JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) हम जानते हैं कि ${}^{n}C_{k} = {}^{n}C_{n-k}$.
अतः,दिए गए योग को $\sum_{k=0}^{20} {}^{20}C_{k} \cdot {}^{20}C_{k} = \sum_{k=0}^{20} {}^{20}C_{k} \cdot {}^{20}C_{20-k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
Vandermonde सर्वसमिका के अनुसार,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$.
यहाँ,$m = 20$,$n = 20$,और $r = 20$ है।
अतः,योग ${}^{20+20}C_{20} = {}^{40}C_{20}$ के बराबर है।

(A) परवलय का समीकरण $y^{2} = 8x$ है,इसलिए $4a = 8 \Rightarrow a = 2$। नियता $x = -2$ है।
$1$. $P(2, -4)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण:
$T = 0$ का उपयोग करते हुए,$y(-4) = 4(x + 2)$ $\Rightarrow -4y = 4x + 8$ $\Rightarrow x + y + 2 = 0$।
नियता $x = -2$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: $-2 + y + 2 = 0 \Rightarrow y = 0$। अतः,$A(-2, 0)$।
$2$. $P(2, -4)$ पर अभिलंब का समीकरण:
स्पर्शरेखा की ढाल $m_{T} = -1$ है। अभिलंब की ढाल $m_{N} = -1 / m_{T} = 1$ है।
समीकरण: $y - (-4) = 1(x - 2)$ $\Rightarrow y + 4 = x - 2$ $\Rightarrow x - y - 6 = 0$।
नियता $x = -2$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: $-2 - y - 6 = 0 \Rightarrow y = -8$। अतः,$B(-2, -8)$।
$3$. चूँकि $AQBP$ एक वर्ग है,विकर्ण $AB$ और $PQ$ एक ही मध्यबिंदु $M$ पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
$AB$ का मध्यबिंदु = $((-2 + -2) / 2, (0 + -8) / 2) = (-2, -4)$।
$PQ$ का मध्यबिंदु = $((a + 2) / 2, (b - 4) / 2) = (-2, -4)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$(a + 2) / 2 = -2$ $\Rightarrow a + 2 = -4$ $\Rightarrow a = -6$।
$(b - 4) / 2 = -4$ $\Rightarrow b - 4 = -8$ $\Rightarrow b = -4$।
$4$. $2a + b$ की गणना:
$2(-6) + (-4) = -12 - 4 = -16$।

(B) दिया गया है $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\sin (A-C)}{\sin (C-B)}$.
चूँकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,$A+B+C = \pi$,अतः $A = \pi - (B+C)$ और $\sin A = \sin (B+C)$.
इसी प्रकार,$B = \pi - (A+C)$ और $\sin B = \sin (A+C)$.
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{\sin (B+C)}{\sin (A+C)} = \frac{\sin (A-C)}{\sin (C-B)}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$\sin (B+C) \sin (C-B) = \sin (A+C) \sin (A-C)$.
सर्वसमिका $\sin (x+y) \sin (x-y) = \sin^{2} x - \sin^{2} y$ का उपयोग करने पर:
$\sin^{2} C - \sin^{2} B = \sin^{2} A - \sin^{2} C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 \sin^{2} C = \sin^{2} A + \sin^{2} B$.
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$.
अतः,$2c^{2} = a^{2} + b^{2}$.
यह दर्शाता है कि $a^{2}, c^{2}, b^{2}$ $A.P.$ में हैं (या $b^{2}, c^{2}, a^{2}$ $A.P.$ में हैं)।

(C) माना $f(x) = x^{2}+bx+c$ है। चूंकि $\alpha, \beta$ मूल हैं,$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ होगा।
जैसे $x \rightarrow \beta$,$f(x) \rightarrow 0$ होता है।
टेलर श्रेणी विस्तार $e^{u} = 1 + u + \frac{u^{2}}{2!} + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 2f(x)$:
$\lim _{x \rightarrow \beta} \frac{e^{2f(x)}-1-2f(x)}{(x-\beta)^{2}} = \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{(1 + 2f(x) + \frac{(2f(x))^{2}}{2} + \dots) - 1 - 2f(x)}{(x-\beta)^{2}}$
$= \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{2(f(x))^{2}}{(x-\beta)^{2}}$
$= \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{2((x-\alpha)(x-\beta))^{2}}{(x-\beta)^{2}}$
$= \lim _{x \rightarrow \beta} 2(x-\alpha)^{2} = 2(\beta-\alpha)^{2}$
चूंकि $(\beta-\alpha)^{2} = (\beta+\alpha)^{2} - 4\alpha\beta = (-b)^{2} - 4c = b^{2}-4c$,
अतः सीमा $2(b^{2}-4c)$ है।

(B) मान लीजिए विपरीत फलकों का युग्म $(a, b)$ है जहाँ $a+b=7$ है। $a$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(a) = \frac{1}{6}-x$ है और $P(b) = \frac{1}{6}+x$ है। विपरीत फलकों के अन्य दो युग्मों के लिए,प्रत्येक फलक की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।
दो उछालों का योग $7$ होता है यदि परिणाम $(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)$ हों।
योग $7$ होने की प्रायिकता $= 2[P(1)P(6) + P(2)P(5) + P(3)P(4)]$.
मान लीजिए $(1,6)$ वे फलक हैं जिनकी प्रायिकताएँ $\frac{1}{6}-x$ और $\frac{1}{6}+x$ हैं,तो $P(2)=P(5)=\frac{1}{6}$ और $P(3)=P(4)=\frac{1}{6}$ होगा।
योग की प्रायिकता $= 2[(\frac{1}{6}-x)(\frac{1}{6}+x) + (\frac{1}{6})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{6})(\frac{1}{6})] = \frac{13}{96}$.
$2[(\frac{1}{36}-x^2) + \frac{1}{36} + \frac{1}{36}] = \frac{13}{96}$.
$2[\frac{3}{36}-x^2] = \frac{13}{96} \Rightarrow \frac{1}{6}-2x^2 = \frac{13}{96}$.
$2x^2 = \frac{1}{6}-\frac{13}{96} = \frac{16-13}{96} = \frac{3}{96} = \frac{1}{32}$.
$x^2 = \frac{1}{64} \Rightarrow x = \frac{1}{8}$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^{2}+9 y^{2}-4 x+3=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x^{2}-4 x)+(9 y^{2})+3=0$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^{2}-4 x+4)+9 y^{2}+3-4=0$
$(x-2)^{2}+(3 y)^{2}=1$
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है: $\frac{(x-2)^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{(1/3)^{2}}=1$
दीर्घवृत्त $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,$x$ का परिसर $[h-a, h+a]$ और $y$ का परिसर $[k-b, k+b]$ होता है।
यहाँ,$h=2, a=1, k=0, b=1/3$ है।
अतः,$x \in [2-1, 2+1] = [1, 3]$ और $y \in [0-1/3, 0+1/3] = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ है।
इस प्रकार,$x$ और $y$ क्रमशः $[1, 3]$ और $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ में स्थित हैं।

(B) वृत्त $x^{2}+y^{2}+px+(1-p)y+5=0$ की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{2p^{2} - 2p - 19}}{2}$ है।
चूंकि $r \in (0, 5]$,इसलिए $0 < 2p^{2} - 2p - 19 \leq 100$ प्राप्त होता है।
इस असमिका को हल करने पर,$q = p^{2}$ के पूर्णांक मान $8$ से $68$ तक प्राप्त होते हैं।
पूर्णांक मानों की कुल संख्या $68 - 8 + 1 = 61$ है।

(A) प्रत्येक समुच्चय के लिए हल करें:
$A = (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
$B = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$
$C = (-\infty, 2] \cup [6, \infty)$
सर्वनिष्ठ $A \cap B \cap C = (-\infty, -2) \cup [6, \infty)$
पूरक समुच्चय $(A \cap B \cap C)^c = [-2, 6)$
पूर्णांकों के साथ सर्वनिष्ठ $\mathbb{Z} \cap [-2, 6) = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
अवयवों की संख्या $8$ है।
अतः,उपसमुच्चयों की संख्या $= 2^8 = 256$.

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण ज्ञात करने का सूत्र $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ है।
दिया गया है कि प्रसरण $14$ है,इसलिए:
$\frac{n^2 - 1}{12} = 14$
$n^2 - 1 = 14 \times 12$
$n^2 - 1 = 168$
$n^2 = 169$
$n = \sqrt{169} = 13$.
चूंकि $13$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $n$ का मान $13$ है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{(2a)^{2}}=1$ के बिंदु $(b \cos \theta, 2a \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{b} + \frac{y \sin \theta}{2a} = 1$ है।
$x$-अंतःखंड $A = (\frac{b}{\cos \theta}, 0)$ और $y$-अंतःखंड $B = (0, \frac{2a}{\sin \theta})$ है।
त्रिभुज $\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times |x_{\text{intercept}}| \times |y_{\text{intercept}}| = \frac{1}{2} \times \frac{b}{\cos \theta} \times \frac{2a}{\sin \theta} = \frac{ab}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2ab}{\sin 2\theta}$ है।
चूंकि $\sin 2\theta$ का न्यूनतम मान $1$ है ($\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए),इसलिए न्यूनतम क्षेत्रफल $2ab$ है।
यह दिया गया है कि न्यूनतम क्षेत्रफल $kab$ है,इसलिए $kab = 2ab$,जिसका अर्थ है कि $k = 2$.

(D) छह अंकों की पैलिंड्रोम संख्या $abc cba$ के रूप में होती है। छह अंकों की संख्या होने के कारण,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
संख्या के $55$ से विभाज्य होने के लिए,इसे $5$ और $11$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
$5$ से विभाज्यता के लिए अंतिम अंक $0$ या $5$ होना चाहिए। छह अंकों की संख्या होने के कारण,पहला अंक $a$ शून्य नहीं हो सकता। इसलिए,$a = 5$ है।
संख्या $5bc c b5$ के रूप में है।
$11$ से विभाज्यता के लिए,अंकों का एकांतर योग $11$ से विभाज्य होना चाहिए:
$(5 + c + b) - (b + c + 5) = 0$।
चूंकि $0$,$11$ से विभाज्य है,इसलिए $b$ और $c$ का कोई भी मान संख्या को $11$ से विभाज्य बना देगा।
$b$ के लिए $10$ संभावित मान ($0$ से $9$) और $c$ के लिए $10$ संभावित मान ($0$ से $9$) हैं।
ऐसी पैलिंड्रोम संख्याओं की कुल संख्या $= 10 \times 10 = 100$।

(B) परवलय की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता (directrix) होती है।
परवलय $y^{2} = 4a(x-h)$ के लिए,नियता का समीकरण $x = h - a$ होता है।
यहाँ,$4a = 16$,इसलिए $a = 4$ है।
शीर्ष $(h, k) = (3, 0)$ है।
अतः नियता $x = 3 - 4$ होगी,जो $x = -1$ के बराबर है।
इस प्रकार,बिंदुपथ $x + 1 = 0$ है।

(A) माना $a = 3x^2 + 4x + 3$ और $b = 3x^2 + 4x + 2$ है। यहाँ $b = a - 1$ है।
दिया गया समीकरण $a^2 - (k + 1)ab + kb^2 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर:
$(a - b)(a - kb) = 0$
दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \; a = b \Rightarrow 3 = 2$ (असंभव)।
$2) \; a = kb \Rightarrow 3x^2 + 4x + 3 = k(3x^2 + 4x + 2)$।
समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$3(k - 1)x^2 + 4(k - 1)x + (2k - 3) = 0$।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = 16(k - 1)^2 - 12(k - 1)(2k - 3) \geq 0$
$4(k - 1)(-2k + 5) \geq 0$
$(k - 1)(2k - 5) \leq 0$।
हल करने पर,$1 \leq k \leq \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है। $k = 1$ के लिए समीकरण का अस्तित्व नहीं है,अतः $k \neq 1$।
अतः,$k \in (1, \frac{5}{2}]$।

(A) दिया गया व्यंजक: $(p \wedge q) \Rightarrow ((r \wedge q) \wedge p)$
निहितार्थ नियम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$\sim(p \wedge q) \vee ((r \wedge q) \wedge p)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों का उपयोग करने पर:
$\sim(p \wedge q) \vee ((r \wedge p) \wedge (p \wedge q))$
वितरण नियम $X \vee (Y \wedge Z) \equiv (X \vee Y) \wedge (X \vee Z)$ का उपयोग करने पर:
$(\sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)) \wedge (\sim(p \wedge q) \vee (p \wedge q))$
चूंकि $\sim A \vee A \equiv t$ (पुनरुक्ति):
$(\sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)) \wedge t$
$\equiv \sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)$
वापस निहितार्थ रूप में बदलने पर:
$(p \wedge q) \Rightarrow (r \wedge p)$

(C) माना $\angle ACB = \theta$ और $\angle BCD = \alpha$ है। आकृति से,$\tan \theta = \frac{1}{2}$ है।
$\triangle BCD$ में,$\tan(\theta + \alpha) = \frac{BD}{CD} = \frac{x}{a+b}$ है।
आकृति के अनुसार,$\tan(\theta + \alpha) = \frac{x}{a}$ प्राप्त होता है।
$\tan(\theta + \alpha) = \frac{\tan \theta + \tan \alpha}{1 - \tan \theta \tan \alpha} = \frac{x}{a}$ का उपयोग करने पर।
$\tan \theta = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\frac{1/2 + x/(a+b)}{1 - (1/2)(x/(a+b))} = \frac{x}{a}$
सरल करने पर,$x^2 - 2ax + b(a+b) = 0$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है $y = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} (1 - \frac{1}{n+1}) x^{n+1}$.
$y = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n+1} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
$y = (x^2 + x^3 + x^4 + \dots) - (\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \dots)$.
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग $\frac{x^2}{1-x}$ और विस्तार $-\ln(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{x^2}{1-x} - (-\ln(1-x) - x) = \frac{x^2}{1-x} + \ln(1-x) + x$.
$y = \frac{x^2 + x(1-x)}{1-x} + \ln(1-x) = \frac{x}{1-x} + \ln(1-x)$.
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y = \frac{1/2}{1-1/2} + \ln(1-1/2) = 1 + \ln(1/2) = 1 - \ln 2$.
अतः $e^{1+y} = e^{1 + 1 - \ln 2} = e^{2 - \ln 2} = e^2 \cdot e^{-\ln 2} = e^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{e^2}{2}$.

