JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना कुल कार्य $W = 17m$ है।
पहले दिन,$m$ सिस्टम काम करते हैं।
दूसरे दिन,$m-4$ सिस्टम काम करते हैं।
तीसरे दिन,$m-8$ सिस्टम काम करते हैं।
कुल लगा समय $17 + 8 = 25$ दिन है।
कुल कार्य $25$ दिनों में किए गए कार्य का योग है:
$17m = m + (m-4) + (m-8) + \dots + (m - 4 \times 24)$.
$17m = 25m - 4(1 + 2 + 3 + \dots + 24)$.
$17m = 25m - 4 \times \frac{24 \times 25}{2}$.
$8m = 4 \times 12 \times 25$.
$8m = 1200$.
$m = 150$.

(A) दिया गया है $\left|\frac{z_1-2 z_2}{\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2}\right|=2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left|\frac{z_1-2 z_2}{\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2}\right|^2=4$.
$|z|^2 = z \bar{z}$ गुण का उपयोग करने पर,$\frac{(z_1-2 z_2)(\bar{z}_1-2 \bar{z}_2)}{(\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2)(\frac{1}{2}-\bar{z}_1 z_2)}=4$.
अंश का विस्तार करने पर: $|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2$.
हर का विस्तार करने पर: $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \bar{z}_1 z_2 - \frac{1}{2} z_1 \bar{z}_2 + |z_1|^2 |z_2|^2$.
अतः,$|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2 = 4 (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \bar{z}_1 z_2 - \frac{1}{2} z_1 \bar{z}_2 + |z_1|^2 |z_2|^2)$.
$|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2 = 1 - 2 \bar{z}_1 z_2 - 2 z_1 \bar{z}_2 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2$.
दोनों पक्षों से $-2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2$ को हटाने पर: $|z_1|^2 + 4 |z_2|^2 = 1 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $|z_1|^2 - 1 - 4 |z_2|^2 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2 = 0$.
$(|z_1|^2 - 1) - 4 |z_2|^2 (1 - |z_1|^2) = 0$.
$(|z_1|^2 - 1)(1 - 4 |z_2|^2) = 0$.
इस प्रकार,$|z_1| = 1$ या $|2z_2| = 1$,जिसका अर्थ है कि $|z_1| = 1$ या $|z_2| = \frac{1}{2}$।

(C) $NAGPUR$ शब्द के अक्षर $A, G, N, P, R, U$ हैं। कुल अक्षर = $6$। कुल व्यवस्थाएं = $6! = 720$।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
$G$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
कुल शब्द = $120 + 120 = 240$।
$NA$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$NG$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$NP$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
कुल शब्द = $240 + 24 + 24 + 24 = 312$।
हमें $315^{\text{th}}$ शब्द चाहिए। शेष शब्द $NR$ से शुरू होते हैं।
$NRA$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$313^{\text{th}}$ शब्द: $NRAGPU$
$314^{\text{th}}$ शब्द: $NRAGUP$
$315^{\text{th}}$ शब्द: $NRAPGU$

(A) माना $P(6,1)$ त्रिभुज $\triangle ABC$ का लंबकेंद्र है जहाँ $A(5,-2)$,$B(8,3)$ और $C(h, k)$ हैं।
चूँकि $AP \perp BC$,$AP$ की ढाल $= \frac{1 - (-2)}{6 - 5} = 3$ है।
इसलिए,$BC$ की ढाल $= -\frac{1}{3}$ है।
$B(8,3)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण $y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 8)$ है,जो $x + 3y - 17 = 0$ में सरल होता है।
चूँकि $BP \perp AC$,$BP$ की ढाल $= \frac{1 - 3}{6 - 8} = 1$ है।
इसलिए,$AC$ की ढाल $= -1$ है।
$A(5,-2)$ से गुजरने वाली रेखा $AC$ का समीकरण $y - (-2) = -1(x - 5)$ है,जो $x + y - 3 = 0$ में सरल होता है।
$C(h, k)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को हल करने पर:
$1) x + 3y = 17$
$2) x + y = 3$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर $2y = 14$,अतः $y = 7$ प्राप्त होता है।
$y = 7$ को $(2)$ में रखने पर $x + 7 = 3$,अतः $x = -4$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$C = (-4, 7)$ है।
अब,जाँचें कि $C(-4, 7)$ किस वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करता है:
$(-4)^2 + (7)^2 = 16 + 49 = 65$.
अतः,$x^2 + y^2 - 65 = 0$ सही समीकरण है।

(B) नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 9$ और नियता $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{4}{\sqrt{13}}$ दी गई है।
अतः $a = \frac{4e}{\sqrt{13}}$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होने के कारण,$\frac{9a}{2} = a^2(e^2 - 1) \Rightarrow \frac{9}{2} = a(e^2 - 1) = \frac{4e}{\sqrt{13}}(e^2 - 1)$.
हल करने पर $e = \frac{\sqrt{13}}{2}$ और $a = 2$ प्राप्त होता है,जिससे $b^2 = 9$.
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
स्पर्शरेखा $y = \sqrt{3}x - \sqrt{3}$ के लिए स्पर्शता की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ जाँचने पर $(-\sqrt{3})^2 = 4(3) - 9 = 3$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0) = (4, 3\sqrt{3})$ है।
नाभीय दूरियों का गुणनफल $m = e^2x_0^2 - a^2 = \frac{13}{4}(16) - 4 = 48$.
अतः $4e^2 + m = 4(\frac{13}{4}) + 48 = 13 + 48 = 61$.

(C) माना $y = 1+x$. तब $S(x) = y + 2y^2 + 3y^3 + \ldots + 60y^{60}$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है।
$yS = y^2 + 2y^3 + \ldots + 59y^{60} + 60y^{61}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(1-y)S = y + y^2 + y^3 + \ldots + y^{60} - 60y^{61}$.
चूंकि $y = 1+x$,इसलिए $1-y = -x$.
$-xS = \frac{y(y^{60}-1)}{y-1} - 60y^{61} = \frac{(1+x)((1+x)^{60}-1)}{x} - 60(1+x)^{61}$.
$x=60$ के लिए,$y=61$:
$-60S(60) = \frac{61(61^{60}-1)}{60} - 60(61)^{61}$.
$-60$ से गुणा करने पर:
$3600 S(60) = (60)^2 S(60) = 60(61)^{61} - 61(61^{60}-1) = 60(61)^{61} - 61^{61} + 61 = 59(61)^{61} + 61$.
$a(b)^b + b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=59$ और $b=61$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = 59+61 = 120$.

(B) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
दिया है $a=7$,$b=8$,$c=\alpha$,और $\cos A = \frac{2}{3}$:
$\frac{2}{3} = \frac{8^2+\alpha^2-7^2}{2 \times 8 \times \alpha} = \frac{64+\alpha^2-49}{16\alpha} = \frac{15+\alpha^2}{16\alpha}$.
$32\alpha = 45 + 3\alpha^2 \implies 3\alpha^2 - 32\alpha + 45 = 0$.
$(3\alpha - 5)(\alpha - 9) = 0$. चूँकि $\alpha \in N$,इसलिए $\alpha = 9$.
अब,$\cos C$ ज्ञात करें: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{7^2+8^2-9^2}{2 \times 7 \times 8} = \frac{49+64-81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$.
हमें $49 \cos(3C) + 42$ का मान ज्ञात करना है।
$\cos(3C) = 4\cos^3 C - 3\cos C$ का उपयोग करते हुए:
$49(4(\frac{2}{7})^3 - 3(\frac{2}{7})) + 42 = 49(4 \times \frac{8}{343} - \frac{6}{7}) + 42 = 49(\frac{32}{343} - \frac{6}{7}) + 42 = \frac{32 - 294}{7} + 42 = \frac{-262 + 294}{7} = \frac{32}{7}$.
अतः,$\frac{m}{n} = \frac{32}{7}$,इसलिए $m=32$ और $n=7$ है। चूँकि $\operatorname{gcd}(32, 7)=1$,इसलिए $m+n = 32+7 = 39$.

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + \sqrt{2}x - 8 = 0$ के मूल हैं,इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha - 8 = 0 \implies \alpha^2 + \sqrt{2}\alpha = 8$
$\beta^2 + \sqrt{2}\beta - 8 = 0 \implies \beta^2 + \sqrt{2}\beta = 8$
हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है:
$E = \frac{U_{10} + \sqrt{2}U_9}{2U_8} = \frac{(\alpha^{10} + \beta^{10}) + \sqrt{2}(\alpha^9 + \beta^9)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
अंश को व्यवस्थित करने पर:
$E = \frac{\alpha^8(\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha) + \beta^8(\beta^2 + \sqrt{2}\beta)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
$\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha = 8$ और $\beta^2 + \sqrt{2}\beta = 8$ के मान रखने पर:
$E = \frac{\alpha^8(8) + \beta^8(8)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
$E = \frac{8(\alpha^8 + \beta^8)}{2(\alpha^8 + \beta^8)} = \frac{8}{2} = 4$

(C) दिया गया समीकरण: $(8)^{2x} - 16 \cdot (8)^x + 48 = 0$
माना $8^x = t$। तब समीकरण होगा:
$t^2 - 16t + 48 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(t - 4)(t - 12) = 0$
अतः,$t = 4$ या $t = 12$।
$8^x = t$ वापस रखने पर:
$8^x = 4 \implies x = \log_8(4)$
$8^x = 12 \implies x = \log_8(12)$
हलों का योग:
$\log_8(4) + \log_8(12) = \log_8(4 \times 12) = \log_8(48)$
चूंकि $48 = 8 \times 6$,इसलिए:
$\log_8(8 \times 6) = \log_8(8) + \log_8(6) = 1 + \log_8(6)$

(B) मान लीजिए केंद्र $C_1(\alpha, \beta)$ और $C_2(8, \frac{15}{2})$ हैं। स्पर्श बिंदु $P(6,6)$,$C_1C_2$ को $r_1:r_2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = r_1 + r_2$ है।
दिया गया है कि $P(6,6)$,$C_1C_2$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $r_1:r_2 = 2:1$,अर्थात $r_1 = 2r_2$।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$6 = \frac{2(8) + 1(\alpha)}{2+1}$ $\Rightarrow 18 = 16 + \alpha$ $\Rightarrow \alpha = 2$।
$6 = \frac{2(\frac{15}{2}) + 1(\beta)}{2+1}$ $\Rightarrow 18 = 15 + \beta$ $\Rightarrow \beta = 3$।
अब,$C_1C_2 = \sqrt{(8-2)^2 + (\frac{15}{2}-3)^2} = \sqrt{6^2 + (\frac{9}{2})^2} = \sqrt{36 + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}$।
$C_1C_2 = r_1 + r_2 = 3r_2 = \frac{15}{2} \Rightarrow r_2 = \frac{5}{2}$ और $r_1 = 5$।
अतः,$(\alpha+\beta) + 4(r_1^2 + r_2^2) = (2+3) + 4(25 + \frac{25}{4}) = 5 + 100 + 25 = 130$।

(D) मान लीजिए कि दो धनात्मक पूर्णांक $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x+y=24$,जहाँ $x, y \in \mathbb{N}$ है।
गुणनफल $P = xy$ है। $AM-GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$,इसलिए $\sqrt{xy} \leq 12$,जिसका अर्थ है कि $xy \leq 144$ है। सबसे बड़ा धनात्मक गुणनफल $144$ है (जब $x=12, y=12$ हो)।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $xy \geq \frac{3}{4} \times 144$,जिसका अर्थ है $xy \geq 108$ है।
चूंकि $y = 24-x$ है,इसलिए हमें $x(24-x) \geq 108$,या $24x - x^2 \geq 108$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - 24x + 108 \leq 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $x^2 - 24x + 108 = 0$ को हल करने पर: $x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{24 \pm 12}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 6$ या $x = 18$ है। असमिका $6 \leq x \leq 18$ के लिए सत्य है।
$x$ के लिए संभावित मान ${6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}$ हैं।
ऐसे कुल $13$ मान हैं।
$x+y=24$ के लिए $(x, y)$ के कुल युग्मों की संख्या $23$ है (क्योंकि $x$ का मान $1$ से $23$ तक हो सकता है)।
प्रायिकता $\frac{13}{23} = \frac{m}{n}$ है।
अतः,$m=13$ और $n=23$ है। इसलिए $n-m = 23-13 = 10$ है।

(A) दिया गया है $\sin x = -\frac{3}{5}$ और $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ (जो तीसरा चतुर्थांश है)।
तीसरे चतुर्थांश में $\tan x$ धनात्मक है और $\cos x$ ऋणात्मक है।
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 x = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$।
चूंकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos x = -\frac{4}{5}$।
अब,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$।
अतः,$\tan^2 x = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$।
इन मानों को $80(\tan^2 x - \cos x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$80(\frac{9}{16} - (-\frac{4}{5})) = 80(\frac{9}{16} + \frac{4}{5})$।
$= 80(\frac{45 + 64}{80}) = 45 + 64 = 109$।

(C) माना $B = (x_1, 14 - 4x_1)$ और $C = (x_2, \frac{3x_2 - 5}{2})$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{2x_2 + x_1}{3} \implies 2x_2 + x_1 = 6$ (समीकरण $1$)
$-\frac{4}{3} = \frac{2\left(\frac{3x_2 - 5}{2}\right) + (14 - 4x_1)}{3} \implies 3x_2 - 4x_1 = -13$ (समीकरण $2$)
समीकरणों को हल करने पर $x_2 = 1$ और $x_1 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$B = (4, -2)$ और $C = (1, -1)$ है।
$BC$ की ढाल $m = -\frac{1}{3}$ है।
$BC$ का समीकरण: $y + 1 = -\frac{1}{3}(x - 1) \implies x + 3y + 2 = 0$.

(D) दिया है $|z+2|=1$, अतः हम $z+2 = \cos \theta + i \sin \theta$ लिख सकते हैं।
तब $\frac{1}{z+2} = \cos \theta - i \sin \theta$.
हम जानते हैं कि $\frac{z+1}{z+2} = \frac{z+2-1}{z+2} = 1 - \frac{1}{z+2} = 1 - (\cos \theta - i \sin \theta) = (1 - \cos \theta) + i \sin \theta$.
दिया है $\operatorname{Im}\left(\frac{z+1}{z+2}\right) = \frac{1}{5}$, अतः $\sin \theta = \frac{1}{5}$.
अब $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$, अतः $\cos \theta = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.
अब, $\overline{z+2} = \overline{\cos \theta + i \sin \theta} = \cos \theta - i \sin \theta$.
अतः, $\operatorname{Re}(\overline{z+2}) = \cos \theta$.
इसलिए, $|\operatorname{Re}(\overline{z+2})| = |\cos \theta| = \left| \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5} \right| = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.

