यदि int_{frac{pi}{6}}^{frac{pi}{3}} sqrt{1-si | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि $1 - \sin 2x = \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2$.अतः,$\sqrt{1 - \sin 2x} = |\cos x - \sin x|$.अंतराल $[

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$6$

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(D) हम जानते हैं कि $1 - \sin 2x = \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2$.अतः,$\sqrt{1 - \sin 2x} = |\cos x - \sin x|$.अंतराल $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]$ में,$\cos x \ge \sin x$,इसलिए $|\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x$.अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ में,$\sin x \ge \cos x$,इसलिए $|\cos x - \sin x| = \sin x - \cos x$.इसलिए,समाकलन इस प्रकार होगा:$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (\sin x - \cos x) \, dx$$I = [\sin x + \cos x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}$$I = ((\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})) + ((- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (- \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}))$$I = (\sqrt{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\sqrt{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{2} - 1 - \sqrt{3}$.$\alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = -1, \beta = 2, \gamma = -1$ प्राप्त होता है।अतः $3\alpha + 4\beta - \gamma = 3(-1) + 4(2) - (-1) = -3 + 8 + 1 = 6$.

यदि $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-\sin 2x} \, dx = \alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3}$,जहाँ $\alpha, \beta$ और $\gamma$ परिमेय संख्याएँ हैं,तो $3\alpha + 4\beta - \gamma$ का मान .......... है।

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$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx =$

$f(x) = x^4 + |x|$ के लिए,मान लीजिए $I_1 = \int_{0}^{\pi} f(\cos x) dx$ और $I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$ है। तो $\frac{I_1}{I_2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\sin x}{x} dx$. तो

$\int_0^{2\pi } {\frac{{\sin 2\theta }}{{a - b\cos \theta }}\,d\theta = } $

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