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x\right)=b$।
सीमा के अस्तित्व के लिए $a=1$ होना आवश्यक है।
व्यंजक का परिमेयकरण करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-x+1-a^{2}x^{2}}{\sqrt{x^{2}-x+1}+ax} = b$
$x^{2}$ का गुणांक $0$ लेने पर,$1-a^{2}=0 \Rightarrow a=1$।
अब,$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+x} = b$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{-1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+1} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$
अतः,$b = -\frac{1}{2}$।
क्रमित युग्म $(a, b) = \left(1, -\frac{1}{2}\right)$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\sin^{4} \theta + \cos^{4} \theta - \sin \theta \cos \theta = 0$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^{4} \theta + \cos^{4} \theta = 1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$ है।
अतः,$1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta - \sin \theta \cos \theta = 0$ है।
$2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर,$1 - \frac{\sin^{2} 2\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
$2 - \sin^{2} 2\theta - \sin 2\theta = 0 \Rightarrow \sin^{2} 2\theta + \sin 2\theta - 2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(\sin 2\theta + 2)(\sin 2\theta - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$\sin 2\theta = 1$ होगा,क्योंकि $\sin 2\theta = -2$ संभव नहीं है।
$\theta \in [0, 4\pi]$ के लिए,$2\theta \in [0, 8\pi]$ है।
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{13\pi}{2}$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}$ है।
योग $S = 7\pi$ है।
इसलिए,$\frac{8S}{\pi} = 56$ है।

(C) दिया गया है $|z-3|=\operatorname{Re}(z)$। मान लीजिए $z=x+iy$ है।
$(x-3)^{2}+y^{2}=x^{2}$
$x^{2}-6x+9+y^{2}=x^{2}$
$y^{2}=6x-9=6(x-\frac{3}{2})$।
यह $(\frac{3}{2}, 0)$ शीर्ष वाला एक परवलय है।
मान लीजिए $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ और $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ है।
चूँकि $\arg(z_{1}-z_{2})=\frac{\pi}{4}$, $z_{1}$ और $z_{2}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $\tan(\frac{\pi}{4})=1$ है।
अतः, $\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=1 \Rightarrow y_{1}-y_{2}=x_{1}-x_{2} \Rightarrow x_{1}-y_{1}=x_{2}-y_{2}$।
परवलय के समीकरण से, $x_{1}=\frac{y_{1}^{2}}{6}+\frac{3}{2}$ और $x_{2}=\frac{y_{2}^{2}}{6}+\frac{3}{2}$ है।
इन मानों को $x_{1}-x_{2}=y_{1}-y_{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y_{1}^{2}}{6}+\frac{3}{2})-(\frac{y_{2}^{2}}{6}+\frac{3}{2})=y_{1}-y_{2}$
$\frac{1}{6}(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=y_{1}-y_{2}$।
चूँकि $z_{1} \neq z_{2}$, $y_{1} \neq y_{2}$, इसलिए हम $(y_{1}-y_{2})$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{1}{6}(y_{1}+y_{2})=1 \Rightarrow y_{1}+y_{2}=6$।
$z_{1}+z_{2}$ का काल्पनिक भाग $y_{1}+y_{2}=6$ है।

(C) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9\}$ है। अवयवों को $3$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर वर्गीकृत करते हैं:
$P = \{3, 6, 9\}$ (शेषफल $0$,संख्या $3$)
$Q = \{2, 5\}$ (शेषफल $2$,संख्या $2$)
$R = \{1, 4\}$ (शेषफल $1$,संख्या $2$)
कुल उपसमुच्चय $2^7 = 128$ हैं।
गणना करने पर,$3$ से विभाज्य योग वाले उपसमुच्चयों की संख्या $44$ है (रिक्त समुच्चय सहित)।
रिक्त समुच्चय को घटाने पर,$44 - 1 = 43$।
कुल उपसमुच्चय $127$ हैं।
$3$ से अविभाज्य योग वाले उपसमुच्चय $= 127 - 43 = 84$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $80$ है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $2x^2 - y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 2$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ है।
बिंदु $A(\sec \theta, 2 \tan \theta)$ के लिए,अभिलंब $\frac{1 \cdot x}{\sec \theta} + \frac{2 \cdot y}{2 \tan \theta} = 1 + 2 = 3$ है,जो $x \cos \theta + y \cot \theta = 3$ में सरल होता है।
बिंदु $B(\sec \phi, 2 \tan \phi)$ के लिए,अभिलंब $x \cos \phi + y \cot \phi = 3$ है।
दिया गया है कि $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$.
अतः समीकरण हैं:
$1) x \cos \theta + y \cot \theta = 3$
$2) x \sin \theta + y \tan \theta = 3$
$x$ को विलुप्त करके $y = \beta$ के लिए हल करने पर:
$y(\cos \theta - \sin \theta) = 3(\sin \theta - \cos \theta)$
$y = -3$
अतः,$\beta = -3$. इसलिए $(2\beta)^2 = (2 \times -3)^2 = (-6)^2 = 36$.

(A) उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $4x + 3y = 10$ है। इसकी ढाल $m = -\frac{4}{3}$ है।
चूंकि केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा स्पर्श बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है,इसलिए केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = \frac{3}{4}$ है।
मान लीजिए कि यह रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो $\tan \theta = \frac{3}{4}$ है।
इसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ है।
केंद्र $C_{1}$ और $C_{2}$ इस रेखा पर $(1, 2)$ से $5 \text{ units}$ की दूरी पर स्थित हैं।
रेखा के प्राचलिक रूप का उपयोग करते हुए,केंद्रों के निर्देशांक $(x, y) = (1 \pm 5 \cos \theta, 2 \pm 5 \sin \theta)$ हैं।
$(x, y) = (1 \pm 5(\frac{4}{5}), 2 \pm 5(\frac{3}{5})) = (1 \pm 4, 2 \pm 3)$।
अतः,केंद्र $(1 + 4, 2 + 3) = (5, 5)$ और $(1 - 4, 2 - 3) = (-3, -1)$ हैं।
इसलिए,$(\alpha, \beta) = (5, 5)$ और $(\gamma, \delta) = (-3, -1)$ हैं।
तब,$|(\alpha + \beta)(\gamma + \delta)| = |(5 + 5)(-3 - 1)| = |(10)(-4)| = |-40| = 40$।

(C) हमें $3 \times 7^{22} + 2 \times 10^{22} - 44$ को $18$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$3(1+6)^{22} + 2(1+9)^{22} - 44 \equiv 3(1 + 22 \times 6) + 2(1 + 22 \times 9) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 3(1 + 132) + 2(1 + 198) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 3(7) + 2(1) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 21 + 2 - 44 \pmod{18}$
$\equiv 23 - 44 \pmod{18}$
$\equiv -21 \pmod{18}$
$\equiv 15 \pmod{18}$.
अतः,शेषफल $15$ है।

(B) मान लीजिए $n_1 = 20$ (लड़के) और $n_2 = 30$ (लड़कियां)। कुल उम्मीदवार $N = 50$ हैं।
दिया गया है: $\bar{x}_b = 12$,$\sigma_b^2 = 2$,$\sigma_g^2 = 2$,और संयुक्त माध्य $\bar{x} = 15$ है।
सबसे पहले,लड़कियों के औसत अंक $(\mu = \bar{x}_g)$ ज्ञात करें:
$N \bar{x} = n_1 \bar{x}_b + n_2 \bar{x}_g$
$50 \times 15 = 20 \times 12 + 30 \times \bar{x}_g$
$750 = 240 + 30 \bar{x}_g$
$30 \bar{x}_g = 510 \Rightarrow \bar{x}_g = 17 = \mu$.
अब,संयुक्त प्रसरण $\sigma^2$ की गणना करें:
$\sigma^2 = \frac{n_1 \sigma_b^2 + n_2 \sigma_g^2}{n_1 + n_2} + \frac{n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2} (\bar{x}_b - \bar{x}_g)^2$
$\sigma^2 = \frac{20 \times 2 + 30 \times 2}{50} + \frac{20 \times 30}{50^2} (12 - 17)^2$
$\sigma^2 = \frac{100}{50} + \frac{600}{2500} (-5)^2$
$\sigma^2 = 2 + \frac{6}{25} \times 25 = 2 + 6 = 8$.
अंत में,$\mu + \sigma^2 = 17 + 8 = 25$।

(C) हम सत्यता सारणी का उपयोग करके व्यंजक $(p \wedge \sim q) \Rightarrow (p \vee q)$ की जाँच करते हैं:

$p, q$	$p \wedge \sim q$	$p \vee q$	$(p \wedge \sim q) \Rightarrow (p \vee q)$
$T, T$	$F$	$T$	$T$
$T, F$	$T$	$T$	$T$
$F, T$	$F$	$T$	$T$
$F, F$	$F$	$F$	$T$

चूँकि अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ हैं,इसलिए जब $* = \wedge$ और $\square = \vee$ होता है,तो यह व्यंजक एक पुनरुक्ति है।

(B) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}$ है।
$n=1, 2, \ldots, 10$ के लिए,योग $S_{10}$:
$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_{10} = \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) + \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{10^2} - \frac{1}{11^2} \right)$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:
$S_{10} = 1 - \frac{1}{11^2} = 1 - \frac{1}{121} = \frac{120}{121}$.

(B) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
चूँकि श्रेणी बढ़ रही है,इसलिए $r > 1$ है।
यदि मध्य संख्या को दोगुना किया जाता है,तो अनुक्रम $\frac{a}{r}, 2a, ar$ हो जाता है,जो $A.P.$ में है।
अतः,$2(2a) = \frac{a}{r} + ar$ $\Rightarrow 4 = \frac{1}{r} + r$ $\Rightarrow r^{2} - 4r + 1 = 0$।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $G.P.$ बढ़ रही है,इसलिए $r = 2 + \sqrt{3}$।
$G.P.$ का चौथा पद $ar^{2} = 3r^{2}$ है,जिसका अर्थ है $a = 3$।
$A.P.$ का सार्व अंतर $d = 2a - \frac{a}{r} = 2(3) - \frac{3}{2+\sqrt{3}} = 6 - 3(2-\sqrt{3}) = 6 - 6 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$।
अब,$r^{2} - d = (2+\sqrt{3})^{2} - 3\sqrt{3} = (4 + 3 + 4\sqrt{3}) - 3\sqrt{3} = 7 + \sqrt{3}$।

(A) पहली रेखा $x \operatorname{cosec} \alpha - y \sec \alpha = k \cot 2 \alpha$ है,जिसे $\frac{x}{\sin \alpha} - \frac{y}{\cos \alpha} = \frac{k \cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sin \alpha \cos \alpha$ से गुणा करने पर,हमें $x \cos \alpha - y \sin \alpha = \frac{k}{2} \cos 2 \alpha$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x \cos \alpha - y \sin \alpha - \frac{k}{2} \cos 2 \alpha = 0$ की लंबवत दूरी $p = \left| \frac{k}{2} \cos 2 \alpha \right|$ है।
अतः,$2p = |k \cos 2 \alpha|$,जिसका अर्थ है $4p^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \alpha$ $(i)$.
दूसरी रेखा $x \sin \alpha + y \cos \alpha = k \sin 2 \alpha$ है। मूल बिंदु से लंबवत दूरी $q = |k \sin 2 \alpha|$ है।
अतः,$q^{2} = k^{2} \sin^{2} 2 \alpha$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$4p^{2} + q^{2} = k^{2} (\cos^{2} 2 \alpha + \sin^{2} 2 \alpha) = k^{2}$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
अतः,$\operatorname{cosec} 18^{\circ} = \frac{1}{\sin 18^{\circ}} = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,$\operatorname{cosec} 18^{\circ} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \sqrt{5}+1$ प्राप्त होता है।
माना $x = \sqrt{5}+1$.
तब $x-1 = \sqrt{5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x-1)^{2} = 5$.
$x^{2}-2x+1 = 5$.
$x^{2}-2x-4 = 0$.