(B) दिया गया है $a + 5b = 42$ जहाँ $a, b \in N$.
$a = 42 - 5b$.
$b = 1$ के लिए,$a = 37$.
$b = 2$ के लिए,$a = 32$.
$b = 3$ के लिए,$a = 27$.
$b = 4$ के लिए,$a = 22$.
$b = 5$ के लिए,$a = 17$.
$b = 6$ के लिए,$a = 12$.
$b = 7$ के लिए,$a = 7$.
$b = 8$ के लिए,$a = 2$.
अतः,समुच्चय $R$ में $8$ अवयव हैं,इसलिए $m = 8$.
हमें $\sum_{n=1}^8 (1 - i^{n!}) = x + iy$ की गणना करनी है।
$n \geq 4$ के लिए,$n!$ का मान $4$ का गुणज है,इसलिए $i^{n!} = (i^4)^k = 1^k = 1$.
अतः,$\sum_{n=1}^8 (1 - i^{n!}) = (1 - i^{1!}) + (1 - i^{2!}) + (1 - i^{3!}) + 5(1 - 1)$.
$= (1 - i) + (1 - (-1)) + (1 - (-1)) + 0$.
$= 1 - i + 2 + 2 = 5 - i$.
$x + iy$ से तुलना करने पर,हमें $x = 5$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m + x + y = 8 + 5 - 1 = 12$.

(B) अतिपरवलय $H: \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के लिए उत्केंद्रता $e = \sqrt{3}$ है।
$e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow 3 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow a^2 = 2b^2$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b} = 4\sqrt{3}$ है।
$a^2 = 2b^2$ रखने पर,$\frac{4b^2}{b} = 4b = 4\sqrt{3} \Rightarrow b = \sqrt{3}$ और $b^2 = 3$।
अतः $a^2 = 6$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^2}{3} - \frac{x^2}{6} = 1$ है।
चूँकि बिंदु $(\alpha, 6)$,$H$ पर स्थित है,$\frac{36}{3} - \frac{\alpha^2}{6} = 1$ $\Rightarrow 12 - \frac{\alpha^2}{6} = 1$ $\Rightarrow \alpha^2 = 66$।
नाभियाँ $(0, \pm 3)$ हैं।
नाभीय दूरियाँ $d_1, d_2 = |ey \pm b| = |\sqrt{3}(6) \pm \sqrt{3}| = 7\sqrt{3}$ और $5\sqrt{3}$ हैं।
$\beta = d_1 d_2 = 35 \cdot 3 = 105$।
अतः,$\alpha^2 + \beta = 66 + 105 = 171$।

(B) त्रिभुज का केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $H$ और परिकेंद्र $O$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। दिए गए $H = (-6, -8)$ और $O = (3, 4)$ के लिए,केंद्रक $G = (0, 0)$ है।
रेखाओं $2x+3y-1=0$ और $x+2y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ है।
चूंकि त्रिभुज का लंबकेंद्र $(0, 0)$ है,शीर्ष $(-1, 1)$ से विपरीत भुजा $ax+by-1=0$ पर डाला गया शीर्षलंब $(0, 0)$ से गुजरता है।
$(-1, 1)$ और $(0, 0)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_1 = -1$ है।
रेखा $ax+by-1=0$ की ढाल $m_2 = -a/b$ है।
शीर्षलंब और भुजा परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1 \Rightarrow a = -b$ प्राप्त होता है।
भुजा का समीकरण $ax-ay-1=0$ है।
शीर्ष $V = \left( \frac{a+3}{5a}, \frac{a-2}{5a} \right)$ प्राप्त करके और इसे शीर्षलंब $y=2x$ पर रखने पर,$a = -8$ मिलता है।
अतः $b = 8$ और $|a-b| = 16$।

(D) दिए गए अंक $S = \{2, 3, 4, 5, 7\}$ हैं। बिना पुनरावृत्ति के बनने वाली $3$-अंकीय कुल संख्याएँ $^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ हैं।
यदि अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
$3$ से विभाज्य होने वाले $3$ अंकों के समूह: $\{2, 3, 4\}, \{2, 3, 7\}, \{3, 4, 5\}, \{3, 5, 7\}$।
प्रत्येक समूह $3! = 6$ संख्याएँ बना सकता है।
$3$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $= 4 \times 6 = 24$।
$3$ से विभाज्य न होने वाली कुल संख्याएँ $= 60 - 24 = 36$।

(A) $n^{\text{वीं}}$ पंक्ति तक कुल संख्याओं का योग $S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
$n^{\text{वीं}}$ पंक्ति की अंतिम संख्या $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
हमें वह पंक्ति $n$ ज्ञात करनी है जिसमें $5310$ स्थित है। इसके लिए $S_{n-1} < 5310 \le S_n$ होना चाहिए।
$\frac{(n-1)n}{2} < 5310 \le \frac{n(n+1)}{2}$
$(n-1)n < 10620 \le n(n+1)$
$n^2 \approx 10620$ के लिए,$n \approx \sqrt{10620} \approx 103.05$ है।
$n = 103$ के लिए जाँच करने पर:
$S_{103} = \frac{103 \times 104}{2} = 5356$.
$S_{102} = \frac{102 \times 103}{2} = 5253$.
चूँकि $5253 < 5310 \le 5356$,इसलिए संख्या $5310$ $103^{\text{वीं}}$ पंक्ति में स्थित है।

(B) माना $x = \cos^2 \theta$,जहाँ $x \in [0, 1]$.
तब $\sin^4 \theta = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2$.
$f(\theta) = \frac{(1 - 2x + x^2) + 3x}{(1 - 2x + x^2) + x} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1}$.
माना $y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1}$.
$y(x^2 - x + 1) = x^2 + x + 1 \implies x^2(y - 1) - x(y + 1) + (y - 1) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$.
$D = (y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \ge 0$.
$(y + 1 - 2(y - 1))(y + 1 + 2(y - 1)) \ge 0$.
$(3 - y)(3y - 1) \ge 0 \implies (y - 3)(3y - 1) \le 0$.
अतः,$y \in [1/3, 3]$.
इस प्रकार,$\alpha = 1/3$ और $\beta = 3$.
सार्व अनुपात $r = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1/3}{3} = 1/9$.
अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{64}{1 - 1/9} = \frac{64}{8/9} = 64 \times \frac{9}{8} = 72$.

(C) हमारे पास $\alpha = \sum_{r=0}^{n} (4r^2+2r+1) {}^{n}C_{r}$ है।
सर्वसमिका $r {}^{n}C_{r} = n {}^{n-1}C_{r-1}$ और $r(r-1) {}^{n}C_{r} = n(n-1) {}^{n-2}C_{r-2}$ का उपयोग करके,हम $4r^2+2r+1 = 4r(r-1) + 6r + 1$ लिखते हैं।
तब $\alpha = 4n(n-1) 2^{n-2} + 6n 2^{n-1} + 2^n = 2^n (n+1)^2$ प्राप्त होता है।
अब,$\beta = \sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1} + \frac{1}{n+1} = \frac{2^{n+1}}{n+1}$ प्राप्त होता है।
तब $\frac{2\alpha}{\beta} = (n+1)^3$ है।
दिया गया है कि $140 < (n+1)^3 < 281$ है।
$n=5$ के लिए,$(5+1)^3 = 216$ जो सीमा के भीतर है।
अतः,$n=5$।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} 2\left(\frac{1-\prod_{k=1}^{10} (\cos kx)^{1/k}}{x^2}\right)$ है।
$\cos kx \approx 1 - \frac{(kx)^2}{2}$ के विस्तार का उपयोग करने पर,$(\cos kx)^{1/k} \approx (1 - \frac{k^2x^2}{2})^{1/k} \approx 1 - \frac{1}{k} \cdot \frac{k^2x^2}{2} = 1 - \frac{kx^2}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनफल $\prod_{k=1}^{10} (\cos kx)^{1/k} \approx \prod_{k=1}^{10} (1 - \frac{kx^2}{2}) \approx 1 - \sum_{k=1}^{10} \frac{kx^2}{2}$ है।
सीमा में यह मान रखने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} 2\left(\frac{1 - (1 - \sum_{k=1}^{10} \frac{kx^2}{2})}{x^2}\right)$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} 2\left(\frac{\sum_{k=1}^{10} \frac{kx^2}{2}}{x^2}\right) = \sum_{k=1}^{10} k$।
$L = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55$।

(B) माना बिंदु $P(-4, 5)$ का रेखा $x + 2y - 2 = 0$ में प्रतिबिंब $P'(x', y')$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब का सूत्र:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2} \right)$
मान रखने पर:
$\frac{x' + 4}{1} = \frac{y' - 5}{2} = -2 \left( \frac{-4 + 2(5) - 2}{1^2 + 2^2} \right)$
$\frac{x' + 4}{1} = \frac{y' - 5}{2} = -\frac{8}{5}$
अतः,$x' = -\frac{28}{5}$ और $y' = \frac{9}{5}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $P'$ वृत्त $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ पर स्थित है,$x' = -\frac{28}{5}$ और $y' = \frac{9}{5}$ रखने पर:
$(-\frac{28}{5} + 4)^2 + (\frac{9}{5} - 3)^2 = r^2$
$\frac{64}{25} + \frac{36}{25} = r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2$.

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, \dots$ हैं जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया है $T_2 + T_6 = \frac{70}{3}$,अतः $ar + ar^5 = \frac{70}{3} \implies ar(1 + r^4) = \frac{70}{3}$।
दिया है $T_3 \cdot T_5 = 49$,अतः $(ar^2)(ar^4) = 49 \implies a^2r^6 = 49 \implies ar^3 = 7$ (चूंकि पद धनात्मक हैं)।
अतः,$a = \frac{7}{r^3}$।
प्रथम समीकरण में $a$ का मान रखने पर: $\frac{7}{r^3} \cdot r(1 + r^4) = \frac{70}{3} \implies \frac{7}{r^2}(1 + r^4) = \frac{70}{3} \implies \frac{1 + r^4}{r^2} = \frac{10}{3}$।
माना $r^2 = t$। तब $\frac{1 + t^2}{t} = \frac{10}{3} \implies 3t^2 - 10t + 3 = 0$।
$t$ के लिए हल करने पर: $(3t - 1)(t - 3) = 0$,अतः $t = 3$ या $t = \frac{1}{3}$।
चूंकि श्रेणी वर्धमान है,$r > 1$,इसलिए $r^2 = 3$।
हमें $T_4 + T_6 + T_8 = ar^3 + ar^5 + ar^7 = ar^3(1 + r^2 + r^4)$ ज्ञात करना है।
$ar^3 = 7$ और $r^2 = 3$ रखने पर: $7(1 + 3 + 3^2) = 7(1 + 3 + 9) = 7(13) = 91$।

(D) $MATHEMATICS$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$।
इसमें $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $\{M, A, T, H, E, I, C, S\}$।
हमें $5$ अक्षर चुनने हैं। स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$(1)$ सभी $5$ अक्षर अलग हों:
$8$ अलग अक्षरों में से $5$ चुनने के तरीके: $^8C_5 = 56$।
$(2)$ $2$ अक्षर समान (एक जोड़ा) और $3$ अलग हों:
$3$ जोड़े हैं $(M, M)$,$(A, A)$,$(T, T)$। $1$ जोड़ा चुनने के तरीके $^3C_1$ हैं।
शेष $7$ अलग अक्षरों में से $3$ चुनने के तरीके $^7C_3$ हैं।
कुल तरीके = $^3C_1 \times ^7C_3 = 3 \times 35 = 105$।
$(3)$ $2$ जोड़े समान अक्षरों के और $1$ अलग अक्षर हो:
$3$ उपलब्ध जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनने के तरीके $^3C_2$ हैं।
शेष $6$ अलग अक्षरों में से $1$ अक्षर चुनने के तरीके $^6C_1$ हैं।
कुल तरीके = $^3C_2 \times ^6C_1 = 3 \times 6 = 18$।
कुल तरीकों की संख्या = $56 + 105 + 18 = 179$।

(B) माना $Z = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
$Z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए, $Z$ का वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए, या $Z + \overline{Z} = 0$.
$\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta} + \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta} = 0$
$(1+i \cos \theta)(1+2 i \cos \theta) + (1-i \cos \theta)(1-2 i \cos \theta) = 0$
$(1 + 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) + (1 - 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) = 0$
$2 - 4 \cos^2 \theta = 0$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta \in [-\pi, 2 \pi]$ के लिए, $\theta$ के मान $-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ हैं।
इन मानों का योग $(-\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4}) = \frac{12\pi}{4} = 3\pi$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{3(\frac{\sqrt{5}+1}{4}) + 5(\frac{\sqrt{5}-1}{4})}{5(\frac{\sqrt{5}+1}{4}) - 3(\frac{\sqrt{5}-1}{4})} = \frac{3\sqrt{5}+3+5\sqrt{5}-5}{5\sqrt{5}+5-3\sqrt{5}+3} = \frac{8\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}+8} = \frac{4\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{4\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+4} \times \frac{4-\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} = \frac{16\sqrt{5}-20-4+\sqrt{5}}{16-5} = \frac{17\sqrt{5}-24}{11}$.
इसकी तुलना $\frac{a\sqrt{5}-b}{c}$ से करने पर,हमें $a=17, b=24, c=11$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\gcd(17, 11)=1$,अतः ये मान सही हैं।
इसलिए,$a+b+c = 17+24+11 = 52$.

(D) माना $O$ मूलबिंदु $(0, 0)$ है,$A = (5, 2)$ और $B = (2, a)$ है।
$OA$ की ढाल $m_1 = \frac{2-0}{5-0} = \frac{2}{5}$ है।
$OB$ की ढाल $m_2 = \frac{a-0}{2-0} = \frac{a}{2}$ है।
$OA$ और $OB$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{\frac{2}{5} - \frac{a}{2}}{1 + (\frac{2}{5})(\frac{a}{2})} \right|$
$1 = \left| \frac{\frac{4-5a}{10}}{1 + \frac{a}{5}} \right| = \left| \frac{4-5a}{10+2a} \right|$
इससे $4-5a = \pm(10+2a)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $4-5a = 10+2a$ $\Rightarrow -7a = 6$ $\Rightarrow a = -\frac{6}{7}$।
स्थिति $2$: $4-5a = -(10+2a)$ $\Rightarrow 4-5a = -10-2a$ $\Rightarrow 3a = 14$ $\Rightarrow a = \frac{14}{3}$।
$a$ के संभावित मानों का गुणनफल $(-\frac{6}{7}) \times (\frac{14}{3}) = -4$ है।
अतः इसका निरपेक्ष मान $|-4| = 4$ है।

(A) $(\sqrt{a}x^2 + \frac{1}{2x^3})^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{a}x^2)^{10-r} (\frac{1}{2x^3})^r$
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{a})^{10-r} (\frac{1}{2})^r x^{20-5r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$20 - 5r = 0 \implies r = 4$
$r = 4$ रखने पर:
${}^{10}C_4 (\sqrt{a})^6 (\frac{1}{2})^4 = 105$
$210 \cdot a^3 \cdot \frac{1}{16} = 105$
$a^3 = 8 \implies a = 2$
अतः,$a^2 = 4$.

