JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) परवलय $y^{2} = 4Ax$ के लिए बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_{1} = 2A(x + x_{1})$ होता है।
यहाँ,$4A = 8$,इसलिए $A = 2$ है।
बिंदु $(2, -4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y(-4) = 4(x + 2)$ है।
$-4y = 4x + 8 \Rightarrow x + y + 2 = 0$ है।
यह रेखा $x + y + 2 = 0$ वृत्त $x^{2} + y^{2} = a$ की भी स्पर्श रेखा है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x + y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{a}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|0 + 0 + 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
चूंकि $d = \sqrt{a}$ है,इसलिए $\sqrt{a} = \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है कि $a = 2$ है।

(B) दिया है $S = \frac{7}{5} + \frac{9}{5^{2}} + \frac{13}{5^{3}} + \frac{19}{5^{4}} + \ldots$ $(1)$
$\frac{1}{5}$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{5} S = \frac{7}{5^{2}} + \frac{9}{5^{3}} + \frac{13}{5^{4}} + \ldots$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$\frac{4}{5} S = \frac{7}{5} + \frac{2}{5^{2}} + \frac{4}{5^{3}} + \frac{6}{5^{4}} + \ldots$
माना $T = \frac{2}{5^{2}} + \frac{4}{5^{3}} + \frac{6}{5^{4}} + \ldots$
तब $\frac{4}{5} T = \frac{2}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{2}{5^{4}} + \ldots = \frac{1}{10}$
अतः $T = \frac{1}{8}$
$\frac{4}{5} S = \frac{7}{5} + \frac{1}{8} = \frac{61}{40}$
$S = \frac{61}{32}$
$160 \,S = 160 \times \frac{61}{32} = 305$

(A) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0$ है। केंद्र $B(1, -2)$ और त्रिज्या $r=2$ है।
$AB = \sqrt{(3-1)^{2} + (1-(-2))^{2}} = \sqrt{13}$.
समकोण $\triangle ABP$ में,$AP = \sqrt{AB^{2} - BP^{2}} = \sqrt{13-4} = 3$.
$AR = \frac{AP^{2}}{AB} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ और $BR = \frac{BP^{2}}{AB} = \frac{4}{\sqrt{13}}$.
क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{\text{Area } \triangle APQ}{\text{Area } \triangle BPQ} = \frac{AR}{BR} = \frac{9/\sqrt{13}}{4/\sqrt{13}} = \frac{9}{4}$.
अतः,$8 \times \frac{9}{4} = 18$.

(B) माना सीमा $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} \int_{2}^{\sec ^{2} x} f(t) dt}{x^{2}-\frac{\pi^{2}}{16}}$ है।
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} \cdot f(\sec^2 x) \cdot \frac{d}{dx}(\sec^2 x)}{2x}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(\sec^2 x) = 2 \sec x \cdot \sec x \tan x = 2 \sec^2 x \tan x$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} \cdot f(\sec^2 x) \cdot 2 \sec^2 x \tan x}{2x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sec^2 x = 2$,$\tan x = 1$,और $x = \frac{\pi}{4}$.
$L = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot f(2) \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot \frac{\pi}{4}} = \frac{\pi \cdot f(2)}{\frac{\pi}{2}} = 2 f(2)$.

(D) हम जानते हैं कि निहितार्थ (implication) $p \rightarrow q$ तार्किक रूप से $\sim p \vee q$ के समतुल्य है।
इसलिए,निहितार्थ का निषेध (negation) है:
$\sim(p \rightarrow q) \equiv \sim(\sim p \vee q)$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(\sim p \vee q) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim q \equiv p \wedge \sim q$.
अतः,$p \wedge \sim q$ व्यंजक $\sim(p \rightarrow q)$ के समतुल्य है।

(B) $64$ वर्गों में से $2$ वर्गों को चुनने के कुल तरीके ${}^{64}C_{2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
${}^{64}C_{2} = \frac{64 \times 63}{2} = 32 \times 63 = 2016$.
सामान्य भुजा वाले वर्गों के जोड़ों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर आसन्न जोड़ों की गणना करते हैं।
$8$ वर्गों की प्रत्येक पंक्ति में,आसन्न वर्गों के $7$ जोड़े हैं। चूंकि $8$ पंक्तियाँ हैं,इसलिए कुल $8 \times 7 = 56$ क्षैतिज जोड़े हैं।
इसी तरह,$8$ वर्गों के प्रत्येक स्तंभ में,आसन्न वर्गों के $7$ जोड़े हैं। चूंकि $8$ स्तंभ हैं,इसलिए कुल $8 \times 7 = 56$ ऊर्ध्वाधर जोड़े हैं।
सामान्य भुजा वाले कुल जोड़े $= 56 + 56 = 112$.
प्रायिकता $= \frac{112}{2016} = \frac{112}{32 \times 63} = \frac{16}{32 \times 9} = \frac{1}{2 \times 9} = \frac{1}{18}$.

(D) दिया गया समीकरण: $2 \cos x(4 \sin(\frac{\pi}{4}+x) \sin(\frac{\pi}{4}-x)-1)=1$
सर्वसमिका $\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos x(4(\sin^2(\frac{\pi}{4}) - \sin^2 x) - 1) = 1$
$2 \cos x(4(\frac{1}{2} - \sin^2 x) - 1) = 1$
$2 \cos x(2 - 4\sin^2 x - 1) = 1$
$2 \cos x(1 - 4\sin^2 x) = 1$
चूंकि $1 - 4\sin^2 x = 4\cos^2 x - 3$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$2 \cos x(4\cos^2 x - 3) = 1$
$8\cos^3 x - 6\cos x = 1$
$4\cos^3 x - 3\cos x = \frac{1}{2}$
त्रिक कोण सर्वसमिका $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ का उपयोग करने पर:
$\cos 3x = \frac{1}{2}$
$x \in [0, \pi]$ दिया है,इसलिए $3x \in [0, 3\pi]$.
$3x$ के लिए हल $\frac{\pi}{3}, 2\pi - \frac{\pi}{3}, 2\pi + \frac{\pi}{3}$ हैं,अर्थात $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.
अतः,$x = \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$.
हलों की संख्या $n = 3$.
योग $S = \frac{\pi}{9} + \frac{5\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} = \frac{13\pi}{9}$.

(B) शीर्ष $(h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ और नियता $y = k - a = \frac{1}{2}$ वाले परवलय का समीकरण $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ है।
चूँकि $k - a = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{3}{4} - a = \frac{1}{2}$,जिससे $a = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 4 \times \frac{1}{4} \left(y - \frac{3}{4}\right)$,अर्थात $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = y - \frac{3}{4}$ है।
$x = -\frac{1}{2}$ के लिए,$\left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 = y - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow 1 = y - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow y = \frac{7}{4}$. अतः,$P = \left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right)$.
परवलय समीकरण का अवकलन करने पर: $2\left(x - \frac{1}{2}\right) = \frac{dy}{dx}$.
$x = -\frac{1}{2}$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = 2\left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) = -2$.
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{1}{2}$.
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{7}{4} = \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{2}\right) \Rightarrow y = \frac{x}{2} + 2$ है।
परवलय समीकरण में $y = \frac{x}{2} + 2$ रखने पर: $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{x}{2} + 2\right) - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow x^2 - x + \frac{1}{4} = \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$.
$x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0$ $\Rightarrow 2x^2 - 3x - 2 = 0$ $\Rightarrow (2x + 1)(x - 2) = 0$.
$x = -\frac{1}{2}$ बिंदु $P$ है,इसलिए $Q$ के लिए $x = 2$. तब $y = \frac{2}{2} + 2 = 3$,अर्थात $Q = (2, 3)$.
$(PQ)^2 = \left(2 - (-\frac{1}{2})\right)^2 + \left(3 - \frac{7}{4}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{16} = \frac{125}{16}$.

(A) मान लीजिए $x^{2}+ax+b=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
यदि $\alpha$ एक मूल है,तो $\alpha^{2}-2$ भी एक मूल होना चाहिए।
स्थिति $1$: $\alpha = \beta$. तब $\alpha = \alpha^{2}-2$,जिससे $\alpha^{2}-\alpha-2=0$,जो $\alpha=2$ या $\alpha=-1$ देता है।
यदि $\alpha=2$,तो $x^{2}-4x+4=0$,अतः $(a, b) = (-4, 4)$।
यदि $\alpha=-1$,तो $x^{2}+2x+1=0$,अतः $(a, b) = (2, 1)$।
स्थिति $2$: $\alpha \neq \beta$. मूलों का समुच्चय $S = \{\alpha, \beta\}$ को $f(x) = x^{2}-2$ द्वारा स्वयं पर मैप होना चाहिए।
उपस्थिति $2.1$: $f(\alpha)=\alpha$ और $f(\beta)=\beta$. इससे $\alpha, \beta \in \{2, -1\}$ प्राप्त होता है। चूँकि $\alpha \neq \beta$,इसलिए $\{\alpha, \beta\} = \{2, -1\}$। तब $a = -(\alpha+\beta) = -1$ और $b = \alpha\beta = -2$। अतः $(a, b) = (-1, -2)$।
उपस्थिति $2.2$: $f(\alpha)=\beta$ और $f(\beta)=\alpha$. तब $\alpha^{2}-2=\beta$ और $\beta^{2}-2=\alpha$। घटाने पर $\alpha^{2}-\beta^{2} = \beta-\alpha$ प्राप्त होता है,इसलिए $(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+1)=0$। चूँकि $\alpha \neq \beta$,इसलिए $\alpha+\beta = -1$। साथ ही $\alpha^{2}+\beta^{2}-4 = \alpha+\beta = -1$,इसलिए $(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta = 3$,जो $1-2\alpha\beta=3$ देता है,इसलिए $\alpha\beta=-1$। इस प्रकार $a = -(\alpha+\beta) = 1$ और $b = \alpha\beta = -1$। अतः $(a, b) = (1, -1)$।
उपस्थिति $2.3$: $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ (या $\beta$)। यदि $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ है,तो $\alpha^{2}-2=\alpha$ और $\beta^{2}-2=\alpha$। इसलिए $\alpha \in \{2, -1\}$। यदि $\alpha=2$,तो $\beta^{2}-2=2$ $\Rightarrow \beta^{2}=4$ $\Rightarrow \beta=-2$ (चूँकि $\beta \neq \alpha$)। तब $a = -(2-2)=0$ और $b = 2(-2)=-4$। अतः $(a, b) = (0, -4)$। यदि $\alpha=-1$,तो $\beta^{2}-2=-1$ $\Rightarrow \beta^{2}=1$ $\Rightarrow \beta=1$ (चूँकि $\beta \neq \alpha$)। तब $a = -(-1+1)=0$ और $b = -1(1)=-1$। अतः $(a, b) = (0, -1)$।
ऐसे $6$ युग्म हैं: $(2, 1), (-4, 4), (-1, -2), (1, -1), (0, -4), (0, -1)$।

(A) $S_{n}$ के योग का सामान्य पद $T_{r} = r(n-r)$ है,जहाँ $r = 1$ से $n-1$ तक।
$S_{n} = \sum_{r=1}^{n-1} (nr - r^{2}) = n \sum_{r=1}^{n-1} r - \sum_{r=1}^{n-1} r^{2}$.
$S_{n} = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$.
अब,योग के अंदर के पद पर विचार करें: $\frac{2 S_{n}}{n!} - \frac{1}{(n-2)!} = \frac{2 n(n-1)(n+1)}{6 n(n-1)(n-2)!} - \frac{1}{(n-2)!}$.
$= \frac{n+1}{3(n-2)!} - \frac{1}{(n-2)!} = \frac{n+1-3}{3(n-2)!} = \frac{n-2}{3(n-2)!} = \frac{1}{3(n-3)!}$.
$n=4$ से $\infty$ तक योग करने पर: $\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{3(n-3)!} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{3} (e-1)$.

(C) $15$ बिंदुओं द्वारा निर्मित कुल त्रिभुजों की संख्या ${}^{15}C_{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ है।
हमें उन त्रिभुजों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $i+j+k \neq 15$ है,जहाँ $1 \leq i < j < k \leq 15$ है।
सबसे पहले,हम उन $(i, j, k)$ के समूहों की संख्या गिनते हैं जिनके लिए $i+j+k = 15$ है,जहाँ $1 \leq i < j < k$ है।
- यदि $i=1$: $j+k=14$. संभावित $(j, k)$ युग्म $(2, 12), (3, 11), (4, 10), (5, 9), (6, 8)$ हैं। ($5$ स्थितियाँ)
- यदि $i=2$: $j+k=13$. संभावित $(j, k)$ युग्म $(3, 10), (4, 9), (5, 8), (6, 7)$ हैं। ($4$ स्थितियाँ)
- यदि $i=3$: $j+k=12$. संभावित $(j, k)$ युग्म $(4, 8), (5, 7)$ हैं। ($2$ स्थितियाँ)
- यदि $i=4$: $j+k=11$. संभावित $(j, k)$ युग्म $(5, 6)$ है। ($1$ स्थिति)
$i+j+k=15$ वाली कुल स्थितियाँ $5+4+2+1 = 12$ हैं।
अतः,उन त्रिभुजों की संख्या जिनके लिए $i+j+k \neq 15$ है,$455 - 12 = 443$ है।

(B) दिया गया है $\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{4}{9}$.
चूंकि $a_{n+1} = a_{n} + d$,इसलिए $\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$.
अतः,$\frac{1}{d} \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n+1}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{21}} \right) = \frac{4}{9}$.
$\frac{1}{d} \left( \frac{a_{21} - a_{1}}{a_{1} a_{21}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{20d}{a_{1} a_{21}} \right) = \frac{20}{a_{1} a_{21}} = \frac{4}{9} \implies a_{1} a_{21} = 45$.
$21$ पदों का योग $S_{21} = \frac{21}{2} (a_{1} + a_{21}) = 189 \implies a_{1} + a_{21} = 18$.
हमारे पास $a_{1} + a_{21} = 18$ और $a_{1} a_{21} = 45$ है। समीकरण $x^{2} - 18x + 45 = 0$ के मूल $a_{1}, a_{21}$ हैं।
$(x - 15)(x - 3) = 0 \implies \{a_{1}, a_{21}\} = \{3, 15\}$.
स्थिति $1$: $a_{1} = 3, a_{21} = 15 \implies 3 + 20d = 15 \implies d = 0.6$.
स्थिति $2$: $a_{1} = 15, a_{21} = 3 \implies 15 + 20d = 3 \implies d = -0.6$.
$a_{6} a_{16} = (a_{1} + 5d)(a_{1} + 15d)$.
स्थिति $1$ के लिए: $(3 + 5(0.6))(3 + 15(0.6)) = (3 + 3)(3 + 9) = 6 \times 12 = 72$.
स्थिति $2$ के लिए: $(15 + 5(-0.6))(15 + 15(-0.6)) = (15 - 3)(15 - 9) = 12 \times 6 = 72$.
अतः,$a_{6} a_{16} = 72$.