(C) माना शीर्ष $V$ है और नाभि $F$ है।
शीर्ष $V$ के निर्देशांक $(R, 0)$ हैं और नाभि $F$ के निर्देशांक $(S, 0)$ हैं।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a = VF = S - R$ है।
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= 4(S - R)$ है।

(C) हमें $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2}\left(\pi \cos ^{4} x\right)}{x^{4}}$ का मूल्यांकन करना है।
जैसे $x \rightarrow 0$,$\cos x \rightarrow 1$,इसलिए $\pi \cos^4 x \rightarrow \pi$.
माना $u = \pi \cos^4 x$. तब $\sin^2(u) = \sin^2(\pi - u) = \sin^2(\pi(1 - \cos^4 x))$.
$x \rightarrow 0$ के लिए,$1 - \cos^4 x = \sin^2 x (1 + \cos^2 x)$.
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2(\pi \sin^2 x (1 + \cos^2 x))}{x^4}$.
$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$L = \pi^2 \cdot \lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^4 \cdot (1 + \cos^2 x)^2 = \pi^2 \cdot 1^4 \cdot (1 + 1)^2 = 4 \pi^2$.

(B) माना खंभे की ऊँचाई $H = 10\ell$ है। खंभा $3\ell$ और $7\ell$ लंबाई के दो भागों में विभाजित है।
माना जमीन पर स्थित बिंदु $P$ है,जो खंभे के आधार से $18 \ m$ की दूरी पर है।
माना निचला भाग $P$ पर $\alpha$ कोण बनाता है। तब $\tan \alpha = \frac{3\ell}{18} = \frac{\ell}{6}$।
माना कुल ऊँचाई $P$ पर $2\alpha$ कोण बनाती है। तब $\tan 2\alpha = \frac{10\ell}{18} = \frac{5\ell}{9}$।
सूत्र $\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{5\ell}{9} = \frac{2(\ell/6)}{1 - (\ell/6)^2} = \frac{\ell/3}{1 - \ell^2/36} = \frac{12\ell}{36 - \ell^2}$।
चूँकि $\ell \neq 0$,हम $\ell$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{5}{9} = \frac{12}{36 - \ell^2}$ $\Rightarrow 5(36 - \ell^2) = 108$ $\Rightarrow 180 - 5\ell^2 = 108$ $\Rightarrow 5\ell^2 = 72$ $\Rightarrow \ell^2 = \frac{72}{5}$।
अतः,$\ell = \sqrt{\frac{72}{5}} = \frac{6\sqrt{10}}{5}$।
खंभे की कुल ऊँचाई $10\ell = 10 \times \frac{6\sqrt{10}}{5} = 12\sqrt{10} \ m$ है।

(B) दी गई रेखा $12 x \cos \theta + 5 y \sin \theta = 60$ है।
$60$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{12 x \cos \theta}{60} + \frac{5 y \sin \theta}{60} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{12} = 1$ हो जाता है।
इसकी तुलना दीर्घवृत्त के स्पर्श रेखा समीकरण $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ से करने पर,हमें $a = 5$ और $b = 12$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है,अर्थात $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{144} = 1$।
$3600$ से गुणा करने पर,हमें $144 x^{2} + 25 y^{2} = 3600$ प्राप्त होता है।

(C) माना $z=x+iy$ है।
$\arg \left(\frac{z-2}{z+2}\right)=\frac{\pi}{4}$ एक वृत्त का चाप दर्शाता है।
माना $z-2 = r_1 e^{i\theta_1}$ और $z+2 = r_2 e^{i\theta_2}$ है। तब $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{4}$ है।
यह उन बिंदुओं $z$ का बिंदु पथ है जिनके लिए $(-2, 0)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $z$ पर बनाया गया कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
समीकरण $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x+2}\right) = \frac{\pi}{4}$ है।
$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\frac{y}{x-2} - \frac{y}{x+2}}{1 + \frac{y^2}{x^2-4}} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{4y}{x^2+y^2-4} = 1 \implies x^2+y^2-4y-4=0$ है।
यह केंद्र $O(0, 2)$ और त्रिज्या $R = \sqrt{0^2 + 2^2 - (-4)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ वाला एक वृत्त है।
हमें $|z - (9\sqrt{2} + 2i)|^2$ को न्यूनतम करना है। माना $P = 9\sqrt{2} + 2i$,जो बिंदु $(9\sqrt{2}, 2)$ है।
दूरी $OP = \sqrt{(9\sqrt{2}-0)^2 + (2-2)^2} = 9\sqrt{2}$ है।
वृत्त से $P$ की न्यूनतम दूरी $OP - R = 9\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ है।
$|z-P|^2$ का न्यूनतम मान $(7\sqrt{2})^2 = 49 \times 2 = 98$ है।

(D) दी गई श्रेणी $n = 1, 2, \ldots, 10$ के लिए $T_n = (3n+4)(2n+6)$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $T_n = 6n^2 + 18n + 8n + 24 = 6n^2 + 26n + 24$।
प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} (6n^2 + 26n + 24)$ है।
योग के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_{10} = 6 \sum_{n=1}^{10} n^2 + 26 \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} 24$।
$S_{10} = 6 \left( \frac{10(11)(21)}{6} \right) + 26 \left( \frac{10(11)}{2} \right) + 24(10)$।
$S_{10} = 2310 + 1430 + 240 = 3980$।
माध्य $\frac{S_{10}}{10} = \frac{3980}{10} = 398$ है।

(C) रेखा $3x + 4y - \alpha = 0$ दो वृत्तों के बीच स्थित है यदि केंद्र $(1, 1)$ और $(9, 1)$ रेखा के विपरीत पक्षों पर स्थित हों।
केंद्रों को रेखा के समीकरण में रखने पर: $f(1, 1) = 7 - \alpha$ और $f(9, 1) = 31 - \alpha$.
विपरीत पक्षों के लिए,$(7 - \alpha)(31 - \alpha) < 0$,जिससे $\alpha \in (7, 31)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,रेखा किसी भी वृत्त को नहीं काटती है,इसलिए केंद्र से रेखा की दूरी त्रिज्या से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
वृत्त $1$ के लिए: $\frac{|7 - \alpha|}{5} \geq 1 \Rightarrow \alpha \leq 2$ या $\alpha \geq 12$.
वृत्त $2$ के लिए: $\frac{|31 - \alpha|}{5} \geq 2 \Rightarrow \alpha \leq 21$ या $\alpha \geq 41$.
शर्तों को संयोजित करने पर: $\alpha \in [12, 21]$.
$\alpha$ के पूर्णांक मान $12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21$ हैं।
योग $= 165$.

(A) $VOWELS$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $V, O, W, E, L, S$।
इसमें $2$ स्वर $(O, E)$ और $4$ व्यंजन $(V, W, L, S)$ हैं।
सभी $6$ अक्षरों के कुल विन्यास की संख्या $6! = 720$ है।
सभी व्यंजनों के एक साथ आने वाले विन्यास को खोजने के लिए,हम $4$ व्यंजनों को एक इकाई के रूप में मानते हैं। यह इकाई और $2$ स्वर मिलकर कुल $1 + 2 = 3$ वस्तुएं बनाते हैं,जिन्हें $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4$ व्यंजनों को आपस में $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,सभी व्यंजनों के एक साथ होने वाले विन्यास की संख्या $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$ है।
सभी व्यंजनों के कभी भी एक साथ न आने वाले विन्यास की संख्या = (कुल विन्यास) - (सभी व्यंजनों के एक साथ होने वाले विन्यास)।
$= 720 - 144 = 576$।

(C) $\left(\frac{x}{4}-\frac{12}{x^{2}}\right)^{12}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} \left(\frac{x}{4}\right)^{12-r} \left(-\frac{12}{x^{2}}\right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} \left(\frac{1}{4}\right)^{12-r} (-1)^{r} (12)^{r} x^{12-3r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$12-3r = 0 \Rightarrow r = 4$
$r=4$ रखने पर:
$T_{5} = {}^{12}C_{4} \left(\frac{1}{4}\right)^{8} (-1)^{4} (12)^{4} = 495 \times \frac{3^{4}}{4^{4}}$
दिए गए पद $\left(\frac{3^{6}}{4^{4}}\right) k$ के साथ तुलना करने पर:
$495 \times \frac{3^{4}}{4^{4}} = \frac{3^{6}}{4^{4}} \times k$
$k = \frac{495}{3^{2}} = 55$

(A) निहित कथन $A \Rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\sim((p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)) = (p \vee r) \wedge \sim(q \vee r)$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(q \vee r) = (\sim q \wedge \sim r)$.
अतः,व्यंजक $(p \vee r) \wedge (\sim q \wedge \sim r)$ हो जाता है।
वितरण नियम द्वारा,यह $((p \vee r) \wedge \sim r) \wedge \sim q$ है।
चूँकि $(p \vee r) \wedge \sim r = (p \wedge \sim r) \vee (r \wedge \sim r) = (p \wedge \sim r) \vee F = p \wedge \sim r$.
इस प्रकार,अंतिम व्यंजक $(p \wedge \sim r) \wedge \sim q$ है,जो $p \wedge \sim q \wedge \sim r$ है।

(D) सबसे पहले,$\alpha = \lim_{x \rightarrow \pi/4} \frac{\tan^{3} x - \tan x}{\cos(x + \pi/4)}$ की गणना करें। यह $\frac{0}{0}$ रूप है।
$L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow \pi/4} \frac{3 \tan^{2} x \sec^{2} x - \sec^{2} x}{-\sin(x + \pi/4)} = \frac{3(1)^{2}(2) - 2}{-\sin(\pi/2)} = \frac{6 - 2}{-1} = -4$.
अगला,$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} (\cos x)^{\cot x}$ की गणना करें। यह $1^{\infty}$ रूप है।
$\beta = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \cot x (\cos x - 1)} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{\tan x}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin x}{\sec^{2} x}} = e^{0} = 1$.
चूंकि $\alpha = -4$ और $\beta = 1$ समीकरण $ax^{2} + bx - 4 = 0$ के मूल हैं,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a \Rightarrow -4 + 1 = -3 = -b/a \Rightarrow b = 3a$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -4/a \Rightarrow (-4)(1) = -4/a \Rightarrow a = 1$.
$a = 1$ को $b = 3a$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(a, b)$ $(1, 3)$ है।

(C) माना दीर्घवृत्त पर बिंदु $P(2 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ है।
स्थिर बिंदु $Q(-3, -5)$ है।
माना $(h, k)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य-बिंदु है। अतः:
$h = \frac{2 \cos \theta - 3}{2} \implies \cos \theta = \frac{2h + 3}{2}$
$k = \frac{3 \sin \theta - 5}{2} \implies \sin \theta = \frac{2k + 5}{3}$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{2h + 3}{2}\right)^2 + \left(\frac{2k + 5}{3}\right)^2 = 1$
सरल करने पर:
$36h^2 + 16k^2 + 108h + 80k + 145 = 0$
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $36x^2 + 16y^2 + 108x + 80y + 145 = 0$ है।

(A) दिए गए वक्र $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $C_2: x^2 + y^2 = ab$ हैं।
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
$C_1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0 \implies y'_1 = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$।
$C_2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2yy' = 0 \implies y'_2 = -\frac{x_1}{y_1}$।
प्रतिच्छेदन के लिए समीकरणों को हल करने पर: $x_1^2 = \frac{a^2 b}{a+b}$ और $y_1^2 = \frac{a b^2}{a+b}$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{y'_1 - y'_2}{1 + y'_1 y'_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
प्रवणता के मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} + \frac{x_1}{y_1}}{1 + \frac{b^2 x_1^2}{a^2 y_1^2}} \right| = \left| \frac{x_1 y_1 (a^2 - b^2)}{a^2 y_1^2 + b^2 x_1^2} \right|$।
$x_1^2$ और $y_1^2$ के मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{a-b}{\sqrt{ab}} \right|$।
चूंकि $a > b$,अतः $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{a-b}{\sqrt{ab}} \right)$।

(B) दिया गया समीकरण: $x+1-2 \log _{2}\left(3+2^{x}\right)+2 \log _{4}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{4} a = \frac{1}{2} \log _{2} a$ का उपयोग करने पर:
$x+1-2 \log _{2}\left(3+2^{x}\right)+\log _{2}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{2}\left(2^{x+1}\right)-\log _{2}\left(3+2^{x}\right)^{2}+\log _{2}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{2}\left(\frac{2^{x+1} \cdot (10-2^{-x})}{(3+2^{x})^{2}}\right)=0$
$\frac{2 \cdot 2^{x} \cdot (10-2^{-x})}{(3+2^{x})^{2}}=1$
$\frac{2(10 \cdot 2^{x}-1)}{(3+2^{x})^{2}}=1$
$20 \cdot 2^{x}-2 = 9 + 2^{2x} + 6 \cdot 2^{x}$
$(2^{x})^{2} - 14(2^{x}) + 11 = 0$
माना $2^{x} = t$. तब $t^{2} - 14t + 11 = 0$. मूल $t_{1} = 2^{x_{1}}$ और $t_{2} = 2^{x_{2}}$ हैं।
द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल $t_{1} \cdot t_{2} = 11$ है।
$2^{x_{1}} \cdot 2^{x_{2}} = 11 \Rightarrow 2^{x_{1}+x_{2}} = 11$
$x_{1}+x_{2} = \log _{2}(11)$

