JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = g(x)$ है।
चूंकि $f(x) = 0$ के $(a, b)$ में $5$ भिन्न मूल हैं,रोले के प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $5 - 1 = 4$ भिन्न मूल होने चाहिए।
अतः,$g(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $4$ भिन्न मूल हैं।
अब,$g(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू करने पर,चूंकि $g(x) = 0$ के कम से कम $4$ भिन्न मूल हैं,इसलिए $g'(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $4 - 1 = 3$ भिन्न मूल होने चाहिए।
समीकरण $g(x) g'(x) = 0$ तब संतुष्ट होता है जब $g(x) = 0$ या $g'(x) = 0$ हो।
चूंकि $g(x) = 0$ के कम से कम $4$ मूल हैं और $g'(x) = 0$ के कम से कम $3$ मूल हैं,इसलिए $g(x) g'(x) = 0$ के लिए $(a, b)$ में कुल भिन्न मूलों की संख्या कम से कम $4 + 3 = 7$ है।

(A) $0 \leq x \leq \pi$ के लिए,$f(x) = \max \{\sin t : 0 \leq t \leq x\}$ है। चूंकि $\sin t$,$[0, \pi/2]$ पर $0$ से $1$ तक बढ़ता है और $[\pi/2, \pi]$ पर $1$ से $0$ तक घटता है,इसलिए:
$f(x) = \sin x$ जब $0 \leq x \leq \pi/2$,और $f(x) = 1$ जब $\pi/2 < x \leq \pi$.
$x > \pi$ के लिए,$f(x) = 2 + \cos x$.
अब,$x = \pi$ पर सांतत्य की जाँच करें:
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = 1$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = 2 + \cos(\pi) = 2 - 1 = 1$.
चूंकि $f(\pi) = 1$,फलन $x = \pi$ पर सतत है।
अवकलनीयता की जाँच करें:
$x = \pi/2$ पर: बायाँ अवकलज $\cos(\pi/2) = 0$ है,दायाँ अवकलज $0$ है। अतः,$f$,$x = \pi/2$ पर अवकलनीय है।
$x = \pi$ पर: बायाँ अवकलज $0$ है (क्योंकि $x \in [\pi/2, \pi]$ के लिए $f(x)=1$)। दायाँ अवकलज $-\sin(\pi) = 0$ है। अतः,$f$,$x = \pi$ पर अवकलनीय है।
$x > \pi$ के लिए,$f(x) = 2 + \cos x$,जो हर जगह अवकलनीय है। इस प्रकार,$f$ $(0, \infty)$ में हर जगह अवकलनीय है।

(B) दिए गए वक्र $y = x+2$ और $y = x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = x+2$ रखें।
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x-2)(x+1) = 0$
अतः,$x = 2$ और $x = -1$ है।
क्षेत्रफल $A$,$x = -1$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{2} (x+2 - x^2) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$A = \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 - \frac{-1}{3} \right)$
$A = \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right)$
$A = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right)$
$A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-x^{3}) dy = (y+yx^{2}-3x^{4}) dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x-x^{3}) dy - y(1+x^{2}) dx = -3x^{4} dx$
पदों को इस प्रकार व्यवस्थित करें:
$x dy - x^{3} dy = y dx + yx^{2} dx - 3x^{4} dx$
$x dy - y dx = x^{3} dy + yx^{2} dx - 3x^{4} dx$
दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{x^{3} dy + yx^{2} dx}{x^{2}} - 3x^{2} dx$
$d(\frac{y}{x}) = d(xy) - d(x^{3})$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{y}{x} = xy - x^{3} + C$
दिया गया है $y(3)=3$,इसलिए $x=3, y=3$ रखने पर:
$\frac{3}{3} = 3(3) - 3^{3} + C$
$1 = 9 - 27 + C$
$1 = -18 + C \Rightarrow C = 19$
अतः,समीकरण $\frac{y}{x} = xy - x^{3} + 19$ है।
$x=4$ के लिए:
$\frac{y}{4} = 4y - 64 + 19$
$\frac{y}{4} = 4y - 45$
$y = 16y - 180$
$15y = 180$
$y = 12$

