JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया वृत्त समीकरण $36 x^{2}+36 y^{2}-108 x+120 y+C=0$ है।
$36$ से भाग देने पर,हमें $x^{2}+y^{2}-3 x+\frac{10}{3} y+\frac{C}{36}=0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(h, k) = (\frac{3}{2}, -\frac{5}{3})$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{h^{2}+k^{2}-\frac{C}{36}} = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}}$ है।
चूंकि वृत्त निर्देशांक अक्षों को न तो काटता है और न ही स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र से अक्षों की दूरी त्रिज्या से अधिक होनी चाहिए।
$|h| > r$ $\Rightarrow \frac{3}{2} > r$ $\Rightarrow \frac{9}{4} > \frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}$ $\Rightarrow \frac{C}{36} > \frac{25}{9}$ $\Rightarrow C > 100$.
$|k| > r$ $\Rightarrow \frac{5}{3} > r$ $\Rightarrow \frac{25}{9} > \frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}$ $\Rightarrow \frac{C}{36} > \frac{9}{4}$ $\Rightarrow C > 81$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $C > 100$ प्राप्त होता है।
अब,$x-2 y=4$ और $2 x-y=5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1)$ है।
बिंदु $(2, -1)$ वृत्त $S$ के अंदर स्थित है,इसलिए $S(2, -1) < 0$.
$x^{2}+y^{2}-3 x+\frac{10}{3} y+\frac{C}{36} < 0 \Rightarrow 4+1-3(2)+\frac{10}{3}(-1)+\frac{C}{36} < 0$.
$5-6-\frac{10}{3}+\frac{C}{36} < 0$ $\Rightarrow -1-\frac{10}{3}+\frac{C}{36} < 0$ $\Rightarrow \frac{C}{36} < \frac{13}{3}$ $\Rightarrow C < 156$.
अतः,$100 < C < 156$.

(A) दिया गया है $\sin^{7} x + \cos^{7} x = 1$,जहाँ $x \in [0, 4\pi]$.
चूंकि $\sin^{2} x \leq 1$ और $\cos^{2} x \leq 1$,इसलिए $\sin^{7} x \leq \sin^{2} x$ और $\cos^{7} x \leq \cos^{2} x$ होता है।
अतः,$\sin^{7} x + \cos^{7} x \leq \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$।
समानता तभी संभव है जब $\sin^{7} x = \sin^{2} x$ और $\cos^{7} x = \cos^{2} x$ हो।
इसका अर्थ है कि $(\sin x = 0 \text{ या } \sin x = 1)$ और $(\cos x = 0 \text{ या } \cos x = 1)$।
स्थिति $1$: $\sin x = 0 \implies x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$। $\cos^{7} x = 1$ की जाँच करने पर,$x = 0, 2\pi, 4\pi$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $\cos x = 0 \implies x = \pi/2, 3\pi/2, 5\pi/2, 7\pi/2$। $\sin^{7} x = 1$ की जाँच करने पर,$x = \pi/2, 5\pi/2$ प्राप्त होते हैं।
अतः,कुल हल $x \in \{0, \pi/2, 2\pi, 5\pi/2, 4\pi\}$ हैं।
इस प्रकार,कुल $5$ हल हैं।

(C) दीर्घवृत्त $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।
दीर्घवृत्त $E_{2}$ के लिए,नाभियाँ $(0, b)$ और $(0, -b)$ हैं,इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त है जहाँ $c = b$ है। शीर्ष $(\pm a, 0)$ पर हैं,इसलिए अर्ध-दीर्घ अक्ष $A = a$ है। $E_{2}$ का समीकरण $\frac{x^{2}}{B^{2}} + \frac{y^{2}}{A^{2}} = 1$ है,जहाँ $A = a$ है। चूँकि $c^{2} = A^{2} - B^{2}$,हमारे पास $b^{2} = a^{2} - B^{2}$ है,अर्थात $B^{2} = a^{2} - b^{2}$ है।
$E_{2}$ की उत्केंद्रता $e^{2} = 1 - \frac{B^{2}}{A^{2}} = 1 - \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।
चूँकि दोनों दीर्घवृत्तों की उत्केंद्रता समान है,हमारे पास $e^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।
पहले समीकरण से,$e^{2} = 1 - e^{2}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $2e^{2} = 1$,अर्थात $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
लेकिन शर्त के अनुसार,$E_{2}$ की नाभियाँ $(0, b)$ और $(0, -b)$ हैं,इसलिए $c_{2} = b$ है। $E_{2}$ के शीर्ष $(\pm a, 0)$ हैं,इसलिए अर्ध-लघु अक्ष $a$ है। दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है,इसलिए $A_{2} = c_{2}/e = b/e$ है। संबंध $c_{2}^{2} = A_{2}^{2} - B_{2}^{2}$ से $b^{2} = (b/e)^{2} - a^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $a^{2} = \frac{b^{2}}{e^{2}} - b^{2} = b^{2}(\frac{1-e^{2}}{e^{2}})$ है।
चूँकि $1-e^{2} = b^{2}/a^{2}$ है,हमारे पास $a^{2} = b^{2}(\frac{b^{2}/a^{2}}{e^{2}}) = \frac{b^{4}}{a^{2}e^{2}}$ है,इसलिए $a^{4}e^{2} = b^{4}$,जिसका अर्थ है $a^{2}e = b^{2}$।
$b^{2} = a^{2}e$ को $e^{2} = 1 - b^{2}/a^{2}$ में रखने पर,हमें $e^{2} = 1 - e$,या $e^{2} + e - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$e > 0$ के लिए हल करने पर,हमें $e = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई असमिका: $11^{n} > 10^{n} + 9^{n}$
$10^{n}$ से भाग देने पर: $(1.1)^{n} > 1 + (0.9)^{n}$
$n=1$ के लिए: $1.1 > 1 + 0.9 = 1.9$ (असत्य)
$n=2$ के लिए: $1.21 > 1 + 0.81 = 1.81$ (असत्य)
$n=3$ के लिए: $1.331 > 1 + 0.729 = 1.729$ (असत्य)
$n=4$ के लिए: $1.4641 > 1 + 0.6561 = 1.6561$ (असत्य)
$n=5$ के लिए: $1.61051 > 1 + 0.59049 = 1.59049$ (सत्य)
$n \ge 5$ के लिए,फलन $f(n) = (1.1)^{n} - (0.9)^{n}$ निरंतर वर्धमान है।
चूंकि $f(5) > 1$,असमिका सभी $n \in \{5, 6, 7, \ldots, 100\}$ के लिए सत्य है।
ऐसे अवयवों की संख्या $100 - 5 + 1 = 96$ है।

(D) $\left(2x^{r} + x^{-2}\right)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{10}C_{k} (2x^{r})^{10-k} (x^{-2})^{k}$ द्वारा दिया जाता है।
अचर पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए,इसलिए $r(10-k) - 2k = 0$,जिसका अर्थ है $r = \frac{2k}{10-k}$।
अचर पद ${}^{10}C_{k} \cdot 2^{10-k} = 180$ है।
$k$ के लिए पूर्णांक मानों की जाँच करने पर जहाँ $0 \le k \le 10$:
यदि $k = 8$ है,तो ${}^{10}C_{8} \cdot 2^{10-8} = {}^{10}C_{2} \cdot 2^{2} = 45 \cdot 4 = 180$।
$r$ के समीकरण में $k = 8$ रखने पर:
$r = \frac{2(8)}{10-8} = \frac{16}{2} = 8$।

(A) कुल आवृत्ति $N = a + b + 12 + 9 + 5 = a + b + 26$ है।
माध्य $\frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{a(3) + b(9) + 12(15) + 9(21) + 5(27)}{a + b + 26} = \frac{3a + 9b + 504}{a + b + 26} = \frac{309}{22}$ है।
वज्र-गुणन करने पर: $22(3a + 9b + 504) = 309(a + b + 26)$.
$66a + 198b + 11088 = 309a + 309b + 8034$.
$243a + 111b = 3054$. $3$ से भाग देने पर: $81a + 37b = 1018$ (समीकरण $1$)।
माध्यिका $14$ है,इसलिए माध्यिका वर्ग $12-18$ है। यहाँ $l = 12, f = 12, cf = a + b, h = 6$ है।
$\text{माध्यिका} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h = 12 + \left( \frac{\frac{a+b+26}{2} - (a+b)}{12} \right) \times 6 = 14$.
$12 + \frac{26 - a - b}{4} = 14 \Rightarrow \frac{26 - a - b}{4} = 2$.
$26 - a - b = 8 \Rightarrow a + b = 18$ (समीकरण $2$)।
$b = 18 - a$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $81a + 37(18 - a) = 1018$.
$81a + 666 - 37a = 1018 \Rightarrow 44a = 352 \Rightarrow a = 8$.
अतः $b = 18 - 8 = 10$.
इसलिए,$(a - b)^{2} = (8 - 10)^{2} = (-2)^{2} = 4$।

(D) हमें अंकों $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $10,000$ से बड़ी संख्याएँ बनानी हैं। चूँकि हमारे पास $5$ अलग-अलग अंक हैं,$10,000$ से बड़ी कोई भी संख्या $5$ अंकों की संख्या होनी चाहिए।
$5$ अंकों की संख्या के लिए,पहला अंक (दस हजार का स्थान) $0$ नहीं हो सकता। अतः,पहला अंक $\{2, 4, 6, 8\}$ में से चुना जा सकता है,जो $4$ विकल्प देता है।
शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 4) = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
इसलिए,ऐसी कुल संख्याओं की संख्या $4 \times 24 = 96$ है।

(A) $2040$ का अभाज्य गुणनखंडन $2040 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 17$ है।
$n$ और $2040$ का $H.C.F. 1$ होने के लिए,$n$ को $2, 3, 5,$ या $17$ का गुणज नहीं होना चाहिए।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करके गणना करने पर,$1$ से $100$ के बीच ऐसी संख्याओं का योग $1251$ प्राप्त होता है।

(D) हमें व्यंजक $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow \sim p)$ दिया गया है।
तार्किक समतुल्यता $(A \Rightarrow B) \equiv (\sim A \vee B)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को फिर से लिखते हैं:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee \sim p)$
क्रमविनिमेय गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,हम $(\sim p \vee)$ को बाहर निकालते हैं:
$\sim p \vee (q \wedge \sim q)$
चूंकि $(q \wedge \sim q)$ एक विरोधाभास (हमेशा असत्य) है,इसलिए व्यंजक बन जाता है:
$\sim p \vee F \equiv \sim p$
अतः,यह व्यंजक $\sim p$ के समतुल्य है।

(B) मान लीजिए $a$ प्रथम पद है और $d$ इस समांतर श्रेणी का सार्व अंतर है।
दिया है $S_{3n} = 3S_{2n}$।
सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ का उपयोग करने पर:
$\frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d] = 3 \times \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d]$
दोनों पक्षों को $\frac{3n}{2}$ से विभाजित करने पर:
$2a + (3n-1)d = 2[2a + (2n-1)d]$
$2a + 3nd - d = 4a + 4nd - 2d$
$2a + nd - d = 0$
$2a + (n-1)d = 0$
अब,हमें $\frac{S_{4n}}{S_{2n}}$ का मान ज्ञात करना है:
$\frac{S_{4n}}{S_{2n}} = \frac{\frac{4n}{2}[2a + (4n-1)d]}{\frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d]} = 2 \times \frac{2a + (n-1)d + 3nd}{2a + (n-1)d + nd}$
चूंकि $2a + (n-1)d = 0$,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\frac{S_{4n}}{S_{2n}} = 2 \times \frac{0 + 3nd}{0 + nd} = 2 \times 3 = 6$.

(B) माना $O$ गोले का केंद्र है और $A$ पर्यवेक्षक की आँख है। त्रिज्या $r = 16 \ m$ है। $A$ से गोले पर स्पर्श रेखाएँ $P$ और $Q$ पर स्पर्श करती हैं। कोण $\angle PAQ = 60^{\circ}$ है,इसलिए $\angle OAP = 30^{\circ}$ है।
$\triangle OAP$ में,$\sin(30^{\circ}) = \frac{OP}{OA} \implies \frac{1}{2} = \frac{16}{OA} \implies OA = 32 \ m$.
$A$ से केंद्र $O$ का उन्नयन कोण $75^{\circ}$ है। माना $H$ पर्यवेक्षक की आँख के क्षैतिज स्तर से केंद्र $O$ की ऊँचाई है। तब $H = OA \sin(75^{\circ}) = 32 \sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = 32 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \right) = 32 \left( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \right) = 8\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) = 8(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \ m$.
पर्यवेक्षक की आँख के स्तर से सबसे ऊपरी बिंदु $T$ की ऊँचाई $H + r = 8(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + 16 = 8(\sqrt{6}+\sqrt{2}+2) \ m$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{a-rb} = \frac{1}{a} \sum_{r=1}^{n} (1 - \frac{rb}{a})^{-1}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$S = \frac{1}{a} \sum_{r=1}^{n} (1 + \frac{rb}{a} + \frac{r^2b^2}{a^2} + \dots)$.
$\frac{b}{a}$ की उच्च घातों को उपेक्षित करने पर:
$S = \frac{1}{a} [n + \frac{b}{a} \sum r + \frac{b^2}{a^2} \sum r^2]$.
योग सूत्रों $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$S = \frac{n}{a} + \frac{b}{2a^2} n^2 + \frac{b^2}{3a^3} n^3$.
$\alpha n + \beta n^2 + \gamma n^3$ के साथ तुलना करने पर,$\gamma = \frac{b^2}{3a^3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $(\sin x + \sin 4x) + (\sin 2x + \sin 3x) = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2} + 2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$
$2 \sin \frac{5x}{2} (\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}) = 0$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \frac{5x}{2} (2 \cos x \cos \frac{x}{2}) = 0$
$4 \sin \frac{5x}{2} \cos x \cos \frac{x}{2} = 0$
स्थिति $1$: $\sin \frac{5x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{5x}{2} = n\pi \Rightarrow x = \frac{2n\pi}{5}$. $x \in [0, 2\pi]$ के लिए,$x \in \{0, \frac{2\pi}{5}, \frac{4\pi}{5}, \frac{6\pi}{5}, \frac{8\pi}{5}, 2\pi\}$.
स्थिति $2$: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
स्थिति $3$: $\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \pi$.
सभी मानों का योग $= (0 + \frac{2\pi}{5} + \frac{4\pi}{5} + \frac{6\pi}{5} + \frac{8\pi}{5} + 2\pi) + (\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2}) + \pi = 6\pi + 2\pi + \pi = 9\pi$.

