ધારો કે f એ [0, 1] પર વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x + \int_{0}^{1} (x - t) f(t) dt$.સંકલનનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = x + x \int_{0}^{1} f(t) dt - \int_{0}^{1} t f(t) dt$.ધારો કે $

Vedclass · Accepted Answer

$(6, 8)$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x + \int_{0}^{1} (x - t) f(t) dt$.સંકલનનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = x + x \int_{0}^{1} f(t) dt - \int_{0}^{1} t f(t) dt$.ધારો કે $A = \int_{0}^{1} f(t) dt$ અને $B = \int_{0}^{1} t f(t) dt$.તેથી $f(x) = (1 + A)x - B$. ધારો કે $C = 1 + A$,તેથી $f(x) = Cx - B$.હવે,$A = \int_{0}^{1} (Ct - B) dt = [C \frac{t^2}{2} - Bt]_{0}^{1} = \frac{C}{2} - B$.કારણ કે $C = 1 + A$,તેથી $A = \frac{1+A}{2} - B \Rightarrow 2A = 1 + A - 2B \Rightarrow A = 1 - 2B$.વળી,$B = \int_{0}^{1} t(Ct - B) dt = \int_{0}^{1} (Ct^2 - Bt) dt = [C \frac{t^3}{3} - B \frac{t^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{C}{3} - \frac{B}{2}$.$C = 1 + A = 1 + (1 - 2B) = 2 - 2B$ મૂકતા:$B = \frac{2 - 2B}{3} - \frac{B}{2} \Rightarrow B = \frac{2}{3} - \frac{2B}{3} - \frac{B}{2} = \frac{2}{3} - \frac{7B}{6}$.$B + \frac{7B}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{13B}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow B = \frac{4}{13}$.તેથી $A = 1 - 2(\frac{4}{13}) = 1 - \frac{8}{13} = \frac{5}{13}$.$C = 1 + A = 1 + \frac{5}{13} = \frac{18}{13}$.આમ,$f(x) = \frac{18}{13}x - \frac{4}{13}$.બિંદુ $(6, 8)$ ચકાસતા: $f(6) = \frac{18}{13}(6) - \frac{4}{13} = \frac{108 - 4}{13} = \frac{104}{13} = 8$.તેથી,બિંદુ $(6, 8)$ વક્ર પર આવેલું છે.

Similar Questions

$x \in R \setminus \{0\}$ માટે સમીકરણ $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $\int_0^{2 \pi}\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right) d x=K \int_0^\pi \sin ^2 x d x+L \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$ અને $K, L \in N$ હોય,તો શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(K, L)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

વિધેય $f(x) = \int\limits_0^x \sqrt{1 - t^4} \, dt$ એવું છે કે

$\alpha$ ની કિંમતો જે $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $\alpha \in [0, 2\pi]$,તે નીચે મુજબ છે:

ધારો કે $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ અને $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module