(B) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} = \vec{b} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
दिया है $|\vec{a}| = \sqrt{2}$,$|\vec{b}| = 1$,$|\vec{c}| = 2$,और $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta = 1 \cdot 2 \cdot \cos \theta = 2 \cos \theta$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{a} = (2 \cos \theta) \vec{b} - (1)^2 \vec{c} = 2 \cos \theta \vec{b} - \vec{c}$.
अब,$|\vec{a}|^2 = |2 \cos \theta \vec{b} - \vec{c}|^2 = (2 \cos \theta)^2 |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(2 \cos \theta) (\vec{b} \cdot \vec{c})$ की गणना करें.
$|\vec{a}|^2 = 4 \cos^2 \theta (1) + 4 - 4 \cos \theta (2 \cos \theta) = 4 \cos^2 \theta + 4 - 8 \cos^2 \theta = 4 - 4 \cos^2 \theta$.
चूंकि $|\vec{a}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$,इसलिए $2 = 4 - 4 \cos^2 \theta$.
$4 \cos^2 \theta = 2 \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$1 + \tan \theta = 1 + \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 + 1 = 2$.

(A) माना $X$ सही उत्तरों की संख्या है। चूंकि छात्र अनुमान लगाता है,$X$ द्विपद बंटन $B(n=8, p=1/2)$ का पालन करता है।
हमें $n$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात करना है जिसके लिए $P(X \geq n) < \frac{1}{2}$ हो।
$P(X \geq n) = \sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} (\frac{1}{2})^{r} (\frac{1}{2})^{8-r} = \frac{1}{2^{8}} \sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} < \frac{1}{2}$.
$\sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} < 2^{7} = 128$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{8} {}^{8}C_{r} = 2^{8} = 256$.
अतः,$\sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} = 256 - \sum_{r=0}^{n-1} {}^{8}C_{r} < 128$.
$\sum_{r=0}^{n-1} {}^{8}C_{r} > 128$.
$n=5$ के लिए,$\sum_{r=0}^{4} {}^{8}C_{r} = {}^{8}C_{0} + {}^{8}C_{1} + {}^{8}C_{2} + {}^{8}C_{3} + {}^{8}C_{4} = 1 + 8 + 28 + 56 + 70 = 163$.
चूंकि $163 > 128$,इसलिए $n=5$ के लिए शर्त पूरी होती है।
$n=4$ के लिए,$\sum_{r=0}^{3} {}^{8}C_{r} = 1 + 8 + 28 + 56 = 93$,जो $128$ से अधिक नहीं है।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $5$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^{3}-3x^{2}y-xy^{2}+3y^{3}=0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$x^{2}(x-3y) - y^{2}(x-3y) = 0$
$(x^{2}-y^{2})(x-3y) = 0$
$(x-y)(x+y)(x-3y) = 0$
इसका अर्थ है $x=y$ या $x=-y$ या $x=3y$।
चूंकि $x, y \in N$,$x=-y$ संभव नहीं है क्योंकि $x, y > 0$ है।
अतः,संबंध $R = \{(x, y) \in N \times N : x=y \text{ या } x=3y\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in N$ के लिए,$(x, x) \in R$ क्योंकि $x=x$ सत्य है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $(3, 1) \in R$ पर विचार करें क्योंकि $3=3(1)$ है। हालाँकि,$(1, 3) \notin R$ क्योंकि $1 \neq 3$ और $1 \neq 3(3)=9$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: $(9, 3) \in R$ (क्योंकि $9=3(3)$) और $(3, 1) \in R$ (क्योंकि $3=3(1)$) पर विचार करें। $R$ के संक्रामक होने के लिए,$(9, 1)$ को $R$ में होना चाहिए। लेकिन $9 \neq 1$ और $9 \neq 3(1)=3$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,$R$ स्वतुल्य है लेकिन न तो सममित और न ही संक्रामक है।

