मान लीजिए कि f: R rightarrow (0, infty) एक नि | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f: R \rightarrow (0, \infty)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।हमें सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7 x)}{f(x)}=1$ दी गई है।चूं

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(B) दिया गया है कि $f: R \rightarrow (0, \infty)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।हमें सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7 x)}{f(x)}=1$ दी गई है।चूंकि $f$ एक निरंतर वर्धमान फलन है और $x > 0$ के लिए $x असमिका को $f(x) > 0$ से विभाजित करने पर,हमें $1 $x \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर,हमें $\lim _{x \rightarrow \infty} 1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7x)}{f(x)}$ प्राप्त होता है।दी गई सीमा का मान रखने पर,$1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} \leq 1$ प्राप्त होता है।स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} = 1$ होगा।अतः,$\lim _{x \rightarrow \infty} \left[\frac{f(5x)}{f(x)} - 1\right] = 1 - 1 = 0$ होगा।

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\left( {\frac{{x - \sin x}}{x}} \right)\,\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$

मान लीजिए $f: R \to R$ एक धनात्मक वर्धमान फलन है जहाँ $\lim_{x \to \infty} \frac{f(3x)}{f(x)} = 1$ है। तो $\lim_{x \to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = $ ज्ञात कीजिए।

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