JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) मान लीजिए कि कथन $P$ है: "सभी $M > 0$ के लिए,एक ऐसा $x \in S$ मौजूद है कि $x \geq M$."
क्वांटिफायर वाले कथन का निषेध निम्नलिखित नियमों का पालन करता है:
$1$. "सभी के लिए" $(\forall)$ का निषेध "मौजूद है" $(\exists)$ होता है।
$2$. "मौजूद है" $(\exists)$ का निषेध "सभी के लिए" $(\forall)$ होता है।
$3$. $x \geq M$ का निषेध $x < M$ होता है।
$P$ पर इन नियमों को लागू करने पर:
$\sim P$: "एक ऐसा $M > 0$ मौजूद है कि सभी $x \in S$ के लिए,$x < M$."
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(A) बिंदु $P(a, b)$ का रेखा $y=x$ के परितः परावर्तन $(b, a)$ होता है।
इसे $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $2$ इकाई स्थानांतरित करने पर $(b+2, a)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु के परितः $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घूर्णन करने पर,नए निर्देशांक $(x', y')$ होंगे:
$x' = \frac{b+2-a}{\sqrt{2}}$
$y' = \frac{b+2+a}{\sqrt{2}}$
अंतिम स्थिति $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ दी गई है,अतः:
$b-a = -3$ (समीकरण $1$)
$b+a = 5$ (समीकरण $2$)
समीकरणों को हल करने पर $b=1$ और $a=4$ प्राप्त होता है।
अतः,$2a+b = 2(4)+1 = 9$.

(B) दिया गया है $\alpha = \max \{8^{2 \sin 3x} \cdot 4^{4 \cos 3x}\}$ और $\beta = \min \{8^{2 \sin 3x} \cdot 4^{4 \cos 3x}\}$।
हम व्यंजक को $2^{6 \sin 3x} \cdot 2^{8 \cos 3x} = 2^{6 \sin 3x + 8 \cos 3x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$6 \sin 3x + 8 \cos 3x$ का परिसर $[-\sqrt{6^2 + 8^2}, \sqrt{6^2 + 8^2}] = [-10, 10]$ है।
अतः,$\alpha = 2^{10}$ और $\beta = 2^{-10}$।
तब $\alpha^{1/5} = (2^{10})^{1/5} = 2^2 = 4$ और $\beta^{1/5} = (2^{-10})^{1/5} = 2^{-2} = 1/4$।
$8x^2 + bx + c = 0$ के मूल $4$ और $1/4$ हैं।
मूलों का योग: $4 + 1/4 = 17/4 = -b/8 \Rightarrow b = -34$।
मूलों का गुणनफल: $4 \cdot 1/4 = 1 = c/8 \Rightarrow c = 8$।
इसलिए,$c - b = 8 - (-34) = 42$।

(D) दिया गया है $S_{1}: |z-2| \leq 1$,जो $(2, 0)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
दिया गया है $S_{2}: z(1+i)+\overline{z}(1-i) \geq 4$. माना $z = x+iy$. तब $\overline{z} = x-iy$.
इन मानों को असमिका में रखने पर:
$(x+iy)(1+i) + (x-iy)(1-i) \geq 4$
$(x - y + i(x+y)) + (x - y - i(x+y)) \geq 4$
$2x - 2y \geq 4 \implies y \leq x-2$.
हमें $z \in S_{1} \cap S_{2}$ के लिए $|z - 2.5|^2$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
रेखा $y = x-2$ वृत्त के केंद्र $(2,0)$ से होकर गुजरती है।
वृत्त $(x-2)^2 + y^2 = 1$ और रेखा $y = x-2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y = x-2$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(x-2)^2 + (x-2)^2 = 1 \implies 2(x-2)^2 = 1 \implies x-2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः $x = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. संगत $y$ मान $y = x-2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
बिंदु $P = (2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ प्रतिच्छेदन क्षेत्र में $2.5 + 0i$ से सबसे दूर का बिंदु है।
$|z - 2.5|^2 = |(2 - \frac{1}{\sqrt{2}} - 2.5) - i\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = |-\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}|^2$
$= (-\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5 + 2\sqrt{2}}{4}$.

(C) माना समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है। रेखाएँ $4x + 5y = 0$ और $7x + 2y = 0$ मूल बिंदु $A(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
माना विकर्ण $BD$,रेखा $11x + 7y = 9$ पर स्थित है।
बिंदु $D$,$4x + 5y = 0$ और $11x + 7y = 9$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,$D = (5/3, -4/3)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $B$,$7x + 2y = 0$ और $11x + 7y = 9$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,$B = (-2/3, 7/3)$ प्राप्त होता है।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। माना $M$,$BD$ का मध्य बिंदु है।
$M = (\frac{5/3 - 2/3}{2}, \frac{-4/3 + 7/3}{2}) = (1/2, 1/2)$।
दूसरा विकर्ण $AC$,$A(0, 0)$ और $M(1/2, 1/2)$ से होकर गुजरता है।
रेखा $AC$ का समीकरण $y - 0 = \frac{1/2 - 0}{1/2 - 0}(x - 0)$ है,जो सरल होकर $y = x$ हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(2, 2)$ समीकरण $y = x$ को संतुष्ट करता है।

(C) कुल आवृत्ति $N = 4 + 4 + \alpha + \beta = 8 + \alpha + \beta$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 6$ है।
$\frac{4(2) + 4(6) + \alpha(8) + \beta(9)}{8 + \alpha + \beta} = 6$
$8 + 24 + 8\alpha + 9\beta = 48 + 6\alpha + 6\beta$
$2\alpha + 3\beta = 16 \quad \dots (i)$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 6.8$ है।
$\frac{16 + 144 + 64\alpha + 81\beta}{8 + \alpha + \beta} = 42.8$
$160 + 64\alpha + 81\beta = 342.4 + 42.8\alpha + 42.8\beta$
$21.2\alpha + 38.2\beta = 182.4$
समीकरणों को हल करने पर,$\alpha = 5$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
कुल आवृत्ति $N = 15$ है।
जब $x_3$ को $8$ से बदलकर $7$ किया जाता है,तो नया योग $= 90 - (8 \times 5) + (7 \times 5) = 85$ होता है।
नया माध्य $= \frac{85}{15} = \frac{17}{3}$.

(B) माना $a = 3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}} = \sqrt{25^{x-1}+7}$ और $b = 3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)} = (5^{x-1}+1)^{-1/8}$.
विस्तार $(a+b)^{10}$ है। नौवां पद $T_9 = {}^{10}C_8 a^2 b^8$ है।
मान रखने पर: ${}^{10}C_8 = 45$,$a^2 = 25^{x-1}+7$,और $b^8 = (5^{x-1}+1)^{-1}$.
अतः,$45 \times \frac{25^{x-1}+7}{5^{x-1}+1} = 180$.
$45$ से भाग देने पर,$\frac{25^{x-1}+7}{5^{x-1}+1} = 4$.
माना $t = 5^{x-1}$. तब $\frac{t^2+7}{t+1} = 4$.
$t^2+7 = 4t+4 \Rightarrow t^2-4t+3 = 0$.
$(t-1)(t-3) = 0$,अतः $t=1$ या $t=3$.
यदि $5^{x-1} = 1$,तो $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
यदि $5^{x-1} = 3$,तो $x-1 = \log_5 3 \Rightarrow x = 1 + \log_5 3$.

(A) दिया गया है कि $\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), x, \tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right)$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2x = \tan \left(\frac{\pi}{9}\right) + \tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right)$,अर्थात $x = \frac{1}{2} \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{7 \pi}{18}\right)$.
इसी प्रकार,$\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), y, \tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right)$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2y = \tan \left(\frac{\pi}{9}\right) + \tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right)$.
अब,$|x - 2y|$ का मान ज्ञात करने पर:
$x - 2y = \frac{1}{2} \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{7 \pi}{18}\right) - \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{5 \pi}{18}\right)$.
सर्वसमिका $\tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right) = \cot \left(\frac{\pi}{9}\right)$ और $\tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right) = \cot \left(\frac{2 \pi}{9}\right)$ का उपयोग करने पर:
$x - 2y = \frac{1}{2} \left(\cot \frac{\pi}{9} - \tan \frac{\pi}{9}\right) - \cot \frac{2 \pi}{9} = \cot \frac{2 \pi}{9} - \cot \frac{2 \pi}{9} = 0$.
अतः,$|x - 2y| = 0$.

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{(1-\sin x)^{1/8}-(1+\sin x)^{1/8}}$.
$\text{द्विपद प्रसार}$ $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n = 1/8$:
$(1-\sin x)^{1/8} \approx 1 - \frac{1}{8} \sin x$.
$(1+\sin x)^{1/8} \approx 1 + \frac{1}{8} \sin x$.
इन मानों को सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{(1 - \frac{1}{8} \sin x) - (1 + \frac{1}{8} \sin x)}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{-\frac{2}{8} \sin x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{-\frac{1}{4} \sin x}$.
$\text{चूँकि}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,$\text{इसलिए}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x} = 1$.
$\text{अतः}$,$L = -4 \times 1 = -4$.

