फलन $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$ इस प्रकार है कि $f(2) = f(4) = 0$ है। दो कथनों पर विचार करें।
$(S_1)$ ऐसे $x_{1}, x_{2} \in (2, 4)$,$x_{1} < x_{2}$ विद्यमान हैं कि $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ और $f^{\prime}(x_{2}) = 0$ है।
$(S_2)$ ऐसे $x_{3}, x_{4} \in (2, 4)$,$x_{3} < x_{4}$ विद्यमान हैं कि $f$,$(2, x_{4})$ में ह्रासमान है,$(x_{4}, 4)$ में वर्धमान है और $2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4})$ है।
तब

बहुपद $f(x)=1+2x+3x^2+4x^3$ पर विचार करें। मान लीजिए $s$,$f(x)$ के सभी भिन्न वास्तविक मूलों का योग है और $t=|s|$ है।
$1.$ वास्तविक संख्या $s$ किस अंतराल में स्थित है?
$(A)$ $\left(-\frac{1}{4}, 0\right)$ $(B)$ $\left(-1,-\frac{3}{4}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right)$ $(D)$ $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
$2.$ वक्र $y=f(x)$ और रेखाओं $x=0, y=0$ तथा $x=t$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल किस अंतराल में स्थित है?
$(A)$ $\left(\frac{3}{4}, 3\right)$ $(B)$ $\left(\frac{21}{64}, \frac{11}{16}\right)$
$(C)$ $(9,10)$ $(D)$ $\left(0, \frac{21}{64}\right)$
$3.$ फलन $f^{\prime}(x)$ है:
$(A)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ में वर्धमान और $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ में ह्रासमान
$(B)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ में ह्रासमान और $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ में वर्धमान
$(C)$ $(-t, t)$ में वर्धमान $(D)$ $(-t, t)$ में ह्रासमान
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

$f(x)=4 \log _{e}(x-1)-2 x^{2}+4 x+5, x>1$,निम्नलिखित में से कौन सा सही नहीं है?

मान लीजिए $x \in (0, 1)$ के लिए $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$ है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I.$ $f$ का $(0, 1)$ में एक शून्य है।
$II.$ $f$ $(0, 1)$ में एकदिष्ट (monotone) है।
तो,

दो अवकलनीय फलन $f(x)$ और $g(x)$ इस प्रकार हैं कि सभी $x \in (a,b)$ के लिए $f''(x) > 0$ और $g''(x) < 0$ है और $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x) dx$ है। यदि $x = \alpha, \beta \in (a,b)$ $(\alpha < \beta)$ के लिए $f(x) = g(x)$ है,तो:

यदि $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$ है,तो समुच्चय $\{(x, f(x)) \mid f^{\prime}(x)=0\}$ के सभी बिंदु किस पर स्थित हैं?