(B) वक्रों $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$ और $x^{2}+y^{2}=3$ का प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $P(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ है।
दीर्घवृत्त के लिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_{1} = -\frac{x}{9y} = -\frac{3/2}{9(\sqrt{3}/2)} = -\frac{1}{3\sqrt{3}}$.
वृत्त के लिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_{2} = -\frac{x}{y} = -\frac{3/2}{\sqrt{3}/2} = -\sqrt{3}$.
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = |\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{-1/(3\sqrt{3}) + \sqrt{3}}{1 + 1/3}| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया है $f(x) = x^{6} + 2x^{4} + x^{3} + 2x + 3$।
सबसे पहले,$f(1) = 1^{6} + 2(1)^{4} + 1^{3} + 2(1) + 3 = 9$ की गणना करें।
सीमा $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{n} f(1) - f(x)}{x - 1} = 44$ है।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{n x^{n-1} f(1) - f'(x)}{1} = 44$।
$f'(x) = 6x^{5} + 8x^{3} + 3x^{2} + 2$ है।
$x = 1$ पर,$f'(1) = 19$।
अतः,$9n - 19 = 44$।
$9n = 63$।
$n = 7$।

(C) दी गई शर्त $|z-(2+2 i)| \leq 1$ है। यह सम्मिश्र तल में $2+2 i$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
हमें $|3 i z+6|$ को अधिकतम करना है।
$|3 i z+6| = 3 |z - (-2 i)|$.
यह व्यंजक $z$ की $0-2 i$ बिंदु से दूरी का $3$ गुना दर्शाता है।
इस दूरी को अधिकतम करने के लिए,हमें वृत्त पर वह बिंदु $z$ खोजना होगा जो $0-2 i$ से सबसे दूर हो।
चित्र के अनुसार,अधिकतम दूरी $3+2 i$ पर प्राप्त होती है।
अतः $a+i b = 3+2 i$ है।
इसलिए,$a=3$ और $b=2$ है।
$a+b = 3+2 = 5$.

(D) दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं। मान लीजिए ये बिंदु $D(1, 2)$,$E(7, 5)$ और $F(2, 3)$ हैं।
मध्य बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $(\Delta DEF)$ इस प्रकार है:
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |1(5 - 3) + 7(3 - 2) + 2(2 - 5)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |1(2) + 7(1) + 2(-3)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |2 + 7 - 6| = \frac{1}{2} |3| = 1.5$
मूल त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल मध्य बिंदुओं को जोड़ने से बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का $4$ गुना होता है:
$\text{Area}(ABC) = 4 \times \Delta DEF = 4 \times 1.5 = 6$.

(B) $FARMER$ शब्द के अक्षर $A, E, F, M, R, R$ हैं। कुल अक्षर = $6$। दो $R$ एक साथ होने वाले विन्यास की गणना $RR$ को एक इकाई मानकर की जाती है। $FARMER$ के कुल विन्यास $\frac{6!}{2!} = 360$ हैं। $RR$ के साथ होने वाले विन्यास $5! = 120$ हैं। अतः,कुल मान्य विन्यास = $360 - 120 = 240$।
शब्दकोश क्रम में $FARMER$ की रैंक खोजने के लिए:
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} - 4! = 60 - 24 = 36$।
$2$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} - 4! = 60 - 24 = 36$।
$3$. $FA...$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $FAE...$: $3! = 6$।
- $FAM...$: $3! = 6$।
- $FAR...$: $E, M, R$ को व्यवस्थित करने पर $3! = 6$।
- $FARE...$: $2! = 2$।
- $FARM...$: $2! = 2$।
- $FARMER$: $1$।
योग: $36 + 36 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 77$।

(C) $(x+y)^{n}$ के विस्तार में गुणांकों का योग $x=1$ और $y=1$ रखकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,$(1+1)^{n} = 2^{n} = 4096$.
चूंकि $2^{12} = 4096$,इसलिए $n = 12$.
$(x+y)^{n}$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद का गुणांक होता है,जो $n$ सम होने पर $^{n}C_{n/2}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 12$ के लिए,सबसे बड़ा गुणांक $^{12}C_{6}$ है।
$^{12}C_{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$.

(D) समान गति पर लिए गए समय को न्यूनतम करने के लिए,कुल दूरी $PR + RQ$ न्यूनतम होनी चाहिए।
मान लीजिए $Q'(0, -2)$,$x$-अक्ष पर $Q(0, 2)$ का प्रतिबिंब है।
दूरी $RQ = RQ'$ है। अतः,$PR + RQ = PR + RQ'$।
यह योग तब न्यूनतम होता है जब $P, R,$ और $Q'$ संरेख (collinear) हों।
बिंदु $P(-3, 4)$ और $Q'(0, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-2) = \frac{4 - (-2)}{-3 - 0}(x - 0)$
$y + 2 = -2x \implies 2x + y + 2 = 0$।
बिंदु $R$ इस रेखा का $x$-अक्ष $(y=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$2x + 0 + 2 = 0 \implies x = -1$।
अतः,$R = (-1, 0)$।
अब,दूरियों के वर्गों की गणना करें:
$PR^{2} = (-1 - (-3))^{2} + (0 - 4)^{2} = (2)^{2} + (-4)^{2} = 4 + 16 = 20$।
$RQ^{2} = (0 - (-1))^{2} + (2 - 0)^{2} = (1)^{2} + (2)^{2} = 1 + 4 = 5$।
अंत में,$50(PR^{2} + RQ^{2})$ की गणना करें:
$50(20 + 5) = 50(25) = 1250$।

(A) दिया है $\cos B = \frac{3}{5}$,अतः $\sin B = \frac{4}{5}$.
ज्या नियम (sine rule) से,$\frac{b}{\sin B} = 2R$,जहाँ $R=5$ है।
$b = 2(5)\left(\frac{4}{5}\right) = 8$.
कोज्या नियम (cosine rule) से:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$\frac{3}{5} = \frac{a^2 + 25 - 64}{10a}$ $\Rightarrow 6a = a^2 - 39$ $\Rightarrow a^2 - 6a - 39 = 0$.
$a = 3 + 4\sqrt{3}$ (धनात्मक मान लेने पर)।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}(3 + 4\sqrt{3})(5)\left(\frac{4}{5}\right) = 6 + 8\sqrt{3}$.

(D) $EXAMINATION$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A, A, E, I, I, M, M, N, N, O, T$.
इन $11$ अक्षरों के कुल विन्यास की संख्या $n(S) = \frac{11!}{2! 2! 2!}$ है,जहाँ $2!$ अक्षरों $A, I, M,$ और $N$ की पुनरावृत्ति को दर्शाता है।
चौथे स्थान पर $M$ को स्थिर रखने वाले विन्यासों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम एक $M$ को चौथे स्थान पर स्थिर करते हैं और शेष $10$ अक्षरों $(A, A, E, I, I, M, N, N, O, T)$ को व्यवस्थित करते हैं।
ऐसे विन्यासों की संख्या $n(A) = \frac{10!}{2! 2! 2!}$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\frac{10!}{2! 2! 2!}}{\frac{11!}{2! 2! 2!}} = \frac{10!}{11!} = \frac{1}{11}$ है।

(A) माना $6$ प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ हैं। दिया गया है $x_1=2, x_2=4, x_3=5, x_4=7$। माना $x_5=a$ और $x_6=b$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+4+5+7+a+b}{6} = 6.5$.
$18+a+b = 39$ $\Rightarrow a+b = 21$ $\Rightarrow b = 21-a$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 10.25$.
$\frac{2^2+4^2+5^2+7^2+a^2+b^2}{6} - (6.5)^2 = 10.25$.
$\frac{4+16+25+49+a^2+b^2}{6} = 10.25 + 42.25 = 52.5$.
$94 + a^2 + b^2 = 315 \Rightarrow a^2 + b^2 = 221$.
$b = 21-a$ प्रतिस्थापित करने पर: $a^2 + (21-a)^2 = 221$.
$a^2 + 441 - 42a + a^2 = 221$.
$2a^2 - 42a + 220 = 0 \Rightarrow a^2 - 21a + 110 = 0$.
$(a-10)(a-11) = 0$.
अतः,शेष दो प्रेक्षण $10$ और $11$ हैं।

(C) द्विघात व्यंजक $x^{2}+2(a+4)x-5a+64 > 0$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य होने हेतु,इसका विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना चाहिए।
$D = [2(a+4)]^{2} - 4(1)(-5a+64) < 0$
$4(a^{2}+8a+16) + 20a - 256 < 0$
$4a^{2} + 32a + 64 + 20a - 256 < 0$
$4a^{2} + 52a - 192 < 0$
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $a^{2} + 13a - 48 < 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(a+16)(a-3) < 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a \in (-16, 3)$।
चूंकि $a$ को $[-5, 30]$ के बीच का पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $a$ के संभावित मान $\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ हैं।
अनुकूल मानों की संख्या $8$ है।
$[-5, 30]$ के बीच कुल पूर्णांकों की संख्या $30 - (-5) + 1 = 36$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^{2} + 3^{1/4}x + 3^{1/2} = 0$ है।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^{2} + 3^{1/2} = -3^{1/4}\alpha$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha^{2} + 3^{1/2})^{2} = 3^{1/2}\alpha^{2}$.
$\alpha^{4} + 3^{1/2}\alpha^{2} + 3 = 0$.
$(\alpha^{2} - 3^{1/2})$ से गुणा करने पर: $\alpha^{6} - (3^{1/2})^{3} = 0$.
$\alpha^{6} = 3 \sqrt{3}$.
अतः $\alpha^{12} = (3 \sqrt{3})^{2} = 27 = 3^{3}$.
$\alpha^{96} = (\alpha^{12})^{8} = (3^{3})^{8} = 3^{24}$.
इसी प्रकार,$\beta^{12} = 27$ और $\beta^{96} = 3^{24}$.
व्यंजक $\alpha^{96}(\alpha^{12}-1) + \beta^{96}(\beta^{12}-1) = 3^{24}(26) + 3^{24}(26) = 52 \times 3^{24}$।

(C) दिया है $|z \omega| = 1$ और $\arg(z) - \arg(\omega) = \frac{3 \pi}{2}$.
मान लीजिए $z = r e^{i \theta_1}$ और $\omega = \frac{1}{r} e^{i \theta_2}$.
तब $\bar{z} = r e^{-i \theta_1}$.
अतः,$\bar{z} \omega = r e^{-i \theta_1} \cdot \frac{1}{r} e^{i \theta_2} = e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
चूंकि $\theta_1 - \theta_2 = \frac{3 \pi}{2}$,इसलिए $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{3 \pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
अतः,$\bar{z} \omega = e^{i \pi/2} = i$.
अब,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1 - 2 \bar{z} \omega}{1 + 3 \bar{z} \omega} = \frac{1 - 2i}{1 + 3i}$.
कोणांक ज्ञात करने के लिए,हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{1 - 2i}{1 + 3i} \times \frac{1 - 3i}{1 - 3i} = \frac{1 - 3i - 2i + 6i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{1 - 5i - 6}{10} = \frac{-5 - 5i}{10} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.
यह सम्मिश्र संख्या तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
इसका कोणांक $\tan^{-1}\left(\frac{-1/2}{-1/2}\right) - \pi = \tan^{-1}(1) - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3 \pi}{4}$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $y = (1-x)(1-x)^{100}(x^{2}+x+1)^{100}$
चूंकि $(1-x)(1+x+x^{2}) = (1-x^{3})$,हम अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = (1-x)((1-x)(1+x+x^{2}))^{100} = (1-x)(1-x^{3})^{100}$
इसका विस्तार करने पर:
$y = (1-x^{3})^{100} - x(1-x^{3})^{100}$
हमें $x^{256}$ का गुणांक चाहिए।
$(1-x^{3})^{100}$ में,सामान्य पद $^{100}C_{r}(-1)^{r}(x^{3})^{r} = ^{100}C_{r}(-1)^{r}x^{3r}$ है।
$x^{256}$ के लिए,$3r = 256$ संभव नहीं है।
$-x(1-x^{3})^{100}$ में,हमें $(1-x^{3})^{100}$ में $x^{255}$ का गुणांक ज्ञात करना होगा।
$3r = 255$ रखने पर,$r = 85$ प्राप्त होता है।
पद $-1 \times (^{100}C_{85}(-1)^{85}x^{255}) = -1 \times (^{100}C_{85} \times -1)x^{255} = ^{100}C_{85}x^{255}$ है।
चूंकि $^{100}C_{85} = ^{100}C_{15}$,इसलिए गुणांक $^{100}C_{15}$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2}=2x$ है,इसलिए $4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$ है।
$P(2,2)$ पर स्पर्शरेखा $yy_{1}=2a(x+x_{1})$ द्वारा दी जाती है।
$P(2,2)$ और $a=\frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2y=1(x+2) \Rightarrow x-2y+2=0$ प्राप्त होता है।
$Q$ ज्ञात करने के लिए,स्पर्शरेखा समीकरण में $y=0$ रखें: $x-2(0)+2=0 \Rightarrow x=-2$. अतः,$Q=(-2,0)$ है।
$P(2,2)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m=\frac{1}{2}$ है। $P$ पर अभिलंब की ढाल $m'=-\frac{1}{m}=-2$ है।
$P(2,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-2=-2(x-2) \Rightarrow y=-2x+6$ है।
$R$ ज्ञात करने के लिए,$y=-2x+6$ को $y^{2}=2x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(-2x+6)^{2}=2x$ $\Rightarrow 4x^{2}-24x+36=2x$ $\Rightarrow 4x^{2}-26x+36=0$ $\Rightarrow 2x^{2}-13x+18=0$.
$(2x-9)(x-2)=0$. चूंकि $x=2$ बिंदु $P$ है,इसलिए $R$ का $x$-निर्देशांक $x=\frac{9}{2}$ है।
तब $y=-2(\frac{9}{2})+6=-9+6=-3$. अतः,$R=(\frac{9}{2}, -3)$ है।
शीर्षों $P(2,2)$,$Q(-2,0)$,और $R(\frac{9}{2}, -3)$ वाले $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$
$= \frac{1}{2} |2(0 - (-3)) + (-2)(-3 - 2) + \frac{9}{2}(2 - 0)|$
$= \frac{1}{2} |2(3) + (-2)(-5) + \frac{9}{2}(2)|$
$= \frac{1}{2} |6 + 10 + 9| = \frac{1}{2} |25| = \frac{25}{2} \ sq. \ units$.