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, 6)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र का $y$-निर्देशांक $k = 6$ है और त्रिज्या $r = |h|$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - h)^{2} + (y - 6)^{2} = h^{2}$ है।
यह वृत्त $x$-अक्ष पर $6 \sqrt{5}$ का अंतःखंड काटता है। समीकरण में $y = 0$ रखने पर,$(x - h)^{2} + (0 - 6)^{2} = h^{2}$ प्राप्त होता है,जो $(x - h)^{2} + 36 = h^{2}$ या $(x - h)^{2} = h^{2} - 36$ में सरल हो जाता है।
वर्गमूल लेने पर,$x - h = \pm \sqrt{h^{2} - 36}$,इसलिए $x = h \pm \sqrt{h^{2} - 36}$।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई इन दो $x$-मानों के बीच का अंतर है: $(h + \sqrt{h^{2} - 36}) - (h - \sqrt{h^{2} - 36}) = 2 \sqrt{h^{2} - 36}$।
दिया गया है कि अंतःखंड $6 \sqrt{5}$ है,इसलिए $2 \sqrt{h^{2} - 36} = 6 \sqrt{5}$,अर्थात $\sqrt{h^{2} - 36} = 3 \sqrt{5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^{2} - 36 = 9 \times 5 = 45$,इसलिए $h^{2} = 81$,जिसका अर्थ है $h = \pm 9$।
चूँकि त्रिज्या $r = |h|$ है,वृत्त की त्रिज्या $r = 9$ है।

(C) दीर्घवृत्त का केंद्र $C(3, -4)$ है।
नाभि $S(4, -4)$ है और शीर्ष $A(5, -4)$ है।
चूंकि $y$-निर्देशांक समान हैं,इसलिए मुख्य अक्ष क्षैतिज है।
केंद्र से शीर्ष की दूरी $a = |5 - 3| = 2$ है।
केंद्र से नाभि की दूरी $ae = |4 - 3| = 1$ है।
अतः,$e = \frac{1}{2}$।
$b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ का उपयोग करने पर,$b^{2} = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x - 3)^{2}}{4} + \frac{(y + 4)^{2}}{3} = 1$ है।
रेखा $y = mx - 4$ के दीर्घवृत्त $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $(y - k) = m(x - h) \pm \sqrt{a^{2}m^{2} + b^{2}}$ है।
यहाँ,$h = 3, k = -4, a^{2} = 4, b^{2} = 3$ है।
रेखा $y + 4 = mx - 3m$ है,अर्थात $y - (-4) = m(x - 3) - 3m$।
स्पर्शरेखा के रूप से तुलना करने पर,अचर पद $-3m = \pm \sqrt{4m^{2} + 3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9m^{2} = 4m^{2} + 3$।
$5m^{2} = 3$।

(A) दिया गया है $z = \frac{3 + 2i \cos \theta}{1 - 3i \cos \theta}$.
वास्तविक भाग ज्ञात करने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 + 3i \cos \theta)$ से गुणा करें:
$z = \frac{(3 + 2i \cos \theta)(1 + 3i \cos \theta)}{(1 - 3i \cos \theta)(1 + 3i \cos \theta)}$
$z = \frac{3 + 9i \cos \theta + 2i \cos \theta + 6i^2 \cos^2 \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$
चूँकि $i^2 = -1$, हमारे पास है:
$z = \frac{3 - 6 \cos^2 \theta + 11i \cos \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$
वास्तविक भाग $\operatorname{Re}(z) = \frac{3 - 6 \cos^2 \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$ है।
$\operatorname{Re}(z) = 0$ दिया गया है, इसलिए $3 - 6 \cos^2 \theta = 0$, जिसका अर्थ है $\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$, $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, अतः $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अब, $\sin^2 3\theta + \cos^2 \theta$ का मान ज्ञात करें:
$\sin^2 3(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = \sin^2(\frac{3\pi}{4}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(B) दिया गया समीकरण: $e^{4x} - e^{3x} - 4e^{2x} - e^{x} + 1 = 0$.
$e^{2x}$ से भाग देने पर ($e^{2x} > 0$ है):
$e^{2x} - e^{x} - 4 - e^{-x} + e^{-2x} = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(e^{2x} + e^{-2x}) - (e^{x} + e^{-x}) - 4 = 0$.
माना $t = e^{x} > 0$. तब $e^{x} + e^{-x} = t + \frac{1}{t} = \alpha$,जहाँ $\alpha \geq 2$.
यहाँ $e^{2x} + e^{-2x} = (t + \frac{1}{t})^2 - 2 = \alpha^2 - 2$.
समीकरण में मान रखने पर: $(\alpha^2 - 2) - \alpha - 4 = 0$.
$\alpha^2 - \alpha - 6 = 0$.
$(\alpha - 3)(\alpha + 2) = 0$.
चूँकि $\alpha \geq 2$,इसलिए $\alpha = 3$.
अब,$t + \frac{1}{t} = 3 \Rightarrow t^2 - 3t + 1 = 0$.
विविक्तकर $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 5 > 0$.
चूँकि $t = e^{x} > 0$ और मूलों का गुणनफल $1$ तथा योग $3$ है,इसलिए $t$ के दोनों मूल धनात्मक हैं।
अतः,$x$ के $2$ वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं।

(A) दी गई संख्या $N = 2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 11^{11} \cdot 13^{13}$ है।
भाजक $d = 2^a \cdot 5^b \cdot 11^c \cdot 13^d$ के रूप में है,जहाँ $0 \le a \le 10, 0 \le b \le 10, 0 \le c \le 11, 0 \le d \le 13$ है।
$4n+1$ रूप के लिए $d$ विषम होना चाहिए,अतः $a=0$ होगा।
$d = 5^b \cdot 11^c \cdot 13^d \equiv (-1)^c \pmod{4}$ होगा।
$d \equiv 1 \pmod{4}$ के लिए $c$ सम होना चाहिए।
$c$ के लिए $6$ विकल्प,$b$ के लिए $11$ विकल्प और $d$ के लिए $14$ विकल्प हैं।
कुल भाजकों की संख्या $11 \times 6 \times 14 = 924$ है।

(A) सबसे पहले,समुच्चय $A$ ज्ञात करें: $n^{2} - n \leq 10,000$। $n(n-1) \leq 10,000$ को हल करने पर,हमें $n \approx 100.5$ प्राप्त होता है,इसलिए $A = \{1, 2, \ldots, 100\}$ है।
अगला,$B - C$ ज्ञात करें: $B$ में $3k+1$ के रूप की संख्याएँ हैं (जैसे $4, 7, 10, 13, 16, 19, \ldots$)। $C$ में सम संख्याएँ हैं। अतः,$B - C$ में $3k+1$ के रूप की विषम संख्याएँ हैं,जो $7, 13, 19, \ldots$ हैं।
$B - C$ का सामान्य पद $m \geq 1$ के लिए $6m + 1$ है।
हमें $A \cap (B - C) = \{n \in \{1, \ldots, 100\} \mid n = 6m + 1\}$ चाहिए।
$m=1$ के लिए,$n=7$; $m=16$ के लिए,$n=97$ है। पदों की संख्या $16$ है।
योग एक समांतर श्रेणी है: $S = \frac{16}{2}(7 + 97) = 8 \times 104 = 832$।

(C) $a, b, c$ का माध्य $\bar{x} = \frac{a+b+c}{3}$ है।
चूंकि $b = a + c$,इसलिए $\bar{x} = \frac{b+b}{3} = \frac{2b}{3}$ है।
$a+2, b+2, c+2$ का मानक विचलन $a, b, c$ के मानक विचलन के समान है,जो $d$ है।
अतः,$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - (\bar{x})^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \left(\frac{2b}{3}\right)^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \frac{4b^2}{9}$.
$d^2 = \frac{3(a^2+b^2+c^2) - 4b^2}{9}$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2+b^2) - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) + 3b^2 - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) - b^2$.
इसलिए,$b^2 = 3(a^2+c^2) - 9d^2$।