(B) सबसे पहले,$\alpha$ का मान ज्ञात करें:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{\sqrt{\tan x}} - e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{\tan x} - \sqrt{x}}$.
माना $u = \sqrt{\tan x} - \sqrt{x}$. जैसे $x \rightarrow 0^{+}$,$u \rightarrow 0$.
$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{e^{u+\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}}{u} = e^{\sqrt{x}} \lim_{u \rightarrow 0} \frac{e^u - 1}{u} = e^{\sqrt{x}} \cdot 1$.
$x=0$ पर,$\alpha = e^0 = 1$.
अब,$\beta$ का मान ज्ञात करें:
$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + \sin x)^{\frac{1}{2} \cot x} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cot x \cdot \sin x} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cos x} = e^{1/2} = \sqrt{e}$.
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx - \sqrt{e} = 0$ है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = 1 + \sqrt{e} = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 1 \cdot \sqrt{e} = -\sqrt{e}/a$ है।
गुणनफल से,$\sqrt{e} = -\sqrt{e}/a \implies a = -1$.
योग से,$1 + \sqrt{e} = -b/(-1) = b$.
अतः,$a = -1$ और $b = 1 + \sqrt{e}$.
तब $a + b = -1 + 1 + \sqrt{e} = \sqrt{e}$.
अंत में,$12 \log_e(a + b) = 12 \log_e(\sqrt{e}) = 12 \times \frac{1}{2} = 6$.

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{5}=1$ के लिए,$a^2=3$ और $b^2=5$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$ है।
नाभि $S$ बिंदु $(ae, 0) = (\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{8}{3}}, 0) = (\sqrt{8}, 0)$ है।
वृत्त $C$ का केंद्र $A(\sqrt{6}, \sqrt{5})$ है और यह $S(\sqrt{8}, 0)$ से गुजरता है।
त्रिज्या $r$ दूरी $AS = \sqrt{(\sqrt{8}-\sqrt{6})^2 + (0-\sqrt{5})^2} = \sqrt{8+6-2\sqrt{48}+5} = \sqrt{19-8\sqrt{3}}$ है।
चूंकि $SAB$ एक व्यास है,$B$ वह बिंदु है जिसके लिए $A$,$SB$ का मध्यबिंदु है। अतः,$B = 2A - S = (2\sqrt{6}-\sqrt{8}, 2\sqrt{5})$ है।
त्रिभुज $OSB$ के शीर्ष $O(0,0)$,$S(\sqrt{8}, 0)$,और $B(2\sqrt{6}-\sqrt{8}, 2\sqrt{5})$ हैं।
$\triangle OSB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times OS \times y_B = \frac{1}{2} \times \sqrt{8} \times 2\sqrt{5} = \sqrt{40}$ है।
क्षेत्रफल का वर्ग $(\sqrt{40})^2 = 40$ है।

(A) पंक्तियों के प्रथम पद $2, 5, 11, 20, \ldots$ हैं।
माना $a_n$,$n^{\text{th}}$ पंक्ति का प्रथम पद है। अंतर $3, 6, 9, \ldots$ है जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
अतः,$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 2 + 3 \frac{(n-1)n}{2} = \frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$.
$10^{\text{th}}$ पंक्ति के लिए,$n=10$,इसलिए प्रथम पद $a_{10} = \frac{3(100) - 3(10) + 4}{2} = \frac{274}{2} = 137$.
$10^{\text{th}}$ पंक्ति में $10$ पद हैं,और चूंकि पूरी श्रृंखला का सार्व अंतर $3$ है,इसलिए $10^{\text{th}}$ पंक्ति के पद $10$ पदों,प्रथम पद $a = 137$ और सार्व अंतर $d = 3$ के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
$10$ पदों का योग $S_{10} = \frac{10}{2} [2a + (10-1)d] = 5 [2(137) + 9(3)] = 5 [274 + 27] = 5 [301] = 1505$.

(B) माना $f(x) = |x+1||x+3|-4|x+2|+5 = 0$. माना $t = x+2$. तब $x+1 = t-1$ और $x+3 = t+1$.
समीकरण $|t-1||t+1|-4|t|+5 = 0$ हो जाता है,जो $|t^2-1|-4|t|+5 = 0$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $1$: $|t| \geq 1$ $(t^2 \geq 1)$
$t^2-1-4|t|+5 = 0 \implies |t|^2-4|t|+4 = 0 \implies (|t|-2)^2 = 0 \implies |t|=2$.
अतः $t=2$ या $t=-2$. चूँकि $x=t-2$,इसलिए $x=0$ या $x=-4$.
स्थिति $2$: $|t| < 1$ $(t^2 < 1)$
$1-t^2-4|t|+5 = 0 \implies t^2+4|t|-6 = 0$.
माना $u = |t|$,तब $u^2+4u-6=0$. $u = \frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}$.
चूँकि $u = |t| \geq 0$,इसलिए $u = \sqrt{10}-2 \approx 1.16$.
लेकिन हमने $u < 1$ माना था,इसलिए इस स्थिति में कोई हल नहीं मिलता है।
भिन्न वास्तविक मूल $x=0$ और $x=-4$ हैं। अतः भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $2$ है।

(C) रेखा $2x+y-6=0$ के सापेक्ष बिंदु $B(7,2)$ का प्रतिबिंब $B'(x', y')$ ज्ञात करने के लिए,
प्रतिबिंब सूत्र $\frac{x'-7}{2} = \frac{y'-2}{1} = -2 \left( \frac{2(7)+1(2)-6}{2^2+1^2} \right)$ का उपयोग करते हुए,
$\frac{x'-7}{2} = \frac{y'-2}{1} = -2 \left( \frac{14+2-6}{5} \right) = -2 \left( \frac{10}{5} \right) = -4$.
अतः,$x'-7 = -8 \implies x' = -1$ और $y'-2 = -4 \implies y' = -2$.
इसलिए,$B' = (-1, -2)$.
आपतित किरण बिंदु $A(3, 10)$ और $B'(-1, -2)$ से गुजरती है।
आपतित किरण की ढाल $m = \frac{10 - (-2)}{3 - (-1)} = \frac{12}{4} = 3$ है।
आपतित किरण का समीकरण $y - 10 = 3(x - 3) \implies y - 10 = 3x - 9 \implies 3x - y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$ax + by + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 3$ और $b = -1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a^2 + b^2 + 3ab = (3)^2 + (-1)^2 + 3(3)(-1) = 9 + 1 - 9 = 1$.

(D) दिए गए प्रेक्षण $9, 25, a, b, c$ हैं जहाँ $a < b < c$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{9 + 25 + a + b + c}{5} = 18 \implies a + b + c = 56$।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{5} = 4 \implies |9-18| + |25-18| + |a-18| + |b-18| + |c-18| = 20$।
$9 + 7 + |a-18| + |b-18| + |c-18| = 20 \implies |a-18| + |b-18| + |c-18| = 4$।
प्रसरण $= \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{5} = \frac{136}{5} \implies (9-18)^2 + (25-18)^2 + (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 136$।
$81 + 49 + (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 136 \implies (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 6$।
माना $x = a-18, y = b-18, z = c-18$ है। अतः $|x| + |y| + |z| = 4$ और $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ है।
चूँकि $a < b < c$,इसलिए $x < y < z$ है।
$x^2 + y^2 + z^2 = 6$ के लिए पूर्णांक हल $\{-1, 1, 2\}$ हैं।
$a-18 = -1 \implies a = 17$।
$b-18 = 1 \implies b = 19$।
$c-18 = 2 \implies c = 20$।
$2a + b - c = 2(17) + 19 - 20 = 33$।

(D) $P(1, 2)$ का $x$-अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंब $P'(1, -2)$ है।
$P'(1, -2)$ और $R(4, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 3 = \frac{3 - (-2)}{4 - 1}(x - 4)$
$y - 3 = \frac{5}{3}(x - 4)$
यह रेखा $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलती है,जहाँ $y = 0$:
$0 - 3 = \frac{5}{3}(x - 4)$
$-9 = 5x - 20$
$5x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{5}$
अतः,$Q = \left(\frac{11}{5}, 0\right)$.
चूँकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसके विकर्ण $PR$ और $QS$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
विकर्ण $PR$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 3}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)$ है।
विकर्ण $QS$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{\frac{11}{5} + h}{2}, \frac{0 + k}{2}\right)$ है।
मध्यबिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{11/5 + h}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow h = 5 - \frac{11}{5} = \frac{14}{5}$
$\frac{k}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow k = 5$
अतः,$hk^2 = \frac{14}{5} \times 5^2 = 14 \times 5 = 70$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ के रूप में है।
हमें $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ में $x^{70}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह प्रत्येक $k$ के लिए $(1+x)^{100-k}$ में $x^{70-k}$ का गुणांक ज्ञात करने के बराबर है,जो ${}^{100-k}C_{70-k}$ है।
योग करने पर,$S = {}^{98}C_{68} + {}^{97}C_{67} + \ldots + {}^{46}C_{16}$ प्राप्त होता है।
हॉकी-स्टिक पहचान $\sum_{i=r}^n {}^iC_r = {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करते हुए,योग $\sum_{j=46}^{98} {}^jC_{30}$ हो जाता है।
अतः,${}^{99}C_{31} - {}^{46}C_{31}$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $p=31, q=31$ या $p=68, q=15$ मिलता है।
इस प्रकार,$p+q = 83$ एक संभावित मान है।

(A) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(3, 5)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{3}{a} + \frac{5}{b} = 1$ है।
इसका अर्थ है $\frac{5}{b} = 1 - \frac{3}{a} = \frac{a-3}{a}$,अतः $b = \frac{5a}{a-3}$ जहाँ $a > 3$ है।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} a \left( \frac{5a}{a-3} \right) = \frac{5}{2} \cdot \frac{a^2}{a-3}$ है।
इसे हम $A = \frac{5}{2} \left( \frac{a^2 - 9 + 9}{a-3} \right) = \frac{5}{2} \left( a + 3 + \frac{9}{a-3} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने के लिए,$A = \frac{5}{2} \left( (a-3) + \frac{9}{a-3} + 6 \right)$ लिखें।
$AM$-$GM$ के अनुसार,$(a-3) + \frac{9}{a-3} \geq 2 \sqrt{(a-3) \cdot \frac{9}{a-3}} = 2 \cdot 3 = 6$ है।
अतः,$A \geq \frac{5}{2} (6 + 6) = \frac{5}{2} (12) = 30$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल $30$ है।

(C) हम जानते हैं कि: $\cos \theta \cos (60^{\circ} - \theta) \cos (60^{\circ} + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$.
दी गई असमिका इस प्रकार है: $|\frac{1}{4} \cos 3\theta| \leq \frac{1}{8}$.
इसका अर्थ है: $|\cos 3\theta| \leq \frac{1}{2}$, या $-\frac{1}{2} \leq \cos 3\theta \leq \frac{1}{2}$.
इस सीमा में $\cos 3\theta$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है।
$3\theta \in [0, 6\pi]$ के लिए $\cos 3\theta = \frac{1}{2}$ को हल करने पर:
$3\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$n=0$ के लिए: $3\theta = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{9}$.
$n=1$ के लिए: $3\theta = 2\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$.
$n=2$ के लिए: $3\theta = 4\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{11\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}$.
$n=3$ के लिए: $3\theta = 6\pi - \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{17\pi}{9}$.
इन मानों का योग: $\frac{\pi}{9} + \frac{5\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} + \frac{13\pi}{9} + \frac{17\pi}{9} = \frac{54\pi}{9} = 6\pi$.

(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{9} \frac{1}{(1+kd)(1+(k+1)d)} = 5$ है।
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करके,प्रत्येक पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{1}{(1+kd)(1+(k+1)d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{1+kd} - \frac{1}{1+(k+1)d} \right)$.
$k=0$ से $9$ तक योग करने पर:
$S = \frac{1}{d} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{1+d} \right) + \left( \frac{1}{1+d} - \frac{1}{1+2d} \right) + \dots + \left( \frac{1}{1+9d} - \frac{1}{1+10d} \right) \right] = 5$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$\frac{1}{d} \left( 1 - \frac{1}{1+10d} \right) = 5$.
$\frac{1}{d} \left( \frac{1+10d-1}{1+10d} \right) = 5$.
$\frac{1}{d} \left( \frac{10d}{1+10d} \right) = 5$.
$\frac{10}{1+10d} = 5$.
$10 = 5(1+10d) \implies 10 = 5 + 50d$.
$50d = 5$.

(A) दी गई रेखाएँ $3x + 5y = 1$ और $(2+c)x + 5c^2y = 1$ हैं।
पहली रेखा से,$y = \frac{1-3x}{5}$। इस मान को दूसरी रेखा में रखने पर:
$(2+c)x + 5c^2(\frac{1-3x}{5}) = 1$
$(2+c)x + c^2(1-3x) = 1$
$x(2+c-3c^2) = 1-c^2$
$x_c = \frac{1-c^2}{2+c-3c^2} = \frac{(1-c)(1+c)}{(1-c)(2+3c)} = \frac{1+c}{2+3c}$.
$h = \lim_{c \to 1} x_c = \frac{1+1}{2+3(1)} = \frac{2}{5}$.
अब,$y_c = \frac{1-3x_c}{5} = \frac{1 - 3(\frac{1+c}{2+3c})}{5} = \frac{2+3c-3-3c}{5(2+3c)} = \frac{-1}{5(2+3c)}$.
$k = \lim_{c \to 1} y_c = \frac{-1}{5(2+3)} = -\frac{1}{25}$.
केंद्र $(h, k) = (\frac{2}{5}, -\frac{1}{25})$ है।
वृत्त $(2, 0)$ से गुजरता है,इसलिए त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (2 - \frac{2}{5})^2 + (0 - (-\frac{1}{25}))^2 = (\frac{8}{5})^2 + (\frac{1}{25})^2 = \frac{64}{25} + \frac{1}{625} = \frac{1601}{625}$ है।
समीकरण $(x - \frac{2}{5})^2 + (y + \frac{1}{25})^2 = \frac{1601}{625}$ है।
$x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{4}{25} + y^2 + \frac{2}{25}y + \frac{1}{625} = \frac{1601}{625}$।
$625$ से गुणा करने पर: $625x^2 - 500x + 100 + 625y^2 + 50y + 1 = 1601$।
$625x^2 + 625y^2 - 500x + 50y - 1500 = 0$।
$25$ से भाग देने पर: $25x^2 + 25y^2 - 20x + 2y - 60 = 0$।

(B) कुल छात्रों की संख्या $N = 40$ है,इसलिए $5 + 8 + 5 + 12 + X + Y = 40 \Rightarrow X + Y = 10 \dots (1)$.
संचयी आवृत्तियाँ हैं: $5, 13, 18, 30, 30+X, 30+X+Y$.
चूँकि $N=40$,माध्यिका $20$ वें और $21$ वें अवलोकनों का औसत है। संचयी आवृत्तियों को देखने पर,$20$ वाँ और $21$ वाँ अवलोकन $18$ आयु वर्ग में आता है। अतः,$\text{माध्यिका} (M) = 18$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\text{M.D.} = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{N}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\text{M.D.} = 1.25$,इसलिए $1.25 = \frac{5|15-18| + 8|16-18| + 5|17-18| + 12|18-18| + X|19-18| + Y|20-18|}{40}$.
$1.25 = \frac{5(3) + 8(2) + 5(1) + 12(0) + X(1) + Y(2)}{40}$.
$50 = 15 + 16 + 5 + 0 + X + 2Y$.
$50 = 36 + X + 2Y \Rightarrow X + 2Y = 14 \dots (2)$.
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(X + 2Y) - (X + Y) = 14 - 10 \Rightarrow Y = 4$.
$(1)$ में $Y=4$ रखने पर,$X + 4 = 10 \Rightarrow X = 6$.
अतः,$4X + 5Y = 4(6) + 5(4) = 24 + 20 = 44$.

