrt{2}}\right| = \sqrt{2} \implies |c+2| = 2 \implies c=0$ या $c=-4$।
$x+y+d=0$ के लिए: $\left|\frac{5+3+d}{\sqrt{2}}\right| = \sqrt{2} \implies |d+8| = 2 \implies d=-6$ या $d=-10$।
भुजाओं के समीकरण $y=x$,$y=x-4$,$x+y=6$ और $x+y=10$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर शीर्ष $(5, 5), (3, 3), (5, 1), (7, 3)$ प्राप्त होते हैं।
$\sum(x_i^2+y_i^2) = (25+25) + (9+9) + (25+1) + (49+9) = 152$।

(A) $L$'Hopital के नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}((5 x+1)^{1 / 3}-(x+5)^{1 / 3})}{\frac{d}{dx}((2 x+3)^{1 / 2}-(x+4)^{1 / 2})}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 1} \frac{\frac{1}{3}(5 x+1)^{-2 / 3} \cdot 5 - \frac{1}{3}(x+5)^{-2 / 3}}{\frac{1}{2}(2 x+3)^{-1 / 2} \cdot 2 - \frac{1}{2}(x+4)^{-1 / 2}}$
$= \frac{\frac{5}{3}(6)^{-2 / 3} - \frac{1}{3}(6)^{-2 / 3}}{(5)^{-1 / 2} - \frac{1}{2}(5)^{-1 / 2}}$
$= \frac{\frac{4}{3} \cdot 6^{-2 / 3}}{\frac{1}{2} \cdot 5^{-1 / 2}} = \frac{8}{3} \cdot 6^{-2 / 3} \cdot \sqrt{5} = \frac{8 \sqrt{5}}{3 \cdot 6^{2 / 3}}$
$\frac{m \sqrt{5}}{n(2 n)^{2 / 3}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m=8$ और $n=3$ प्राप्त होता है।
अतः,$8m + 12n = 8(8) + 12(3) = 64 + 36 = 100$.

(B) मान लीजिए $x$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने तीनों विषयों का अध्ययन किया है। तीन समुच्चयों $M, P, C$ के संघ के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$|M \cup P \cup C| = 220 - 10 = 210$.
हमें दिया गया है $|M \cap P| = 40$,$|P \cap C| = 30$,$|C \cap M| = 50$.
केवल $M$ का अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $|M| - (40-x) - (50-x) - x = |M| - 90 x$ है।
इसी प्रकार,केवल $P$ के लिए $|P| - 70 x$ और केवल $C$ के लिए $|C| - 80 x$ है।
कुल छात्रों की संख्या:
$|M \cup P \cup C| = (|M| |P| |C|) - (|M \cap P| |P \cap C| |C \cap M|) |M \cap P \cap C| = 210$.
$|M| |P| |C| - (40 30 50) x = 210 \Rightarrow |M| |P| |C| = 330 - x$.
दिया गया है $125 \leq |M| \leq 130$,$85 \leq |P| \leq 95$,$75 \leq |C| \leq 90$.
योग करने पर: $285 \leq |M| |P| |C| \leq 315$.
$|M| |P| |C| = 330 - x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$285 \leq 330 - x \leq 315$.
$-45 \leq -x \leq -15 \Rightarrow 15 \leq x \leq 45$.
इसके अलावा,वेन आरेख के अनुसार,प्रत्येक क्षेत्र में छात्रों की संख्या गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए:
$40-x \geq 0, 30-x \geq 0, 50-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 30$.
$15 \leq x \leq 45$ और $x \leq 30$ को संयोजित करने पर,हमें $15 \leq x \leq 30$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 15$ और $n = 30$.
$m n = 15 30 = 45$.

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} {}^n C_r = 2^n$.
अतः,$b = 1 + \frac{2^1}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2$.
अब,$a = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{{}^n C_2}{(n+1)!}$.
${}^n C_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ का उपयोग करने पर,$a = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{2(n+1)!} = 1 + \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{(n+1)!}$.
श्रेणी का योग करने पर $a = e/2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{2b}{a^2} = \frac{2(e^2)}{(e/2)^2} = \frac{2e^2}{e^2/4} = 8$.

(D) परवलय $y^2=4ax$ की नाभीय जीवा की लंबाई $L = 4a \operatorname{cosec}^2 \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ जीवा द्वारा परवलय के अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ,$4a = 12$,इसलिए $a = 3$. लंबाई $L = 15$.
$12 \operatorname{cosec}^2 \theta = 15 \implies \operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
तब $\sin^2 \theta = \frac{4}{5}$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
अतः,$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{4/5}{1/5} = 4$,इसलिए $\tan \theta = 2$.
नाभीय जीवा नाभि $(a, 0) = (3, 0)$ से होकर गुजरती है। $\theta$ ढाल वाली जीवा का समीकरण $y - 0 = m(x - 3)$ है।
जीवा अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है,इसलिए इसकी ढाल $m = \pm \tan \theta = \pm 2$ है। मान लीजिए $m = 2$.
समीकरण $y = 2(x - 3) \implies 2x - y - 6 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $2x - y - 6 = 0$ की दूरी $p = \frac{|2(0) - 0 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ है।
इसलिए,$p^2 = \frac{36}{5}$.
अंत में,$10p^2 = 10 \times \frac{36}{5} = 2 \times 36 = 72$.

(B) वृत्त $C$ का समीकरण $x^2+y^2=10$ है। त्रिज्या $R = \sqrt{10}$ है।
जीवा $PQ$ के लिए: रेखा $x+y-2=0$ है। मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $PQ$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
जीवा $MN$ के लिए: जीवा की लंबाई $2$ इकाई है। मान लीजिए $A$,$MN$ का मध्य बिंदु है। तब $AN = \frac{MN}{2} = 1$। $\Delta OAN$ में,$OA^2 + AN^2 = ON^2$,जहाँ $ON$ त्रिज्या $R = \sqrt{10}$ है।
$OA^2 + 1^2 = (\sqrt{10})^2 \implies OA^2 = 9 \implies OA = 3$। अतः,मूल बिंदु से जीवा $MN$ की लंबवत दूरी $d_2 = 3$ है।
चूंकि दोनों जीवाओं $PQ$ और $MN$ की ढाल $-1$ है,इसलिए वे समांतर हैं। दो समांतर जीवाओं के बीच की दूरी $|d_1 \pm d_2|$ होती है।
दूरी $= |3 \pm \sqrt{2}|$.
अतः,संभावित दूरियाँ $3+\sqrt{2}$ या $3-\sqrt{2}$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$3-\sqrt{2}$ सही विकल्प है।

(A) चूँकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
$a, b, c$ का समांतर माध्य $8$ दिया गया है,अतः $\frac{a+b+c}{3} = 8$,जिसका अर्थ है $a+b+c = 24$।
$a+c = 2b$ प्रतिस्थापित करने पर,$3b = 24$,जिससे $b = 8$ प्राप्त होता है।
तब $a+c = 16$,अतः $c = 16 - a$।
चूँकि $a+1, b, c+3$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b^2 = (a+1)(c+3)$ है।
$b=8$ और $c=16-a$ रखने पर,$64 = (a+1)(19-a)$ प्राप्त होता है।
$64 = 19a - a^2 + 19 - a$,जो $a^2 - 18a + 45 = 0$ में बदल जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(a-15)(a-3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a > 10$ है,इसलिए $a = 15$ होगा।
तब $c = 16 - 15 = 1$।
संख्याएँ $a=15, b=8, c=1$ हैं।
गुणोत्तर माध्य का घन $(abc)^{1/3}$ का घन यानी $abc = 15 \times 8 \times 1 = 120$ है।

(B) माना व्यंजक $S = \frac{\sum_{r=1}^{n} r(r+1)^2}{\sum_{r=1}^{n} r^2(r+1)}$ है,जहाँ $n=100$ है।
अंश: $\sum_{r=1}^{n} (r^3 + 2r^2 + r) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{2n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$.
हर: $\sum_{r=1}^{n} (r^3 + r^2) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{\frac{n^2+n}{2} + \frac{4n+2}{3} + 1}{\frac{n^2+n}{2} + \frac{2n+1}{3}}$.
$n=100$ के लिए: $\frac{5050 + 134 + 1}{5050 + 67} = \frac{5185}{5117} = \frac{305}{301}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \int_0^x (t + \sin(1 - e^t)) dt$. हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^3}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $f(0) = 0$ और हर $x = 0$ पर $0$ है,हम $L'H\text{ôpital's Rule}$ का उपयोग करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{3x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + \sin(1 - e^x)}{3x^2}$.
पुनः $L'H\text{ôpital's Rule}$ लागू करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + \cos(1 - e^x) \cdot (-e^x)}{6x}$.
टेलर विस्तार $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$ और $\cos(\theta) \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ का उपयोग करने पर:
$1 - e^x \approx -x - \frac{x^2}{2}$.
$\cos(1 - e^x) \approx 1 - \frac{(-x - \frac{x^2}{2})^2}{2} \approx 1 - \frac{x^2}{2}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1 - \frac{x^2}{2})(1 + x + \frac{x^2}{2})}{6x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2})}{6x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x}{6x} = -\frac{1}{6}$.