(D) दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ बिंदु $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{3}{2a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$।
उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{2}{3}$ या $a^{2} = \frac{3}{2}b^{2}$।
पहले समीकरण में $a^{2}$ का मान रखने पर: $\frac{3}{2(\frac{3}{2}b^{2})} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ $\Rightarrow b^{2} = 2$।
अतः $a^{2} = \frac{3}{2}(2) = 3$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ है।
नाभि $F(\alpha, 0)$ के लिए $\alpha = ae = \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$। अतः $F = (1, 0)$।
केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $\frac{2}{\sqrt{3}}$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-1)^{2} + y^{2} = \frac{4}{3}$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण से,$y^{2} = 2(1 - \frac{x^{2}}{3})$।
वृत्त के समीकरण में $y^{2}$ का मान रखने पर: $(x-1)^{2} + 2 - \frac{2x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow x^{2} - 6x + 5 = 0$।
हल करने पर $x=1$ प्राप्त होता है। $x=1$ के लिए $y^{2} = \frac{4}{3}$,इसलिए $y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$।
बिंदु $P(1, \frac{2}{\sqrt{3}})$ और $Q(1, -\frac{2}{\sqrt{3}})$ हैं।
$PQ^{2} = (\frac{4}{\sqrt{3}})^{2} = \frac{16}{3}$।

(B) दिया गया अतिपरवलय $16(x+1)^{2}-9(y-2)^{2}=144$ है।
इसे $\frac{(x+1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतिपरवलय का केंद्र $(-1, 2)$ है।
यहाँ $a^{2}=9$ और $b^{2}=16$,अतः $e=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$ है।
नाभियाँ $(h \pm ae, k) = (-1 \pm 3 \times \frac{5}{3}, 2) = (-1 \pm 5, 2)$ अर्थात $(4, 2)$ और $(-6, 2)$ हैं।
माना $P(\alpha, \beta)$ अतिपरवलय पर एक बिंदु है।
माना $G(x, y)$ त्रिभुज का केंद्रक है जो $P(\alpha, \beta)$,$(4, 2)$,और $(-6, 2)$ से बनता है।
तब $x=\frac{\alpha+4-6}{3} = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow \alpha=3x+2$ है।
और $y=\frac{\beta+2+2}{3} = \frac{\beta+4}{3} \Rightarrow \beta=3y-4$ है।
चूँकि $P(\alpha, \beta)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\alpha$ और $\beta$ का मान रखने पर:
$16(3x+2+1)^{2}-9(3y-4-2)^{2}=144$
$16(3x+3)^{2}-9(3y-6)^{2}=144$
$144(x+1)^{2}-81(y-2)^{2}=144$
$9$ से विभाजित करने पर:
$16(x+1)^{2}-9(y-2)^{2}=16$
$16x^{2}+32x+16-9y^{2}+36y-36=16$
$16x^{2}-9y^{2}+32x+36y-36=0$.

(C) परवलय का शीर्ष $V(2,0)$ है और नाभि $F(4,0)$ है।
अतः,दूरी $VF = a = 4 - 2 = 2$.
परवलय का समीकरण $(y - 0)^2 = 4a(x - 2)$ है,जो $y^2 = 8(x - 2)$ में सरल हो जाता है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से परवलय पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है। चूँकि यह $(0,0)$ से गुजरती है,$c = 0$,इसलिए $y = mx$.
$y = mx$ को $y^2 = 8x - 16$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(mx)^2 = 8x - 16$,या $m^2x^2 - 8x + 16 = 0$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा होने के लिए,विविक्तकर $D = (-8)^2 - 4(m^2)(16) = 0$.
$64 - 64m^2 = 0$ $\Rightarrow m^2 = 1$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
स्पर्श बिंदु $S$ और $R$ को $x^2 - 8x + 16 = 0$ ($m=1$ के लिए) और $(-x)^2 - 8x + 16 = 0$ ($m=-1$ के लिए) हल करके प्राप्त किया जाता है।
दोनों $(x-4)^2 = 0$ देते हैं,इसलिए $x = 4$.
$x = 4$ के लिए,$y = \pm 4$. अतः,बिंदु $R(4, 4)$ और $S(4, -4)$ हैं।
$\triangle SOR$ का आधार $RS$ है,जिसकी लंबाई $4 - (-4) = 8$ है।
$\triangle SOR$ की आधार $RS$ के सापेक्ष ऊँचाई मूल बिंदु $O(0,0)$ से रेखा $x = 4$ की दूरी है,जो $4$ है।
$\triangle SOR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \text{ sq. units}$.

(B) कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1 + x^{-1/2}$
अतः,व्यंजक $(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ हो जाता है।
सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
'$x$' से स्वतंत्र पद के लिए घातांक शून्य होना चाहिए:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 4$
अतः,स्वतंत्र पद $T_5 = {}^{10}C_4 = 210$ है।

(C) $(1+x)^{20}$ के विस्तार में मध्य पद $\left(\frac{20}{2} + 1\right) = 11$ वां पद है।
इसका गुणांक $^{20}C_{10}$ है।
$(1+x)^{19}$ के विस्तार में मध्य पद $\left(\frac{19+1}{2}\right) = 10$ वां और $\left(\frac{19+1}{2} + 1\right) = 11$ वां पद हैं।
उनके गुणांक $^{19}C_{9}$ और $^{19}C_{10}$ हैं।
इन गुणांकों का योग $^{19}C_{9} + ^{19}C_{10}$ है।
पास्कल के सर्वसमिका $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर,$^{19}C_{9} + ^{19}C_{10} = ^{20}C_{10}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अनुपात $\frac{^{20}C_{10}}{^{19}C_{9} + ^{19}C_{10}} = \frac{^{20}C_{10}}{^{20}C_{10}} = 1$ है।

(D) मान लीजिए $n_{10}, n_{11}, n_{12}$ क्रमशः कक्षा $10, 11, 12$ से चुने गए छात्रों की संख्या है। हमारे पास $n_{10} + n_{11} + n_{12} = 10$ है,जहाँ $n_{10} \ge 2, n_{11} \ge 2, n_{12} \ge 2$ और $n_{10} + n_{11} \le 5$ है।
संभावित स्थितियाँ $(n_{10}, n_{11}, n_{12})$:
$1$. $(2, 2, 6): \binom{5}{2} \times \binom{6}{2} \times \binom{8}{6} = 10 \times 15 \times 28 = 4200$
$2$. $(2, 3, 5): \binom{5}{2} \times \binom{6}{3} \times \binom{8}{5} = 10 \times 20 \times 56 = 11200$
$3$. $(3, 2, 5): \binom{5}{3} \times \binom{6}{2} \times \binom{8}{5} = 10 \times 15 \times 56 = 8400$
कुल तरीके $= 4200 + 11200 + 8400 = 23800$.
दिया गया है $100k = 23800$,इसलिए $k = 238$.

(B) कुल आवृत्ति $N = \sum f = 584$ दी गई है,इसलिए $\alpha + 110 + 54 + 30 + \beta = 584$,जो सरल होकर $\alpha + \beta + 194 = 584$ यानी $\alpha + \beta = 390$ हो जाता है।
माध्यिका $45$ है,जो वर्ग अंतराल $40-50$ में स्थित है। अतः,निचली सीमा $\ell = 40$,वर्ग का आकार $h = 10$,माध्यिका वर्ग की आवृत्ति $f = 30$,और माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी आवृत्ति $c = \alpha + 164$ है।
माध्यिका का सूत्र $Median = \ell + \left[\frac{\frac{N}{2} - c}{f}\right] \times h$ है।
मान रखने पर: $45 = 40 + \left[\frac{292 - (\alpha + 164)}{30}\right] \times 10$.
$5 = \frac{128 - \alpha}{3}$.
$15 = 128 - \alpha$,जिससे $\alpha = 113$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha + \beta = 390$,इसलिए $\beta = 390 - 113 = 277$ है।
अतः,$|\alpha - \beta| = |113 - 277| = |-164| = 164$.

(D) दिया गया समीकरण $x^{2}+5 \sqrt{2} x+10=0$ है। चूँकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं: $\alpha^{2} + 5 \sqrt{2} \alpha + 10 = 0 \implies \alpha^{2} = -5 \sqrt{2} \alpha - 10$ और $\beta^{2} = -5 \sqrt{2} \beta - 10$.
साथ ही,$P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ है।
व्यंजक $E = \frac{P_{17} P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{17} P_{19}}{P_{18} P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18}^{2}}$ पर विचार करें।
अंश में $P_{17}$ और हर में $P_{18}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$E = \frac{P_{17}(P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19})}{P_{18}(P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18})}$.
$P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19} = (\alpha^{20} - \beta^{20}) + 5 \sqrt{2} (\alpha^{19} - \beta^{19}) = \alpha^{19}(\alpha + 5 \sqrt{2}) - \beta^{19}(\beta + 5 \sqrt{2})$.
द्विघात समीकरण से,$\alpha + 5 \sqrt{2} = -\frac{10}{\alpha}$ और $\beta + 5 \sqrt{2} = -\frac{10}{\beta}$ है।
इन मानों को रखने पर:
$P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19} = \alpha^{19}(-\frac{10}{\alpha}) - \beta^{19}(-\frac{10}{\beta}) = -10 \alpha^{18} + 10 \beta^{18} = -10 P_{18}$.
इसी प्रकार,$P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18} = \alpha^{18}(\alpha + 5 \sqrt{2}) - \beta^{18}(\beta + 5 \sqrt{2}) = -10 \alpha^{17} + 10 \beta^{17} = -10 P_{17}$.
अतः,$E = \frac{P_{17}(-10 P_{18})}{P_{18}(-10 P_{17})} = 1$.

(B) माना $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^{2}} + \frac{10}{3^{3}} + \ldots \infty$.
$3$ से भाग देने पर,$\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{6}{3^{3}} + \ldots \infty$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - \frac{S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^{2}} + \frac{4}{3^{3}} + \ldots \infty$.
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^{2}}(1 + \frac{1}{3} + \ldots \infty) = \frac{4}{3} + \frac{4}{9} \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2$.
अतः,$S = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.
अब,घातांक $\log_{0.25} \left( \frac{1/3}{1 - 1/3} \right) = \log_{1/4} \left( \frac{1/3}{2/3} \right) = \log_{1/4} \left( \frac{1}{2} \right) = \log_{(1/2)^{2}} (1/2) = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$l = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.
अतः,$l^{2} = 3$.

(C) दिया गया है $n_{1} = 100$,$\bar{x}_{1} = 15$,$\sigma_{1} = 3$.
कुल वस्तुएं $n = 250$,संयुक्त माध्य $\bar{x} = 15.6$,संयुक्त प्रसरण $\sigma^{2} = 13.44$.
चूंकि $n = n_{1} + n_{2}$,इसलिए $n_{2} = 250 - 100 = 150$.
संयुक्त माध्य सूत्र $\bar{x} = \frac{n_{1}\bar{x}_{1} + n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ का उपयोग करने पर:
$15.6 = \frac{100(15) + 150(\bar{x}_{2})}{250}$ $\Rightarrow 3900 = 1500 + 150\bar{x}_{2}$ $\Rightarrow 150\bar{x}_{2} = 2400$ $\Rightarrow \bar{x}_{2} = 16$.
संयुक्त प्रसरण सूत्र $\sigma^{2} = \frac{n_{1}(\sigma_{1}^{2} + d_{1}^{2}) + n_{2}(\sigma_{2}^{2} + d_{2}^{2})}{n_{1} + n_{2}}$ का उपयोग करने पर,जहां $d_{1} = \bar{x}_{1} - \bar{x} = 15 - 15.6 = -0.6$ और $d_{2} = \bar{x}_{2} - \bar{x} = 16 - 15.6 = 0.4$:
$13.44 = \frac{100(3^{2} + (-0.6)^{2}) + 150(\sigma_{2}^{2} + (0.4)^{2})}{250}$.
$13.44 \times 250 = 100(9 + 0.36) + 150(\sigma_{2}^{2} + 0.16)$.
$3360 = 936 + 150\sigma_{2}^{2} + 24$.
$3360 = 960 + 150\sigma_{2}^{2}$ $\Rightarrow 2400 = 150\sigma_{2}^{2}$ $\Rightarrow \sigma_{2}^{2} = 16$.
अतः,$\sigma_{2} = 4$.