(A) दिए गए बूलियन व्यंजक को तार्किक नियमों का उपयोग करके सरल बनाने पर:
दिया गया व्यंजक: $(p \wedge \sim q) \Rightarrow (q \vee \sim p)$
निहितार्थ (implication) नियम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$\equiv \sim (p \wedge \sim q) \vee (q \vee \sim p)$
डी मॉर्गन के नियम $\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करने पर:
$\equiv (\sim p \vee q) \vee (q \vee \sim p)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों के अनुसार:
$\equiv (\sim p \vee \sim p) \vee (q \vee q)$
$\equiv \sim p \vee q$
चूंकि $\sim p \vee q \equiv p \Rightarrow q$,इसलिए यह व्यंजक $p \Rightarrow q$ के समतुल्य है।

(B) $(4^{1/4} + 5^{1/6})^{120}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (4^{1/4})^{120-r} (5^{1/6})^r$
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (2^{1/2})^{120-r} (5^{r/6})$
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (2^{60 - r/2}) (5^{r/6})$
पद के परिमेय होने के लिए,$2$ और $5$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$r/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए (इसलिए $r$,$2$ का गुणज है) और $r/6$ एक पूर्णांक होना चाहिए (इसलिए $r$,$6$ का गुणज है)।
इसलिए,$r$,$\text{lcm}(2, 6) = 6$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \leq r \leq 120$ है,$r$ के संभावित मान $0, 6, 12, \dots, 120$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 0$,$d = 6$,और $l = 120$ है।
पदों की कुल संख्या $n = 21$ है।

(C) कुल खिलाड़ी = $15$ ($6$ गेंदबाज,$7$ बल्लेबाज,$2$ विकेटकीपर)।
हमें $11$ खिलाड़ियों का चयन इस प्रकार करना है कि कम से कम $4$ गेंदबाज,$5$ बल्लेबाज और $1$ विकेटकीपर हों।
(गेंदबाज,बल्लेबाज,विकेटकीपर) के लिए संभावित स्थितियाँ:
$1$. $(4, 5, 2): {}^{6}C_{4} \times {}^{7}C_{5} \times {}^{2}C_{2} = 15 \times 21 \times 1 = 315$
$2$. $(4, 6, 1): {}^{6}C_{4} \times {}^{7}C_{6} \times {}^{2}C_{1} = 15 \times 7 \times 2 = 210$
$3$. $(5, 5, 1): {}^{6}C_{5} \times {}^{7}C_{5} \times {}^{2}C_{1} = 6 \times 21 \times 2 = 252$
कुल योग: $315 + 210 + 252 = 777$।
अतः,चयन के कुल तरीके $777$ हैं।

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0}(2-\cos x \sqrt{\cos 2 x})^{\frac{x+2}{x^{2}}}$.
यह $1^{\infty}$ के रूप में है।
सूत्र $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow 0} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करने पर:
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0} (2-\cos x \sqrt{\cos 2 x}-1) \left(\frac{x+2}{x^{2}}\right)}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0} (1-\cos x \sqrt{\cos 2 x}) \left(\frac{x+2}{x^{2}}\right)}$
जैसे $x \rightarrow 0$,$\frac{x+2}{x^2} \approx \frac{2}{x^2}$.
अतः,$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2 x}}{x^2} \times 2}$.
माना $f(x) = 1-\cos x \sqrt{\cos 2 x}$. टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ और $\sqrt{\cos 2 x} = (1 - 2x^2)^{1/2} \approx 1 - x^2$.
$f(x) \approx 1 - (1 - \frac{x^2}{2})(1 - x^2) = 1 - (1 - x^2 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2}) \approx \frac{3x^2}{2}$.
इस प्रकार,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2} = \frac{3}{2}$.
इसलिए,$L = e^{\frac{3}{2} \times 2} = e^3$.
$e^a$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 3$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का समीकरण $y^{2}=-64x$ है। $y^{2}=-4ax$ से तुलना करने पर,$a=16$ प्राप्त होता है। नाभि $(-16, 0)$ है।
चूंकि $y=mx+c$ एक नाभीय जीवा है,यह $(-16, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = m(-16) + c$,जिससे $c=16m$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=mx+c$ वृत्त $(x+10)^{2}+y^{2}=4$ को स्पर्श करती है। वृत्त का केंद्र $(-10, 0)$ है और त्रिज्या $r=2$ है।
केंद्र $(-10, 0)$ से रेखा $mx-y+c=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=2$ के बराबर है।
$\frac{|m(-10)-0+c|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}} = 2$
$|c-10m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$.
$c=16m$ प्रतिस्थापित करने पर,$|16m-10m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$,इसलिए $|6m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$.
चूंकि $m>0$,$3m = \sqrt{m^{2}+1}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9m^{2} = m^{2}+1$,इसलिए $8m^{2}=1$,जिससे $m=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
तब $c = 16m = 16 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}}$.
अंत में,$4\sqrt{2}(m+c) = 4\sqrt{2}(\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{8}{\sqrt{2}}) = 4\sqrt{2}(\frac{1+16}{2\sqrt{2}}) = 2(17) = 34$.

(D) दिया गया विस्तार $(1-y)^{m}(1+y)^{n} = (1 - my + \frac{m(m-1)}{2}y^2 - \ldots)(1 + ny + \frac{n(n-1)}{2}y^2 + \ldots)$ है।
$y$ का गुणांक $a_1 = n - m = 10$ है $\ldots(1)$.
$y^2$ का गुणांक $a_2 = \frac{n(n-1)}{2} - mn + \frac{m(m-1)}{2} = 10$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$n^2 - n - 2mn + m^2 - m = 20$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(n-m)^2 - (n+m) = 20$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ से $n-m = 10$ रखने पर,$10^2 - (n+m) = 20$ प्राप्त होता है।
$100 - (n+m) = 20$.
$n+m = 100 - 20 = 80$.

(C) दिया गया वृत्त $x^{2} + y^{2} + 2x + 4y - 4 = 0$ है। इसका केंद्र $C$ $(-1, -2)$ है और त्रिज्या $R = 3$ है।
बिंदु $P(-4, 1)$ और केंद्र $C$ के बीच की दूरी $CP = 3 \sqrt{2}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $O$ (जो वृत्त $C$ पर है) और बिंदु $P$ के बीच की दूरी है।
न्यूनतम त्रिज्या $r_{2} = CP - R = 3 \sqrt{2} - 3$ और अधिकतम त्रिज्या $r_{1} = CP + R = 3 \sqrt{2} + 3$ है।
$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{3 \sqrt{2} + 3}{3 \sqrt{2} - 3} = 3 + 2 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $a = 3$ और $b = 2$ है।
इसलिए $a + b = 3 + 2 = 5$।

(D) $6$ प्रेक्षणों के लिए माध्य $\bar{x} = 10$ दिया गया है:
$\frac{7+10+11+15+a+b}{6} = 10$
$43+a+b = 60 \Rightarrow a+b = 17 \quad (i)$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{20}{3}$ दिया गया है:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$\frac{20}{3} = \frac{7^2+10^2+11^2+15^2+a^2+b^2}{6} - 10^2$
$\frac{20}{3} + 100 = \frac{495+a^2+b^2}{6}$
$640 = 495 + a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 145 \quad (ii)$
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर:
$17^2 = 145 + 2ab$ $\Rightarrow 289 = 145 + 2ab$ $\Rightarrow ab = 72$
अब,$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 289 - 288 = 1$
$|a-b| = 1$

(A) दी गई श्रेणी $\log _{9^{1/2}} x + \log _{9^{1/3}} x + \log _{9^{1/4}} x + \dots$ है।
$\log_{a^b} x = \frac{1}{b} \log_a x$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,पद इस प्रकार हैं:
$2 \log_9 x + 3 \log_9 x + 4 \log_9 x + \dots$
यह $21$ पदों की एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 2 \log_9 x$ और सार्व अंतर $d = \log_9 x$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ होता है।
$n = 21$ के लिए,$S_{21} = \frac{21}{2} [2(2 \log_9 x) + (21-1) \log_9 x] = 504$.
$S_{21} = \frac{21}{2} [4 \log_9 x + 20 \log_9 x] = \frac{21}{2} [24 \log_9 x] = 252 \log_9 x$.
दिया गया है कि $252 \log_9 x = 504$,इसलिए $\log_9 x = 2$.
अतः,$x = 9^2 = 81$.

(B) मान लीजिए समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जहाँ $c$ कर्ण है। अतः,$c^2 = a^2 + b^2$.
दिया गया है कि भुजाओं के व्युत्क्रम से बना त्रिभुज भी एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ में सबसे बड़ी भुजा कर्ण होगी। चूँकि $c$ सबसे बड़ी भुजा है,$\frac{1}{c}$ सबसे छोटी है,इसलिए $\frac{1}{a}$ सबसे बड़ी है।
अतः,$(\frac{1}{a})^2 = (\frac{1}{b})^2 + (\frac{1}{c})^2$.
$a = c \sin \theta$ और $b = c \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{c^2 \sin^2 \theta} = \frac{1}{c^2 \cos^2 \theta} + \frac{1}{c^2}$
$\frac{1}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} + 1$
$1 = \tan^2 \theta + \sin^2 \theta$
$1 = \frac{\sin^2 \theta}{1 - \sin^2 \theta} + \sin^2 \theta$
मान लीजिए $x = \sin^2 \theta$. तब $x^2 - 3x + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
$\sin \theta = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

(C) माना $P = (x, y)$ परवलय $y = 4x^2 + 1$ पर एक बिंदु है। रेखा $PQ$,$y = x$ के लंबवत है,अतः इसकी ढाल $-1$ है। रेखा $PQ$ का समीकरण $X + Y = x + y$ है।
चूंकि $Q(c, c)$,$PQ$ और $y = x$ पर स्थित है,इसलिए $c = \frac{x + y}{2}$।
$Q = (\frac{x + y}{2}, \frac{x + y}{2})$।
$R(h, k)$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,अतः $h = \frac{3x + y}{4}$ और $k = \frac{x + 3y}{4}$।
हल करने पर $x = \frac{3h - k}{2}$ और $y = \frac{3k - h}{2}$ प्राप्त होता है।
$y = 4x^2 + 1$ में मान रखने पर: $\frac{3k - h}{2} = 4(\frac{3h - k}{2})^2 + 1$।
$3k - h = 2(3h - k)^2 + 2$।
$2(3h - k)^2 + (h - 3k) + 2 = 0$।
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $2(3x - y)^2 + (x - 3y) + 2 = 0$ है।

(A) तर्कशास्त्र में,एक सशर्त कथन $P \rightarrow Q$ केवल तभी असत्य होता है जब $P$ सत्य हो और $Q$ असत्य हो। अन्यथा,यह सत्य होता है।
कथन $(A)$: $P: 3+3=7$ (असत्य),$Q: 4+3=8$ (असत्य)। चूंकि $P$ असत्य है,इसलिए $P \rightarrow Q$ सत्य है।
कथन $(B)$: $P: 5+3=8$ (सत्य),$Q: \text{पृथ्वी चपटी है}$ (असत्य)। चूंकि $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है,इसलिए $P \rightarrow Q$ असत्य है।
कथन $(C)$: $P: (A) \text{ सत्य है और } (B) \text{ सत्य है}$ (असत्य,क्योंकि $(B)$ असत्य है),$Q: 5+6=17$ (असत्य)। चूंकि $P$ असत्य है,इसलिए $P \rightarrow Q$ सत्य है।
अतः,$(A)$ सत्य है,$(B)$ असत्य है,और $(C)$ सत्य है।

(A) आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग करते हुए,हमारे पास $A_k = \lim_{a \to -k} \frac{a+k}{a(a+1)\ldots(a+20)}$ है।
$A_k = \frac{1}{(-k)(-k+1)\ldots(-1)(1)(2)\ldots(20-k)} = \frac{1}{(-1)^k k! (20-k)!}$.
अतः,$A_k = \frac{(-1)^k}{k!(20-k)!}$.
हमें $\frac{A_{14}+A_{15}}{A_{13}}$ की गणना करनी है।
$A_{14} = \frac{(-1)^{14}}{14!6!} = \frac{1}{14!6!}$.
$A_{15} = \frac{(-1)^{15}}{15!5!} = -\frac{1}{15!5!}$.
$A_{13} = \frac{(-1)^{13}}{13!7!} = -\frac{1}{13!7!}$.
$\frac{A_{14}}{A_{13}} = \frac{1}{14!6!} \times (-13!7!) = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$.
$\frac{A_{15}}{A_{13}} = -\frac{1}{15!5!} \times (-13!7!) = \frac{7 \times 6}{15 \times 14} = \frac{42}{210} = \frac{1}{5}$.
इसलिए,$100\left(\frac{A_{14}}{A_{13}} + \frac{A_{15}}{A_{13}}\right)^2 = 100\left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right)^2 = 100\left(-\frac{3}{10}\right)^2 = 100 \times \frac{9}{100} = 9$.

(B) किसी बिंदु से वक्र तक की न्यूनतम दूरी उस बिंदु पर वक्र के अभिलंब (normal) के अनुदिश होती है।
माना परवलय $y^{2}=6x$ पर बिंदु $P\left(\frac{3}{2}t^{2}, 3t\right)$ है,जहाँ $4a=6 \Rightarrow a=\frac{3}{2}$ है।
बिंदु $P(t)$ पर अभिलंब का समीकरण $tx + y = 2at + at^{3}$ होता है।
$a=\frac{3}{2}$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $tx + y = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि यह अभिलंब बिंदु $\left(3, \frac{3}{2}\right)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$t(3) + \frac{3}{2} = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$
$3t + \frac{3}{2} = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$
$\frac{3}{2} = \frac{3}{2}t^{3}$
$t^{3} = 1 \Rightarrow t = 1$.
अतः,बिंदु $P$ का मान $\left(\frac{3}{2}(1)^{2}, 3(1)\right) = \left(\frac{3}{2}, 3\right)$ है।
इसलिए,$\alpha = \frac{3}{2}$ और $\beta = 3$ है।
$2(\alpha+\beta) = 2\left(\frac{3}{2} + 3\right) = 2\left(\frac{9}{2}\right) = 9$.