(B) माना $z = x + iy$ है।
दिया गया है $|z-1| \leq 2$, जिससे हमें $(x-1)^2 + y^2 \leq 2^2$ प्राप्त होता है, जो $(1, 0)$ केंद्र और $r = 2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
दिया गया है $(z+\overline{z}) + i(z-\overline{z}) \leq 2$, इसमें $z = x+iy$ और $\overline{z} = x-iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+iy + x-iy) + i(x+iy - (x-iy)) \leq 2$
$2x + i(2iy) \leq 2$
$2x - 2y \leq 2 \Rightarrow x - y \leq 1 \Rightarrow y \geq x - 1$.
दिया गया है $\operatorname{Im}(z) \geq 0$, जिससे $y \geq 0$ प्राप्त होता है।
यह क्षेत्र वृत्त $(x-1)^2 + y^2 \leq 4$, अर्ध-तल $y \geq x-1$, और ऊपरी अर्ध-तल $y \geq 0$ का प्रतिच्छेदन है।
रेखा $y = x-1$ बिंदु $(1, 0)$ से गुजरती है और धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^\circ$ (या $\pi/4$ रेडियन) का कोण बनाती है।
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के अर्धवृत्त का क्षेत्रफल माइनस प्रथम चतुर्थांश में रेखा $y = x-1$ द्वारा काटे गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$.
त्रिज्यखंड वृत्त के भीतर रेखा $y=x-1$ और $x$-अक्ष के बीच के क्षेत्र के अनुरूप है। केंद्र $(1, 0)$ पर इस त्रिज्यखंड द्वारा अंतरित कोण $\pi/4$ है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} (2)^2 (\pi/4) = \pi/2$.
आवश्यक क्षेत्रफल = $2\pi - \pi/2 = \frac{3\pi}{2}$.

(A) $(1+x)^n$ में $x^4, x^5, x^6$ के गुणांक क्रमशः $^nC_4, ^nC_5, ^nC_6$ हैं।
चूंकि ये समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$ होगा।
$^nC_5$ से विभाजित करने पर,$2 = \frac{^nC_4}{^nC_5} + \frac{^nC_6}{^nC_5}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{^nC_4}{^nC_5} = \frac{5}{n-4}$ और $\frac{^nC_6}{^nC_5} = \frac{n-5}{6}$ मिलता है।
अतः,$2 = \frac{5}{n-4} + \frac{n-5}{6}$।
$6(n-4)$ से गुणा करने पर,$12(n-4) = 30 + (n-5)(n-4)$ प्राप्त होता है।
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$।
$n^2 - 21n + 98 = 0$।
$(n-14)(n-7) = 0$।
इस प्रकार,$n = 14$ या $n = 7$ है।
$n$ का अधिकतम मान $14$ है।

(C) माना $n$ समुच्चय में अवयवों की संख्या है। यहाँ,$n = 4$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय पर कुल सममित संबंधों की संख्या $2^{\frac{n(n+1)}{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए,सममित संबंधों की संख्या $2^{\frac{4(5)}{2}} = 2^{10} = 1024$ है।
वे सममित संबंध जो स्वतुल्य भी हैं,उनकी संख्या $2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए,सममित और स्वतुल्य संबंधों की संख्या $2^{\frac{4(3)}{2}} = 2^6 = 64$ है।
स्वतुल्य न होने वाले सममित संबंधों की संख्या,कुल सममित संबंधों में से स्वतुल्य और सममित संबंधों की संख्या को घटाने पर प्राप्त होती है।
स्वतुल्य न होने वाले सममित संबंधों की संख्या $= 2^{10} - 2^6 = 1024 - 64 = 960$.

(A) दिए गए समीकरण $(y-2)^2 = x-1$ और $x = 2y-4$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,रेखा के समीकरण से $x$ का मान परवलय के समीकरण में रखने पर:
$(y-2)^2 = (2y-4)-1$
$(y-2)^2 = 2(y-2)-1$
माना $u = y-2$,तो $u^2 = 2u-1$,जिससे $u^2-2u+1 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $(u-1)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $u=1$.
इस प्रकार,$y-2 = 1$,अतः $y=3$. तब $x = 2(3)-4 = 2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ है।
क्षेत्र $y$-अक्ष $(x=0)$,$x$-अक्ष $(y=0)$,रेखा $x = 2y-4$ और परवलय $x = (y-2)^2+1$ द्वारा घिरा है।
क्षेत्रफल $= \int_0^3 ((y-2)^2+1) dy - \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल}$.
क्षेत्रफल $= \int_0^3 (y^2-4y+5) dy - \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = [\frac{y^3}{3}-2y^2+5y]_0^3 - 1 = (9-18+15) - 1 = 6-1 = 5$.

(D) ज्ञात करने के लिए,सभी गुणांकों का योग,हम व्यंजक में $x=1$ रखते हैं:
$a = (1-2(1)+2(1)^2)^{2023} \times (3-4(1)^2+2(1)^3)^{2024} = (1)^{2023} \times (1)^{2024} = 1$.
$b$ ज्ञात करने के लिए,हम $L'\text{H\^opital's Rule}$ का उपयोग करते हैं क्योंकि यह $0/0$ रूप है:
$b = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{\frac{d}{dx} (x^2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\ln(1+x)}{x^{2024}+1}}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \times \frac{1}{x^{2024}+1} \right) = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
$a=1$ और $b=1/2$ को दूसरे समीकरण $2bx^2+ax+4=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1/2)x^2 + (1)x + 4 = 0 \implies x^2+x+4=0$.
चूंकि समीकरणों $cx^2+dx+e=0$ और $x^2+x+4=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है और गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{c}{1} = \frac{d}{1} = \frac{e}{4}$.
अतः,$d:c:e = 1:1:4$.

(D) दिया गया क्षेत्र $y^2 \leq 4x$,$x < 4$,और $\frac{xy(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} > 0$ द्वारा परिभाषित है।
$y > 0$ के लिए,हमें $\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} > 0$ की आवश्यकता है। वेवी कर्व विधि का उपयोग करते हुए,$x$ के लिए अंतराल $(0, 1) \cup (2, 3)$ प्राप्त होते हैं।
$y < 0$ के लिए,हमें $\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} < 0$ की आवश्यकता है। $x$ के लिए अंतराल $(1, 2) \cup (3, 4)$ प्राप्त होते हैं।
क्षेत्रफल इन अंतरालों पर $2\sqrt{x}$ के समाकलनों का योग है:
$\text{Area} = \int_0^1 2\sqrt{x} dx + \int_2^3 2\sqrt{x} dx + \int_1^2 2\sqrt{x} dx + \int_3^4 2\sqrt{x} dx$
इन्हें जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_0^4 2\sqrt{x} dx = 2 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_0^4 = \frac{4}{3} \times (4^{3/2} - 0) = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3}$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{4x+3}{6x-4}$.
सबसे पहले,हम $g(x) = (f \circ f)(x) = f(f(x))$ ज्ञात करते हैं।
$g(x) = f\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) = \frac{4\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) + 3}{6\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) - 4}$.
अंश और हर को $(6x-4)$ से गुणा करने पर:
$g(x) = \frac{4(4x+3) + 3(6x-4)}{6(4x+3) - 4(6x-4)} = \frac{16x + 12 + 18x - 12}{24x + 18 - 24x + 16} = \frac{34x}{34} = x$.
चूँकि $g(x) = x$ है,इसलिए $g$ एक तत्समक फलन (identity function) है।
अतः,$(g \circ g \circ g)(4) = g(g(g(4))) = g(g(4)) = g(4) = 4$.