(D) मान लीजिए $p$ कथन "मौसम अच्छा है" है।
मान लीजिए $q$ कथन "मैदान गीला नहीं है" है।
मान लीजिए $r$ कथन "मैच खेला जाएगा" है।
दिया गया कथन $r \implies (p \wedge q)$ है।
$r \implies (p \wedge q)$ का निषेध $\sim(r \implies (p \wedge q)) \equiv r \wedge \sim(p \wedge q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$ है।
अतः,निषेध "मैच खेला जाएगा और (मौसम अच्छा नहीं है या मैदान गीला है)" है।

(D) दिया गया है ${ }^{n} P_{r}={ }^{n} P_{r+1}$,अतः:
$\frac{n!}{(n-r)!} = \frac{n!}{(n-r-1)!}$
चूंकि $n! \neq 0$,दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{(n-r)(n-r-1)!} = \frac{1}{(n-r-1)!}$
$n-r = 1 \Rightarrow n = r+1$ $(1)$
दिया गया है ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{r-1}$,अतः:
$\frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}$
$\frac{1}{r(r-1)!(n-r)!} = \frac{1}{(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}$
$\frac{1}{r} = \frac{1}{n-r+1}$
$n-r+1 = r \Rightarrow n+1 = 2r$ $(2)$
$(1)$ से $n = r+1$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$(r+1)+1 = 2r$
$r+2 = 2r$
$r = 2$

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ है,जहाँ $a=2$ और $b=1$ है।
माना स्पर्श बिंदु $P(2 \cos \theta, \sin \theta)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{2} + y \sin \theta = 1$ है,या $x \cos \theta + 2y \sin \theta = 2$ है।
मुख्य अक्ष के सिरों पर स्पर्श रेखाएं $x = -2$ और $x = 2$ हैं।
$B$ के लिए,$x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर: $-2 \cos \theta + 2y \sin \theta = 2 \Rightarrow y = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \cot \frac{\theta}{2}$। अतः,$B = (-2, \cot \frac{\theta}{2})$ है।
$C$ के लिए,$x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर: $2 \cos \theta + 2y \sin \theta = 2 \Rightarrow y = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \tan \frac{\theta}{2}$। अतः,$C = (2, \tan \frac{\theta}{2})$ है।
$BC$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_B)(x - x_C) + (y - y_B)(y - y_C) = 0$ है।
$(x + 2)(x - 2) + (y - \cot \frac{\theta}{2})(y - \tan \frac{\theta}{2}) = 0$
$x^{2} - 4 + y^{2} - y(\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2}) + \tan \frac{\theta}{2} \cot \frac{\theta}{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} - y(\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2}) - 3 = 0$ है।
बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ की जाँच करने पर: $(\sqrt{3})^{2} + 0^{2} - 0 - 3 = 3 - 3 = 0$ है। अतः,वृत्त $(\sqrt{3}, 0)$ से होकर गुजरता है।

(C) दिया गया समीकरण $x^{2}-|x|-12=0$ है।
चूंकि $x^{2} = |x|^{2}$,हम समीकरण को $|x|^{2}-|x|-12=0$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। समीकरण $t^{2}-t-12=0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t-4)(t+3)=0$ प्राप्त होता है।
इससे $t=4$ या $t=-3$ मिलता है।
चूंकि $t = |x| \geq 0$ है,इसलिए हम $t=-3$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$|x|=4$,जिसका अर्थ है $x=4$ या $x=-4$ है।
इसलिए,कुल $2$ वास्तविक हल हैं।

(D) $(2^{1/3} + 3^{1/4})^{12}$ के विस्तार का व्यापक पद $T_{r+1} = ^{12}C_{r} (2^{1/3})^{12-r} (3^{1/4})^{r}$ है,जहाँ $0 \le r \le 12$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$2$ और $3$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\frac{12-r}{3}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $r$,$3$ का गुणज होना चाहिए $(r \in \{0, 3, 6, 9, 12\})$।
साथ ही,$\frac{r}{4}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $r$,$4$ का गुणज होना चाहिए $(r \in \{0, 4, 8, 12\})$।
$r$ के लिए सामान्य मान $r = 0$ और $r = 12$ हैं।
$r = 0$ के लिए: $T_{1} = ^{12}C_{0} (2^{1/3})^{12} (3^{1/4})^{0} = 1 \times 2^{4} \times 1 = 16$।
$r = 12$ के लिए: $T_{13} = ^{12}C_{12} (2^{1/3})^{0} (3^{1/4})^{12} = 1 \times 1 \times 3^{3} = 27$।
इन परिमेय पदों का योग $16 + 27 = 43$ है।

(A) $(x \sin \alpha + a \frac{\cos \alpha}{x})^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x \sin \alpha)^{10-r} (a \frac{\cos \alpha}{x})^r$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $10-r-r = 0$,जिसका अर्थ है $r = 5$।
$x$ से स्वतंत्र पद $T_6 = {}^{10}C_5 (\sin \alpha)^5 (a \cos \alpha)^5 = {}^{10}C_5 a^5 (\sin \alpha \cos \alpha)^5$ है।
सर्वसमिका $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर,$T_6 = {}^{10}C_5 \frac{a^5}{2^5} (\sin 2\alpha)^5$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin 2\alpha = 1$ हो,इसलिए अधिकतम मान ${}^{10}C_5 \frac{a^5}{32}$ है।
यह दिया गया है कि अधिकतम मान $\frac{10!}{(5!)^2} = {}^{10}C_5$ है,इसलिए ${}^{10}C_5 \frac{a^5}{32} = {}^{10}C_5$।
अतः,$\frac{a^5}{32} = 1$,जिसका अर्थ है $a^5 = 32$,इसलिए $a = 2$।

(D) हम जानते हैं कि $\cot \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{12}$ रखने पर,$\cot \frac{\pi}{24} = \csc \frac{\pi}{12} + \cot \frac{\pi}{12}$.
$\csc \frac{\pi}{12} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$ और $\cot \frac{\pi}{12} = 2+\sqrt{3}$.
अतः,$\cot \frac{\pi}{24} = \sqrt{6}+\sqrt{2}+2+\sqrt{3}$.

(A) माना $P = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ जहाँ $x = 10^{100}$ है।
द्विपद प्रसार का उपयोग करने पर:
$P = 1 + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{x(x-1)}{2!} \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{x(x-1)(x-2)}{3!} \cdot \frac{1}{x^3} + \dots$
$P = 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{x}) + \frac{1}{3!}(1 - \frac{1}{x})(1 - \frac{2}{x}) + \dots$
चूंकि $x = 10^{100}$ बहुत बड़ी संख्या है,इसलिए प्रत्येक पद $(1 - \frac{k}{x})$,$1$ से थोड़ा कम है।
अतः,$P < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = e$ है।
हम जानते हैं कि $e \approx 2.718$ है।
साथ ही,$P > 1 + 1 = 2$ है।
इसलिए,$2 < P < e < 3$ है।
अतः,$P$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक $3$ है।

(B) माना $S = \sum_{n=8}^{100} \left[ \frac{(-1)^{n} n}{2} \right]$.
योग का विस्तार करने पर:
$S = \left[ \frac{8}{2} \right] + \left[ \frac{-9}{2} \right] + \left[ \frac{10}{2} \right] + \left[ \frac{-11}{2} \right] + \dots + \left[ \frac{-99}{2} \right] + \left[ \frac{100}{2} \right]$.
$[x]$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$S = 4 + [-4.5] + 5 + [-5.5] + 6 + [-6.5] + \dots + [-49.5] + 50$.
$S = 4 + (-5) + 5 + (-6) + 6 + (-7) + \dots + (-50) + 50$.
यहाँ पद युग्मों में कट जाते हैं: $(-5+5) + (-6+6) + \dots + (-50+50) = 0$.
अतः,$S = 4 + 0 = 4$.

(B) समघात समीकरण $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ के कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण सूत्र $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $x^{2}-4xy-5y^{2}=0$ के लिए,$a=1$,$2h=-4$ (अतः $h=-2$),और $b=-5$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-5)} = \frac{xy}{-2}$
$\frac{x^{2}-y^{2}}{6} = \frac{xy}{-2}$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$x^{2}-y^{2} = -3xy$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2}+3xy-y^{2}=0$.

(B) दिया गया है $a+b+c=1$,$ab+bc+ca=2$,और $abc=3$ है।
सबसे पहले,सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2(ab+bc+ca)$ का उपयोग करके $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ज्ञात करें:
$1^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2(2)$
$a^{2}+b^{2}+c^{2} = 1 - 4 = -3$।
इसके बाद,सर्वसमिका $(ab+bc+ca)^{2} = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 2abc(a+b+c)$ का उपयोग करके $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$ ज्ञात करें:
$2^{2} = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 2(3)(1)$
$4 = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 6$
$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} = 4 - 6 = -2$।
अंत में,सर्वसमिका $a^{4}+b^{4}+c^{4} = (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} - 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$ का उपयोग करें:
$a^{4}+b^{4}+c^{4} = (-3)^{2} - 2(-2)$
$a^{4}+b^{4}+c^{4} = 9 + 4 = 13$।

(B) $(2+\frac{x}{3})^{n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (2)^{n-r} (\frac{x}{3})^{r} = {}^{n}C_{r} (2)^{n-r} (\frac{1}{3})^{r} x^{r}$ है।
$x^{7}$ का गुणांक ${}^{n}C_{7} (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^{7}$ है।
$x^{8}$ का गुणांक ${}^{n}C_{8} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{8}$ है।
चूंकि ये गुणांक समान हैं:
${}^{n}C_{7} (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^{7} = {}^{n}C_{8} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{8}$.
दोनों पक्षों को ${}^{n}C_{7} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{7}$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{{}^{n}C_{8}}{{}^{n}C_{7}} \cdot \frac{1}{3}$.
गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{{}^{n}C_{8}}{{}^{n}C_{7}} = \frac{n-8+1}{8} = \frac{n-7}{8}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$2 = \frac{n-7}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{n-7}{24}$.
$n-7 = 48 \Rightarrow n = 55$.

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण: $\operatorname{Re}(z^{2})+2(\operatorname{Im}(z))^{2}+2 \operatorname{Re}(z)=0$ है।
चूंकि $z=x+iy$,हमारे पास $z^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy$ है,इसलिए $\operatorname{Re}(z^{2})=x^{2}-y^{2}$ और $\operatorname{Im}(z)=y$ है।
समीकरण $(x^{2}-y^{2})+2y^{2}+2x=0$ हो जाता है,जो सरल होकर $x^{2}+y^{2}+2x=0$ बनता है।
इस वृत्त का केंद्र $(-1, 0)$ है।
दिया गया परवलय: $x^{2}-6x-y+13=0$ है।
इसे $(x-3)^{2}-9-y+13=0$ के रूप में लिखने पर,हमें $(x-3)^{2}=y-4$ प्राप्त होता है।
परवलय का शीर्ष $(3, 4)$ है।
रेखा $(-1, 0)$ और $(3, 4)$ से होकर गुजरती है।
ढाल $m = \frac{4-0}{3-(-1)} = \frac{4}{4} = 1$ है।
रेखा का समीकरण $y-0=1(x+1)$ है,जो $y=x+1$ है।
$y$-अंतःखंड वह $y$ का मान है जब $x=0$ होता है,जो $1$ है।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_{r+1} = (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \ldots, n$ है।
योग $S = \sum_{r=0}^{n} (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ द्वारा दिया गया है।
$S = 2 \sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} + \sum_{r=0}^{n} {}^{n}C_{r}$।
सर्वसमिकाओं $\sum r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ और $\sum {}^{n}C_{r} = 2^{n}$ का उपयोग करने पर:
$S = 2(n \cdot 2^{n-1}) + 2^{n} = n \cdot 2^{n} + 2^{n} = 2^{n}(n+1)$।
दिया गया है $S = 2^{100} \cdot 101$,इसलिए $2^{n}(n+1) = 2^{100} \cdot 101$,जिसका अर्थ है $n = 100$।
अब,$2\left[\frac{n-1}{2}\right] = 2\left[\frac{100-1}{2}\right] = 2\left[\frac{99}{2}\right] = 2[49.5] = 2 \cdot 49 = 98$।

(B) दिया गया समीकरण $x^{2}+(20)^{\frac{1}{4}} x+(5)^{\frac{1}{2}}=0$ है।
हम इसे $x^{2}+\sqrt{5} = -(20)^{\frac{1}{4}} x$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x^{2}+\sqrt{5})^{2} = ((20)^{\frac{1}{4}} x)^{2}$ प्राप्त होता है।
$x^{4} + 2\sqrt{5}x^{2} + 5 = \sqrt{20}x^{2}$.
चूंकि $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$,समीकरण $x^{4} + 2\sqrt{5}x^{2} + 5 = 2\sqrt{5}x^{2}$ बन जाता है।
यह सरल होकर $x^{4} + 5 = 0$,या $x^{4} = -5$ हो जाता है।
पुनः वर्ग करने पर,$x^{8} = (-5)^{2} = 25$.
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल समीकरण के मूल हैं,वे $x^{4} = -5$ को संतुष्ट करते हैं,और इसलिए $\alpha^{8} = 25$ और $\beta^{8} = 25$.
अतः,$\alpha^{8} + \beta^{8} = 25 + 25 = 50$.

(A) वृत्त का केंद्र $C(2,3)$ है और यह मूल बिंदु $O(0,0)$ से होकर गुजरता है। त्रिज्या $r = OC = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ है।
$OC$ की ढाल $m_{OC} = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि $CP \perp OC$ और $CQ \perp OC$,रेखा $PQ$,$OC$ पर लंबवत है। रेखा $PQ$ की ढाल $m = -\frac{2}{3}$ है।
$C(2,3)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{2}{3}$ ढाल वाली रेखा के प्राचलिक रूप का उपयोग करते हुए,$P$ और $Q$ के निर्देशांक $(2 \pm r \cos \theta, 3 \pm r \sin \theta)$ प्राप्त होते हैं।
$r = \sqrt{13}$,$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{13}}$,और $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{13}}$ रखने पर:
$x = 2 \pm 3 = 5$ या $-1$.
$y = 3 \mp 2 = 1$ या $5$.
अतः,बिंदु $(5, 1)$ और $(-1, 5)$ हैं।

(B) कथन $(P \vee Q) \wedge (\sim P) \Rightarrow Q$ के लिए सत्यता सारणी बनाने पर:

$P$	$Q$	$P \vee Q$	$\sim P$	$(P \vee Q) \wedge (\sim P)$	$(P \vee Q) \wedge (\sim P) \Rightarrow Q$
$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$

अंतिम स्तंभ दर्शाता है कि यह कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है।
विकल्प $B$ है $\sim(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \wedge \sim Q$। चूँकि $\sim(P \Rightarrow Q) \equiv P \wedge \sim Q$,इसलिए $\sim(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \wedge \sim Q$ भी एक पुनरुक्ति है।
अतः,दिया गया कथन विकल्प $B$ के समतुल्य है।

(D) समुच्चय $A$ एक वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - x - y - \frac{1}{2} = 0$ को दर्शाता है। इसका केंद्र $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}} = 1$ है।
समुच्चय $B$ एक वृत्त $S_2: x^2 + y^2 - 4y + \frac{7}{4} = 0$ को दर्शाता है। इसका केंद्र $C_2 = (0, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4 - \frac{7}{4}} = \frac{3}{2}$ है।
समुच्चय $C$ एक डिस्क $S_3: (x-2)^2 + (y-1)^2 \leq r^2$ को दर्शाता है। इसका केंद्र $C_3 = (2, 1)$ और त्रिज्या $R = |r|$ है।
$A \subseteq C$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_3 + r_1 \leq R$ होनी चाहिए।
$C_1 C_3 = \sqrt{(2 - \frac{1}{2})^2 + (1 - \frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
अतः,$R \geq \frac{\sqrt{10}}{2} + 1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$.
$B \subseteq C$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $C_2 C_3 + r_2 \leq R$ होनी चाहिए।
$C_2 C_3 = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5}$.
अतः,$R \geq \sqrt{5} + \frac{3}{2} = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2}$.
चूंकि $A \cup B \subseteq C$,इसलिए $R$ को दोनों शर्तों को पूरा करना होगा। अतः,$R \geq \max(\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2})$.
इस प्रकार,न्यूनतम मान $\frac{3 + 2\sqrt{5}}{2}$ है।

