$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,જ્યાં $[ \cdot ]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તેની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ $[0, 1]$ પર વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું સતત વિધેય છે અને $f(x) = x + \int_{0}^{1} (x - t) f(t) dt$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ $(x, y)$ એ વક્ર $y = f(x)$ પર આવેલું છે?

આપેલ છે કે દરેક $a \in (0,1)$ માટે,લક્ષ $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. વધુમાં,આપેલ છે કે વિધેય $g(a)$ એ $(0,1)$ પર વિકલનીય છે.
$1.$ $g\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત છે
$(A) \pi$ $(B) 2\pi$ $(C) \frac{\pi}{2}$ $(D) \frac{\pi}{4}$
$2.$ $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત છે
$(A) \frac{\pi}{2}$ $(B) \pi$ $(C) -\frac{\pi}{2}$ $(D) 0$
$1$ અને $2$ માટે સાચી જોડ પસંદ કરો.

જો $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

સ્તંભ $I$ માં આપેલા સંકલિતોને સ્તંભ $II$ માં આપેલા મૂલ્યો સાથે જોડો.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી તેનું વિકલિત $f^{\prime}$ સતત છે અને $f(\pi)=-6$ છે. જો $F:[0, \pi] \rightarrow R$ એ $F(x)=\int_0^{ x } f( t ) dt$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,અને જો $\int_0^\pi\left(f^{\prime}( x )+ F ( x )\right) \cos x dx =2$ હોય,તો $f(0)$ ની કિંમત શોધો.