JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) $F_{1}(A, B, C) = (A \wedge \sim B) \vee [\sim C \wedge (A \vee B)] \vee \sim A$ के लिए:
वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$F_{1} = [(A \wedge \sim B) \vee \sim A] \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$
$F_{1} = [(A \vee \sim A) \wedge (\sim B \vee \sim A)] \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$
चूंकि $(A \vee \sim A) = t$ (पुनरुक्ति):
$F_{1} = [t \wedge (\sim A \vee \sim B)] \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$
$F_{1} = (\sim A \vee \sim B) \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$.
यह व्यंजक $A, B, C$ के मानों पर निर्भर करता है,इसलिए यह पुनरुक्ति नहीं है।
$F_{2}(A, B) = (A \vee B) \vee (B \rightarrow \sim A)$ के लिए:
निहितार्थ नियम $(P \rightarrow Q) = (\sim P \vee Q)$ का उपयोग करते हुए:
$F_{2} = (A \vee B) \vee (\sim B \vee \sim A)$
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों द्वारा:
$F_{2} = (A \vee \sim A) \vee (B \vee \sim B)$
$F_{2} = t \vee t = t$.
अतः,$F_{2}$ एक पुनरुक्ति है।

(B) माना वृत्त पर स्थित बिंदु $(\cos \theta, \sin \theta)$ है।
माना $(3, 2)$ और $(\cos \theta, \sin \theta)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु $P(h, k)$ है।
अतः,$h = \frac{\cos \theta + 3}{2}$ और $k = \frac{\sin \theta + 2}{2}$ है।
इससे $\cos \theta = 2h - 3$ और $\sin \theta = 2k - 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$,इसलिए $(2h - 3)^{2} + (2k - 2)^{2} = 1$ होगा।
$4$ से भाग देने पर,$(h - \frac{3}{2})^{2} + (k - 1)^{2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
यह $r = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(A) दिया गया है कि $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \frac{\pi}{4}$ जहाँ $0 < a, b < 1$ है।
सूत्र $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left(\frac{a+b}{1-ab}\right) = \frac{\pi}{4}$ का उपयोग करने पर।
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,हमें $\frac{a+b}{1-ab} = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = 1-ab$,जिसका अर्थ है $a+b+ab = 1$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1+a+b+ab = 2$ प्राप्त होता है,जिसे $(1+a)(1+b) = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दी गई श्रेणी $S = \left(a - \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{3} - \dots\right) + \left(b - \frac{b^2}{2} + \frac{b^3}{3} - \dots\right)$ है।
लघुगणकीय विस्तार $\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ का उपयोग करने पर,जहाँ $|x| < 1$:
$S = \log_e(1+a) + \log_e(1+b) = \log_e((1+a)(1+b))$ है।
$(1+a)(1+b) = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S = \log_e 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $T_n = \frac{n^2+6n+10}{(2n+1)!}$.
अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$n^2+6n+10 = \frac{1}{4}((2n+1)^2 + 10(2n+1) + 29)$.
अतः,$T_n = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{(2n-1)!} + \frac{11}{(2n)!} + \frac{29}{(2n+1)!} \right]$.
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$S = \frac{1}{4} \left[ \frac{e-e^{-1}}{2} + 11 \frac{e+e^{-1}-2}{2} + 29 \frac{e-e^{-1}-2}{2} \right]$
$S = \frac{41}{8}e - \frac{19}{8}e^{-1} - 10$.

(A) मान लीजिए $P$ वृत्त $(x-1)^{2} + (y-1)^{2} = 1$ पर एक बिंदु है।
हम $P$ को $(1 + \cos \theta, 1 + \sin \theta)$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए $A(1, 4)$ और $B(1, -5)$ के लिए,$(PA)^{2} + (PB)^{2}$ की गणना करते हैं:
$(PA)^{2} = (1 + \cos \theta - 1)^{2} + (1 + \sin \theta - 4)^{2} = 10 - 6 \sin \theta$.
$(PB)^{2} = (1 + \cos \theta - 1)^{2} + (1 + \sin \theta + 5)^{2} = 37 + 12 \sin \theta$.
योग करने पर,$(PA)^{2} + (PB)^{2} = 47 + 6 \sin \theta$.
यह व्यंजक तब अधिकतम होता है जब $\sin \theta = 1$ हो।
$\sin \theta = 1$ के लिए,$\cos \theta = 0$,अतः $P = (1, 2)$ है।
बिंदु $P(1, 2)$,$A(1, 4)$ और $B(1, -5)$ हैं।
चूंकि सभी बिंदुओं का $x$-निर्देशांक $1$ है,वे सभी रेखा $x = 1$ पर स्थित हैं,जो एक सीधी रेखा है।

(C) दिए गए अंक $3, 3, 4, 4, 4, 5, 5$ हैं। कुल अंकों की संख्या $7$ है।
बनने वाली $7$ अंकों की कुल संख्याएँ:
$\text{कुल संख्याएँ} = \frac{7!}{2! \times 3! \times 2!} = 210$.
एक संख्या $2$ से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक सम हो। यहाँ,उपलब्ध एकमात्र सम अंक $4$ है।
यदि अंतिम अंक $4$ निश्चित है,तो शेष $6$ अंक: $3, 3, 4, 4, 5, 5$ हैं।
ऐसी $7$ अंकों की संख्याओं की संख्या:
$\text{अनुकूल संख्याएँ} = \frac{6!}{2! \times 2! \times 2!} = 90$.
संख्या के $2$ से विभाज्य होने की प्रायिकता:
$P = \frac{90}{210} = \frac{3}{7}$.

(B) दिया गया है $|z+5| \leq 4$। मान लीजिए $z = x+iy$ है। तो $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ (केंद्र $(-5, 0)$ और त्रिज्या $4$ वाला वृत्त)।
दिया गया है $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \geq -10$। $z=x+iy$ और $\bar{z}=x-iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+iy)(1+i) + (x-iy)(1-i) \geq -10$
$(x-y + i(x+y)) + (x-y - i(x+y)) \geq -10$
$2(x-y) \geq -10 \implies x-y+5 \geq 0$.
हमें $|z+1|^2$ को अधिकतम करना है,जो बिंदु $P(-1, 0)$ से $z$ की दूरी का वर्ग है।
क्षेत्र वृत्त $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ और अर्ध-तल $x-y+5 \geq 0$ का प्रतिच्छेदन है।
$P(-1, 0)$ से क्षेत्र के बिंदुओं की अधिकतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम सीमा बिंदुओं की जाँच करते हैं। अधिकतम मान रेखा $x-y+5=0$ और वृत्त $(x+5)^2 + y^2 = 16$ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्राप्त होता है।
वृत्त के समीकरण में $y = x+5$ रखने पर:
$(x+5)^2 + (x+5)^2 = 16 \implies 2(x+5)^2 = 16 \implies (x+5)^2 = 8 \implies x+5 = \pm 2\sqrt{2}$.
अतः $x = -5 \pm 2\sqrt{2}$।
यदि $x = -5 - 2\sqrt{2}$,तो $y = x+5 = -2\sqrt{2}$। बिंदु $B = (-5-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$।
यदि $x = -5 + 2\sqrt{2}$,तो $y = x+5 = 2\sqrt{2}$। बिंदु $A = (-5+2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$।
$P(-1, 0)$ से दूरी के वर्ग की गणना:
$PB^2 = (-5-2\sqrt{2} - (-1))^2 + (-2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4-2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 + 16\sqrt{2}) + 8 = 32 + 16\sqrt{2}$.
$PA^2 = (-5+2\sqrt{2} - (-1))^2 + (2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4+2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 - 16\sqrt{2}) + 8 = 32 - 16\sqrt{2}$.
अधिकतम मान $32 + 16\sqrt{2}$ है।
अतः $\alpha = 32$ और $\beta = 16$।
$\alpha + \beta = 32 + 16 = 48$.

(D) चूंकि वक्र के सभी बिंदुओं पर अभिलंब एक निश्चित बिंदु $(a, b)$ से होकर गुजरते हैं,इसलिए वक्र एक वृत्त होना चाहिए जिसका केंद्र $(a, b)$ है।
वृत्त पर स्थित बिंदु $A(3, -3)$ और $B(4, -2\sqrt{2})$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए केंद्र $C(a, b)$ से उनकी दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है।
अतः,$CA^{2} = CB^{2}$.
$(a - 3)^{2} + (b + 3)^{2} = (a - 4)^{2} + (b + 2\sqrt{2})^{2}$
$a^{2} - 6a + 9 + b^{2} + 6b + 9 = a^{2} - 8a + 16 + b^{2} + 4\sqrt{2}b + 8$
$-6a + 6b + 18 = -8a + 4\sqrt{2}b + 24$
$2a + (6 - 4\sqrt{2})b = 6$
$2$ से विभाजित करने पर,$a + (3 - 2\sqrt{2})b = 3$ प्राप्त होता है।
$a + 3b - 2\sqrt{2}b = 3$
$a - 2\sqrt{2}b + 3b = 3 \quad ... (1)$
दिया गया है कि $a - 2\sqrt{2}b = 3 \quad ... (2)$
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$3 + 3b = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3b = 0$,इसलिए $b = 0$.
$b = 0$ को $(2)$ में रखने पर,$a - 2\sqrt{2}(0) = 3$,इसलिए $a = 3$.
अतः,$a^{2} + b^{2} + ab = (3)^{2} + (0)^{2} + (3)(0) = 9 + 0 + 0 = 9$.

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^{2} - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$ के मूल हैं।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^{2} - \alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha^{n+1} = \alpha^{n} + \alpha^{n-1}$
$\beta^{2} - \beta - 1 = 0 \Rightarrow \beta^{n+1} = \beta^{n} + \beta^{n-1}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) = (\alpha^{n} + \beta^{n}) + (\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$
यह पुनरावृत्ति संबंध $p_{n+1} = p_{n} + p_{n-1}$ को दर्शाता है।
$p_{n+1} = 29$ और $p_{n-1} = 11$ दिए गए हैं,इसलिए:
$29 = p_{n} + 11$
$p_{n} = 29 - 11 = 18$.
अतः,$p_{n}^{2} = 18^{2} = 324$.

(C) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = -16$ और सार्व अनुपात $r = -1/2$ है।
$n^{\text{th}}$ पद $t_{n} = a r^{n-1} = -16(-1/2)^{n-1}$ है।
$t_{p}$ और $t_{q}$ का समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य $x_{1}$ और $x_{2}$ हैं। समीकरण $4x^{2}-9x+5=0$ के मूल $x = 1$ और $x = 5/4$ हैं।
चूंकि समांतर माध्य > गुणोत्तर माध्य,इसलिए $AM = 5/4$ और $GM = 1$ होगा।
$AM = (t_{p} + t_{q})/2 = 5/4 \Rightarrow t_{p} + t_{q} = 5/2$.
$GM = \sqrt{t_{p} t_{q}} = 1 \Rightarrow t_{p} t_{q} = 1$.
$t_{p} = -16(-1/2)^{p-1}$ और $t_{q} = -16(-1/2)^{q-1}$ रखने पर:
$t_{p} t_{q} = 256(-1/2)^{p+q-2} = 1 \Rightarrow (-1/2)^{p+q-2} = 1/256 = (1/2)^{8}$.
चूंकि $(-1/2)^{p+q-2} = (1/2)^{8}$,इसलिए $p+q-2$ का मान $8$ के बराबर होना चाहिए।
$p+q-2 = 8 \Rightarrow p+q = 10$.

(A) माना $N$ एक $4$-अंकों की संख्या है जिसके लिए $\gcd(N, 18) = 3$ है।
चूँकि $\gcd(N, 18) = 3$,$N$ को $3$ का गुणज होना चाहिए लेकिन $2$ का गुणज नहीं (क्योंकि $18 = 2 \times 3^2$) और $9$ का गुणज भी नहीं होना चाहिए।
अतः,$N$ को $3$ का एक विषम गुणज होना चाहिए जो $9$ से विभाज्य न हो।
पहले,$4$-अंकों के $3$ के विषम गुणजों की संख्या ज्ञात करें:
सबसे छोटी संख्या $1005$ और सबसे बड़ी $9999$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है: $1005, 1011, \dots, 9999$।
पदों की संख्या $\frac{9999 - 1005}{6} + 1 = 1500$ है।
अब,$4$-अंकों के $9$ के विषम गुणजों की संख्या ज्ञात करें:
सबसे छोटी संख्या $1017$ और सबसे बड़ी $9999$ है।
पदों की संख्या $\frac{9999 - 1017}{18} + 1 = 500$ है।
अतः,ऐसी संख्याओं $N$ की कुल संख्या $1500 - 500 = 1000$ है।

(A) दिए गए वक्र $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ (दीर्घवृत्त) और $x^{2} + y^{2} = \frac{31}{4}$ (वृत्त) हैं।
मान लीजिए कि उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का ढाल $m$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2} + b^{2}}$ है।
यहाँ $a^{2} = 9$ और $b^{2} = 4$,इसलिए स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{9m^{2} + 4}$ है।
वृत्त $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm r\sqrt{1 + m^{2}}$ है।
यहाँ $r^{2} = \frac{31}{4}$,इसलिए स्पर्श रेखा $y = mx \pm \frac{\sqrt{31}}{2}\sqrt{1 + m^{2}}$ है।
रेखाओं के समान होने के लिए,अचर पद समान होने चाहिए:
$9m^{2} + 4 = \frac{31}{4}(1 + m^{2})$.
$4$ से गुणा करने पर,हमें $36m^{2} + 16 = 31 + 31m^{2}$ प्राप्त होता है।
$5m^{2} = 15$.
$m^{2} = 3$.