(D) दिया गया है कि $\frac{z-i}{z-1}$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए इसका वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए।
माना $z = x+iy$. तब $\frac{z-i}{z-1} = \frac{x+i(y-1)}{(x-1)+iy}$.
हर के संयुग्मी $(x-1)-iy$ से गुणा करने पर:
$\frac{x(x-1)+y(y-1) + i((y-1)(x-1)-xy)}{(x-1)^2+y^2}$.
शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$x(x-1)+y(y-1) = 0 \Rightarrow x^2-x+y^2-y = 0$.
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ और त्रिज्या $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
हमें $|z-(3+3i)|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है,जो बिंदु $P(3,3)$ से वृत्त की न्यूनतम दूरी है।
$P(3,3)$ से केंद्र $C(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ तक की दूरी $PC = \sqrt{(3-\frac{1}{2})^2 + (3-\frac{1}{2})^2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।
न्यूनतम दूरी $PC - r = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।

(C) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2}(2a_{1} + (n-1)d)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\frac{S_{10}}{S_{p}} = \frac{100}{p^{2}}$,अतः $\frac{\frac{10}{2}(2a_{1} + 9d)}{\frac{p}{2}(2a_{1} + (p-1)d)} = \frac{100}{p^{2}}$.
सरल करने पर,$\frac{2a_{1} + 9d}{2a_{1} + (p-1)d} = \frac{10}{p}$.
वज्र-गुणन करने पर $p(2a_{1} + 9d) = 10(2a_{1} + (p-1)d)$ प्राप्त होता है।
$2a_{1}p + 9dp = 20a_{1} + 10dp - 10d$.
$2a_{1}(p - 10) = d(p - 10)$.
चूंकि $p \neq 10$,इसलिए $2a_{1} = d$ या $\frac{a_{1}}{d} = \frac{1}{2}$.
अब $\frac{a_{11}}{a_{10}} = \frac{a_{1} + 10d}{a_{1} + 9d}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$d = 2a_{1}$ रखने पर,$\frac{a_{1} + 10(2a_{1})}{a_{1} + 9(2a_{1})} = \frac{21a_{1}}{19a_{1}} = \frac{21}{19}$.

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 12$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(5, 6), (3, 2)$ और $(\alpha, \beta)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |5(2 - \beta) + 3(\beta - 6) + \alpha(6 - 2)| = 12$
$|4\alpha - 2\beta - 8| = 24$
$|2\alpha - \beta - 4| = 12$
यह बिंदु $A$ के बिंदुपथ के लिए दो रेखाएं देता है:
स्थिति $1$: $2\alpha - \beta - 16 = 0$
स्थिति $2$: $2\alpha - \beta + 8 = 0$
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की दूरी $\frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
रेखा $1$ के लिए: $d_1 = \frac{16}{\sqrt{5}}$
रेखा $2$ के लिए: $d_2 = \frac{8}{\sqrt{5}}$
न्यूनतम दूरी $\frac{8}{\sqrt{5}}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $32^{\tan^{2} x} + 32^{\sec^{2} x} = 81$
सर्वसमिका $\sec^{2} x = 1 + \tan^{2} x$ का उपयोग करने पर:
$32^{\tan^{2} x} + 32^{1 + \tan^{2} x} = 81$
माना $y = 32^{\tan^{2} x}$. तब समीकरण होगा:
$y + 32y = 81$
$33y = 81$
$y = \frac{81}{33} = \frac{27}{11}$
अतः,$32^{\tan^{2} x} = \frac{27}{11}$.
दोनों पक्षों में $\log_{32}$ लेने पर:
$\tan^{2} x = \log_{32} \left(\frac{27}{11}\right)$.
अंतराल $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए,$0 \leq \tan^{2} x \leq 1$ होता है।
चूंकि $1 < \frac{27}{11} < 32$,इसलिए $0 < \log_{32} \left(\frac{27}{11}\right) < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में $x$ का केवल एक ही मान संभव है।
इसलिए,हलों की संख्या $1$ है।

(C) माना $7$ प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, 6, 8$ हैं।
माध्य $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i + 6 + 8}{7} = 8$ है।
$\sum_{i=1}^{5} x_i + 14 = 56 \Rightarrow \sum_{i=1}^{5} x_i = 42$.
प्रसरण $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 6^2 + 8^2}{7} - (8)^2 = 16$ है।
$\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 36 + 64}{7} = 16 + 64 = 80$.
$\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 100 = 560 \Rightarrow \sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 460$.
अब,शेष $5$ प्रेक्षणों का प्रसरण $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2}{5} - \left(\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5}\right)^2$ है।
$= \frac{460}{5} - \left(\frac{42}{5}\right)^2 = 92 - \frac{1764}{25} = \frac{2300 - 1764}{25} = \frac{536}{25}$.

(A) $(a+2b+4ab)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय द्वारा इस प्रकार है: $\frac{10!}{\alpha! \beta! \gamma!} a^{\alpha} (2b)^{\beta} (4ab)^{\gamma} = \frac{10!}{\alpha! \beta! \gamma!} a^{\alpha+\gamma} b^{\beta+\gamma} 2^{\beta} 4^{\gamma}$.
यहाँ $a$ और $b$ के घातांक क्रमशः $7$ और $8$ दिए गए हैं,इसलिए:
$\alpha + \beta + \gamma = 10$ $(1)$
$\alpha + \gamma = 7$ $(2)$
$\beta + \gamma = 8$ $(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,$\alpha + \beta + 2\gamma = 15$ प्राप्त होता है। इसमें से $(1)$ घटाने पर,$\gamma = 5$ प्राप्त होता है।
$\gamma = 5$ को $(2)$ और $(3)$ में रखने पर,$\alpha = 2$ और $\beta = 3$ प्राप्त होता है।
गुणांक $\frac{10!}{2! 3! 5!} \cdot 2^{\beta} \cdot 4^{\gamma} = \frac{10!}{2! 3! 5!} \cdot 2^{3} \cdot (2^2)^{5} = 2520 \cdot 2^{13} = 315 \cdot 2^{16}$ होता है।
अतः,$K = 315$।

(C) माना $S$ सभी $4$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है। कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $9000$ हैं।
माना $A$,$3$ से विभाज्य $4$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है। सबसे छोटी संख्या $1002$ और सबसे बड़ी $9999$ है। सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$9999 = 1002 + (n-1)3$,जिससे $n = 3000$ प्राप्त होता है।
माना $B$,$7$ से विभाज्य $4$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है। सबसे छोटी संख्या $1001$ और सबसे बड़ी $9996$ है। $9996 = 1001 + (n-1)7$ का उपयोग करने पर,$n = 1286$ प्राप्त होता है।
माना $A \cap B$,$3$ और $7$ दोनों से विभाज्य (अर्थात $21$ से विभाज्य) $4$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है। सबसे छोटी संख्या $1008$ और सबसे बड़ी $9996$ है। $9996 = 1008 + (n-1)21$ का उपयोग करने पर,$n = 429$ प्राप्त होता है।
$3$ या $7$ से विभाज्य $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 3000 + 1286 - 429 = 3857$ है।
$4$-अंकीय ऐसी संख्याएँ जो न तो $3$ का गुणज हैं और न ही $7$ का,उनकी संख्या $9000 - 3857 = 5143$ है।

(B) समतल $x+2y+3z+1=0$ और $x-y-z-6=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल $P$ का समीकरण इस प्रकार है:
$P: (x+2y+3z+1) + \lambda(x-y-z-6) = 0$
$P: (1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (3-\lambda)z + (1-6\lambda) = 0$
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = (1+\lambda)\hat{i} + (2-\lambda)\hat{j} + (3-\lambda)\hat{k}$ है।
दिया गया समतल $-2x+y+z+8=0$ है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
चूंकि समतल लंबवत हैं,इसलिए उनके अभिलंब सदिश भी लंबवत होंगे,अतः $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
$-2(1+\lambda) + 1(2-\lambda) + 1(3-\lambda) = 0$
$-2 - 2\lambda + 2 - \lambda + 3 - \lambda = 0$
$3 - 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{4}$.
$\lambda = \frac{3}{4}$ को $P$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1+\frac{3}{4})x + (2-\frac{3}{4})y + (3-\frac{3}{4})z + (1-6(\frac{3}{4})) = 0$
$\frac{7}{4}x + \frac{5}{4}y + \frac{9}{4}z - \frac{14}{4} = 0$
$7x + 5y + 9z - 14 = 0$.
अब,जांचें कि कौन सा बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट करता है:
बिंदु $(0,1,1)$ के लिए: $7(0) + 5(1) + 9(1) - 14 = 5 + 9 - 14 = 0$.
अतः,बिंदु $(0,1,1)$ समतल $P$ पर स्थित है।

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि $A$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है क्योंकि $AA^{T} = I$ है।
$AA^{T} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
दिया गया है $Q = A^{T}BA$,इसलिए $Q^{n} = A^{T}B^{n}A$ होगा।
अतः,$Q^{2021} = A^{T}B^{2021}A$।
अब,$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{bmatrix}$ की घातों की गणना करें।
$B^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2i & 1 \end{bmatrix}$।
इंडक्शन द्वारा,$B^{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ ni & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए $B^{2021} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2021i & 1 \end{bmatrix}$।
अब,$AQ^{2021}A^{T} = A(A^{T}B^{2021}A)A^{T} = (AA^{T})B^{2021}(AA^{T}) = I B^{2021} I = B^{2021}$।
इसलिए,$AQ^{2021}A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2021i & 1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -k & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$(AQ^{2021}A^{T})^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2021i & 1 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4 r^{2}}$ है।
अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{1}{1+4(\frac{r}{n})^2}$.
निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{kn-1} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{k} f(x) dx$.
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+4x^2}$ और ऊपरी सीमा $k = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n-1}{n} = 2$ है।
अतः,$L = \int_{0}^{2} \frac{1}{1+(2x)^2} dx$.
सूत्र $\int \frac{1}{1+a^2x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(ax) + C$ का उपयोग करने पर:
$L = \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}(2x) \right]_{0}^{2}$.
$L = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2 \times 2) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(2 \times 0)$.
$L = \frac{1}{2} \tan^{-1}(4) - 0 = \frac{1}{2} \tan^{-1}(4)$.

(B) दी गई रेखा $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$ है। माना $P(1,3,4)$,$L_1$ पर एक बिंदु है। $P$ से समतल $x-2y-z-3=0$ पर लंब का पाद $Q$ है। रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-4}{-1} = t$ है। अतः $Q = (t+1, -2t+3, -t+4)$। चूँकि $Q$ समतल पर स्थित है,$(t+1) - 2(-2t+3) - (-t+4) = 3 \Rightarrow t+1+4t-6+t-4=3 \Rightarrow 6t=12 \Rightarrow t=2$। अतः,$Q = (3,-1,2)$।
$L_1$ और समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु $R$,$2k+1 - 2(k+3) - (2k+4) = 3 \Rightarrow 2k+1-2k-6-2k-4=3 \Rightarrow -2k=12 \Rightarrow k=-6$ द्वारा प्राप्त होता है। अतः $R = (-11,-3,-8)$।
रेखा $L$,$Q(3,-1,2)$ और $R(-11,-3,-8)$ से होकर गुजरती है। $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = Q-R = (14, 2, 10)$ है,जो $(7, 1, 5)$ के समांतर है।
बिंदु $A(0,0,6)$ की रेखा $L$ (जो $B(3,-1,2)$ से गुजरती है और दिशा $\vec{v} = (7,1,5)$ है) से दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{AB} = (3-0, -1-0, 2-6) = (3, -1, -4)$।
$\vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & -4 \\ 7 & 1 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-5+4) - \hat{j}(15+28) + \hat{k}(3+7) = (-1, -43, 10)$।
$d^2 = \frac{(-1)^2 + (-43)^2 + 10^2}{7^2 + 1^2 + 5^2} = \frac{1 + 1849 + 100}{49 + 1 + 25} = \frac{1950}{75} = 26$।