(A) $2$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $90$ है ($10$ से $99$ तक)।
हमें यह जांचना है कि $(2^{n}-2)$,$3$ का गुणज कब है।
व्यंजक को $3$ के मापांक (modulo) में देखें:
$2 \equiv -1 \pmod{3}$
अतः,$2^{n}-2 \equiv (-1)^{n}-2 \pmod{3}$।
यदि $n$ सम है,तो $(-1)^{n}-2 = 1-2 = -1 \equiv 2 \pmod{3}$।
यदि $n$ विषम है,तो $(-1)^{n}-2 = -1-2 = -3 \equiv 0 \pmod{3}$।
इस प्रकार,$(2^{n}-2)$,$3$ का गुणज तभी है जब $n$ एक विषम संख्या हो।
$2$-अंकीय संख्याओं के समुच्चय ${10, 11, 12, \dots, 99}$ में,विषम संख्याएँ ${11, 13, 15, \dots, 99}$ हैं।
इस सीमा में विषम पूर्णांकों की संख्या $\frac{99-11}{2} + 1 = 44 + 1 = 45$ है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$।

(C) दिया गया डेटा: $6, 10, 7, 13, a, 12, b, 12$. प्रेक्षणों की कुल संख्या $n = 8$.
माध्य $\bar{x} = \frac{6+10+7+13+a+12+b+12}{8} = 9$.
$60 + a + b = 72 \implies a + b = 12$ $(1)$.
प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = \frac{37}{4}$.
$\sum x_{i}^{2} = a^{2} + b^{2} + 642$.
$\frac{a^{2} + b^{2} + 642}{8} - 81 = \frac{37}{4}$.
$\frac{a^{2} + b^{2} + 642}{8} = \frac{361}{4}$.
$a^{2} + b^{2} + 642 = 722 \implies a^{2} + b^{2} = 80$ $(2)$.
$(a-b)^{2} = (a+b)^{2} - 4ab$.
$(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \implies 144 = 80 + 2ab \implies 2ab = 64$.
अतः,$(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab = 80 - 64 = 16$.

(C) $y$-अक्ष के सापेक्ष बिंदु $(2, 1)$ का प्रतिबिंब $(-2, 1)$ है।
परावर्तित किरण $(-2, 1)$ और $(5, 3)$ से गुजरती है।
परावर्तित किरण की ढाल $m = \frac{3 - 1}{5 - (-2)} = \frac{2}{7}$ है।
परावर्तित किरण का समीकरण $y - 3 = \frac{2}{7}(x - 5)$ है,जो $2x - 7y + 11 = 0$ में सरल होता है।
माना दूसरी नियता का समीकरण $2x - 7y + \lambda = 0$ है।
दीर्घवृत्त की दो नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ होती है।
नियता से नाभि की दूरी $\frac{a}{e} - ae = \frac{a(1 - e^2)}{e} = \frac{8}{\sqrt{53}}$ है।
$e = \frac{1}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{a(1 - 1/9)}{1/3} = \frac{8a}{3} = \frac{8}{\sqrt{53}}$,जिससे $a = \frac{3}{\sqrt{53}}$ प्राप्त होता है।
दो नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = 2 \times \frac{3}{\sqrt{53}} \times 3 = \frac{18}{\sqrt{53}}$ है।
समांतर रेखाओं $2x - 7y + 11 = 0$ और $2x - 7y + \lambda = 0$ के बीच की दूरी $\frac{|\lambda - 11|}{\sqrt{53}}$ है।
दूरी की तुलना करने पर: $\frac{|\lambda - 11|}{\sqrt{53}} = \frac{18}{\sqrt{53}}$,इसलिए $|\lambda - 11| = 18$।
इससे $\lambda - 11 = 18$ या $\lambda - 11 = -18$ प्राप्त होता है,अर्थात $\lambda = 29$ या $\lambda = -7$।
समीकरण $2x - 7y + 29 = 0$ या $2x - 7y - 7 = 0$ हैं।

(C) दिया गया है $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$ $\Rightarrow 1 + \sin(2\theta) = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \sin(2\theta) = -\frac{3}{4}$.
तब $\cos^2(2\theta) = 1 - \sin^2(2\theta) = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
हमें $16(\sin(2\theta) + \cos(4\theta) + \sin(6\theta))$ का मान ज्ञात करना है।
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $\sin(2\theta) + \sin(6\theta) = 2\sin(4\theta)\cos(2\theta)$.
अतः व्यंजक $16(2\sin(4\theta)\cos(2\theta) + \cos(4\theta))$ है।
चूंकि $\sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta)$ और $\cos(4\theta) = 2\cos^2(2\theta) - 1$:
$16(4\sin(2\theta)\cos^2(2\theta) + 2\cos^2(2\theta) - 1)$.
मान रखने पर: $16(4(-\frac{3}{4})(\frac{7}{16}) + 2(\frac{7}{16}) - 1) = 16(-\frac{21}{16} + \frac{14}{16} - 1) = 16(-\frac{7}{16} - 1) = -7 - 16 = -23$.

(A) दिया गया है $S_{1} = \{z \in C : |z-(3+2i)|^{2}=8\}$। मान लीजिए $z = x+iy$ है। तब $|(x-3)+i(y-2)|^{2}=8$,जिसका अर्थ है $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=8$। यह $(3, 2)$ केंद्र और $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
$S_{2} = \{z \in C : x \geq 5\}$।
$S_{3} = \{z \in C : |z-\bar{z}| \geq 8\}$। चूंकि $z-\bar{z} = 2iy$,हमारे पास $|2iy| = 2|y| \geq 8$ है,जिसका अर्थ है $|y| \geq 4$,इसलिए $y \geq 4$ या $y \leq -4$ है।
हमें प्रतिच्छेदन $S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ ज्ञात करना है।
$S_{1} \cap S_{2}$ के लिए,हम वृत्त के समीकरण में $x=5$ प्रतिस्थापित करते हैं: $(5-3)^{2} + (y-2)^{2} = 8$ $\Rightarrow 4 + (y-2)^{2} = 8$ $\Rightarrow (y-2)^{2} = 4$ $\Rightarrow y-2 = \pm 2$। अतः $y=4$ या $y=0$ है।
$S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ के लिए,हम $S_{3}$ से $y \geq 4$ या $y \leq -4$ की शर्त की जाँच करते हैं।
$x=5$ पर,वृत्त पर बिंदु $(5, 4)$ और $(5, 0)$ हैं।
केवल बिंदु $(5, 4)$ ही $y \geq 4$ को संतुष्ट करता है।
अतः,प्रतिच्छेदन में केवल एक बिंदु $z = 5+4i$ है।
अवयवों की संख्या $1$ है।

(D) मान लीजिए $L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} f(2)-4 f(x)}{x-2}$ है।
चूंकि $f(2)=4$,व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{4x^{2}-4 f(x)}{x-2}$ हो जाता है,जो $x \rightarrow 2$ के लिए $\frac{0}{0}$ रूप में है।
अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{d}{dx}(x^{2} f(2)-4 f(x))}{\frac{d}{dx}(x-2)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2x f(2)-4 f^{\prime}(x)}{1}$
$f(2)=4$ और $f^{\prime}(2)=1$ रखने पर:
$L = 2(2)(4) - 4(1)$
$L = 16 - 4 = 12$.

(A) $(x^{2}+\frac{1}{bx})^{11}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(x^{2})^{11-r}(\frac{1}{bx})^{r} = {}^{11}C_{r} \cdot b^{-r} \cdot x^{22-3r}$ है।
$22-3r = 7$ रखने पर,$3r = 15$,अतः $r = 5$ प्राप्त होता है।
$x^{7}$ का गुणांक ${}^{11}C_{5} \cdot b^{-5}$ है।
$(x-\frac{1}{bx^{2}})^{11}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(x)^{11-r}(-\frac{1}{bx^{2}})^{r} = {}^{11}C_{r} \cdot (-1)^{r} \cdot b^{-r} \cdot x^{11-3r}$ है।
$11-3r = -7$ रखने पर,$3r = 18$,अतः $r = 6$ प्राप्त होता है।
$x^{-7}$ का गुणांक ${}^{11}C_{6} \cdot (-1)^{6} \cdot b^{-6} = {}^{11}C_{6} \cdot b^{-6}$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: ${}^{11}C_{5} \cdot b^{-5} = {}^{11}C_{6} \cdot b^{-6}$।
चूँकि ${}^{11}C_{5} = {}^{11}C_{6}$,इसलिए $\frac{1}{b^{5}} = \frac{1}{b^{6}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$b = 1$।

(C) वृत्त का समीकरण $(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}$ है। केंद्र $C(1, 3)$ और त्रिज्या $r=2$ है।
बिंदु $P(-1, 1)$ से स्पर्श रेखाएँ $A(1, 1)$ और $B(-1, 3)$ पर स्पर्श करती हैं।
जीवा $AB$ की लंबाई $\sqrt{(1 - (-1))^{2} + (1 - 3)^{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
दिया गया है कि $AD = AB = 2\sqrt{2}$ है।
समान लंबाई की जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं। $\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\log _{3} 2, \log _{3}(2^{x}-5), \log _{3}(2^{x}-\frac{7}{2})$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
तीन पदों $a, b, c$ के $AP$ में होने के लिए,$2b = a + c$ होता है।
इसलिए,$2 \log _{3}(2^{x}-5) = \log _{3} 2 + \log _{3}(2^{x}-\frac{7}{2})$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\log _{3}(2^{x}-5)^{2} = \log _{3}[2(2^{x}-\frac{7}{2})]$.
$(2^{x}-5)^{2} = 2(2^{x}-\frac{7}{2})$.
मान लीजिए $2^{x} = t$. तो $(t-5)^{2} = 2t - 7$.
$t^{2} - 10t + 25 = 2t - 7$.
$t^{2} - 12t + 32 = 0$.
$(t-4)(t-8) = 0$.
अतः,$t = 4$ या $t = 8$.
यदि $2^{x} = 4$,तो $x = 2$. लेकिन $\log _{3}(2^{x}-5)$ को परिभाषित होने के लिए $2^{x}-5 > 0$ होना चाहिए,इसलिए $4-5 = -1$,जो मान्य नहीं है।
यदि $2^{x} = 8$,तो $x = 3$. यहाँ $8-5 = 3 > 0$ और $8-3.5 = 4.5 > 0$,जो मान्य है।
अतः,$x = 3$.

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) dx$ है। चूँकि फलन $f(x) = \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{1} \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) dx$ होगा।
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए,$u = \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})$ और $dv = dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}} \cdot \left(\frac{-1}{2\sqrt{1-x}} + \frac{1}{2\sqrt{1+x}}\right) dx = \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})} dx = \frac{(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x})^2}{2\sqrt{1-x^2}(1-x-1-x)} dx = \frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{-4x\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{2x\sqrt{1-x^2}} dx$ प्राप्त होता है।
$I = 2 \left[ x \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \Big|_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{2x\sqrt{1-x^2}} dx \right]$.
$I = 2 \left[ (1 \cdot \log_{e}(\sqrt{2}) - 0) - \frac{1}{2} \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) dx \right]$.
$I = 2 \left[ \frac{1}{2} \log_{e} 2 - \frac{1}{2} (x - \sin^{-1} x) \Big|_0^1 \right]$.
$I = \log_{e} 2 - (1 - \frac{\pi}{2}) = \log_{e} 2 + \frac{\pi}{2} - 1$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \tan \left(\frac{y}{x}\right) d y = \left(y \tan \left(\frac{y}{x}\right)-x\right) d x$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\tan \left(\frac{y}{x}\right)(x d y - y d x) = -x d x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर,$\tan \left(\frac{y}{x}\right) d\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{1}{x} d x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln \left| \sec \left(\frac{y}{x}\right) \right| = -\ln |x| + C$ प्राप्त होता है,जिसे $\ln \left| x \sec \left(\frac{y}{x}\right) \right| = C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $y(1/2) = \pi/6$ दिया गया है,इसलिए $\ln \left| \frac{1}{2} \sec \left( \frac{\pi/6}{1/2} \right) \right| = \ln \left| \frac{1}{2} \sec \left( \frac{\pi}{3} \right) \right| = \ln \left| \frac{1}{2} \cdot 2 \right| = \ln(1) = 0$। अतः,$C=0$।
इस प्रकार,$\sec \left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $\cos \left(\frac{y}{x}\right) = x$,या $y = x \cos^{-1}(x)$।
आवश्यक क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{1/\sqrt{2}} x \cos^{-1}(x) d x$ है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$A = \left[ \frac{x^2}{2} \cos^{-1}(x) \right]_{0}^{1/\sqrt{2}} - \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{x^2}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) d x$।
$A = \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 \right) + \frac{1}{2} \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} d x$।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \cos \theta d \theta$,इसलिए $\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin^2 \theta \cos \theta}{\cos \theta} d \theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d \theta = \frac{1}{4} \left[ \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8}$।
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8} = \frac{2\pi}{16} - \frac{1}{8} = \frac{\pi-1}{8}$।

(B) $f$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \sin(0) - e^0 = 0 - 1 = -1$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a + [-x]) = a + (-1) = a - 1$.
इन दोनों को बराबर करने पर,$a - 1 = -1 \implies a = 0$.
$f$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (a + [-x]) = a + (-1) = a - 1$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2(1) - b = 2 - b$.
इन दोनों को बराबर करने पर,$a - 1 = 2 - b \implies 0 - 1 = 2 - b \implies b = 3$.
अतः,$a + b = 0 + 3 = 3$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $e^{x} \sqrt{1-y^{2}} dx + \frac{y}{x} dy = 0$ है।
चरों को अलग करने पर:
$\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = -x e^{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = -\int x e^{x} dx$.
बाएँ पक्ष के लिए,$u = 1-y^{2}$ लेने पर,$-\sqrt{1-y^{2}}$ प्राप्त होता है।
दाएँ पक्ष के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$-(x e^{x} - e^{x}) + C = -e^{x}(x-1) + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$-\sqrt{1-y^{2}} = -e^{x}(x-1) + C$,जिसका अर्थ है $\sqrt{1-y^{2}} = e^{x}(x-1) + C$.
$y(1) = -1$ रखने पर,$0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\sqrt{1-y^{2}} = e^{x}(x-1)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1-y^{2} = e^{2x}(x-1)^{2}$.
$x=3$ के लिए,$1-y^{2} = e^{6}(2)^{2} = 4e^{6}$.
अतः,$y^{2} = 1 - 4e^{6}$.