(B) मान लीजिए $f(x) = 2x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+10x+10$ है।
सबसे पहले,मूल का स्थान ज्ञात करने के लिए पूर्णांक बिंदुओं पर फलन का मान निकालते हैं।
$f(-2) = 2(-32) + 5(16) + 10(-8) + 10(4) + 10(-2) + 10 = -34$.
$f(-1) = 2(-1) + 5(1) + 10(-1) + 10(1) + 10(-1) + 10 = 3$.
चूंकि $f(-2) < 0$ और $f(-1) > 0$ है,इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,अंतराल $(-2, -1)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल है।
अब,वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए अवकलन की जाँच करते हैं।
$f'(x) = 10x^{4} + 20x^{3} + 30x^{2} + 20x + 10 = 10(x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1)$.
यहाँ $x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1 = (x^{2} + x + 1)^{2}$ है।
अतः,$f'(x) = 10(x^{2} + x + 1)^{2}$ है।
$x^{2} + x + 1$ का विविक्तकर (discriminant) $1 - 4 = -3$ है,जो ऋणात्मक है,इसलिए यह सभी वास्तविक $x$ के लिए धनात्मक है।
इस प्रकार,$f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ निरंतर वर्धमान फलन है और इसका केवल एक वास्तविक मूल है।
चूंकि मूल $(-2, -1)$ में स्थित है,इसलिए $a = -2$ है। अतः,$|a| = |-2| = 2$।

(A) दिया गया है $\sum_{i=1}^{18}(X_{i}-\alpha)=36 \implies \sum X_{i} - 18\alpha = 36 \implies \sum X_{i} = 18(\alpha+2)$.
दिया गया है $\sum_{i=1}^{18}(X_{i}-\beta)^{2}=90 \implies \sum X_{i}^{2} - 2\beta \sum X_{i} + 18\beta^{2} = 90$.
$\sum X_{i} = 18(\alpha+2)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sum X_{i}^{2} = 90 - 18\beta^{2} + 36\beta(\alpha+2)$.
प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{\sum X_{i}^{2}}{18} - (\frac{\sum X_{i}}{18})^{2} = 1^{2} = 1$.
मान रखने पर: $\frac{90 - 18\beta^{2} + 36\beta(\alpha+2)}{18} - (\alpha+2)^{2} = 1$.
$5 - \beta^{2} + 2\beta(\alpha+2) - (\alpha^{2} + 4\alpha + 4) = 1$.
$5 - \beta^{2} + 2\alpha\beta + 4\beta - \alpha^{2} - 4\alpha - 4 = 1$.
$-(\alpha^{2} - 2\alpha\beta + \beta^{2}) + 4(\beta - \alpha) = 0$.
$-(\alpha-\beta)^{2} - 4(\alpha-\beta) = 0$.
$(\alpha-\beta)^{2} + 4(\alpha-\beta) = 0$.
$(\alpha-\beta)(\alpha-\beta+4) = 0$.
चूंकि $\alpha \neq \beta$,इसलिए $\alpha-\beta = -4$,अतः $|\alpha-\beta| = 4$.

(A) दिया गया समीकरण $\frac{\cos x}{1+\sin x} = |\tan 2x|$ है।
ध्यान दें कि $\frac{\cos x}{1+\sin x} = \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$.
अतः,$\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = |\tan 2x|$.
चूँकि बायाँ पक्ष अ-ऋणात्मक होना चाहिए,$\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \ge 0$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\tan^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \tan^2 2x$.
इससे $\tan 2x = \pm \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $x = \frac{2n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$। $n=0$ के लिए $x=\frac{\pi}{10}$,$n=-1$ के लिए $x=-\frac{3\pi}{10}$।
स्थिति $2$: $x = \frac{2n\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$। $n=0$ के लिए $x=-\frac{\pi}{6}$।
हलों का योग $\frac{\pi}{10} - \frac{3\pi}{10} - \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{30}$ है।

(D) दिया गया है: $n = 20$,$\bar{x} = 10$,$\sigma = 2.5$।
प्रेक्षणों का गलत योग: $\Sigma x_i = n \times \bar{x} = 20 \times 10 = 200$।
प्रेक्षणों का सही योग: $\Sigma x_i = 200 - 25 + 35 = 210$।
सही माध्य $\alpha = \frac{210}{20} = 10.5$।
वर्गों का गलत योग: $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 \implies (2.5)^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{20} - 10^2$।
$6.25 = \frac{\Sigma x_i^2}{20} - 100 \implies \Sigma x_i^2 = 20 \times 106.25 = 2125$।
वर्गों का सही योग: $\Sigma x_i^2 = 2125 - 25^2 + 35^2 = 2125 - 625 + 1225 = 2725$।
सही प्रसरण $\beta = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\alpha)^2 = \frac{2725}{20} - (10.5)^2 = 136.25 - 110.25 = 26$।
अतः,$(\alpha, \beta) = (10.5, 26)$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ है। यहाँ $a^{2}=8$ और $b^{2}=4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4}{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
नाभियाँ $S(-2, 0)$ और $S'(2, 0)$ हैं।
रेखा $x+2y=0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $y=2x+k$ है।
स्पर्शरेखा की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ से $c^{2} = 8(4)+4 = 36$,अतः $c=6$ (दूसरे चतुर्थांश के लिए)।
स्पर्श बिंदु $P(-\frac{8}{3}, \frac{2}{3})$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज $SPS'$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ है।
अतः,$(5-e^{2}) \cdot A = (5 - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{3} = 6$।

(A) माना योग $S = \sum_{k=0}^{100} \frac{2^k}{x^{2^k}+1}$ है।
हम सर्वसमिका $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$ का उपयोग करते हैं।
सामान्य रूप से,$\frac{2^k}{x^{2^k}-1} - \frac{2^k}{x^{2^k}+1} = \frac{2^{k+1}}{x^{2^{k+1}}-1}$।
अतः,$\frac{2^k}{x^{2^k}+1} = \frac{2^k}{x^{2^k}-1} - \frac{2^{k+1}}{x^{2^{k+1}}-1}$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है।
$S = \left( \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} \right) + \left( \frac{2}{x^2-1} - \frac{4}{x^4-1} \right) + \ldots + \left( \frac{2^{100}}{x^{2^{100}}-1} - \frac{2^{101}}{x^{2^{101}}-1} \right)$।
$S = \frac{1}{x-1} - \frac{2^{101}}{x^{2^{101}}-1}$।
$x=2$ रखने पर,$S = \frac{1}{2-1} - \frac{2^{101}}{2^{2^{101}}-1} = 1 - \frac{2^{101}}{2^{2^{101}}-1}$।

(D) हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ और $\sum_{r=0}^{n} r(r-1) \cdot {}^{n}C_{r} = n(n-1) \cdot 2^{n-2}$.
हम $r^{2} = r(r-1) + r$ लिख सकते हैं।
अतः,$\sum_{r=0}^{20} r^{2} \cdot {}^{20}C_{r} = \sum_{r=0}^{20} [r(r-1) + r] \cdot {}^{20}C_{r}$.
$= \sum_{r=0}^{20} r(r-1) \cdot {}^{20}C_{r} + \sum_{r=0}^{20} r \cdot {}^{20}C_{r}$.
$n=20$ के साथ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$= 20 \times 19 \times 2^{20-2} + 20 \times 2^{20-1}$.
$= 380 \times 2^{18} + 20 \times 2^{19}$.
$= 380 \times 2^{18} + 40 \times 2^{18}$.
$= (380 + 40) \times 2^{18} = 420 \times 2^{18}$.

(A) माना $A$ हृदय रोग वाले रोगियों का समुच्चय है और $B$ फेफड़ों के संक्रमण वाले रोगियों का समुच्चय है।
दिया गया है कि $n(A) = 89\%$ और $n(B) = 98\%$.
हम जानते हैं कि $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
चूंकि $n(A \cup B) \leq 100\%$,इसलिए $89 + 98 - n(A \cap B) \leq 100$.
$187 - n(A \cap B) \leq 100 \implies n(A \cap B) \geq 87$.
साथ ही,$n(A \cap B)$ दोनों समुच्चयों में से छोटे से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए $n(A \cap B) \leq 89$.
अतः,$87 \leq K \leq 89$.
इसलिए,$K$ को $[87, 89]$ अंतराल में होना चाहिए।
विकल्पों की जांच करने पर,समुच्चय $\{79, 81, 83, 85\}$ में ऐसे मान हैं जो $[87, 89]$ अंतराल में नहीं हैं।

(B) माना $z = x + iy$ है। समीकरण $\arg \left(\frac{z-1}{z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$ बिंदु $z$ के उस बिंदुपथ को दर्शाता है जिसके लिए $A(1, 0)$ और $B(-1, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $z$ पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
यह $A(1, 0)$ और $B(-1, 0)$ से गुजरने वाले वृत्त का एक चाप है।
माना वृत्त का केंद्र $C(0, k)$ है। चूंकि परिधि पर कोण $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $C$ पर अंतरित कोण $2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ होगा।
$\triangle OAC$ में (जहाँ $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है),$\angle COA = 90^\circ$ और $\angle OCA = \frac{\pi}{4}$ है।
चूंकि $OA = 1$ है,हमारे पास $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{OA}{OC} = \frac{1}{OC} = 1$ है,जिसका अर्थ है $OC = 1$ है।
अतः,केंद्र $C(0, 1)$ है।
त्रिज्या $R = AC = \sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
इसलिए,वृत्त का केंद्र $(0, 1)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $4x^{2}+4y^{2}+120x+675=0$ है,जिसे $x^{2}+y^{2}+30x+\frac{675}{4}=0$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x+15)^{2}+y^{2} = 225 - \frac{675}{4} = \frac{225}{4}$।
अतः,केंद्र $(-15, 0)$ और त्रिज्या $R = \frac{15}{2}$ है।
बिंदु $(-30, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = m(x+30)$ या $mx - y + 30m = 0$ है।
यह रेखा परवलय $y^{2}=30x$ की स्पर्श रेखा है। $y=mx+c$ के $y^{2}=4ax$ को स्पर्श करने की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
यहाँ $4a=30 \Rightarrow a = \frac{15}{2}$ है। रेखा $y = mx + 30m$ है,इसलिए $c = 30m$ है।
अतः,$30m = \frac{15/2}{m}$ $\Rightarrow 60m^{2} = 15$ $\Rightarrow m^{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{2}$।
$m = \frac{1}{2}$ लेने पर,रेखा $x - 2y + 30 = 0$ प्राप्त होती है।
केंद्र $(-15, 0)$ से रेखा $x - 2y + 30 = 0$ की लंबवत दूरी $P$:
$P = \frac{|-15 - 2(0) + 30|}{\sqrt{1^{2} + (-2)^{2}}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{R^{2}-P^{2}} = 2\sqrt{(\frac{15}{2})^{2} - (3\sqrt{5})^{2}} = 2\sqrt{\frac{225}{4} - 45} = 2\sqrt{\frac{45}{4}} = 3\sqrt{5}$।

(B) अनंत $GP$ का योग $\frac{a}{1-r} = 15 \dots (i)$ द्वारा दिया जाता है।
पदों के वर्गों द्वारा बनी श्रेणी $a^{2}, a^{2}r^{2}, a^{2}r^{4}, \dots$ है,जो प्रथम पद $a^{2}$ और सार्व अनुपात $r^{2}$ वाली एक $GP$ है।
इस श्रेणी का योग $\frac{a^{2}}{1-r^{2}} = 150$ है।
हम इसे $\frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r} = 150$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस समीकरण में $(i)$ का मान रखने पर,हमें $15 \cdot \frac{a}{1+r} = 150$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{a}{1+r} = 10 \dots (ii)$।
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1+r}{1-r} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$r$ के लिए हल करने पर: $2 + 2r = 3 - 3r$ $\Rightarrow 5r = 1$ $\Rightarrow r = \frac{1}{5}$।
$r = \frac{1}{5}$ को $(i)$ में रखने पर: $\frac{a}{1 - 1/5} = 15$ $\Rightarrow \frac{a}{4/5} = 15$ $\Rightarrow a = 15 \cdot \frac{4}{5} = 12$।
श्रेणी $ar^{2}, ar^{4}, ar^{6}, \dots$ एक $GP$ है जिसका प्रथम पद $A = ar^{2}$ और सार्व अनुपात $R = r^{2}$ है।
योग $= \frac{ar^{2}}{1-r^{2}} = \frac{12 \cdot (1/5)^{2}}{1 - (1/5)^{2}} = \frac{12 \cdot (1/25)}{1 - 1/25} = \frac{12/25}{24/25} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$।

(C) मान लीजिए $C = (a, b)$ है। चूँकि $C$ कोण समद्विभाजक $7x - 4y - 1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $7a - 4b = 1 \quad \dots(i)$ है।
मान लीजिए $M$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। चूँकि $A = (-3, 1)$ है,इसलिए $M = (\frac{a-3}{2}, \frac{b+1}{2})$ है।
चूँकि $M$ माध्यिका $2x + y - 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2(\frac{a-3}{2}) + (\frac{b+1}{2}) - 3 = 0$ है,जिसे सरल करने पर $2a - 6 + b + 1 - 6 = 0$,या $2a + b = 11 \quad \dots(ii)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$(ii)$ को $4$ से गुणा करने पर: $8a + 4b = 44$ प्राप्त होता है। $(i)$ में जोड़ने पर: $15a = 45 \Rightarrow a = 3$ प्राप्त होता है। $(ii)$ में मान रखने पर: $6 + b = 11 \Rightarrow b = 5$ प्राप्त होता है। अतः,$C = (3, 5)$ है।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{5-1}{3-(-3)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कोण समद्विभाजक $7x - 4y - 1 = 0$ की ढाल $m_{bisector} = \frac{7}{4}$ है।
मान लीजिए $\alpha$ रेखा $AC$ का कोण है और $\beta$ समद्विभाजक का कोण है। उनके बीच का कोण $\frac{\theta}{2}$ है।
$\tan(\frac{\theta}{2}) = |\frac{m_{bisector} - m_{AC}}{1 + m_{bisector} \cdot m_{AC}}| = |\frac{7/4 - 2/3}{1 + (7/4)(2/3)}| = |\frac{(21-8)/12}{(12+14)/12}| = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$ है।
अंत में,$\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)} = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ है।