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} [y] \, dy$।
$x \in [n, n+1)$ के लिए,जहाँ $n \in \mathbb{N}_0$,हमारे पास $y \in [n, x)$ के लिए $[y] = n$ है।
अतः,$f(x) = \int_{0}^{1} 0 \, dy + \int_{1}^{2} 1 \, dy + \dots + \int_{n-1}^{n} (n-1) \, dy + \int_{n}^{x} n \, dy$।
$f(x) = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) + n(x-n) = \frac{(n-1)n}{2} + nx - n^2$।
चूँकि $n = [x]$,हमारे पास $f(x) = \frac{[x]([x]-1)}{2} + [x](x-[x])$ है।
किसी भी पूर्णांक $x=n$ पर,बायाँ सीमा $\lim_{x \to n^-} f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ है और दायाँ सीमा $\lim_{x \to n^+} f(x) = \frac{(n-1)n}{2} + n(n-n) = \frac{n(n-1)}{2}$ है।
चूँकि सीमाएँ समान हैं,$f(x)$ सभी $x \geq 0$ के लिए सतत है।
हालाँकि,अवकलज $f'(x) = [x]$ पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है क्योंकि $\lim_{x \to n^-} f'(x) = n-1$ और $\lim_{x \to n^+} f'(x) = n$ है।
इसलिए,$f$ हर जगह सतत है लेकिन पूर्णांक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया है $g(3n+1)=3n+2$,$g(3n+2)=3n+3$,और $g(3n+3)=3n+1$,जहाँ $n \geq 0$ है।
सबसे पहले,हम $g \circ g \circ g(x)$ की गणना करते हैं:
$x = 3n+1$ के लिए,$g(g(g(3n+1))) = g(g(3n+2)) = g(3n+3) = 3n+1$ है।
इसी प्रकार,$g(g(g(3n+2))) = 3n+2$ और $g(g(g(3n+3))) = 3n+3$ है।
अतः,सभी $x \in N$ के लिए $g \circ g \circ g(x) = x$ है।
अब,शर्त $f(g(x)) = f(x)$ पर विचार करें।
यदि $f$ एक अचर फलन है,तो $f(g(x)) = f(x)$ होगा,लेकिन अचर फलन $N$ पर आच्छादक नहीं होता है।
यदि हम $f$ को इस प्रकार परिभाषित करें कि वह $g$ के समान चक्र के सभी तत्वों को समान मान पर मैप करे,तो $f$ शर्त $f(g(x)) = f(x)$ को संतुष्ट करेगा।
उदाहरण के लिए,$f(3n+1) = f(3n+2) = f(3n+3) = n+1$ लें। यह फलन $f$ आच्छादक है क्योंकि किसी भी $y \in N$ के लिए,हम $n = y-1$ चुन सकते हैं ताकि $f(3(y-1)+1) = y$ हो।
अतः,एक आच्छादक फलन $f$ का अस्तित्व है ताकि $f \circ g = f$।

(C) $9$ अलग-अलग गेंदों को $4$ बक्सों में वितरित करने के कुल तरीके $4^{9}$ हैं।
$B_{3}$ बक्से के लिए $3$ गेंदें चुनने के तरीके ${}^{9}C_{3}$ हैं।
शेष $6$ गेंदों को अन्य $3$ बक्सों $(B_{1}, B_{2}, B_{4})$ में $3^{6}$ तरीकों से वितरित किया जा सकता है।
अतः,$B_{3}$ में ठीक $3$ गेंदें होने की प्रायिकता $P = \frac{{}^{9}C_{3} \cdot 3^{6}}{4^{9}}$ है।
इसे हम $P = \frac{{}^{9}C_{3} \cdot 3^{6}}{4^{9}} = \frac{84 \cdot 3^{6}}{4^{9}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
हमें $k \left(\frac{3}{4}\right)^{9}$ के रूप में मान चाहिए,इसलिए $P = k \cdot \frac{3^{9}}{4^{9}}$ लिखते हैं।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $k \cdot \frac{3^{9}}{4^{9}} = \frac{84 \cdot 3^{6}}{4^{9}}$.
$k = \frac{84 \cdot 3^{6}}{3^{9}} = \frac{84}{27} = \frac{28}{9} \approx 3.11$.
$k = \frac{28}{9} \approx 3.11$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$|x-3| < 1 \Rightarrow 2 < x < 4$. चूँकि $3.11$ इस अंतराल में स्थित है,इसलिए विकल्प $C$ सही है।

(D) रेखा $L$ को $\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{-1} = \lambda$ द्वारा दिया गया है। अतः,$L$ पर कोई भी बिंदु $N(\lambda, 0, -\lambda)$ है।
चूंकि $PN \perp L$,सदिश $\vec{PN} = (\lambda-1, -2, -\lambda+1)$ रेखा $L$ के दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 0, -1)$ के लंबवत है।
अतः,$(\lambda-1)(1) + (-2)(0) + (-\lambda+1)(-1) = 0 \Rightarrow \lambda-1 + \lambda-1 = 0 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,$N = (1, 0, -1)$ और $\vec{PN} = (0, -2, 0)$.
अब,मान लीजिए कि $P$ से गुजरने वाली और समतल $x+y+2z=0$ के समानांतर रेखा $L$ से $Q(\mu, 0, -\mu)$ पर मिलती है।
सदिश $\vec{PQ} = (\mu-1, -2, -\mu+1)$ है। चूंकि यह रेखा समतल के समानांतर है,इसलिए $\vec{PQ}$ समतल के अभिलंब $\vec{n} = (1, 1, 2)$ के लंबवत है।
अतः,$(\mu-1)(1) + (-2)(1) + (-\mu+1)(2) = 0 \Rightarrow \mu-1 - 2 - 2\mu + 2 = 0 \Rightarrow -\mu - 1 = 0 \Rightarrow \mu = -1$.
अतः,$Q = (-1, 0, 1)$ और $\vec{PQ} = (-2, -2, 2)$.
$\vec{PN} = (0, -2, 0)$ और $\vec{PQ} = (-2, -2, 2)$ के बीच का कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{|\vec{PN} \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{PN}| |\vec{PQ}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{PN}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} = 2$.
$|\vec{PQ}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
$\vec{PN} \cdot \vec{PQ} = (0)(-2) + (-2)(-2) + (0)(2) = 4$.
$\cos \alpha = \frac{4}{2 \times 2\sqrt{3}} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) दिया गया है $f(x)=3 \sin ^{4} x+10 \sin ^{3} x+6 \sin ^{2} x-3$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 12 \sin^3 x \cos x + 30 \sin^2 x \cos x + 12 \sin x \cos x$
$f'(x) = 6 \sin x \cos x (2 \sin^2 x + 5 \sin x + 2)$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$f'(x) = 6 \sin x \cos x (2 \sin x + 1)(\sin x + 2)$
$x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ के लिए:
$1. \cos x > 0$,सभी $x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ के लिए।
$2. (\sin x + 2) > 0$,सभी $x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ के लिए।
$3. (2 \sin x + 1) \ge 0$,सभी $x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ के लिए।
अतः,$f'(x)$ का चिह्न $\sin x$ पर निर्भर करता है:
- यदि $x \in \left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$,तो $\sin x < 0$,इसलिए $f'(x) < 0$। अतः,$f$ अंतराल $\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ में ह्रासमान है।
- यदि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,तो $\sin x > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$। अतः,$f$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में वर्धमान है।

(B) यदि सदिश समतलीय हैं,तो उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a+b+2 & a+2 b+c & -(b+c) \\ b+1 & 2 b & -b \\ b+2 & 2 b & 1-b \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ और $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a+1 & a+c & -c \\ b+1 & 2 b & -b \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((a+c)(-b) - (2b)(-c)) + 1((a+1)(2b) - (b+1)(a+c)) = 0$
$(-ab - bc + 2bc) + (2ab + 2b - (ab + ac + b + c)) = 0$
$2ab + 2b - 2ab - a - 2bc - c + 2bc = 0$
$2b - a - c = 0$
अतः,$2b = a+c$.

(C) $f$ के $x = 2$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = f(2) = \mu$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} e^{\frac{\tan(x-2)}{x-[x]}}$. चूँकि $x > 2$,इसलिए $[x] = 2$,अतः $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} e^{\frac{\tan(x-2)}{x-2}} = e^{1} = e$.
इस प्रकार,$\mu = e$.
अब,बाईं सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{\lambda|x^{2}-5x+6|}{\mu(5x-x^{2}-6)}$.
यहाँ $x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3)$ है। $x < 2$ के लिए,$(x-2) < 0$ और $(x-3) < 0$ है,इसलिए $(x-2)(x-3) > 0$ होगा। अतः $|x^{2}-5x+6| = (x-2)(x-3)$.
साथ ही,$5x-x^{2}-6 = -(x^{2}-5x+6) = -(x-2)(x-3)$.
अतः,$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \frac{\lambda(x-2)(x-3)}{\mu(-(x-2)(x-3))} = -\frac{\lambda}{\mu}$.
सीमाओं की तुलना करने पर: $-\frac{\lambda}{\mu} = e \Rightarrow \lambda = -\mu e = -e^{2}$.
इसलिए,$\lambda + \mu = -e^{2} + e = e(-e+1)$.

