$\sum_{\substack{i, j=0 \\ i \neq j}}^{n} {}^{n}C_{i} {}^{n}C_{j}$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n$ અને $T_n = 1 + \left( \frac{q + 1}{2} \right) + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^2 + ...... + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^n$ જ્યાં $q$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને $q \ne 1$. જો $^{101}C_1 + ^{101}C_2 \cdot S_1 + ...... + ^{101}C_{101} \cdot S_{100} = \alpha \cdot T_{100}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $(1+x+x^2)^{10}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{20} x^{20}$. જો $(a_1+a_3+a_5+\ldots+a_{19})-11 a_2=121 k$ હોય,તો $k$ ની કિંમત . . . . . . છે.

$\sum\limits_{n = 0}^4 {{{\left( {1009 - 2n} \right)}^4} \binom{4}{n} {\left( { - 1} \right)^n}}$ ની કિંમત શું છે?

ધારો કે $\lambda$ એ સમીકરણ $x^2-x-1=0$ નું ધન બીજ છે,અને $n \in N$ માટે $a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda^n - (1-\lambda)^n\right)$ લો,જ્યાં $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. ગણ $A = \{ n \in N : a_n \text{ એ સંમેય સંખ્યા છે, પરંતુ પૂર્ણાંક નથી} \}$ અને $B = \{ n \in N : a_n \text{ એ અસંમેય સંખ્યા છે} \}$ ધ્યાનમાં લો. તો:

$(1+x)^{100}+2x(1+x)^{99}+3x^2(1+x)^{98}+\dots+101x^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{50}$ નો સહગુણક શોધો.