(B) माना वर्ग के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $x$ है और वृत्त के लिए उपयोग की गई लंबाई $y$ है। अतः $x + y = 36$,जिससे $y = 36 - x$ प्राप्त होता है।
वर्ग की भुजा $s = \frac{x}{4}$ है,इसलिए वर्ग का क्षेत्रफल $A_1 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$ है।
वृत्त की परिधि $y = 2\pi r$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{y}{2\pi} = \frac{36-x}{2\pi}$ है। वृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{36-x}{2\pi}\right)^2 = \frac{(36-x)^2}{4\pi}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(36-x)^2}{4\pi}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(36-x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{36-x}{2\pi}$।
$A'(x) = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x}{8} = \frac{36-x}{2\pi} \Rightarrow \pi x = 4(36-x) \Rightarrow \pi x = 144 - 4x \Rightarrow x(\pi + 4) = 144 \Rightarrow x = \frac{144}{\pi + 4}$।
वृत्त की परिधि $k = y = 36 - x = 36 - \frac{144}{\pi + 4} = \frac{36\pi + 144 - 144}{\pi + 4} = \frac{36\pi}{\pi + 4}$ है।
हमें $\left(\frac{4}{\pi} + 1\right) k = \left(\frac{4+\pi}{\pi}\right) \left(\frac{36\pi}{\pi + 4}\right) = 36$ ज्ञात करना है।

(C) यह क्षेत्र परवलय $y = \frac{3}{4}x^{2}$ और रेखा $y = \frac{3}{2}x + 6$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ और $B$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को बराबर रखते हैं:
$\frac{3}{4}x^{2} = \frac{3}{2}x + 6$
$4$ से गुणा करने पर:
$3x^{2} = 6x + 24$
$3x^{2} - 6x - 24 = 0$
$x^{2} - 2x - 8 = 0$
$(x - 4)(x + 2) = 0$
अतः,$x = -2$ और $x = 4$ है।
क्षेत्रफल ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \int_{-2}^{4} \left( (\frac{3}{2}x + 6) - \frac{3}{4}x^{2} \right) dx$
$= \left[ \frac{3x^{2}}{4} + 6x - \frac{x^{3}}{4} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{3(16)}{4} + 6(4) - \frac{64}{4} \right) - \left( \frac{3(4)}{4} + 6(-2) - \frac{-8}{4} \right)$
$= (12 + 24 - 16) - (3 - 12 + 2)$
$= 20 - (-7) = 27$.

(D) दिया गया है $\log _{e}(x+y)=4 x y$। $x=0$ पर,$\log _{e}(y)=0$,जिसका अर्थ है $y=1$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \left(1+\frac{d y}{d x}\right) = 4y + 4x \frac{d y}{d x}$।
$x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$\frac{1}{1} \left(1+\frac{d y}{d x}\right) = 4(1) + 4(0) \frac{d y}{d x} \Rightarrow 1+\frac{d y}{d x} = 4 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 3$।
अब,$1+\frac{d y}{d x} = (x+y)(4y + 4x \frac{d y}{d x})$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (1+\frac{d y}{d x})(4y + 4x \frac{d y}{d x}) + (x+y)(4 \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 4x \frac{d^{2} y}{d x^{2}})$।
$x=0, y=1, \frac{d y}{d x}=3$ रखने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (1+3)(4(1) + 0) + (0+1)(4(3) + 4(3) + 0)$।
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (4)(4) + (1)(24) = 16 + 24 = 40$।

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$f(0)$ और बाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करें:
$f(0) = a \sin \frac{\pi}{2}(0-1) = a \sin(-\frac{\pi}{2}) = -a$.
अब,दाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x - \sin 2x}{bx^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x(1 - \cos 2x)}{bx^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x \cdot 2 \sin^2 x}{bx^3}$.
मानक सीमाओं $\tan \theta \approx \theta$ और $\sin \theta \approx \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{(2x) \cdot 2(x^2)}{bx^3} = \frac{4x^3}{bx^3} = \frac{4}{b}$.
सीमाओं की तुलना करने पर:
$-a = \frac{4}{b} \implies -ab = 4$.
अंत में,$10 - ab$ का मान ज्ञात करें:
$10 - ab = 10 + 4 = 14$.

(A) दिया गया है $f(x) = x - [x]$ और $g(x) = 1 - (x - [x])$। मान लीजिए ${x} = x - [x]$। तो $f(x) = {x}$ और $g(x) = 1 - {x}$।
$h(x) = \min \{ {x}, 1 - {x} \}$।
प्रत्येक अंतराल $[n, n+1)$ के लिए,${x} = x - n$। अतः $h(x) = \min \{ x-n, 1-x+n \}$।
$f(x)$ और $g(x)$ के ग्राफ तब प्रतिच्छेद करते हैं जब ${x} = 1 - {x}$,जिसका अर्थ है $2{x} = 1$,या ${x} = 0.5$।
प्रत्येक अंतराल $[n, n+1)$ में,फलन $h(x)$ $0$ से $0.5$ तक बढ़ता है और फिर $0.5$ से $0$ तक घटता है।
चूंकि $h(x)$ हर जगह सतत है और ग्राफ $x = n$ (जहाँ ${x}=0$) और $x = n + 0.5$ (जहाँ ${x}=0.5$) पर नुकीले कोने दिखाता है,इसलिए हम $(-2, 2)$ में उन बिंदुओं की गणना करते हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।
ये बिंदु $x = -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5$ हैं। ऐसे कुल $7$ बिंदु हैं।
चूंकि $7 > 4$,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
गणितीय आगमन द्वारा,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n-1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{2025} - A^{2020} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अब $A^6 - A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
इस प्रकार,$A^{2025} - A^{2020} = A^6 - A$.

(C) दिया गया है $f(x) = \left(\frac{2}{x}\right)^{x^{2}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln f(x) = x^{2} (\ln 2 - \ln x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x(\ln 2 - \ln x) + x^{2} \left(-\frac{1}{x}\right) = 2x \ln 2 - 2x \ln x - x = x(2 \ln 2 - 2 \ln x - 1)$.
$f'(x) = f(x) \cdot x \cdot (2 \ln 2 - 2 \ln x - 1)$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर। चूंकि $f(x) > 0$ और $x > 0$,इसलिए:
$2 \ln 2 - 2 \ln x - 1 = 0$
$2 \ln \left(\frac{2}{x}\right) = 1$
$\ln \left(\frac{2}{x}\right) = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{x} = e^{1/2} = \sqrt{e}$
$x = \frac{2}{\sqrt{e}}$.
$x = \frac{2}{\sqrt{e}}$ पर फलन का स्थानीय अधिकतम मान प्राप्त होता है।
स्थानीय अधिकतम मान $f\left(\frac{2}{\sqrt{e}}\right) = \left(\frac{2}{2/\sqrt{e}}\right)^{(2/\sqrt{e})^{2}} = (\sqrt{e})^{4/e} = (e^{1/2})^{4/e} = e^{2/e}$ है।

(B) माना $I = \int_{0}^{5} \frac{x+[x]}{e^{x-[x]}} \,dx$. चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,हम समाकलन को पूर्णांक बिंदुओं पर विभाजित करते हैं:
$I = \sum_{k=0}^{4} \int_{k}^{k+1} \frac{x+k}{e^{x-k}} \,dx$.
माना $t = x-k$,तो $dx = dt$. जब $x=k, t=0$ और जब $x=k+1, t=1$. समाकलन इस प्रकार बनता है:
$I = \sum_{k=0}^{4} \int_{0}^{1} \frac{t+k+k}{e^{t}} \,dt = \sum_{k=0}^{4} \int_{0}^{1} (t+2k) e^{-t} \,dt$.
$I = \int_{0}^{1} (t+0)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+2)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+4)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+6)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+8)e^{-t} dt$.
$I = \int_{0}^{1} (5t + 20)e^{-t} dt = 5 \int_{0}^{1} (t+4)e^{-t} dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए $\int (t+4)e^{-t} dt = -(t+4)e^{-t} - \int -e^{-t} dt = -(t+4)e^{-t} - e^{-t} = -(t+5)e^{-t}$.
$0$ से $1$ तक मान लेने पर: $5[-(1+5)e^{-1} - (-(0+5)e^{0})] = 5[-6e^{-1} + 5] = -30e^{-1} + 25$.
$\alpha e^{-1} + \beta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = -30$ और $\beta = 25$ प्राप्त होता है।
शर्त की जाँच करने पर: $5(-30) + 6(25) = -150 + 150 = 0$. जो सत्य है।
अतः,$(\alpha + \beta)^{2} = (-30 + 25)^{2} = (-5)^{2} = 25$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.
$2 x^{2} dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{e^{y}}{2 x^{2}} - \frac{1}{x} = 0$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} = -\frac{e^{y}}{2 x^{2}} \Rightarrow e^{-y} \frac{dy}{dx} - \frac{e^{-y}}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}}$.
मान लीजिए $z = e^{-y}$,तो $\frac{dz}{dx} = -e^{-y} \frac{dy}{dx}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}} \Rightarrow \frac{dz}{dx} + \frac{z}{x} = \frac{1}{2 x^{2}}$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log_{e} x} = x$ है।
हल: $z \cdot x = \int x \cdot \frac{1}{2 x^{2}} dx + C = \int \frac{1}{2x} dx + C = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.
चूंकि $z = e^{-y}$,इसलिए $x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.
$y(e) = 1$ दिया गया है,इसलिए $x = e$ और $y = 1$ रखने पर: $e \cdot e^{-1} = \frac{1}{2} \log_{e} e + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
अतः,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log_{e} (ex)$.
$y(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखने पर: $1 \cdot e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \log_{e} (e \cdot 1) = \frac{1}{2} \log_{e} e = \frac{1}{2}$.
$e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{y(1)} = 2 \Rightarrow y(1) = \log_{e} 2$.

(D) $\operatorname{cosec}^{-1}(y)$ का प्रांत $y \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होता है।
फलन $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1+x}{x}\right)$ के लिए,$\frac{1+x}{x} \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $\frac{1+x}{x} \geq 1$
$\frac{1}{x} + 1 \geq 1 \implies \frac{1}{x} \geq 0 \implies x > 0$.
स्थिति $2$: $\frac{1+x}{x} \leq -1$
$\frac{1}{x} + 1 \leq -1 \implies \frac{1}{x} \leq -2$.
चूंकि $\frac{1}{x} \leq -2$,इसलिए $x$ ऋणात्मक होना चाहिए। $x$ (जो ऋणात्मक है) से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$1 \geq -2x \implies x \geq -\frac{1}{2}$.
अतः,$x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,प्रांत $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)$ प्राप्त होता है,जिसे $[-\frac{1}{2}, \infty) - \{0\}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) यादृच्छिक चर $X$ सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ और असफलता की प्रायिकता $q = \frac{5}{6}$ के साथ ज्यामितीय वितरण का पालन करता है।
सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{P(X \geq 5 \cap X > 2)}{P(X > 2)}$ है।
चूंकि घटना $X \geq 5$,$X > 2$ का एक उपसमुच्चय है,इसलिए $P(X \geq 5 \cap X > 2) = P(X \geq 5)$ होगा।
अतः,$P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{P(X \geq 5)}{P(X > 2)}$ है।
ज्यामितीय वितरण के लिए,$P(X > k) = q^k = (\frac{5}{6})^k$ होता है।
इसलिए,$P(X \geq 5) = P(X > 4) = (\frac{5}{6})^4$ होगा।
और $P(X > 2) = (\frac{5}{6})^2$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{(5/6)^4}{(5/6)^2} = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रणाली का अद्वितीय हल तब होता है जब सारणिक $D \neq 0$ हो।
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2) = \lambda - 5$.
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0 \Rightarrow \lambda \neq 5$.
पासे के $6$ परिणामों में से,$\lambda \neq 5$ के लिए $5$ संभावनाएं हैं। अतः,$p = \frac{5}{6}$.
कोई हल न होने के लिए,$D = 0 \Rightarrow \lambda = 5$. हम $D_1, D_2, D_3$ का उपयोग करके संगति की जांच करते हैं।
$D_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 1 \\ \mu & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 6 - 2\mu$.
कोई हल न होने के लिए,$D=0$ और $D_1, D_2, D_3$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए। यदि $\lambda=5$,तो $D_1 = 6-2\mu \neq 0 \Rightarrow \mu \neq 3$.
$\mu$ के $6$ परिणामों में से,$\mu \neq 3$ के लिए $5$ संभावनाएं हैं। अतः,$q = P(\lambda=5) \times P(\mu \neq 3) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$.