(D) दिया गया समीकरण: $e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1 = 0$
पूरे समीकरण को $e^{3x}$ से विभाजित करने पर (चूंकि $e^{3x} \neq 0$):
$e^{3x} - e^{x} - 2 - 12e^{-x} + e^{-2x} + e^{-3x} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(e^{3x} + e^{-3x}) - (e^{x} - e^{-2x}) - (e^{-x} - e^{x}) - 2 = 0$
वैकल्पिक रूप से,$e^{3x}$ से विभाजित करके समूह बनाने पर:
$e^{3x} - 12 - e^{-3x} = e^{x} + 2 - e^{-x}$
मान लीजिए $f(x) = e^{3x} - 12 - e^{-3x}$ और $g(x) = e^{x} + 2 - e^{-x}$ है।
$f'(x) = 3e^{3x} + 3e^{-3x} > 0$ (निरंतर वर्धमान फलन)।
$g'(x) = e^{x} + e^{-x} > 0$ (निरंतर वर्धमान फलन)।
$f(x)$ और $g(x)$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन का अवलोकन करने पर,या फलन $h(x) = e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1$ के व्यवहार का विश्लेषण करने पर,हम पाते हैं कि फलन $x$-अक्ष को ठीक $2$ बिंदुओं पर काटता है।
अतः,वास्तविक मूलों की संख्या $2$ है।

(A) यह क्षेत्र $x \geq 0$ के लिए वक्रों $y = 2x^2$ और $y = 4-2x$ द्वारा परिबद्ध है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$2x^2 = 4-2x$ रखें,जो $x^2 + x - 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x+2)(x-1) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 1$ या $x = -2$ है।
चूंकि $x \geq 0$ है,हम अंतराल $[0, 1]$ पर विचार करेंगे।
क्षेत्रफल समाकलन $\int_{0}^{1} ((4-2x) - 2x^2) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$= \int_{0}^{1} (4 - 2x - 2x^2) dx$
$= [4x - x^2 - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{1}$
$= (4(1) - (1)^2 - \frac{2(1)^3}{3}) - (0)$
$= 4 - 1 - \frac{2}{3} = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \, sq. \, units$.

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के नियम के सारणिकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & a \\ 3 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 2(18 - 5a) - 3(9 - 3a) + 6(5 - 6) = 36 - 10a - 27 + 9a - 6 = 3 - a$.
$D = 0$ के लिए,$a = 3$ होना चाहिए।
अब,सारणिक $D_z$ ज्ञात करें:
$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & b \end{vmatrix} = 2(2b - 25) - 3(b - 15) + 8(5 - 6) = 4b - 50 - 3b + 45 - 8 = b - 13$.
जब $D = 0$ हो,तो निकाय का कोई हल न होने के लिए,$D_z \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $b - 13 \neq 0$,या $b \neq 13$।
अतः,निकाय का कोई हल नहीं है जब $a = 3$ और $b \neq 13$ हो।

(D) माना $I = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{1}{1 + (\tan 2x)^{1/3}} dx = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{(\cos 2x)^{1/3}}{(\cos 2x)^{1/3} + (\sin 2x)^{1/3}} dx \dots (i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{24} + \frac{5\pi}{24} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4}$.
तब $I = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{(\cos(2(\frac{\pi}{4} - x)))^{1/3}}{(\cos(2(\frac{\pi}{4} - x)))^{1/3} + (\sin(2(\frac{\pi}{4} - x)))^{1/3}} dx$
$I = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{(\cos(\frac{\pi}{2} - 2x))^{1/3}}{(\cos(\frac{\pi}{2} - 2x))^{1/3} + (\sin(\frac{\pi}{2} - 2x))^{1/3}} dx$
$I = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{(\sin 2x)^{1/3}}{(\sin 2x)^{1/3} + (\cos 2x)^{1/3}} dx \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} \frac{(\cos 2x)^{1/3} + (\sin 2x)^{1/3}}{(\cos 2x)^{1/3} + (\sin 2x)^{1/3}} dx = \int_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} 1 dx$
$2I = [x]_{\pi / 24}^{5 \pi / 24} = \frac{5\pi}{24} - \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$
$I = \frac{\pi}{12}$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 1 + xe^{y-x}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - 1 = xe^{y-x}$.
माना $y-x = u$,तो $\frac{du}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{du}{dx} = xe^u$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर: $e^{-u} du = x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-u} du = \int x dx \Rightarrow -e^{-u} = \frac{x^2}{2} + C$.
$u = y-x$ रखने पर: $-e^{-(y-x)} = \frac{x^2}{2} + C \Rightarrow -e^{x-y} = \frac{x^2}{2} + C$.
$y(0)=0$ दिया गया है,अतः $x=0, y=0$ के लिए: $-e^0 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.
अतः,$-e^{x-y} = \frac{x^2}{2} - 1 \Rightarrow e^{x-y} = 1 - \frac{x^2}{2} = \frac{2-x^2}{2}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $x-y = \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right) \Rightarrow y = x - \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right)$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें: $1 + xe^{y-x} = 0$. मूल समीकरण से,$\frac{dy}{dx} = 1 + x\left(\frac{2}{2-x^2}\right) = \frac{2-x^2+2x}{2-x^2} = 0$.
$-x^2+2x+2=0 \Rightarrow x^2-2x-2=0$ को हल करने पर। मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$,हम $x = 1-\sqrt{3}$ लेंगे।
$x = 1-\sqrt{3}$ को $y(x)$ में रखने पर: $y = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1-\sqrt{3})^2}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1+3-2\sqrt{3})}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-4+2\sqrt{3}}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln(\sqrt{3}-1)$.

(A) दिए गए सदिश $\vec{p}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{q}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों का योग और अंतर ज्ञात करें:
$\vec{p}+\vec{q} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{p}-\vec{q} = \hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$
चूंकि $\vec{r}$ सदिश $(\vec{p}+\vec{q})$ और $(\vec{p}-\vec{q})$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{r}$ उनके सदिश गुणनफल (cross product) के समानांतर होगा:
$(\vec{p}+\vec{q}) \times (\vec{p}-\vec{q}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
माना $\vec{v} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$। इसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3}$ है।
सदिश $\vec{r} = \pm |\vec{r}| \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \sqrt{3} \frac{-2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{2\sqrt{3}} = \pm (-\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ है।
इस प्रकार,$|\alpha|=1, |\beta|=1, |\gamma|=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\alpha|+|\beta|+|\gamma| = 1+1+1 = 3$।

(A) हमें $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ दिया गया है जहाँ $a, b, c, d \in \{\pm 3, \pm 2, \pm 1, 0\}$ है।
हमें उन आव्यूहों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $\det(A) = ad - bc = 15$ हो।
चूंकि $ad$ का अधिकतम मान $3 \times 3 = 9$ है और $bc$ का न्यूनतम मान $-3 \times 3 = -9$ है,इसलिए $ad - bc$ का अधिकतम मान $9 - (-9) = 18$ है।
$ad - bc = 15$ के लिए $ad$ और $bc$ के संभावित मान:
स्थिति $I$: $ad = 9$ और $bc = -6$ है।
$ad = 9$ के लिए,$(a, d)$ के जोड़े $(3, 3)$ या $(-3, -3)$ हो सकते हैं ($2$ जोड़े)।
$bc = -6$ के लिए,$(b, c)$ के जोड़े $(3, -2), (-3, 2), (-2, 3), (2, -3)$ हो सकते हैं ($4$ जोड़े)।
स्थिति $I$ के लिए कुल आव्यूह $= 2 \times 4 = 8$ हैं।
स्थिति $II$: $ad = 6$ और $bc = -9$ है।
$ad = 6$ के लिए,$(a, d)$ के जोड़े $(3, 2), (2, 3), (-3, -2), (-2, -3)$ हो सकते हैं ($4$ जोड़े)।
$bc = -9$ के लिए,$(b, c)$ के जोड़े $(3, -3), (-3, 3)$ हो सकते हैं ($2$ जोड़े)।
स्थिति $II$ के लिए कुल आव्यूह $= 4 \times 2 = 8$ हैं।
ऐसे कुल आव्यूहों की संख्या $= 8 + 8 = 16$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y} \frac{d y}{d x}-2 e^{y} \sin x=-\sin x \cos ^{2} x$.
मान लीजिए $e^{y}=t$,तो $e^{y} \frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$.
समीकरण $\frac{d t}{d x}-2 \sin x \cdot t=-\sin x \cos ^{2} x$ बन जाता है।
यह $\frac{d t}{d x}+P(x)t=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=-2 \sin x$ और $Q(x)=-\sin x \cos ^{2} x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 \sin x dx} = e^{2 \cos x}$ है।
हल $t \cdot e^{2 \cos x} = \int -\sin x \cos ^{2} x \cdot e^{2 \cos x} dx + C$ है।
मान लीजिए $u = \cos x$,तो $du = -\sin x dx$। समाकलन $\int u^{2} e^{2u} du$ बन जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u^{2} e^{2u} du = u^{2} \frac{e^{2u}}{2} - \int 2u \frac{e^{2u}}{2} du = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - (u \frac{e^{2u}}{2} - \int \frac{e^{2u}}{2} du) = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - \frac{u e^{2u}}{2} + \frac{e^{2u}}{4}$.
अतः,$e^{y} e^{2 \cos x} = e^{2 \cos x} (\frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4}) + C$.
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$y = 0$,तो $e^{0} e^{0} = e^{0} (0 - 0 + \frac{1}{4}) + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$.
इस प्रकार,$e^{y} = \frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2 \cos x}$.
$x = 0$ पर,$e^{y(0)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2}$.
$\alpha + \beta e^{-2}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$4(\alpha + \beta) = 4(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = 4(1) = 4$.