(C) निहितार्थ $A \rightarrow B$ केवल तभी असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
यहाँ,$A = (p \vee q) \wedge (q \rightarrow r) \wedge (\sim r)$ और $B = (p \wedge q)$ है।
$B = (p \wedge q)$ के असत्य होने के लिए,$p$ या $q$ में से कम से कम एक असत्य होना चाहिए।
$A$ के सत्य होने के लिए,सभी घटक $(p \vee q)$,$(q \rightarrow r)$,और $(\sim r)$ सत्य होने चाहिए।
चूंकि $(\sim r)$ सत्य है,इसलिए $r$ असत्य होना चाहिए।
चूंकि $(q \rightarrow r)$ सत्य है और $r$ असत्य है,इसलिए $q$ असत्य होना चाहिए।
चूंकि $(p \vee q)$ सत्य है और $q$ असत्य है,इसलिए $p$ सत्य होना चाहिए।
अतः,सत्यता मान $p=T, q=F, r=F$ हैं।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $p=T, q=F, r=F$ लेने पर $A = (T \vee F) \wedge (F \rightarrow F) \wedge (\sim F) = T \wedge T \wedge T = T$ और $B = (T \wedge F) = F$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T \rightarrow F$ असत्य है,इसलिए विकल्प $C$ सही है।

(D) दिया गया है $z = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} = e^{-i \frac{\pi}{3}}$.
अतः $z^r + \frac{1}{z^r} = e^{-i \frac{r\pi}{3}} + e^{i \frac{r\pi}{3}} = 2 \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)$.
हमें $S = 21 + \sum_{r=1}^{21} \left(2 \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)\right)^3$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $8 \cos^3 \theta = 2(\cos 3\theta + 3 \cos \theta)$ का उपयोग करने पर:
$S = 21 + \sum_{r=1}^{21} 2 \left(\cos(r\pi) + 3 \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)\right) = 21 + 2 \sum_{r=1}^{21} \cos(r\pi) + 6 \sum_{r=1}^{21} \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)$.
यहाँ $\sum_{r=1}^{21} \cos(r\pi) = -1$ और $\sum_{r=1}^{21} \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right) = -1$ है।
अतः,$S = 21 + 2(-1) + 6(-1) = 21 - 2 - 6 = 13$.

(C) दिया गया समीकरण $\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{2}{k}$ है,जहाँ $x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$ है।
सरल करने पर: $k(x-3) = 2(x^2-3x+2)$ प्राप्त होता है।
$x \neq 3$ के लिए,$k = 2(x-3 + \frac{2}{x-3} + 3)$ है।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर,$k$ का मान $(6-4\sqrt{2}, 6+4\sqrt{2})$ के बीच होना चाहिए।
यह अंतराल लगभग $(0.344, 11.656)$ है।
अतः $k$ के पूर्णांक मान $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ हैं।
इनका योग $66$ है।

(A) दी गई व्यंजक $\sum_{n=1}^{15} n \cdot {}^{n}P_{n}$ है।
चूंकि ${}^{n}P_{n} = n!$,व्यंजक $\sum_{n=1}^{15} n \cdot n!$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $n \cdot n! = (n+1-1) \cdot n! = (n+1)! - n!$।
अतः,योग $\sum_{n=1}^{15} ((n+1)! - n!) = (2!-1!) + (3!-2!) + \ldots + (16!-15!) = 16! - 1! = 16! - 1$ है।
दिया गया व्यंजक ${}^{q}P_{r} - s$ है,इसलिए ${}^{16}P_{16} - 1 = {}^{q}P_{r} - s$।
तुलना करने पर,$q = 16$,$r = 16$,और $s = 1$ प्राप्त होता है।
हमें ${}^{q+s}C_{r-s} = {}^{16+1}C_{16-1} = {}^{17}C_{15}$ ज्ञात करना है।
${}^{17}C_{15} = {}^{17}C_{2} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 17 \times 8 = 136$।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
$(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)$ से दूरियों के वर्गों का योग:
$(x^2 + y^2) + ((x-1)^2 + y^2) + (x^2 + (y-1)^2) + ((x-1)^2 + (y-1)^2) = 18$
पदों का विस्तार करने पर:
$4x^2 + 4y^2 - 4x - 4y + 4 = 18$
$4$ से भाग देने पर:
$x^2 + y^2 - x - y - 3.5 = 0$
वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
यहाँ,$g = -0.5, f = -0.5, c = -3.5$ है।
$r = \sqrt{0.25 + 0.25 + 3.5} = \sqrt{4} = 2$ है।
व्यास $d = 2r = 4$ है।
अतः,$d^2 = 16$ है।

(B) तीन अंकों की सम संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर एक सम अंक $(0, 4, 6)$ होना चाहिए। चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,हम दो स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $(i)$: जब इकाई के स्थान पर $0$ हो।
इकाई के स्थान को भरने का $1$ तरीका है। शेष दो स्थानों (सैकड़ा और दहाई) को शेष $5$ अंकों $(1, 3, 4, 6, 7)$ द्वारा $5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $(ii)$: जब इकाई के स्थान पर $4$ या $6$ हो।
इकाई के स्थान को भरने के $2$ तरीके हैं। सैकड़े के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता और इकाई के स्थान पर उपयोग किया गया अंक भी नहीं हो सकता,इसलिए सैकड़े के स्थान के लिए $6 - 2 = 4$ विकल्प हैं। दहाई के स्थान को शेष $4$ अंकों (जिसमें $0$ शामिल है) में से किसी से भी भरा जा सकता है,जो इकाई के प्रत्येक अंक के लिए $4 \times 4 = 16$ तरीके देता है। कुल तरीके $= 2 \times 16 = 32$ तरीके।
कुल सम संख्याओं की संख्या $= 20 + 32 = 52$.

(C) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है और उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $b^{2} = a^{2}(e^{2}-1) = a^{2}(\frac{5}{4}-1) = \frac{a^{2}}{4}$,इसलिए $a^{2} = 4b^{2}$ है।
चूंकि $P(-2 \sqrt{6}, \sqrt{3})$ अतिपरवलय पर स्थित है,इसलिए $\frac{(-2 \sqrt{6})^{2}}{4b^{2}} - \frac{(\sqrt{3})^{2}}{b^{2}} = 1$.
$\frac{24}{4b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{6}{b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 3$,इसलिए $b = \sqrt{3}$ और $a^{2} = 12$,इसलिए $a = 2 \sqrt{3}$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ है।
$P(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_{1}}{a^{2}} - \frac{yy_{1}}{b^{2}} = 1$ है।
$\frac{x(-2 \sqrt{6})}{12} - \frac{y(\sqrt{3})}{3} = 1 \Rightarrow -\frac{x \sqrt{6}}{6} - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$.
संयुग्मी अक्ष के लिए,$x = 0$ रखने पर: $-\frac{y}{\sqrt{3}} = 1 \Rightarrow y = -\sqrt{3}$। अतः $Q = (0, -\sqrt{3})$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}} = \frac{3(-2 \sqrt{6})}{12(\sqrt{3})} = \frac{-6 \sqrt{6}}{12 \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = \sqrt{2}$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \sqrt{3} = \sqrt{2}(x + 2 \sqrt{6})$ है।
संयुग्मी अक्ष के लिए,$x = 0$ रखने पर: $y - \sqrt{3} = \sqrt{2}(2 \sqrt{6}) = 2 \sqrt{12} = 4 \sqrt{3}$।
$y = 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$। अतः $R = (0, 5 \sqrt{3})$ है।
दूरी $QR = |5 \sqrt{3} - (-\sqrt{3})| = |6 \sqrt{3}| = 6 \sqrt{3}$ है।

(C) $(S1)$ के लिए: $(p$ $\rightarrow q) \vee (\sim q$ $\rightarrow p)$
निहितार्थ नियम $(a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b)$ का उपयोग करने पर:
$(\sim p \vee q) \vee (q \vee p)$
$= (q \vee \sim p) \vee (q \vee p) = q \vee (\sim p \vee p) = q \vee t = t$.
अतः,$(S1)$ एक पुनरुक्ति है।
$(S2)$ के लिए: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर,$(\sim p \vee q) \equiv \sim (p \wedge \sim q)$.
इसलिए,$(S2) = (p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \wedge \sim q) = C$ (व्याघात)।
अतः,$(S1)$ और $(S2)$ दोनों सत्य हैं।

(D) हमें दिया गया है $p = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{1}{2 r^{2}}$.
सबसे पहले,$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ सूत्र का उपयोग करने के लिए अंश और हर को $2$ से गुणा करें।
$p = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{2}{4 r^{2}} = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{(2r+1)-(2r-1)}{1+(2r+1)(2r-1)}$.
यह $\sum_{r=1}^{n} (\tan ^{-1}(a_{r+1}) - \tan ^{-1}(a_r))$ के रूप में एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है।
$p = (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 1) + (\tan ^{-1} 5 - \tan ^{-1} 3) + \dots + (\tan ^{-1} 101 - \tan ^{-1} 99)$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,जिससे $p = \tan ^{-1} 101 - \tan ^{-1} 1$ बचेगा।
सूत्र $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करने पर,हमें $p = \tan ^{-1} \frac{101-1}{1+(101)(1)} = \tan ^{-1} \frac{100}{102} = \tan ^{-1} \frac{50}{51}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan p = \frac{50}{51}$।

(C) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है। अतिपरवलय $x^{2}-y^{2}=4$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_{1}$ के अनुसार $xh-yk=h^{2}-k^{2}$ है।
इसे $y=mx+c$ रूप में लिखने पर,$y=\frac{h}{k}x - \frac{h^{2}-k^{2}}{k}$ प्राप्त होता है।
यह रेखा परवलय $y^{2}=8x$ को स्पर्श करती है (जहाँ $a=2$)। रेखा $y=mx+c$ के परवलय $y^{2}=4ax$ को स्पर्श करने की शर्त $c=\frac{a}{m}$ है।
$m=\frac{h}{k}$ और $c=-\frac{h^{2}-k^{2}}{k}$ रखने पर,$-\frac{h^{2}-k^{2}}{k} = \frac{2}{h/k} = \frac{2k}{h}$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$-(h^{2}-k^{2})h = 2k^{2}$,अर्थात $h^{3} = k^{2}(h-2)$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $y^{2}(x-2)=x^{3}$ है।

(C) माना व्यंजक $E = 2 \sin(\frac{\pi}{8}) \sin(\frac{2\pi}{8}) \sin(\frac{3\pi}{8}) \sin(\frac{5\pi}{8}) \sin(\frac{6\pi}{8}) \sin(\frac{7\pi}{8})$ है।
गुणधर्म $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin(\frac{7\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})$,$\sin(\frac{6\pi}{8}) = \sin(\frac{2\pi}{8})$,और $\sin(\frac{5\pi}{8}) = \sin(\frac{3\pi}{8})$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$E = 2 \sin^2(\frac{\pi}{8}) \sin^2(\frac{2\pi}{8}) \sin^2(\frac{3\pi}{8})$.
चूंकि $\sin(\frac{2\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\sin^2(\frac{2\pi}{8}) = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$E = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin^2(\frac{\pi}{8}) \sin^2(\frac{3\pi}{8}) = \sin^2(\frac{\pi}{8}) \cos^2(\frac{\pi}{8})$ (क्योंकि $\sin(\frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$)।
$E = (\sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8}))^2 = (\frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{8}))^2 = (\frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4}))^2 = (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$।

(A) दिया गया है $(\sqrt{3}+i)^{100}=2^{99}(p+iq)$.
$\sqrt{3}+i$ को ध्रुवीय रूप में लिखने पर: $2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर: $(2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}))^{100} = 2^{100}(\cos \frac{50\pi}{3} + i \sin \frac{50\pi}{3})$.
चूंकि $\frac{50\pi}{3} = 16\pi + \frac{2\pi}{3}$,इसलिए $\cos \frac{50\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ और $\sin \frac{50\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$2^{100}(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{99}(p+iq)$.
$2^{99}$ से भाग देने पर,$2(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = p+iq$,जिससे $p = -1$ और $q = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$p$ और $q$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (p+q)x + pq = 0$ है।
$p+q = \sqrt{3}-1$ और $pq = -\sqrt{3}$.
अतः,समीकरण $x^2 - (\sqrt{3}-1)x - \sqrt{3} = 0$ है।