(C) दिया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x \sin ^{2} x}=10$.
चूंकि $\sin x \approx x$ जब $x \rightarrow 0$,व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x^{3}}=10$ हो जाता है।
टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
$e^{x} = 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\dots$
$\log _{e}(1+x) = x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\dots$
$e^{-x} = 1-x+\frac{x^{2}}{2}-\dots$
मान रखने पर:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\alpha x(1+x+\frac{x^{2}}{2}) - \beta(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}) + \gamma x^{2}(1-x)}{x^{3}} = 10$
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{x(\alpha-\beta) + x^{2}(\alpha+\frac{\beta}{2}+\gamma) + x^{3}(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{3}-\gamma)}{x^{3}} = 10$
सीमा के अस्तित्व के लिए $x$ और $x^{2}$ के गुणांक $0$ होने चाहिए:
$1) \alpha-\beta = 0 \Rightarrow \alpha = \beta$
$2) \alpha+\frac{\beta}{2}+\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = -\frac{3\alpha}{2}$
$3) \frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{3}-\gamma = 10$
$\alpha, \beta, \gamma$ के मान रखने पर:
$\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{3}-(-\frac{3\alpha}{2}) = 10$ $\Rightarrow \frac{10\alpha}{6} = 10$ $\Rightarrow \alpha = 6$.
अतः,$\alpha = 6, \beta = 6, \gamma = -9$.
$\alpha+\beta+\gamma = 6+6-9 = 3$.

(D) दिया गया समीकरण: $\log _{(x+1)}(2 x^{2}+7 x+5)+\log _{(2 x+5)}(x+1)^{2}-4=0$.
गुणनखंड करने पर: $2x^2+7x+5 = (2x+5)(x+1)$.
लॉग के गुणों का उपयोग करने पर: $\log _{(x+1)}(2x+5)(x+1) + 2\log _{(2x+5)}(x+1) - 4 = 0$.
$\log _{(x+1)}(2x+5) + 1 + 2\log _{(2x+5)}(x+1) - 4 = 0$.
माना $t = \log _{(x+1)}(2x+5)$. तो $\log _{(2x+5)}(x+1) = \frac{1}{t}$.
समीकरण $t + 1 + \frac{2}{t} - 4 = 0$ बन जाता है,जो $t + \frac{2}{t} - 3 = 0$ में सरल होता है।
$t$ से गुणा करने पर: $t^2 - 3t + 2 = 0$,अतः $(t-1)(t-2) = 0$.
स्थिति $1$: $t=1$ $\Rightarrow \log _{(x+1)}(2x+5) = 1$ $\Rightarrow 2x+5 = x+1$ $\Rightarrow x = -4$. चूँकि $x > 0$,यह हल अमान्य है।
स्थिति $2$: $t=2$ $\Rightarrow \log _{(x+1)}(2x+5) = 2$ $\Rightarrow 2x+5 = (x+1)^2$ $\Rightarrow 2x+5 = x^2+2x+1$ $\Rightarrow x^2 = 4$.
चूँकि $x > 0$,$x = 2$.
अतः,केवल $1$ हल प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $P = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}}$.
दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_{n}$ है।
$8^{n+2}$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = \frac{2a_{n+1}}{8^{n+2}} + \frac{a_{n}}{8^{n+2}}$.
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = \frac{2}{8} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{8^{n+1}} + \frac{1}{64} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}}$.
मान लीजिए $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}} = P$. तो $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{8^{n+1}} = P - \frac{a_{1}}{8} = P - \frac{1}{8}$.
और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = P - \frac{a_{1}}{8} - \frac{a_{2}}{64} = P - \frac{1}{8} - \frac{1}{64}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P - \frac{1}{8} - \frac{1}{64} = \frac{1}{4}(P - \frac{1}{8}) + \frac{1}{64}P$.
$64$ से गुणा करने पर:
$64P - 8 - 1 = 16(P - \frac{1}{8}) + P$.
$64P - 9 = 16P - 2 + P$.
$64P - 9 = 17P - 2$.
$47P = 7$.

(C) सबसे पहले,$\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB^2 = (1 - (-2))^2 + (9 - 3)^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \Rightarrow AB = \sqrt{45}$
$BC^2 = (3 - 1)^2 + (8 - 9)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \Rightarrow BC = \sqrt{5}$
$AC^2 = (3 - (-2))^2 + (8 - 3)^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \Rightarrow AC = \sqrt{50}$
चूंकि $AB^2 + BC^2 = 45 + 5 = 50 = AC^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज में,परिकेंद्र कर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु होता है।
परिकेंद्र $= \left(\frac{-2 + 3}{2}, \frac{3 + 8}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{11}{2}\right)$.
$BC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{9 + 8}{2}\right) = \left(2, \frac{17}{2}\right)$.
रेखा $L$,$\left(\frac{1}{2}, \frac{11}{2}\right)$ और $\left(2, \frac{17}{2}\right)$ से गुजरती है।
ढाल $m = \frac{\frac{17}{2} - \frac{11}{2}}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$.
रेखा $L$ का समीकरण $y - \frac{11}{2} = 2(x - \frac{1}{2})$ $\Rightarrow y = 2x - 1 + \frac{11}{2}$ $\Rightarrow y = 2x + \frac{9}{2}$ है।
चूंकि रेखा $y$-अक्ष को $\left(0, \frac{\alpha}{2}\right)$ पर काटती है,इसलिए $\frac{\alpha}{2} = \frac{9}{2}$,जिससे $\alpha = 9$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $[e^{x}]^{2} + [e^{x} + 1] - 3 = 0$.
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[x + n] = [x] + n$ गुण का उपयोग करते हुए,हमारे पास $[e^{x} + 1] = [e^{x}] + 1$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $[e^{x}]^{2} + [e^{x}] + 1 - 3 = 0$.
मान लीजिए $t = [e^{x}]$. तो समीकरण $t^{2} + t - 2 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t + 2)(t - 1) = 0$,जिससे $t = -2$ या $t = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^{x} > 0$,$[e^{x}]$ का मान $-2$ नहीं हो सकता।
अतः,$[e^{x}] = 1$.
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$1 \leq e^{x} < 2$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(1) \leq x < \ln(2)$.
चूंकि $\ln(1) = 0$,हमें $0 \leq x < \ln(2)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x \in [0, \ln 2)$.

(C) दिया गया समीकरण: $z^{2}+3 \bar{z}=0$.
माना $z=x+iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.
समीकरण में मान रखने पर: $(x+iy)^{2}+3(x-iy)=0$.
$x^{2}-y^{2}+2ixy+3x-3iy=0$.
$(x^{2}-y^{2}+3x) + i(2xy-3y) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$1) \ 2xy-3y=0 \Rightarrow y(2x-3)=0$.
इससे $y=0$ या $x=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $y=0$,तो $x^{2}+3x=0 \Rightarrow x(x+3)=0$,अतः $x=0$ या $x=-3$. हल: $(0,0)$ और $(-3,0)$.
स्थिति $2$: यदि $x=\frac{3}{2}$,तो $(\frac{3}{2})^{2}-y^{2}+3(\frac{3}{2})=0$ $\Rightarrow \frac{9}{4}-y^{2}+\frac{9}{2}=0$ $\Rightarrow y^{2}=\frac{27}{4}$ $\Rightarrow y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$. हल: $(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ और $(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.
कुल हलों की संख्या $n=4$.
हमें $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{k}} = \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{4})^{k}$ का मान ज्ञात करना है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=\frac{1}{4}$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

(C) रेखा का समीकरण $y = -2x + k$ है। चूंकि यह अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 3$ $(a^2 = 3, b^2 = 3)$ की स्पर्श रेखा है,स्पर्श रेखा होने की शर्त $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ के अनुसार:
$k = \sqrt{3(-2)^2 - 3} = \sqrt{3(4) - 3} = \sqrt{9} = 3$ (क्योंकि $k > 0$ है)।
अतः,रेखा $y = -2x + 3$ है।
इस रेखा के परवलय $y^2 = \alpha x$ की स्पर्श रेखा होने के लिए,इसे $c = \frac{\alpha}{4m}$ की शर्त को पूरा करना होगा।
यहाँ,$m = -2$ और $c = 3$ है।
मान रखने पर: $3 = \frac{\alpha}{4(-2)} = \frac{\alpha}{-8}$.
इसलिए,$\alpha = 3 \times (-8) = -24$.

(D) समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_{10} = 530$,अतः $\frac{10}{2} \{2a + 9d\} = 530 \Rightarrow 2a + 9d = 106 \quad \dots(1)$.
दिया गया है $S_{5} = 140$,अतः $\frac{5}{2} \{2a + 4d\} = 140 \Rightarrow 2a + 4d = 56 \quad \dots(2)$.
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर,$5d = 50$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = 10$.
$d = 10$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर,$2a + 4(10) = 56$ $\Rightarrow 2a = 16$ $\Rightarrow a = 8$.
अब,$S_{20} - S_{6} = \frac{20}{2} \{2a + 19d\} - \frac{6}{2} \{2a + 5d\}$.
$= 10(2(8) + 19(10)) - 3(2(8) + 5(10))$.
$= 10(16 + 190) - 3(16 + 50)$.
$= 10(206) - 3(66) = 2060 - 198 = 1862$.

(A) हम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ सर्वसमिका का उपयोग करके प्रत्येक व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं:
$A) (\sim p$ $\Rightarrow q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (p \vee q) \vee (q \vee p) \equiv p \vee q$. यह एक पुनरुक्ति नहीं है क्योंकि यह $p$ और $q$ के सत्य मानों पर निर्भर करता है।
$B) (q$ $\Rightarrow p) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim q \vee p) \vee (q \vee p) \equiv (\sim q \vee q) \vee p \equiv T \vee p \equiv T$. यह एक पुनरुक्ति है।
$C) (p$ $\Rightarrow q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim p \vee q) \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. यह एक पुनरुक्ति है।
$D) (p$ $\Rightarrow \sim q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim p \vee \sim q) \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee (\sim q \vee q) \equiv T \vee T \equiv T$. यह एक पुनरुक्ति है।
अतः,विकल्प $A$ में दिया गया व्यंजक पुनरुक्ति नहीं है।

(A) $I = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)(1+3x)(3+x)} \, dx$
माना $x = t^2$,तब $dx = 2t \, dt$। जब $x=0, t=0$ और जब $x=1, t=1$।
$I = \int_{0}^{1} \frac{t(2t)}{(t^2+1)(1+3t^2)(3+t^2)} \, dt = \int_{0}^{1} \frac{2t^2}{(t^2+1)(3t^2+1)(t^2+3)} \, dt$
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{2t^2}{(t^2+1)(3t^2+1)(t^2+3)} = \frac{A}{t^2+1} + \frac{B}{3t^2+1} + \frac{C}{t^2+3}$
गुणांकों को हल करने पर,हमें $A = \frac{1}{2}, B = -\frac{3}{8}, C = -\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2+1} - \frac{3}{8} \int_{0}^{1} \frac{dt}{3t^2+1} - \frac{1}{8} \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2+3}$
$I = \frac{1}{2} [\tan^{-1}(t)]_{0}^{1} - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} [\tan^{-1}(\sqrt{3}t)]_{0}^{1} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} [\tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{3}})]_{0}^{1}$
$I = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{3}}{8} (\frac{\pi}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{24} (\frac{\pi}{6})$
गणना करने पर,अंतिम उत्तर $I = \frac{\pi}{8}(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि $R(3,5,\gamma)$ समतल $2x-y+z+3=0$ पर स्थित है,इसलिए:
$2(3) - 5 + \gamma + 3 = 0$
$6 - 5 + \gamma + 3 = 0$
$4 + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = -4$.
अतः,$R$ बिंदु $(3,5,-4)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, 1)$ है। रेखा $QS$,$Q(1,3,4)$ से गुजरती है और $\vec{n}$ के समानांतर है।
रेखा $QS$ का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $F(2\lambda+1, -\lambda+3, \lambda+4)$ है।
चूंकि $F$,$Q$ से समतल पर डाले गए लंब का पाद है,यह समतल पर स्थित है:
$2(2\lambda+1) - (-\lambda+3) + (\lambda+4) + 3 = 0$
$4\lambda + 2 + \lambda - 3 + \lambda + 4 + 3 = 0$
$6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $F$ में रखने पर,हमें $F(-1, 4, 3)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F$,$QS$ का मध्य-बिंदु है,मान लीजिए $S = (x_s, y_s, z_s)$:
$\frac{x_s+1}{2} = -1 \Rightarrow x_s = -3$
$\frac{y_s+3}{2} = 4 \Rightarrow y_s = 5$
$\frac{z_s+4}{2} = 3 \Rightarrow z_s = 2$.
अतः,$S = (-3, 5, 2)$.
रेखाखंड $SR$ की लंबाई का वर्ग:
$SR^2 = (3 - (-3))^2 + (5 - 5)^2 + (-4 - 2)^2$
$SR^2 = (6)^2 + (0)^2 + (-6)^2 = 36 + 0 + 36 = 72$.

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X) = K + 2K + 2K + 3K + K = 9K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{9}$.
हमें $p = P(1 < X < 4 \mid X < 3)$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
यहाँ,$A = \{2, 3\}$ और $B = \{1, 2\}$ है।
$A \cap B = \{2\}$ है।
अतः,$p = \frac{P(X=2)}{P(X=1) + P(X=2)} = \frac{2K}{K + 2K} = \frac{2K}{3K} = \frac{2}{3}$.
दिया गया है कि $5p = \lambda K$,मान रखने पर:
$5 \times \left(\frac{2}{3}\right) = \lambda \times \left(\frac{1}{9}\right)$.
$\frac{10}{3} = \frac{\lambda}{9}$.
$\lambda = \frac{10 \times 9}{3} = 30$.

