ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ x(1-x^{2}) frac{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + (3x^{2}-1)y = 4x^{3}$ છે.$x(1-x^{2})$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^{2}-1}{x(1-x^{2})}y =

Vedclass · Accepted Answer

$-18$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + (3x^{2}-1)y = 4x^{3}$ છે.$x(1-x^{2})$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^{2}-1}{x(1-x^{2})}y = \frac{4x^{3}}{x(1-x^{2})}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{3x^{2}-1}{x-x^{3}}$ અને $Q = \frac{4x^{3}}{x-x^{3}}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3x^{2}-1}{x-x^{3}} dx}$ છે.ધારો કે $t = x-x^{3}$,તો $dt = (1-3x^{2})dx$,તેથી $P dx = \frac{-(1-3x^{2})}{x-x^{3}} dx = \frac{-dt}{t}$ થાય.આમ,$IF = e^{-\ln|t|} = \frac{1}{|x-x^{3}|}$ મળે. $x>1$ માટે,$x-x^{3} $IF$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx} \left( y \cdot \frac{1}{x-x^{3}} ight) = \frac{4x^{3}}{(x-x^{3})^{2}} = \frac{4x^{3}}{x^{2}(1-x^{2})^{2}} = \frac{4x}{(1-x^{2})^{2}}$ મળે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\frac{y}{x-x^{3}} = \int \frac{4x}{(1-x^{2})^{2}} dx$ મળે. ધારો કે $u = 1-x^{2}$,$du = -2x dx$.$\frac{y}{x-x^{3}} = -2 \int u^{-2} du = -2(-u^{-1}) + C = \frac{2}{1-x^{2}} + C$ થાય.$y(2) = -2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{-2}{2-8} = \frac{2}{1-4} + C \Rightarrow \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} + C \Rightarrow C = 1$ મળે.તેથી,$\frac{y}{x-x^{3}} = \frac{2}{1-x^{2}} + 1$ થાય.$x=3$ માટે,$\frac{y}{3-27} = \frac{2}{1-9} + 1 \Rightarrow \frac{y}{-24} = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ મળે.તેથી,$y = \frac{3}{4} 	imes (-24) = -18$ થાય.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx}+(3x^{2}y-y-4x^{3})=0, x>1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(2)=-2$ છે. તો $y(3)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x^2 - 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

$x(x-1) \frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y$ નું વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module