(D) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और $D_1, D_2, D_3$ भी $0$ होने चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & \alpha & 3 \\ 3 & -1 & \beta \end{vmatrix} = 1(\alpha\beta + 3) + 2(2\beta - 9) + 1(-2 - 3\alpha) = \alpha\beta - 3\alpha + 4\beta - 17 = 0 \implies \alpha\beta - 3\alpha + 4\beta = 17 \dots (1)$
$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & \beta \end{vmatrix} = 1(5\beta - 9) + 4(2\beta - 9) + 1(6 - 15) = 5\beta - 9 + 8\beta - 36 - 9 = 13\beta - 54 = 0 \implies \beta = \frac{54}{13}$.
समीकरण $(1)$ में $\beta = \frac{54}{13}$ रखने पर:
$\alpha(\frac{54}{13}) - 3\alpha + 4(\frac{54}{13}) = 17$
$\frac{54\alpha - 39\alpha + 216}{13} = 17$
$15\alpha + 216 = 221 \implies 15\alpha = 5 \implies \alpha = \frac{1}{3}$.
अब,$12\alpha + 13\beta = 12(\frac{1}{3}) + 13(\frac{54}{13}) = 4 + 54 = 58$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dx}{dy} = x(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.
$y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y}(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.
माना $v = \frac{x}{y}$,तो $x = vy$. $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.
समीकरण में मान रखने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = v(\ln v + 1) = v \ln v + v$.
$y \frac{dv}{dy} = v \ln v$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \ln v} = \frac{dy}{y}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v \ln v} = \int \frac{dy}{y}$.
माना $u = \ln v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$. समाकलन होगा: $\int \frac{du}{u} = \int \frac{dy}{y}$.
$\ln|u| = \ln|y| + C \Rightarrow \ln|\ln v| = \ln y + C$.
$v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y + C$.
बिंदु $(e, 1)$ से गुजरने पर: $\ln|\ln(\frac{e}{1})| = \ln(1) + C \Rightarrow \ln(1) = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|\ln(\frac{x}{y})| = y$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{\tan x+y}{\sin x(\sec x-\sin x \tan x)}$ है।
हर का सरलीकरण: $\sin x(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos x}) = \sin x(\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}) = \sin x(\frac{\cos^2 x}{\cos x}) = \sin x \cos x$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan x + y}{\sin x \cos x} = \frac{\tan x}{\sin x \cos x} + \frac{y}{\sin x \cos x} = \sec^2 x + y(2 \csc 2x)$.
यह $\frac{d y}{d x} - (2 \csc 2x)y = \sec^2 x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 \csc 2x dx} = e^{-\ln|\tan x|} = \frac{1}{\tan x}$ (चूंकि $x \in (0, \pi/2)$)।
सामान्य हल $y \cdot \frac{1}{\tan x} = \int \sec^2 x \cdot \frac{1}{\tan x} dx + c$ है।
मान लीजिए $\tan x = t$,तो $\sec^2 x dx = dt$. अतः,$y \cot x = \int \frac{1}{t} dt + c = \ln|t| + c = \ln(\tan x) + c$.
इस प्रकार,$y = \tan x (\ln(\tan x) + c)$.
चूंकि $y(\frac{\pi}{4}) = 2$ दिया गया है,तो $2 = \tan(\frac{\pi}{4})(\ln(\tan(\frac{\pi}{4})) + c) = 1(0 + c)$,इसलिए $c = 2$.
हल $y = \tan x (\ln(\tan x) + 2)$ है।
$x = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3})(\ln(\tan(\frac{\pi}{3})) + 2) = \sqrt{3}(\ln \sqrt{3} + 2) = \sqrt{3}(2 + \log_e \sqrt{3})$.

(D) दिया गया है कि $\vec{p} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$,इसलिए $\vec{p} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{b} = \vec{0}$.
इसका अर्थ है कि $(\vec{p} - \vec{c}) \times \vec{b} = \vec{0}$.
अतः,$\vec{p} - \vec{c} = \lambda \vec{b}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{p} = \vec{c} + \lambda \vec{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
दिया गया है कि $\vec{p} \cdot \vec{a} = 0$,इसलिए $\vec{p}$ का मान रखने पर:
$(\vec{c} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow \vec{c} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
अदिश गुणन की गणना करने पर:
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (1)(3) + (-3)(1) + (4)(-2) = 3 - 3 - 8 = -8$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (4)(3) + (1)(1) + (7)(-2) = 12 + 1 - 14 = -1$.
इन मानों को रखने पर: $-8 + \lambda(-1) = 0 \Rightarrow \lambda = -8$.
अतः,$\vec{p} = \vec{c} - 8 \vec{b} = (\hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - 8(4 \hat{i} + \hat{j} + 7 \hat{k}) = -31 \hat{i} - 11 \hat{j} - 52 \hat{k}$.
अंत में,$\vec{p} \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = (-31)(1) + (-11)(-1) + (-52)(-1) = -31 + 11 + 52 = 32$.

(D) आवश्यक रेखा की दिशा का सदिश दो दी गई रेखाओं के दिशा सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 5 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 15) - \hat{j}(4 + 5) + \hat{k}(6 + 3) = -9\hat{i} - 9\hat{j} + 9\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{d} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
$P(5, -4, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $M$ $(5+\lambda, -4+\lambda, 3-\lambda)$ है।
मान लीजिए $Q$ $(0, 2, -2)$ है। सदिश $\vec{QM} = (5+\lambda - 0)\hat{i} + (-4+\lambda - 2)\hat{j} + (3-\lambda + 2)\hat{k} = (5+\lambda)\hat{i} + (\lambda-6)\hat{j} + (5-\lambda)\hat{k}$ है।
चूंकि $QM$ रेखा के लंबवत है,$\vec{QM} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$ होगा।
$(5+\lambda)(1) + (\lambda-6)(1) + (5-\lambda)(-1) = 0 \implies 5+\lambda + \lambda-6 - 5+\lambda = 0 \implies 3\lambda - 6 = 0 \implies \lambda = 2$.
बिंदु $M$ $(5+2, -4+2, 3-2) = (7, -2, 1)$ है।
दूरी $QM = \sqrt{(7-0)^2 + (-2-2)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{49 + 16 + 9} = \sqrt{74}$।

(A) माना $\sin ^{-1} \alpha = A, \sin ^{-1} \beta = B, \sin ^{-1} \gamma = C$ है।
अतः $A+B+C = \pi$,जिसका अर्थ है $\sin A = \alpha, \sin B = \beta, \sin C = \gamma$।
दिया गया समीकरण $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha+\beta-\gamma) = 3\alpha\beta$ है।
इसे $(\alpha+\beta)^2 - \gamma^2 = 3\alpha\beta$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $\alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta - \gamma^2 = 3\alpha\beta$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2 = \alpha\beta$ हो जाता है।
$2\alpha\beta$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2}{2\alpha\beta} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
कोसाइन के नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2}{2\alpha\beta} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $\cos C = \frac{1}{2}$,इसलिए $C = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$\gamma = \sin C = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(D) कुल कंचों की संख्या $= 10 + 30 + 20 + 15 = 75$.
चूंकि कंचों को प्रतिस्थापन (replacement) के साथ निकाला जाता है,इसलिए घटनाएं स्वतंत्र हैं।
पहला कंचा लाल होने की प्रायिकता $P(R) = \frac{10}{75} = \frac{2}{15}$.
दूसरा कंचा सफेद होने की प्रायिकता $P(W) = \frac{30}{75} = \frac{2}{5}$.
दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता $= P(R) \times P(W) = \frac{2}{15} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{75}$.

(D) मान लीजिए $g(x) = ax + b$ है। चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होगा।
$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} = g(0) = b$.
सीमा की गणना करने पर: $\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{1+x}{2+x}\right)} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\ln(1+x) - \ln(2+x))} = e^{-\infty} = 0$.
अतः,$b = 0$,जिससे $g(x) = ax$ प्राप्त होता है।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}}$ है। मान लीजिए $y = f(x)$,तब $\ln y = \frac{1}{x} (\ln(1+x) - \ln(2+x))$ होगा।
$\frac{1}{y} f'(x) = -\frac{1}{x^2} (\ln(1+x) - \ln(2+x)) + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2+x}\right)$.
$x = 1$ पर,$y = f(1) = \frac{2}{3}$ है।
$\frac{3}{2} f'(1) = -(\ln 2 - \ln 3) + 1 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{6}$.
$f'(1) = \frac{2}{3} \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{9} = -\frac{2}{3} \ln\left(\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{9}$.
दिया गया है कि $f'(1) = f(-1) = g(-1) = -a$,इसलिए $a = \frac{2}{3} \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{1}{9}$ है।
$g(3) = 3a = 2 \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{1}{3} = \ln\left(\frac{4}{9 e^{1/3}}\right)$.

(C) सबसे पहले,हम $x=0$ रखकर $f(0)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 4 & -2 \end{array}\right| = 0(0-24) - 1(-4-0) + 1(8-0) = 4 + 8 = 12$.
अब,सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करके $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \left|\begin{array}{ccc} 3x^2 & 4x & 3 \\ 3x^2+2 & 2x & x^3+6 \\ x^3-x & 4 & x^2-2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x^3 & 2x^2+1 & 1+3x \\ 6x & 2 & 3x^2 \\ x^3-x & 4 & x^2-2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x^3 & 2x^2+1 & 1+3x \\ 3x^2+2 & 2x & x^3+6 \\ 3x^2-1 & 0 & 2x \end{array}\right|$.
अब $x=0$ रखकर $f'(0)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(0) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 4 & -2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 6 \\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right|$.
प्रत्येक सारणिक का मान:
प्रथम: $3(8-0) = 24$.
द्वितीय: $0$ (क्योंकि प्रथम स्तंभ शून्य है)।
तृतीय: $-1(6-0) = -6$.
अतः,$f'(0) = 24 + 0 - 6 = 18$.
अंत में,$2f(0) + f'(0) = 2(12) + 18 = 24 + 18 = 42$.