(C) माना $I = \int \frac{2 e^{x}+3 e^{-x}}{4 e^{x}+7 e^{-x}} d x$.
अंश को $2 e^{x}+3 e^{-x} = A(4 e^{x}+7 e^{-x}) + B(4 e^{x}-7 e^{-x})$ के रूप में व्यक्त करने पर.
$e^{x}$ और $e^{-x}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4A + 4B = 2 \Rightarrow A+B = \frac{1}{2}$
$7A - 7B = 3 \Rightarrow A-B = \frac{3}{7}$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2A = \frac{1}{2} + \frac{3}{7} = \frac{7+6}{14} = \frac{13}{14} \Rightarrow A = \frac{13}{28}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2B = \frac{1}{2} - \frac{3}{7} = \frac{7-6}{14} = \frac{1}{14} \Rightarrow B = \frac{1}{28}$.
अतः,$I = \int \left( \frac{13}{28} + \frac{1}{28} \frac{4 e^{x}-7 e^{-x}}{4 e^{x}+7 e^{-x}} \right) d x$.
$I = \frac{13}{28} x + \frac{1}{28} \log_{e} |4 e^{x}+7 e^{-x}| + C$.
दिए गए रूप $\frac{1}{14}(u x + v \log_{e}(4 e^{x}+7 e^{-x})) + C$ से तुलना करने के लिए,हम $I$ को इस प्रकार लिखते हैं:
$I = \frac{1}{14} (\frac{13}{2} x + \frac{1}{2} \log_{e}(4 e^{x}+7 e^{-x})) + C$.
तुलना करने पर,हमें $u = \frac{13}{2}$ और $v = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$u+v = \frac{13}{2} + \frac{1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

(C) माना $e^{x} = t$ है। चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{x} > 0$ होता है,इसलिए $t > 0$ होना चाहिए।
दिया गया समीकरण $f(t) = t^{4} + 2t^{3} - t - 6 = 0$ बन जाता है।
वास्तविक मूलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $t > 0$ के लिए फलन $f(t)$ का विश्लेषण करते हैं।
अवकलन ज्ञात करें: $f'(t) = 4t^{3} + 6t^{2} - 1$.
द्वितीय अवकलन ज्ञात करें: $f''(t) = 12t^{2} + 12t$. $t > 0$ के लिए,$f''(t) > 0$,जिसका अर्थ है कि $t > 0$ के लिए $f'(t)$ निरंतर वर्धमान फलन है।
$f'(0) = -1$ और $f'(1) = 4 + 6 - 1 = 9$. चूँकि $f'(t)$ निरंतर है और अंतराल $(0, 1)$ में ऋणात्मक से धनात्मक की ओर चिह्न बदलता है,इसलिए एक अद्वितीय मूल $\alpha \in (0, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(\alpha) = 0$ है।
इस प्रकार,$f(t)$ अंतराल $(0, \alpha)$ पर घटता है और $(\alpha, \infty)$ पर बढ़ता है।
मुख्य बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(0) = -6$
$f(1) = 1 + 2 - 1 - 6 = -4$
$f(2) = 16 + 16 - 2 - 6 = 24$
चूँकि $f(1) = -4 < 0$ और $f(2) = 24 > 0$,'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,अंतराल $(1, 2)$ में $t$ का ठीक एक मूल है।
चूँकि $t = e^{x} > 0$ है,और फलन $f(t)$ $t > 1$ के लिए निरंतर वर्धमान है,इसलिए $x$ का केवल एक वास्तविक हल प्राप्त होता है।

(A) दो समतलों $P_1 = 0$ और $P_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$(3x-2y+4z-7) + \lambda(x+5y-2z+9) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(3+\lambda)x + (5\lambda-2)y + (4-2\lambda)z + (9\lambda-7) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $(1,4,-3)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3+\lambda)(1) + (5\lambda-2)(4) + (4-2\lambda)(-3) + 9\lambda-7 = 0$.
$3 + \lambda + 20\lambda - 8 - 12 + 6\lambda + 9\lambda - 7 = 0$.
$36\lambda - 24 = 0 \Rightarrow 36\lambda = 24 \Rightarrow \lambda = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ को समीकरण में रखने पर:
$(3 + \frac{2}{3})x + (5(\frac{2}{3}) - 2)y + (4 - 2(\frac{2}{3}))z + (9(\frac{2}{3}) - 7) = 0$.
$(\frac{11}{3})x + (\frac{4}{3})y + (\frac{8}{3})z - 1 = 0$.
$\alpha x + \beta y + \gamma z + 3 = 0$ के रूप में लाने के लिए $-3$ से गुणा करने पर:
$-11x - 4y - 8z + 3 = 0$.
इसकी तुलना $\alpha x + \beta y + \gamma z + 3 = 0$ से करने पर,हमें $\alpha = -11$,$\beta = -4$,और $\gamma = -8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = -11 - 4 - 8 = -23$.

(D) दिया गया समीकरण $\int_{0}^{x} \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^{2}} \,d t=\int_{0}^{x} f(t) \,d t$ है,जहाँ $0 \leq x \leq 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}=f(x)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1-\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=f^{2}(x)$
$\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} = 1 - f^{2}(x)$
$f^{\prime}(x) = \sqrt{1 - f^{2}(x)}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{1-f^{2}(x)}}=1$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\sin^{-1}(f(x)) = x + C$
चूंकि $f(0)=0$ है,इसलिए $\sin^{-1}(0) = 0 + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \sin(x)$ है।
अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x} \sin(t) \,dt = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{[-\cos(t)]_{0}^{x}}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}}$
मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,उत्तर $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $|2 \vec{a}+3 \vec{b}|=|3 \vec{a}+\vec{b}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|2 \vec{a}+3 \vec{b}|^{2}=|3 \vec{a}+\vec{b}|^{2}$ प्राप्त होता है।
$(2 \vec{a}+3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+3 \vec{b}) = (3 \vec{a}+\vec{b}) \cdot (3 \vec{a}+\vec{b})$.
$4|\vec{a}|^{2} + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^{2} = 9|\vec{a}|^{2} + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$8|\vec{b}|^{2} - 5|\vec{a}|^{2} + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{8} \vec{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\frac{1}{8} \vec{a}| = 1 \Rightarrow |\vec{a}| = 8$.
साथ ही,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 60^{\circ} = 8 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{2} = 4|\vec{b}|$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $8|\vec{b}|^{2} + 6(4|\vec{b}|) - 5(8)^{2} = 0$.
$8|\vec{b}|^{2} + 24|\vec{b}| - 320 = 0$.
$8$ से विभाजित करने पर,$|\vec{b}|^{2} + 3|\vec{b}| - 40 = 0$ प्राप्त होता है।
$(|\vec{b}| + 8)(|\vec{b}| - 5) = 0$.
चूंकि सदिश का परिमाण $|\vec{b}|$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $|\vec{b}| = 5$.

(C) दिया गया है $f(x)=|x^{2}-2 x-3| \cdot e^{|9 x^{2}-12 x+4|}$.
हम निरपेक्ष मानों के अंदर के व्यंजकों का गुणनखंड कर सकते हैं:
$x^{2}-2 x-3 = (x-3)(x+1)$
$9 x^{2}-12 x+4 = (3 x-2)^{2}$
अतः,$f(x)=|(x-3)(x+1)| \cdot e^{(3 x-2)^{2}}$.
ध्यान दें कि $e^{(3 x-2)^{2}}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए एक सुचारू और अवकलनीय फलन है।
$f(x)$ की अवकलनीयता पूरी तरह से $|(x-3)(x+1)|$ पद पर निर्भर करती है।
$|g(x)|$ के रूप का फलन $g(x)$ के उन मूलों पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ चिह्न बदलता है।
यहाँ,$g(x) = (x-3)(x+1)$ का चिह्न $x=3$ और $x=-1$ पर बदलता है।
$x=3$ और $x=-1$ पर,फलन $|(x-3)(x+1)|$ में तीक्ष्ण कोने (cusps) होते हैं।
इसलिए,$f(x)$ ठीक दो बिंदुओं $x=3$ और $x=-1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$A$: $0 < |x| - |y| \leq 1$ के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $|x| > |y|$ है। यह सममित नहीं है क्योंकि $(y, x) \notin R$ है। यह संक्रामक भी नहीं है क्योंकि $(3, 2) \in R$ और $(2, 1) \in R$ है,लेकिन $(3, 1) \notin R$ क्योंकि $|3| - |1| = 2 > 1$ है। यह कथन सही है।
$B$: $0 < |x - y| \leq 1$ के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $|x - y| = |y - x|$ है,इसलिए यह सममित है। हालाँकि,यह संक्रामक नहीं है। उदाहरण के लिए,$(1, 1.6) \in R$ और $(1.6, 2.2) \in R$ है,लेकिन $|1 - 2.2| = 1.2 > 1$ होने के कारण $(1, 2.2) \notin R$ है। अतः,यह संक्रामक नहीं है। यह कथन गलत है।
$C$: $|x| - |y| \leq 1$ के लिए,यह स्वतुल्य है क्योंकि $|x| - |x| = 0 \leq 1$ है। यह सममित नहीं है क्योंकि $|2| - |0| = 2 \not\leq 1$ है। यह कथन सही है।
$D$: $|x - y| \leq 1$ के लिए,यह स्वतुल्य है क्योंकि $|x - x| = 0 \leq 1$ है। यह सममित है क्योंकि $|x - y| = |y - x|$ है। यह कथन सही है।
इसलिए,गलत कथन $B$ है।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x-1)^{3/4}(x+2)^{5/4}}$.
समाकल्य को इस प्रकार लिखें: $I = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{5/4} \cdot (x-1)^{3/4} \cdot (x-1)^{5/4}} = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{5/4} \cdot (x-1)^2}$.
माना $t = \frac{x+2}{x-1}$. तब $dt = \frac{(x-1)(1) - (x+2)(1)}{(x-1)^2} dx = \frac{-3}{(x-1)^2} dx$,अतः $\frac{dx}{(x-1)^2} = -\frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{-1/3}{t^{5/4}} dt = -\frac{1}{3} \int t^{-5/4} dt$.
समाकलन करने पर: $I = -\frac{1}{3} \left( \frac{t^{-1/4}}{-1/4} \right) + C = \frac{4}{3} t^{-1/4} + C$.
$t = \frac{x+2}{x-1}$ वापस रखने पर: $I = \frac{4}{3} \left( \frac{x+2}{x-1} \right)^{-1/4} + C = \frac{4}{3} \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^{1/4} + C$.

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के नियम के सारणिकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
सबसे पहले,$D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = 2(-a - 1) - 1(a - 1) + 1(1 + 1) = 1 - 3a$.
$D = 0$ रखने पर,$1 - 3a = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = \frac{1}{3}$।
अब,यदि $a = \frac{1}{3}$ है,तो समीकरण निकाय की जाँच करने पर,कोई हल न होने की स्थिति $b \neq \frac{7}{3}$ प्राप्त होती है।

(A) यदि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0) = k$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$RHL$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x - 1}{\sqrt{x^{2}+1}-1} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos(2x) - 1}{\sqrt{x^{2}+1}-1}$.
$\cos(2x) - 1 = -2\sin^{2} x$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{-2\sin^{2} x}{\sqrt{x^{2}+1}-1} \times \frac{\sqrt{x^{2}+1}+1}{\sqrt{x^{2}+1}+1} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{-2\sin^{2} x (\sqrt{x^{2}+1}+1)}{x^{2}} = -2(1)^{2}(1+1) = -4$.
अतः,$k = -4$.
अब,$LHL$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{1+\frac{x}{a}}{1-\frac{x}{b}}\right) = \lim_{x \to 0^{-}} \left[ \frac{\ln(1+\frac{x}{a})}{x} - \frac{\ln(1-\frac{x}{b})}{x} \right]$.
$\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{a} - (-\frac{1}{b}) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
चूंकि $LHL = k$,इसलिए $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -4$.
अंत में,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{k} = -4 + \frac{4}{-4} = -4 - 1 = -5$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x} \cdot 2^{y} - 2^{x}}{2^{y}}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2^{y}}{2^{y}-1} dy = 2^{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2^{y}}{2^{y}-1} dy = \int 2^{x} dx$.
माना $u = 2^{y}-1$,तब $du = 2^{y} \ln(2) dy$,इसलिए $\int \frac{du}{u \ln(2)} = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\frac{1}{\ln(2)} \ln(2^{y}-1) = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C$.
$\ln(2)$ से गुणा करने पर: $\ln(2^{y}-1) = 2^{x} + C'$.
$y(0) = 1$ का उपयोग करने पर: $\ln(2^{1}-1) = 2^{0} + C' \Rightarrow \ln(1) = 1 + C' \Rightarrow 0 = 1 + C' \Rightarrow C' = -1$.
अतः,$\ln(2^{y}-1) = 2^{x} - 1$.
$x=1$ के लिए: $\ln(2^{y}-1) = 2^{1} - 1 = 1$.
$2^{y}-1 = e^{1} \Rightarrow 2^{y} = e+1$.
दोनों पक्षों में $\log_{2}$ लेने पर: $y = \log_{2}(e+1)$.