(D) मान लीजिए कि फर्श के शीर्ष $A(0,0,0)$,$B(10,0,0)$,$C(10,10,0)$,और $D(0,10,0)$ हैं। मान लीजिए कि हॉल की ऊँचाई $h$ है। तो छत के शीर्ष $E(0,0,h)$,$F(10,0,h)$,$G(10,10,h)$,और $H(0,10,h)$ होंगे।
सदिश $\overrightarrow{AG} = (10-0)\hat{i} + (10-0)\hat{j} + (h-0)\hat{k} = 10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}$ है।
सदिश $\overrightarrow{BH} = (0-10)\hat{i} + (10-0)\hat{j} + (h-0)\hat{k} = -10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}$ है।
$\overrightarrow{AG}$ और $\overrightarrow{BH}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BH}}{|\overrightarrow{AG}| |\overrightarrow{BH}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\cos \theta = \frac{1}{5}$,तो:
$\frac{1}{5} = \frac{(10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}) \cdot (-10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k})}{\sqrt{10^2 + 10^2 + h^2} \sqrt{(-10)^2 + 10^2 + h^2}}$
$\frac{1}{5} = \frac{-100 + 100 + h^2}{200 + h^2} = \frac{h^2}{200 + h^2}$ है।
$200 + h^2 = 5h^2 \Rightarrow 4h^2 = 200 \Rightarrow h^2 = 50 \Rightarrow h = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ मीटर।

(C) दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x + y + 4z - 16) + \lambda(-x + y + z - 6) = 0$ है।
चूंकि समतल $P$ बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर गुजरता है,हम $x = 1, y = 2, z = 3$ को समीकरण में रखते हैं:
$(1 + 2 + 4(3) - 16) + \lambda(-1 + 2 + 3 - 6) = 0$
$(1 + 2 + 12 - 16) + \lambda(-2) = 0$
$-1 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ को परिवार के समीकरण में रखने पर:
$(x + y + 4z - 16) - \frac{1}{2}(-x + y + z - 6) = 0$
$2(x + y + 4z - 16) - (-x + y + z - 6) = 0$
$2x + 2y + 8z - 32 + x - y - z + 6 = 0$
$3x + y + 7z - 26 = 0$.
अब,हम जांचते हैं कि कौन सा बिंदु $3x + y + 7z = 26$ को संतुष्ट नहीं करता है:
$(3, 3, 2)$ के लिए: $3(3) + 3 + 7(2) = 9 + 3 + 14 = 26$ ($P$ पर स्थित है)।
$(6, -6, 2)$ के लिए: $3(6) - 6 + 7(2) = 18 - 6 + 14 = 26$ ($P$ पर स्थित है)।
$(4, 2, 2)$ के लिए: $3(4) + 2 + 7(2) = 12 + 2 + 14 = 28 \neq 26$ ($P$ पर स्थित नहीं है)।
$(-8, 8, 6)$ के लिए: $3(-8) + 8 + 7(6) = -24 + 8 + 42 = 26$ ($P$ पर स्थित है)।

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\sin^{2} x}{1+\pi^{\sin x}} \, dx$.
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+\sin^{2} x}{1+\pi^{\sin x}} + \frac{1+\sin^{2}(-x)}{1+\pi^{\sin(-x)}} \right) \, dx$
चूंकि $\sin^{2}(-x) = \sin^{2} x$ और $\sin(-x) = -\sin x$:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+\sin^{2} x}{1+\pi^{\sin x}} + \frac{1+\sin^{2} x}{1+\pi^{-\sin x}} \right) \, dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\sin^{2} x) \left( \frac{1}{1+\pi^{\sin x}} + \frac{\pi^{\sin x}}{\pi^{\sin x}+1} \right) \, dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\sin^{2} x) \left( \frac{1+\pi^{\sin x}}{1+\pi^{\sin x}} \right) \, dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\sin^{2} x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \frac{1-\cos 2x}{2}) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x) \, dx$
$I = [\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3\pi}{4} - 0 = \frac{3\pi}{4}$.

(C) सबसे पहले,$f^{\prime}(x)=0$ रखकर $f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x$ के क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
$f^{\prime}(x)=6 x^{2}-6 x-12=6(x-2)(x+1)$.
क्रांतिक बिंदु $x=-1$ और $x=2$ हैं।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर,$f^{\prime\prime}(x)=12 x-6$.
$f^{\prime\prime}(-1)=-18 < 0$,इसलिए $a=-1$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
$f^{\prime\prime}(2)=18 > 0$,इसलिए $b=2$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है।
क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx = \int_{-1}^{2} |2 x^{3}-3 x^{2}-12 x| dx$ द्वारा दिया जाता है।
फलन $f(x)=x(2 x^{2}-3 x-12)$ अंतराल $[-1, 2]$ के भीतर $x=0$ पर $x$-अक्ष को काटता है।
अतः,$A = \int_{-1}^{0} (2 x^{3}-3 x^{2}-12 x) dx + \int_{0}^{2} -(2 x^{3}-3 x^{2}-12 x) dx$.
$A = \left[ \frac{x^{4}}{2} - x^{3} - 6 x^{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ 6 x^{2} + x^{3} - \frac{x^{4}}{2} \right]_{0}^{2}$.
$A = (0 - (\frac{1}{2} + 1 - 6)) + ((24 + 8 - 8) - 0) = -(\frac{1-10}{2}) + 24 = \frac{9}{2} + 24 = \frac{57}{2}$.
इसलिए,$4 A = 4 \times \frac{57}{2} = 114$.

(D) माना $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
माना $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -\lambda\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
सदिशों का योग $\vec{b} = \vec{v_1} + \vec{v_2} = (2 - \lambda)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
पहले,अदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2 - \lambda) + (2)(6) + (1)(-2) = 2 - \lambda + 12 - 2 = 12 - \lambda$.
इसके बाद,$\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{b}| = \sqrt{(2 - \lambda)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 - 4\lambda + \lambda^2 + 36 + 4} = \sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 44}$.
प्रक्षेप को $1$ के बराबर रखने पर: $\frac{12 - \lambda}{\sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 44}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(12 - \lambda)^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 44$.
$144 - 24\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 44$.
$144 - 44 = 24\lambda - 4\lambda$.
$100 = 20\lambda$.
$\lambda = 5$.

(B) दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x+1 & y-1 & z-3 \\ 6 & 7 & 8 \\ 3 & 5 & 7 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x+1)(49-40) - (y-1)(42-24) + (z-3)(30-21) = 0$
$9(x+1) - 18(y-1) + 9(z-3) = 0$
$9$ से भाग देने पर,हमें $x+1 - 2(y-1) + z-3 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x - 2y + z = 0$ हो जाता है।
बिंदु $P(7, -2, 13)$ से समतल $x - 2y + z = 0$ पर लंब की लंबाई $PQ$ का सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ है।
$PQ = \frac{|1(7) - 2(-2) + 1(13)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|7 + 4 + 13|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{24}{\sqrt{6}} = 4\sqrt{6}$.
अतः,$(PQ)^2 = (4\sqrt{6})^2 = 16 \times 6 = 96$.

(B) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $|A| = \Delta$।
गुणधर्म $\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$,हमारे पास $\operatorname{adj}(2A) = 2^{2} \operatorname{adj}(A) = 4 \operatorname{adj}(A)$ है।
आगे,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)) = \operatorname{adj}(4 \operatorname{adj}(A)) = 4^{3-1} \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A)) = 16 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))$।
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A)) = |A|^{n-2} A = |A| A$ का उपयोग करते हुए,हमें $16 |A| A$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\det(2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)))) = \det(2 \operatorname{adj}(2(16 |A| A))) = \det(2 \operatorname{adj}(32 |A| A))$ है।
$\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ का उपयोग करते हुए,$\operatorname{adj}(32 |A| A) = (32 |A|)^{2} \operatorname{adj}(A)$।
अतः,$\det(2 \cdot (32 |A|)^{2} \operatorname{adj}(A)) = \det(2^{1} \cdot 2^{10} |A|^{2} \operatorname{adj}(A)) = \det(2^{11} |A|^{2} \operatorname{adj}(A))$।
चूँकि $\det(kM) = k^{n} \det(M)$,हमारे पास $(2^{11} |A|^{2})^{3} \det(\operatorname{adj}(A)) = 2^{33} |A|^{6} |A|^{2} = 2^{33} |A|^{8}$ है।
दिया गया है कि $2^{33} |A|^{8} = 2^{41}$,इसलिए $|A|^{8} = 2^{8}$,जिसका अर्थ है $|A| = \pm 2$।
अतः,$\det(A^{2}) = |A|^{2} = (\pm 2)^{2} = 4$।

(B) दिया गया है $a = (\sin ^{-1} x)^{2}-(\cos ^{-1} x)^{2}$.
सर्वसमिका $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$a = (\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x)(\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x)$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$a = \frac{\pi}{2}(\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x)$.
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{\pi}{2}(\frac{\pi}{2} - 2 \cos ^{-1} x)$.
$\frac{2a}{\pi} = \frac{\pi}{2} - 2 \cos ^{-1} x$.
$2 \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \frac{2a}{\pi}$.
दोनों पक्षों का कोसाइन (cosine) लेने पर:
$\cos(2 \cos ^{-1} x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2a}{\pi})$.
सर्वसमिका $\cos(2 \theta) = 2 \cos^2 \theta - 1$ और $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$2 x^2 - 1 = \sin(\frac{2a}{\pi})$.

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ K & -1 \end{bmatrix}$ है।
दिया गया समीकरण $A(A^{3} + 3I) = 2I$ है,जिसका अर्थ है $A^{4} + 3A = 2I$,या $A^{4} = 2I - 3A$ है।
$A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ K & -1 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda + 1) - 2K = 0 \Rightarrow \lambda^{2} + \lambda - 2K = 0$ है।
कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^{2} + A - 2KI = 0$,इसलिए $A^{2} = 2KI - A$ है।
अब,$A^{4} = (A^{2})^{2} = (2KI - A)^{2} = 4K^{2}I - 4KA + A^{2}$ है।
$A^{4}$ के व्यंजक में $A^{2} = 2KI - A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A^{4} = 4K^{2}I - 4KA + (2KI - A) = (4K^{2} + 2K)I - (4K + 1)A$ है।
$A^{4}$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2I - 3A = (4K^{2} + 2K)I - (4K + 1)A$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(4K + 1 - 3)A = (4K^{2} + 2K - 2)I$ है।
$(4K - 2)A = (4K^{2} + 2K - 2)I$ है।
$2(2K - 1)A = 2(2K^{2} + K - 1)I$ है।
$2(2K - 1)A = 2(2K - 1)(K + 1)I$ है।
यदि $2K - 1 \neq 0$ है,तो $A = (K + 1)I$,जिसका अर्थ है $\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ K & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K+1 & 0 \\ 0 & K+1 \end{bmatrix}$ है।
यह $K+1 = 0$ और $2 = 0$ की ओर ले जाता है,जो असंभव है।
अतः,$2K - 1 = 0$ होना चाहिए,जिससे $K = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि बिंदु $A(1,-2,3)$ से गुजरने वाली और $2,3,-6$ दिक अनुपात वाली रेखा के समानांतर रेखा का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-6} = \lambda$
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(1+2\lambda, -2+3\lambda, 3-6\lambda)$ के रूप का है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x-y+z=5$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1+2\lambda) - (-2+3\lambda) + (3-6\lambda) = 5$
$1 + 2\lambda + 2 - 3\lambda + 3 - 6\lambda = 5$
$6 - 7\lambda = 5$
$-7\lambda = -1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{7}$
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ है:
$P = (1+2(\frac{1}{7}), -2+3(\frac{1}{7}), 3-6(\frac{1}{7})) = (\frac{9}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$
दूरी $AP$,$(1,-2,3)$ और $(\frac{9}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$ के बीच की दूरी है:
$AP = \sqrt{(\frac{9}{7}-1)^2 + (-\frac{11}{7}-(-2))^2 + (\frac{15}{7}-3)^2}$
$AP = \sqrt{(\frac{2}{7})^2 + (\frac{3}{7})^2 + (-\frac{6}{7})^2}$
$AP = \sqrt{\frac{4}{49} + \frac{9}{49} + \frac{36}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49}} = 1$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2x(y + 2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x(2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -2x$ और $Q(x) = 4x \sin x - 10x - 2 \cos x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -2x dx} = e^{-x^{2}}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,हमें $e^{-x^{2}} \frac{dy}{dx} - 2x e^{-x^{2}} y = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 10x - 2 \cos x)$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{d}{dx}(y \cdot e^{-x^{2}}) = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 2 \cos x) - 10x e^{-x^{2}}$ में सरल हो जाता है।
ध्यान दें कि $\frac{d}{dx}(e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x)) = e^{-x^{2}}(-2 \cos x) + (5 - 2 \sin x)(-2x e^{-x^{2}}) = -2 \cos x e^{-x^{2}} - 10x e^{-x^{2}} + 4x \sin x e^{-x^{2}}$ है।
अतः,$y \cdot e^{-x^{2}} = e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x) + C$ प्राप्त होता है।
$e^{-x^{2}}$ से भाग देने पर,$y = 5 - 2 \sin x + C e^{x^{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y(0) = 7$ दिया गया है,इसलिए $7 = 5 - 2 \sin(0) + C e^{0} \Rightarrow 7 = 5 + C \Rightarrow C = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(x) = 5 - 2 \sin x + 2 e^{x^{2}}$ है।
$x = \pi$ पर,$y(\pi) = 5 - 2 \sin(\pi) + 2 e^{\pi^{2}} = 5 - 0 + 2 e^{\pi^{2}} = 2 e^{\pi^{2}} + 5$ प्राप्त होता है।

(D) समतलों $P_1: x-y-z-1=0$ और $P_2: 2x+y-3z+4=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x-y-z-1) + \lambda(2x+y-3z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (-1+\lambda)y + (-1-3\lambda)z + (-1+4\lambda) = 0$.
इस समतल की मूल बिंदु $(0,0,0)$ से दूरी $\sqrt{\frac{2}{21}}$ दी गई है।
दूरी का सूत्र $d = \frac{|d_0|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ है,इसलिए:
$\frac{|4\lambda-1|}{\sqrt{(1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 + (-1-3\lambda)^2}} = \sqrt{\frac{2}{21}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(4\lambda-1)^2}{(1+4\lambda+4\lambda^2) + (1-2\lambda+\lambda^2) + (1+6\lambda+9\lambda^2)} = \frac{2}{21}$.
$\frac{(4\lambda-1)^2}{14\lambda^2+8\lambda+3} = \frac{2}{21}$.
$21(16\lambda^2-8\lambda+1) = 2(14\lambda^2+8\lambda+3)$.
$336\lambda^2 - 168\lambda + 21 = 28\lambda^2 + 16\lambda + 6$.
$308\lambda^2 - 184\lambda + 15 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $308\lambda^2 - 154\lambda - 30\lambda + 15 = 0$.
$154\lambda(2\lambda-1) - 15(2\lambda-1) = 0$.
$(154\lambda-15)(2\lambda-1) = 0$.
अतः,$\lambda = \frac{1}{2}$ या $\lambda = \frac{15}{154}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ के लिए,समीकरण $(x-y-z-1) + \frac{1}{2}(2x+y-3z+4) = 0$ होगा।
$2x-2y-2z-2 + 2x+y-3z+4 = 0$.
$4x-y-5z+2 = 0$.