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{|[x]|-2}{|[x]|-3}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
$\frac{|[x]|-2}{|[x]|-3} \geq 0$ और $|[x]|-3 \neq 0$ होना चाहिए।
मान लीजिए $Y = [x]$ है। हम $\frac{|Y|-2}{|Y|-3} \geq 0$ को हल करते हैं।
क्रांतिक बिंदु $|Y| = 2$ और $|Y| = 3$ हैं,जिसका अर्थ है $Y \in \{-3, -2, 2, 3\}$।
$|Y|$ के लिए अंतरालों की जाँच करने पर:
$1$. यदि $|Y| < 2$ है,तो $\frac{-}{-} > 0$ (सत्य)। यह $-2 < Y < 2$ के अनुरूप है,इसलिए $[x] \in \{-1, 0, 1\}$,जिसका अर्थ है $x \in [-1, 2)$।
$2$. यदि $2 \leq |Y| < 3$ है,तो $\frac{+}{-} < 0$ (असत्य)।
$3$. यदि $|Y| > 3$ है,तो $\frac{+}{+} > 0$ (सत्य)। यह $Y > 3$ या $Y < -3$ के अनुरूप है,इसलिए $[x] \geq 4$ या $[x] \leq -4$,जिसका अर्थ है $x \in [4, \infty)$ या $x \in (-\infty, -3)$।
इन सबको मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -3) \cup [-1, 2) \cup [4, \infty)$ प्राप्त होता है।
$(-\infty, a) \cup [b, c) \cup [4, \infty)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -3$,$b = -1$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b+c = -3 + (-1) + 2 = -2$।

(A) दिया गया समीकरण $\tan ^{-1} \sqrt{x^{2}+x}+\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{\pi}{4}$ है।
समीकरण को परिभाषित होने के लिए,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत की शर्तों को संतुष्ट होना चाहिए।
$1$. $\tan ^{-1} \sqrt{x^{2}+x}$ के लिए,$x^{2}+x \geq 0$ होना चाहिए।
$2$. $\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}$ के लिए,$0 \leq \sqrt{x^{2}+x+1} \leq 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \leq x^{2}+x+1 \leq 1$।
चूंकि $x^{2}+x+1 = (x+\frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}$,इसलिए $x^{2}+x+1$ का न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है।
अतः,शर्त $x^{2}+x+1 \leq 1$ का अर्थ है $x^{2}+x \leq 0$।
$x^{2}+x \geq 0$ और $x^{2}+x \leq 0$ को मिलाने पर,हमें $x^{2}+x = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x(x+1) = 0$ मिलता है,अर्थात $x=0$ या $x=-1$।
यदि $x=0$ है,तो समीकरण $\tan ^{-1} \sqrt{0} + \sin ^{-1} \sqrt{1} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{4}$ हो जाता है।
यदि $x=-1$ है,तो समीकरण $\tan ^{-1} \sqrt{0} + \sin ^{-1} \sqrt{1} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{4}$ हो जाता है।
चूंकि कोई भी मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए वास्तविक मूलों की संख्या $0$ है।

(C) माना $n = [a]$,जहाँ $n$ एक ऋणेतर पूर्णांक है। तब $a = n + \{a\}$,जहाँ $0 \le \{a\} < 1$ है।
समाकलन को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है:
$\int_{0}^{a} e^{x-[x]} dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} e^{x-k} dx + \int_{n}^{a} e^{x-n} dx = 10e - 9$
योगफल की गणना करने पर:
$\sum_{k=0}^{n-1} [e^{x-k}]_{k}^{k+1} = \sum_{k=0}^{n-1} (e^1 - e^0) = \sum_{k=0}^{n-1} (e - 1) = n(e - 1)$
शेष भाग की गणना करने पर:
$\int_{n}^{a} e^{x-n} dx = [e^{x-n}]_{n}^{a} = e^{a-n} - e^0 = e^{\{a\}} - 1$
इन दोनों को जोड़ने पर:
$n(e - 1) + e^{\{a\}} - 1 = 10e - 9$
$ne - n + e^{\{a\}} - 1 = 10e - 10$
पदों की तुलना करने पर,हमें $n = 10$ और $e^{\{a\}} = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $\{a\} = \log_{e} 2$ है।
अतः,$a = n + \{a\} = 10 + \log_{e} 2$।

(D) दिया गया है $f(x) = ax^2 + 6x - 15$.
$f'(x) = 2ax + 6$.
चूंकि $f(x)$ अंतराल $(-\infty, \frac{3}{4})$ में वर्धमान और $(\frac{3}{4}, \infty)$ में ह्रासमान है,इसलिए क्रांतिक बिंदु $x = \frac{3}{4}$ है।
$x = \frac{3}{4}$ पर,$f'(x) = 0$,इसलिए $2a(\frac{3}{4}) + 6 = 0 \Rightarrow \frac{3a}{2} = -6 \Rightarrow a = -4$.
अब,$g(x) = ax^2 - 6x + 15$ पर विचार करें। $a = -4$ रखने पर,हमें $g(x) = -4x^2 - 6x + 15$ प्राप्त होता है।
$g'(x) = -8x - 6$.
$g'(x) = 0$ रखने पर,हमें $-8x = 6 \Rightarrow x = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
स्थानीय उच्चतम या निम्नतम की जांच करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं: $g''(x) = -8$.
चूंकि $g''(x) < 0$ है,इसलिए फलन $g(x)$ का $x = -\frac{3}{4}$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।

(B) आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -x & 2x+1 \\ -x & 1 & -x \\ 2x+1 & -x & 1 \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(1 - x^2) + x(-x + x(2x+1)) + (2x+1)(x^2 - (2x+1))$
$|A| = 4x^3 - 4x^2 - 4x = f(x)$
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$f'(x) = 12x^2 - 8x - 4 = 4(3x+1)(x-1) = 0$
अतः,$x = 1$ और $x = -\frac{1}{3}$.
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = -4$ (न्यूनतम मान)
$f(-\frac{1}{3}) = \frac{20}{27}$ (अधिकतम मान)
अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग:
$-4 + \frac{20}{27} = -\frac{88}{27}$

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix}$.
किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को $A = P + Q$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $P = \frac{A + A^T}{2}$ सममित है और $Q = \frac{A - A^T}{2}$ विषम-सममित है।
$P = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & a \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & \frac{3+a}{2} \\ \frac{3+a}{2} & 0 \end{bmatrix}$.
$Q = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & a \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 0 & \frac{3-a}{2} \\ \frac{a-3}{2} & 0 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $\operatorname{det}(Q) = 9$,इसलिए $0 - \left( \frac{3-a}{2} \right) \left( \frac{a-3}{2} \right) = 9$.
$\Rightarrow \frac{(a-3)^2}{4} = 9 \Rightarrow (a-3)^2 = 36 \Rightarrow a-3 = \pm 6$.
अतः,$a = 9$ या $a = -3$.
अब,$\operatorname{det}(P) = 0 - \left( \frac{3+a}{2} \right)^2 = -\frac{(a+3)^2}{4}$.
$a = 9$ के लिए,$\operatorname{det}(P) = -\frac{(9+3)^2}{4} = -\frac{144}{4} = -36$.
$a = -3$ के लिए,$\operatorname{det}(P) = -\frac{(-3+3)^2}{4} = 0$.
$\operatorname{det}(P)$ के सभी संभावित मानों का योग $-36 + 0 = -36$ है।
योग का मापांक $|-36| = 36$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $E: x^{2}+4 y^{2}=5$ है। बिंदु $P(1,1)$ पर स्पर्शरेखा $T$ का समीकरण $x(1)+4y(1)=5$ अर्थात $x+4y=5$ या $y = \frac{5-x}{4}$ है।
स्पर्शरेखा $T$,दीर्घवृत्त $E$ और रेखाओं $x=1$ तथा $x=\sqrt{5}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{\sqrt{5}} \left( \frac{5-x}{4} - \frac{\sqrt{5-x^{2}}}{2} \right) dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \left[ \frac{5x}{4} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} \sqrt{5-x^{2}} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \right) \right]_{1}^{\sqrt{5}}$
$A = \left[ \frac{5x}{4} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{4} \sqrt{5-x^{2}} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \right]_{1}^{\sqrt{5}}$
$x=\sqrt{5}$ पर: $\frac{5\sqrt{5}}{4} - \frac{5}{8} - 0 - \frac{5}{4} \sin^{-1}(1) = \frac{10\sqrt{5}-5}{8} - \frac{5\pi}{8}$
$x=1$ पर: $\frac{5}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \sqrt{4} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{10-1-4}{8} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{5}{8} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$
$\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,$\sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ प्राप्त होता है।
$A = \left( \frac{10\sqrt{5}-5}{8} - \frac{5\pi}{8} \right) - \left( \frac{5}{8} - \frac{5}{4} \left( \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right) \right)$
$A = \frac{10\sqrt{5}-10}{8} - \frac{5\pi}{8} + \frac{5\pi}{8} - \frac{5}{4} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{5\sqrt{5}}{4} - \frac{5}{4} - \frac{5}{4} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$
इसे $\alpha \sqrt{5} + \beta + \gamma \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = \frac{5}{4}$,$\beta = -\frac{5}{4}$,$\gamma = -\frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।
$|\alpha + \beta + \gamma| = |\frac{5}{4} - \frac{5}{4} - \frac{5}{4}| = |-\frac{5}{4}| = 1.25$.

(D) मान लीजिए सदिशों का परिमाण $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$ है। चूंकि वे परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ है।
मान लीजिए $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ है। तब $|\vec{v}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 3k^2$ है।
अतः,$|\vec{v}| = \sqrt{3}k$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{|\vec{a}| |\vec{v}|} = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{k \cdot \sqrt{3}k} = \frac{|\vec{a}|^2 + 0 + 0}{\sqrt{3}k^2} = \frac{k^2}{\sqrt{3}k^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
हमें $36 \cos^2 2\theta$ का मान ज्ञात करना है। सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$\cos 2\theta = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - 1 = 2(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$36 \cos^2 2\theta = 36(-\frac{1}{3})^2 = 36(\frac{1}{9}) = 4$ है।

(A) समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_P$ समतल में स्थित दो सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है। माना $A=(1,0,1), B=(1,-2,1), C=(0,1,-2)$.
$\vec{AB} = (0, -2, 0)$
$\vec{AC} = (-1, 1, -3)$
$\vec{n}_P = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 6\hat{i} - 2\hat{k} = 2(3\hat{i} - \hat{k})$.
चूंकि $\vec{a}$,समतल $P$ के समांतर है,इसलिए $\vec{a}$,$\vec{n}_P$ के लंबवत है। साथ ही,$\vec{a}$,$\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के भी लंबवत है।
अतः,$\vec{a} = k(\vec{n}_P \times \vec{v}) = k \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = k(2\hat{i} - 10\hat{j} + 6\hat{k})$.
दिया है कि $\vec{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 2$,इसलिए $k(2 - 10 + 12) = 2 \Rightarrow 4k = 2 \Rightarrow k = 1/2$.
इस प्रकार,$\vec{a} = \hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
यहाँ $\alpha = 1, \beta = -5, \gamma = 3$.
अतः $(\alpha - \beta + \gamma)^2 = (1 - (-5) + 3)^2 = 9^2 = 81$.

(B) दिया गया है कि $a, b, c, d$ समांतर श्रेणी में हैं जिनका सार्व अंतर $\lambda$ है,इसलिए $b = a + \lambda$,$c = a + 2\lambda$,और $d = a + 3\lambda$ है।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$a - c = -2\lambda$,$b - d = -2\lambda$,$d - b = 2\lambda$,$c - b = \lambda$,$d - c = \lambda$.
सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & x+b & x+a \\ x-1 & x+c & x+b \\ x+2\lambda & x+d & x+c \end{array}\right| = 2$ है।
स्तंभ संक्रिया $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & \lambda & x+a \\ x-1 & \lambda & x+b \\ x+2\lambda & \lambda & x+c \end{array}\right| = 2$.
$C_2$ से $\lambda$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \lambda \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & 1 & x+a \\ x-1 & 1 & x+b \\ x+2\lambda & 1 & x+c \end{array}\right| = 2$.
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \lambda \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & 1 & x+a \\ 2\lambda-1 & 0 & \lambda \\ 4\lambda & 0 & 2\lambda \end{array}\right| = 2$.
$C_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \lambda \cdot (-1) \cdot ((2\lambda-1)(2\lambda) - (4\lambda)(\lambda)) = 2$.
$\Delta = -\lambda \cdot (4\lambda^2 - 2\lambda - 4\lambda^2) = 2$.
$\Delta = -\lambda \cdot (-2\lambda) = 2\lambda^2 = 2$.
अतः,$\lambda^2 = 1$.

(D) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a}_1 = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{a}_2 = -4 \hat{i} - \hat{k}$,और $\vec{b}_2 = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 8 \hat{i} + 8 \hat{j} + 4 \hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = 12$ है।
अब,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-4 - \alpha) \hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $9 = \frac{|((-4 - \alpha) \hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i} + 8 \hat{j} + 4 \hat{k})|}{12}$ है।
$108 = |-32 - 8\alpha - 28| = |-60 - 8\alpha|$.
चूंकि $\alpha > 0$,इसलिए $60 + 8\alpha = 108 \implies 8\alpha = 48 \implies \alpha = 6$।

(B) दिया गया है $A = I + C$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $C = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
चूँकि $I$ और $C$ क्रमविनिमेय हैं,हम द्विपद प्रसार $(I+C)^n = I + nC + \frac{n(n-1)}{2}C^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ $C^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $C^3 = O$ है।
अतः,$A^n = (I+C)^n = I + nC + \frac{n(n-1)}{2}C^2$.
$b_{13}$ आव्यूह $B = 7A^{20} - 20A^7 + 2I$ की पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव है।
$I$ का $(1,3)$ अवयव $0$ है,$C$ का $(1,3)$ अवयव $0$ है,और $C^2$ का $(1,3)$ अवयव $1$ है।
इसलिए,$A^n$ का $(1,3)$ अवयव $\frac{n(n-1)}{2}$ है।
$b_{13} = 7 \times \left( \frac{20 \times 19}{2} \right) - 20 \times \left( \frac{7 \times 6}{2} \right) + 2(0)$.
$b_{13} = 7 \times 190 - 20 \times 21 = 1330 - 420 = 910$.