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है।
दी गई शर्त $A^n X = X$ सभी $a, b, c, d \in R$ के लिए है।
चूंकि $X$ कोई भी $2 \times 2$ आव्यूह हो सकता है,हम $X = I$ (तत्समक आव्यूह) ले सकते हैं,जिसका अर्थ है $A^n = I$ है।
अब,$A$ की घातों की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & i \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = iI$ है।
$A^4 = (A^2)^2 = (iI)^2 = i^2 I = -I$ है।
$A^8 = (A^4)^2 = (-I)^2 = I$ है।
अतः,$A^n = I$ तभी होता है जब $n$,$8$ का गुणज हो।
हमें $2$-अंकीय ऐसी संख्याएँ $n$ ज्ञात करनी हैं जो $8$ का गुणज हों।
$8$ के $2$-अंकीय गुणज $16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96$ हैं।
इनकी गणना करने पर,हमें कुल $11$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy = (y + x^3 \cos x) dx$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x dy - y dx}{x^2} = x \cos x dx$
यह भागफल नियम का अवकलन है:
$d(\frac{y}{x}) = x \cos x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int d(\frac{y}{x}) = \int x \cos x dx$
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$\frac{y}{x} = x \sin x - \int \sin x dx$
$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x + C$
चूंकि $y(\pi) = 0$ दिया गया है,$x = \pi$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 = \pi \sin(\pi) + \cos(\pi) + C$
$0 = 0 - 1 + C \implies C = 1$
अतः,$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x + 1$
$y = x^2 \sin x + x \cos x + x$
अब,$y(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात करने पर:
$y(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2}$
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{4}(1) + \frac{\pi}{2}(0) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll} \sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}\right|=0$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{2}$ और $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{3}$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} \sin x-\cos x & \cos x-\sin x & 0 \\ 0 & \sin x-\cos x & \cos x-\sin x \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}\right|=0$.
$R_{1}$ और $R_{2}$ से $(\sin x-\cos x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(\sin x-\cos x)^{2} \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}\right|=0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(\sin x-\cos x)^{2} [1(\sin x + \cos x) + 1(0 + \cos x)] = 0$.
$(\sin x-\cos x)^{2} (\sin x + 2 \cos x) = 0$.
इसका अर्थ है $\sin x = \cos x$ या $\sin x = -2 \cos x$.
स्थिति $1$: $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$. यह मान अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में स्थित है।
स्थिति $2$: $\tan x = -2$. अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में $\tan x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है। चूँकि $-2$ इस सीमा से बाहर है,इसलिए इस अंतराल में $\tan x = -2$ का कोई हल नहीं है।
अतः,केवल $1$ भिन्न वास्तविक मूल है,जो $x = \frac{\pi}{4}$ है।

(C) यह दिया गया है कि $(g \circ f)^{-1}$ का अस्तित्व है,इसलिए संयुक्त फलन $g \circ f: A \rightarrow C$ को एकैकी और आच्छादक (bijection) होना चाहिए।
$1$. $g \circ f$ को एकैकी होने के लिए,$f$ का एकैकी होना आवश्यक है। यदि $f$ एकैकी नहीं है,तो $A$ में ऐसे $x_1, x_2$ मौजूद होंगे कि $f(x_1) = f(x_2)$,जिसका अर्थ है $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,जो $g \circ f$ के एकैकी गुण का खंडन करता है।
$2$. $g \circ f$ को आच्छादक होने के लिए,$g$ का आच्छादक होना आवश्यक है। यदि $g$ आच्छादक नहीं है,तो $C$ में ऐसा कोई $z$ मौजूद होगा जिसके लिए $B$ में कोई $y$ न हो ताकि $g(y) = z$,जिसका अर्थ है कि $A$ में कोई $x$ नहीं होगा ताकि $g(f(x)) = z$,जो $g \circ f$ के आच्छादक गुण का खंडन करता है।
अतः,$f$ को एकैकी और $g$ को आच्छादक होना चाहिए।

(B) माना $I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx$,जहाँ $f(x) = \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ है।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि क्या $f(x)$ एक विषम फलन है:
$f(-x) = \log \left(-x+\sqrt{(-x)^{2}+1}\right) = \log \left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$.
अंश और हर को $(\sqrt{x^{2}+1}+x)$ से गुणा करने पर:
$f(-x) = \log \left(\frac{(\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right) = \log \left(\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right) = \log \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right)$.
गुणधर्म $\log(1/a) = -\log(a)$ का उपयोग करने पर:
$f(-x) = -\log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^{1} \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \, dx = 0$।

(B) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^2 = P \times P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 + 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \times P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 + 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$P^4 = P^2 \times P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
इस पैटर्न को देखते हुए,$P^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n/2 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 50$ के लिए,$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 50/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 25 & 1 \end{bmatrix}$।

(A) तीन सदिश $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = 0$.
दिए गए सदिश $\vec{u} = a \hat{i} + a \hat{j} + c \hat{k}$,$\vec{v} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 1 \hat{k}$,और $\vec{w} = c \hat{i} + c \hat{j} + b \hat{k}$ हैं।
समतलीयता की शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\left|\begin{array}{lll}a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b\end{array}\right| = 0$
दूसरी पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right| + 0 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right| - 1 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & a \\ c & c\end{array}\right| = 0$
$-1(ab - c^2) - 1(ac - ac) = 0$
$-(ab - c^2) - 0 = 0$
$c^2 - ab = 0$
$c^2 = ab$
चूंकि $a, b, c$ धनात्मक संख्याएँ हैं,इसलिए $c = \sqrt{ab}$.

(D) माध्य $E(X) = \sum_{j=0}^{\infty} j \cdot P(X=j)$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $P(X=0) = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$,इसलिए $E(X) = \sum_{j=1}^{\infty} j \cdot \frac{1}{3^j}$ है।
यह $\sum_{j=1}^{\infty} j r^j$ प्रकार की एक श्रेणी है जहाँ $r = \frac{1}{3}$ है।
इसका योग $\frac{r}{(1-r)^2} = \frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ है।
$P(X \text{ धनात्मक और सम है})$ के लिए,हम $j \in \{2, 4, 6, \ldots\}$ के लिए $P(X=j)$ का योग करते हैं।
$P(X \text{ धनात्मक और सम है}) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{2k}} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{9}\right)^k$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{9}$ है।
योग $\frac{a}{1-r} = \frac{1/9}{1-1/9} = \frac{1/9}{8/9} = \frac{1}{8}$ है।
अतः,माध्य $\frac{3}{4}$ है और प्रायिकता $\frac{1}{8}$ है।

(C) दिया गया है: $|\vec{a}|=2$ और $|\vec{b}|=5$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta = 8$.
मान रखने पर: $2 \times 5 \times \sin \theta = 8 \implies 10 \sin \theta = 8 \implies \sin \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
अतः,$|\cos \theta| = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
अब,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta|$.
$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = 2 \times 5 \times \frac{3}{5} = 6$.

(B) $x > 2$ के लिए,$f(x) = \int_{0}^{1} (5 + (1-t)) \, dt + \int_{1}^{x} (5 + (t-1)) \, dt$.
समाकलनों का मूल्यांकन करने पर:
$f(x) = \int_{0}^{1} (6-t) \, dt + \int_{1}^{x} (4+t) \, dt = [6t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{1} + [4t + \frac{t^2}{2}]_{1}^{x}$.
$f(x) = (6 - \frac{1}{2}) + (4x + \frac{x^2}{2} - 4 - \frac{1}{2}) = \frac{11}{2} + 4x + \frac{x^2}{2} - \frac{9}{2} = \frac{x^2}{2} + 4x + 1$.
$x=2$ पर सांतत्य की जाँच:
$f(2^-) = 5(2) + 1 = 11$.
$f(2^+) = \frac{2^2}{2} + 4(2) + 1 = 2 + 8 + 1 = 11$.
चूंकि $f(2^-) = f(2^+) = 11$,इसलिए $f(x)$,$x=2$ पर सतत है।
$x=2$ पर अवकलनीयता की जाँच:
$Lf'(2) = \frac{d}{dx}(5x+1)|_{x=2} = 5$.
$Rf'(2) = \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2} + 4x + 1)|_{x=2} = (x+4)|_{x=2} = 2+4 = 6$.
चूंकि $Lf'(2) \neq Rf'(2)$,इसलिए $f(x)$,$x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) चूंकि $P''(x)$ एक स्थिरांक है,इसलिए $P(x)$ को $2$ घात का बहुपद होना चाहिए। मान लीजिए $P(x) = ax^2 + bx + c$ है।
यह दिया गया है कि $f(x)$,$x = 2$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 7$ है।
इसका अर्थ है कि $\lim_{x \to 2} \frac{P(x)}{\sin(x-2)} = 7$ है।
सीमा के अस्तित्व के लिए,$P(2) = 0$ होना चाहिए क्योंकि $x \to 2$ होने पर $\sin(x-2) \to 0$ होता है। अतः,$(x-2)$,$P(x)$ का एक गुणनखंड है।
मान लीजिए $P(x) = (x-2)(ax + k)$ है।
तब $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(ax+k)}{\sin(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sin(x-2)} \cdot (ax+k) = 1 \cdot (2a+k) = 7$ है।
अतः,$2a + k = 7$ है।
हमें $P(3) = 9$ दिया गया है। $P(x) = (x-2)(ax+k)$ में $x=3$ रखने पर,$(3-2)(3a+k) = 9$,इसलिए $3a + k = 9$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(3a+k) - (2a+k) = 9 - 7$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
$2a+k=7$ में $a=2$ रखने पर $4+k=7$ मिलता है,इसलिए $k=3$ है।
इस प्रकार,$P(x) = (x-2)(2x+3)$ है।
अंत में,$P(5) = (5-2)(2(5)+3) = 3(13) = 39$ है।

