$\sum_{\substack{i, j=0 \\ i \neq j}}^{n} {}^{n}C_{i} {}^{n}C_{j}$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $C_{r}$ એ $(1+x)^{n}$,$n \in N$,$0 \leq r \leq n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $x^{r}$ નો સહગુણક છે. જો $P_{n} = C_{0} - C_{1} + \frac{2^{2}}{3}C_{2} - \frac{2^{3}}{4}C_{3} + \dots + \frac{(-2)^{n}}{n+1}C_{n}$ હોય,તો $\sum_{n=1}^{25} \frac{1}{P_{2n}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $(1 + x + x^2)^{20}(2x + 1) = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + ... + a_{41}x^{41}$,તો $\frac{a_0}{1} + \frac{a_1}{2} + .... + \frac{a_{41}}{42}$ ની કિંમત શોધો.

અંતરાલ $[1005, 2010]$ માં એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ ની સંખ્યા શોધો જેના માટે બહુપદી $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1}$ એ બહુપદી $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2010}$ ને ભાગી શકે.

ધારો કે $M = 2^{30} - 2^{15} + 1$. જ્યારે $M^2$ ને બેઝ $2$ માં દર્શાવવામાં આવે,ત્યારે તેની બાઈનરી રજૂઆતમાં $1$ ની સંખ્યા કેટલી હશે?

ધારો કે $(7 + 4\sqrt{3})^n = p + \beta$,જ્યાં $n$ અને $p$ ધન પૂર્ણાંકો છે અને $\beta \in (0, 1)$. તો $(1 - \beta)(p + \beta)$ શું છે?