फलन f(x),जो शर्त f(x)=x+int_{0}^{pi / 2} sin | vedclass

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Question

(D) दिया गया समाकल समीकरण: $f(x)=x+\int_{0}^{\pi / 2} \sin x \cos y f(y) dy$. चूंकि $\sin x$,$y$ से स्वतंत्र है,हम लिख सकते हैं: $f(x)=x+\sin x \int_{

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$x+(\pi-2) \sin x$

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(D) दिया गया समाकल समीकरण: $f(x)=x+\int_{0}^{\pi / 2} \sin x \cos y f(y) dy$. चूंकि $\sin x$,$y$ से स्वतंत्र है,हम लिख सकते हैं: $f(x)=x+\sin x \int_{0}^{\pi / 2} \cos y f(y) dy$. मान लीजिए $K = \int_{0}^{\pi / 2} \cos y f(y) dy$. तब $f(x) = x + K \sin x$. $f(y) = y + K \sin y$ को $K$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $K = \int_{0}^{\pi / 2} \cos y (y + K \sin y) dy = \int_{0}^{\pi / 2} y \cos y dy + K \int_{0}^{\pi / 2} \sin y \cos y dy$. प्रथम समाकल के लिए खंडशः समाकलन $(IBP)$ का उपयोग करने पर: $\int y \cos y dy = y \sin y + \cos y$. $0$ से $\pi/2$ की सीमाएं रखने पर: $[y \sin y + \cos y]_{0}^{\pi/2} = (\frac{\pi}{2} - 1)$. दूसरे समाकल के लिए: $\int_{0}^{\pi / 2} \sin y \cos y dy = [\frac{\sin^2 y}{2}]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}$. अतः,$K = (\frac{\pi}{2} - 1) + K(\frac{1}{2})$. $K - \frac{K}{2} = \frac{\pi}{2} - 1 \Rightarrow \frac{K}{2} = \frac{\pi-2}{2} \Rightarrow K = \pi - 2$. इसलिए $f(x) = x + (\pi - 2) \sin x$.

फलन $f(x)$,जो शर्त $f(x)=x+\int_{0}^{\pi / 2} \sin x \cdot \cos y f(y) dy$ को संतुष्ट करता है,वह है:

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