(A) मान लीजिए पेंसिल को $C$ के परितः $\alpha$ कोण से घुमाया जाता है। पेंसिल की नई स्थिति $A'B'$ है।
$P$ से पेंसिल पर डाले गए लंब द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$PC$ और नई पेंसिल रेखा के बीच का कोण $\theta$ है।
हमें $PC = \sqrt{5}$ और लंबवत दूरी $d = 1$ दी गई है।
$P$,पेंसिल पर लंब के बिंदु और $C$ द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$\sin \theta = \frac{d}{PC} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{2}$.
प्रारंभ में,कोण $\angle PCB = \phi = \tan^{-1}(2)$,इसलिए $\tan \phi = 2$.
घूर्णन का कोण $\alpha$ प्रारंभिक कोण $\phi$ और नए कोण $\theta$ के बीच का अंतर है।
$\alpha = \phi - \theta$.
$\tan \alpha = \tan(\phi - \theta) = \frac{\tan \phi - \tan \theta}{1 + \tan \phi \tan \theta} = \frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(A) रेखा $x-2y=0$ को $(2,1)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त $C$ का समीकरण $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+\lambda(x-2y)=0$ है।
इसे विस्तारित करने पर,$x^{2}+y^{2}+x(\lambda-4)+y(-2-2\lambda)+5=0$ प्राप्त होता है।
दिया गया वृत्त $C_{1}$,$x^{2}+y^{2}+2y-5=0$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $PQ$,रेडिकल अक्ष $C-C_{1}=0$ है,जो $x(\lambda-4)-y(2\lambda+4)+10=0$ है।
चूंकि $PQ$,$C_{1}$ का व्यास है,यह $C_{1}$ के केंद्र $(0,-1)$ से होकर गुजरता है।
$(0,-1)$ को $PQ$ के समीकरण में रखने पर: $0(\lambda-4)-(-1)(2\lambda+4)+10=0$ $\Rightarrow 2\lambda+14=0$ $\Rightarrow \lambda=-7$.
$\lambda=-7$ को $C$ के समीकरण में रखने पर: $x^{2}+y^{2}-11x+12y+5=0$.
$C$ का केंद्र $(\frac{11}{2}, -6)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{121}{4}+36-5} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$ है।
अतः,$C$ का व्यास $2r = 7\sqrt{5}$ है।

(A) माना $S = \lim _{x \rightarrow 2} \sum_{n=1}^{9} \frac{x}{n(n+1) x^{2}+2(2 n+1) x+4}$.
$x = 2$ रखने पर:
$S = \sum_{n=1}^{9} \frac{2}{4n^2 + 12n + 8} = \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{2(n+1)(n+2)}$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{9} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{11} \right) = \frac{9}{44}$.

(B) हमें ऐसी $3$-अंकीय संख्याएँ $N \le 500$ ज्ञात करनी हैं जो $11$ की गुणज हों और जिनमें $1$ अंक का उपयोग न हुआ हो।
$100$ और $500$ के बीच $11$ के गुणज $110, 121, \ldots, 495$ हैं।
$1$ अंक वाली संख्याओं को हटाने पर,मान्य संख्याएँ हैं:
$209, 220, 242, 253, 264, 275, 286, 297, 308, 330, 352, 363, 374, 385, 396, 407, 429, 440, 462, 473, 484, 495$.
इन मानों का योग:
$209+220+242+253+264+275+286+297+308+330+352+363+374+385+396+407+429+440+462+473+484+495 = 7744$.

(A) दिया गया है $c_{2} = a_{2} + b_{2} = (a_{1} - 3) + (2b_{1}) = 12$,इसलिए $a_{1} + 2b_{1} = 15 \dots (1)$.
दिया गया है $c_{3} = a_{3} + b_{3} = (a_{1} - 6) + (4b_{1}) = 13$,इसलिए $a_{1} + 4b_{1} = 19 \dots (2)$.
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर,हमें $2b_{1} = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b_{1} = 2$.
$b_{1} = 2$ को $(1)$ में रखने पर,हमें $a_{1} + 4 = 15$ प्राप्त होता है,इसलिए $a_{1} = 11$.
अब,$\sum_{k=1}^{10} c_{k} = \sum_{k=1}^{10} a_{k} + \sum_{k=1}^{10} b_{k}$.
$AP$ का योग $S_{a} = \frac{10}{2} [2(11) + (10-1)(-3)] = 5(22 - 27) = 5(-5) = -25$.
$GP$ का योग $S_{b} = \frac{b_{1}(r^{10} - 1)}{r - 1} = \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2(1024 - 1) = 2(1023) = 2046$.
अतः,$\sum_{k=1}^{10} c_{k} = -25 + 2046 = 2021$.

(D) सर्वसमिका $\sum_{i=0}^{r} \binom{n}{i} \binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k}$ का उपयोग करके,हम $A_{k}$ को सरल करते हैं।
$A_{k} = \sum_{i=0}^{9} \binom{9}{i} \binom{12}{k-i} + \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \binom{13}{k-i}$.
वेंडरमोंड सर्वसमिका लागू करने पर:
$A_{k} = \binom{9+12}{k} + \binom{8+13}{k} = \binom{21}{k} + \binom{21}{k} = 2 \binom{21}{k}$.
अब,$A_{4} - A_{3} = 2 \left( \binom{21}{4} - \binom{21}{3} \right)$ की गणना करें।
$\binom{21}{4} = 5985$.
$\binom{21}{3} = 1330$.
$A_{4} - A_{3} = 2(5985 - 1330) = 2(4655) = 9310$.
दिया गया है कि $190p = 9310$,इसलिए $p = \frac{9310}{190} = 49$।

(B) दिए गए समीकरण $x^{2}-x+2\lambda=0$ और $3x^{2}-10x+27\lambda=0$ हैं।
चूंकि $\alpha$ एक उभयनिष्ठ मूल है,यह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है:
$\alpha^{2}-\alpha+2\lambda=0 \quad ...(1)$
$3\alpha^{2}-10\alpha+27\lambda=0 \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर: $3\alpha^{2}-3\alpha+6\lambda=0 \quad ...(3)$
$(2)$ में से $(3)$ घटाने पर: $-7\alpha+21\lambda=0 \Rightarrow \alpha=3\lambda$.
$\alpha=3\lambda$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(3\lambda)^{2}-(3\lambda)+2\lambda=0 \Rightarrow 9\lambda^{2}-\lambda=0$.
चूंकि $\lambda \neq 0$,इसलिए $\lambda=\frac{1}{9}$.
अतः $\alpha=3\lambda=3(\frac{1}{9})=\frac{1}{3}$.
पहले समीकरण से,$\alpha+\beta=1 \Rightarrow \beta=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
दूसरे समीकरण से,$\alpha\gamma=\frac{27\lambda}{3}=9\lambda=9(\frac{1}{9})=1 \Rightarrow \gamma=\frac{1}{\alpha}=3$.
अंत में,$\frac{\beta\gamma}{\lambda} = \frac{(2/3)(3)}{1/9} = 18$.

(C) $3, 7, x, y$ का माध्य $5$ है:
$\frac{3+7+x+y}{4} = 5$ $\Rightarrow 10+x+y = 20$ $\Rightarrow x+y = 10$
प्रसरण $10$ है:
$\frac{3^2+7^2+x^2+y^2}{4} - (5)^2 = 10$
$\frac{9+49+x^2+y^2}{4} = 35$ $\Rightarrow 58+x^2+y^2 = 140$ $\Rightarrow x^2+y^2 = 82$
$x+y=10$ और $x^2+y^2=82$ से,
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ $\Rightarrow 100 = 82+2xy$ $\Rightarrow xy = 9$.
$x=9$ और $y=1$ प्राप्त होता है (चूंकि $x>y$).
चार संख्याएँ $21, 9, 10, 8$ हैं।
उनका माध्य $\frac{21+9+10+8}{4} = \frac{48}{4} = 12$ है।

(C) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{(2i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}$
सबसे पहले,$(1-i)^2 = 1 + i^2 - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i$ होता है।
अतः,$(1-i)^{n-2} = ((1-i)^2)^{\frac{n-2}{2}} = (-2i)^{\frac{n-2}{2}}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $E = \frac{(2i)^n}{(-2i)^{\frac{n-2}{2}}} = \frac{(2i)^n}{(-1)^{\frac{n-2}{2}} (2i)^{\frac{n-2}{2}}} = \frac{(2i)^{\frac{n+2}{2}}}{(-1)^{\frac{n-2}{2}}}$.
$E$ के धनात्मक पूर्णांक होने के लिए,$i$ का घातांक $4$ का गुणज होना चाहिए (अर्थात $\frac{n+2}{2} = 4k$) और मान वास्तविक होना चाहिए।
यदि $n=6$ लें,तो $\frac{n+2}{2} = 4$. तब $E = \frac{(2i)^4}{(-1)^2} = \frac{16 i^4}{1} = 16(1) = 16$,जो एक धनात्मक पूर्णांक है।
अतः,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n = 6$ है।

(A) माना $S = \frac{3}{2} x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + \frac{7}{4} x^{4} + \ldots \infty$
सामान्य पद को $\frac{2n+1}{n+1} x^{n+1} = (2 - \frac{1}{n+1}) x^{n+1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$S = 2 \sum_{n=1}^{\infty} x^{n+1} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
गुणोत्तर श्रेणी और लघुगणक श्रेणी का उपयोग करने पर,$S = 2 \left( \frac{x^{2}}{1-x} \right) - (-\log_{e}(1-x) - x)$.
$S = \frac{2x^{2} + x - x^{2}}{1-x} - \log_{e}(1-x) = x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \log_{e}(1-x)$.

(D) $y$ के लिए व्यंजक:
$y = (\log_{10} x) (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots \infty)$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$ और $r=\frac{1}{3}$:
$y = (\log_{10} x) \left( \frac{1}{1 - 1/3} \right) = (\log_{10} x) \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2} \log_{10} x$
अब,दिए गए समीकरण पर विचार करें:
$\frac{2(1+2+3+\dots+y)}{3(1+2+3+\dots+y)} = \frac{4}{\log_{10} x}$
$\frac{2}{3} = \frac{4}{\log_{10} x}$
$\log_{10} x = \frac{4 \times 3}{2} = 6$
$x = 10^6$
$\log_{10} x = 6$ को $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = \frac{3}{2} (6) = 9$
अतः,क्रमित युग्म $(x, y) = (10^6, 9)$ है।

(C) दिया गया है $A = (0,6)$ और $B = (2t, 0)$.
$AB$ का मध्य-बिंदु $M = (t, 3)$ है।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = -\frac{3}{t}$ है।
$AB$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = \frac{t}{3}$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $(y-3) = \frac{t}{3}(x-t)$ है।
$C$ ज्ञात करने के लिए $x=0$ रखने पर,$y = 3 - \frac{t^{2}}{3}$. अतः $C = (0, 3 - \frac{t^{2}}{3})$.
मान लीजिए $P(h, k)$,$MC$ का मध्य-बिंदु है:
$h = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2h$.
$k = \frac{3 + (3 - \frac{t^{2}}{3})}{2} = 3 - \frac{t^{2}}{6}$.
$t = 2h$ रखने पर,$k = 3 - \frac{4h^{2}}{6} = 3 - \frac{2h^{2}}{3}$.
$3k = 9 - 2h^{2} \Rightarrow 2h^{2} + 3k - 9 = 0$.
अतः बिंदुपथ $2x^{2} + 3y - 9 = 0$ है।

(D) माना $z = x + iy$ है। शर्त $\frac{z-i}{z+2i} \in \mathbb{R}$ का अर्थ है कि सम्मिश्र संख्या का कोणांक $0$ या $\pi$ है (या संख्या अपरिभाषित है)।
यह उन बिंदुओं $z$ का बिंदुपथ दर्शाता है जिनके लिए सदिश $(z-i)$ और $(z+2i)$ संरेख हैं।
ज्यामितीय रूप से,यह बिंदु $i$ (जो $(0, 1)$ है) और $-2i$ (जो $(0, -2)$ है) से होकर गुजरने वाली रेखा है।
चूंकि ये दोनों बिंदु काल्पनिक अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए यह रेखा स्वयं काल्पनिक अक्ष है (बिंदु $-2i$ को छोड़कर जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है)।
अतः,$S$ सम्मिश्र तल में एक सीधी रेखा है।

(A) माना कथन $S = (p \wedge (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow r))$ $\rightarrow r$ है।
निहितार्थ नियम $a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim (p \wedge (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow r)) \vee r$
डी मॉर्गन के नियम $\sim (A \wedge B \wedge C) \equiv \sim A \vee \sim B \vee \sim C$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim p \vee \sim (p$ $\rightarrow q) \vee \sim (q$ $\rightarrow r) \vee r$
चूंकि $\sim (a \rightarrow b) \equiv a \wedge \sim b$:
$S \equiv \sim p \vee (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim r) \vee r$
वितरण नियम $\sim p \vee (p \wedge \sim q) \equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv T \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv \sim p \vee \sim q$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv (\sim p \vee \sim q) \vee (q \wedge \sim r) \vee r$
साहचर्य और वितरण नियमों का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim p \vee \sim q \vee (q \vee r) \wedge (\sim r \vee r)$
$S \equiv \sim p \vee \sim q \vee (q \vee r) \wedge T$
$S \equiv \sim p \vee (\sim q \vee q) \vee r$
$S \equiv \sim p \vee T \vee r \equiv T$
चूंकि परिणाम हमेशा सत्य है,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(B) दिए गए सारणिक प्रतिबंध के अनुसार: $f(x)f^{\prime \prime}(x) - (f^{\prime}(x))^2 = 0$.
इसे $\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + \ln(c)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f^{\prime}(x) = c f(x)$।
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = c$।
पुनः समाकलन करने पर,$\ln(f(x)) = cx + k_1$,अतः $f(x) = k e^{cx}$।
प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करने पर:
$f(0) = 1 \implies k e^0 = 1 \implies k = 1$।
$f^{\prime}(x) = c e^{cx}$,और $f^{\prime}(0) = 2 \implies c e^0 = 2 \implies c = 2$।
इस प्रकार,$f(x) = e^{2x}$।
$f(1) = e^2 \approx 7.389$ की गणना करने पर।
चूंकि $6 < 7.389 < 9$,इसलिए यह मान $(6, 9)$ अंतराल में स्थित है।

(B) माना $I = \int_{1}^{3} [x^{2}-2x-2] dx$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को $(x-1)^{2}-3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $3$ एक पूर्णांक है,गुणधर्म $[f(x)+n] = [f(x)]+n$ का उपयोग करने पर,
$I = \int_{1}^{3} [(x-1)^{2}] dx - \int_{1}^{3} 3 dx$.
$t = x-1$ लेने पर,$dt = dx$. जब $x=1, t=0$ और जब $x=3, t=2$.
$I = \int_{0}^{2} [t^{2}] dt - [3x]_{1}^{3} = \int_{0}^{2} [t^{2}] dt - 6$.
अब,$[t^{2}]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करने पर:
$0 \le t < 1$ के लिए,$[t^{2}] = 0$.
$1 \le t < \sqrt{2}$ के लिए,$[t^{2}] = 1$.
$\sqrt{2} \le t < \sqrt{3}$ के लिए,$[t^{2}] = 2$.
$\sqrt{3} \le t < 2$ के लिए,$[t^{2}] = 3$.
$I = \int_{0}^{1} 0 dt + \int_{1}^{\sqrt{2}} 1 dt + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dt + \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 dt - 6$.
$I = 0 + (\sqrt{2}-1) + 2(\sqrt{3}-\sqrt{2}) + 3(2-\sqrt{3}) - 6$.
$I = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} - 6$.
$I = -\sqrt{2} - \sqrt{3} - 1$.