(D) कुल सेब = $3 + 15 = 18$.
हम $2$ सेब चुनते हैं। $2$ सेब चुनने के कुल तरीके $^{18}C_2 = \frac{18 \times 17}{2} = 153$ हैं।
माना $X$ सड़े हुए सेबों की संख्या है। $X$ का मान $0, 1, 2$ हो सकता है।
$P(X=0) = \frac{^{15}C_2}{^{18}C_2} = \frac{105}{153}$.
$P(X=1) = \frac{^{3}C_1 \times ^{15}C_1}{^{18}C_2} = \frac{3 \times 15}{153} = \frac{45}{153}$.
$P(X=2) = \frac{^{3}C_2}{^{18}C_2} = \frac{3}{153}$.
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{105}{153} + 1 \times \frac{45}{153} + 2 \times \frac{3}{153} = \frac{51}{153} = \frac{1}{3}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{105}{153} + 1^2 \times \frac{45}{153} + 2^2 \times \frac{3}{153} = \frac{45 + 12}{153} = \frac{57}{153}$.
$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{57}{153} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{57}{153} - \frac{1}{9} = \frac{57}{153} - \frac{17}{153} = \frac{40}{153}$.

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x (\cos x)^{\frac{13}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$.
माना $\cos x = t^2$,तब $-\sin x dx = 2t dt$. जब $x=0, t=1$; जब $x=\frac{\pi}{2}, t=0$.
$I = 2 \int_1^0 (t^2)^{\frac{13}{2}} (1 + (t^2)^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{2}} (-2t dt) = 4 \int_0^1 t^{13} (1 + t^5)^{\frac{1}{2}} t dt = 4 \int_0^1 t^{14} \sqrt{1+t^5} dt$.
माना $1+t^5 = k^2$,तब $5t^4 dt = 2k dk$. जब $t=0, k=1$; जब $t=1, k=\sqrt{2}$.
साथ ही $t^5 = k^2-1$,इसलिए $t^{10} = (k^2-1)^2$.
$I = 4 \int_1^{\sqrt{2}} (k^2-1)^2 \cdot k \cdot \frac{2k}{5} dk = \frac{8}{5} \int_1^{\sqrt{2}} (k^6 - 2k^4 + k^2) dk$.
$I = \frac{8}{5} \left[ \frac{k^7}{7} - \frac{2k^5}{5} + \frac{k^3}{3} \right]_1^{\sqrt{2}} = \frac{8}{5} \left[ (\frac{8\sqrt{2}}{7} - \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3}) - (\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}) \right]$.
$I = \frac{8}{5} \left[ \frac{120\sqrt{2} - 168\sqrt{2} + 70\sqrt{2}}{105} - \frac{15 - 42 + 35}{105} \right] = \frac{8}{5} \left[ \frac{22\sqrt{2}}{105} - \frac{8}{105} \right] = \frac{176\sqrt{2} - 64}{525}$.
अतः,$525 I = 176\sqrt{2} - 64$.
$(n \sqrt{2}-64)$ से तुलना करने पर,हमें $n = 176$ प्राप्त होता है।

(B) कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = (e^x-1)^{11}(2x-1)^5(x-2)^7(x-3)^{12}(2x-10)^{61}$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0, \frac{1}{2}, 2, 3, 5$ प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करने पर:
- $x=0$ पर: $f'(x)$ का चिह्न $+$ से $-$ में बदलता है,इसलिए $f(x)$ का $x=0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।
- $x=\frac{1}{2}$ पर: $f'(x)$ का चिह्न $-$ से $+$ में बदलता है,इसलिए $f(x)$ का $x=\frac{1}{2}$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है।
- $x=2$ पर: $f'(x)$ का चिह्न $+$ से $-$ में बदलता है,इसलिए $f(x)$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।
- $x=3$ पर: $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है (घात $12$ है),इसलिए यह नति परिवर्तन बिंदु है।
- $x=5$ पर: $f'(x)$ का चिह्न $-$ से $+$ में बदलता है,इसलिए $f(x)$ का $x=5$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है।
स्थानीय उच्चिष्ठ $x=0$ और $x=2$ पर प्राप्त होते हैं। अतः,$p = 0^2 + 2^2 = 4$ है।
स्थानीय निम्निष्ठ $x=\frac{1}{2}$ और $x=5$ पर प्राप्त होते हैं। अतः,$q = \frac{1}{2} + 5 = \frac{11}{2}$ है।
अंत में,$p^2 + 2q = 4^2 + 2(\frac{11}{2}) = 16 + 11 = 27$ है।

(D) रेखा $L_1$ को $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{0} = r$ द्वारा दिया गया है। अतः,$Q = (r, r, 1)$.
चूंकि $PQ \perp L_1$,सदिश $\vec{PQ} = (r-a, r-a, 1-a)$ दिशा सदिश $(1, 1, 0)$ के लंबवत है।
$(r-a)(1) + (r-a)(1) + (1-a)(0) = 0 \implies 2(r-a) = 0 \implies r = a$. अतः,$Q = (a, a, 1)$.
रेखा $L_2$ को $\frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{0} = k$ द्वारा दिया गया है। अतः,$R = (k, -k, -1)$.
चूंकि $PR \perp L_2$,सदिश $\vec{PR} = (k-a, -k-a, -1-a)$ दिशा सदिश $(1, -1, 0)$ के लंबवत है।
$(k-a)(1) + (-k-a)(-1) + (-1-a)(0) = 0 \implies k-a + k+a = 0 \implies 2k = 0 \implies k = 0$. अतः,$R = (0, 0, -1)$.
दिया गया है कि $\angle QPR = 90^{\circ}$,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0$.
$\vec{PQ} = (a-a, a-a, 1-a) = (0, 0, 1-a)$.
$\vec{PR} = (0-a, 0-a, -1-a) = (-a, -a, -1-a)$.
$(0)(-a) + (0)(-a) + (1-a)(-1-a) = 0$.
$-(1-a)(1+a) = 0 \implies -(1-a^2) = 0 \implies a^2 = 1$.
अतः,$12a^2 = 12(1) = 12$.

(D) दिया गया है $\vec{c} = 2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}$।
$\vec{b}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}) = 2(\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 3|\vec{b}|^2$।
चूँकि $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = -3|\vec{b}|^2 = -3(4)^2 = -48$।
साथ ही,$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos \alpha = 4|\vec{c}| \cos \alpha$।
अतः,$4|\vec{c}| \cos \alpha = -48 \Rightarrow |\vec{c}| \cos \alpha = -12$।
अब,$|\vec{c}|^2$ की गणना करते हैं:
$|\vec{c}|^2 = |2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}$।
चूँकि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $|\vec{c}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9(16) = 4|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \sin^2 \theta + 144$।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 1 \cdot 4 \cdot \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = 1/2 \Rightarrow \sin^2 \theta = 3/4$।
$|\vec{c}|^2 = 4(1)(16)(3/4) + 144 = 48 + 144 = 192$।
हमें प्राप्त होता है $|\vec{c}|^2 \cos^2 \alpha = (-12)^2 = 144$।
$192 \cos^2 \alpha = 144 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 144/192 = 3/4$।
तब $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - 3/4 = 1/4$।
अतः,$192 \sin^2 \alpha = 192 \times (1/4) = 48$।

(A) एक तुल्यता संबंध $S$ को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
दिया गया है $R = \{(1, 2), (2, 3), (1, 4)\}$.
$1$. स्वतुल्यता: $S$ में $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ होने चाहिए।
$2$. सममितता: चूंकि $(1, 2) \in S$,इसलिए $(2, 1) \in S$। चूंकि $(2, 3) \in S$,इसलिए $(3, 2) \in S$। चूंकि $(1, 4) \in S$,इसलिए $(4, 1) \in S$।
$3$. संक्रामकता: चूंकि $(1, 2) \in S$ और $(2, 3) \in S$,इसलिए $(1, 3) \in S$। सममितता के अनुसार $(3, 1) \in S$।
यहाँ सभी अवयव एक ही तुल्यता वर्ग में हैं,इसलिए $S = A \times A$।
अतः,अवयवों की संख्या $n = 4 \times 4 = 16$।

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि $f(x) + f(1-x) = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2} = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4/4^x}{4/4^x+2} = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4}{4+2 \cdot 4^x} = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{2}{2+4^x} = \frac{4^x+2}{4^x+2} = 1.$
मान लीजिए $M = \int_{f(a)}^{f(1-a)} x \sin^4(x(1-x)) dx.$ गुणधर्म $\int_A^B g(x) dx = \int_A^B g(A+B-x) dx$ का उपयोग करते हुए,और यह देखते हुए कि $A+B = f(a) + f(1-a) = 1,$ हमें प्राप्त होता है:
$M = \int_{f(a)}^{f(1-a)} (1-x) \sin^4((1-x)(1-(1-x))) dx = \int_{f(a)}^{f(1-a)} (1-x) \sin^4((1-x)x) dx.$
अतः,$M = \int_{f(a)}^{f(1-a)} \sin^4(x(1-x)) dx - \int_{f(a)}^{f(1-a)} x \sin^4(x(1-x)) dx.$
इसका अर्थ है $M = N - M,$ जो सरल होकर $2M = N$ हो जाता है.
दिया गया है कि $\alpha M = \beta N,$ अतः $\alpha M = \beta (2M),$ जिससे $\alpha = 2\beta$ प्राप्त होता है.
चूंकि $\alpha, \beta \in N,$ सबसे छोटे मान $\beta = 1$ और $\alpha = 2$ हैं.
अतः $\alpha^2 + \beta^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ होगा।