(A) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को सममित रूप में लिखें:
रेखा $1$: $x = ay - 1 = z - 2$ बिंदु $P_1(-1, 0, 1)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v_1} = a\hat{i} + \hat{j} + a\hat{k}$ है।
रेखा $2$: $x = 3y - 2 = bz - 2$ बिंदु $P_2(-2, 0, 0)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v_2} = 3\hat{i} + \hat{j} + \frac{3}{b}\hat{k}$ है।
रेखाओं के समतलीय होने के लिए,बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दोनों दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $(\vec{P_2P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = 0$।
$\vec{P_2P_1} = (-1 - (-2))\hat{i} + (0 - 0)\hat{j} + (1 - 0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$।
सारणिक है:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ a & 1 & a \\ 3 & 1 & 3/b \end{array}\right| = 0$
$1(\frac{3}{b} - a) - 0 + 1(a - 3) = 0$
$\frac{3}{b} - a + a - 3 = 0 \Rightarrow \frac{3}{b} = 3 \Rightarrow b = 1$।
अतः,$b = 1, a \in R - \{0\}$।

(D) माना $z = (1 - \cos \theta + 2i \sin \theta)^{-1} = \frac{1}{(1 - \cos \theta) + 2i \sin \theta}$.
अंश और हर को संयुग्मी $((1 - \cos \theta) - 2i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1 - \cos \theta) - 2i \sin \theta}{(1 - \cos \theta)^2 + 4 \sin^2 \theta}$.
वास्तविक भाग $\text{Re}(z) = \frac{1 - \cos \theta}{(1 - \cos \theta)^2 + 4 \sin^2 \theta} = \frac{1}{5}$.
$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\text{Re}(z) = \frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{4 \sin^4 \frac{\theta}{2} + 16 \sin^2 \frac{\theta}{2} \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2(\sin^2 \frac{\theta}{2} + 4 \cos^2 \frac{\theta}{2})} = \frac{1}{5}$.
अतः,$2(\sin^2 \frac{\theta}{2} + 4 \cos^2 \frac{\theta}{2}) = 5 \implies 2(1 + 3 \cos^2 \frac{\theta}{2}) = 5 \implies \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$.

(A) माना $\vec{a} = \overrightarrow{BC}$,$\vec{b} = \overrightarrow{AC}$,और $\vec{c} = \overrightarrow{BA}$ है।
दिया गया है $|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = 5$,और $|\vec{c}| = 7$ है।
त्रिभुज $ABC$ में,शीर्ष $B$ पर कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{BA}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 - 2 |\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}| \cos(\angle ABC)$
$5^2 = 7^2 + 3^2 - 2(7)(3) \cos(\angle ABC)$
$25 = 49 + 9 - 42 \cos(\angle ABC)$
$25 = 58 - 42 \cos(\angle ABC)$
$42 \cos(\angle ABC) = 58 - 25 = 33$
$\cos(\angle ABC) = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$ है।
सदिश $\overrightarrow{BA}$ का सदिश $\overrightarrow{BC}$ पर प्रक्षेप $|\overrightarrow{BA}| \cos(\angle ABC)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रक्षेप $= 7 \times \frac{11}{14} = \frac{11}{2}$।

(D) माना $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ और $\beta = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$ है।
हमें $\tan(2\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\beta$ को $\tan^{-1}$ रूप में बदलें: चूँकि $\sin \beta = \frac{5}{13}$,इसलिए $\tan \beta = \frac{5}{\sqrt{13^2 - 5^2}} = \frac{5}{12}$। अतः,$\beta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$।
अब,$2\alpha = 2\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2 \cdot \frac{3}{5}}{1 - (\frac{3}{5})^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6/5}{1 - 9/25}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6/5}{16/25}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{16}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right)$।
अब हमें $\tan(2\alpha + \beta) = \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\right)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$= \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{\frac{15}{8} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{15}{8} \cdot \frac{5}{12}}\right)\right) = \frac{\frac{45+10}{24}}{1 - \frac{75}{96}} = \frac{55/24}{21/96} = \frac{55}{24} \cdot \frac{96}{21} = \frac{55 \cdot 4}{21} = \frac{220}{21}$।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{5x + 3}{6x - \alpha}$.
$(f \circ f)(x) = x$ के लिए,फलन $f$ को अपना स्वयं का व्युत्क्रम (inverse) होना चाहिए,अर्थात $f(x) = f^{-1}(x)$.
मान लीजिए $y = f(x) = \frac{5x + 3}{6x - \alpha}$.
तब $y(6x - \alpha) = 5x + 3$.
$6xy - \alpha y = 5x + 3$.
$6xy - 5x = \alpha y + 3$.
$x(6y - 5) = \alpha y + 3$.
$x = \frac{\alpha y + 3}{6y - 5}$.
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{\alpha x + 3}{6x - 5}$.
चूंकि $f(x) = f^{-1}(x)$,इसलिए $\frac{5x + 3}{6x - \alpha} = \frac{\alpha x + 3}{6x - 5}$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = 5$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[x] - \sin x] \, dx$.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b = 0$:
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[-x] - \sin(-x)] \, dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[-x] + \sin x] \, dx$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} ([[x] - \sin x] + [[-x] + \sin x]) \, dx$.
गुणधर्म $[y] + [-y] = -1$ (जब $y$ पूर्णांक न हो) का उपयोग करने पर,समाकल्य का मान $-2$ प्राप्त होता है।
$2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (-2) \, dx = -2 [x]_{-\pi/2}^{\pi/2} = -2(\pi) = -2\pi$.
अतः,$I = -\pi$.

(B) सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = y(-1 \cdot \frac{1}{x} - 0) - \sin x(0 \cdot \frac{1}{x} - 2) + 1(0 \cdot 0 - 2(-1))$
$|A| = -\frac{y}{x} + 2 \sin x + 2$
दिया गया है $\frac{dy}{dx} - |A| = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} + 2 \sin x + 2$,जिसे $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 2 \sin x + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = 2 \sin x + 2$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।
सामान्य हल $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + C$ है।
$yx = \int x(2 \sin x + 2) dx = 2 \int x \sin x dx + \int 2x dx$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x$,अतः:
$yx = 2(-x \cos x + \sin x) + x^2 + C = x^2 - 2x \cos x + 2 \sin x + C$।
$y(\pi) = \pi + 2$ दिया गया है,$x = \pi$ रखने पर:
$(\pi + 2)\pi = \pi^2 - 2\pi \cos(\pi) + 2 \sin(\pi) + C$
$\pi^2 + 2\pi = \pi^2 + 2\pi + C \Rightarrow C = 0$।
अतः,$yx = x^2 - 2x \cos x + 2 \sin x$।
$x = \frac{\pi}{2}$ के लिए:
$y(\frac{\pi}{2}) \cdot \frac{\pi}{2} = (\frac{\pi}{2})^2 - 2(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) + 2 \sin(\frac{\pi}{2})$
$y(\frac{\pi}{2}) \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + 2$।
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}$।

(C) दिया गया है $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-\frac{3}{2} f^{\prime \prime}(2) x+f^{\prime \prime}(1) \quad \dots(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x-\frac{3}{2} f^{\prime \prime}(2) \quad \dots(ii)$
$f^{\prime \prime}(x)=6 x-6 \quad \dots(iii)$
$(iii)$ से,$f^{\prime \prime}(2)=6(2)-6=6$ और $f^{\prime \prime}(1)=6(1)-6=0$.
$f^{\prime \prime}(2)=6$ को $(ii)$ में रखने पर:
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x-\frac{3}{2}(6) = 3 x^{2}-6 x-9$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f^{\prime}(x)=0$ रखने पर:
$3(x^{2}-2 x-3)=0 \Rightarrow 3(x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=3, -1$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$f^{\prime \prime}(-1)=6(-1)-6=-12 < 0$ ($x=-1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है)।
$f^{\prime \prime}(3)=6(3)-6=12 > 0$ ($x=3$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है)।
$f^{\prime \prime}(2)=6$ और $f^{\prime \prime}(1)=0$ को $(i)$ में रखने पर:
$f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x$.
स्थानीय न्यूनतम मान $f(3)=3^{3}-3(3^{2})-9(3) = 27-27-27 = -27$ है।

(D) रैखिक समीकरण निकाय के अनंततः अनेक हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = 0$।
$D = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & -3 \\ 6 & 5 & k \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3(2k - (-15)) - (-1)(k - (-18)) + 4(5 - 12) = 0$
$3(2k + 15) + 1(k + 18) + 4(-7) = 0$
$6k + 45 + k + 18 - 28 = 0$
$7k + 35 = 0$
$7k = -35$
$k = -5$
$k = -5$ के लिए संगतता की जाँच करने पर:
$3x - y + 4z = 3$ $(i)$
$x + 2y - 3z = -2$ $(ii)$
$6x + 5y - 5z = -3$ $(iii)$
$(i) \times 2 - (ii)$ से: $6x - 2y + 8z - (x + 2y - 3z) = 6 - (-2) \Rightarrow 5x - 4y + 11z = 8$। यह पुष्टि करता है कि $k = -5$ के लिए निकाय संगत है और इसके अनंततः अनेक हल हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$। ध्यान दें कि $f(-x) = \log_e \left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) = \log_e \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\right) = -f(x)$। अतः,$f(x)$ एक विषम फलन है।
$g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right) \cos(f(x)) - \sin \left(\frac{\pi}{4} t\right) \sin(f(x)) \right] \, dx$.
चूंकि $f(x)$ विषम है,$\cos(f(x))$ एक सम फलन है और $\sin(f(x))$ एक विषम फलन है।
इसलिए,$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin \left(\frac{\pi}{4} t\right) \sin(f(x)) \, dx = 0$.
अतः,$g(t) = \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right) \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(f(x)) \, dx$.
मान लीजिए $C = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(f(x)) \, dx$। तब $g(t) = C \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right)$।
$g(1) = C \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{C}{\sqrt{2}}$ और $g(0) = C \cos(0) = C$.
इस प्रकार,$g(1) = \frac{g(0)}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $\sqrt{2} g(1) = g(0)$।

(A) रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1} = k$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $(2k+3, k+1, k+2)$ है।
मान लीजिए $P_0 = (2,3,-1)$ है। बिंदु $P_0$ से रेखा $L$ पर लंब के पाद $M$ के लिए सदिश $\vec{P_0M} = (2k+3-2, k+1-3, k+2+1) = (2k+1, k-2, k+3)$ है।
चूंकि $\vec{P_0M}$ रेखा $L$ के दिशा सदिश $\vec{v} = (2,1,1)$ के लंबवत है,इसलिए $2(2k+1) + 1(k-2) + 1(k+3) = 0$ प्राप्त होता है।
$4k+2 + k-2 + k+3 = 0 \implies 6k+3 = 0 \implies k = -1/2$.
अतः,$M = (2(-1/2)+3, -1/2+1, -1/2+2) = (2, 1/2, 3/2)$ है।
चूंकि $M$,$P_0Q$ का मध्यबिंदु है,यदि $Q = (x,y,z)$ है,तो $\frac{x+2}{2} = 2, \frac{y+3}{2} = 1/2, \frac{z-1}{2} = 3/2$ होगा।
$x+2 = 4 \implies x=2$; $y+3 = 1 \implies y=-2$; $z-1 = 3 \implies z=4$. अतः $Q = (2, -2, 4)$ है।
समतल $P$,रेखा $L$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2,1,1)$ है।
$Q(2, -2, 4)$ से गुजरने वाले समतल $P$ का समीकरण $2(x-2) + 1(y+2) + 1(z-4) = 0$ है।
$2x - 4 + y + 2 + z - 4 = 0 \implies 2x + y + z - 6 = 0$.
विकल्पों की जांच करने पर: $(1,2,2)$ के लिए,$2(1) + 2 + 2 - 6 = 2+2+2-6 = 0$ है। अतः,$(1,2,2)$ समतल पर स्थित है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति रीमान योग के रूप में है: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f\left(\frac{5r}{n}\right)$.
इसे निश्चित समाकल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $I = \int_{0}^{1} f(5x) \,dx$.
$f(x) = x+1$ रखने पर,हमें $f(5x) = 5x+1$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{0}^{1} (5x+1) \,dx$.
समाकल का मान ज्ञात करने पर: $I = \left[ \frac{5x^2}{2} + x \right]_{0}^{1}$.
$I = \left( \frac{5(1)^2}{2} + 1 \right) - (0) = \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right) d x=\sqrt{e^{2 x}-1} \,d y$।
मान लीजिए $\cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)=\theta$,जहाँ $\theta \in[0, \pi]$।
तब $\cos \theta = e^{-x}$। सर्वसमिका $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + e^{-x} = \frac{e^x + 1}{e^x}$।
अतः,$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}}$।
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^{2x} - 1} dy$।
चूंकि $\sqrt{e^{2x} - 1} = \sqrt{(e^x - 1)(e^x + 1)}$,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} \sqrt{e^x + 1} dy$।
$\sqrt{e^x + 1}$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} dy$,जो सरल होकर $\frac{dx}{\sqrt{2} \sqrt{e^x(e^x - 1)}} = dy$ हो जाता है।
मान लीजिए $e^x = t$,तब $e^x dx = dt \Rightarrow dx = \frac{dt}{t}$।
अतः,$\int \frac{dt}{\sqrt{2} t \sqrt{t(t-1)}} = \int dy$।
मान लीजिए $t = \frac{1}{z}$,तब $dt = -\frac{1}{z^2} dz$।
प्रतिस्थापित करने पर: $\int \frac{-dz/z^2}{\sqrt{2} (1/z) \sqrt{1/z^2 - 1/z}} = \int dy \Rightarrow -\int \frac{dz}{\sqrt{2} \sqrt{1-z}} = y + C$।
समाकलन करने पर: $\sqrt{2} \sqrt{1-z} = y + C \Rightarrow \sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + C$।
$x=0, y=-1$ पर: $\sqrt{2} \sqrt{1 - 1} = -1 + C \Rightarrow C = 1$।
अतः,$\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + 1$।
$x$-अक्ष प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, 0)$ के लिए,$y=0$ रखने पर: $\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-\alpha}} = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2(1 - e^{-\alpha}) = 1 \Rightarrow 1 - e^{-\alpha} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{-\alpha} = \frac{1}{2}$।
अतः,$e^{\alpha} = 2$।