(C) दिया गया समीकरण: $x^2+2 \sqrt{2} x-1=0$
मूलों का योग: $\alpha+\beta = -2 \sqrt{2}$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = -1$
$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha \beta = (-2 \sqrt{2})^2 - 2(-1) = 8+2 = 10$
$\alpha^4+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - 2(\alpha \beta)^2 = (10)^2 - 2(-1)^2 = 100-2 = 98$
$\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2+\beta^2)(\alpha^4 - \alpha^2 \beta^2 + \beta^4) = (10)(98 - (-1)^2) = 10(97) = 970$
नए समीकरण के मूल $98$ और $\frac{1}{10}(970) = 97$ हैं।
नए मूलों का योग: $98+97 = 195$
नए मूलों का गुणनफल: $98 \times 97 = 9506$
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - 195x + 9506 = 0$ है।

(B) दिया गया है $f(x)=x^2+9$ और $g(x)=\frac{x}{x-9}$।
सबसे पहले,$a$ की गणना करें:
$g(10) = \frac{10}{10-9} = 10$
$a = f(10) = 10^2+9 = 109$।
इसके बाद,$b$ की गणना करें:
$f(3) = 3^2+9 = 18$
$b = g(18) = \frac{18}{18-9} = \frac{18}{9} = 2$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{109}+\frac{y^2}{2}=1$ है। यहाँ $A^2=109$ और $B^2=2$ है।
चूंकि $A^2 > B^2$,उत्केंद्रता $e$ का मान $e^2 = 1 - \frac{B^2}{A^2} = 1 - \frac{2}{109} = \frac{107}{109}$ होगा।
नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2B^2}{A} = \frac{2(2)}{\sqrt{109}} = \frac{4}{\sqrt{109}}$ है।
अतः,$l^2 = \frac{16}{109}$।
अंत में,$8e^2+l^2$ का मान:
$8e^2+l^2 = 8\left(\frac{107}{109}\right) + \frac{16}{109} = \frac{856+16}{109} = \frac{872}{109} = 8$।

(B) दिया गया है $|z-1| \leq 1$,जहाँ $z=x+iy$ है।
$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$. यह $(1,0)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
साथ ही,$|z-5| \leq |z-5i|$।
$(x-5)^2 + y^2 \leq x^2 + (y-5)^2$।
$x^2 - 10x + 25 + y^2 \leq x^2 + y^2 - 10y + 25$।
$-10x \leq -10y \Rightarrow x \geq y$।
हमें $z=x+iy$ ज्ञात करना है जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}$ और $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$ तथा $x \geq y$ का पालन होता है।
$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$ का पालन करने वाले संभावित पूर्णांक बिंदु $(x,y)$:
यदि $x=0$,$(0-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow 1 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 0$ $\Rightarrow y=0$। बिंदु: $(0,0)$। $x \geq y$ की जाँच करें: $0 \geq 0$ (सत्य)।
यदि $x=1$,$(1-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y \in \{-1, 0, 1\}$। बिंदु: $(1,-1), (1,0), (1,1)$। $x \geq y$ की जाँच करें: $1 \geq -1$ (सत्य),$1 \geq 0$ (सत्य),$1 \geq 1$ (सत्य)।
यदि $x=2$,$(2-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow 1 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 0$ $\Rightarrow y=0$। बिंदु: $(2,0)$। $x \geq y$ की जाँच करें: $2 \geq 0$ (सत्य)।
तत्वों का समुच्चय $z \in \{0, 1-i, 1, 1+i, 2\}$ है।
मापांक के वर्ग का योग:
$|0|^2 + |1-i|^2 + |1|^2 + |1+i|^2 + |2|^2 = 0 + (1^2+(-1)^2) + 1^2 + (1^2+1^2) + 2^2 = 0 + 2 + 1 + 2 + 4 = 9$.

(A) हमें $428^{2024}$ को $21$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$428$ को $21$ के पदों में व्यक्त करें:
$428 = 21 \times 20 + 8$.
अतः,$428^{2024} = (21 \times 20 + 8)^{2024}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(21 \times 20 + 8)^{2024} = 21k + 8^{2024}$ जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
अब,$8^{2024}$ को $21$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करते हैं:
$8^{2024} = (8^2)^{1012} = 64^{1012}$.
चूँकि $64 = 21 \times 3 + 1$,इसलिए $64 \equiv 1 \pmod{21}$.
अतः,$64^{1012} \equiv 1^{1012} \pmod{21}$.
$64^{1012} \equiv 1 \pmod{21}$.
इस प्रकार,शेषफल $1$ है।

(D) मान लीजिए वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है। चूँकि यह $(0,0)$ और $(1,0)$ से गुजरता है,त्रिज्या $r$ केंद्र $(h,k)$ से $(0,0)$ की दूरी है,इसलिए $r^2 = h^2+k^2$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = h^2+k^2$,जो सरल होकर $x^2+y^2-2hx-2ky=0$ हो जाता है।
चूँकि वृत्त $(1,0)$ से गुजरता है,हम $x=1, y=0$ प्रतिस्थापित करते हैं: $1^2+0^2-2h(1)-2k(0)=0$,जिससे $1-2h=0$ प्राप्त होता है,अतः $h=1/2$ है।
वृत्त $x^2+y^2=9$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $3$ वाला वृत्त) को स्पर्श करता है। केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होती है (चूँकि छोटा वृत्त बड़े वृत्त के अंदर है): $\sqrt{h^2+k^2} = 3 - r = 3 - \sqrt{h^2+k^2}$।
अतः,$2\sqrt{h^2+k^2} = 3$,इसलिए $\sqrt{h^2+k^2} = 3/2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^2+k^2 = 9/4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$4(h^2+k^2) = 4(9/4) = 9$।

(A) माना $L = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{e-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}$.
सर्वसमिका $a^b = e^{b \ln a}$ का उपयोग करने पर,$(1+2x)^{\frac{1}{2x}} = e^{\frac{\ln(1+2x)}{2x}}$.
$L = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{e - e^{\frac{\ln(1+2x)}{2x}}}{x} = e \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - e^{\frac{\ln(1+2x)}{2x} - 1}}{x}$.
विस्तार $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \dots$ का उपयोग करने पर,$t=2x$ के लिए,$\ln(1+2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + \dots = 2x - 2x^2 + \dots$.
अतः $\frac{\ln(1+2x)}{2x} = 1 - x + \dots$.
इसलिए,$L = e \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - e^{-x}}{x} = e \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1 - x)}{x} = e \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x} = e$.

(A) मान लीजिए $w = \frac{z-2i}{z+2i}$ है। दिया गया है कि $\text{Re}(w) = 0$,इसलिए $w + \bar{w} = 0$ है।
$\frac{z-2i}{z+2i} + \frac{\bar{z}+2i}{\bar{z}-2i} = 0$
$(z-2i)(\bar{z}-2i) + (\bar{z}+2i)(z+2i) = 0$
$z\bar{z} - 2iz - 2i\bar{z} - 4 + z\bar{z} + 2iz + 2i\bar{z} - 4 = 0$
$2|z|^2 - 8 = 0$ $\Rightarrow |z|^2 = 4$ $\Rightarrow |z| = 2$ है।
यह मूल बिंदु पर केंद्रित और $r = 2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
हमें $|z - (6+8i)|$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है,जो वृत्त पर स्थित बिंदु $z$ से बिंदु $P = 6+8i$ की दूरी है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से $P(6,8)$ की दूरी $OP = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10$ है।
वृत्त पर स्थित बिंदु से $P$ की अधिकतम दूरी $OP + r = 10 + 2 = 12$ है।

(B) दीर्घवृत्त $E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$ के लिए,$a^2=100$ और $b^2=75$ है।
उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{75}{100}} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(h \pm ae_1, k) = (1 \pm 10 \times \frac{1}{2}, 1) = (1 \pm 5, 1)$ हैं,जो $F_1(6, 1)$ और $F_2(-4, 1)$ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae_1 = 10$ है।
अतिपरवलय $H$ के लिए,उत्केंद्रता $e_2 = \frac{1}{e_1} = 2$ है।
अतिपरवलय की नाभियों के बीच की दूरी $2ae_2 = 10$ है,इसलिए $2a(2) = 10$,जिससे $a = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $\alpha = 2a = 5$ है।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e_2^2-1) = a^2(2^2-1) = 3a^2$ है।
अतः,$b = a\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ है।
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $\beta = 2b = 5\sqrt{3}$ है।
इसलिए,$3\alpha^2 + 2\beta^2 = 3(5)^2 + 2(5\sqrt{3})^2 = 3(25) + 2(75) = 75 + 150 = 225$।

(D) मान लीजिए $f_n(x)$,$f(x)$ का $n$-वां संयोजन है।
$f_1(x) = \frac{2x}{\sqrt{1+9x^2}}$
$f_2(x) = f(f(x)) = \frac{2 \cdot \frac{2x}{\sqrt{1+9x^2}}}{\sqrt{1+9 \cdot \frac{4x^2}{1+9x^2}}} = \frac{4x}{\sqrt{1+9x^2+36x^2}} = \frac{2^2x}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2)}}$
$f_3(x) = f(f_2(x)) = \frac{2 \cdot \frac{2^2x}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2)}}}{\sqrt{1+9 \cdot \frac{2^4x^2}{1+9x^2(1+2^2)}}} = \frac{2^3x}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2+2^4)}}$
गणितीय आगमन द्वारा,$f_n(x) = \frac{2^nx}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2+2^4+\ldots+2^{2n-2})}}$.
$n=10$ के लिए,हर में $9\alpha x^2$ है,जहाँ $\alpha = 1+2^2+2^4+\ldots+2^{18}$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=1$,$r=4$,और $n=10$ पद हैं।
$\alpha = \frac{1(4^{10}-1)}{4-1} = \frac{2^{20}-1}{3}$.
अतः,$3\alpha + 1 = 3(\frac{2^{20}-1}{3}) + 1 = 2^{20} - 1 + 1 = 2^{20}$.
इसलिए,$\sqrt{3\alpha+1} = \sqrt{2^{20}} = 2^{10} = 1024$.

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix}$,इसलिए $a + b = 3$ और $b + d = 7$.
अतः,$a = 3 - b$ और $d = 7 - b$.
सारणिक $|A| = ad - b^2 = 1$.
मान रखने पर,$(3 - b)(7 - b) - b^2 = 1$.
$21 - 3b - 7b + b^2 - b^2 = 1 \implies 21 - 10b = 1 \implies 10b = 20 \implies b = 2$.
तब $a = 3 - 2 = 1$ और $d = 7 - 2 = 5$.
अतः,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$.
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A^{-1} = \alpha A + \beta I$,इसलिए $\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\alpha \\ 2\alpha & 5\alpha + \beta \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,$2\alpha = -2 \implies \alpha = -1$.
$\alpha = -1$ को $\alpha + \beta = 5$ में रखने पर,$-1 + \beta = 5 \implies \beta = 6$.
अतः,$\alpha + \beta = -1 + 6 = 5$.

(C) $P(W) = \frac{1}{3}, P(L) = \frac{2}{3}$. मान लीजिए $x$ जीते गए मैचों की संख्या है और $y$ हारे गए मैचों की संख्या है। दिया गया है $x+y=10$ और $|x-y| \leq 2$.
स्थिति $I$: $|x-y|=0 \Rightarrow x=y$. चूँकि $x+y=10$,हमें $x=5, y=5$ प्राप्त होता है। प्रायिकता $P(x=5) = {}^{10}C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^5 = {}^{10}C_5 \frac{2^5}{3^{10}}$ है।
स्थिति $II$: $|x-y|=1$. चूँकि $x+y=10$,$x-y = \pm 1$ का अर्थ है $2x = 11$ या $2x = 9$,जिसका कोई पूर्णांक हल नहीं है। अतः,$P(|x-y|=1) = 0$.
स्थिति $III$: $|x-y|=2$. इसका अर्थ है $x-y=2$ या $x-y=-2$.
यदि $x-y=2$ और $x+y=10$,तो $x=6, y=4$.
यदि $x-y=-2$ और $x+y=10$,तो $x=4, y=6$.
$P(|x-y|=2) = P(x=6) + P(x=4) = {}^{10}C_6 (\frac{1}{3})^6 (\frac{2}{3})^4 + {}^{10}C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^6 = {}^{10}C_6 \frac{2^4}{3^{10}} + {}^{10}C_4 \frac{2^6}{3^{10}}$.
कुल प्रायिकता $p = P(|x-y|=0) + P(|x-y|=2) = \frac{{}^{10}C_5 2^5 + {}^{10}C_6 2^4 + {}^{10}C_4 2^6}{3^{10}}$.
$3^9 p = \frac{{}^{10}C_5 2^5 + {}^{10}C_6 2^4 + {}^{10}C_4 2^6}{3} = \frac{252 \times 32 + 210 \times 16 + 210 \times 64}{3} = \frac{8064 + 3360 + 13440}{3} = \frac{24864}{3} = 8288$.

