माना n समीकरण z^{2}+3 bar{z}=0 के हलों की संख | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $z^{2}+3 \bar{z}=0$.माना $z=x+iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.समीकरण में मान रखने पर: $(x+iy)^{2}+3(x-iy)=0$.$x^{2}-y^{2}+2ixy+3x-

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$\frac{4}{3}$

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(C) दिया गया समीकरण: $z^{2}+3 \bar{z}=0$.माना $z=x+iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.समीकरण में मान रखने पर: $(x+iy)^{2}+3(x-iy)=0$.$x^{2}-y^{2}+2ixy+3x-3iy=0$.$(x^{2}-y^{2}+3x) + i(2xy-3y) = 0$.वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:$1) \ 2xy-3y=0 \Rightarrow y(2x-3)=0$.इससे $y=0$ या $x=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।स्थिति $1$: यदि $y=0$,तो $x^{2}+3x=0 \Rightarrow x(x+3)=0$,अतः $x=0$ या $x=-3$. हल: $(0,0)$ और $(-3,0)$.स्थिति $2$: यदि $x=\frac{3}{2}$,तो $(\frac{3}{2})^{2}-y^{2}+3(\frac{3}{2})=0$ $\Rightarrow \frac{9}{4}-y^{2}+\frac{9}{2}=0$ $\Rightarrow y^{2}=\frac{27}{4}$ $\Rightarrow y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$. हल: $(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ और $(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.कुल हलों की संख्या $n=4$.हमें $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{k}} = \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{4})^{k}$ का मान ज्ञात करना है।यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=\frac{1}{4}$ है।योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

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