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{-x}^{x} (|t| - t^2) e^{-t^2} dt$. चूँकि समाकल्य एक सम फलन है,$f(x) = 2 \int_{0}^{x} (t - t^2) e^{-t^2} dt$.
लाइबनीज के नियम के अनुसार,$f'(x) = 2(x - x^2) e^{-x^2} = 2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}$.
दिया गया है $g(x) = \int_{0}^{x^2} t^{1/2} e^{-t} dt$. मान लीजिए $t = u^2$,तो $dt = 2u du$. जब $t=0, u=0$ और जब $t=x^2, u=x$.
अतः,$g(x) = \int_{0}^{x} u e^{-u^2} (2u) du = 2 \int_{0}^{x} u^2 e^{-u^2} du$.
लाइबनीज के नियम के अनुसार,$g'(x) = 2x^2 e^{-x^2}$.
अब,$f'(x) + g'(x) = (2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}) + 2x^2e^{-x^2} = 2xe^{-x^2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$f(x) + g(x) = \int 2xe^{-x^2} dx = -e^{-x^2} + C$.
चूँकि $f(0) = 0$ और $g(0) = 0$,हमारे पास $f(0) + g(0) = 0$ है,इसलिए $C = 1$.
अतः,$f(x) + g(x) = 1 - e^{-x^2}$.
$x = \sqrt{\log_{e} 9}$ के लिए,$x^2 = \log_{e} 9$.
तब $f(\sqrt{\log_{e} 9}) + g(\sqrt{\log_{e} 9}) = 1 - e^{-\log_{e} 9} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
नोट: दिए गए विकल्प $9$ के गुणक में प्रतीत होते हैं। यदि प्रश्न $9(f+g)$ का मान पूछता है,तो उत्तर $8$ है।

(B) माना $P = (2, 3, 5)$ और $R = (\alpha, \beta, \gamma)$ रेखा $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ में इसका दर्पण प्रतिबिंब है।
माना $M$,$PR$ का मध्य-बिंदु है। चूंकि $R$,रेखा $L$ में $P$ का प्रतिबिंब है,इसलिए रेखाखंड $PR$,रेखा $L$ के लंबवत है।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (2, 3, 4)$ है।
सदिश $\vec{PR} = (\alpha - 2, \beta - 3, \gamma - 5)$ है।
चूंकि $\vec{PR} \perp \vec{v}$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$\vec{PR} \cdot \vec{v} = 0$
$(\alpha - 2, \beta - 3, \gamma - 5) \cdot (2, 3, 4) = 0$
$2(\alpha - 2) + 3(\beta - 3) + 4(\gamma - 5) = 0$
$2\alpha - 4 + 3\beta - 9 + 4\gamma - 20 = 0$
$2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 4 + 9 + 20$
$2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 33$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dT}{dt} = -K(T-80)$.
चरों को अलग करके समाकलन करने पर: $\int_{160}^{T} \frac{dT}{T-80} = \int_{0}^{t} -K dt$.
इससे प्राप्त होता है: $[ln |T-80|]_{160}^{T} = -Kt$.
$\ln |T-80| - \ln 80 = -Kt$.
$\ln \left| \frac{T-80}{80} \right| = -Kt$,जिसका अर्थ है $T-80 = 80e^{-Kt}$,या $T(t) = 80 + 80e^{-Kt}$.
दिया गया है $T(15) = 120$,इसलिए $120 = 80 + 80e^{-15K}$.
$40 = 80e^{-15K} \implies e^{-15K} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$.
हमें $T(45) = 80 + 80e^{-45K}$ ज्ञात करना है।
$T(45) = 80 + 80(e^{-15K})^3$.
$e^{-15K} = \frac{1}{2}$ रखने पर: $T(45) = 80 + 80 \times (\frac{1}{2})^3$.
$T(45) = 80 + 80 \times \frac{1}{8} = 80 + 10 = 90^{\circ} F$.

(C) क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले दोनों वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं:
$y = 4x - x^2$ और $3y = (x - 4)^2$
पहले समीकरण से $y$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:
$3(4x - x^2) = (x - 4)^2$
$12x - 3x^2 = x^2 - 8x + 16$
$4x^2 - 20x + 16 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
$(x - 1)(x - 4) = 0$
अतः,वक्र $x = 1$ और $x = 4$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
क्षेत्रफल $A$ को $x = 1$ से $x = 4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_1^4 \left[ (4x - x^2) - \frac{(x - 4)^2}{3} \right] dx$
$A = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{(x - 4)^3}{9} \right]_1^4$
$A = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} - \frac{(4 - 4)^3}{9} \right) - \left( 2(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} - \frac{(1 - 4)^3}{9} \right)$
$A = \left( 32 - \frac{64}{3} - 0 \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{-27}{9} \right)$
$A = \left( \frac{96 - 64}{3} \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} + 3 \right)$
$A = \frac{32}{3} - \left( 5 - \frac{1}{3} \right) = \frac{32}{3} - \frac{14}{3} = \frac{18}{3} = 6$

(A) दिया गया है $f(x) = e^{x^3-3x+1}$ जहाँ $x \in (-\infty, -1]$ है।
अवकलन करने पर: $f'(x) = e^{x^3-3x+1} \cdot (3x^2-3) = 3e^{x^3-3x+1}(x-1)(x+1)$.
$x \in (-\infty, -1]$ के लिए,$x+1 \leq 0$ और $x-1 < 0$,इसलिए $(x-1)(x+1) \geq 0$.
अतः,$f'(x) \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $(-\infty, -1]$ पर एक वर्धमान फलन है।
चूँकि $f$ एकैकी और आच्छादक है,इसका परिसर $(a, b]$ है।
$a = \lim_{x \to -\infty} f(x) = e^{-\infty} = 0$.
$b = f(-1) = e^{(-1)^3 - 3(-1) + 1} = e^{-1+3+1} = e^3$.
इसलिए,$a=0$ और $b=e^3$.
बिंदु $P$ है $(2b+4, a+2) = (2e^3+4, 0+2) = (2e^3+4, 2)$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $Ax+By+C=0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,रेखा $x + e^{-3}y - 4 = 0$ है,इसलिए $A=1, B=e^{-3}, C=-4$.
$d = \frac{|1(2e^3+4) + e^{-3}(2) - 4|}{\sqrt{1^2 + (e^{-3})^2}} = \frac{|2e^3+4+2e^{-3}-4|}{\sqrt{1+e^{-6}}} = \frac{2e^3+2e^{-3}}{\sqrt{1+e^{-6}}}$.
$d = \frac{2e^{-3}(e^6+1)}{\sqrt{\frac{e^6+1}{e^6}}} = \frac{2e^{-3}(e^6+1)}{\frac{\sqrt{e^6+1}}{e^3}} = 2\sqrt{e^6+1}$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = e^{-\left|\ln x\right|}$ है,जहाँ $x \in (0, \infty)$.
मापांक की परिभाषा का उपयोग करके हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} e^{-(-\ln x)} = e^{\ln x} = x, & 0 < x < 1 \\ e^{-\ln x} = \frac{1}{x}, & x \geq 1 \end{cases}$
अब,$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
बायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1$
दायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = 1$
$x = 1$ पर फलन का मान: $f(1) = \frac{1}{1} = 1$
चूँकि सभी सीमाएँ समान हैं,फलन अपने प्रांत में हर जगह सतत है। अतः,$m = 0$.
अब,$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
बायाँ अवकलज: $f'(1^-) = \frac{d}{dx}(x) \big|_{x=1} = 1$
दायाँ अवकलज: $f'(1^+) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) \big|_{x=1} = -\frac{1}{x^2} \big|_{x=1} = -1$
चूँकि $f'(1^-) \neq f'(1^+)$,फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$n = 1$.
इस प्रकार,$m + n = 0 + 1 = 1$.

(B) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(\sin x) = x - 2n\pi$ जहाँ $x \in [2n\pi - \frac{\pi}{2}, 2n\pi + \frac{\pi}{2}]$ है।
चूँकि $5$ रेडियन $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ अंतराल में स्थित है,इसलिए $a = \sin^{-1}(\sin 5) = 5 - 2\pi$ होगा।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(\cos x) = 2n\pi - x$ जहाँ $x \in [(2n-1)\pi, 2n\pi]$ है।
चूँकि $5$ रेडियन $[\pi, 2\pi]$ अंतराल में स्थित है,इसलिए $b = \cos^{-1}(\cos 5) = 2\pi - 5$ होगा।
अब,$a^2 + b^2$ की गणना करते हैं:
$a^2 + b^2 = (5 - 2\pi)^2 + (2\pi - 5)^2$
$= (5 - 2\pi)^2 + (5 - 2\pi)^2$
$= 2(5 - 2\pi)^2$
$= 2(25 - 20\pi + 4\pi^2)$
$= 50 - 40\pi + 8\pi^2$
$= 8\pi^2 - 40\pi + 50$.