(C) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a = 2 \sqrt{2}$ है।
माना आयत की लंबाई $\ell$ और चौड़ाई $b$ है।
ऊपरी भाग में बनने वाले समरूप त्रिभुजों से,छोटे त्रिभुज की ऊँचाई और उसके आधार का अनुपात बड़े त्रिभुज की ऊँचाई और उसके आधार के अनुपात के बराबर होता है।
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $H = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sqrt{2}) = \sqrt{6}$ है।
समरूप त्रिभुजों द्वारा,$\frac{H-b}{H} = \frac{\ell}{a}$.
$\frac{\sqrt{6}-b}{\sqrt{6}} = \frac{\ell}{2 \sqrt{2}}$.
$b = \sqrt{6} (1 - \frac{\ell}{2 \sqrt{2}}) = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ell$.
क्षेत्रफल $A = \ell \times b = \ell (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ell) = \sqrt{6} \ell - \frac{\sqrt{3}}{2} \ell^2$.
$A$ को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dA}{d\ell} = 0$ रखें।
$\sqrt{6} - \sqrt{3} \ell = 0 \Rightarrow \ell = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.
अधिकतम क्षेत्रफल $A = \sqrt{2} (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2}) = \sqrt{12} - \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{2} = 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
अधिकतम क्षेत्रफल का वर्ग $A^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x \ln x}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{2 dx}{x \ln x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{2}{x \ln x} dx$.
मान लीजिए $u = \ln x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन करने पर: $\ln |y| = 2 \int \frac{du}{u} = 2 \ln |u| + C = 2 \ln |\ln x| + C$.
अतः,$\ln |y| = \ln |(\ln x)^2| + C$,जिसका अर्थ है $y = k(\ln x)^2$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि वक्र बिंदु $(2, (\ln 2)^2)$ से गुजरता है,$x=2$ और $y=(\ln 2)^2$ रखने पर:
$(\ln 2)^2 = k(\ln 2)^2 \Rightarrow k = 1$.
इस प्रकार,फलन $f(x) = (\ln x)^2$ है।
$f(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x=e$ रखने पर: $f(e) = (\ln e)^2 = (1)^2 = 1$.

(B) एक सिक्के को उछालने पर चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(H) = \frac{1}{2}$ है।
$n$ बार सिक्का उछालने पर कोई भी चित न प्राप्त होने की प्रायिकता $P(X=0) = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
दिया गया है कि $P(X \geq 1) \geq 0.9$,इसलिए:
$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \geq 0.9$
असमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$1 - 0.9 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^n$
$0.1 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^n$
$\frac{1}{10} \geq \frac{1}{2^n}$
$2^n \geq 10$
$n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n=3$ के लिए,$2^3 = 8 < 10$.
$n=4$ के लिए,$2^4 = 16 \geq 10$.
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $4$ है।

(C) दो रेखाएं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि उनके बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का सारणिक शून्य हो:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (k, 2, 3)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-1, -2, -3)$ है।
दिशा सदिश $(a_1, b_1, c_1) = (1, 2, 3)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (3, 2, 1)$ हैं।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} -1-k & -2-2 & -3-3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} -(k+1) & -4 & -6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-(k+1)(2-6) - (-4)(1-9) + (-6)(2-6) = 0$
$-(k+1)(-4) + 4(-8) - 6(-4) = 0$
$4(k+1) - 32 + 24 = 0$
$4k + 4 - 8 = 0$
$4k - 4 = 0$
$4k = 4$
$k = 1$

(B) दिया गया है कि $(\vec{a}+3 \vec{b}) \perp(7 \vec{a}-5 \vec{b})$,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(\vec{a}+3 \vec{b}) \cdot(7 \vec{a}-5 \vec{b}) = 7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 16(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \quad \dots(1)$
दिया गया है कि $(\vec{a}-4 \vec{b}) \perp(7 \vec{a}-2 \vec{b})$,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(\vec{a}-4 \vec{b}) \cdot(7 \vec{a}-2 \vec{b}) = 7|\vec{a}|^2 + 8|\vec{b}|^2 - 30(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 16(\vec{a} \cdot \vec{b})) - (7|\vec{a}|^2 + 8|\vec{b}|^2 - 30(\vec{a} \cdot \vec{b})) = 0$
$-23|\vec{b}|^2 + 46(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \implies 46(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 23|\vec{b}|^2 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2$
अब $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 16(\frac{1}{2}|\vec{b}|^2) = 0$
$7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 8|\vec{b}|^2 = 0 \implies 7|\vec{a}|^2 = 7|\vec{b}|^2 \implies |\vec{a}| = |\vec{b}|$
अब,$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{\frac{1}{2}|\vec{b}|^2}{|\vec{b}||\vec{b}|} = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$

(D) क्षेत्र $R$ को $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ और $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ के लिए $0 \leq y \leq 2^x$,तथा $x \in [1, 2]$ के लिए $\log_e x \leq y \leq 2^x$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
क्षेत्रफल $A = \int_{1/2}^{1} 2^x \, dx + \int_{1}^{2} (2^x - \log_e x) \, dx$
$A = \int_{1/2}^{2} 2^x \, dx - \int_{1}^{2} \log_e x \, dx$
$A = \left[ \frac{2^x}{\log_e 2} \right]_{1/2}^{2} - [x \log_e x - x]_{1}^{2}$
$A = \frac{2^2 - 2^{1/2}}{\log_e 2} - ((2 \log_e 2 - 2) - (1 \log_e 1 - 1))$
$A = \frac{4 - \sqrt{2}}{\log_e 2} - (2 \log_e 2 - 2 + 1)$
$A = (4 - \sqrt{2})(\log_e 2)^{-1} - 2(\log_e 2) + 1$
$\alpha(\log_e 2)^{-1} + \beta(\log_e 2) + \gamma$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 4 - \sqrt{2}$,$\beta = -2$,$\gamma = 1$ प्राप्त होता है।
अब,$(\alpha + \beta - 2\gamma)^2 = (4 - \sqrt{2} - 2 - 2(1))^2 = (4 - \sqrt{2} - 2 - 2)^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2$.

(B) दिए गए अवकल समीकरण $\log _{e}\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x+4 y$ को $\frac{d y}{d x}=e^{3 x+4 y}=e^{3 x} \cdot e^{4 y}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चरों को अलग करने पर,$e^{-4 y} d y=e^{3 x} d x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-4 y} d y=\int e^{3 x} d x$,जिससे $-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}+C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0)=0$ का उपयोग करते हुए,$x=0$ और $y=0$ रखने पर: $-\frac{1}{4} e^{0}=\frac{1}{3} e^{0}+C \Rightarrow -\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+C \Rightarrow C=-\frac{7}{12}$।
अतः,$-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}-\frac{7}{12}$।
$-12$ से गुणा करने पर,$3 e^{-4 y} = 7 - 4 e^{3 x}$,इसलिए $e^{-4 y} = \frac{7 - 4 e^{3 x}}{3}$।
व्युत्क्रम लेने पर,$e^{4 y} = \frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}$,इसलिए $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}\right)$।
$x = -\frac{2}{3} \log _{e} 2$ के लिए,$e^{3 x} = e^{3 \left(-\frac{2}{3} \log _{e} 2\right)} = e^{-2 \log _{e} 2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$।
इस मान को $4y$ के समीकरण में रखने पर: $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4(1/4)}\right) = \log _{e} \left(\frac{3}{6}\right) = \log _{e} \left(\frac{1}{2}\right) = -\log _{e} 2$।
अतः,$y = -\frac{1}{4} \log _{e} 2$। इसे $y = \alpha \log _{e} 2$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं: $|A| = (1)(4) - (2)(-1) = 4 + 2 = 6$।
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज आव्यूह (adjoint) ज्ञात करते हैं: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$।
हमें दिया गया है $A^{-1} = \alpha I + \beta A$,इसलिए:
$\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ -\beta & \alpha + 4\beta \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर:
$2\beta = -\frac{1}{3} \implies \beta = -\frac{1}{6}$।
$\alpha + \beta = \frac{2}{3} \implies \alpha - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \implies \alpha = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
अंत में,$4(\alpha - \beta) = 4(\frac{5}{6} - (-\frac{1}{6})) = 4(\frac{5}{6} + \frac{1}{6}) = 4(1) = 4$।