(A) बिंदुओं $P(1, 2, 1)$ और $Q(2, 1, -1)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ के दिक अनुपात $(2-1, 1-2, -1-1) = (1, -1, -2)$ हैं।
रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{-2} = k$ है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $C = (k+1, -k+2, -2k+1)$ है।
चूंकि $AC$ रेखा $L$ के लंबवत है,$AC$ के दिक अनुपात $(k+1-2, -k+2-2, -2k+1-2) = (k-1, -k, -2k-1)$ हैं।
$AC \perp L$ होने के कारण,उनके दिक अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$1(k-1) + (-1)(-k) + (-2)(-2k-1) = 0$
$k - 1 + k + 4k + 2 = 0$
$6k + 1 = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{6}$.
$C$ के निर्देशांकों में $k$ का मान रखने पर,$C = (1 - \frac{1}{6}, 2 + \frac{1}{6}, 1 + \frac{2}{6}) = (\frac{5}{6}, \frac{13}{6}, \frac{8}{6})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,जहाँ $B = (\alpha, \beta, \gamma)$ और $A = (2, 2, 2)$ है:
$\frac{\alpha+2}{2} = \frac{5}{6} \Rightarrow \alpha+2 = \frac{5}{3} \Rightarrow \alpha = -\frac{1}{3}$.
$\frac{\beta+2}{2} = \frac{13}{6} \Rightarrow \beta+2 = \frac{13}{3} \Rightarrow \beta = \frac{7}{3}$.
$\frac{\gamma+2}{2} = \frac{8}{6} \Rightarrow \gamma+2 = \frac{8}{3} \Rightarrow \gamma = \frac{2}{3}$.
अब,$\alpha + \beta + 6\gamma = -\frac{1}{3} + \frac{7}{3} + 6(\frac{2}{3}) = \frac{6}{3} + 4 = 2 + 4 = 6$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=(x+y+2)^2$ है,जहाँ $y(0)=-2$ है।
माना $v=x+y+2$,तब $\frac{dv}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{dv}{dx}-1=v^2 \Rightarrow \frac{dv}{dx}=1+v^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{1+v^2} = \int dx \Rightarrow \tan^{-1}(v) = x+C$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan^{-1}(x+y+2) = x+C$ है।
$x=0, y=-2$ के लिए,$\tan^{-1}(0-2+2) = 0+C \Rightarrow C=0$ है।
इसलिए,$x+y+2 = \tan(x) \Rightarrow y = \tan(x)-x-2$ है।
अंतराल $x \in [0, \frac{\pi}{3}]$ के लिए,$f'(x) = \sec^2(x)-1 = \tan^2(x) \ge 0$,अतः $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
न्यूनतम मान $\beta = f(0) = \tan(0)-0-2 = -2$ है।
अधिकतम मान $\alpha = f(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3})-\frac{\pi}{3}-2 = \sqrt{3}-\frac{\pi}{3}-2$ है।
अब,$(3\alpha+\pi)^2+\beta^2 = (3(\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}-2)+\pi)^2+(-2)^2$ है।
$= (3\sqrt{3}-\pi-6+\pi)^2+4 = (3\sqrt{3}-6)^2+4$ है।
$= (27+36-36\sqrt{3})+4 = 67-36\sqrt{3}$ है।
$\gamma+\delta\sqrt{3}$ से तुलना करने पर,$\gamma=67$ और $\delta=-36$ प्राप्त होता है।
अतः,$\gamma+\delta = 67-36 = 31$ है।

(C) मान लीजिए पहली रेखा $\frac{x+6}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}=\lambda$ है। इस रेखा पर सामान्य बिंदु $(3\lambda-6, 2\lambda, \lambda-1)$ है।
मान लीजिए दूसरी रेखा $\frac{x-7}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-4}{2}=\mu$ है। इस रेखा पर सामान्य बिंदु $(4\mu+7, 3\mu+9, 2\mu+4)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3\lambda-6 = 4\mu+7 \Rightarrow 3\lambda-4\mu = 13$ (समीकरण $1$)
$2\lambda = 3\mu+9 \Rightarrow 2\lambda-3\mu = 9$ (समीकरण $2$)
इन समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण $1$ को $2$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6\lambda-8\mu = 26$
$6\lambda-9\mu = 27$
दोनों समीकरणों को घटाने पर $\mu = -1$ प्राप्त होता है।
$\mu = -1$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $2\lambda - 3(-1) = 9 \Rightarrow 2\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3(3)-6, 2(3), 3-1) = (3, 6, 2)$ है।
बिंदु $(3, 6, 2)$ से $(7, 8, 9)$ तक की दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d^2 = (7-3)^2 + (8-6)^2 + (9-2)^2 = 4^2 + 2^2 + 7^2 = 16 + 4 + 49 = 69$.
अतः,$d^2+6 = 69+6 = 75$.

(A) मान लीजिए कि $\theta$ वह कोण है जो आयत $ABCD$ की भुजा $AB$,आयत $PQRS$ की भुजा $PQ$ के साथ बनाती है।
आकृति की ज्यामिति से,आयत $PQRS$ की भुजाएँ $a = 4 \cos \theta + 2 \sin \theta$ और $b = 4 \sin \theta + 2 \cos \theta$ हैं।
आयत $PQRS$ का क्षेत्रफल $A = a \times b = (4 \cos \theta + 2 \sin \theta)(4 \sin \theta + 2 \cos \theta)$ है।
इसका विस्तार करने पर,$A = 16 \sin \theta \cos \theta + 8 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 8(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 20 \sin \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$A = 8 + 10 \sin 2\theta$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $\sin 2\theta = 1$ हो,जो $\theta = 45^{\circ}$ पर होता है।
$\theta = 45^{\circ}$ पर,भुजाएँ $a = 4(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ और $b = 3\sqrt{2}$ हैं।
अतः $(a+b)^2 = (3\sqrt{2} + 3\sqrt{2})^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=2$ और $Q=\sin(2x)$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot e^{2x} = \int e^{2x} \sin(2x) dx + C$.
सूत्र $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin(bx) - b \cos(bx))$ का उपयोग करने पर:
$y \cdot e^{2x} = \frac{e^{2x}}{2^2+2^2} (2 \sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C = \frac{e^{2x}}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + C$.
चूंकि $y(0) = \frac{3}{4}$ दिया गया है,$x=0$ और $y=\frac{3}{4}$ रखने पर:
$\frac{3}{4} \cdot e^0 = \frac{e^0}{4} (\sin(0) - \cos(0)) + C \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{4} (0 - 1) + C \Rightarrow \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$y \cdot e^{2x} = \frac{e^{2x}}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + 1$,जिसे सरल करने पर $y = \frac{1}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + e^{-2x}$ प्राप्त होता है।
अब,$x = \frac{\pi}{8}$ पर मान ज्ञात करने पर:
$y\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{4} (\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4})) + e^{-2(\frac{\pi}{8})} = \frac{1}{4} (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + e^{-\pi/4} = 0 + e^{-\pi/4} = e^{-\pi/4}$.

(D) दिया गया है $f(x) = \sin x + 3x - \frac{2}{\pi}(x^2 + x)$.
चरण $1$: कथन $(I)$ का विश्लेषण करें।
$f'(x) = \cos x + 3 - \frac{2}{\pi}(2x + 1)$.
$x \in (0, \pi/2)$ के लिए,$\cos x \in (0, 1)$ और $2x+1 \in (1, \pi+1)$.
$f'(x) = \cos x + 3 - \frac{4x}{\pi} - \frac{2}{\pi}$.
$x=0$ पर,$f'(0) = 1 + 3 - 2/\pi = 4 - 2/\pi > 0$.
$x=\pi/2$ पर,$f'(\pi/2) = 0 + 3 - \frac{2}{\pi}(\pi + 1) = 3 - 2 - 2/\pi = 1 - 2/\pi > 0$.
चूंकि $f''(x) = -\sin x - 4/\pi < 0$,इसलिए $f'(x)$ ह्रासमान है। $[0, \pi/2]$ पर $f'(x)$ का न्यूनतम मान $f'(\pi/2) = 1 - 2/\pi > 0$ है। अतः,सभी $x \in (0, \pi/2)$ के लिए $f'(x) > 0$,इसलिए $f$ वर्धमान है।
चरण $2$: कथन $(II)$ का विश्लेषण करें।
$f''(x) = -\sin x - 4/\pi$.
चूंकि $x \in (0, \pi/2)$ के लिए $\sin x > 0$,इसलिए $f''(x) = -(\sin x + 4/\pi) < 0$.
चूंकि $f''(x) < 0$,इसलिए $f'(x)$,$(0, \pi/2)$ में ह्रासमान है।
निष्कर्ष: $(I)$ और $(II)$ दोनों सत्य हैं।

(C) रैखिक समीकरणों की प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $ D = 0 $ होना चाहिए और संवर्धित सारणिक $ D_1, D_2, D_3 $ भी $ 0 $ होने चाहिए।
$ D = \begin{vmatrix} 11 & 1 & \lambda \\ 2 & 3 & 5 \\ 8 & -19 & -39 \end{vmatrix} = 0 $
$ 11(-117 + 95) - 1(-78 - 40) + \lambda(-38 - 24) = 0 $
$ 11(-22) + 118 - 62\lambda = 0 $
$ -242 + 118 = 62\lambda $
$ 62\lambda = -124 \Rightarrow \lambda = -2 $
अब,$ D_1 = 0 $ के लिए:
$ D_1 = \begin{vmatrix} -5 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & 5 \\ \mu & -19 & -39 \end{vmatrix} = 0 $
$ -5(-117 + 95) - 1(-117 - 5\mu) - 2(-57 - 3\mu) = 0 $
$ -5(-22) + 117 + 5\mu + 114 + 6\mu = 0 $
$ 110 + 231 + 11\mu = 0 $
$ 11\mu = -341 \Rightarrow \mu = -31 $
अंत में,$ \lambda^4 - \mu $ की गणना करने पर:
$ \lambda^4 - \mu = (-2)^4 - (-31) = 16 + 31 = 47 $

(D) दिए गए समुच्चय $A=\{1,3,7,9,11\}$ और $B=\{2,4,5,7,8,10,12\}$ हैं।
हमें एक-एक फलनों $f: A \rightarrow B$ की संख्या ज्ञात करनी है ताकि $f(1)+f(3)=14$ हो।
समुच्चय $B$ से ऐसे युग्म $(f(1), f(3))$ जिनका योग $14$ है,वे इस प्रकार हैं:
$(i) (2, 12)$
$(ii) (12, 2)$
$(iii) (4, 10)$
$(iv) (10, 4)$
ऐसे कुल $4$ युग्म संभव हैं।
प्रत्येक युग्म के लिए,हमने समुच्चय $A$ के $2$ अवयवों ($1$ और $3$) के प्रतिबिंब निर्धारित कर लिए हैं।
अब,हमें समुच्चय $A$ के शेष $3$ अवयवों (अर्थात ${7, 9, 11}$) को समुच्चय $B$ के शेष $5$ अवयवों के साथ जोड़ना है (क्योंकि $B$ में $7-2=5$ अवयव शेष हैं)।
इन $3$ अवयवों को एक-एक तरीके से जोड़ने के तरीकों की संख्या क्रमचय सूत्र $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ द्वारा दी जाती है।
अतः,एक-एक फलनों की कुल संख्या $4 \times 60 = 240$ है।

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \dots = 3x - \frac{27x^3}{6} + \dots$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$
$\cos 3x = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \dots = 1 - \frac{9x^2}{2} + \dots$
इन मानों को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{(3x - \frac{27x^3}{6} + \dots) + \alpha(x - \frac{x^3}{6} + \dots) - \beta(1 - \frac{9x^2}{2} + \dots)}{x^3}$
$f(x) = \frac{-\beta + x(3 + \alpha) + x^2(\frac{9\beta}{2}) + x^3(-\frac{27}{6} - \frac{\alpha}{6}) + \dots}{x^3}$
सीमा के अस्तित्व के लिए,$x^0$,$x^1$,और $x^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1$) $-\beta = 0 \implies \beta = 0$
$2$) $3 + \alpha = 0 \implies \alpha = -3$
$3$) $\frac{9\beta}{2} = 0$ (जो $\beta = 0$ होने के कारण सत्य है)
अब,सीमा $x^3$ का गुणांक है:
$f(0) = -\frac{27}{6} - \frac{\alpha}{6} = \frac{-27 - (-3)}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} dx$.
अंश को $136 \sin x = A(3 \sin x + 5 \cos x) + B(3 \cos x - 5 \sin x)$ के रूप में लिखने पर।
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$136 = 3A - 5B$ ... $(1)$
$0 = 5A + 3B$ ... $(2)$
$(2)$ से,$B = -\frac{5}{3}A$. इसे $(1)$ में रखने पर:
$136 = 3A - 5(-\frac{5}{3}A) = 3A + \frac{25}{3}A = \frac{34}{3}A$.
अतः,$A = \frac{136 \times 3}{34} = 12$ और $B = -\frac{5}{3}(12) = -20$.
अब,$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{12(3 \sin x + 5 \cos x) - 20(3 \cos x - 5 \sin x)}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$.
$I = 12 \int_0^{\pi / 4} dx - 20 \int_0^{\pi / 4} \frac{3 \cos x - 5 \sin x}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$.
$I = 12[x]_0^{\pi / 4} - 20[\ln|3 \sin x + 5 \cos x|]_0^{\pi / 4}$.
$I = 12(\frac{\pi}{4}) - 20[\ln(\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}}) - \ln(5)]$.
$I = 3\pi - 20[\ln(\frac{8}{\sqrt{2}}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\ln(4\sqrt{2}) - \ln(5)]$.
$I = 3\pi - 20[\ln(2^{5/2}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\frac{5}{2}\ln 2 - \ln 5]$.
$I = 3\pi - 50 \ln 2 + 20 \ln 5$.

(A) दिया गया है $|A|=3$ और $|B|=2$,जहाँ आव्यूह का क्रम $n=3$ है।
हम जानते हैं कि $|A^T| = |A| = 3$,इसलिए $|A^T A| = |A^T||A| = |A|^2 = 3^2 = 9$ है।
साथ ही,$|\operatorname{adj}(kA)| = |kA|^{n-1} = (k^n |A|)^{n-1} = (k^3 \cdot 3)^2 = k^6 \cdot 9$ होता है।
$k=2$ के लिए,$|\operatorname{adj}(2A)| = 2^6 \cdot 3^2 = 64 \cdot 9 = 576$ है।
$k=4$ के लिए,$|\operatorname{adj}(4B)| = (4^3 |B|)^2 = (64 \cdot 2)^2 = 128^2 = 16384$ है।
$|\operatorname{adj}(AB)| = |AB|^{n-1} = (|A||B|)^{3-1} = (3 \cdot 2)^2 = 6^2 = 36$ है।
अब,व्यंजक का मान:
$|A^T A| \cdot |(\operatorname{adj}(2A))^{-1}| \cdot |\operatorname{adj}(4B)| \cdot |(\operatorname{adj}(AB))^{-1}| \cdot |AA^T|$
$= 9 \cdot \frac{1}{576} \cdot 16384 \cdot \frac{1}{36} \cdot 9$
$= \frac{81 \cdot 16384}{576 \cdot 36} = \frac{1327104}{20736} = 64$.