(A) माना पट (tail) आने की प्रायिकता $P(T) = p$ है। तब चित (head) आने की प्रायिकता $P(H) = 2p$ होगी।
चूंकि $P(H) + P(T) = 1$,इसलिए $2p + p = 1$,जिससे $3p = 1$,अर्थात $p = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(T) = \frac{1}{3}$ और $P(H) = \frac{2}{3}$ है।
हमें $3$ उछालों में $2$ पट और $1$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$2$ पट और $1$ चित को व्यवस्थित करने के तरीके $\binom{3}{1} = 3$ हैं (जैसे $TTH, THT, HTT$)।
प्रत्येक विन्यास के लिए प्रायिकता $P(T) \times P(T) \times P(H) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$ है।
अतः,कुल प्रायिकता $3 \times \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ है।

(A) दिए गए समीकरण दर्शाते हैं कि सदिश $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$,$v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$,और $v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ आव्यूह $A$ के आइगेन सदिश हैं,जिनके संगत आइगेन मान $\lambda_1 = 2$,$\lambda_2 = 4$,और $\lambda_3 = 2$ हैं।
चूंकि ये तीन सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं,वे $\mathbb{R}^3$ के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं।
आव्यूह $A$ को $A = PDP^{-1}$ के रूप में विकर्णित किया जा सकता है,जहाँ $D = \text{diag}(2, 4, 2)$ है और $P$ वह आव्यूह है जिसके स्तंभ $v_1, v_2, v_3$ हैं।
निकाय $(A-3I)X = B$ है। आव्यूह $(A-3I)$ के आइगेन मान $\lambda_i - 3$ हैं,जो $2-3 = -1$,$4-3 = 1$,और $2-3 = -1$ हैं।
चूंकि $(A-3I)$ का कोई भी आइगेन मान $0$ नहीं है,इसलिए सारणिक $|A-3I| = (-1)(1)(-1) = 1 \neq 0$ है।
चूंकि सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए आव्यूह $(A-3I)$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है।
अतः,निकाय $(A-3I)X = B$ का एक अद्वितीय हल है।

(C) सबसे पहले,रेखा $L_2$ का समीकरण ज्ञात करें। रेखा $L_2$ बिंदुओं $A(-4, 4, 3)$ और $B(-1, 6, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{AB} = (-1 - (-4), 6 - 4, 3 - 3) = (3, 2, 0)$ है।
रेखा $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{n_1} = (2, -3, 2)$ है।
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{n_1} \times \vec{n_2})|}{ |\vec{n_1} \times \vec{n_2}| }$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\vec{a_1} = (1, -1, -4)$ और $\vec{a_2} = (-4, 4, 3)$ है,इसलिए $\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-5, 5, 7)$ है।
$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 6\hat{j} + 13\hat{k}$ है।
अतः,$|\vec{n_1} \times \vec{n_2}| = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + 13^2} = \sqrt{221}$ है।
अंश का मान $|(-5)(-4) + (5)(6) + (7)(13)| = |20 + 30 + 91| = 141$ है।
इस प्रकार,न्यूनतम दूरी $d = \frac{141}{\sqrt{221}}$ है।

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x^2 \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)^2 \sin(\pi-x) \cos(\pi-x)}{\sin^4(\pi-x) + \cos^4(\pi-x)} dx = -\int_0^\pi \frac{(\pi^2 - 2\pi x + x^2) \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^\pi \frac{(2\pi x - \pi^2) \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$.
इसे हल करने पर,$I = -\frac{\pi^2}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{\sin t \cos t}{\sin^4 t + \cos^4 t} dt$.
$u = \sin^2 t$ प्रतिस्थापन लेने पर,समाकलन का मान $-\frac{\pi^3}{8}$ प्राप्त होता है।
मापांक लेने पर,$\left| -\frac{\pi^3}{8} \right| = \frac{\pi^3}{8}$.
अंतिम उत्तर: $\frac{120}{\pi^3} \cdot \frac{\pi^3}{8} = 15$.

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $|A| = 2$ है।
आव्यूह $A$ के $k$-वें पुनरावृत्त एडजॉइंट के सारणिक का सूत्र $\det(\operatorname{adj}^k(A)) = |A|^{(n-1)^k}$ है,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n=3$ और $k=2024$ है।
अतः,$n = |A|^{(3-1)^{2024}} = 2^{2^{2024}}$ है।
हमें $2^{2^{2024}} \pmod{9}$ ज्ञात करना है।
यूलर के टॉटिएंट प्रमेय के अनुसार,$\phi(9) = 6$ है।
हम $2^{2024} \pmod{6}$ ज्ञात करते हैं।
$2^{2024} \equiv 0 \pmod{2}$ और $2^{2024} = 4^{1012} \equiv 1^{1012} \equiv 1 \pmod{3}$ है।
चाइनीज रिमाइंडर प्रमेय द्वारा,$2^{2024} \equiv 4 \pmod{6}$ है।
अतः,$2^{2024} = 6k + 4$ है।
इसलिए,$n = 2^{6k+4} = (2^6)^k \cdot 2^4 = 64^k \cdot 16$ है।
चूँकि $64 \equiv 1 \pmod{9}$ है,इसलिए $n \equiv 1^k \cdot 16 \equiv 16 \equiv 7 \pmod{9}$ है।
अतः,शेषफल $7$ है।

(B) दिया गया है $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$।
सबसे पहले,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = 5 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ और $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 7 \hat{i}-7 \hat{j}-7 \hat{k}$ ज्ञात करें।
समीकरण $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 24 \hat{j}-6 \hat{k}$ इस प्रकार होगा:
$(5 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}) \times \overrightarrow{c} = 2(7 \hat{i}-7 \hat{j}-7 \hat{k}) + 24 \hat{j}-6 \hat{k} = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
माना $\overrightarrow{c} = x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$। तब $\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 1 & 4 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $\hat{i}(z-4y) - \hat{j}(5z-4x) + \hat{k}(5y-x) = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
घटकों की तुलना करने पर: $z-4y=14$,$4x-5z=10$,$5y-x=-20$.
साथ ही,$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i}) \cdot \overrightarrow{c} = -3$। चूंकि $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$,इसलिए $2x+3y-2z=-3$.
इन समीकरणों को हल करने पर: $x=5, y=-3, z=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\overrightarrow{c}|^2 = 5^2 + (-3)^2 + 2^2 = 25+9+4 = 38$।

(D) रेखा $AB$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (16-4, -2-(-6), 4-(-2)) = (12, 4, 6)$ है।
$AB$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{(12, 4, 6)}{\sqrt{12^2 + 4^2 + 6^2}} = \frac{(12, 4, 6)}{\sqrt{144 + 16 + 36}} = \frac{(12, 4, 6)}{\sqrt{196}} = \frac{(12, 4, 6)}{14} = (\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7})$ है।
बिंदु $P$,$A(4, -6, -2)$ से रेखा $AB$ पर $21$ इकाई की दूरी पर है,इसलिए $P = A + 21 \hat{u}$।
$P = (4, -6, -2) + 21(\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}) = (4 + 18, -6 + 6, -2 + 9) = (22, 0, 7)$।
यहाँ $a=22, b=0, c=7$ है,जो अऋणात्मक पूर्णांक हैं।
$P(22, 0, 7)$ और $Q(4, -12, 3)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(22-4)^2 + (0-(-12))^2 + (7-3)^2}$ है।
$= \sqrt{18^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{324 + 144 + 16} = \sqrt{484} = 22$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec^2 x dx + (e^{2y} \tan^2 x + \tan x) dy = 0$.
$dy$ से भाग देने पर: $\sec^2 x \frac{dx}{dy} + e^{2y} \tan^2 x + \tan x = 0$.
माना $t = \tan x$,तो $\frac{dt}{dy} = \sec^2 x \frac{dx}{dy}$.
समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{dt}{dy} + t = -e^{2y} t^2$.
$t^2$ से भाग देने पर: $t^{-2} \frac{dt}{dy} + t^{-1} = -e^{2y}$.
माना $u = t^{-1} = \frac{1}{\tan x}$,तो $\frac{du}{dy} = -t^{-2} \frac{dt}{dy}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $-\frac{du}{dy} + u = -e^{2y}$,या $\frac{du}{dy} - u = e^{2y}$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
हल: $u e^{-y} = \int e^{2y} e^{-y} dy = \int e^y dy = e^y + C$.
अतः,$\frac{1}{\tan x} e^{-y} = e^y + C$.
चूँकि $y(\frac{\pi}{4}) = 0$ दिया गया है,$\frac{1}{\tan(\pi/4)} e^0 = e^0 + C \Rightarrow 1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$.
इस प्रकार,$\frac{1}{\tan x} e^{-y} = e^y \Rightarrow e^{2y} = \frac{1}{\tan x} = \cot x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$e^{2\alpha} = \cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
अतः,$e^{8\alpha} = (e^{2\alpha})^4 = (\sqrt{3})^4 = 9$.