(A) दिया गया है कि $A^{5}=B^{5}$ और $A^{3} B^{2}=A^{2} B^{3}$ है।
पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर:
$A^{5}-A^{3} B^{2} = B^{5}-A^{2} B^{3}$
$A^{3}(A^{2}-B^{2}) = B^{5}-A^{2} B^{3}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$A^{3}(A^{2}-B^{2}) + B^{3}(A^{2}-B^{2}) = 0$
$(A^{3}+B^{3})(A^{2}-B^{2}) = 0$
चूंकि $(A^{2}-B^{2})$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,हम इसके प्रतिलोम $(A^{2}-B^{2})^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$(A^{3}+B^{3})(A^{2}-B^{2})(A^{2}-B^{2})^{-1} = 0 \cdot (A^{2}-B^{2})^{-1}$
$A^{3}+B^{3} = 0$
अतः,शून्य आव्यूह का सारणिक $|A^{3}+B^{3}| = |0| = 0$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
हम देख सकते हैं कि $A = I + N$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है और $N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
यहाँ $N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $N^3 = 0$ है।
द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए,$A^n = (I+N)^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2}N^2$.
अतः,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n & \frac{n^2+n}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$A^n$ के अवयवों का योग $S_n = 1 + n + \frac{n^2+n}{2} + 0 + 1 + n + 0 + 0 + 1 = 3 + 2n + \frac{n^2+n}{2} = 3 + \frac{5n+n^2}{2}$ है।
$M$ के अवयवों का योग $= \sum_{n=1}^{20} S_n = \sum_{n=1}^{20} (3 + \frac{5}{2}n + \frac{1}{2}n^2) = 3(20) + \frac{5}{2} \frac{20(21)}{2} + \frac{1}{2} \frac{20(21)(41)}{6}$.
$= 60 + 525 + 1435 = 2020$.

(D) बिंदुओं $Q(3,-4,-5)$ और $R(2,-3,1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{2-3} = \frac{y-(-4)}{-3-(-4)} = \frac{z-(-5)}{1-(-5)} = r$ द्वारा दिया जाता है।
यह सरल होकर $\frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+5}{6} = r$ हो जाता है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(x, y, z) = (-r+3, r-4, 6r-5)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x+y+z=7$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(-r+3) + (r-4) + (6r-5) = 7$.
$-2r + 6 + r - 4 + 6r - 5 = 7$.
$5r - 3 = 7 \Rightarrow 5r = 10 \Rightarrow r = 2$.
$r=2$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $T = (-2+3, 2-4, 6(2)-5) = (1, -2, 7)$ प्राप्त होता है।
$P(3,4,4)$ और $T(1,-2,7)$ के बीच की दूरी दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$PT = \sqrt{(1-3)^2 + (-2-4)^2 + (7-4)^2}$.
$PT = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \sin^{3} x e^{-\sin^{2} x} dx$ है। चूंकि $\sin^{3}(\pi - x) = \sin^{3} x$ और $\sin^{2}(\pi - x) = \sin^{2} x$,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{3} x e^{-\sin^{2} x} dx$ होगा।
$\sin^{3} x = \sin x (1 - \cos^{2} x)$ का उपयोग करने पर,$I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x e^{-\sin^{2} x} dx - 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^{2} x e^{-\sin^{2} x} dx$ प्राप्त होता है।
दूसरे समाकलन के लिए,खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,हमें $I = 2 - \frac{3}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ प्राप्त होता है।
$\alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2$ और $\beta = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 2 + 3 = 5$।