(D) दिया गया है कि $a_{r} = e^{i \frac{2 \pi r}{9}}$.
ध्यान दें कि $a_{r} = (a_{1})^{r}$ होता है।
सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{1}^{2} & a_{1}^{3} \\ a_{1}^{4} & a_{1}^{5} & a_{1}^{6} \\ a_{1}^{7} & a_{1}^{8} & a_{1}^{9}\end{array}\right|$ है।
$C_{1}$ से $a_{1}$,$C_{2}$ से $a_{1}^{2}$ और $C_{3}$ से $a_{1}^{3}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = a_{1} \cdot a_{1}^{2} \cdot a_{1}^{3} \left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a_{1}^{3} & a_{1}^{3} & a_{1}^{3} \\ a_{1}^{6} & a_{1}^{6} & a_{1}^{6}\end{array}\right|$.
चूँकि सभी स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ होगा।

(B) मान लीजिए $I = \int_{-1/2}^{1} ([2x] + |x|) \, dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-1/2}^{1} [2x] \, dx + \int_{-1/2}^{1} |x| \, dx$.
पहले भाग के लिए,$\int_{-1/2}^{1} [2x] \, dx$:
अंतराल $[-1/2, 0)$ में,$2x \in [-1, 0)$,इसलिए $[2x] = -1$.
अंतराल $[0, 1/2)$ में,$2x \in [0, 1)$,इसलिए $[2x] = 0$.
अंतराल $[1/2, 1)$ में,$2x \in [1, 2)$,इसलिए $[2x] = 1$.
अतः,$\int_{-1/2}^{1} [2x] \, dx = \int_{-1/2}^{0} (-1) \, dx + \int_{0}^{1/2} (0) \, dx + \int_{1/2}^{1} (1) \, dx = -[x]_{-1/2}^{0} + 0 + [x]_{1/2}^{1} = -(0 - (-1/2)) + (1 - 1/2) = -1/2 + 1/2 = 0$.
दूसरे भाग के लिए,$\int_{-1/2}^{1} |x| \, dx$:
चूंकि $x < 0$ के लिए $|x| = -x$ और $x \geq 0$ के लिए $|x| = x$:
$\int_{-1/2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1/2}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = (0 - (-(-1/2)^2/2)) + (1/2 - 0) = -1/8 + 1/2 = 3/8$.
इसलिए,$I = 0 + 3/8 = 3/8$.
अभीष्ट मान $8 \cdot I = 8 \cdot (3/8) = 3$ है।

(B) माना रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{6}=\lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(x, y, z) = (2\lambda+1, 3\lambda+2, 6\lambda-1)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x-y+z=6$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2\lambda+1) - (3\lambda+2) + (6\lambda-1) = 6$.
$4\lambda + 2 - 3\lambda - 2 + 6\lambda - 1 = 6$.
$7\lambda - 1 = 6 \Rightarrow 7\lambda = 7 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (2(1)+1, 3(1)+2, 6(1)-1) = (3, 5, 5)$ प्राप्त होता है।
हमें बिंदु $P(3, 5, 5)$ से बिंदु $Q(-1, -1, 2)$ तक की दूरी का वर्ग ज्ञात करना है।
$d^2 = (3 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2 + (5 - 2)^2$.
$d^2 = (4)^2 + (6)^2 + (3)^2 = 16 + 36 + 9 = 61$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + ax + 1$ है।
इसका अवकलज $f'(x) = 2x + a$ है।
फलन $f(x)$ के $[1, 2]$ पर वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$2x + a \geq 0 \implies a \geq -2x$,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।
अंतराल $[1, 2]$ पर $-2x$ का अधिकतम मान $x=1$ पर प्राप्त होता है,जो $-2(1) = -2$ है। अतः $R = -2$ है।
फलन $f(x)$ के $[1, 2]$ पर ह्रासमान होने के लिए,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।
$2x + a \leq 0 \implies a \leq -2x$,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।
यह शर्त सभी $x$ के लिए सत्य होनी चाहिए,इसलिए $a \leq \min(-2x)$ होना चाहिए। अंतराल $[1, 2]$ पर $-2x$ का न्यूनतम मान $x=2$ पर प्राप्त होता है,जो $-2(2) = -4$ है। अतः $S = -4$ है।
अब,$|R - S| = |-2 - (-4)| = |-2 + 4| = 2$।

(A) दिया गया समीकरण: $x \phi(x) = \int_{5}^{x} (3t^{2} - 2 \phi'(t)) dt$.
लेबनिज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} [x \phi(x)] = 3x^{2} - 2 \phi'(x)$.
बाईं ओर गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\phi(x) + x \phi'(x) = 3x^{2} - 2 \phi'(x)$.
$\phi'(x)$ वाले पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x + 2) \phi'(x) = 3x^{2} - \phi(x)$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\phi'(x) + \frac{1}{x+2} \phi(x) = \frac{3x^{2}}{x+2}$.
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{x+2} dx} = e^{\ln(x+2)} = x+2$.
$I.F.$ से गुणा करने पर:
$(x+2) \phi'(x) + \phi(x) = 3x^{2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$(x+2) \phi(x) = \int 3x^{2} dx = x^{3} + C$.
दिया गया है $\phi(0) = 4$:
$(0+2) \phi(0) = 0^{3} + C \Rightarrow 2(4) = C \Rightarrow C = 8$.
अतः,$(x+2) \phi(x) = x^{3} + 8$.
$\phi(x) = \frac{x^{3} + 8}{x+2} = \frac{(x+2)(x^{2} - 2x + 4)}{x+2} = x^{2} - 2x + 4$.
$x = 2$ के लिए:
$\phi(2) = 2^{2} - 2(2) + 4 = 4 - 4 + 4 = 4$.

(D) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहली इकाई कार्य करती है,इसलिए $P(A) = 0.9$ और $P(A^c) = 0.1$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दूसरी इकाई कार्य करती है,इसलिए $P(B) = 0.8$ और $P(B^c) = 0.2$ है।
उपकरण केवल तभी कार्य करता है जब दोनों इकाइयाँ कार्य करती हैं। उपकरण के कार्य करने की प्रायिकता $P(A \cap B) = 0.9 \times 0.8 = 0.72$ है।
उपकरण के विफल होने की प्रायिकता $P(F) = 1 - 0.72 = 0.28$ है।
विफलता तीन परस्पर अनन्य स्थितियों में होती है:
$1$. पहली इकाई विफल,दूसरी इकाई कार्य करती है: $P(A^c \cap B) = 0.1 \times 0.8 = 0.08$.
$2$. पहली इकाई कार्य करती है,दूसरी इकाई विफल: $P(A \cap B^c) = 0.9 \times 0.2 = 0.18$.
$3$. दोनों इकाइयाँ विफल: $P(A^c \cap B^c) = 0.1 \times 0.2 = 0.02$.
ध्यान दें कि $0.08 + 0.18 + 0.02 = 0.28$,जो $P(F)$ के बराबर है।
हमें दिया गया है कि उपकरण विफल हो गया है। हमें वह सशर्त प्रायिकता $p$ ज्ञात करनी है कि केवल पहली इकाई विफल हुई (अर्थात $A^c \cap B$ घटित हुआ) जबकि उपकरण विफल हो गया $(F)$।
$p = P(A^c \cap B | F) = \frac{P(A^c \cap B)}{P(F)} = \frac{0.08}{0.28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$.
अतः,$98p = 98 \times \frac{2}{7} = 14 \times 2 = 28$.

(B) समीकरणों का निकाय समघात है,जिसे $AX = 0$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $A$ गुणांक आव्यूह है।
गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक इस प्रकार है:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$|A| = 1(1 - \cos^2 \alpha) - \cos \gamma(\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta) + \cos \beta(\cos \gamma \cos \alpha - \cos \beta)$
$|A| = 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \cos^2 \beta$
$|A| = 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
दिया गया है कि $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$,इसलिए $\gamma = 2\pi - (\alpha + \beta)$,जिसका अर्थ है $\cos \gamma = \cos(\alpha + \beta)$।
इस विशिष्ट सममित आव्यूह के सारणिक के लिए सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,यह ज्ञात है कि जब $\alpha + \beta + \gamma = 2n\pi$ होता है,तो $|A| = 0$ होता है।
चूँकि $|A| = 0$ है,इसलिए समीकरणों के निकाय के अनंत हल हैं।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समान परिमाण वाले परस्पर लंबवत सदिश हैं,मान लीजिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$.
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$\vec{a} \times \{(\vec{r}-\vec{b}) \times \vec{a}\} = (\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{r}-\vec{b}) - (\vec{a} \cdot (\vec{r}-\vec{b}))\vec{a} = k^2(\vec{r}-\vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{r})\vec{a}$.
इसी प्रकार,$\vec{b} \times \{(\vec{r}-\vec{c}) \times \vec{b}\} = k^2(\vec{r}-\vec{c}) - (\vec{b} \cdot \vec{r})\vec{b}$ और $\vec{c} \times \{(\vec{r}-\vec{a}) \times \vec{c}\} = k^2(\vec{r}-\vec{a}) - (\vec{c} \cdot \vec{r})\vec{c}$.
इनका योग करने पर,हमें $k^2(3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})) - ((\vec{a} \cdot \vec{r})\vec{a} + (\vec{b} \cdot \vec{r})\vec{b} + (\vec{c} \cdot \vec{r})\vec{c}) = \vec{0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{r} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ जहाँ $x = \frac{\vec{r} \cdot \vec{a}}{k^2}$,$y = \frac{\vec{r} \cdot \vec{b}}{k^2}$,$z = \frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{k^2}$,तो व्यंजक $k^2(3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})) - k^2(x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}) = \vec{0}$ बन जाता है।
यह सरल होकर $3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) - \vec{r} = \vec{0}$ हो जाता है,जिससे $2\vec{r} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{r} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$.

(C) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ को परिभाषित होने के लिए,दोनों भागों का परिभाषित होना आवश्यक है।
$1$. $\cos^{-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ के लिए,हमें $-1 \leq \frac{x-1}{x+1} \leq 1$ की आवश्यकता है।
$\frac{x-1}{x+1} \leq 1$ को हल करने पर $\Rightarrow x > -1$ प्राप्त होता है।
$\frac{x-1}{x+1} \geq -1$ को हल करने पर $\Rightarrow x \in (-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ प्राप्त होता है।
इन दोनों का सर्वनिष्ठ (intersection) लेने पर,$x \in [0, \infty)$ प्राप्त होता है।
$2$. $\sin^{-1}\left(\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2}\right)$ के लिए,हमें $-1 \leq \frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2} \leq 1$ की आवश्यकता है।
$\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2} \leq 1$ को हल करने पर $\Rightarrow x \in [-2, 1/2]$ प्राप्त होता है।
$\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2} \geq -1$ को हल करने पर $\Rightarrow x \in (-\infty, 0] \cup [1/4, \infty)$ प्राप्त होता है।
इन दोनों का सर्वनिष्ठ लेने पर,$x \in [-2, 0] \cup [1/4, 1/2]$ प्राप्त होता है।
दोनों शर्तों का सर्वनिष्ठ लेने पर,$x \in [0, \infty) \cap ([-2, 0] \cup [1/4, 1/2]) = \{0\} \cup [1/4, 1/2]$ प्राप्त होता है।

(A) $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से स्वयं पर आच्छादक फलनों की कुल संख्या $6! = 720$ है।
शर्त $g(3) = 2g(1)$ के लिए संभावित युग्म $(g(1), g(3))$ के मान $(1, 2), (2, 4),$ और $(3, 6)$ हैं। इस प्रकार,$3$ संभावनाएं हैं।
प्रत्येक युग्म के लिए,शेष $4$ अवयवों को शेष $4$ अवयवों पर आच्छादक रूप से प्रतिचित्रित करने के तरीके $4! = 24$ हैं।
अतः,अनुकूल आच्छादक फलनों की संख्या $3 \times 4! = 72$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{3 \times 4!}{6!} = \frac{72}{720} = \frac{1}{10}$ है।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(m+n) = f(m) + f(n)$ है,जहाँ $m, n \in N$ है।
यह प्राकृतिक संख्याओं पर कौशी (Cauchy) फलन समीकरण है,जो दर्शाता है कि $f(n) = cn$ किसी स्थिरांक $c$ के लिए है।
दिया गया है कि $f(6) = 18$,इसलिए $f(n) = cn$ में $n=6$ रखने पर:
$c \cdot 6 = 18 \Rightarrow c = 3$.
अतः,फलन $f(n) = 3n$ है।
अब,$f(2)$ और $f(3)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(2) = 3 \cdot 2 = 6$.
$f(3) = 3 \cdot 3 = 9$.
अंत में,गुणनफल $f(2) \cdot f(3) = 6 \cdot 9 = 54$ है।

(D) दिए गए समतल $P_{1}: 2x + 3y + 2z = 0$ और $P_{2}: x - 2y + z = 0$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n}_{1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n}_{2} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 7\hat{i} - 7\hat{k}$ है।
दिशा अनुपात $(1, 0, -1)$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरते हैं,इसलिए रेखा $L$ भी मूल बिंदु से गुजरती है। रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{-1} = \lambda$ है।
रेखा $L$ पर कोई बिंदु $Q = (\lambda, 0, -\lambda)$ है।
माना $P = (-1, 2, -2)$ है। सदिश $\vec{PQ} = (\lambda + 1, -2, -\lambda + 2)$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ रेखा $L$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\lambda + 1)(1) + (-2)(0) + (-\lambda + 2)(-1) = 0$
$\lambda + 1 + \lambda - 2 = 0 \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
अतः,$Q = (\frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2})$.
दूरी $PQ = \sqrt{(\frac{1}{2} + 1)^2 + (0 - 2)^2 + (-\frac{1}{2} + 2)^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-2)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}} = \frac{\sqrt{34}}{2}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^x(y + 2^y)}{2^x(1 + 2^y \ln 2)}$.
अंश और हर से $2^x$ को हटाने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y + 2^y}{1 + 2^y \ln 2}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y} dy = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y} dy = \int dx$.
माना $u = y + 2^y$,तब $du = (1 + 2^y \ln 2) dy$। अतः,$\int \frac{1}{u} du = x + C$.
$\ln|y + 2^y| = x + C$.
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $\ln|0 + 2^0| = 0 + C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$x = \ln(y + 2^y)$.
$y = 1$ के लिए,$x = \ln(1 + 2^1) = \ln(3)$.
चूँकि $e \approx 2.718$ और $e^2 \approx 7.389$,और $e < 3 < e^2$,इसलिए $1 < \ln(3) < 2$.
अतः,$x \in (1, 2)$.