(C) मान लीजिए $f(t) = t^3 - 6t^2 + 9t - 3$.
तब $f'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$.
क्रांतिक बिंदु $t=1$ और $t=3$ हैं।
$f(0) = -3$,$f(1) = 1 - 6 + 9 - 3 = 1$,और $f(3) = 27 - 54 + 27 - 3 = -3$.
$0 \leq x \leq 1$ के लिए,$f(t)$ वर्धमान फलन है,इसलिए $\max_{0 \leq t \leq x} f(t) = f(x)$.
$1 < x \leq 3$ के लिए,$[0, x]$ पर $f(t)$ का अधिकतम मान $f(1) = 1$ है।
अतः,$g(x) = \begin{cases} x^3 - 6x^2 + 9x - 3 & , 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & , 1 < x \leq 3 \\ 4 - x & , 3 < x \leq 4 \end{cases}$.
अब अवकलनीयता की जाँच करें:
$x=1$ पर: $g'(1^-) = f'(1) = 0$ और $g'(1^+) = 0$. अतः $g(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय है।
$x=3$ पर: $g(3^-) = 1$ और $g(3^+) = 4-3 = 1$. $g(x)$,$x=3$ पर संतत है।
$g'(3^-) = 0$ और $g'(3^+) = -1$. चूँकि $g'(3^-) \neq g'(3^+)$,इसलिए $g(x)$,$x=3$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,अंतराल $(0,4)$ में केवल $1$ बिंदु ऐसा है जहाँ $g(x)$ अवकलनीय नहीं है।

(D) सबसे पहले,दी गई शर्तों के आधार पर आव्यूह $A$ का निर्माण करते हैं:
$i=1, j=2$ के लिए: $i < j \implies a_{12} = (-1)^{2-1} = -1$
$i=1, j=3$ के लिए: $i < j \implies a_{13} = (-1)^{3-1} = 1$
$i=2, j=1$ के लिए: $i > j \implies a_{21} = (-1)^{2+1} = -1$
$i=2, j=3$ के लिए: $i < j \implies a_{23} = (-1)^{3-2} = -1$
$i=3, j=1$ के लिए: $i > j \implies a_{31} = (-1)^{3+1} = 1$
$i=3, j=2$ के लिए: $i > j \implies a_{32} = (-1)^{3+2} = -1$
विकर्ण अवयव $a_{ii} = 2$ हैं।
अतः,$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|A| = 2(4-1) - (-1)(-2+1) + 1(1-2) = 2(3) - 1 - 1 = 6 - 2 = 4$ है।
हमें $\det(3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1}))$ का मान ज्ञात करना है।
सारणिक के गुणों का उपयोग करते हुए: $n \times n$ आव्यूह के लिए $|kM| = k^n |M|$ और $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ होता है।
यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 3^3 |\operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 27 |2 A^{-1}|^{3-1} = 27 |2 A^{-1}|^2$।
चूंकि $|2 A^{-1}| = 2^3 |A^{-1}| = 8 \cdot \frac{1}{|A|} = \frac{8}{4} = 2$ है।
इसलिए,$|3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 27 \cdot (2)^2 = 27 \cdot 4 = 108$।

(A) दिया गया है $\vec{v}_{1} = \sqrt{3} p \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{v}_{2} = 2 \hat{i} + (p + 1) \hat{j}$.
चूंकि घूर्णन सदिश के परिमाण को संरक्षित करता है,$|\vec{v}_{1}| = |\vec{v}_{2}|$.
$(\sqrt{3}p)^2 + 1^2 = 2^2 + (p + 1)^2$
$3p^2 + 1 = 4 + p^2 + 2p + 1$
$2p^2 - 2p - 4 = 0 \Rightarrow p^2 - p - 2 = 0$.
$p$ के लिए हल करने पर,$(p - 2)(p + 1) = 0$. चूंकि $p > 0$,इसलिए $p = 2$.
अतः,$\vec{v}_{1} = 2\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{v}_{2} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j}$.
$|\vec{v}_{1}| = \sqrt{13}$ और $|\vec{v}_{2}| = \sqrt{13}$.
$\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2} = |\vec{v}_{1}| |\vec{v}_{2}| \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$(2\sqrt{3})(2) + (1)(3) = 13 \cos \theta$.
$4\sqrt{3} + 3 = 13 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{4\sqrt{3} + 3}{13}$.
$\sin \theta = \frac{6\sqrt{3} - 2}{13}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{6\sqrt{3} - 2}{4\sqrt{3} + 3}$.
$\frac{\alpha \sqrt{3} - 2}{4\sqrt{3} + 3}$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 6$ प्राप्त होता है।

(A) $x > 0$ के लिए,$f'(x) = -4x^2 + 4x + 3$ है।
$f'(x) > 0$ रखने पर,हमें $-4x^2 + 4x + 3 > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4x^2 - 4x - 3 < 0$।
गुणनखंड करने पर $(2x - 3)(2x + 1) < 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$।
चूंकि $x > 0$ है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ में वर्धमान है।
$x \leq 0$ के लिए,$f'(x) = 3e^x + 3xe^x = 3e^x(1 + x)$ है।
$f'(x) > 0$ रखने पर,चूंकि सभी $x$ के लिए $3e^x > 0$ है,इसलिए $1 + x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > -1$।
अतः,$x \leq 0$ के लिए,$f(x)$ अंतराल $(-1, 0]$ में वर्धमान है।
दोनों अंतरालों को मिलाने पर,$f(x)$ अंतराल $(-1, 0] \cup (0, \frac{3}{2}) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$ में वर्धमान है।

(C) दिया गया है कि $A = [a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसमें प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग $1$ है।
मान लीजिए $X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
तब $AX = \begin{bmatrix} a_{11} + a_{12} + a_{13} \\ a_{21} + a_{22} + a_{23} \\ a_{31} + a_{32} + a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = X$ है।
अतः,$AX = X$ है।
दोनों पक्षों को $A$ से गुणा करने पर,हमें $A^2X = A(AX) = AX = X$ प्राप्त होता है।
पुनः $A$ से गुणा करने पर,हमें $A^3X = A(A^2X) = AX = X$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $A^3 = [b_{ij}]$ है। तब $A^3X = \begin{bmatrix} b_{11} + b_{12} + b_{13} \\ b_{21} + b_{22} + b_{23} \\ b_{31} + b_{32} + b_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
$A^3$ के सभी अवयवों का योग $(b_{11} + b_{12} + b_{13}) + (b_{21} + b_{22} + b_{23}) + (b_{31} + b_{32} + b_{33}) = 1 + 1 + 1 = 3$ है।

(B) माना $I = \int_{0}^{100 \pi} \frac{\sin ^{2} x}{e^{\left(\frac{x}{\pi}-\left[\frac{x}{\pi}\right]\right)}} d x$.
चूंकि फलन $f(x) = \frac{\sin^2 x}{e^{\left(\frac{x}{\pi}-\left[\frac{x}{\pi}\right]\right)}}$ का आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए $I = 100 \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{e^{x/\pi}} dx$.
$I = 100 \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right) dx = 50 \left[ \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} dx - \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} \cos 2x dx \right]$.
माना $I_1 = \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} dx = [-\pi e^{-x/\pi}]_0^{\pi} = \pi(1-e^{-1})$.
माना $I_2 = \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} \cos 2x dx$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$I_2 = [-\pi e^{-x/\pi} \cos 2x]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \pi e^{-x/\pi} (2 \sin 2x) dx = \pi(1-e^{-1}) - 2\pi \int_0^{\pi} e^{-x/\pi} \sin 2x dx$.
दूसरे भाग का पुनः समाकलन करने पर,$\int_0^{\pi} e^{-x/\pi} \sin 2x dx = [-\pi e^{-x/\pi} \sin 2x]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \pi e^{-x/\pi} (2 \cos 2x) dx = 2\pi I_2$.
अतः,$I_2 = \pi(1-e^{-1}) - 2\pi(2\pi I_2) = \pi(1-e^{-1}) - 4\pi^2 I_2$.
$I_2(1+4\pi^2) = \pi(1-e^{-1}) \implies I_2 = \frac{\pi(1-e^{-1})}{1+4\pi^2}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,$I = 50 [\pi(1-e^{-1}) - \frac{\pi(1-e^{-1})}{1+4\pi^2}] = 50 \pi(1-e^{-1}) [\frac{4\pi^2}{1+4\pi^2}] = \frac{200(1-e^{-1})\pi^3}{1+4\pi^2}$.
$\frac{\alpha \pi^3}{1+4\pi^2}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 200(1-e^{-1})$ प्राप्त होता है।

(D) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है। सारणिक $|A| = ad - bc$ है।
पासे के $6$ फलकों में से $4$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $6^4 = 1296$ हैं।
हम चाहते हैं कि सभी प्रविष्टियाँ $a, b, c, d$ अलग-अलग हों। ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ में से $4$ अलग संख्याएँ चुनकर उन्हें आव्यूह में व्यवस्थित करने के तरीके $^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ हैं।
आव्यूह के व्युत्क्रमणीय (nonsingular) होने के लिए $|A| \neq 0$,अर्थात $ad \neq bc$ होना चाहिए।
हम उन स्थितियों की गणना करते हैं जहाँ $ad = bc$ है और $a, b, c, d$ अलग-अलग हैं:
$1$. $6 \times 1 = 2 \times 3$: समुच्चय ${1, 2, 3, 6}$ है। $ad=bc$ होने वाली व्यवस्थाएँ $(6, 2, 3, 1), (6, 3, 2, 1), (1, 2, 3, 6), (1, 3, 2, 6), (2, 6, 1, 3), (3, 6, 1, 2), (2, 1, 6, 3), (3, 1, 6, 2)$ हैं। कुल $8$ स्थितियाँ।
$2$. $6 \times 2 = 3 \times 4$: समुच्चय ${2, 3, 4, 6}$ है। $ad=bc$ होने वाली व्यवस्थाएँ $(6, 3, 4, 2), (6, 4, 3, 2), (2, 3, 4, 6), (2, 4, 3, 6), (3, 6, 2, 4), (4, 6, 2, 3), (3, 2, 6, 4), (4, 2, 6, 3)$ हैं। कुल $8$ स्थितियाँ।
$ad = bc$ वाली कुल स्थितियाँ $8 + 8 = 16$ हैं।
अनुकूल स्थितियाँ = (अलग प्रविष्टियों के साथ कुल तरीके) - ($ad = bc$ वाली स्थितियाँ) = $360 - 16 = 344$.
आवश्यक प्रायिकता = $\frac{344}{1296} = \frac{43}{162}$.

(B) दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ और $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ है।
चूंकि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$,$\vec{c}$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है।
चूंकि $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$,$\vec{a}$ सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं।
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{c}| \implies 2|\vec{b}| = |\vec{c}|$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{a}| \implies |\vec{b}||\vec{c}| = 2$.
$|\vec{c}| = 2|\vec{b}|$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\vec{b}|(2|\vec{b}|) = 2 \implies |\vec{b}|^2 = 1 \implies |\vec{b}| = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए $|\vec{c}| = 2(1) = 2$ है।
$(A)$ $(\vec{b} \times \vec{c})$ पर $\vec{a}$ का प्रक्षेप $= \frac{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = |\vec{a}| = 2$ है। (सत्य)
$(B)$ $|3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}|^2 = (3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) \cdot (3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) = 9|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 = 9(4) + 1 + 4(4) = 36 + 1 + 16 = 53 \neq 51$ है। (असत्य)
$(C)$ $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{c} \vec{a} \vec{b}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})) = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2|\vec{a}|^2 = 2(4) = 8$ है। (सत्य)
$(D)$ $\vec{a} \times ((\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{b} - \vec{c})) = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\vec{0} - \vec{a} - \vec{a} - \vec{0}) = \vec{a} \times (-2\vec{a}) = -2(\vec{a} \times \vec{a}) = \vec{0}$ है। (सत्य)

(B) समतलों के समीकरण $P_{1}: x-y+2 z=2$ और $P_{2}: 2 x+y-z=2$ हैं।
मान लीजिए कि समतलों $P_{1}$ और $P_{2}$ की प्रतिच्छेदन रेखा $xy$-समतल को बिंदु $Q$ पर काटती है।
दोनों समीकरणों में $z=0$ रखने पर,हमें $x-y=2$ और $2x+y=2$ प्राप्त होता है। इन्हें जोड़ने पर,$3x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{3}$,और $y=x-2 = \frac{4}{3}-2 = -\frac{2}{3}$।
अतः,$Q = (\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, 0)$।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{a}$,अभिलंबों $\vec{n}_{1} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{n}_{2} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ का सदिश गुणनफल है।
$\vec{a} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-2) - \hat{j}(-1-4) + \hat{k}(1+2) = -\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$।
रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-4/3}{-1} = \frac{y+2/3}{5} = \frac{z}{3} = \lambda$ है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $F$,$(-\lambda + 4/3, 5\lambda - 2/3, 3\lambda)$ के रूप में है।
मान लीजिए $A = (1, 2, 0)$। सदिश $\vec{AF} = (-\lambda + 4/3 - 1, 5\lambda - 2/3 - 2, 3\lambda - 0) = (-\lambda + 1/3, 5\lambda - 8/3, 3\lambda)$।
चूंकि $AF \perp L$,इसलिए $\vec{AF} \cdot \vec{a} = 0$।
$(-\lambda + 1/3)(-1) + (5\lambda - 8/3)(5) + (3\lambda)(3) = 0$।
$\lambda - 1/3 + 25\lambda - 40/3 + 9\lambda = 0$।
$35\lambda - 41/3 = 0 \Rightarrow 35\lambda = 41/3 \Rightarrow \lambda = 41/105$।
लंब का पाद $P(\alpha, \beta, \gamma)$ के निर्देशांक $F$ हैं।
$\alpha + \beta + \gamma = (-\lambda + 4/3) + (5\lambda - 2/3) + 3\lambda = 7\lambda + 2/3$।
$35(\alpha + \beta + \gamma) = 35(7\lambda + 2/3) = 245\lambda + 70/3$।
$\lambda = 41/105$ रखने पर: $245(41/105) + 70/3 = (49 \times 41)/21 + 70/3 = (7 \times 41)/3 + 70/3 = 287/3 + 70/3 = 357/3 = 119$।