(A) दिया गया है $U_{n}=\prod_{r=1}^{n}\left(1+\frac{r^{2}}{n^{2}}\right)^{r}$.
माना $L=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(U_{n}\right)^{-4 / n^{2}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log L=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{-4}{n^{2}} \sum_{r=1}^{n} r \log \left(1+\frac{r^{2}}{n^{2}}\right)$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\log L=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n}-4 \left(\frac{r}{n}\right) \log \left(1+\left(\frac{r}{n}\right)^{2}\right) \cdot \frac{1}{n}$.
यह एक रीमैन योग है,जो निश्चित समाकलन में परिवर्तित हो जाता है:
$\log L = -4 \int_{0}^{1} x \log (1+x^{2}) \, dx$.
माना $t = 1+x^{2}$,तो $dt = 2x \, dx$.
जब $x=0, t=1$; जब $x=1, t=2$.
$\log L = -2 \int_{1}^{2} \log (t) \, dt = -2 [t \log t - t]_{1}^{2}$.
$\log L = -2 [(2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)] = -2 [2 \log 2 - 2 + 1] = -2 [2 \log 2 - 1]$.
$\log L = -4 \log 2 + 2 = \log (2^{-4}) + \log (e^{2}) = \log \left(\frac{e^{2}}{16}\right)$.
अतः,$L = \frac{e^{2}}{16}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $f(x)+x f'(x)=x^2$ है,जिसे $y+x \frac{dy}{dx}=x^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $x \neq 0$),हमें $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\frac{1}{x}$ और $Q=x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot x = \int x \cdot x dx + C = \int x^2 dx + C = \frac{x^3}{3} + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(-2, 2)$ से होकर गुजरता है,हम $x=-2$ और $y=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + C \Rightarrow -4 = -\frac{8}{3} + C$.
$C = -4 + \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$.
$C$ का मान समीकरण में वापस रखने पर: $xy = \frac{x^3}{3} - \frac{4}{3}$।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3xy = x^3 - 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $x^3 - 3x f(x) - 4 = 0$।

(C) माना $I = \int_{6}^{16} \frac{\log _{e} x^{2}}{\log _{e} x^{2} + \log _{e}(x-22)^{2}} dx \dots(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b = 6+16 = 22$:
$I = \int_{6}^{16} \frac{\log _{e}(22-x)^{2}}{\log _{e}(22-x)^{2} + \log _{e}(22-(22-x))^{2}} dx$
$I = \int_{6}^{16} \frac{\log _{e}(22-x)^{2}}{\log _{e}(22-x)^{2} + \log _{e} x^{2}} dx \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{6}^{16} \frac{\log _{e} x^{2} + \log _{e}(22-x)^{2}}{\log _{e} x^{2} + \log _{e}(22-x)^{2}} dx$
$2I = \int_{6}^{16} 1 dx = [x]_{6}^{16} = 16 - 6 = 10$
$I = \frac{10}{2} = 5$

(D) मान लीजिए कि तार को $x$ और $20-x$ लंबाई के दो टुकड़ों में काटा जाता है।
वर्ग की भुजा $s_1 = \frac{x}{4}$ है,इसलिए वर्ग का क्षेत्रफल $A_1 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$ है।
नियमित षट्भुज की भुजा $s_2 = \frac{20-x}{6}$ है,इसलिए नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल $A_2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{20-x}{6}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{(20-x)^2}{36} = \frac{\sqrt{3}}{24} (20-x)^2$ है।
कुल क्षेत्रफल $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{\sqrt{3}}{24} (20-x)^2$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{\sqrt{3}}{24} \times 2(20-x)(-1) = \frac{x}{8} - \frac{\sqrt{3}}{12}(20-x) = 0$.
$24$ से गुणा करने पर $3x - 2\sqrt{3}(20-x) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x - 40\sqrt{3} + 2\sqrt{3}x = 0$ हो जाता है।
अतः,$x(3 + 2\sqrt{3}) = 40\sqrt{3}$,इसलिए $x = \frac{40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}}$।
षट्भुज की भुजा $s_2 = \frac{20-x}{6} = \frac{1}{6} \left( 20 - \frac{40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}} \right)$ है।
$s_2 = \frac{1}{6} \left( \frac{60 + 40\sqrt{3} - 40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{60}{3 + 2\sqrt{3}} \right) = \frac{10}{3 + 2\sqrt{3}}$।

(D) दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $(1)(1) + (5)(3) + (\alpha)(\beta) = 0$,जिसका अर्थ है $1 + 15 + \alpha\beta = 0$,अर्थात $\alpha\beta = -16$.
आगे,$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & \beta \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 - 2\beta) - \hat{j}(-3 + \beta) + \hat{k}(2 + 3) = (-9 - 2\beta)\hat{i} + (3 - \beta)\hat{j} + 5\hat{k}$.
दिया गया है $|\vec{b} \times \vec{c}| = 5\sqrt{3}$,इसलिए $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = 75$.
$(-9 - 2\beta)^2 + (3 - \beta)^2 + 5^2 = 75$
$(81 + 36\beta + 4\beta^2) + (9 - 6\beta + \beta^2) + 25 = 75$
$5\beta^2 + 30\beta + 115 = 75$
$5\beta^2 + 30\beta + 40 = 0 \Rightarrow \beta^2 + 6\beta + 8 = 0$.
$\beta$ के लिए हल करने पर,$(\beta + 4)(\beta + 2) = 0$,इसलिए $\beta = -4$ या $\beta = -2$.
यदि $\beta = -4$,तो $\alpha = 4$. यदि $\beta = -2$,तो $\alpha = 8$.
अब,$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 5^2 + \alpha^2 = 26 + \alpha^2$.
$\alpha = 4$ के लिए,$|\vec{a}|^2 = 26 + 16 = 42$.
$\alpha = 8$ के लिए,$|\vec{a}|^2 = 26 + 64 = 90$.
सबसे बड़ा मान $90$ है।

(C) माना $f(x) = 3x^{4} + 4x^{3} - 12x^{2} + 4$ है।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 12x^{3} + 12x^{2} - 24x = 12x(x^{2} + x - 2) = 12x(x + 2)(x - 1)$।
क्रांतिक बिंदु $x = -2, 0, 1$ हैं।
अब,इन क्रांतिक बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-2) = 3(-2)^{4} + 4(-2)^{3} - 12(-2)^{2} + 4 = 3(16) + 4(-8) - 12(4) + 4 = 48 - 32 - 48 + 4 = -28$।
$f(0) = 3(0)^{4} + 4(0)^{3} - 12(0)^{2} + 4 = 4$।
$f(1) = 3(1)^{4} + 4(1)^{3} - 12(1)^{2} + 4 = 3 + 4 - 12 + 4 = -1$।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$।
चिह्न परिवर्तनों का विश्लेषण:
$1$. $(-\infty, -2)$ में,$f(x)$,$\infty$ से $-28$ तक घटता है। चूंकि $f(-2) = -28 < 0$,इसलिए $(-\infty, -2)$ में एक मूल है।
$2$. $(-2, 0)$ में,$f(x)$,$-28$ से $4$ तक बढ़ता है। चूंकि $f(-2) < 0$ और $f(0) > 0$,इसलिए $(-2, 0)$ में एक मूल है।
$3$. $(0, 1)$ में,$f(x)$,$4$ से $-1$ तक घटता है। चूंकि $f(0) > 0$ और $f(1) < 0$,इसलिए $(0, 1)$ में एक मूल है।
$4$. $(1, \infty)$ में,$f(x)$,$-1$ से $\infty$ तक बढ़ता है। चूंकि $f(1) < 0$ और $f(x) \to \infty$,इसलिए $(1, \infty)$ में एक मूल है।
अतः,कुल $4$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{(x^2+x+1)^2} = \int \frac{dx}{((x+1/2)^2 + 3/4)^2}$.
$t = x + 1/2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$. अतः $I = \int \frac{dt}{(t^2 + 3/4)^2}$.
$t = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta$ रखने पर,$dt = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta$.
$I = \int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta}{(\frac{3}{4} \tan^2 \theta + 3/4)^2} = \int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta}{\frac{9}{16} \sec^4 \theta} = \frac{8\sqrt{3}}{9} \int \cos^2 \theta d\theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{4\sqrt{3}}{9} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \frac{4\sqrt{3}}{9} (\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) + C$.
चूँकि $\tan \theta = \frac{2t}{\sqrt{3}} = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})$.
साथ ही,$\frac{\sin 2\theta}{2} = \frac{\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{\frac{2x+1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{(2x+1)^2}{3}} = \frac{\sqrt{3}(2x+1)}{4(x^2+x+1)}$.
अतः,$I = \frac{4\sqrt{3}}{9} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + \frac{1}{3} \frac{2x+1}{x^2+x+1} + C$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$a = \frac{4\sqrt{3}}{9}$ और $b = \frac{1}{3}$.
अतः $9(\sqrt{3}a + b) = 9(\sqrt{3} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{9} + \frac{1}{3}) = 9(\frac{4}{3} + \frac{1}{3}) = 15$.

(D) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$(i) \ 2x + y - z = 3$
$(ii) \ x - y - z = \alpha$
$(iii) \ 3x + 3y + \beta z = 3$
रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह संगत होना चाहिए।
माना गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & 3 & \beta \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$2(-\beta + 3) - 1(\beta + 3) - 1(3 + 3) = 0$
$-2\beta + 6 - \beta - 3 - 6 = 0$
$-3\beta - 3 = 0 \Rightarrow \beta = -1$.
$\beta = -1$ को समीकरणों में रखने पर:
$2x + y - z = 3$
$x - y - z = \alpha$
$3x + 3y - z = 3$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर $x + 2y = 3 - \alpha$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ से,$3(x + y) - z = 3$। $(i) + (ii)$ का उपयोग करने पर,$3x = 3 + \alpha$,अतः $x = 1 + \alpha/3$।
संगति के लिए,समीकरणों को एक ही समतल या रेखा का प्रतिनिधित्व करना चाहिए। हल करने पर $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta - \alpha \beta = 3 + (-1) - (3)(-1) = 3 - 1 + 3 = 5$।

(A) दिया गया है $y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x$. मान लीजिए $u = y^{1/4}$,तो $u + \frac{1}{u} = 2x$,जिसका अर्थ है $u^2 - 2xu + 1 = 0$. $u$ के लिए हल करने पर,हमें $u = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,यानी $y = (x \pm \sqrt{x^2 - 1})^4$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(1 \pm \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(\frac{\sqrt{x^2 - 1} \pm x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)$.
चूंकि $y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,हमें $\frac{dy}{dx} = 4(y^{3/4}) \left(\frac{\pm(x \pm \sqrt{x^2 - 1})}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = \frac{4y}{\sqrt{x^2 - 1}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x^2 - 1) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 16y^2$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$(x^2 - 1) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + 2x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 32y \frac{dy}{dx}$.
$2 \frac{dy}{dx}$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $\frac{dy}{dx} \neq 0$),हमें $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 16y = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \alpha x \frac{dy}{dx} + \beta y = 0$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$ और $\beta = -16$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\alpha - \beta| = |1 - (-16)| = |1 + 16| = 17$.