(A) माना कि $\frac{1}{4} \sin ^{-1} \frac{\sqrt{63}}{8} = \theta$.
तब,$\sin 4\theta = \frac{\sqrt{63}}{8}$.
चूंकि $\cos^2 4\theta = 1 - \sin^2 4\theta = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$,इसलिए $\cos 4\theta = \frac{1}{8}$.
सूत्र $\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$ का उपयोग करने पर,$2\cos^2 2\theta - 1 = \frac{1}{8}$,जिसका अर्थ है $2\cos^2 2\theta = \frac{9}{8}$,अतः $\cos^2 2\theta = \frac{9}{16}$.
इस प्रकार,$\cos 2\theta = \frac{3}{4}$.
सूत्र $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$2\cos^2 \theta - 1 = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $2\cos^2 \theta = \frac{7}{4}$,अतः $\cos^2 \theta = \frac{7}{8}$.
तब $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$.
इसलिए,$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1/8}{7/8} = \frac{1}{7}$.
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

(C) दिया गया वक्र $y = ax^{2} + bx + c$ है।
चूँकि वक्र मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $0 = a(0)^{2} + b(0) + c$,जिससे $c = 0$ प्राप्त होता है।
वक्र का अवकलन $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ पर स्पर्श रेखा $y = x$ है,जिसकी ढाल $1$ है।
अतः,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0,0)} = 2a(0) + b = 1$,जिससे $b = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,समीकरण में $x = 1, y = 2, b = 1, c = 0$ रखने पर: $2 = a(1)^{2} + 1(1) + 0$.
इसे सरल करने पर $2 = a + 1$,अतः $a = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a = 1, b = 1, c = 0$ संभावित मान हैं।

(B) क्षेत्र $R = \{(x, y) : 5x^2 \leq y \leq 2x^2 + 9\}$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम पहले वक्रों $y = 5x^2$ और $y = 2x^2 + 9$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$5x^2 = 2x^2 + 9$ रखने पर, हमें $3x^2 = 9$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $x^2 = 3$, इसलिए $x = \pm \sqrt{3}$।
यह क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
आवश्यक क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकल द्वारा दिया गया है:
क्षेत्रफल $= \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} ((2x^2 + 9) - 5x^2) dx$
$= 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (9 - 3x^2) dx$
$= 2 [9x - x^3]_{0}^{\sqrt{3}}$
$= 2 [9\sqrt{3} - (\sqrt{3})^3]$
$= 2 [9\sqrt{3} - 3\sqrt{3}]$
$= 2 [6\sqrt{3}] = 12\sqrt{3} \text{ square units.}$

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = bx^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = bx^3$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है,जो $yx = \int bx^3 \cdot x dx + C = \int bx^4 dx + C$ देता है।
अतः,$yx = \frac{bx^5}{5} + C$,या $f(x) = y = \frac{bx^4}{5} + \frac{C}{x}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $2 = \frac{b}{5} + C$,अर्थात $C = 2 - \frac{b}{5}$।
दिया गया है कि $\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{62}{5}$,इसलिए $\int_{1}^{2} (\frac{bx^4}{5} + \frac{C}{x}) dx = [\frac{bx^5}{25} + C \ln x]_{1}^{2} = \frac{62}{5}$।
सीमाओं को रखने पर: $(\frac{32b}{25} + C \ln 2) - (\frac{b}{25} + 0) = \frac{31b}{25} + C \ln 2 = \frac{62}{5}$।
$C = 2 - \frac{b}{5}$ रखने पर: $\frac{31b}{25} + (2 - \frac{b}{5}) \ln 2 = \frac{62}{5}$।
इसे संतुष्ट करने के लिए,$\ln 2$ के गुणांक को $0$ लेने पर,$2 - \frac{b}{5} = 0$,जिससे $b = 10$ प्राप्त होता है।
तब $\frac{31(10)}{25} = \frac{310}{25} = \frac{62}{5}$ प्राप्त होता है,जो समीकरण को संतुष्ट करता है। अतः,$b = 10$।

(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = f^{\prime}(2-x)$। $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = -f(2-x) + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) + f(2-x) = C$।
$x=0$ रखने पर,$f(0) + f(2) = C$। दिया गया है कि $f(0) = 1$ और $f(2) = e^{2}$,इसलिए $C = 1 + e^{2}$।
अतः,$f(x) + f(2-x) = 1 + e^{2}$।
मान लीजिए $I = \int_{0}^{2} f(x) dx$। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \int_{0}^{2} f(2-x) dx$ प्राप्त होता है।
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर,$2I = \int_{0}^{2} (f(x) + f(2-x)) dx$।
योग को प्रतिस्थापित करने पर,$2I = \int_{0}^{2} (1 + e^{2}) dx = (1 + e^{2}) [x]_{0}^{2} = 2(1 + e^{2})$।
इसलिए,$I = 1 + e^{2}$।

(C) दिया गया है कि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^{T} = A$.
दिया गया है कि $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $B^{T} = -B$.
मान लीजिए $C = A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2}$.
अब,$C$ का परिवर्त (transpose) लेते हैं:
$C^{T} = (A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2})^{T} = (A^{2}B^{2})^{T} - (B^{2}A^{2})^{T}$.
$(PQ)^{T} = Q^{T}P^{T}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$C^{T} = (B^{2})^{T}(A^{2})^{T} - (A^{2})^{T}(B^{2})^{T}$.
चूंकि $(A^{2})^{T} = (A^{T})^{2} = A^{2}$ और $(B^{2})^{T} = (B^{T})^{2} = (-B)^{2} = B^{2}$,इसलिए:
$C^{T} = B^{2}A^{2} - A^{2}B^{2} = -(A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2}) = -C$.
अतः,$C$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
विषम कोटि $n$ (यहाँ $n = 3$) के किसी भी विषम-सममित आव्यूह $C$ के लिए,सारणिक हमेशा शून्य होता है,अर्थात $\det(C) = 0$.
चूंकि निकाय $(C)X = O$ है और $\det(C) = 0$ है,इसलिए निकाय के अनंत हल हैं।

(D) समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$x - 2y + 0z = 1$
$x - y + kz = -2$
$0x + ky + 4z = 6$
गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & k \\ 0 & k & 4 \end{vmatrix} = 1(-4 - k^2) - (-2)(4 - 0) + 0 = -4 - k^2 + 8 = 4 - k^2$.
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $4 - k^2 \neq 0$,इसलिए $k \neq 2$ और $k \neq -2$। अतः,कथन $(A)$ सही है।
यदि $k = 2$ है,तो $D = 0$। हम $D_1$ का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं:
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1(-4 - 4) - (-2)(-8 - 12) + 0 = -8 - 40 = -48 \neq 0$.
चूंकि $D = 0$ और $D_1 \neq 0$,इसलिए $k = 2$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(D)$ सही हैं।

(D) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x-\lambda}{1} = \frac{y-1/2}{1/2} = \frac{z-0}{-1/2}$ और $L_2: \frac{x-0}{1} = \frac{y+2\lambda}{1} = \frac{z-\lambda}{1}$ हैं।
रेखाओं पर बिंदु $a_1 = (\lambda, 1/2, 0)$ और $a_2 = (0, -2\lambda, \lambda)$ हैं।
दिशा सदिश $b_1 = (1, 1/2, -1/2)$ और $b_2 = (1, 1, 1)$ हैं।
क्रॉस प्रोडक्ट $b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1/2 & -1/2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1/2 + 1/2) - \hat{j}(1 + 1/2) + \hat{k}(1 - 1/2) = \hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k} = \frac{1}{2}(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ है।
इसका परिमाण $|b_1 \times b_2| = \frac{1}{2}\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ है।
सदिश $a_2 - a_1 = (-\lambda, -2\lambda-1/2, \lambda)$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|} = \frac{|-\lambda(1) - (2\lambda+1/2)(-3/2) + \lambda(1/2)|}{\sqrt{14}/2} = \frac{|10\lambda + 3|}{2\sqrt{14}}$ है।
दिया गया है कि $d = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$ है।
अतः,$\frac{|10\lambda + 3|}{2\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{4} \implies |10\lambda + 3| = 7$ है।
स्थिति $1$: $10\lambda + 3 = 7 \implies \lambda = 0.4$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $2$: $10\lambda + 3 = -7 \implies \lambda = -1$ है।
अतः,$|\lambda| = |-1| = 1$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $af(x)+\alpha f\left(\frac{1}{x}\right)=bx+\frac{\beta}{x} \quad .....(1)$
समीकरण $(1)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$af\left(\frac{1}{x}\right)+\alpha f(x)=b\left(\frac{1}{x}\right)+\beta x \quad .....(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(a+\alpha)f(x)+(a+\alpha)f\left(\frac{1}{x}\right) = bx+\frac{\beta}{x}+\frac{b}{x}+\beta x$
$(a+\alpha)\left[f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right] = (b+\beta)x + (b+\beta)\frac{1}{x}$
$(a+\alpha)\left[f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right] = (b+\beta)\left(x+\frac{1}{x}\right)$
अब,व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)}{x+\frac{1}{x}} = \frac{b+\beta}{a+\alpha}$
दिया गया है कि $a+\alpha=1$ और $b+\beta=2$,इन मानों को रखने पर:
$\frac{f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)}{x+\frac{1}{x}} = \frac{2}{1} = 2$

(D) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $\operatorname{det}(A) = 4$ है।
सबसे पहले,आव्यूह $2A$ पर विचार करें। चूँकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$\operatorname{det}(2A) = 2^{3} \times \operatorname{det}(A) = 8 \times 4 = 32$ होगा।
इसके बाद,आव्यूह $B$ को $2A$ पर पंक्ति संक्रिया $R_{2} \rightarrow 2R_{2} + 5R_{3}$ करके प्राप्त किया जाता है।
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,यदि किसी पंक्ति को एक अदिश $k$ से गुणा किया जाता है,तो सारणिक का मान $k$ गुना हो जाता है। यहाँ,$R_{2}$ को $2R_{2} + 5R_{3}$ से बदला गया है।
इस संक्रिया का अर्थ है कि दूसरी पंक्ति को $2$ से गुणा करके उसमें तीसरी पंक्ति का $5$ गुना जोड़ा गया है। किसी पंक्ति में दूसरी पंक्ति का गुणज जोड़ने से सारणिक का मान नहीं बदलता है।
अतः,$\operatorname{det}(B) = 2 \times \operatorname{det}(2A) = 2 \times 32 = 64$।

(B) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{e^{3 \log_{e} 2x} + 5e^{2 \log_{e} 2x}}{e^{4 \log_{e} x} + 5e^{3 \log_{e} x} - 7e^{2 \log_{e} x}} dx$
गुणधर्म $e^{\log_{e} f(x)} = f(x)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{(2x)^{3} + 5(2x)^{2}}{x^{4} + 5x^{3} - 7x^{2}} dx$
$I = \int \frac{8x^{3} + 20x^{2}}{x^{4} + 5x^{3} - 7x^{2}} dx$
अंश से $4x^{2}$ और हर से $x^{2}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \int \frac{4x^{2}(2x + 5)}{x^{2}(x^{2} + 5x - 7)} dx$
$I = 4 \int \frac{2x + 5}{x^{2} + 5x - 7} dx$
माना $u = x^{2} + 5x - 7$,तब $du = (2x + 5) dx$ होगा।
$I = 4 \int \frac{1}{u} du = 4 \log_{e} |u| + c$
$I = 4 \log_{e} |x^{2} + 5x - 7| + c$

(C) समतल पर स्थित सदिश $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{AC} = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right| = \hat{i}(-1+4) - \hat{j}(-1+2) + \hat{k}(2-1) = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{OP} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
माना $\vec{OP}$ और अभिलंब $\vec{n}$ के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\cos \theta = \frac{|\vec{OP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{OP}| |\vec{n}|} = \frac{|(2)(3) + (-1)(-1) + (1)(1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 1 + 1|}{\sqrt{6} \sqrt{11}} = \frac{8}{\sqrt{66}}$ है।
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{64}{66} = \frac{2}{66} = \frac{1}{33}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{\frac{1}{33}}$ प्राप्त होता है।
समतल पर $\vec{OP}$ के प्रक्षेप की लंबाई $|\vec{OP}| \sin \theta = \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{33}} = \sqrt{\frac{6}{33}} = \sqrt{\frac{2}{11}}$ है।

(C) मान लीजिए कि घटनाएं इस प्रकार परिभाषित हैं:
$A$: चुना गया व्यक्ति धूम्रपान करने वाला और मांसाहारी है।
$B$: चुना गया व्यक्ति धूम्रपान करने वाला और शाकाहारी है।
$C$: चुना गया व्यक्ति धूम्रपान न करने वाला और शाकाहारी है।
$E$: चुने गए व्यक्ति को छाती का विकार है।
दी गई प्रायिकताएं:
$P(A) = \frac{160}{400}$,$P(B) = \frac{100}{400}$,$P(C) = \frac{140}{400}$.
विकार होने की सशर्त प्रायिकताएं:
$P(E|A) = \frac{35}{100}$,$P(E|B) = \frac{20}{100}$,$P(E|C) = \frac{10}{100}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,हमें $P(A|E)$ ज्ञात करना है:
$P(A|E) = \frac{P(A) \cdot P(E|A)}{P(A) \cdot P(E|A) + P(B) \cdot P(E|B) + P(C) \cdot P(E|C)}$
मान रखने पर:
$P(A|E) = \frac{\frac{160}{400} \times \frac{35}{100}}{\frac{160}{400} \times \frac{35}{100} + \frac{100}{400} \times \frac{20}{100} + \frac{140}{400} \times \frac{10}{100}}$
$P(A|E) = \frac{160 \times 35}{(160 \times 35) + (100 \times 20) + (140 \times 10)}$
$P(A|E) = \frac{5600}{5600 + 2000 + 1400} = \frac{5600}{9000} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45}$.