(B) संबंध $R$ को $(x, y) \in R \iff 2x = 3y$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका अर्थ है $y = \frac{2}{3}x$।
चूंकि $x, y \in \{1, 2, \ldots, 100\}$,$x$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
मान लीजिए $x = 3k$,तो $y = 2k$।
$1 \le 2k \le 100$ के लिए,$k \le 50$।
$1 \le 3k \le 100$ के लिए,$k \le 33$।
अतः,$k$ का मान $1$ से $33$ तक हो सकता है।
$R$ के तत्व $\{(3, 2), (6, 4), (9, 6), \ldots, (99, 66)\}$ हैं।
$R$ में तत्वों की संख्या $n(R) = 33$ है।
$R_1$ के सममित संबंध होने के लिए ताकि $R \subset R_1$,प्रत्येक $(x, y) \in R$ के लिए,$(y, x)$ भी $R_1$ में होना चाहिए।
चूंकि $R$ सममित नहीं है (उदाहरण के लिए,$(3, 2) \in R$ लेकिन $(2, 3) \notin R$),हमें सभी $(y, x)$ युग्मों को $R_1$ में शामिल करना होगा।
अतः,$R_1 = R \cup R^{-1} = \{(3, 2), (6, 4), \ldots, (99, 66), (2, 3), (4, 6), \ldots, (66, 99)\}$।
$R_1$ में तत्वों की संख्या $n = n(R) + n(R^{-1}) = 33 + 33 = 66$ है।

(B) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि $2$ सफेद और $2$ काली गेंदें निकाली जाती हैं। मान लीजिए $H_i$ वह परिकल्पना है कि थैले में $i$ सफेद गेंदें और $(8-i)$ काली गेंदें हैं,जहाँ $i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है।
यह मानते हुए कि प्रत्येक संरचना समान रूप से संभावित है,$P(H_i) = \frac{1}{9}$ है।
$H_i$ दिए जाने पर $2$ सफेद और $2$ काली गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(E|H_i) = \frac{{}^iC_2 \times {}^{8-i}C_2}{{}^8C_4}$ है।
हमें $P(H_4|E) = \frac{P(E|H_4)P(H_4)}{\sum_{i=0}^8 P(E|H_i)P(H_i)}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $P(H_i)$ स्थिर है,$P(H_4|E) = \frac{{}^4C_2 \times {}^4C_2}{\sum_{i=2}^6 {}^iC_2 \times {}^{8-i}C_2}$ होगा।
अंश की गणना: ${}^4C_2 \times {}^4C_2 = 6 \times 6 = 36$ है।
हर की गणना:
$i=2: {}^2C_2 \times {}^6C_2 = 1 \times 15 = 15$
$i=3: {}^3C_2 \times {}^5C_2 = 3 \times 10 = 30$
$i=4: {}^4C_2 \times {}^4C_2 = 6 \times 6 = 36$
$i=5: {}^5C_2 \times {}^3C_2 = 10 \times 3 = 30$
$i=6: {}^6C_2 \times {}^2C_2 = 15 \times 1 = 15$
योग $= 15 + 30 + 36 + 30 + 15 = 126$ है।
$P(H_4|E) = \frac{36}{126} = \frac{2}{7}$।

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \, dx}{\sin^4(2x) + \cos^4(2x)}$.
$2x = t$ रखने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{4}, t=\frac{\pi}{2}$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(t/2) \cdot (1/2) dt}{\sin^4 t + \cos^4 t} = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t \, dt}{\sin^4 t + \cos^4 t}$.
गुणधर्म $\int_0^a f(t) dt = \int_0^a f(a-t) dt$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2} - t) dt}{\cos^4 t + \sin^4 t} = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{\sin^4 t + \cos^4 t} - I$.
अतः,$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{\sin^4 t + \cos^4 t}$.
अंश और हर को $\cos^4 t$ से विभाजित करने पर:
$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^4 t \, dt}{\tan^4 t + 1} = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1 + \tan^2 t) \sec^2 t \, dt}{\tan^4 t + 1}$.
$\tan t = y$ रखने पर,$\sec^2 t \, dt = dy$:
$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\infty} \frac{1 + y^2}{y^4 + 1} dy = \frac{\pi}{8} \int_0^{\infty} \frac{1 + 1/y^2}{y^2 + 1/y^2} dy$.
$y - 1/y = p$ रखने पर,$(1 + 1/y^2) dy = dp$. सीमाएँ $-\infty$ से $\infty$ तक बदलती हैं:
$2I = \frac{\pi}{8} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dp}{p^2 + 2} = \frac{\pi}{8} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{p}{\sqrt{2}} \right) \right]_{-\infty}^{\infty} = \frac{\pi}{8\sqrt{2}} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$.
अतः,$I = \frac{\pi^2}{16\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\pi^2}{32}$.

(B) दिया गया है $A=\begin{bmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ -1 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$,इसलिए $\operatorname{det}(A) = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) - (1)(-1) = 2 + 1 = 3$.
दिया गया है $B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए $\operatorname{det}(B) = (1)(1) - (0)(1) = 1$.
चूंकि $C = ABA^T$,इसलिए $C$ का सारणिक $\operatorname{det}(C) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B) \cdot \operatorname{det}(A^T)$ होगा।
$\operatorname{det}(A^T) = \operatorname{det}(A)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\operatorname{det}(C) = \operatorname{det}(A)^2 \cdot \operatorname{det}(B) = (3)^2 \cdot 1 = 9$.
अब,हमें $\operatorname{det}(X)$ ज्ञात करना है जहाँ $X = A^T C^2 A$ है।
$\operatorname{det}(MN) = \operatorname{det}(M)\operatorname{det}(N)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\operatorname{det}(X) = \operatorname{det}(A^T) \cdot \operatorname{det}(C^2) \cdot \operatorname{det}(A)$.
चूंकि $\operatorname{det}(C^2) = (\operatorname{det}(C))^2$,इसलिए $\operatorname{det}(X) = \operatorname{det}(A) \cdot (\operatorname{det}(C))^2 \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^2 \cdot (\operatorname{det}(C))^2$.
मान रखने पर,$\operatorname{det}(X) = (3)^2 \cdot (9)^2 = 9 \cdot 81 = 729$.

(A) दिया गया है $\vec{a}=-5 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$.
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{u}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \hat{i} = (\vec{a} \cdot \hat{i}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \hat{i}) \vec{a} = -5 \vec{b} - \vec{a}$.
मान रखने पर:
$-5(\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}) - (-5 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}) = -11 \hat{j} + 23 \hat{k}$.
अब,$\vec{c} = ((-11 \hat{j} + 23 \hat{k}) \times \hat{i}) \times \hat{i} \times \hat{i}$.
गणना करने पर $\vec{c} = 11 \hat{j} - 23 \hat{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{c} \cdot(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = (11 \hat{j} - 23 \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 11 - 23 = -12$.

(C) दिए गए वक्र $xy + 4y = 16$ और $x + y = 6$ हैं।
पहले समीकरण से,$y(x + 4) = 16$,अतः $y = \frac{16}{x + 4}$।
दूसरे समीकरण से,$y = 6 - x$।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y$ के दोनों व्यंजकों को बराबर रखें:
$6 - x = \frac{16}{x + 4}$
$(6 - x)(x + 4) = 16$
$6x + 24 - x^2 - 4x = 16$
$-x^2 + 2x + 8 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
$(x - 4)(x + 2) = 0$
अतः,$x = 4$ और $x = -2$।
क्षेत्रफल $A$,$x = -2$ से $x = 4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-2}^{4} \left( (6 - x) - \frac{16}{x + 4} \right) dx$
$A = \left[ 6x - \frac{x^2}{2} - 16 \ln|x + 4| \right]_{-2}^{4}$
$A = \left( 6(4) - \frac{16}{2} - 16 \ln(8) \right) - \left( 6(-2) - \frac{4}{2} - 16 \ln(2) \right)$
$A = (24 - 8 - 16 \ln(2^3)) - (-12 - 2 - 16 \ln 2)$
$A = (16 - 48 \ln 2) - (-14 - 16 \ln 2)$
$A = 16 - 48 \ln 2 + 14 + 16 \ln 2$
$A = 30 - 32 \ln 2$