(A) दिए गए समीकरण $n = 2(l + m)$ और $mn + nl + lm = 0$ हैं।
दूसरे समीकरण में $n = 2(l + m)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$m(2l + 2m) + 2l(l + m) + lm = 0$
$2lm + 2m^2 + 2l^2 + 2lm + lm = 0$
$2l^2 + 5lm + 2m^2 = 0$
$m^2$ से भाग देने पर,हमें $2t^2 + 5t + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जहाँ $t = \frac{l}{m}$ है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2t + 1)(t + 2) = 0$,इसलिए $t = -\frac{1}{2}$ या $t = -2$।
स्थिति $1$: यदि $\frac{l}{m} = -2$,तो $l = -2m$। $n = 2(l + m)$ में रखने पर,$n = 2(-2m + m) = -2m$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(-2m, m, -2m)$ हैं,जो $(-2, 1, -2)$ के रूप में सरल होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $\frac{l}{m} = -\frac{1}{2}$,तो $m = -2l$। $n = 2(l + m)$ में रखने पर,$n = 2(l - 2l) = -2l$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(l, -2l, -2l)$ हैं,जो $(1, -2, -2)$ के रूप में सरल होते हैं।
मान लीजिए दिक अनुपात $\vec{a} = (-2, 1, -2)$ और $\vec{b} = (1, -2, -2)$ हैं।
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{|a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = \frac{|(-2)(1) + (1)(-2) + (-2)(-2)|}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+4+4}} = \frac{|-2 - 2 + 4|}{3 \times 3} = 0$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) दिया गया सारणिक $\det(A) = \begin{vmatrix} [x+1] & [x+2] & [x+3] \\ [x] & [x+3] & [x+3] \\ [x] & [x+2] & [x+4] \end{vmatrix} = 192$.
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[x+n] = [x] + n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\begin{vmatrix} [x]+1 & [x]+2 & [x]+3 \\ [x] & [x]+3 & [x]+3 \\ [x] & [x]+2 & [x]+4 \end{vmatrix} = 192$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1 - R_3$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ [x] & [x]+2 & [x]+4 \end{vmatrix} = 192$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1([x]+4 - ([x]+2)) - 0 + (-1)(0 - ([x])) = 192$.
$1(2) + [x] = 192 \Rightarrow [x] = 190$.
विकल्पों को देखते हुए,यदि $[x] = 62$ है,तो $x$ का अंतराल $[62, 63)$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $g(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ है।
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$(x + \frac{\pi}{4}) \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ होता है।
अतः,$g(x) \in [1, \sqrt{2}]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x) = \tan^{-1}(g(x))$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[\tan^{-1}(1), \tan^{-1}(\sqrt{2})] = [\frac{\pi}{4}, \tan^{-1}(\sqrt{2})]$ होगा।
इसलिए,$m = \frac{\pi}{4}$ और $M = \tan^{-1}(\sqrt{2})$ है।
हमें $\tan(M - m) = \tan(\tan^{-1}(\sqrt{2}) - \frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(M - m) = \frac{\sqrt{2} - 1}{1 + \sqrt{2}(1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ प्राप्त होता है।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}$।

(C) माना व्यक्ति $A$ द्वारा प्राप्त चितों की संख्या $X$ है और व्यक्ति $B$ द्वारा प्राप्त चितों की संख्या $Y$ है। $X$ और $Y$ दोनों द्विपद बंटन $B(n=3, p=1/2)$ का पालन करते हैं।
$3$ सिक्कों को उछालने पर $k$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=k) = \binom{3}{k} (1/2)^3 = \binom{3}{k} / 8$ है।
हमें $P(X=Y) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=2) + P(X=3, Y=3)$ ज्ञात करना है।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(X=k, Y=k) = P(X=k) \times P(Y=k) = [P(X=k)]^2$.
$P(X=0) = 1/8 \implies P(X=0, Y=0) = 1/64$.
$P(X=1) = 3/8 \implies P(X=1, Y=1) = 9/64$.
$P(X=2) = 3/8 \implies P(X=2, Y=2) = 9/64$.
$P(X=3) = 1/8 \implies P(X=3, Y=3) = 1/64$.
कुल प्रायिकता $= 1/64 + 9/64 + 9/64 + 1/64 = 20/64 = 5/16$.

(D) नाभिलंब की लंबाई $4a$ बिंदु $(2, -3)$ से रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ की दूरी है।
$4a = \frac{|3(2) + 4(-3) - 5|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|6 - 12 - 5|}{5} = \frac{|-11|}{5} = \frac{11}{5}$.
चूंकि अक्ष $y$-अक्ष के समानांतर है,परवलय का समीकरण $(x - h)^{2} = 4a(y - k)$ है,जहाँ $4a = \frac{11}{5}$ है।
$(x - h)^{2} = \frac{11}{5}(y - k)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x - h) = \frac{11}{5} \frac{dy}{dx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 = \frac{11}{5} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
$10 = 11 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$,अर्थात $11 \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 10$.

(A) दिए गए समतलों के समीकरण हैं:
$P_1: x+y+z-1=0$
$P_2: 2x+3y-z+4=0$
इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
चूंकि यह समतल $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}$,$x$-अक्ष की दिशा $\hat{i} = (1, 0, 0)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,अभिलंब सदिश और $x$-अक्ष की दिशा का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$
$\lambda = -\frac{1}{2}$ का मान समतल के समीकरण में रखने पर:
$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$
$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$
$-2$ से गुणा करने पर:
$y - 3z + 6 = 0$
सदिश रूप में,यह $\vec{r} \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}) + 6 = 0$ है,अर्थात $\vec{r} \cdot (\hat{j} - 3\hat{k}) + 6 = 0$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y dx = (10y^3 - 2x) dy$.
$y dy$ से भाग देने पर,हमें $x$ में रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dy} + \frac{2}{y}x = 10y^2$.
यहाँ,समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है:
$I.F. = e^{\int \frac{2}{y} dy} = e^{2 \ln|y|} = y^2$.
व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int (10y^2) \cdot (I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x y^2 = \int 10y^4 dy + C$.
$x y^2 = 2y^5 + C$.
चूंकि वक्र $(0, 1)$ से होकर गुजरता है,हम $x=0$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 \cdot (1)^2 = 2(1)^5 + C \Rightarrow C = -2$.
अतः,वक्र का समीकरण $x y^2 = 2y^5 - 2$ है।
चूंकि वक्र $(2, \beta)$ से होकर गुजरता है,हम $x=2$ और $y=\beta$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2 \beta^2 = 2 \beta^5 - 2$.
$2$ से भाग देने पर,हमें $\beta^2 = \beta^5 - 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\beta^5 - \beta^2 - 1 = 0$ हो जाता है।
इसलिए,$\beta$ समीकरण $y^5 - y^2 - 1 = 0$ का एक मूल है।

(D) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 1$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $A(a, 0)$,$B(b, 2b+1)$,और $C(0, b)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |a(2b+1 - b) + b(b - 0) + 0(0 - (2b+1))| = 1$
$\frac{1}{2} |a(b+1) + b^2| = 1$
$|a(b+1) + b^2| = 2$
इसका अर्थ है $a(b+1) + b^2 = 2$ या $a(b+1) + b^2 = -2$।
स्थिति $1$: $a(b+1) = 2 - b^2 \Rightarrow a_1 = \frac{2 - b^2}{b+1}$।
स्थिति $2$: $a(b+1) = -2 - b^2 \Rightarrow a_2 = \frac{-2 - b^2}{b+1}$।
$a$ के सभी संभावित मानों का योग $a_1 + a_2 = \frac{2 - b^2 - 2 - b^2}{b+1} = \frac{-2b^2}{b+1}$ है।

(A) समीकरण निकाय संगत है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य न हो (अद्वितीय हल) या यदि $D=0$ हो और संवर्धित आव्यूह संगतता की शर्त को पूरा करता हो।
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \\ 9 & 4 & 28+[\lambda] \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(2(28+[\lambda]) - 20) - 1(3(28+[\lambda]) - 45) + 1(12 - 18)$
$D = (56 + 2[\lambda] - 20) - (84 + 3[\lambda] - 45) - 6$
$D = (36 + 2[\lambda]) - (39 + 3[\lambda]) - 6$
$D = -[\lambda] - 9$
यदि $D \neq 0$,अर्थात $[\lambda] \neq -9$,तो निकाय का अद्वितीय हल है।
यदि $D = 0$,अर्थात $[\lambda] = -9$,तो हम क्रेमर के नियम या पंक्ति न्यूनीकरण विधि का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं।
$[\lambda] = -9$ के लिए,तीसरा समीकरण $9x + 4y + 19z = -9$ हो जाता है।
अतः,सभी $\lambda \in R$ के लिए निकाय का एक हल विद्यमान है।

(C) बने हुए बक्से के आयाम $(a-2x)$,$(b-2x)$,और $x$ हैं।
बक्से का आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V(x) = (a-2x)(b-2x)x = (ab - 2ax - 2bx + 4x^2)x = 4x^3 - 2(a+b)x^2 + abx$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dx} = 12x^2 - 4(a+b)x + ab$.
$\frac{dV}{dx} = 0$ रखने पर:
$12x^2 - 4(a+b)x + ab = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{4(a+b) \pm \sqrt{16(a+b)^2 - 48ab}}{24} = \frac{4(a+b) \pm \sqrt{16(a^2 + 2ab + b^2 - 3ab)}}{24} = \frac{4(a+b) \pm 4\sqrt{a^2 - ab + b^2}}{24} = \frac{(a+b) \pm \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$.
मान लीजिए $\alpha = \frac{(a+b) + \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$ और $\beta = \frac{(a+b) - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$\frac{d^2V}{dx^2} = 24x - 4(a+b)$.
$x = \beta$ के लिए,$\frac{d^2V}{dx^2} = 24\left(\frac{a+b - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}\right) - 4(a+b) = 4(a+b) - 4\sqrt{a^2 - ab + b^2} - 4(a+b) = -4\sqrt{a^2 - ab + b^2} < 0$.
चूंकि $x = \beta$ पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए आयतन $x = \beta = \frac{a+b - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$ पर अधिकतम है।

(B) सबसे पहले,समुच्चय $A \cap B$ ज्ञात करें:
$A = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + y^{2} \leq 4\}$
$B = \{(x, y) \in Z \times Z : x^{2} + y^{2} \leq 4\}$
दोनों असमिकाओं को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक बिंदु $(x, y)$ हैं: $(1, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 0), (0, 0)$।
अतः,$n(A \cap B) = 5$।
इसके बाद,समुच्चय $A \cap C$ ज्ञात करें:
$A = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + y^{2} \leq 4\}$
$C = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + (y-2)^{2} \leq 4\}$
दोनों असमिकाओं को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक बिंदु $(x, y)$ हैं: $(2, 0), (2, 1), (2, 2), (1, 1), (3, 1)$।
अतः,$n(A \cap C) = 5$।
$A \cap B$ से $A \cap C$ तक संबंधों की कुल संख्या $2^{n(A \cap B) \times n(A \cap C)} = 2^{5 \times 5} = 2^{25}$ द्वारा दी जाती है।
इसे $2^{p}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = 25$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया परवलय: $(y-2)^{2} = x-1 \Rightarrow x = (y-2)^{2} + 1$.
कोटि $y=3$ पर,$x = (3-2)^{2} + 1 = 2$. अतः,बिंदु $(2, 3)$ है।
$(y-2)^{2} = x-1$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2(y-2) = \frac{dx}{dy}$ प्राप्त होता है।
$y=3$ पर,$\frac{dx}{dy} = 2(3-2) = 2$.
$(2, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x - 2 = 2(y - 3) \Rightarrow x = 2y - 4$ है।
यह क्षेत्र परवलय $x = (y-2)^{2} + 1$,स्पर्श रेखा $x = 2y - 4$ और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा परिबद्ध है।
$y=0$ से $y=3$ तक $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{3} [((y-2)^{2} + 1) - (2y - 4)] dy$
$= \int_{0}^{3} (y^{2} - 4y + 4 + 1 - 2y + 4) dy = \int_{0}^{3} (y^{2} - 6y + 9) dy$
$= \int_{0}^{3} (y-3)^{2} dy = \left[ \frac{(y-3)^{3}}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - (\frac{-27}{3}) = 9 \text{ वर्ग इकाई.}$

(A) दिया गया है $y(x) = \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}}\right)$.
चूँकि $1 \pm \sin x = \left(\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}\right)^2$,इसलिए $\sqrt{1+\sin x} = |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}|$ और $\sqrt{1-\sin x} = |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|$ है।
$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ के लिए,$\frac{x}{2} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। इस अंतराल में,$\cos \frac{x}{2} > 0$,$\sin \frac{x}{2} > 0$,और $\sin \frac{x}{2} > \cos \frac{x}{2}$ है।
अतः,$\sqrt{1+\sin x} = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$ और $\sqrt{1-\sin x} = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ होगा।
इन मानों को $y(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y(x) = \cot^{-1}\left(\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}\right) = \cot^{-1}\left(\frac{2\sin \frac{x}{2}}{2\cos \frac{x}{2}}\right) = \cot^{-1}(\tan \frac{x}{2})$.
$\cot^{-1}(\tan \theta) = \frac{\pi}{2} - \theta$ का उपयोग करने पर,$y(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$।