(B) माना $x = 2 \cot^{-1}(5) + \cos^{-1}(\frac{4}{5})$ है।
हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(5) = \tan^{-1}(\frac{1}{5})$ होता है।
अतः,$2 \cot^{-1}(5) = 2 \tan^{-1}(\frac{1}{5}) = \tan^{-1}(\frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2}) = \tan^{-1}(\frac{2/5}{24/25}) = \tan^{-1}(\frac{5}{12})$।
साथ ही,$\cos^{-1}(\frac{4}{5}) = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$ क्योंकि यदि $\cos \theta = \frac{4}{5}$,तो $\tan \theta = \frac{3}{4}$ होता है।
इस प्रकार,व्यंजक $\operatorname{cosec}[\tan^{-1}(\frac{5}{12}) + \tan^{-1}(\frac{3}{4})]$ बन जाता है।
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}(\frac{5/12 + 3/4}{1 - (5/12)(3/4)}) = \tan^{-1}(\frac{14/12}{33/48}) = \tan^{-1}(\frac{56}{33})$।
अंत में,$\operatorname{cosec}(\tan^{-1}(\frac{56}{33}))$। यदि $\theta = \tan^{-1}(\frac{56}{33})$,तो $\tan \theta = \frac{56}{33}$।
$\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{1 + \cot^2 \theta} = \sqrt{1 + (33/56)^2} = \sqrt{\frac{3136 + 1089}{3136}} = \sqrt{\frac{4225}{3136}} = \frac{65}{56}$।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{5^{x}}{5^{x} + \sqrt{5}}$.
ध्यान दें कि $f(1-x) = \frac{5^{1-x}}{5^{1-x} + \sqrt{5}} = \frac{5/5^{x}}{5/5^{x} + \sqrt{5}} = \frac{5}{5 + \sqrt{5} \cdot 5^{x}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 5^{x}}$.
अतः,$f(x) + f(1-x) = \frac{5^{x} + \sqrt{5}}{5^{x} + \sqrt{5}} = 1$.
श्रेणी में $x = \frac{1}{20}$ से $x = \frac{39}{20}$ तक $39$ पद हैं।
$f(x) + f(1-x) = 1$ का उपयोग करते हुए,$f\left(\frac{k}{20}\right) + f\left(\frac{20-k}{20}\right) = 1$.
$k=1$ से $19$ तक योग करने पर,हमें $19$ जोड़े मिलते हैं जिनका योग $1$ है,और मध्य पद $f\left(\frac{20}{20}\right) = f(1) = \frac{5}{5+\sqrt{5}}$ है।
योग $= 19 + f(1) = 19 + \frac{5}{5+\sqrt{5}} = 19 + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1} = \frac{20\sqrt{5}+19}{\sqrt{5}+1}$.

(D) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & -\alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ और $AA^{T} = I_{2}$ है।
सबसे पहले,परिवर्त आव्यूह $A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & \alpha \\ -\alpha & \beta \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
अब,गुणनफल $AA^{T}$ की गणना करें:
$AA^{T} = \begin{bmatrix} 1 & -\alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \alpha \\ -\alpha & \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + \alpha^{2} & \alpha - \alpha\beta \\ \alpha - \alpha\beta & \alpha^{2} + \beta^{2} \end{bmatrix}$.
चूंकि $AA^{T} = I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1 + \alpha^{2} = 1 \Rightarrow \alpha^{2} = 0 \Rightarrow \alpha = 0$.
$\alpha - \alpha\beta = 0 \Rightarrow 0 - 0\beta = 0$ (जो हमेशा सत्य है)।
$\alpha^{2} + \beta^{2} = 1 \Rightarrow 0 + \beta^{2} = 1 \Rightarrow \beta^{2} = 1$.
हमें $\alpha^{4} + \beta^{4}$ का मान ज्ञात करना है:
$\alpha^{4} + \beta^{4} = (0)^{2} + (1)^{2} = 0 + 1 = 1$.

(D) दिया गया है $I_{n} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n} x \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n-2} x (\csc^{2} x - 1) \, dx$
$= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n-2} x \csc^{2} x \, dx - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n-2} x \, dx$
$= \left[ -\frac{\cot^{n-1} x}{n-1} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} - I_{n-2}$
$= \left( 0 - (-\frac{1}{n-1}) \right) - I_{n-2} = \frac{1}{n-1} - I_{n-2}$
$\Rightarrow I_{n} + I_{n-2} = \frac{1}{n-1}$
$n=4$ के लिए,$I_{4} + I_{2} = \frac{1}{3}$
$n=5$ के लिए,$I_{5} + I_{3} = \frac{1}{4}$
$n=6$ के लिए,$I_{6} + I_{4} = \frac{1}{5}$
अतः,पद $\frac{1}{I_{2}+I_{4}} = 3$,$\frac{1}{I_{3}+I_{5}} = 4$,और $\frac{1}{I_{4}+I_{6}} = 5$ हैं।
चूंकि $3, 4, 5$ $A.P.$ में हैं,इसलिए अनुक्रम $\frac{1}{I_{2}+I_{4}}, \frac{1}{I_{3}+I_{5}}, \frac{1}{I_{4}+I_{6}}$ $A.P.$ में है।

(A) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{n}{(n+r)^{2}}$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(1 + r/n)^{2}}$.
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(r/n) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{(1+x)^{2}}$.
अतः,$L = \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)^{2}} dx$.
समाकल का मान ज्ञात करने पर: $L = \left[ -\frac{1}{1+x} \right]_{0}^{1} = -\left( \frac{1}{2} - 1 \right) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

(C) ठीक एक $7$ वाली $4$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या:
यदि $7$ हजार के स्थान पर है: $1 \times 9 \times 9 \times 9 = 729$.
यदि $7$ हजार के स्थान पर नहीं है: $3 \times (8 \times 9 \times 9) = 1944$.
कुल $n(S) = 729 + 1944 = 2673$.
संख्या को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल $2$ प्राप्त करने के लिए,अंतिम अंक $2$ या $7$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: अंतिम अंक $7$ है। अन्य तीन अंक $7$ नहीं हो सकते। हजार के स्थान के लिए $8$ विकल्प और अन्य दो स्थानों के लिए $9$ विकल्प हैं। $n(E_1) = 8 \times 9 \times 9 = 648$.
स्थिति $2$: अंतिम अंक $2$ है। $7$ पहले तीन स्थानों में से किसी एक पर हो सकता है। यदि $7$ हजार के स्थान पर है: $1 \times 9 \times 9 = 81$. यदि $7$ सौ या दहाई के स्थान पर है: $2 \times (8 \times 9) = 144$. $n(E_2) = 81 + 144 = 225$.
कुल $n(E) = 648 + 225 = 873$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{873}{2673} = \frac{97}{297}$.

(B) $n$ अवयवों वाले समुच्चय से $m$ अवयवों वाले समुच्चय $(m \ge n)$ तक के एकैकी फलनों की संख्या $P(m, n) = \frac{m!}{(m-n)!}$ द्वारा दी जाती है।
$x$ के लिए,समुच्चय $A$ में $3$ अवयव हैं और समुच्चय $B$ में $5$ अवयव हैं। अतः,$x = P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
$y$ के लिए,समुच्चय $A$ में $3$ अवयव हैं और समुच्चय $A \times B$ में $3 \times 5 = 15$ अवयव हैं। अतः,$y = P(15, 3) = 15 \times 14 \times 13 = 2730$.
अब,हम $x$ और $y$ की तुलना करते हैं:
$x = 60$
$y = 2730$
अनुपात $\frac{y}{x} = \frac{2730}{60} = \frac{273}{6} = \frac{91}{2}$ की गणना करने पर।
अतः,$2y = 91x$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 3y + 2z = 9 \quad (1)$
$3x + 2y + 2z = 9 \quad (2)$
$x - y + 4z = 8 \quad (3)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(3x + 2y + 2z) - (2x + 3y + 2z) = 9 - 9$
$x - y = 0 \Rightarrow x = y$
$x = y$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$x - x + 4z = 8 \Rightarrow 4z = 8 \Rightarrow z = 2$
$z = 2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x + 3y + 2(2) = 9$
$2x + 3y = 5$
चूंकि $x = y$,इसलिए $2x + 3x = 5 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1$
अतः,$x = 1, y = 1, z = 2$.
निकाय का एक अद्वितीय हल $(1, 1, 2)$ है।

(C) $x \in [-2, 2]$ के लिए,$f(x) = \min \{|x|, 2-x^2\}$ है।
$|x| = 2-x^2$ को हल करने पर,हमें $x^2 + |x| - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $(|x|+2)(|x|-1) = 0$ देता है। चूँकि $|x| \geq 0$,इसलिए $|x| = 1$,अतः $x = \pm 1$ है।
इस प्रकार,$x \in [-1, 1]$ के लिए $f(x) = |x|$ और $x \in [-2, -1) \cup (1, 2]$ के लिए $f(x) = 2-x^2$ है।
$(-2, 2)$ में अवकलनीय न होने वाले बिंदु $x = -1, 0, 1$ हैं (क्योंकि $|x|$ और वक्रों के प्रतिच्छेदन के कारण)।
$2 < |x| \leq 3$ के लिए,$f(x) = [|x|]$ है।
$x \in (2, 3]$ के लिए,$x \in (2, 3)$ के लिए $f(x) = [x] = 2$ और $f(3) = 3$ है। यह $x = 3$ (जो $(-3, 3)$ में नहीं है) और $x = 2$ (जंप असंततता) पर असंतत है।
$x \in [-3, -2)$ के लिए,$f(x) = [|x|]$ है। $x \in (-3, -2)$ के लिए,$f(x) = 2$ है। $x = -2$ पर,$f(-2) = 2$ और $x = -3$ पर,$f(-3) = 3$ है।
बिंदुओं की जाँच करने पर: $x = -2, -1, 0, 1, 2$। इन $5$ बिंदुओं पर,फलन या तो असंतत है या वहाँ एक तीक्ष्ण कोना (sharp corner) है।
अतः,अवकलनीय न होने वाले बिंदुओं की संख्या $5$ है।

(B) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \alpha \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i} - \alpha \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}| = 8 \sqrt{3}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & \alpha & 3 \\ 3 & -\alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(\alpha - (-3\alpha)) - \hat{j}(1 - 9) + \hat{k}(-\alpha - 3\alpha) = 4\alpha \hat{i} + 8 \hat{j} - 4\alpha \hat{k}$.
अब,इसका परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(4\alpha)^2 + 8^2 + (-4\alpha)^2} = \sqrt{16\alpha^2 + 64 + 16\alpha^2} = \sqrt{32\alpha^2 + 64}$.
दिए गए क्षेत्रफल के साथ तुलना करने पर:
$\sqrt{32\alpha^2 + 64} = 8 \sqrt{3} \Rightarrow 32\alpha^2 + 64 = 64 \times 3 = 192$.
$32\alpha^2 = 192 - 64 = 128 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.
अंत में,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (\alpha)(-\alpha) + (3)(1) = 3 - \alpha^2 + 3 = 6 - \alpha^2$.
$\alpha^2 = 4$ रखने पर,हमें $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 - 4 = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वक्र $x=y^{4}$ और $xy=k$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$x=y^{4}$ को $xy=k$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{4} \cdot y = k \Rightarrow y^{5} = k \ldots(1)$.
अब,$x=y^{4}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 = 4y^{3} \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y^{3}}$.
इसके बाद,$xy=k$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
चूंकि $x = \frac{k}{y}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{k/y} = -\frac{y^{2}}{k}$.
चूंकि वक्र समकोण पर काटते हैं,इसलिए उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(\frac{1}{4y^{3}}\right) \cdot \left(-\frac{y^{2}}{k}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{1}{4yk} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{4k}$.
$y = \frac{1}{4k}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\left(\frac{1}{4k}\right)^{5} = k$.
$\Rightarrow \frac{1}{(4k)^{5}} = k$.
$\Rightarrow (4k)^{6} = 4$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(2xy^2 - y)dx + xdy = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy^2 dx - ydx + xdy = 0$।
$xy^2$ से भाग देने पर: $2xdx - \frac{ydx - xdy}{y^2} = 0$।
यह $2xdx = d(\frac{x}{y})$ के रूप में सरल होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 2xdx = \int d(\frac{x}{y}) \Rightarrow x^2 = \frac{x}{y} + c$।
रेखाओं $2x - 3y = 1$ और $3x + 2y = 8$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,पहले समीकरण को $2$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करें: $4x - 6y = 2$ और $9x + 6y = 24$।
जोड़ने पर $13x = 26 \Rightarrow x = 2$ प्राप्त होता है। $x=2$ को $2x - 3y = 1$ में रखने पर $4 - 3y = 1 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$ प्राप्त होता है।
वक्र $(2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $2^2 = \frac{2}{1} + c \Rightarrow 4 = 2 + c \Rightarrow c = 2$।
वक्र का समीकरण $x^2 = \frac{x}{y} + 2$ है।
$x = 1$ के लिए,$1^2 = \frac{1}{y} + 2 \Rightarrow 1 = \frac{1}{y} + 2 \Rightarrow \frac{1}{y} = -1 \Rightarrow y = -1$।
अतः,$|y(1)| = |-1| = 1$।

