$\sum_{\substack{i, j=0 \\ i \neq j}}^{n}{ }^{n} C_{i}{ }^{n} C_{j}$ ની કિમંત મેળવો.

$(1 + x + x^2 + x^3 +.... + x^{100})^3$ ના વિસ્તરણમાં $x^{100}$ નો સહગુણક મેળવો 

જો $\left(1-3 x+10 x^2\right)^{\mathrm{n}}$ ના વિસ્તરણમાં તમામ સહગુણકોના સરવાળાને $\mathrm{A}$ વડે દર્શાવાય તથા $\left(1+x^2\right)^{\mathrm{n}}$ ના વિસ્તરણમાં તમામ સહગુણકોના સરવાળાને $B$ વડે દર્શાવાય, તો :

$n\left[ {x - \left( {\frac{{^n{C_0}{ + ^n}{C_1}}}{{^n{C_0}}}} \right)} \right]\left[ {\frac{x}{2} - \left( {\frac{{^n{C_1}{ + ^n}{C_2}}}{{^n{C_1}}}} \right)} \right]\left[ {\frac{x}{3} - \left( {\frac{{^n{C_2}{ + ^n}{C_3}}}{{^n{C_2}}}} \right)} \right].....$ $ \left[ {\frac{x}{n} - \left( {\frac{{^n{C_{n - 1}}{ + ^n}{C_n}}}{{^n{C_{n - 1}}}}} \right)} \right]$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n-6}$ નો સહગુણક મેળવો 

(જ્યાં $n = n . (n -1) . (n -2).... 3.2.1$)

$(1 + x) (1 + x + x^2) (1 + x + x^2 + x^3) ...... (1 + x + x^2 + ...... + x^{100})$ ના વિસ્તરણમાં બહુપદીનો ઘાતાંક મેળવો 

અહી ${ }^{n} C_{r}$ એ $(1+ x )^{ n }$ ના વિસ્તરણમાં $x^{r}$ નો સહગુણક દર્શાવે છે. જો $\sum_{ k =0}^{10}\left(2^{2}+3 k \right){ }^{ n } C _{ k }=\alpha .3^{10}+\beta \cdot 2^{10}, \alpha, \beta \in R$ તો $\alpha+\beta$ ની કિમંત મેળવો.