(C) दिए गए सदिश $\vec{a}=(1, -\alpha, \beta)$,$\vec{b}=(3, \beta, -\alpha)$,और $\vec{c}=(-\alpha, -2, 1)$ हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ से:
$(1)(3) + (-\alpha)(\beta) + (\beta)(-\alpha) = -1$
$3 - 2\alpha\beta = -1 \Rightarrow 2\alpha\beta = 4 \Rightarrow \alpha\beta = 2$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 10$ से:
$(3)(-\alpha) + (\beta)(-2) + (-\alpha)(1) = 10$
$-3\alpha - 2\beta - \alpha = 10 \Rightarrow -4\alpha - 2\beta = 10 \Rightarrow 2\alpha + \beta = -5$.
चूँकि $\alpha\beta = 2$ और $\beta = -5 - 2\alpha$,हम $\beta$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\alpha(-5 - 2\alpha) = 2 \Rightarrow -5\alpha - 2\alpha^2 = 2 \Rightarrow 2\alpha^2 + 5\alpha + 2 = 0$.
$(2\alpha + 1)(\alpha + 2) = 0$. चूँकि $\alpha$ एक पूर्णांक है,$\alpha = -2$ होगा।
अतः $\beta = -5 - 2(-2) = -5 + 4 = -1$.
अब,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$= 1(-1 + 4) - 2(3 - 4) - 1(-6 + 2)$
$= 1(3) - 2(-1) - 1(-4) = 3 + 2 + 4 = 9$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $dy = e^{\alpha x + y} dx$ है।
चरों को अलग करने पर:
$e^{-y} dy = e^{\alpha x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int e^{-y} dy = \int e^{\alpha x} dx$
$-e^{-y} = \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} + C \quad \dots(i)$
प्रतिबंध $y(0) = \log_{e}(\frac{1}{2}) = -\log_{e} 2$ का उपयोग करने पर:
$-e^{-(-\log_{e} 2)} = \frac{e^{\alpha(0)}}{\alpha} + C$
$-e^{\log_{e} 2} = \frac{1}{\alpha} + C$
$-2 = \frac{1}{\alpha} + C \quad \dots(ii)$
प्रतिबंध $y(\log_{e} 2) = \log_{e} 2$ का उपयोग करने पर:
$-e^{-\log_{e} 2} = \frac{e^{\alpha \log_{e} 2}}{\alpha} + C$
$-\frac{1}{2} = \frac{2^{\alpha}}{\alpha} + C \quad \dots(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(-\frac{1}{2}) - (-2) = \frac{2^{\alpha}}{\alpha} - \frac{1}{\alpha}$
$\frac{3}{2} = \frac{2^{\alpha} - 1}{\alpha}$
यदि $\alpha = 2$ हो,तो:
$\frac{2^{2} - 1}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$।
अतः,$\alpha$ का मान $2$ है।

(A) माना $I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{8 - \sin 2x}} dx$.
हम जानते हैं कि $8 - \sin 2x = 9 - (1 + \sin 2x) = 9 - (\sin x + \cos x)^2$.
अतः,$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{9 - (\sin x + \cos x)^2}} dx$.
माना $t = \sin x + \cos x$.
तब $dt = (\cos x - \sin x) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{dt}{\sqrt{3^2 - t^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \sin^{-1}(\frac{t}{3}) + c$ प्राप्त होता है।
$t = \sin x + \cos x$ वापस रखने पर,$I = \sin^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{3}\right) + c$.
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $a \sin^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{b}\right) + c$ से करने पर,हमें $a = 1$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (1, 3)$ है।

(A) माना बिंदु $P(a, 6, 9)$ है और इसका दर्पण प्रतिबिंब $P'(20, b, -a-9)$ है।
$PP'$ का मध्य-बिंदु $M = \left(\frac{a+20}{2}, \frac{6+b}{2}, \frac{9-a-9}{2}\right) = \left(\frac{a+20}{2}, \frac{6+b}{2}, -\frac{a}{2}\right)$ है।
चूंकि $M$ रेखा $\frac{x-3}{7} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-1}{-9} = k$ पर स्थित है,इसलिए:
$\frac{\frac{a+20}{2}-3}{7} = \frac{\frac{6+b}{2}-2}{5} = \frac{-\frac{a}{2}-1}{-9} = k$.
पहले और तीसरे भाग से: $\frac{a+14}{14} = \frac{a+2}{18} \implies 18a + 252 = 14a + 28 \implies 4a = -224 \implies a = -56$.
$a = -56$ का मान रेखा के समीकरण में रखने पर: $\frac{-56+14}{14} = \frac{6+b-4}{10} \implies -3 = \frac{b+2}{10} \implies b+2 = -30 \implies b = -32$.
अतः,$|a+b| = |-56 - 32| = |-88| = 88$.