ધારો કે $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ એક શ્રેણી છે જેથી $a_{0}=a_{1}=0$ અને તમામ $n \geq 0$ માટે $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+1$ છે. તો,$\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{7^{n}}$ ની કિંમત શોધો.

જો શ્રેણી $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3^2}-\frac{1}{3^3}\right)+\left(\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^3 \cdot 3}+\frac{1}{2^2 \cdot 3^2}-\frac{1}{2 \cdot 3^3}+\frac{1}{3^4}\right)+\ldots$ નો સરવાળો $\frac{\alpha}{\beta}$ હોય,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તો $\alpha+3\beta$ ની કિંમત શોધો.

નીચેની શ્રેણીનો $n$ પદો સુધીનો સરવાળો શોધો:
$\frac{1^{3}}{1}+\frac{1^{3}+2^{3}}{1+3}+\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}}{1+3+5}+\ldots$

$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ ની કિંમત શોધો.

જો $3 + 3\alpha + 3\alpha^2 + \dots \infty = \frac{45}{8}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શું થશે?

શ્રેણી $1^{2} + (1^{2} + 2^{2}) + (1^{2} + 2^{2} + 3^{2}) + \ldots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.