(A) हमें समाकलन $I = \int_{-2}^{2} |3x^2 - 3x - 6| dx$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,निरपेक्ष मान के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करें: $3x^2 - 3x - 6 = 3(x^2 - x - 2) = 3(x - 2)(x + 1)$.
द्विघात समीकरण के मूल $x = -1$ और $x = 2$ हैं।
अंतराल $[-2, -1]$ में,$3(x^2 - x - 2) \ge 0$ है।
अंतराल $[-1, 2]$ में,$3(x^2 - x - 2) \le 0$ है।
अतः,$I = 3 \left[ \int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) dx + \int_{-1}^{2} -(x^2 - x - 2) dx \right]$.
प्रथम समाकलन का मान: $\int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (-\frac{8}{3} - 2 + 4) = \frac{7}{6} - (-\frac{2}{3}) = \frac{11}{6}$.
द्वितीय समाकलन का मान: $-\int_{-1}^{2} (x^2 - x - 2) dx = -[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x]_{-1}^{2} = -[(\frac{8}{3} - 2 - 4) - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2)] = -[-\frac{10}{3} - \frac{7}{6}] = \frac{27}{6}$.
कुल मान $I = 3 \times (\frac{11}{6} + \frac{27}{6}) = 3 \times \frac{38}{6} = 19$.

(C) $l_{1}$ के दिक् अनुपात $\vec{v}_{1} = (1, 2, 2)$ हैं और $l_{2}$ के $\vec{v}_{2} = (2, 2, 1)$ हैं।
चूंकि रेखा $l$,$l_{1}$ और $l_{2}$ दोनों के लंबवत है,इसका दिक् सदिश $\vec{v} = \vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
चूंकि $l$ मूल बिंदु से गुजरती है,इसका समीकरण $\vec{r} = \mu(-2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$ है।
$l$ और $l_{1}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए:
$3+t = -2\mu$,$-1+2t = 3\mu$,$4+2t = -2\mu$.
इन्हें हल करने पर,$t = -1$ और $\mu = -1$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(2, -3, 2)$ है।
माना $Q$,$l_{2}$ पर एक बिंदु है,$Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$.
$PQ = \sqrt{17}$ दिया गया है,अतः $PQ^{2} = 17$.
$(3+2s-2)^{2} + (3+2s+3)^{2} + (2+s-2)^{2} = 17$.
$(2s+1)^{2} + (2s+6)^{2} + s^{2} = 17$.
$9s^{2} + 28s + 20 = 0$.
$(9s+10)(s+2) = 0$,अतः $s = -2$ या $s = -10/9$.
$s = -10/9$ के लिए,$Q = (7/9, 7/9, 8/9)$,जो प्रथम अष्टांश में है।
अतः,$a=7/9, b=7/9, c=8/9$.
$18(a+b+c) = 18(7/9 + 7/9 + 8/9) = 18(22/9) = 44$.

(D) चूंकि $\overrightarrow{a}_{1}$ और $\overrightarrow{a}_{2}$ संरेख हैं,इसलिए उनके घटक आनुपातिक होने चाहिए:
$\frac{x}{1} = \frac{-1}{y} = \frac{1}{z} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
इससे हमें $x = k$,$y = -\frac{1}{k}$,और $z = \frac{1}{k}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सदिश $x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ में रखने पर,हमें $k \hat{i} - \frac{1}{k} \hat{j} + \frac{1}{k} \hat{k}$ प्राप्त होता है।
सदिशों के संरेख होने के लिए अनुपात समान रहना चाहिए। यदि हम सबसे सरल स्थिति $k=1$ लें,तो $x=1, y=-1, z=1$ प्राप्त होता है।
सदिश $\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ बन जाता है।
इस सदिश का परिमाण $\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
अतः,इकाई सदिश $\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ है।

(A) दिया गया है $f(k) = \begin{cases} k+1, & \text{यदि } k \text{ विषम है} \\ k, & \text{यदि } k \text{ सम है} \end{cases}$।
हमें शर्त $g(f(k)) = f(k)$ सभी $k \in A$ के लिए दी गई है।
यदि $k$ सम है,तो $f(k) = k$। अतः,$g(f(k)) = g(k) = f(k) = k$। इसलिए,सभी सम $k \in \{2, 4, 6, 8, 10\}$ के लिए $g(k) = k$ होगा।
यदि $k$ विषम है,तो $f(k) = k+1$। अतः,$g(f(k)) = g(k+1) = f(k) = k+1$। चूंकि $k+1$ हमेशा एक सम संख्या है,यह पुष्टि करता है कि $g$ सम संख्याओं को स्वयं से ही प्रतिचित्रित करता है,जिसे हमने पहले ही स्थापित कर लिया है।
विषम $k \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ के लिए,शर्त $g(f(k)) = f(k)$ का $g(k)$ के मान पर कोई प्रतिबंध नहीं है।
चूंकि $g: A \rightarrow A$,प्रत्येक $5$ विषम मानों के लिए,$g(k)$ समुच्चय $A$ के $10$ तत्वों में से कोई भी हो सकता है।
इसलिए,ऐसे फलनों $g$ की कुल संख्या $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^{5}$ है।

(B) $f(x)$ पर $R$ सतत है,इसलिए इसे $x = 1$ और $x = -1$ पर भी सतत होना चाहिए।
$x = 1$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$
$|a(1)^2 + 1 + b| = \lim_{x \rightarrow 1^+} \sin(\pi x)$
$|a + 1 + b| = \sin(\pi) = 0$
$a + b + 1 = 0 \Rightarrow a + b = -1$ ... $(1)$
$x = -1$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = f(-1) = \lim_{x \rightarrow -1^+} f(x)$
$\lim_{x \rightarrow -1^-} 2 \sin \left(-\frac{\pi x}{2}\right) = |a(-1)^2 + (-1) + b|$
$2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = |a - 1 + b|$
$2(1) = |a + b - 1|$
$|a + b - 1| = 2$
इसका अर्थ है कि $a + b - 1 = 2$ या $a + b - 1 = -2$ है।
$a + b = 3$ या $a + b = -1$ है।
चूंकि हमने पहले ही $x = 1$ पर सांतत्य से $a + b = -1$ प्राप्त कर लिया है,इसलिए $a + b$ का मान $-1$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt.$
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\ln t}{1+t} dt$ पर विचार करें.
माना $t = \frac{1}{u},$ तो $dt = -\frac{1}{u^2} du.$
जब $t=1, u=1$ और जब $t=1/x, u=x.$
अतः,$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln(1/u)}{1+(1/u)} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\ln u}{\frac{u+1}{u}} \left(\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\ln u}{u(1+u)} du.$
अब,$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt - \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t(1+t)} dt = \int_{1}^{x} \ln t \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{t(1+t)} \right) dt = \int_{1}^{x} \frac{\ln t (t-1)}{t(1+t)} dt.$
$x=e$ पर गणना करने पर,इसका मान $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) $(f \circ g)(x) = \sin^{-1}(g(x))$ का प्रांत $|g(x)| \leq 1$ होना चाहिए।
सबसे पहले,हम $g(2) = \lim_{x \to 2} \frac{(x+1)(x-2)}{(2x+3)(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+1}{2x+3} = \frac{3}{7}$ प्राप्त करते हैं।
अतः,हम $x \neq 2$ के लिए $|\frac{x+1}{2x+3}| \leq 1$ को हल करते हैं।
इसका अर्थ है $-1 \leq \frac{x+1}{2x+3} \leq 1$.
स्थिति $1$: $\frac{x+1}{2x+3} \leq 1 \Rightarrow \frac{x+1 - (2x+3)}{2x+3} \leq 0 \Rightarrow \frac{-x-2}{2x+3} \leq 0 \Rightarrow \frac{x+2}{2x+3} \geq 0$.
हल $x \in (-\infty, -2] \cup (-\frac{3}{2}, \infty)$ है।
स्थिति $2$: $\frac{x+1}{2x+3} \geq -1 \Rightarrow \frac{x+1 + 2x+3}{2x+3} \geq 0 \Rightarrow \frac{3x+4}{2x+3} \geq 0$.
हल $x \in (-\infty, -\frac{4}{3}] \cup (-\frac{3}{2}, \infty)$ है।
दोनों स्थितियों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर और $x=2$ को बाहर करने पर,हमें $x \in (-\infty, -2] \cup [-\frac{4}{3}, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) $r$ त्रिज्या और $O$ केंद्र वाले वृत्त में अंतर्निहित त्रिभुज $\Delta ABC$ मानिए।
माना $\theta = \angle OBP$ है,जहाँ $P$,$BC$ का मध्य बिंदु है।
त्रिभुज की ऊँचाई $h = r \sin \theta + r$ है।
त्रिभुज का आधार $BC = 2r \cos \theta$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} (2r \cos \theta) (r \sin \theta + r) = r^2 \cos \theta (1 + \sin \theta)$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$\Delta$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\Delta}{d\theta} = r^2 [-\sin \theta (1 + \sin \theta) + \cos \theta (\cos \theta)] = r^2 [-\sin \theta - \sin^2 \theta + \cos^2 \theta] = r^2 [1 - \sin \theta - 2 \sin^2 \theta]$ प्राप्त होता है।
$\frac{d\Delta}{d\theta} = 0$ रखने पर,$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$ हैं।
चूँकि $\theta \in [0, \pi/2)$,इसलिए $\sin \theta = 1/2$,अतः $\theta = \pi/6$ है।
$\theta = \pi/6$ पर,त्रिभुज की भुजा की लंबाई $s = 2r \cos(\pi/6) = 2r (\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}r$ है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल वाला त्रिभुज $\sqrt{3}r$ भुजा की लंबाई वाला एक समबाहु त्रिभुज है।

(D) समतलों के समीकरण $x+2y+z=6$ और $y+2z=4$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ को $z$ के पदों में व्यक्त करते हैं।
$y+2z=4$ से,हमें $y=4-2z$ प्राप्त होता है।
इसे पहले समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x+2(4-2z)+z=6 \Rightarrow x+8-4z+z=6 \Rightarrow x-3z=-2 \Rightarrow x=3z-2$.
इस प्रकार,रेखा $L$ को सममित रूप में $\frac{x+2}{3} = \frac{y-4}{-2} = z = \lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $P$,$(3\lambda-2, -2\lambda+4, \lambda)$ द्वारा दिया जाता है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ है।
मान लीजिए $A = (3,2,1)$ है। सदिश $\vec{AP} = (3\lambda-2-3, -2\lambda+4-2, \lambda-1) = (3\lambda-5, -2\lambda+2, \lambda-1)$ है।
चूंकि $\vec{AP} \perp \vec{v}$,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $(3\lambda-5)(3) + (-2\lambda+2)(-2) + (\lambda-1)(1) = 0$.
$9\lambda - 15 + 4\lambda - 4 + \lambda - 1 = 0 \Rightarrow 14\lambda - 20 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{10}{7}$.
$\lambda$ का मान रखने पर,$P = (3(\frac{10}{7})-2, -2(\frac{10}{7})+4, \frac{10}{7}) = (\frac{16}{7}, \frac{8}{7}, \frac{10}{7})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+\beta+\gamma = \frac{16+8+10}{7} = \frac{34}{7}$.
$21(\alpha+\beta+\gamma)$ का मान $21 \times \frac{34}{7} = 3 \times 34 = 102$ है।

(C) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2 + y}{x} = y^2 + \frac{y}{x}$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = y^2$ प्राप्त होता है।
$y^2$ से भाग देने पर,$y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y^{-1} = 1$ प्राप्त होता है।
माना $v = y^{-1}$,तो $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$।
इसे समीकरण में रखने पर,$-\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = 1$,या $\frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = -1$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।
हल $v \cdot x = \int (-1) \cdot x dx + C = -\frac{x^2}{2} + C$ है।
चूंकि $v = \frac{1}{y}$,इसलिए $\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
वक्र रेखा $x + 2y = 4$ को $x = -2$ पर काटता है,इसलिए $y$ ज्ञात करने के लिए $x = -2$ रखने पर: $-2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$।
वक्र $(-2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{-2}{3} = -\frac{(-2)^2}{2} + C \Rightarrow -\frac{2}{3} = -2 + C \Rightarrow C = \frac{4}{3}$।
अतः,$\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}$ है।
बिंदु $(3, y)$ के लिए,$\frac{3}{y} = -\frac{3^2}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{9}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{19}{6}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$y = -\frac{18}{19}$।

(B) माना कि दिए गए समीकरण हैं:
$P_{1}: x+2y-3z=a$
$P_{2}: 2x+6y-11z=b$
$P_{3}: x-2y+7z=c$
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह $D$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 6 & -11 \\ 1 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 1(42-22) - 2(14+11) - 3(-4-6) = 20 - 50 + 30 = 0$.
चूँकि $D=0$,प्रणाली का कोई अद्वितीय हल नहीं है।
अब,समीकरणों के रैखिक संयोजन की जाँच करें:
$2P_{2} + P_{3} = 2(2x+6y-11z) + (x-2y+7z) = 4x+12y-22z + x-2y+7z = 5x+10y-15z = 5(x+2y-3z) = 5P_{1}$.
अतः,यदि $5a = 2b + c$ है,तो तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का एक रैखिक संयोजन है,जिसका अर्थ है कि समतल सुसंगत हैं और एक सामान्य प्रतिच्छेदन रेखा साझा करते हैं।
इसलिए,जब $5a = 2b + c$ होता है तो प्रणाली के अनंत हल होते हैं।

(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(a) = 2$ और $f(a) = 4$ है।
हमें $L = \lim_{x \rightarrow a} \frac{x f(a) - a f(x)}{x - a}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके लोपिटल नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim_{x \rightarrow a} \frac{\frac{d}{dx}(x f(a) - a f(x))}{\frac{d}{dx}(x - a)}$
$L = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(a) - a f^{\prime}(x)}{1}$
$x = a$ रखने पर:
$L = f(a) - a f^{\prime}(a)$
$L = 4 - a(2) = 4 - 2a$.