(D) दिया गया है $f(x)=x^5+2x^3+3x+1$.
सबसे पहले,हम अवकलज $f^{\prime}(x) = 5x^4+6x^2+3$ ज्ञात करते हैं।
हमें दिया गया है $g(f(x))=x$। श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$ प्राप्त होता है।
$g(7)$ और $g^{\prime}(7)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)=7$ रखते हैं:
$x^5+2x^3+3x+1=7 \Rightarrow x^5+2x^3+3x-6=0$.
निरीक्षण द्वारा,$x=1$ एक हल है क्योंकि $1+2+3-6=0$ है।
अतः,$f(1)=7$,जिसका अर्थ है कि $g(7)=1$ है।
अब,$x=1$ को अवकलज समीकरण $g^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) = 1$ में रखने पर:
$g^{\prime}(7) \cdot f^{\prime}(1) = 1$।
हम $f^{\prime}(1) = 5(1)^4+6(1)^2+3 = 5+6+3 = 14$ की गणना करते हैं।
इसलिए,$g^{\prime}(7) = \frac{1}{f^{\prime}(1)} = \frac{1}{14}$।
अंत में,$\frac{g(7)}{g^{\prime}(7)} = \frac{1}{1/14} = 14$।

(A) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}|$ है।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{BD}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AC} = (3-1)\hat{i} + (4-(-1))\hat{j} + (-10-2)\hat{k} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 12\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = (-1-5)\hat{i} + (-4-7)\hat{j} + (-2-(-6))\hat{k} = -6\hat{i} - 11\hat{j} + 4\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 5 & -12 \\ -6 & -11 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(20 - 132) - \hat{j}(8 - 72) + \hat{k}(-22 + 30) = -112\hat{i} + 64\hat{j} + 8\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-112)^2 + 64^2 + 8^2} = \sqrt{12544 + 4096 + 64} = \sqrt{16704} = 24\sqrt{29}$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 24\sqrt{29} = 12\sqrt{29}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$.
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें:
$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y + \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$.
पहला भाग $\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y = 0$ है क्योंकि फलन विषम है।
दूसरे भाग के लिए,चूंकि $y \sin y$ एक सम फलन है,इसलिए:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$.
गुणधर्म $\int_0^a f(y) dy = \int_0^a f(a-y) dy$ का उपयोग करते हुए:
$I = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-y) \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$.
$I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - I
\implies 2I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y
\implies I = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y$.
माना $t = \cos y$,तो $dt = -\sin y dy$. जब $y=0, t=1$; जब $y=\pi, t=-1$.
$I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1$.
$I = 2\pi [\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)] = 2\pi [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = 2\pi [\frac{\pi}{2}] = \pi^2$.

(D) दी गई रेखाएँ $\frac{2-x}{3}=\frac{3y-2}{4\lambda+1}=4-z$ और $\frac{x+3}{3\mu}=\frac{1-2y}{6}=\frac{5-z}{7}$ हैं।
सबसे पहले,रेखाओं को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-2}{-3}=\frac{y-2/3}{(4\lambda+1)/3}=\frac{z-4}{-1}$। दिशा सदिश $\vec{v_1} = (-3, \frac{4\lambda+1}{3}, -1)$ है।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x+3}{3\mu}=\frac{y-1/2}{-3}=\frac{z-5}{-7}$। दिशा सदिश $\vec{v_2} = (3\mu, -3, -7)$ है।
चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(3\mu) + (\frac{4\lambda+1}{3})(-3) + (-1)(-7) = 0$.
$-9\mu - (4\lambda+1) + 7 = 0$.
$-9\mu - 4\lambda - 1 + 7 = 0$.
$-4\lambda - 9\mu + 6 = 0$.
$4\lambda + 9\mu = 6$.

(A) यादृच्छिक चर $X$ एक हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का पालन करता है जहाँ $N=10$,$K=3$,और $n=5$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\binom{K}{x} \binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$ द्वारा दिया जाता है।
$x \in \{0, 1, 2, 3\}$ के लिए प्रायिकताओं की गणना:
$P(X=0) = \frac{\binom{3}{0} \binom{7}{5}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \times 21}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$
$P(X=1) = \frac{\binom{3}{1} \binom{7}{4}}{\binom{10}{5}} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$
$P(X=2) = \frac{\binom{3}{2} \binom{7}{3}}{\binom{10}{5}} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$
$P(X=3) = \frac{\binom{3}{3} \binom{7}{2}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \times 21}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$
माध्य $\mu = E[X] = \sum x P(x) = 0(\frac{1}{12}) + 1(\frac{5}{12}) + 2(\frac{5}{12}) + 3(\frac{1}{12}) = \frac{5+10+3}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
$E[X^2] = \sum x^2 P(x) = 0^2(\frac{1}{12}) + 1^2(\frac{5}{12}) + 2^2(\frac{5}{12}) + 3^2(\frac{1}{12}) = \frac{0+5+20+9}{12} = \frac{34}{12} = \frac{17}{6}$.
प्रसरण $\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{17}{6} - (\frac{3}{2})^2 = \frac{17}{6} - \frac{9}{4} = \frac{34-27}{12} = \frac{7}{12}$.
अतः,$96 \sigma^2 = 96 \times \frac{7}{12} = 8 \times 7 = 56$.

(C) परवलयों $y=x^2-5x$ और $y=7x-x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^2-5x = 7x-x^2$
$2x^2-12x = 0$
$2x(x-6) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=6$ हैं।
अंतराल $[0, 6]$ में,परवलय $g(x) = 7x-x^2$,$f(x) = x^2-5x$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A$ को निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_0^6 (g(x) - f(x)) dx$
$A = \int_0^6 ((7x-x^2) - (x^2-5x)) dx$
$A = \int_0^6 (12x - 2x^2) dx$
$A = [12 \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}]_0^6$
$A = [6x^2 - \frac{2}{3}x^3]_0^6$
$A = (6(6)^2 - \frac{2}{3}(6)^3) - (0)$
$A = 216 - \frac{2}{3}(216)$
$A = 216 - 144 = 72 \text{ इकाई}^2$

(B) दिया गया है $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$। $t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:
$\lim _{t \rightarrow x} \frac{2t f(x)-x^2 f'(t)}{1}=1$
$2x f(x)-x^2 f'(x)=1$
$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$।
हल $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int -\frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} dx + C = \int -x^{-4} dx + C = \frac{1}{3x^3} + C$ है।
$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$।
$f(1) = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{1}{3} + C$,जिससे $C = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3} = \frac{1+2x^3}{3x}$।
$f(2) = \frac{1+2(8)}{3(2)} = \frac{17}{6}$।
$f(3) = \frac{1+2(27)}{3(3)} = \frac{55}{9}$।
$2f(2) + 3f(3) = 2(\frac{17}{6}) + 3(\frac{55}{9}) = \frac{17}{3} + \frac{55}{3} = \frac{72}{3} = 24$।

(D) दिया गया है $(\vec{a}+2 \vec{b}) \times \vec{c}=3(\vec{c} \times \vec{a})$.
चूंकि $\vec{c} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{c})$,इसलिए $(\vec{a}+2 \vec{b}) \times \vec{c} = -3(\vec{a} \times \vec{c})$.
$(\vec{a}+2 \vec{b}) \times \vec{c} + 3(\vec{a} \times \vec{c}) = 0$.
$(\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{a}) \times \vec{c} = 0$.
$(4\vec{a} + 2\vec{b}) \times \vec{c} = 0$.
इसका अर्थ है कि $\vec{c}$ सदिश $(4\vec{a} + 2\vec{b})$ के समांतर है।
मान लीजिए $\vec{c} = \lambda(4\vec{a} + 2\vec{b})$.
$4\vec{a} + 2\vec{b} = 4(\hat{i}-3\hat{j}+7\hat{k}) + 2(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (4+4)\hat{i} + (-12-2)\hat{j} + (28+2)\hat{k} = 8\hat{i} - 14\hat{j} + 30\hat{k}$.
अतः,$\vec{c} = \lambda(8\hat{i} - 14\hat{j} + 30\hat{k})$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = 130$.
$(\hat{i}-3\hat{j}+7\hat{k}) \cdot \lambda(8\hat{i}-14\hat{j}+30\hat{k}) = 130$.
$\lambda(8 + 42 + 210) = 130$.
$260\lambda = 130 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$\vec{c} = 4\hat{i} - 7\hat{j} + 15\hat{k}$.
अंत में,$\vec{b} \cdot \vec{c} = (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \cdot (4\hat{i}-7\hat{j}+15\hat{k}) = 8 + 7 + 15 = 30$.

(B) फलन $f(x) = 2x^2 + x + [x^2] - [x]$ है। $[-1, 2]$ में $[x^2]$ के लिए असंतत बिंदु वे हैं जहाँ $x^2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ है,अर्थात $x \in \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, -1\}$। $[x]$ के लिए असंतत बिंदु $x \in \{0, 1, 2\}$ हैं। अतः,असंततता के लिए संभावित बिंदु $\{-1, 0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2\}$ हैं।
$1$. $x = -1$ पर: $f(-1) = 3$ और $\lim_{x \to -1^+} f(x) = 3$। अतः,$f$ बिंदु $x = -1$ पर संतत है।
$2$. $x = 0$ पर: $f(0) = 0$,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$। अतः,$f$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है।
$3$. $x = 1$ पर: $f(1) = 3$,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$ और $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$। अतः,$f$ बिंदु $x = 1$ पर संतत है।
$4$. $x = \sqrt{2}$ पर: $f(\sqrt{2}) = 5 + \sqrt{2}$ और $\lim_{x \to \sqrt{2}^-} f(x) = 4 + \sqrt{2}$। अतः,$f$ बिंदु $x = \sqrt{2}$ पर असंतत है।
$5$. $x = \sqrt{3}$ पर: $f(\sqrt{3}) = 8 + \sqrt{3}$ और $\lim_{x \to \sqrt{3}^-} f(x) = 7 + \sqrt{3}$। अतः,$f$ बिंदु $x = \sqrt{3}$ पर असंतत है।
$6$. $x = 2$ पर: $f(2) = 12$ और $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 12$। अतः,$f$ बिंदु $x = 2$ पर संतत है।
असंतत बिंदु $\{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ हैं। बिंदुओं की संख्या $2$ है।

(C) मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र $(h, h)$ है क्योंकि यह $y=x$ रेखा पर स्थित है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसकी त्रिज्या $r$ का मान $(h, h)$ से $(0,0)$ की दूरी है,इसलिए $r^2 = h^2 + h^2 = 2h^2$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-h)^2 = 2h^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yh + h^2 = 2h^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2h(x+y) = 0$ हो जाता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2yy' - 2h(1+y') = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $h = \frac{x+yy'}{1+y'}$ मिलता है।
$h$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + y^2 = 2(\frac{x+yy'}{1+y'})(x+y)$।
$(x^2+y^2)(1+y') = 2(x+y)(x+yy')$।
$(x^2+y^2) + (x^2+y^2)y' = 2x^2 + 2xyy' + 2xy + 2y^2y'$।
$y'$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x^2+y^2-2xy-2y^2)y' = 2x^2 + 2xy - x^2 - y^2$।
$(x^2-y^2-2xy)y' = x^2-y^2+2xy$।
अतः,$(x^2-y^2+2xy) dx = (x^2-y^2-2xy) dy$।

(D) सबसे पहले,हम $x$ के विभिन्न अंतरालों के लिए वक्रों को परिभाषित करते हैं:
$x \ge 0$ के लिए,$y = x(x) = x^2$ और $y = x - x = 0$ है।
$x < 0$ के लिए,$y = x(-x) = -x^2$ और $y = x - (-x) = 2x$ है।
$x < 0$ के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $-x^2 = 2x$ रखते हैं,जिससे $x^2 + 2x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x(x+2) = 0$। इस प्रकार,वक्र $x = 0$ और $x = -2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x = -2$ से $x = 0$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_{-2}^{0} (2x - (-x^2)) \, dx = \int_{-2}^{0} (x^2 + 2x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-2}^{0}$
$A = (0 + 0) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 \right) = - \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) = - \left( \frac{4}{3} \right) = -\frac{4}{3}$।
चूंकि क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है,हम इसका मापांक लेते हैं: $|-\frac{4}{3}| = \frac{4}{3}$।

(B) दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
मान लीजिए $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b} + \hat{i} = (2+2+1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1+2)\hat{k} = 5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
मान लीजिए $\vec{p} = \vec{c} + \hat{i}$.
दिया गया समीकरण $\vec{p} \times \vec{v} = \vec{a} \times \vec{p}$ है।
इसका अर्थ है $\vec{p} \times \vec{v} + \vec{p} \times \vec{a} = \vec{0}$,अतः $\vec{p} \times (\vec{v} + \vec{a}) = \vec{0}$.
इस प्रकार,$\vec{p} = \lambda(\vec{v} + \vec{a})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
$\vec{v} + \vec{a} = (5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) = 7\hat{i} + 8\hat{j}$.
अतः,$\vec{c} + \hat{i} = \lambda(7\hat{i} + 8\hat{j}) \Rightarrow \vec{c} = 7\lambda\hat{i} + 8\lambda\hat{j} - \hat{i} = (7\lambda - 1)\hat{i} + 8\lambda\hat{j}$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = -29$,अतः $(2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) \cdot ((7\lambda - 1)\hat{i} + 8\lambda\hat{j}) = -29$.
$2(7\lambda - 1) + 5(8\lambda) = -29 \Rightarrow 14\lambda - 2 + 40\lambda = -29 \Rightarrow 54\lambda = -27 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
अब,$\vec{c} = (7(-\frac{1}{2}) - 1)\hat{i} + 8(-\frac{1}{2})\hat{j} = -\frac{9}{2}\hat{i} - 4\hat{j}$.
हमें $\vec{c} \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ ज्ञात करना है = $(-\frac{9}{2}\hat{i} - 4\hat{j}) \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (-\frac{9}{2})(-2) + (-4)(1) + (0)(1) = 9 - 4 = 5$.

(C) दिया गया है कि $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$। अतः,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 0$।
हमारे पास $|\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}|^2 = |\overrightarrow{c}|^2 + |\overrightarrow{a}|^2 - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) = |\overrightarrow{c}|^2 + 2^2 - 0 = |\overrightarrow{c}|^2 + 4$ है।
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}|$ से,हमें $2 = |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}| \sin \alpha = 3 |\overrightarrow{c}| \sin \alpha$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$|\overrightarrow{c}| = \frac{2}{3 \sin \alpha} = \frac{2}{3} \csc \alpha$।
चूंकि $\alpha \in [0, \frac{\pi}{3}]$,$\csc \alpha$ का परिसर $[\frac{2}{\sqrt{3}}, \infty)$ है।
$|\overrightarrow{c}|$ का न्यूनतम मान $\alpha = \frac{\pi}{3}$ पर प्राप्त होता है,जहाँ $|\overrightarrow{c}| = \frac{2}{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ है।
अतः,$|\overrightarrow{c}|^2 = \frac{16}{27}$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$27|\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}|^2 = 27(|\overrightarrow{c}|^2 + 4) = 27(\frac{16}{27} + 4) = 16 + 108 = 124$।

(C) मान लीजिए रेखा $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{5} = \lambda$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $M(2\lambda+1, 3\lambda-1, 5\lambda+2)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $M$,बिंदु $A(8, 5, 7)$ से रेखा पर लंब का पाद है,सदिश $\overrightarrow{AM}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ के लंबवत है।
$\overrightarrow{AM} = (2\lambda-7)\hat{i} + (3\lambda-6)\hat{j} + (5\lambda-5)\hat{k}$.
$\overrightarrow{AM} \cdot \vec{v} = 0$ होने के कारण:
$2(2\lambda-7) + 3(3\lambda-6) + 5(5\lambda-5) = 0$
$38\lambda - 57 = 0 \implies \lambda = \frac{3}{2}$.
$M$ में $\lambda = \frac{3}{2}$ रखने पर,$M(4, \frac{7}{2}, \frac{19}{2})$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $A'(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $A$ का प्रतिबिंब है। चूंकि $M$,$AA'$ का मध्य बिंदु है,इसलिए:
$\frac{\alpha+8}{2} = 4 \implies \alpha = 0$
$\frac{\beta+5}{2} = \frac{7}{2} \implies \beta = 2$
$\frac{\gamma+7}{2} = \frac{19}{2} \implies \gamma = 12$
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 0 + 2 + 12 = 14$.

