ધારો કે y=y(x), x1,એ વિકલ સમીકરણ (x-1) frac{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x-1) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{x-1}$ છે.$(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{x-1} y=\frac{1}{(x-1)^2}$ મળે

Vedclass · Accepted Answer

$14$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x-1) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{x-1}$ છે.$(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{x-1} y=\frac{1}{(x-1)^2}$ મળે છે.આ $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=\frac{2x}{x-1}=2+\frac{2}{x-1}$ અને $Q(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2+\frac{2}{x-1}) dx} = e^{2x+2\ln(x-1)} = e^{2x}(x-1)^2$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.$y \cdot e^{2x}(x-1)^2 = \int \frac{1}{(x-1)^2} \cdot e^{2x}(x-1)^2 dx + C = \int e^{2x} dx + C = \frac{e^{2x}}{2} + C$.તેથી,$y = \frac{e^{2x}}{2(x-1)^2 e^{2x}} + \frac{C}{(x-1)^2 e^{2x}} = \frac{1}{2(x-1)^2} + \frac{C}{e^{2x}(x-1)^2} = \frac{e^{2x} + 2C}{2e^{2x}(x-1)^2}$.$y(2) = \frac{1+e^4}{2e^4}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{e^4 + 2C}{2e^4(1)^2} = \frac{1+e^4}{2e^4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2C = 1$,તેથી $C = 1/2$.આમ,$y(x) = \frac{e^{2x}+1}{2e^{2x}(x-1)^2}$.$x=3$ માટે,$y(3) = \frac{e^6+1}{2e^6(3-1)^2} = \frac{e^6+1}{8e^6}$.$\frac{e^{\alpha}+1}{\beta e^{\alpha}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha=6$ અને $\beta=8$ મળે છે.તેથી,$\alpha+\beta = 6+8 = 14$.

Similar Questions

સમીકરણ $(1+y+x^2 y) dx+(x+x^3) dy=0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$ નો ઉકેલ શોધો.

જો વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y = x e^x$ નો ઉકેલ $xy = e^x \phi(x) + C$ હોય,તો $\phi(x)$ બરાબર શું થાય?

વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) \frac{dy}{dx} + xy = x^3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module