(B) माना $v = \frac{y^2}{x^2}$,इसलिए $y^2 = v x^2$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2vx^2 + x^2 \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $y \frac{dy}{dx} = vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}$।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx} = x \left[ v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \right] = xv + x \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$।
चूँकि $x > 0$,$x$ से भाग देने पर: $vx + \frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$।
इसे हल करने पर: $\frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \implies \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{2}{x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(\phi(v)) = 2 \ln(x) + C = \ln(x^2) + C$।
अतः,$\phi(v) = k x^2$,जहाँ $k = e^C$।
चूँकि $v = y^2/x^2$,हमारे पास $\phi(y^2/x^2) = k x^2$ है।
$y(1) = -1$ दिया गया है,इसलिए $x=1$ पर,$v = (-1)^2/1^2 = 1$। अतः $\phi(1) = k(1)^2 = k$।
हमें $\phi(y^2/4)$ ज्ञात करना है। यदि हम $x=2$ रखें,तो $v = y^2/4$ होगा।
इसलिए,$\phi(y^2/4) = k(2)^2 = 4k = 4 \phi(1)$।

(B) दिया गया है $f(0)=0, f(1)=1$,और $f(2)=2$।
एक फलन $h(x) = f(x) - x$ को परिभाषित करें।
तब $h(0) = f(0) - 0 = 0$,$h(1) = f(1) - 1 = 0$,और $h(2) = f(2) - 2 = 0$।
चूंकि $h(x)$ अंतराल $[0,1]$ और $[1,2]$ पर सतत है और $(0,1)$ और $(1,2)$ पर अवकलनीय है,रोले के प्रमेय के अनुसार,कोई $c_1 \in (0,1)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime}(c_1) = 0$ और कोई $c_2 \in (1,2)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime}(c_2) = 0$।
अब,$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - 1$।
चूंकि $h^{\prime}(c_1) = 0$ और $h^{\prime}(c_2) = 0$,और $h^{\prime}(x)$ अंतराल $[c_1, c_2]$ पर सतत है और $(c_1, c_2)$ पर अवकलनीय है,$h^{\prime}(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू करने पर,कम से कम एक $c \in (c_1, c_2) \subset (0,2)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime \prime}(c) = 0$।
चूंकि $h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x)$,इसलिए किसी $c \in (0,2)$ के लिए $f^{\prime \prime}(c) = 0$ होगा।

(B) माना $I = \pi^{2} \int_{0}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} (x-[x])^{[x]} dx$.
चूंकि $x \in [0, 1)$ के लिए $[x] = 0$ और $x \in [1, 2)$ के लिए $[x] = 1$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \pi^{2} \left[ \int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} (x-0)^0 dx + \int_{1}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} (x-1)^1 dx \right]$
$I = \pi^{2} \left[ \int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} dx + \int_{1}^{2} (x-1) \sin \frac{\pi x}{2} dx \right]$
प्रथम भाग के लिए: $\int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} dx = [-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}]_0^1 = 0 - (-\frac{2}{\pi}) = \frac{2}{\pi}$.
दूसरे भाग के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int (x-1) \sin \frac{\pi x}{2} dx = (x-1)(-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}) - \int 1 \cdot (-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}) dx = -\frac{2(x-1)}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2} + \frac{4}{\pi^2} \sin \frac{\pi x}{2}$.
$1$ से $2$ की सीमा में मान रखने पर: $[-\frac{2(2-1)}{\pi} \cos \pi + \frac{4}{\pi^2} \sin \pi] - [-\frac{2(1-1)}{\pi} \cos \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi^2} \sin \frac{\pi}{2}] = [\frac{2}{\pi} + 0] - [0 + \frac{4}{\pi^2}] = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}$.
दोनों भागों का योग करने पर: $I = \pi^2 [\frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}] = \pi^2 [\frac{4}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}] = 4\pi - 4 = 4(\pi-1)$.

(B) चूंकि रेखा समतल पर स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
बिंदु $(2, 2, -2)$ रेखा पर स्थित है,इसलिए यह समतल $x+3y-2z+\beta=0$ को भी संतुष्ट करेगा।
बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर: $2 + 3(2) - 2(-2) + \beta = 0$.
$2 + 6 + 4 + \beta = 0 \Rightarrow 12 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = -12$.
साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (\alpha, -5, 2)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 3, -2)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,उनका अदिश गुणनफल $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$ होगा।
$\alpha(1) + (-5)(3) + (2)(-2) = 0$.
$\alpha - 15 - 4 = 0 \Rightarrow \alpha - 19 = 0 \Rightarrow \alpha = 19$.
इसलिए,$\alpha + \beta = 19 + (-12) = 7$.

(D) अंश और हर को $\cos^3 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\tan x \sec^2 x}{1+\tan^3 x} dx$
माना $\tan x = t$,तो $\sec^2 x dx = dt$:
$I = \int \frac{t}{(t+1)(t^2-t+1)} dt$
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{t}{(t+1)(t^2-t+1)} = \frac{A}{t+1} + \frac{Bt+C}{t^2-t+1}$
$t = A(t^2-t+1) + (Bt+C)(t+1)$
$t = -1$ रखने पर: $-1 = A(1+1+1) \Rightarrow A = -\frac{1}{3}$
$t^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A+B = 0 \Rightarrow B = \frac{1}{3}$
अचर पदों की तुलना करने पर: $A+C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{3}$
अतः,$I = -\frac{1}{3} \int \frac{dt}{t+1} + \int \frac{\frac{1}{3}t + \frac{1}{3}}{t^2-t+1} dt$
$I = -\frac{1}{3} \ln|t+1| + \frac{1}{6} \int \frac{2t-1+3}{t^2-t+1} dt$
$I = -\frac{1}{3} \ln|t+1| + \frac{1}{6} \ln|t^2-t+1| + \frac{1}{2} \int \frac{dt}{(t-1/2)^2 + 3/4}$
$I = -\frac{1}{3} \ln|1+\tan x| + \frac{1}{6} \ln|1-\tan x+\tan^2 x| + \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2\tan x-1}{\sqrt{3}}\right) + C$
इस प्रकार,$\alpha = -\frac{1}{3}, \beta = \frac{1}{6}, \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$18(\alpha+\beta+\gamma^2) = 18(-\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}) = 18(\frac{1}{6}) = 3$.

(A) दी गई शर्त $(I-A)^3 = I-A^3$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $I^3 - 3I^2A + 3IA^2 - A^3 = I - A^3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $I^2 = I$ और $IA = AI = A$ है,यह समीकरण $I - 3A + 3A^2 - A^3 = I - A^3$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों से $I$ घटाने और $A^3$ जोड़ने पर,हमें $3A^2 - 3A = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A^2 = A$।
माना $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$ है। तब $A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & ab+bd \\ 0 & d^2 \end{bmatrix}$ होगा।
$A^2 = A$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2 = a \Rightarrow a \in \{0, 1\}$।
$d^2 = d \Rightarrow d \in \{0, 1\}$।
$ab + bd = b \Rightarrow b(a + d - 1) = 0$।
स्थिति $1$: यदि $b = 0$ है,तो $a \in \{0, 1\}$ और $d \in \{0, 1\}$ होगा। इससे $2 \times 2 = 4$ आव्यूह मिलते हैं।
स्थिति $2$: यदि $b \neq 0$ है,तो $a + d - 1 = 0$,अर्थात $a + d = 1$ होगा।
संभावित युग्म $(a, d)$ $(1, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
प्रत्येक युग्म के लिए,$b \in \{-1, 1\}$ हो सकता है (क्योंकि $b \neq 0$ है)।
इससे $2 \times 2 = 4$ आव्यूह मिलते हैं।
कुल आव्यूहों की संख्या = $4 + 4 = 8$।

(D) रेखाओं $x=0, y=0, x=\frac{3}{2}$ और वक्र $y=1+4x-x^2$ द्वारा घिरा कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{3/2} (1+4x-x^2) \, dx$
$A = [x + 2x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3/2}$
$A = (\frac{3}{2} + 2(\frac{9}{4}) - \frac{27}{24}) - 0$
$A = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} - \frac{9}{8} = 6 - \frac{9}{8} = \frac{48-9}{8} = \frac{39}{8}$
चूंकि रेखा $y=mx$ इस क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है,इसलिए रेखाओं $x=0, x=\frac{3}{2}$ और $y=mx$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होना चाहिए।
शीर्षों $(0,0), (3/2, 0)$ और $(3/2, 3m/2)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$A_{triangle} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{3m}{2} = \frac{9m}{8}$
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर:
$\frac{9m}{8} = \frac{1}{2} \times \frac{39}{8}$
$9m = \frac{39}{2}$
$m = \frac{39}{18} = \frac{13}{6}$
अतः,$12m = 12 \times \frac{13}{6} = 2 \times 13 = 26$.

(C) मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ और $f''(x) = 6ax + 2b$ होगा।
चूंकि $f'(x)$ का $x = -1$ पर स्थानीय न्यूनतम है,इसलिए $f''(-1) = 0$,जिससे $6a(-1) + 2b = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $b = 3a$।
अतः,$f'(x) = 3ax^2 + 6ax + c = 3a(x^2 + 2x) + c = 3a(x+1)^2 + (c - 3a)$।
चूंकि $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम है,इसलिए $f'(1) = 0$,जिससे $3a(1+1)^2 + (c - 3a) = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $12a + c - 3a = 0$,जिससे $c = -9a$ मिलता है।
अब,$f'(x) = 3ax^2 + 6ax - 9a = 3a(x^2 + 2x - 3) = 3a(x+3)(x-1)$।
$f'(x)$ का समाकलन करने पर,$f(x) = a(x^3 + 3x^2 - 9x) + k$ प्राप्त होता है।
$f(1) = -10$ का उपयोग करने पर: $a(1 + 3 - 9) + k = -10 \Rightarrow -5a + k = -10$।
$f(-1) = 6$ का उपयोग करने पर: $a(-1 + 3 + 9) + k = 6 \Rightarrow 11a + k = 6$।
समीकरणों को घटाने पर: $(11a + k) - (-5a + k) = 6 - (-10) \Rightarrow 16a = 16 \Rightarrow a = 1$।
तब $k = 6 - 11(1) = -5$।
अतः,$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 5$।
अंत में,$f(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - 9(3) - 5 = 27 + 27 - 27 - 5 = 22$।

(C) हमें व्यंजक $\cos ^{-1}(\cos (-5))+\sin ^{-1}(\sin (6))-\tan ^{-1}(\tan (12))$ का मान ज्ञात करना है।
$1$. $\cos ^{-1}(\cos (-5))$ के लिए: चूँकि $\cos(-x) = \cos(x)$,यह $\cos ^{-1}(\cos (5))$ है। चूँकि $5 \in [\pi, 2\pi]$,हम $\cos ^{-1}(\cos x) = 2\pi - x$ का उपयोग करते हैं। अतः,$\cos ^{-1}(\cos (5)) = 2\pi - 5$.
$2$. $\sin ^{-1}(\sin (6))$ के लिए: चूँकि $6 \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$,हम $\sin ^{-1}(\sin x) = x - 2\pi$ का उपयोग करते हैं। अतः,$\sin ^{-1}(\sin (6)) = 6 - 2\pi$.
$3$. $\tan ^{-1}(\tan (12))$ के लिए: चूँकि $12 \in (3\pi + \frac{\pi}{2}, 4\pi + \frac{\pi}{2})$,हम $\tan ^{-1}(\tan x) = x - 4\pi$ का उपयोग करते हैं। अतः,$\tan ^{-1}(\tan (12)) = 12 - 4\pi$.
इन मानों को जोड़ने पर: $(2\pi - 5) + (6 - 2\pi) - (12 - 4\pi) = 2\pi - 5 + 6 - 2\pi - 12 + 4\pi = 4\pi - 11$.

(C) गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & -a & 5 \\ 2 & -2 & -a \end{vmatrix}$ है।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -1(a^2 + 10) - 1(-3a - 10) + 2(-6 + 2a)$
$= -a^2 - 10 + 3a + 10 - 12 + 4a = -a^2 + 7a - 12 = -(a-3)(a-4)$.
प्रणाली के असंगत होने या अनंत हल होने के लिए,हमारे पास $\Delta = 0$ होना चाहिए,जो $a = 3$ या $a = 4$ देता है।
अब,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -a & 5 \\ 7 & -2 & -a \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$\Delta_1 = 0(a^2 + 10) - 1(-a - 35) + 2(-2 + 7a) = a + 35 - 4 + 14a = 15a + 31$.
$a = 3$ के लिए,$\Delta_1 = 15(3) + 31 = 76 \neq 0$.
$a = 4$ के लिए,$\Delta_1 = 15(4) + 31 = 91 \neq 0$.
चूंकि $a=3$ और $a=4$ दोनों के लिए $\Delta = 0$ और $\Delta_1 \neq 0$ है,इसलिए प्रणाली इन मानों के लिए असंगत है। अतः,$S_1 = \{3, 4\}$ और $n(S_1) = 2$.
अनंत हलों के लिए,हमें $\Delta = 0$ और $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ की आवश्यकता है। चूंकि $a=3$ और $a=4$ के लिए $\Delta_1 \neq 0$ है,इसलिए $a$ का कोई ऐसा मान नहीं है जिसके लिए प्रणाली के अनंत हल हों। अतः,$S_2 = \emptyset$ और $n(S_2) = 0$।

(B) समतलों के समीकरण $P_{1}: x-2y-2z+1=0$ और $P_{2}: 2x-3y-6z+1=0$ हैं।
कोण समद्विभाजक का समीकरण $\left|\frac{x-2y-2z+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}\right| = \left|\frac{2x-3y-6z+1}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(-6)^2}}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
यह $\frac{x-2y-2z+1}{3} = \pm \frac{2x-3y-6z+1}{7}$ में सरल हो जाता है।
न्यून कोण समद्विभाजक निर्धारित करने के लिए,हम $a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} = (1)(2) + (-2)(-3) + (-2)(-6) = 2 + 6 + 12 = 20$ का चिह्न जाँचते हैं।
चूंकि $20 > 0$,ऋणात्मक चिह्न न्यून कोण समद्विभाजक देता है।
अतः,$\frac{x-2y-2z+1}{3} = -\frac{2x-3y-6z+1}{7}$.
$7(x-2y-2z+1) = -3(2x-3y-6z+1)$.
$7x-14y-14z+7 = -6x+9y+18z-3$.
$13x-23y-32z+10 = 0$.
बिंदु $\left(-2, 0, -\frac{1}{2}\right)$ की जाँच करने पर: $13(-2) - 23(0) - 32(-\frac{1}{2}) + 10 = -26 - 0 + 16 + 10 = 0$.
इसलिए,बिंदु $\left(-2, 0, -\frac{1}{2}\right)$ समतल $P$ पर स्थित है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ है।
$x^{2} dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{3}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x^{2}}$ और $Q(x) = \frac{1}{x^{3}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x^{2}} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y e^{-\frac{1}{x}} = \int \frac{1}{x^{3}} e^{-\frac{1}{x}} dx + C$.
माना $t = -\frac{1}{x}$,तो $dt = \frac{1}{x^{2}} dx$ और $\frac{1}{x} = -t$ है।
$y e^{-\frac{1}{x}} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$.
$t = -\frac{1}{x}$ रखने पर,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$ प्राप्त होता है।
$y(1) = 1$ दिया गया है,अतः $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$।
अतः,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) - e^{-1}$।
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$y e^{-2} = e^{-2}(1 + 2) - e^{-1} = 3e^{-2} - e^{-1}$।
$e^{-2}$ से भाग देने पर,$y = 3 - e^{-1} \cdot e^{2} = 3 - e$।