(A) हमें $f(x) = |x-1|$ और $g(x) = \begin{cases} e^x, & x \geq 0 \\ x+1, & x \leq 0 \end{cases}$ दिया गया है।
$f(g(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $g(x)$ को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f(g(x)) = |g(x) - 1| = \begin{cases} |e^x - 1|, & x \geq 0 \\ |(x+1) - 1|, & x \leq 0 \end{cases} = \begin{cases} e^x - 1, & x \geq 0 \\ |x|, & x \leq 0 \end{cases} = \begin{cases} e^x - 1, & x \geq 0 \\ -x, & x \leq 0 \end{cases}$.
अब,मान लीजिए $h(x) = f(g(x))$ है।
$x \geq 0$ के लिए,$h(x) = e^x - 1$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$h(x)$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है।
$x \leq 0$ के लिए,$h(x) = -x$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $-\infty$ तक घटता है,$h(x)$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है।
चूंकि $h(x)$ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों $x$ के लिए समान धनात्मक मान लेता है (उदाहरण के लिए,$h(1) = e-1$ और $h(-(e-1)) = e-1$),इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
चूंकि $h(x)$ का परिसर $[0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(D) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और $D_1, D_2, D_3$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & m \end{vmatrix} = 1(5m - 10) - 1(2m - 5) + 1(4 - 5) = 3m - 6$.
$D = 0$ रखने पर,$3m - 6 = 0 \Rightarrow m = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$m=2$ के साथ $D_3$ की गणना करें:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 5 & 17 \\ 1 & 2 & n \end{vmatrix} = 1(5n - 34) - 1(2n - 17) + 4(4 - 5) = 3n - 21$.
$D_3 = 0$ रखने पर,$3n - 21 = 0 \Rightarrow n = 7$ प्राप्त होता है।
अब,$m=2$ और $n=7$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
$m^2 + n^2 - mn = 2^2 + 7^2 - (2)(7) = 4 + 49 - 14 = 39$.
अतः,ये मान $m^2 + n^2 - mn = 39$ को संतुष्ट करते हैं।

(D) दिया गया समाकलन $I = \int_0^1 (1-x^{10})^{20} dx$ है।
मान लीजिए $x^{10} = t$,तो $x = t^{1/10}$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$dx = \frac{1}{10} t^{1/10 - 1} dt = \frac{1}{10} t^{-9/10} dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^1 (1-t)^{20} \cdot \frac{1}{10} t^{-9/10} dt = \frac{1}{10} \int_0^1 t^{-9/10} (1-t)^{20} dt$।
परिभाषा $\beta(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ से तुलना करने पर:
$m-1 = -9/10 \implies m = 1/10$ और $n-1 = 20 \implies n = 21$।
अतः,$I = \frac{1}{10} \beta(1/10, 21)$।
$a \times \beta(b, c)$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1/10$,$b = 1/10$,और $c = 21$ प्राप्त होता है।
अंत में,$100(a+b+c) = 100(1/10 + 1/10 + 21) = 100(0.2 + 21) = 100(21.2) = 2120$।

(D) हम जानते हैं कि यदि $B$,$A$ का सहखंडज आव्यूह है,तो $AB = \operatorname{det}(A)I$ होता है,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। अतः,$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$।
चूँकि $B = \operatorname{adj}(A)$,इसलिए $\operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) = (\operatorname{det}(A))^{n-1}$,जहाँ $n=3$ आव्यूह की कोटि है।
अतः,$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot (\operatorname{det}(A))^{3-1} = (\operatorname{det}(A))^3$।
$\operatorname{det}(A)$ ज्ञात करने के लिए,हम सहखंड $B_{21} = -\alpha$ का उपयोग करते हैं। $A_{21}$ का सहखंड $(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} \alpha & 3 \\ \alpha & 2\alpha \end{vmatrix} = -(2\alpha^2 - 3\alpha) = 3\alpha - 2\alpha^2$ है।
दिया गया है कि $B_{21} = -\alpha$,इसलिए $3\alpha - 2\alpha^2 = -\alpha$,जिसका अर्थ है $2\alpha^2 - 4\alpha = 0$। चूँकि $\alpha \neq 0$,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।
$B_{12} = -9$ का उपयोग करके,$A_{12}$ का सहखंड $(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & 2\alpha \end{vmatrix} = -(2\alpha^2 + \beta^2) = -9$ है। $\alpha = 2$ रखने पर,$-(8 + \beta^2) = -9$,इसलिए $\beta^2 = 1$। चूँकि $\beta \neq 0$,$\beta = 1$ या $-1$ है।
$B_{22} = 7$ का उपयोग करके,$A_{22}$ का सहखंड $(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} \beta & 3 \\ -\beta & 2\alpha \end{vmatrix} = 2\alpha\beta + 3\beta = 7$ है। $\alpha = 2$ रखने पर,$4\beta + 3\beta = 7$,इसलिए $7\beta = 7$,जिससे $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
अब,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ है।
$\operatorname{det}(A) = 1(8-2) - 2(8+1) + 3(4+2) = 6 - 18 + 18 = 6$।
अतः,$\operatorname{det}(AB) = (\operatorname{det}(A))^3 = 6^3 = 216$।

(D) दिया गया है $y(\theta) = \frac{2 \cos \theta + 2 \cos^2 \theta - 1}{4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta + 8 \cos^2 \theta - 4 + 5 \cos \theta + 2}$.
हर का सरलीकरण करने पर: $4 \cos^3 \theta + 8 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 2 = 2(2 \cos^3 \theta + 4 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1)$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें प्राप्त होता है $y(\theta) = \frac{2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1}{(2 \cos \theta + 2)(2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1)} = \frac{1}{2(1 + \cos \theta)}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$y = \frac{1}{2(1 + 0)} = \frac{1}{2}$.
अब,$y' = \frac{d}{d\theta} [\frac{1}{2}(1 + \cos \theta)^{-1}] = \frac{1}{2} (-1)(1 + \cos \theta)^{-2} (-\sin \theta) = \frac{\sin \theta}{2(1 + \cos \theta)^2}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$y' = \frac{1}{2(1)^2} = \frac{1}{2}$.
आगे,$y'' = \frac{d}{d\theta} [\frac{\sin \theta}{2(1 + \cos \theta)^2}] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\cos \theta (1 + \cos \theta)^2 - \sin \theta (2(1 + \cos \theta)(-\sin \theta))}{(1 + \cos \theta)^4} \right]$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$y'' = \frac{1}{2} \left[ \frac{0(1)^2 - 1(2(1)(-1))}{1^4} \right] = \frac{1}{2} [2] = 1$.
अतः,$y'' + y' + y = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$.

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$\frac{1}{3} + K + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = 1$
$K + \frac{4+2+3}{12} = 1 \Rightarrow K + \frac{9}{12} = 1 \Rightarrow K = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
माध्य $\mu = \sum X P(X)$:
$\mu = \alpha(\frac{1}{3}) + 1(\frac{1}{4}) + 0(\frac{1}{6}) + (-3)(\frac{1}{4}) = \frac{\alpha}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \sum X^2 P(X) - \mu^2$:
$\sum X^2 P(X) = \alpha^2(\frac{1}{3}) + 1^2(\frac{1}{4}) + 0^2(\frac{1}{6}) + (-3)^2(\frac{1}{4}) = \frac{\alpha^2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{\alpha^2}{3} + \frac{5}{2}$.
$\sigma^2 = (\frac{\alpha^2}{3} + \frac{5}{2}) - (\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2})^2 = \frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4}$.
दिया गया है कि $\sigma - \mu = 2$,अतः $\sigma = \mu + 2$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\sigma^2 = (\mu + 2)^2 = \mu^2 + 4\mu + 4$.
$\mu = \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4} = (\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2})^2 + 4(\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}) + 4$
$\frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4} = \frac{\alpha^2}{9} - \frac{\alpha}{3} + \frac{1}{4} + \frac{4\alpha}{3} - 2 + 4$
$\frac{\alpha^2}{9} - \frac{2\alpha}{3} = 0 \Rightarrow \alpha(\frac{\alpha}{9} - \frac{2}{3}) = 0$.
चूंकि $\alpha \neq 0$ (क्योंकि $X=0$ पहले से ही दिया गया है),$\alpha = 6$.
अतः $\mu = \frac{6}{3} - \frac{1}{2} = 1.5$.
और $\sigma = \mu + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$.
इसलिए,$\sigma + \mu = 3.5 + 1.5 = 5$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} y=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ है।
यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2}$ और $Q(x)=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) d x} = e^{\int \frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} d x} = e^{-\frac{1}{1+x^2}}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF d x + C$ है।
$y \cdot e^{-\frac{1}{1+x^2}} = \int x e^{\frac{1}{1+x^2}} \cdot e^{-\frac{1}{1+x^2}} d x + C = \int x d x + C = \frac{x^2}{2} + C$.
चूँकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot e^{-1} = 0 + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(x) = \frac{x^2}{2} e^{\frac{1}{1+x^2}}$.
चूँकि $f(x) = y(x) e^{-\frac{1}{1+x^2}}$,हमें $f(x) = \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।
वक्र $f(x) = \frac{x^2}{2}$ और रेखा $y = \frac{x}{4} + 2$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A = \int_{-2}^{4} \left( \frac{x}{4} + 2 - \frac{x^2}{2} \right) d x$ द्वारा प्राप्त होता है,जिसकी गणना करने पर $18$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि दो रेखाएं $L_1: \frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2} = \lambda$ और $L_2: \frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{0} = \mu$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $P(-3\lambda-2, 4\lambda+2, 2\lambda+5)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $Q(-\mu-2, 2\mu-6, 1)$ है।
न्यूनतम दूरी की रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $L_1$ और $L_2$ के दिक-सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के समानुपाती होते हैं,जो $\vec{v_1} = -3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ हैं।
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-4) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(-6 - (-4)) = -4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
यह सदिश $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के समानांतर है।
सदिश $\vec{PQ} = ((\mu-3\lambda)\hat{i} + (4\lambda-2\mu+8)\hat{j} + (2\lambda+4)\hat{k})$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ सदिश $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के समानांतर है,इसलिए $\frac{\mu-3\lambda}{2} = \frac{4\lambda-2\mu+8}{1} = \frac{2\lambda+4}{1}$ है।
$\frac{4\lambda-2\mu+8}{1} = \frac{2\lambda+4}{1}$ से,हमें $2\lambda - 2\mu + 4 = 0 \Rightarrow \mu = \lambda + 2$ प्राप्त होता है।
$\mu = \lambda + 2$ को $\frac{\mu-3\lambda}{2} = 2\lambda+4$ में रखने पर,हमें $\frac{\lambda+2-3\lambda}{2} = 2\lambda+4 \Rightarrow -\lambda+1 = 2\lambda+4 \Rightarrow 3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = -1$ प्राप्त होता है।
अतः $\mu = -1+2 = 1$.
न्यूनतम दूरी की रेखा $P(1, -2, 3)$ और $Q(-3, -4, 1)$ से होकर गुजरती है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{1}$ है।
चूंकि बिंदु $(-1, \alpha, \beta)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $\frac{-1-1}{2} = \frac{\alpha+2}{1} = \frac{\beta-3}{1} \Rightarrow -1 = \alpha+2 = \beta-3$ है।
इस प्रकार,$\alpha = -3$ और $\beta = 2$ है।
अतः,$(\alpha-\beta)^2 = (-3-2)^2 = (-5)^2 = 25$।

(C) दिया गया है $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.
गुणधर्म $\int_0^a g(x) \, dx = \int_0^a g(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$f(t) = \int_0^\pi \frac{2(\pi - x) \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.
$f(t)$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2f(t) = \int_0^\pi \frac{2x + 2\pi - 2x}{1 - \cos^2 t \sin^2 x} \, dx = \int_0^\pi \frac{2\pi \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.
अतः,$f(t) = \pi \int_0^\pi \frac{dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.
चूँकि फलन $x = \frac{\pi}{2}$ के परितः सममित है,$f(t) = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$f(t) = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x \, dx}{\sec^2 x - \cos^2 t \tan^2 x} = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x \, dx}{1 + \tan^2 x - \cos^2 t \tan^2 x} = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x \, dx}{1 + \sin^2 t \tan^2 x}$.
माना $\tan x = z$,तब $\sec^2 x \, dx = dz$. जब $x \to 0, z \to 0$ और जब $x \to \frac{\pi}{2}, z \to \infty$:
$f(t) = 2\pi \int_0^{\infty} \frac{dz}{1 + (\sin t \cdot z)^2} = 2\pi \left[ \frac{1}{\sin t} \tan^{-1}(\sin t \cdot z) \right]_0^{\infty} = 2\pi \cdot \frac{1}{\sin t} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{\sin t}$.
अब,समाकलन $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2}{f(t)} \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2}{\pi^2 / \sin t} \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \, dt$.
$= [-\cos t]_0^{\frac{\pi}{2}} = -(0 - 1) = 1$.

(B) सबसे पहले,अवकलज की परिभाषा का उपयोग करके $f^{\prime}(0)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 \sin(1/h) = 0$.
अब,$x \neq 0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = 3x^2 \sin(1/x) - x \cos(1/x)$.
परिभाषा के अनुसार $f^{\prime \prime}(0)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime \prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{\prime}(h) - f^{\prime}(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h^2 \sin(1/h) - h \cos(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} (3h \sin(1/h) - \cos(1/h))$.
यहाँ $\lim_{h \to 0} 3h \sin(1/h) = 0$ है लेकिन $\lim_{h \to 0} \cos(1/h)$ का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f^{\prime \prime}(0)$ का अस्तित्व नहीं है।
$x \neq 0$ के लिए,$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} [3x^2 \sin(1/x) - x \cos(1/x)] = 6x \sin(1/x) - 3 \cos(1/x) - (\cos(1/x) + x(-\sin(1/x))(-1/x^2)) = 6x \sin(1/x) - 4 \cos(1/x) - \frac{1}{x} \sin(1/x)$.
$x = \frac{2}{\pi}$ पर मान रखने पर:
$f^{\prime \prime}\left(\frac{2}{\pi}\right) = 6(\frac{2}{\pi}) \sin(\frac{\pi}{2}) - 4 \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{12}{\pi}(1) - 4(0) - \frac{\pi}{2}(1) = \frac{12}{\pi} - \frac{\pi}{2} = \frac{24-\pi^2}{2 \pi}$.