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = b$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\cot 4x}{\cot 2x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{\tan 4x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{2\tan 2x(1-\tan^2 2x)}} = e^{1/2}$.
अतः,$b = e^{1/2}$.
अब,बाईं सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{3a}{|\sin x|}} = \lim_{t \rightarrow 0^+} (1+t)^{\frac{3a}{t}} = e^{3a}$ (जहाँ $t = |\sin x|$)।
सीमाओं की तुलना करने पर,$e^{3a} = e^{1/2}$,जिसका अर्थ है $3a = 1/2$,इसलिए $a = 1/6$.
अतः,$6a = 1$.
अंत में,$6a + b^2 = 1 + (e^{1/2})^2 = 1 + e$।

(D) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{a}+\vec{b} = (1-1)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (2+3)\hat{k} = 3\hat{j} + 5\hat{k}$ की गणना करें।
अब,व्यंजक $E = ((\vec{a} \times((\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b})) \times \vec{b})$ को सरल करें।
गुणधर्म $(\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$E = ((\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b})) \times \vec{b})$।
सदिश त्रिगुण गुणनफल के सूत्र $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}$।
अतः $E = ((\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{b} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \times \vec{b})$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-1) + (1)(2) + (2)(3) = -1 + 2 + 6 = 7$ की गणना करें।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(3+2) + \hat{k}(2+1) = -\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$ की गणना करें।
इस प्रकार,$E = 7(-\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k})$।
अंत में,$(\vec{a}+\vec{b}) \times E = (3\hat{j} + 5\hat{k}) \times 7(-\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 7 \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & 5 \\ -1 & -5 & 3 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$= 7 [\hat{i}(9 - (-25)) - \hat{j}(0 - (-5)) + \hat{k}(0 - (-3))] = 7(34\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k})$।

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{x \cos x}\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)} \cdots(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -\frac{\pi}{4}$ और $b = \frac{\pi}{4}$,हमें $a+b = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x)$ का मान $f(-x)$ हो जाता है:
$I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{-x \cos(-x)}\right)\left(\sin ^{4}(-x)+\cos ^{4}(-x)\right)} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{-x \cos x}\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)} \cdots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1}{1+e^{x \cos x}} + \frac{1}{1+e^{-x \cos x}} \right) \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x}$
चूँकि $\frac{1}{1+e^{x \cos x}} + \frac{1}{1+e^{-x \cos x}} = 1$,इसलिए:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x}$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(1+\tan^2 x) \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$
माना $\tan x = u$,तो $\sec^2 x dx = du$। जब $x \to 0, u \to 0$ और $x \to \frac{\pi}{4}, u \to 1$:
$I = \int_{0}^{1} \frac{1+u^2}{u^4+1} du = \int_{0}^{1} \frac{1+\frac{1}{u^2}}{u^2+\frac{1}{u^2}} du = \int_{0}^{1} \frac{1+\frac{1}{u^2}}{(u-\frac{1}{u})^2 + 2} du$
माना $u-\frac{1}{u} = t$,तो $(1+\frac{1}{u^2}) du = dt$। जब $u \to 0, t \to -\infty$ और $u \to 1, t \to 0$:
$I = \int_{-\infty}^{0} \frac{dt}{t^2+2} = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{2}} \right) \right]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$

(B) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
अतः,अभीष्ट समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(-2 + 1) + \hat{k}(-2 - 1) = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
बिंदु $(-1, 0, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण:
$-2(x + 1) + 1(y - 0) - 3(z + 2) = 0$
$-2x - 2 + y - 3z - 6 = 0$
$-2x + y - 3z - 8 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,$2x - y + 3z + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
$ax + by + cz + 8 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = -1, c = 3$ है।
अतः,$a + b + c = 2 - 1 + 3 = 4$।

(C) हमें सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{(2 j-1)+8 n}{(2 j-1)+4 n}$ दी गई है।
योग के अंदर के पद के अंश और हर को $n$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{2(\frac{j}{n}) - \frac{1}{n} + 8}{2(\frac{j}{n}) - \frac{1}{n} + 4}$.
रीमैन योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,जहाँ $n \rightarrow \infty$ होने पर $\frac{j}{n} \rightarrow x$ और $\frac{1}{n} \rightarrow dx$ होता है,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$L = \int_{0}^{1} \frac{2x + 8}{2x + 4} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
$\frac{2x + 8}{2x + 4} = \frac{(2x + 4) + 4}{2x + 4} = 1 + \frac{4}{2x + 4} = 1 + \frac{2}{x + 2}$.
अब,$x$ के सापेक्ष $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:
$L = \int_{0}^{1} (1 + \frac{2}{x + 2}) dx = [x + 2 \ln|x + 2|]_{0}^{1}$.
निश्चित समाकल का मान ज्ञात करने पर:
$L = (1 + 2 \ln(3)) - (0 + 2 \ln(2)) = 1 + 2(\ln(3) - \ln(2)) = 1 + 2 \ln(\frac{3}{2})$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया सारणिक $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin^2 x & -2 + \cos^2 x & \cos 2x \\ 2 + \sin^2 x & \cos^2 x & \cos 2x \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1 + \cos 2x \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} -2 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1 + \cos 2x \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = -2(0 - (-\cos^2 x)) - (-2)(2(1 + \cos 2x) - (-\sin^2 x)) + 0$
$f(x) = -2 \cos^2 x + 2(2 + 2 \cos 2x + \sin^2 x)$
$f(x) = -2 \cos^2 x + 4 + 4 \cos 2x + 2 \sin^2 x$
$f(x) = 4 + 4 \cos 2x - 2(\cos^2 x - \sin^2 x)$
चूंकि $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$,इसलिए:
$f(x) = 4 + 4 \cos 2x - 2 \cos 2x = 4 + 2 \cos 2x$.
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$\cos 2x$ का अधिकतम मान $1$ है।
अतः,$f(x)_{\text{max}} = 4 + 2(1) = 6$.

(B) दिया गया है $F(x) = e^{-x} \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$. ध्यान दें कि $F(3) = 0$.
दोनों पक्षों को $e^{x}$ से गुणा करने पर: $e^{x}F(x) = \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^{x}F(x) + e^{x}F^{\prime}(x) = 3x^{2}+2x+4F^{\prime}(x)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(e^{x}-4)F^{\prime}(x) + e^{x}F(x) = 3x^{2}+2x$.
यह $\frac{d}{dx} [F(x)(e^{x}-4)] = 3x^{2}+2x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $F(x)(e^{x}-4) = \int (3x^{2}+2x) \,dx = x^{3}+x^{2}+C$.
चूंकि $F(3) = 0$,इसलिए $0 = 3^{3}+3^{2}+C \Rightarrow C = -36$.
अतः,$F(x) = \frac{x^{3}+x^{2}-36}{e^{x}-4}$.
अब,$F^{\prime}(x) = \frac{(3x^{2}+2x)(e^{x}-4) - (x^{3}+x^{2}-36)e^{x}}{(e^{x}-4)^{2}}$.
$x=4$ पर: $F^{\prime}(4) = \frac{(3(16)+2(4))(e^{4}-4) - (64+16-36)e^{4}}{(e^{4}-4)^{2}} = \frac{56(e^{4}-4) - 44e^{4}}{(e^{4}-4)^{2}} = \frac{12e^{4}-224}{(e^{4}-4)^{2}}$.
$\frac{\alpha e^{\beta}-224}{(e^{\beta}-4)^{2}}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha=12$ और $\beta=4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha+\beta = 12+4 = 16$.

(C) रेखा बिंदु $A(2, 3, -2)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल बिंदु $B(3, 7, -7)$ और बिंदु $A(2, 3, -2)$ से गुजरता है।
सदिश $\vec{AB} = (3-2)\hat{i} + (7-3)\hat{j} + (-7 - (-2))\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{v}$ और $\vec{AB}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10-4) - \hat{j}(15-1) + \hat{k}(-12-2) = -14\hat{i} - 14\hat{j} - 14\hat{k}$।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x-2) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $x + y + z - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $x + y + z - 3 = 0$ की दूरी $d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ है।
अतः,$d^{2} = (\sqrt{3})^{2} = 3$।

(D) दिया गया है $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ सभी $m, n \in S$ के लिए जहाँ $m \cdot n \in S$ है।
$1$. $m=1$ रखने पर,$f(n) = f(1) \cdot f(n)$,जिसका अर्थ है $f(1) = 1$.
$2$. $f(2), f(3), f(5), f(7)$ के मान फलन को निर्धारित करते हैं क्योंकि $f(4) = f(2 \cdot 2) = f(2)^2$ और $f(6) = f(2 \cdot 3) = f(2) \cdot f(3)$.
$3$. स्थिति $1$: $f(2) = 1$. तब $f(4) = 1^2 = 1$ और $f(6) = 1 \cdot f(3) = f(3)$.
$f(3)$ का मान $S$ में से कुछ भी हो सकता है ($7$ विकल्प),$f(5)$ का मान $S$ में से कुछ भी हो सकता है ($7$ विकल्प),और $f(7)$ का मान $S$ में से कुछ भी हो सकता है ($7$ विकल्प)।
फलनों की संख्या = $1 \times 1 \times 7 \times 1 \times 7 \times 7 = 343$.
$4$. स्थिति $2$: $f(2) = 2$. तब $f(4) = 2^2 = 4 \in S$ (मान्य) और $f(6) = 2 \cdot f(3)$.
$f(6) \in S$ के लिए,$2 \cdot f(3) \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ होना चाहिए।
$f(3)$ के लिए संभावित मान $1, 2, 3$ हैं (क्योंकि $2 \cdot 1=2, 2 \cdot 2=4, 2 \cdot 3=6$,सभी $S$ में हैं)।
$f(5)$ का मान $S$ में से कुछ भी हो सकता है ($7$ विकल्प),$f(7)$ का मान $S$ में से कुछ भी हो सकता है ($7$ विकल्प)।
फलनों की संख्या = $1 \times 3 \times 7 \times 7 = 147$.
$5$. स्थिति $3$: $f(2) = 3$. तब $f(4) = 3^2 = 9 \notin S$ (अमान्य)।
कुल फलनों की संख्या = $343 + 147 = 490$.