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{x^3}{(1-\cos 2x)^2} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$।
चूंकि $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$,इसलिए $(1-\cos 2x)^2 = 4\sin^4 x$ होगा।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{4\sin^4 x} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$।
जब $x \rightarrow 0$ हो,तो $\sin x \approx x$ का उपयोग करने पर,$\frac{x^3}{4\sin^4 x} \approx \frac{x^3}{4x^4} = \frac{1}{4x}$ प्राप्त होता है।
अब,$\ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right) = \ln(1+2xe^{-2x}) - 2\ln(1-xe^{-x})$।
छोटे $u$ के लिए $\ln(1+u) \approx u$ का उपयोग करने पर,हमें $2xe^{-2x} - 2(-xe^{-x}) = 2xe^{-2x} + 2xe^{-x}$ मिलता है।
जैसे-जैसे $x \rightarrow 0$ होता है,$e^{-2x} \rightarrow 1$ और $e^{-x} \rightarrow 1$,इसलिए व्यंजक $2x + 2x = 4x$ बन जाता है।
इस प्रकार,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{4x} \cdot (4x) = 1$।

(B) चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ समतलीय है,हम $\vec{a} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c}$ लिख सकते हैं।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{a} = \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (2\lambda + \mu) \hat{i} + (\lambda - \mu) \hat{j} + (\lambda + \mu) \hat{k}$।
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,जहाँ $\vec{d} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$:
$3(2\lambda + \mu) + 2(\lambda - \mu) + 6(\lambda + \mu) = 0$
$6\lambda + 3\mu + 2\lambda - 2\mu + 6\lambda + 6\mu = 0$
$14\lambda + 7\mu = 0 \implies \mu = -2\lambda$।
$\mu$ को $\vec{a}$ में वापस रखने पर: $\vec{a} = (2\lambda - 2\lambda) \hat{i} + (\lambda - (-2\lambda)) \hat{j} + (\lambda - 2\lambda) \hat{k} = 0 \hat{i} + 3\lambda \hat{j} - \lambda \hat{k}$।
दिया गया है कि $|\vec{a}| = \sqrt{10}$,इसलिए $\sqrt{0^2 + (3\lambda)^2 + (-\lambda)^2} = \sqrt{10} \implies \sqrt{10\lambda^2} = \sqrt{10} \implies |\lambda| = 1$।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय हैं,$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
व्यंजक $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] + [\vec{a} \vec{c} \vec{d}] = [\vec{a} \vec{b} + \vec{c} \vec{d}]$ बन जाता है।
$\vec{b} + \vec{c} = 3 \hat{i} + 0 \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\vec{a} = 3\lambda \hat{j} - \lambda \hat{k}$ का उपयोग करने पर:
$[\vec{a} \vec{b} + \vec{c} \vec{d}] = \begin{vmatrix} 0 & 3\lambda & -\lambda \\ 3 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 6 \end{vmatrix} = 0(0 - 4) - 3\lambda(18 - 6) - \lambda(6 - 0) = -3\lambda(12) - 6\lambda = -42\lambda$।
$\lambda = 1$ के लिए,मान $-42$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\operatorname{cosec}^{2} x \, dy + 2 \, dx = (1+y \cos 2x) \operatorname{cosec}^{2} x \, dx$.
$\operatorname{cosec}^{2} x \, dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + 2 \sin^{2} x = 1 + y \cos 2x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - y \cos 2x = 1 - 2 \sin^{2} x$.
चूँकि $1 - 2 \sin^{2} x = \cos 2x$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{dy}{dx} - y \cos 2x = \cos 2x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\cos 2x$ और $Q(x) = \cos 2x$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\cos 2x \, dx} = e^{-\frac{\sin 2x}{2}}$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) \, dx + C$ है।
$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = \int \cos 2x \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} \, dx + C$.
माना $u = -\frac{\sin 2x}{2}$,तो $du = -\cos 2x \, dx$.
अतः,$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = -\int e^u \, du + C = -e^{-\frac{\sin 2x}{2}} + C$.
दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{4}) = 0$,इसलिए $0 = -e^{-\frac{\sin(\pi/2)}{2}} + C = -e^{-1/2} + C$,जिससे $C = e^{-1/2}$.
इस प्रकार,$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = -e^{-\frac{\sin 2x}{2}} + e^{-1/2}$.
$x = 0$ पर,$y \cdot e^0 = -e^0 + e^{-1/2}$,जिससे $y(0) = -1 + e^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(y(0) + 1)^{2} = (-1 + e^{-1/2} + 1)^{2} = (e^{-1/2})^{2} = e^{-1}$.

(D) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_1, D_2, D_3)$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,$D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 1(5\lambda - 10) - 1(3\lambda - 5) + 1(6 - 5) = 2\lambda - 4$.
$D = 0$ रखने पर,हमें $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$\lambda = 2$ को समीकरणों में रखने पर:
$x + y + z = 6$ (समी. $1$)
$3x + 5y + 5z = 26$ (समी. $2$)
$x + 2y + 2z = \mu$ (समी. $3$)
समी. $2$ में से $3 \times$ समी. $1$ घटाने पर: $2y + 2z = 8 \implies y + z = 4$।
समी. $3$ में से समी. $1$ घटाने पर: $y + z = \mu - 6$।
कोई हल न होने के लिए,$4 \neq \mu - 6$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\mu \neq 10$।
अतः,कोई हल न होने की शर्त $\lambda = 2$ और $\mu \neq 10$ है।

(B) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पालन करना आवश्यक है:
$1$. $\cos^{-1}$ का तर्क (argument) $[0, 1]$ में होना चाहिए: $0 \leq \sqrt{x^2-x+1} \leq 1$.
वर्ग करने पर $0 \leq x^2-x+1 \leq 1$ प्राप्त होता है।
$x^2-x+1 \leq 1 \Rightarrow x^2-x \leq 0 \Rightarrow x(x-1) \leq 0 \Rightarrow x \in [0, 1]$.
$2$. हर शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $\sin^{-1}(\frac{2x-1}{2}) > 0$.
चूंकि $\sin^{-1}$ का परिसर (range) $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए हमें $\frac{2x-1}{2} \leq 1$ की भी आवश्यकता है।
अतः,$0 < \frac{2x-1}{2} \leq 1$.
$0 < 2x-1 \leq 2$.
$1 < 2x \leq 3$.
$\frac{1}{2} < x \leq \frac{3}{2}$.
$x \in [0, 1]$ और $x \in (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर,हमें $x \in (\frac{1}{2}, 1]$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha = \frac{1}{2}$ और $\beta = 1$.
अतः,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

(C) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_{1}: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{3}$. बिंदु $P_{1} = (1, 2, 1)$,दिशा सदिश $\vec{v}_{1} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
$L_{2}: \frac{x-2}{1} = \frac{y-\lambda}{2} = \frac{z-3}{4}$. बिंदु $P_{2} = (2, \lambda, 3)$,दिशा सदिश $\vec{v}_{2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
मान लीजिए $\vec{a} = P_{2} - P_{1} = (2-1)\hat{i} + (\lambda-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} + (\lambda-2)\hat{j} + 2\hat{k}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{a} \cdot (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2})|}{|\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}|}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-6) - \hat{j}(8-3) + \hat{k}(4-1) = -2\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
परिमाण $|\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$.
अब,$\vec{a} \cdot (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}) = (1)(-2) + (\lambda-2)(-5) + (2)(3) = -2 - 5\lambda + 10 + 6 = 14 - 5\lambda$.
दिया गया है $d = \frac{1}{\sqrt{38}}$,इसलिए $\frac{|14 - 5\lambda|}{\sqrt{38}} = \frac{1}{\sqrt{38}}$.
$|14 - 5\lambda| = 1$.
स्थिति $1$: $14 - 5\lambda = 1 \Rightarrow 5\lambda = 13 \Rightarrow \lambda = 2.6$.
स्थिति $2$: $14 - 5\lambda = -1 \Rightarrow 5\lambda = 15 \Rightarrow \lambda = 3$.
चूंकि हमें $\lambda$ का पूर्णांक मान चाहिए,इसलिए उत्तर $3$ है।

(B) माना $Y = y+1$ और $X = x+2$ है। तब $dY = dy$ और $dX = dx$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $(X e^{Y/X} + Y) dX = X dY$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $X dY - Y dX = X e^{Y/X} dX$ मिलता है।
$X^2$ से भाग देने पर: $\frac{X dY - Y dX}{X^2} = \frac{e^{Y/X}}{X} dX$ प्राप्त होता है।
यह $d(\frac{Y}{X}) = e^{Y/X} \frac{dX}{X}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-Y/X} d(Y/X) = \int \frac{dX}{X} \Rightarrow -e^{-Y/X} = \ln|X| + C$ मिलता है।
$y(1)=1$ का उपयोग करने पर,$Y=2$ और $X=3$ प्राप्त होता है: $-e^{-2/3} = \ln|3| + C$,अतः $C = -e^{-2/3} - \ln 3$ है।
इस प्रकार,$-e^{-(y+1)/(x+2)} = \ln|x+2| - e^{-2/3} - \ln 3$ है।
$e^{-(y+1)/(x+2)} = e^{-2/3} + \ln 3 - \ln|x+2|$ है।
हल के अस्तित्व के लिए,$e^{-2/3} + \ln 3 - \ln|x+2| > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\ln|x+2| < e^{-2/3} + \ln 3$ है।
माना $k = e^{-2/3} + \ln 3$ है। तब $|x+2| < e^k$,जिसका अर्थ है $-e^k - 2 < x < e^k - 2$ है।
अतः $\alpha = -e^k - 2$ और $\beta = e^k - 2$ है।
तब $\alpha + \beta = -4$,इसलिए $|\alpha + \beta| = 4$ है।

(C) दी गई शर्त $f(1) + f(2) = 3 - f(3)$ को $f(1) + f(2) + f(3) = 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $f$ समुच्चय $A$ से $A$ तक एक आच्छादक फलन है,इसलिए $f(1), f(2), f(3)$ को समुच्चय $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ के भिन्न अवयव होने चाहिए।
$3$ का योग देने वाले केवल तीन भिन्न अऋणात्मक पूर्णांक $0, 1$ और $2$ हैं।
अतः,$\{f(1), f(2), f(3)\}$ का समुच्चय $\{0, 1, 2\}$ होना चाहिए।
इन $3$ मानों को $f(1), f(2)$ और $f(3)$ को आवंटित करने के तरीकों की संख्या $3! = 6$ है।
प्रांत के शेष $5$ अवयवों $\{0, 4, 5, 6, 7\}$ को सह-प्रांत के शेष $5$ अवयवों $\{3, 4, 5, 6, 7\}$ के साथ प्रतिचित्रित करना होगा।
इनके प्रतिचित्रण के तरीकों की संख्या $5! = 120$ है।
इसलिए,कुल आच्छादक फलनों की संख्या $3! \times 5! = 6 \times 120 = 720$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = 3(1 - \frac{|x|}{2})$ जब $|x| \leq 2$ और अन्यथा $0$ है।
$f(x+2) = 3(1 - \frac{|x+2|}{2})$ जब $|x+2| \leq 2$ (अर्थात $-4 \leq x \leq 0$) और अन्यथा $0$ है।
$f(x-2) = 3(1 - \frac{|x-2|}{2})$ जब $|x-2| \leq 2$ (अर्थात $0 \leq x \leq 4$) और अन्यथा $0$ है।
अतः,$g(x) = f(x+2) - f(x-2)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$g(x) = \begin{cases} 3(1 - \frac{|x+2|}{2}) & -4 \leq x < 0 \\ -3(1 - \frac{|x-2|}{2}) & 0 \leq x \leq 4 \\ 0 & \text{अन्यथा} \end{cases}$
$g(x)$ का सरलीकरण:
$g(x) = \begin{cases} \frac{3x}{2} + 6 & -4 \leq x \leq -2 \\ -\frac{3x}{2} & -2 < x < 2 \\ \frac{3x}{2} - 6 & 2 \leq x \leq 4 \\ 0 & \text{अन्यथा} \end{cases}$
सांतत्य की जाँच: फलन $g(x)$ हर जगह संतत है क्योंकि $x = -4, -2, 2, 4$ पर सीमाएँ फलन के मानों से मेल खाती हैं (सभी सीमाओं पर $0$ है)।
अतः,$n = 0$.
अवकलनीयता की जाँच: फलन $g(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ ढाल अचानक बदलती है: $x = -4, -2, 2, 4$.
अतः,$m = 4$.
इसलिए,$n + m = 0 + 4 = 4$.

(B) मान लीजिए आव्यूह $B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है कि $AB = BA$,इसलिए:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
$\begin{bmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b & a & c \\ e & d & f \\ h & g & i \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$d = b, e = a, f = c, g = h$
अतः,आव्यूह $B$ का रूप इस प्रकार है:
$B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & a & c \\ g & g & i \end{bmatrix}$
चूंकि प्रत्येक अवयव $a, b, c, g, i$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से चुना जा सकता है,इसलिए $5$ स्वतंत्र चरों में से प्रत्येक के लिए $5$ विकल्प हैं।
आव्यूहों $B$ की कुल संख्या $= 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 = 3125$.

(B) वक्र $x^2 = 1 - 2y$,$x = \frac{4-y^2}{4}$ और $x = \frac{y^2-4}{4}$ हैं।
ऊपरी अर्ध-तल $(y \ge 0)$ के लिए,क्षेत्र दाईं ओर $x = \frac{4-y^2}{4}$,बाईं ओर $x = \frac{y^2-4}{4}$ और नीचे $y = \frac{1-x^2}{2}$ से घिरा हुआ है।
$y$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{2} \left( \frac{4-y^2}{4} \right) dy - 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1-x^2}{2} \right) dx$ है।
$= 2 \left[ y - \frac{y^3}{12} \right]_{0}^{2} - 2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{1}$
$= 2 \left( 2 - \frac{8}{12} \right) - 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)$
$= 2 \left( \frac{4}{3} \right) - 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2 \, sq. \, units$.