(A) माना $P = (1, 3, 5)$ और $Q = (\alpha, \beta, \gamma)$ समतल $4x - 5y + 2z = 8$ के सापेक्ष $P$ का प्रतिबिंब है।
$PQ$ का मध्य बिंदु $M = \left(\frac{1+\alpha}{2}, \frac{3+\beta}{2}, \frac{5+\gamma}{2}\right)$ है।
चूंकि $M$ समतल पर स्थित है:
$4\left(\frac{1+\alpha}{2}\right) - 5\left(\frac{3+\beta}{2}\right) + 2\left(\frac{5+\gamma}{2}\right) = 8$
$2\alpha - 2.5\beta + \gamma = 8.5$ ... $(1)$
रेखा $PQ$ समतल के लंबवत है,इसलिए इसके दिक अनुपात अभिलंब सदिश $(4, -5, 2)$ के समानुपाती हैं:
$\frac{\alpha-1}{4} = \frac{\beta-3}{-5} = \frac{\gamma-5}{2} = k$
$\alpha = 1 + 4k, \beta = 3 - 5k, \gamma = 5 + 2k$ ... $(2)$
सूत्र $\frac{\alpha-x_1}{a} = \frac{\beta-y_1}{b} = \frac{\gamma-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1-d}{a^2+b^2+c^2}$ का उपयोग करने पर:
$k = -2 \frac{4(1) - 5(3) + 2(5) - 8}{16 + 25 + 4} = \frac{2}{5}$.
$k = \frac{2}{5}$ को $(2)$ में रखने पर:
$\alpha = \frac{13}{5}, \beta = 1, \gamma = \frac{29}{5}$
अतः,$5(\alpha + \beta + \gamma) = 5(\frac{13}{5} + 1 + \frac{29}{5}) = 13 + 5 + 29 = 47$.

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^{x}$.
$x=0$ पर,$f(0) = \int_{0}^{0} e^{t} f(t) dt + e^{0} = 0 + 1 = 1$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$f'(x) = e^{x} f(x) + e^{x} = e^{x}(f(x) + 1)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x) + 1} = e^{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $0$ से $x$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{x} \frac{f'(t)}{f(t) + 1} dt = \int_{0}^{x} e^{t} dt$.
$[\ln(f(t) + 1)]_{0}^{x} = [e^{t}]_{0}^{x}$.
$\ln(f(x) + 1) - \ln(f(0) + 1) = e^{x} - e^{0}$.
चूंकि $f(0) = 1$,इसलिए $\ln(f(x) + 1) - \ln(2) = e^{x} - 1$.
$\ln\left(\frac{f(x) + 1}{2}\right) = e^{x} - 1$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर:
$\frac{f(x) + 1}{2} = e^{(e^{x} - 1)}$.
$f(x) = 2 e^{(e^{x} - 1)} - 1$.

(A) वक्र $y = \sin x$ और $y = \cos x$ प्रथम चतुर्थांश में $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$A_{1}$ वह क्षेत्रफल है जो $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{4}$ तक $y = \cos x$,$y = \sin x$ और $y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है:
$A_{1} = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
$A_{2}$ वह क्षेत्रफल है जो $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{4}$ तक $y = \sin x$ और $x = \frac{\pi}{4}$ से $x = \frac{\pi}{2}$ तक $y = \cos x$ द्वारा परिबद्ध है:
$A_{2} = \int_{0}^{\pi/4} \sin x dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/4} + [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$A_{2} = (-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1)) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$.
अब,$A_{1} : A_{2} = (\sqrt{2} - 1) : \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) = 1 : \sqrt{2}$.
और $A_{1} + A_{2} = (\sqrt{2} - 1) + (2 - \sqrt{2}) = 1$.

(C) हमें दिया गया है $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$।
$x = \frac{1}{1+y}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{(1+y)^2} dy$ प्राप्त होता है।
जब $x=0, y \to \infty$ और जब $x=1, y=0$।
अतः,$I_{m, n} = \int_{\infty}^{0} (\frac{1}{1+y})^{m-1} (1 - \frac{1}{1+y})^{n-1} (-\frac{1}{(1+y)^2}) dy = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$।
इसी प्रकार,$I_{m, n} = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{m-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$।
दोनों को जोड़ने पर,$2I_{m, n} = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$।
समाकलन को $y=1$ पर विभाजित करने पर:
$2I_{m, n} = \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy + \int_{1}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$।
दूसरे समाकलन में,$y = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dy = -\frac{1}{t^2} dt$।
$\int_{1}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy = \int_{1}^{0} \frac{(1/t)^{m-1} + (1/t)^{n-1}}{(1 + 1/t)^{m+n}} (-1/t^2) dt = \int_{0}^{1} \frac{t^{n-1} + t^{m-1}}{(t+1)^{m+n}} dt$।
अतः,$2I_{m, n} = \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy + \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy = 2 \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$।
इसलिए,$\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1} + x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = I_{m, n}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 1$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$,$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
प्रेरण द्वारा,सम $n$ के लिए $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और विषम $n$ के लिए $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{20} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{20} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $A^{19} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{19} & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
समीकरण $A^{20} + \alpha A^{19} + \beta A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ में मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 1+\alpha+\beta & 0 & 0 \\ 0 & 2^{20}+\alpha 2^{19}+2\beta & 0 \\ 3\alpha+3\beta & 0 & 1-\alpha-\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
तुलना करने पर: $1+\alpha+\beta = 1 \Rightarrow \alpha+\beta = 0 \Rightarrow \beta = -\alpha$.
साथ ही,$2^{20} + \alpha 2^{19} + 2\beta = 4$. $\beta = -\alpha$ रखने पर:
$2^{20} + \alpha 2^{19} - 2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha(2^{19}-2) = 4 - 2^{20}$.
$\alpha = \frac{4 - 2^{20}}{2^{19}-2} = -2$.
इसलिए $\beta = 2$.
अतः,$\beta - \alpha = 2 - (-2) = 4$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(y+1) \tan ^{2} x \,dx+\tan x \,dy+y \,dx=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\tan x \,dy + (y \tan^2 x + y + \tan^2 x) \,dx = 0$ प्राप्त होता है।
$\tan x \,dx$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{y(\tan^2 x + 1) + \tan^2 x}{\tan x} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1+\tan^2 x = \sec^2 x$,इसलिए $\frac{dy}{dx} + y \frac{\sec^2 x}{\tan x} = -\tan x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$ और $Q(x) = -\tan x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \,dx} = e^{\ln(\tan x)} = \tan x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF \,dx + C$ है।
$y \tan x = \int -\tan^2 x \,dx + C = \int (1 - \sec^2 x) \,dx + C = x - \tan x + C$ है।
अतः,$y = \frac{x}{\tan x} - 1 + \frac{C}{\tan x}$ है।
दिया गया है कि $\lim_{x \to 0+} x y(x) = 1$,इसलिए $\lim_{x \to 0+} x \left( \frac{x}{\tan x} - 1 + \frac{C}{\tan x} \right) = 1$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$,इसलिए सीमा $1(1) - 0 + C(1) = 1$ हो जाती है,जिसका अर्थ है $1 + C = 1$,अतः $C = 0$ है।
इस प्रकार,$y(x) = \frac{x}{\tan x} - 1$ है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर मान रखने पर,$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi/4}{1} - 1 = \frac{\pi}{4} - 1$ है।

(D) $A$ या $B$ में से ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = \frac{5}{9}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, यह $P(A)P(\overline{B}) + P(\overline{A})P(B) = \frac{5}{9}$ हो जाता है।
दिए गए मान $P(A) = p$ और $P(B) = 2p$ रखने पर, हमें $p(1 - 2p) + (1 - p)(2p) = \frac{5}{9}$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर, $p - 2p^2 + 2p - 2p^2 = \frac{5}{9}$, जो सरल होकर $3p - 4p^2 = \frac{5}{9}$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण में व्यवस्थित करने पर: $36p^2 - 27p + 5 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(12p - 5)(3p - 1) = 0$।
अतः, $p = \frac{5}{12}$ या $p = \frac{1}{3}$।
$p$ का अधिकतम मान $\frac{5}{12}$ है।

(B) समघात रैखिक समीकरण निकाय का शून्येतर हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
माना $D = \begin{vmatrix} 1+\cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ \cos^2 \theta & 1+\sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2$ लागू करने पर:
$D = \begin{vmatrix} 2 & \sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ 2 & 1+\sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ 1 & \sin^2 \theta & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0$.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ लागू करने पर:
$D = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & \sin^2 \theta & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0 \implies 1(1+4\sin 3\theta) + 1 = 0$.
$2 + 4\sin 3\theta = 0 \implies \sin 3\theta = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $3\theta \in (0, \frac{3\pi}{2})$.
$\sin 3\theta = -\frac{1}{2}$ के लिए,$3\theta = \frac{7\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \frac{7\pi}{18}$।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos \left(2 \tan ^{-1} \sin \left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}\right)\right)$.
मान लीजिए $\theta = \cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}$. तब $\cot \theta = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{\sqrt{x/(1-x)}}{\sqrt{1+x/(1-x)}} = \sqrt{x}$ का उपयोग करने पर.
अतः,$\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}} = \sin ^{-1} \sqrt{x}$.
इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \cos \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{x}\right)$.
सर्वसमिका $2 \tan ^{-1} u = \cos ^{-1} \left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \cos \left(\cos ^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\right) = \frac{1-x}{1+x}$.
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$.
अब विकल्पों की जाँच करते हैं। $(1-x)^2 f^{\prime}(x) + 2(f(x))^2$ पर विचार करें:
$(1-x)^2 \left(\frac{-2}{(1+x)^2}\right) + 2 \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2 = \frac{-2(1-x)^2}{(1+x)^2} + \frac{2(1-x)^2}{(1+x)^2} = 0$.
अतः,$(1-x)^{2} f^{\prime}(x)+2(f(x))^{2}=0$ सही है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$।
हमें $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ दिया गया है।
हमें $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिगुणन गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$।
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1-1) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(1-0) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$।
अब,सदिश त्रिगुणन गुणनफल सर्वसमिका $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c}$ का उपयोग करते हैं।
चूंकि $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$,इसलिए $\vec{a} \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{c}$ प्राप्त होता है।
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ दिया गया है,अतः:
$-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 3\vec{c}$।
$3\vec{c} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} - (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$।
$\vec{c} = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$।
अंत में,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}) = -\frac{10}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$।

(B) माना $I = \int_{-1 / \sqrt{2}}^{1 / \sqrt{2}} \sqrt{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2} + \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2} - 2} \, dx$.
हम जानते हैं कि $a^2 + b^2 - 2 = (a-b)^2$. यहाँ $a = \frac{x+1}{x-1}$ और $b = \frac{x-1}{x+1}$ है।
अतः,समाकल्य $\sqrt{(\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1})^2} = |\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}|$ बन जाता है।
मापांक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{x^2-1} = \frac{4x}{x^2-1}$.
इस प्रकार,$I = \int_{-1 / \sqrt{2}}^{1 / \sqrt{2}} |\frac{4x}{x^2-1}| \, dx$.
चूंकि समाकल्य एक सम फलन है,$I = 2 \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} |\frac{4x}{x^2-1}| \, dx = 8 \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} |\frac{x}{x^2-1}| \, dx$.
$x \in [0, 1/\sqrt{2}]$ के लिए,$x^2-1 < 0$,इसलिए $|\frac{x}{x^2-1}| = -\frac{x}{x^2-1}$.
$I = -8 \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} \frac{x}{x^2-1} \, dx = -4 \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} \frac{2x}{x^2-1} \, dx$.
$I = -4 [\ln |x^2-1|]_{0}^{1 / \sqrt{2}} = -4 (\ln |1/2 - 1| - \ln |0-1|) = -4 (\ln(1/2) - 0) = -4 \ln(1/2) = 4 \ln 2 = \ln 16$.