(A) दिया गया है $f(x) = \min \{x-[x], 1+[x]-x\}$। मान लीजिए ${x} = x-[x]$। तब $f(x) = \min \{\{x\}, 1-\{x\}\}$।
$x \in [0, 3)$ के लिए,फलन ${x}$ का आवर्तकाल $1$ है। $f(x)$ का आरेख $0$ और $3$ के बीच त्रिकोणीय तरंगों जैसा है।
विशेष रूप से,$f(x) = \{x\}$ जब $0 \le \{x\} \le 1/2$ और $f(x) = 1-\{x\}$ जब $1/2 < \{x\} < 1$।
$1$. सांतत्य: फलन $f(x)$ अंतराल $[0, 3]$ पर हर जगह सतत है क्योंकि ${x}$ पूर्णांकों को छोड़कर सतत है,लेकिन $\min$ फलन इसे पूर्णांकों पर भी सतत बनाता है। अतः,$P = \emptyset$ और $P$ में अवयवों की संख्या $0$ है।
$2$. अवकलनीयता: फलन $f(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ दोनों व्यंजक समान हैं,अर्थात ${x} = 1/2$,और जहाँ ${x}$ असतत है,अर्थात $x \in \{1, 2\}$।
अंतराल $(0, 3)$ में,${x} = 1/2$ का मान $x \in \{1/2, 3/2, 5/2\}$ पर प्राप्त होता है।
वे बिंदु जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है,वे $Q = \{1/2, 1, 3/2, 2, 5/2\}$ हैं।
$Q$ में अवयवों की संख्या $5$ है।
$P$ और $Q$ में अवयवों की संख्या का योग = $0 + 5 = 5$।

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और सारणिक $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 + \alpha) - 1(1 - 2\alpha) - 1(-1 - 4) = 2 + \alpha - 1 + 2\alpha + 5 = 3\alpha + 6$.
$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $3\alpha + 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha = -2$.
अब,$\alpha = -2$ को समीकरणों में प्रतिस्थापित करें:
$x + y - z = 2$
$x + 2y - 2z = 1$
$2x - y + z = \beta$
अनंत हलों के लिए,संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) की कोटि (rank) $3$ से कम होनी चाहिए। $\Delta_2 = 0$ का उपयोग करते हुए:
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & \beta & 1 \end{vmatrix} = 1(1 + 2\beta) - 2(1 + 4) - 1(\beta - 2) = 1 + 2\beta - 10 - \beta + 2 = \beta - 7$.
$\Delta_2 = 0$ रखने पर,हमें $\beta = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = -2 + 7 = 5$.

(C) फलन के परिभाषित होने के लिए,लघुगणक के तर्क धनात्मक होने चाहिए:
$\log_{5}(\log_{3}(18x - x^{2} - 77)) > 0 \implies \log_{3}(18x - x^{2} - 77) > 1 \implies 18x - x^{2} - 77 > 3$
$x^{2} - 18x + 80 < 0 \implies (x - 8)(x - 10) < 0 \implies x \in (8, 10)$.
अतः,$a = 8$ और $b = 10$.
मान लीजिए $I = \int_{a}^{b} \frac{\sin^{3} x}{\sin^{3} x + \sin^{3}(a + b - x)} dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{a}^{b} \frac{\sin^{3}(a + b - x)}{\sin^{3}(a + b - x) + \sin^{3} x} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{a}^{b} \frac{\sin^{3} x + \sin^{3}(a + b - x)}{\sin^{3} x + \sin^{3}(a + b - x)} dx = \int_{a}^{b} 1 dx = b - a$.
$I = \frac{b - a}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec y \frac{dy}{dx} - (\sin(x+y) + \sin(x-y)) = 0$.
सर्वसमिका $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\sec y \frac{dy}{dx} - 2 \sin x \cos y = 0$.
$\sec y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$.
$\cos y$ से भाग देने पर ($y \in [0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $\cos y \neq 0$):
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \sec^2 y dy = \int 2 \sin x dx$.
$\tan y = -2 \cos x + C$.
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x=0$ और $y=0$ रखने पर:
$\tan(0) = -2 \cos(0) + C \Rightarrow 0 = -2(1) + C \Rightarrow C = 2$.
अतः,$\tan y = 2 - 2 \cos x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x$.
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$\tan y = 2 - 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 - 0 = 2$.
चूँकि $\tan y = 2$,इसलिए $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + 2^2 = 5$.
अवकल समीकरण में मान रखने पर:
$5 \frac{dy}{dx} = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2(1) = 2$.
अतः,$5y'(\frac{\pi}{2}) = 2$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{c} = \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$,और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ है।
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{c} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{(-2)^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$ है।
सदिश $\vec{b}$ का $\vec{a} \times \vec{c}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $l = \frac{|\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})|}{|\vec{a} \times \vec{c}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^{2} = 2$ है।
इसलिए,$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = -\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = -|\vec{c}|^{2} = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$l = \frac{|-2|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$ है।
इस प्रकार,$l^{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ और $3l^{2} = 3 \times \frac{2}{3} = 2$ है।

(C) माना पहली रेखा $\frac{x-\alpha}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3} = \phi$ है। अतः इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\phi+\alpha, 2\phi+1, 3\phi+1)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x-4}{\beta}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-7}{3} = q$ है। अतः इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(q\beta+4, 3q+6, 3q+7)$ है।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन के लिए,$\phi$ और $q$ का अस्तित्व होना चाहिए ताकि:
$\phi+\alpha = q\beta+4$ $(i)$
$2\phi+1 = 3q+6$ (ii)
$3\phi+1 = 3q+7$ (iii)
(iii) में से (ii) को घटाने पर,हमें $\phi = 1$ प्राप्त होता है। (ii) में $\phi=1$ रखने पर,$2(1)+1 = 3q+6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3q = -3$,अतः $q = -1$.
$(i)$ में $\phi=1$ और $q=-1$ रखने पर,$1+\alpha = -\beta+4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\alpha+\beta = 3$ हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\phi+\alpha, 2\phi+1, 3\phi+1) = (1+\alpha, 3, 4)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x+2y-z=8$ पर स्थित है,इसलिए $(1+\alpha) + 2(3) - 4 = 8$.
$1+\alpha+6-4 = 8 \implies \alpha+3 = 8 \implies \alpha = 5$.
चूंकि $\alpha+\beta = 3$,इसलिए $5+\beta = 3 \implies \beta = -2$.
अतः,$\alpha-\beta = 5 - (-2) = 7$.

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ है।
यह एक प्रसिद्ध कोशी-प्रकार का फलन समीकरण है जिसका हल $f(x) = \cos(ax)$ है।
दिया गया है $f\left(\frac{1}{2}\right) = -1$,इसलिए $\cos\left(\frac{a}{2}\right) = -1$,जिसका अर्थ है $\frac{a}{2} = (2n+1)\pi$,अर्थात $a = 2(2n+1)\pi$।
किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए,$f(k) = \cos(2(2n+1)\pi k) = \cos(2m\pi) = 1$ जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
अतः,व्यंजक $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)}$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)} = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\sin((k+1)-k)}{\sin(k) \sin(k+1)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} (\cot(k) - \cot(k+1))$ का उपयोग करते हुए।
$k=1$ से $20$ तक योग करने पर,हमें $\frac{1}{\sin(1)} (\cot(1) - \cot(21))$ प्राप्त होता है।
$= \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)}{\sin(1)} - \frac{\cos(21)}{\sin(21)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)\sin(21) - \sin(1)\cos(21)}{\sin(1)\sin(21)} \right)$.
$= \frac{\sin(21-1)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \frac{\sin(20)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \operatorname{cosec}^2(1) \operatorname{cosec}(21) \sin(20)$.