(B) हमें $f(x) = \begin{cases} \ln x & x > 0 \\ e^{-x} & x \leq 0 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x & x \geq 0 \\ e^x & x < 0 \end{cases}$ दिया गया है।
$(gof)(x) = g(f(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ के मामलों का विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $1$: $x \leq 0$. तो $f(x) = e^{-x}$. सभी $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ है,इसलिए $g(f(x)) = f(x) = e^{-x}$.
स्थिति $2$: $x > 0$. तो $f(x) = \ln x$.
उप-स्थिति 2a: $0 < x < 1$. तो $f(x) = \ln x < 0$. अतः $g(f(x)) = e^{f(x)} = e^{\ln x} = x$.
उप-स्थिति 2b: $x \geq 1$. तो $f(x) = \ln x \geq 0$. अतः $g(f(x)) = f(x) = \ln x$.
इन सबको मिलाने पर,$(gof)(x) = \begin{cases} e^{-x} & x \leq 0 \\ x & 0 < x < 1 \\ \ln x & x \geq 1 \end{cases}$।
एकैकी की जाँच: $x \leq 0$ के लिए,$g(f(x)) = e^{-x} \in [1, \infty)$। $0 < x < 1$ के लिए,$g(f(x)) = x \in (0, 1)$। $x \geq 1$ के लिए,$g(f(x)) = \ln x \in [0, \infty)$।
चूंकि $g(f(x))$ का परिसर $[0, \infty)$ है,यह आच्छादक नहीं है (क्योंकि सह-प्रांत $R$ है)।
साथ ही,$x \leq 0$ के लिए,$g(f(x)) \geq 1$,और $x \geq 1$ के लिए,$g(f(x)) \geq 0$। परिसर में ऐसे मान मौजूद हैं जो एक से अधिक $x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,और फलन एकैकी नहीं है। अतः,यह न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & \alpha & 3 \\ 3 & -1 & \beta \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$2(\alpha\beta + 3) - 3(\beta - 9) - 1(-1 - 3\alpha) = 0$
$2\alpha\beta + 6 - 3\beta + 27 + 1 + 3\alpha = 0$
$2\alpha\beta + 3\alpha - 3\beta + 34 = 0$ (समीकरण $1$)
चूंकि निकाय के अनंत हल हैं,इसलिए समतल रैखिक रूप से आश्रित होने चाहिए। हम तीसरे समीकरण को पहले दो समीकरणों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: $L_3 = c_1 L_1 + c_2 L_2$।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$2c_1 + c_2 = 3$
$3c_1 + c_2\alpha = -1$
$-c_1 + 3c_2 = \beta$
$5c_1 - 4c_2 = 7$
पहले और अंतिम समीकरण का उपयोग करके $c_1$ और $c_2$ के लिए हल करने पर:
$c_2 = 3 - 2c_1$
$5c_1 - 4(3 - 2c_1) = 7 \implies 5c_1 - 12 + 8c_1 = 7 \implies 13c_1 = 19 \implies c_1 = \frac{19}{13}$
$c_2 = 3 - 2(\frac{19}{13}) = \frac{39 - 38}{13} = \frac{1}{13}$
$c_1$ और $c_2$ के मानों को अन्य समीकरणों में रखने पर:
$3(\frac{19}{13}) + \alpha(\frac{1}{13}) = -1 \implies 57 + \alpha = -13 \implies \alpha = -70$
$-(\frac{19}{13}) + 3(\frac{1}{13}) = \beta \implies \beta = \frac{-16}{13}$
अंत में,$13\alpha\beta = 13(-70)(\frac{-16}{13}) = 70 \times 16 = 1120$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1$ है।
माना $t = x+y$,तब $\frac{d t}{d x} = 1 + \frac{d y}{d x}$,अर्थात $\frac{d y}{d x} = \frac{d t}{d x} - 1$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d t}{d x} - 1 = 2xt^3 - xt - 1$,जो सरल होकर $\frac{d t}{d x} = x(2t^3 - t)$ हो जाता है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{d t}{2t^3 - t} = x dx$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{t(2t^2 - 1)} = \frac{-1}{t} + \frac{2t}{2t^2 - 1}$.
समाकलन करने पर: $\int (\frac{2t}{2t^2 - 1} - \frac{1}{t}) dt = \int x dx$.
$\frac{1}{2} \ln|2t^2 - 1| - \ln|t| = \frac{x^2}{2} + C$.
$x=0, y=1$ के लिए $t=1$,अतः $C=0$.
$\ln|\frac{\sqrt{2t^2 - 1}}{t}| = \frac{x^2}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = e^{x^2}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए $x^2 = \frac{1}{2}$,अतः $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = \sqrt{e}$.
$2t^2 - 1 = t^2 \sqrt{e} \implies t^2(2 - \sqrt{e}) = 1 \implies t^2 = \frac{1}{2 - \sqrt{e}}$.

(D) $f(x)$ के $x=1$ पर सतत होने के लिए,$f(1^-) = f(1) = f(1^+)$ होना चाहिए।
$f(1) = 1^2 + c(1) + 2 = 3+c$.
$f(1^+) = \lim_{h \rightarrow 0} [2(1+h)+1] = 3$.
अतः,$3+c = 3 \implies c = 0$.
$f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$f(0^-) = f(0) = f(0^+)$ होना चाहिए।
$f(0) = 0^2 + 0(0) + 2 = 2$.
$f(0^-) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a-b \cos 2h}{h^2} = 2$.
विस्तार $\cos 2h = 1 - 2h^2 + \frac{2}{3}h^4 - \dots$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(a-b) + 2bh^2 - \frac{2b}{3}h^4}{h^2} = 2$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,$a-b=0 \implies a=b$. फिर $2b = 2 \implies b=1$. अतः $a=1$.
अब $x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$LHD = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = 0$.
$RHD = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 0$.
चूँकि $LHD = RHD$,$f$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है।
$x=1$ पर,$LHD = 2$ और $RHD = 2$ है,अतः यह वहाँ भी अवकलनीय है।
इस प्रकार,$m=0$. अतः,$m+a+b+c = 0+1+1+0 = 2$.

(B) दिया गया समीकरण: $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2-2$ ....$(1)$
समीकरण $(1)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$5 f\left(\frac{1}{x}\right)+4 f(x)=\frac{1}{x^2}-2$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ को $5$ से और $(2)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$25 f(x)+20 f\left(\frac{1}{x}\right)=5x^2-10$
$16 f(x)+20 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{4}{x^2}-8$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$9 f(x) = 5x^2 - 10 - \frac{4}{x^2} + 8 = 5x^2 - 2 - \frac{4}{x^2}$
दिया है $y = 9x^2 f(x)$,$9 f(x)$ का मान रखने पर:
$y = x^2 \left(5x^2 - 2 - \frac{4}{x^2}\right) = 5x^4 - 2x^2 - 4$
यह ज्ञात करने के लिए कि $y$ कहाँ निरंतर वर्धमान है,अवकलन (derivative) करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 20x^3 - 4x = 4x(5x^2 - 1)$
निरंतर वर्धमान के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$:
$4x(\sqrt{5}x - 1)(\sqrt{5}x + 1) > 0$
क्रांतिक बिंदु (critical points) $x = -\frac{1}{\sqrt{5}}, 0, \frac{1}{\sqrt{5}}$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $\frac{dy}{dx} > 0$ के लिए $x \in \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \infty\right)$ है।

(B) रेखाएँ $L_1: \frac{x-\lambda}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{1}$ और $L_2: \frac{x-\sqrt{3}}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}$ हैं।
गुजरने वाले बिंदु $A = (\lambda, 2, 1)$ और $B = (\sqrt{3}, 1, 2)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{v_1} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{v_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{B}-\vec{A}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$\vec{B}-\vec{A} = (\sqrt{3}-\lambda)\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
$d = \frac{|3(\sqrt{3}-\lambda) - 3 + 3|}{3\sqrt{3}} = \frac{|\sqrt{3}-\lambda|}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $d = 1$ दिया गया है,इसलिए $|\sqrt{3}-\lambda| = \sqrt{3}$ होगा।
अतः,$\lambda = 0$ या $\lambda = 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग $0 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$.
इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{2x + (t+1)^4}{t+1} = \frac{2x}{t+1} + (t+1)^3$.
$\frac{dx}{dt} - \frac{2}{t+1}x = (t+1)^3$.
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\frac{2}{t+1} dt} = e^{-2 \ln(t+1)} = (t+1)^{-2} = \frac{1}{(t+1)^2}$.
दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर:
$\frac{d}{dt} \left( \frac{x}{(t+1)^2} \right) = (t+1)^3 \cdot \frac{1}{(t+1)^2} = (t+1)$.
$t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{x}{(t+1)^2} = \int (t+1) dt = \frac{(t+1)^2}{2} + C$.
प्रारंभिक शर्त $x(0) = 2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{(0+1)^2} = \frac{(0+1)^2}{2} + C \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}$.
अतः,हल $x = \frac{(t+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(t+1)^2$ है।
$t=1$ के लिए:
$x(1) = \frac{(1+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(1+1)^2 = \frac{16}{2} + \frac{3}{2}(4) = 8 + 6 = 14$.

(D) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x}{(1+e^{\sin x})(1+\sin ^4 x)} \, dx$ $(1)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x \cdot e^{\sin x}}{(1+e^{\sin x})(1+\sin ^4 x)} \, dx$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x}{1+\sin ^4 x} \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x}{1+\sin ^4 x} \, dx$
$I = \int_{0}^{1} \frac{8 \sqrt{2}}{1+t^4} \, dt$ (जहाँ $\sin x = t$)
इस समाकलन को हल करने पर हमें प्राप्त होता है $I = 2\pi + 2 \ln (3+2\sqrt{2})$
अतः,$\alpha = 2$ और $\beta = 2$.
परिणामस्वरूप,$\alpha^2 + \beta^2 = 2^2 + 2^2 = 8$.