જો વર્તુળો x^{2}+y^{2}+6 x+8 y+16=0 અને x^{2} | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

The circle $x^{2}+y^{2}+6 x+8 y+16=0$ has centre $(-3,-4)$ and radius 3 units.

The circle $x^{2}+y^{2}+2(3-\sqrt{3}) x+2(4-\sqrt{6}) y=$ $k+6 \sqrt

Vedclass · Accepted Answer

$25$

Vedclass · Answer

The circle $x^{2}+y^{2}+6 x+8 y+16=0$ has centre $(-3,-4)$ and radius 3 units.

The circle $x^{2}+y^{2}+2(3-\sqrt{3}) x+2(4-\sqrt{6}) y=$ $k+6 \sqrt{3}+8 \sqrt{6}, k>0$ has centre $(\sqrt{3}-3, \sqrt{6}-4)$ and radius $\sqrt{k+34}$

$\because \quad$ These two circles touch internally hence

$\sqrt{3+6}=|\sqrt{k+34}-3|$

Here, $k=2$ is only possible $(\because k>0)$

Equation of common tangent to two circles is $2 \sqrt{3} x+2 \sqrt{6} y+16+6 \sqrt{3}+8 \sqrt{6}+k=0$

$\because k=2$ then equation is

$x+\sqrt{2} y+3+4 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}=0 \quad \ldots 	ext { (i) }$

$\because \quad(\alpha, \beta)$ are foot of perpendicular from $(-3,-4)$

To line $(i)$ then

$\frac{\alpha+3}{1}=\frac{\beta+1}{\sqrt{2}}=\frac{-(-3-1 \sqrt{2}+3+1 \sqrt{2}+3 \sqrt{3})}{1+2}$

$	herefore \quad \alpha+3=\frac{\beta+4}{\sqrt{2}}=-\sqrt{3}$

$(\alpha+\sqrt{3})^{2}=9 	ext { and }(\beta+\sqrt{6})^{2}=16$

$	herefore (\alpha+\sqrt{3})^{2}+(\beta+\sqrt{6})^{2}=25$

Similar Questions

આપેલ વિધાન પૈકી બંને વિધાન માટે સત્ય વિધાન પસંદ કરો.

$x^{2}+y^{2}-10 x-10 y+41=0$ અને $x^{2}+y^{2}-16 x-10 y+80=0$

ત્રણ વર્તૂળો $ x^2+ y^2 = a^2, (x - c)^2 + y^2 = a^2$ અને $x^2+ (y - b)^2 = a^2 $ નું મૂલાક્ષ કેન્દ્ર (Radical Center) મેળવો.

બિંદુ $(1, 1) $ માંથી અને વર્તૂળો $x^2 + y^2 = 6$ અને $x^2 + y^2 -6x + 8 = 0$ ના છેદ બિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તૂળનું સમીકરણ....

$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 = 0$ અને $3x + 4y + 5 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી અને બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતા વર્તૂળનું સમીકરણ :

બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થતા તથા વર્તૂળ ${x^2} + {y^2} = {p^2}$ ને લંબચ્છેદી હોય તેવા વર્તૂળના કેન્દ્રનો બિંદુગણનું સમીકરણ મેળવો.