(A) दिया गया है $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$। चूँकि $f(2) = 0$,$8 - 24 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 16$।
चूँकि $f(4) = 0$,$64 - 96 + 4a + b = 0 \Rightarrow 4a + b = 32$।
इन्हें हल करने पर,$a = 8, b = 0$ प्राप्त होता है। अतः $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 8x$।
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 12x + 8$। $f^{\prime}(x) = 0$ के मूल $x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{48}}{6} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ हैं।
$(S_1)$ के लिए: $f^{\prime}(2) = -4$ और $f^{\prime}(4) = 8$। चूँकि $f^{\prime}(x)$ संतत है,मध्यमान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,ऐसा $x_{1} \in (2, 4)$ विद्यमान है कि $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ (क्योंकि $-1 \in (-4, 8)$)। साथ ही,$f^{\prime}(x)$ का एक मूल $x_{2} = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 3.15 \in (2, 4)$ है। चूँकि $f^{\prime}(3) = 27 - 36 + 8 = -1$,हमारे पास $x_{1} = 3 < x_{2} \approx 3.15$ है। अतः $(S_1)$ सत्य है।
$(S_2)$ के लिए: $f$,$(2, x_{4})$ पर ह्रासमान है और $(x_{4}, 4)$ पर वर्धमान है जहाँ $x_{4} = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}}$ है। $f(x_{4}) = (2 + \frac{2}{\sqrt{3}})^{3} - 6(2 + \frac{2}{\sqrt{3}})^{2} + 8(2 + \frac{2}{\sqrt{3}}) = -\frac{16}{3\sqrt{3}}$।
$2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4}) = \sqrt{3}(-\frac{16}{3\sqrt{3}}) = -\frac{16}{3} \approx -5.33$। अतः $f^{\prime}(x_{3}) = -\frac{8}{3} \approx -2.67$। चूँकि $f^{\prime}(x)$,$(2, 4)$ पर $[-4, 8]$ के सभी मान ग्रहण करता है,ऐसा $x_{3}$ विद्यमान है। अतः $(S_2)$ सत्य है।

(C) दिया गया है $J_{n, m}=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{n}}{x^{m}-1} d x$.
$i \leq j$ के लिए,$a_{i j}=J_{6+i, 3}-J_{i+3,3} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{6+i}-x^{i+3}}{x^{3}-1} d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{i+3}(x^{3}-1)}{x^{3}-1} d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{i+3} d x$.
समाकलन करने पर: $a_{i j} = \left[ \frac{x^{i+4}}{i+4} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{(1/2)^{i+4}}{i+4}$.
अतः,$a_{11} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$,$a_{12} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$,$a_{13} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$.
$a_{22} = \frac{(1/2)^{6}}{6} = \frac{1}{6 \cdot 2^{6}}$,$a_{23} = \frac{(1/2)^{6}}{6} = \frac{1}{6 \cdot 2^{6}}$.
$a_{33} = \frac{(1/2)^{7}}{7} = \frac{1}{7 \cdot 2^{7}}$.
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} & \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} & \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} \\ 0 & \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} & \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{7 \cdot 2^{7}} \end{bmatrix}$.
$|A| = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} \cdot \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2^{7}} = \frac{1}{210 \cdot 2^{18}}$.
हमें $|\operatorname{adj} A^{-1}| = |A^{-1}|^{3-1} = |A^{-1}|^{2} = \frac{1}{|A|^{2}} = (210 \cdot 2^{18})^{2} = (2 \cdot 105)^{2} \cdot 2^{36} = 4 \cdot (105)^{2} \cdot 2^{36} = (105)^{2} \cdot 2^{38}$.

(A) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन $A = \int_{0}^{\pi/2} |(\sin x + \cos x) - |\cos x - \sin x|| dx$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
चूंकि $0 \le x \le \pi/4$ के लिए $|\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x$ और $\pi/4 \le x \le \pi/2$ के लिए $\sin x - \cos x$ होता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{\pi/4} ((\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x)) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} ((\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)) dx$.
व्यंजकों को सरल करने पर:
$A = \int_{0}^{\pi/4} 2 \sin x dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \cos x dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = 2[-\cos x]_{0}^{\pi/4} + 2[\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$.
$A = 2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + 2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$A = 4(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 4 - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$.

(C) दी गई रेखा दो समतलों के प्रतिच्छेदन से बनी है: $3y - 2z - 1 = 0$ और $3x - z + 4 = 0$।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = (0, 3, -2)$ और $\vec{n_2} = (3, 0, -1)$ का क्रॉस गुणनफल है।
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-3, -6, -9)$।
दिशा अनुपात को $(1, 2, 3)$ के रूप में लिया जा सकता है।
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$z = 1$ रखने पर,$y = 1$ और $x = -1$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $P = (-1, 1, 1)$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q = (\lambda - 1, 2\lambda + 1, 3\lambda + 1)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (\lambda - 3, 2\lambda + 2, 3\lambda - 5)$ रेखा की दिशा $(1, 2, 3)$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$1(\lambda - 3) + 2(2\lambda + 2) + 3(3\lambda - 5) = 0 \Rightarrow 14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$।
बिंदु $Q = (0, 3, 4)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, -1, 6)$ से $(0, 3, 4)$ की दूरी $\sqrt{(0-2)^2 + (3 - (-1))^2 + (4-6)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।

(D) मान लीजिए कि लघुगणक का तर्क $g(x) = 3 + \cos(\frac{3\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} - x) - \cos(\frac{3\pi}{4} - x)$ है।
योग से गुणनफल के सूत्रों $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ और $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$g(x) = 3 + [\cos(\frac{3\pi}{4} + x) - \cos(\frac{3\pi}{4} - x)] + [\cos(\frac{\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} - x)]$
$g(x) = 3 - 2\sin(\frac{3\pi}{4})\sin(x) + 2\cos(\frac{\pi}{4})\cos(x)$
चूंकि $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है:
$g(x) = 3 - 2(\frac{1}{\sqrt{2}})\sin(x) + 2(\frac{1}{\sqrt{2}})\cos(x) = 3 + \sqrt{2}(\cos x - \sin x)$.
हम जानते हैं कि $-\sqrt{2} \leq \cos x - \sin x \leq \sqrt{2}$.
अतः,$3 + \sqrt{2}(-\sqrt{2}) \leq g(x) \leq 3 + \sqrt{2}(\sqrt{2})$,
जो सरल होकर $3 - 2 \leq g(x) \leq 3 + 2$,अर्थात $1 \leq g(x) \leq 5$ हो जाता है।
चूंकि $f(x) = \log_{\sqrt{5}}(g(x))$,परिसर $[\log_{\sqrt{5}}(1), \log_{\sqrt{5}}(5)]$ है।
चूंकि $\log_{\sqrt{5}}(1) = 0$ और $\log_{\sqrt{5}}(5) = 2$ है,इसलिए परिसर $[0, 2]$ है।

(D) दिया गया समाकल समीकरण: $f(x)=x+\int_{0}^{\pi / 2} \sin x \cos y f(y) dy$.
चूंकि $\sin x$,$y$ से स्वतंत्र है,हम लिख सकते हैं: $f(x)=x+\sin x \int_{0}^{\pi / 2} \cos y f(y) dy$.
मान लीजिए $K = \int_{0}^{\pi / 2} \cos y f(y) dy$. तब $f(x) = x + K \sin x$.
$f(y) = y + K \sin y$ को $K$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \int_{0}^{\pi / 2} \cos y (y + K \sin y) dy = \int_{0}^{\pi / 2} y \cos y dy + K \int_{0}^{\pi / 2} \sin y \cos y dy$.
प्रथम समाकल के लिए खंडशः समाकलन $(IBP)$ का उपयोग करने पर: $\int y \cos y dy = y \sin y + \cos y$.
$0$ से $\pi/2$ की सीमाएं रखने पर: $[y \sin y + \cos y]_{0}^{\pi/2} = (\frac{\pi}{2} - 1)$.
दूसरे समाकल के लिए: $\int_{0}^{\pi / 2} \sin y \cos y dy = [\frac{\sin^2 y}{2}]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$K = (\frac{\pi}{2} - 1) + K(\frac{1}{2})$.
$K - \frac{K}{2} = \frac{\pi}{2} - 1 \Rightarrow \frac{K}{2} = \frac{\pi-2}{2} \Rightarrow K = \pi - 2$.
इसलिए $f(x) = x + (\pi - 2) \sin x$.

(A) प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\frac{1}{5} + a + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + b = 1 \implies a + b = \frac{4}{15} \dots (1)$
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 2.3 = \frac{23}{10}$.
$-2(\frac{1}{5}) - 1(a) + 3(\frac{1}{3}) + 4(\frac{1}{5}) + 6(b) = \frac{23}{10}$
$-\frac{2}{5} - a + 1 + \frac{4}{5} + 6b = \frac{23}{10} \implies -a + 6b = \frac{9}{10} \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$b = \frac{1}{6}$ और $a = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
प्रसरण $\sigma^{2} = E(X^{2}) - (E(X))^{2}$.
$E(X^{2}) = 4(\frac{1}{5}) + 1(\frac{1}{10}) + 9(\frac{1}{3}) + 16(\frac{1}{5}) + 36(\frac{1}{6}) = \frac{131}{10} = 13.1$.
$\sigma^{2} = 13.1 - (2.3)^{2} = 13.1 - 5.29 = 7.81$.
अतः,$100 \sigma^{2} = 781$.

(A) दिया गया है कि $f(k) = -\frac{2}{k}$,जिसे हम $k f(k) + 2 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $k = 2, 3, 4, 5$ है।
मान लीजिए $g(x) = x f(x) + 2$ है। चूंकि $f(x)$ घात $3$ का बहुपद है,इसलिए $g(x)$ घात $4$ का बहुपद होगा।
चूंकि $k = 2, 3, 4, 5$ के लिए $g(k) = 0$ है,हम $g(x) = \lambda(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक स्थिरांक है।
$\lambda$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=0$ रखने पर: $g(0) = 0 \cdot f(0) + 2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$2 = \lambda(0-2)(0-3)(0-4)(0-5) = \lambda(120)$,जिससे $\lambda = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$ प्राप्त होता है।
अब,$10 f(10) + 2 = g(10) = \frac{1}{60}(10-2)(10-3)(10-4)(10-5) = \frac{1}{60}(8)(7)(6)(5) = \frac{1680}{60} = 28$ है।
इस प्रकार,$10 f(10) = 28 - 2 = 26$ है।
अंत में,$52 - 10 f(10) = 52 - 26 = 26$ है।

(D) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{c}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में है,$\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$।
चूंकि $\vec{v} \perp \vec{c}$,$\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$। साथ ही,$\vec{v}$,समतल के अभिलंब $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ के भी लंबवत है।
अतः,$\vec{v}$,$\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})$ के समांतर है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{v} = \lambda [(\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b}]$।
अदिश गुणनफल की गणना करते हुए: $\vec{c} \cdot \vec{b} = (3)(1) + (2)(2) + (-1)(-1) = 3+4+1 = 8$।
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (3)(2) + (2)(-1) + (-1)(2) = 6-2-2 = 2$।
अतः,$\vec{v} = \lambda [8(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) - 2(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})] = \lambda [16 \hat{i}-8 \hat{j}+16 \hat{k} - 2 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k}] = \lambda [14 \hat{i}-12 \hat{j}+18 \hat{k}]$।
$\vec{a}$ पर $\vec{v}$ का प्रक्षेप $\frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = 19$ है।
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{9} = 3$।
$\vec{v} \cdot \vec{a} = \lambda [14(2) - 12(-1) + 18(2)] = \lambda [28+12+36] = 76\lambda$।
अतः,$\frac{76\lambda}{3} = 19 \Rightarrow 76\lambda = 57 \Rightarrow \lambda = \frac{57}{76} = \frac{3}{4}$।
इस प्रकार,$\vec{v} = \frac{3}{4} [14 \hat{i}-12 \hat{j}+18 \hat{k}] = \frac{3}{2} [7 \hat{i}-6 \hat{j}+9 \hat{k}]$।
$|2\vec{v}|^2 = 4|\vec{v}|^2 = 4 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times (14^2 + (-12)^2 + 18^2) = 4 \times \frac{9}{16} \times (196 + 144 + 324) = \frac{9}{4} \times 664 = 9 \times 166 = 1494$।

(A) फलन $f(x)=[x]|x^{2}-1|+\sin \left(\frac{\pi}{[x]+3}\right)-[x+1]$ के रूप में $x \in (-2, 2)$ के लिए परिभाषित है।
हम पूर्णांक मानों $x \in \{-1, 0, 1\}$ पर $[x]$ और $[x+1]$ के व्यवहार की जाँच करके असंततता के बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं।
$x \in (-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$ और $[x+1] = -1$ है। अतः,$f(x) = -2|x^2-1| + \sin(\pi/1) - (-1) = -2|x^2-1| + 1$ है।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$ और $[x+1] = 0$ है। अतः,$f(x) = -1|x^2-1| + \sin(\pi/2) - 0 = -|x^2-1| + 1$ है।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$ और $[x+1] = 1$ है। अतः,$f(x) = 0|x^2-1| + \sin(\pi/3) - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$ है।
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$ और $[x+1] = 2$ है। अतः,$f(x) = 1|x^2-1| + \sin(\pi/4) - 2 = |x^2-1| + \frac{1}{\sqrt{2}} - 2$ है।
फलन उन बिंदुओं पर असंतत है जहाँ फ्लोर फलन के मान बदलते हैं,जो $x = -1, 0, 1$ हैं। इन बिंदुओं पर सीमाओं की जाँच करने से असंततता की पुष्टि होती है। अतः,असंततता के $3$ बिंदु हैं।

(D) दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$,जिसका अर्थ है $|\vec{a}| = 3$.
दिया गया है $|\vec{c} - \vec{a}| = 2\sqrt{2}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|$,मान लीजिए $|\vec{c}| = c$. तब $c^2 + 9 - 2c = 8$.
$c^2 - 2c + 1 = 0 \Rightarrow (c - 1)^2 = 0 \Rightarrow c = 1$. अतः,$|\vec{c}| = 1$.
अब,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
क्रॉस उत्पाद का परिमाण $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \sin(\theta)$,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$.
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = (3)(1) \sin(\frac{\pi}{6}) = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.