ધારો કે $y=y_{1}(x)$ અને $y=y_{2}(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=x+y$ ના બે ભિન્ન ઉકેલો છે,જ્યાં $y_{1}(0)=0$ અને $y_{2}(0)=1$ છે. તો $y=y_{1}(x)$ અને $y=y_{2}(x)$ ના છેદબિંદુઓની સંખ્યા કેટલી થાય?

ધારો કે એક વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(-2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, f(x))$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $f(x)+x f'(x)=x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તો:

જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+(\tan x)y=\frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2}$ ના ઉકેલ વક્ર $y=f(x)$ માટે,$x \in \left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{10}$ હોય,તો $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો:

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તો:

બધા $x > 0$ માટે,ધારો કે $y_1(x), y_2(x)$,અને $y_3(x)$ એવા વિધેયો છે જે $\frac{dy_1}{dx} - (\sin x)^2 y_1 = 0, y_1(1) = 5$; $\frac{dy_2}{dx} - (\cos x)^2 y_2 = 0, y_2(1) = \frac{1}{3}$; અને $\frac{dy_3}{dx} - \left(\frac{2-x^3}{x^3}\right) y_3 = 0, y_3(1) = \frac{3}{5e}$ નું સમાધાન કરે છે. તો $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{y_1(x) y_2(x) y_3(x) + 2x}{e^{3x} \sin x}$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \sec x(\sec x + \tan x)$ નો ઉકેલ શોધો.