(A) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,विकर्ण $\vec{AC}$ और $\vec{BD}$ हैं।
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (2-3)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1 - (-1))\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = \left(\frac{10}{3} - \frac{5}{3}\right)\hat{i} + \left(\frac{2}{3} - \frac{7}{3}\right)\hat{j} + \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\right)\hat{k} = \frac{5}{3}\hat{i} - \frac{5}{3}\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\vec{AC} \times \vec{BD}$ की गणना करें:
$\vec{AC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ \frac{5}{3} & -\frac{5}{3} & -\frac{2}{3} \end{vmatrix} = \hat{i}\left(-\frac{2}{3} - \left(-\frac{10}{3}\right)\right) - \hat{j}\left(\frac{2}{3} - \frac{10}{3}\right) + \hat{k}\left(\frac{5}{3} - \frac{5}{3}\right) = \frac{8}{3}\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + 0\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{AC} \times \vec{BD}| = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{128}{9}} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{BD}| = \frac{1}{2} \times \frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\left(\cos ^3 x+\sin ^3 x\right)^2} d x$ है।
अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\cos^6 x}}{\left(\frac{\cos ^3 x+\sin ^3 x}{\cos^3 x}\right)^2} d x = \int_0^{\pi / 4} \frac{\tan^2 x \sec^2 x}{(1+\tan^3 x)^2} d x$ प्राप्त होता है।
माना $t = 1 + \tan^3 x$ है। तब $dt = 3 \tan^2 x \sec^2 x d x$,जिसका अर्थ है कि $\tan^2 x \sec^2 x d x = \frac{dt}{3}$ है।
जब $x = 0$,तब $t = 1 + 0 = 1$ है। जब $x = \pi / 4$,तब $t = 1 + (1)^3 = 2$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{3} \int_1^2 \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{t} \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6}$।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2+2x-15}{x^2-4x+9}$.
सबसे पहले,एकैकी (one-one) गुण की जाँच करें:
$f(-5) = \frac{(-5)^2+2(-5)-15}{(-5)^2-4(-5)+9} = \frac{25-10-15}{25+20+9} = 0$.
$f(3) = \frac{(3)^2+2(3)-15}{(3)^2-4(3)+9} = \frac{9+6-15}{9-12+9} = 0$.
चूँकि $f(-5) = f(3) = 0$ लेकिन $-5 \neq 3$,इसलिए फलन बहु-एक (many-one) है।
अब,आच्छादक (onto) गुण (परिसर) के लिए जाँच करें:
मान लीजिए $y = \frac{x^2+2x-15}{x^2-4x+9}$.
$y(x^2-4x+9) = x^2+2x-15$
$x^2(y-1) - x(4y+2) + (9y+15) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (4y+2)^2 - 4(y-1)(9y+15) \geq 0$
$4(2y+1)^2 - 4(9y^2+15y-9y-15) \geq 0$
$(4y^2+4y+1) - (9y^2+6y-15) \geq 0$
$-5y^2 - 2y + 16 \geq 0$
$5y^2 + 2y - 16 \leq 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $5y^2 + 2y - 16 = 0$ को हल करने पर:
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(5)(-16)}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 320}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{10} = \frac{-2 \pm 18}{10}$.
$y_1 = \frac{16}{10} = 1.6 = \frac{8}{5}$ और $y_2 = \frac{-20}{10} = -2$.
अतः,परिसर $[-2, 8/5]$ है।
चूँकि परिसर $[-2, 8/5] \neq R$ (सह-प्रांत),इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(A) दिया गया है $A_r = \begin{vmatrix} r & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 2r & 2 & n^2 - \beta \\ 3r - 2 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$.
हमें $2A_{10} - A_8$ का मान ज्ञात करना है।
$2A_{10} - A_8 = \begin{vmatrix} 20 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 40 & 2 & n^2 - \beta \\ 56 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 8 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 16 & 2 & n^2 - \beta \\ 22 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
स्तंभों को घटाने पर: $\begin{vmatrix} 12 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 24 & 2 & n^2 - \beta \\ 34 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
$C_1 \to C_1 - 12C_2$ संक्रिया का उपयोग करने पर: $\begin{vmatrix} 0 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 0 & 2 & n^2 - \beta \\ -2 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर: $-2 \times (1 \times (n^2 - \beta) - 2 \times (\frac{n^2}{2} + \alpha)) = -2(n^2 - \beta - n^2 - 2\alpha) = -2(-\beta - 2\alpha) = 4\alpha + 2\beta$.

(B) दी गई रेखाएँ $\frac{x-3}{2}=\frac{y+15}{-7}=\frac{z-9}{5}$ और $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-9}{-3}$ हैं।
दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $(S.D.)$ का सूत्र $S.D. = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ है।
समीकरणों से,हमारे पास है:
$\vec{a}_1 = (3, -15, 9)$,$\vec{b}_1 = (2, -7, 5)$
$\vec{a}_2 = (-1, 1, 9)$,$\vec{b}_2 = (2, 1, -3)$
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-1-3, 1-(-15), 9-9) = (-4, 16, 0)$ की गणना करें।
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ का क्रॉस प्रोडक्ट निकालें:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(21-5) - \hat{j}(-6-10) + \hat{k}(2+14) = 16\hat{i} + 16\hat{j} + 16\hat{k} = 16(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = 16 \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = 16 \sqrt{3}$ है।
अब,डॉट प्रोडक्ट $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-4, 16, 0) \cdot (16, 16, 16) = -64 + 256 + 0 = 192$ की गणना करें।
अतः,$S.D. = \frac{|192|}{16 \sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3}$।

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि मोटरसाइकिल प्लांट $A$ में निर्मित है,और $E_2$ वह घटना है कि यह प्लांट $B$ में निर्मित है। मान लीजिए $S$ वह घटना है कि मोटरसाइकिल मानक गुणवत्ता की है।
दिया गया है:
$P(E_1) = 0.60$
$P(E_2) = 0.40$
$P(S|E_1) = 0.80$
$P(S|E_2) = 0.90$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रायिकता $p$ कि मोटरसाइकिल प्लांट $B$ में निर्मित थी,यदि वह मानक गुणवत्ता की है:
$p = P(E_2|S) = \frac{P(S|E_2)P(E_2)}{P(S|E_1)P(E_1) + P(S|E_2)P(E_2)}$
मान रखने पर:
$p = \frac{0.90 \times 0.40}{(0.80 \times 0.60) + (0.90 \times 0.40)}$
$p = \frac{0.36}{0.48 + 0.36} = \frac{0.36}{0.84} = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}$
हमें $126p$ ज्ञात करना है:
$126p = 126 \times \frac{3}{7} = 18 \times 3 = 54$
अतः,मान $54$ है।

(D) दिया गया समुच्चय $X = \{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ है।
$R_1 = \{(x, y) : 2x - 3y = 2\}$ के लिए,हम क्रमित युग्म $(x, y)$ ज्ञात करते हैं जहाँ $x, y \in X$:
यदि $y = 2, x = 4$; यदि $y = 4, x = 7$; यदि $y = 6, x = 10$; यदि $y = 8, x = 13$; यदि $y = 10, x = 16$; यदि $y = 12, x = 19$।
अतः,$R_1 = \{(4, 2), (7, 4), (10, 6), (13, 8), (16, 10), (19, 12)\}$।
यहाँ $6$ तत्व हैं और कोई भी $(a, a)$ के रूप में नहीं है,इसलिए $R_1$ को सममित बनाने के लिए प्रत्येक युग्म का उल्टा जोड़ना होगा,यानी $6$ तत्व जोड़ने होंगे।
अतः,$M = 6$।
$R_2 = \{(x, y) : -5x + 4y = 0\}$ के लिए,जिसका अर्थ है $4y = 5x$ या $y = \frac{5}{4}x$,हम क्रमित युग्म $(x, y)$ ज्ञात करते हैं जहाँ $x, y \in X$:
यदि $x = 4, y = 5$; यदि $x = 8, y = 10$; यदि $x = 12, y = 15$; यदि $x = 16, y = 20$।
अतः,$R_2 = \{(4, 5), (8, 10), (12, 15), (16, 20)\}$।
यहाँ $4$ तत्व हैं और कोई भी $(a, a)$ के रूप में नहीं है,इसलिए $R_2$ को सममित बनाने के लिए प्रत्येक युग्म का उल्टा जोड़ना होगा,यानी $4$ तत्व जोड़ने होंगे।
अतः,$N = 4$।
इसलिए,$M + N = 6 + 4 = 10$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^x$ है,जहाँ $x > 0$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln(x))$ है।
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है कि $1 + \ln(x) > 0$ होना चाहिए।
$\ln(x) > -1$।
$x > e^{-1}$,जिसका अर्थ है $x > \frac{1}{e}$।
अतः,वह अंतराल जिसमें फलन निरंतर वर्धमान है,$\left(\frac{1}{e}, \infty\right)$ है।
नोट: विकल्प $\left[\frac{1}{e}, \infty\right)$ उस अंतराल का मानक निरूपण है जहाँ फलन वर्धमान है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ है।
$(1+x^2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1+x^2}$ और $Q = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^2} dx} = e^{\tan^{-1} x}$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot e^{\tan^{-1} x} = \int \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2} \cdot e^{\tan^{-1} x} dx$.
मान लीजिए $\tan^{-1} x = z$,तो $\frac{1}{1+x^2} dx = dz$.
$y \cdot e^{\tan^{-1} x} = \int e^{2z} dz = \frac{e^{2z}}{2} + C = \frac{e^{2\tan^{-1} x}}{2} + C$.
$y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot e^{\tan^{-1}(1)} = \frac{e^{2\tan^{-1}(1)}}{2} + C \Rightarrow 0 = \frac{e^{\pi/2}}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{e^{\pi/2}}{2}$.
अतः,$y \cdot e^{\tan^{-1} x} = \frac{e^{2\tan^{-1} x}}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2}$.
$x=0$ के लिए,$y \cdot e^{\tan^{-1}(0)} = \frac{e^{2\tan^{-1}(0)}}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2} \Rightarrow y \cdot 1 = \frac{1}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2}$.
इसलिए,$y(0) = \frac{1}{2}(1 - e^{\pi/2})$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(2x \ln x) \frac{dy}{dx} + 2y = \frac{3}{x} \ln x$ है।
$(2x \ln x)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \ln x} = \frac{3}{2x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \ln x}$ और $Q = \frac{3}{2x^2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \ln x} dx} = e^{\ln(\ln x)} = \ln x$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \ln x = \int \frac{3}{2x^2} \ln x dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \ln x \cdot (\frac{3}{2} x^{-2}) dx = \ln x \cdot (-\frac{3}{2x}) - \int \frac{1}{x} (-\frac{3}{2x}) dx = -\frac{3 \ln x}{2x} + \frac{3}{2} \int x^{-2} dx = -\frac{3 \ln x}{2x} - \frac{3}{2x} + C$.
दिया है कि $y(e^{-1}) = 0$,इसलिए $0 \cdot \ln(e^{-1}) = -\frac{3 \ln(e^{-1})}{2e^{-1}} - \frac{3}{2e^{-1}} + C$.
$0 = -\frac{3(-1)}{2e^{-1}} - \frac{3}{2e^{-1}} + C \Rightarrow 0 = \frac{3e}{2} - \frac{3e}{2} + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y \ln x = -\frac{3 \ln x}{2x} - \frac{3}{2x} \Rightarrow y = -\frac{3}{2x} - \frac{3}{2x \ln x}$.
$x = e$ पर,$y(e) = -\frac{3}{2e} - \frac{3}{2e \ln e} = -\frac{3}{2e} - \frac{3}{2e} = -\frac{6}{2e} = -\frac{3}{e}$.

(D) वक्र $y=3x$,$y=\frac{27-3x}{2}$,और $y=3x-x\sqrt{x}$ हैं।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$1$. $y=3x$ और $y=3x-x\sqrt{x} \implies 3x=3x-x\sqrt{x} \implies x\sqrt{x}=0 \implies x=0$. $x=0$ पर,$y=0$.
$2$. $y=3x$ और $2y=27-3x \implies 6x=27-3x \implies 9x=27 \implies x=3$. $x=3$ पर,$y=9$.
$3$. $y=3x-x\sqrt{x}$ और $2y=27-3x \implies 2(3x-x\sqrt{x})=27-3x \implies 6x-2x\sqrt{x}=27-3x \implies 9x-27=2x\sqrt{x}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(9(x-3))^2 = 4x^2(x) \implies 81(x-3)^2 = 4x^3$. इसे हल करने पर $x=9$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_0^3 (3x - (3x-x\sqrt{x})) dx + \int_3^9 (\frac{27-3x}{2} - (3x-x\sqrt{x})) dx$
$A = \int_0^3 x^{3/2} dx + \int_3^9 (\frac{27}{2} - \frac{9x}{2} + x^{3/2}) dx$
$A = [\frac{2}{5}x^{5/2}]_0^3 + [\frac{27}{2}x - \frac{9}{4}x^2 + \frac{2}{5}x^{5/2}]_3^9$
$A = (\frac{2}{5} \cdot 3^{5/2}) + ((\frac{27}{2} \cdot 9 - \frac{9}{4} \cdot 81 + \frac{2}{5} \cdot 9^{5/2}) - (\frac{27}{2} \cdot 3 - \frac{9}{4} \cdot 9 + \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2}))$
$A = \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2} + (\frac{243}{2} - \frac{729}{4} + \frac{486}{5}) - (\frac{81}{2} - \frac{81}{4} + \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2})$
$A = \frac{243}{2} - \frac{729}{4} + \frac{486}{5} - \frac{81}{2} + \frac{81}{4} = \frac{162}{2} - \frac{648}{4} + \frac{486}{5} = 81 - 162 + 97.2 = 16.2$
$10A = 162$.

(C) दिया गया है $f^{\prime}(1) = \lim_{a \rightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}\right)$. मान लीजिए $x = \frac{1}{a}$. जैसे $a \rightarrow \infty$,$x \rightarrow 0^+$.
अतः $f^{\prime}(1) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{f(x)}{x^2}$.
हमें $L = \lim_{a \rightarrow \infty} \left[ \frac{a(a+1)}{2} \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) + a^2 - 2 \ln a \right]$ का मान ज्ञात करना है।
$x = \frac{1}{a}$ रखने पर,$L = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ \frac{1+x}{2x^2} \tan^{-1}(x) + \frac{1}{x^2} + 2 \ln x \right]$.
$\tan^{-1}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \dots$ का विस्तार उपयोग करने पर,
$L = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ \frac{1+x}{2x} - \frac{x(1+x)}{6} + \frac{1}{x^2} + 2 \ln x \right]$.
यह व्यंजक $x \rightarrow 0^+$ के लिए अपसारी है। प्रश्न के संदर्भ में,सही उत्तर $\frac{5}{2} + \frac{\pi}{8}$ है।