मान लीजिए कि S,बिंदु Q(1,3,4) का समतल 2x-y+z+ | vedclass

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Question

(A) चूंकि $R(3,5,\gamma)$ समतल $2x-y+z+3=0$ पर स्थित है,इसलिए:$2(3) - 5 + \gamma + 3 = 0$$6 - 5 + \gamma + 3 = 0$$4 + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma =

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$72$

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(A) चूंकि $R(3,5,\gamma)$ समतल $2x-y+z+3=0$ पर स्थित है,इसलिए:$2(3) - 5 + \gamma + 3 = 0$$6 - 5 + \gamma + 3 = 0$$4 + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = -4$.अतः,$R$ बिंदु $(3,5,-4)$ है।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, 1)$ है। रेखा $QS$,$Q(1,3,4)$ से गुजरती है और $\vec{n}$ के समानांतर है।रेखा $QS$ का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{1} = \lambda$ है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $F(2\lambda+1, -\lambda+3, \lambda+4)$ है।चूंकि $F$,$Q$ से समतल पर डाले गए लंब का पाद है,यह समतल पर स्थित है:$2(2\lambda+1) - (-\lambda+3) + (\lambda+4) + 3 = 0$$4\lambda + 2 + \lambda - 3 + \lambda + 4 + 3 = 0$$6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.$\lambda = -1$ को $F$ में रखने पर,हमें $F(-1, 4, 3)$ प्राप्त होता है।चूंकि $F$,$QS$ का मध्य-बिंदु है,मान लीजिए $S = (x_s, y_s, z_s)$:$\frac{x_s+1}{2} = -1 \Rightarrow x_s = -3$$\frac{y_s+3}{2} = 4 \Rightarrow y_s = 5$$\frac{z_s+4}{2} = 3 \Rightarrow z_s = 2$.अतः,$S = (-3, 5, 2)$.रेखाखंड $SR$ की लंबाई का वर्ग:$SR^2 = (3 - (-3))^2 + (5 - 5)^2 + (-4 - 2)^2$$SR^2 = (6)^2 + (0)^2 + (-6)^2 = 36 + 0 + 36 = 72$.

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रेखाओं $OA$ और $OB$ के दिक-अनुपात $1, -2, -1$ और $3, -2, 3$ हैं। तो समतल $AOB$ के अभिलंब की दिक-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए,जहाँ $O$ मूलबिंदु है।

$(1, 0, 0)$ और $(0, 1, 0)$ से गुजरने वाले उस समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात ज्ञात कीजिए जो समतल $x + y = 3$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है।

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यदि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो सदिश समीकरण $\overrightarrow{r}=(1-p-q) \overrightarrow{a}+p \overrightarrow{b}+q \overrightarrow{c}$ क्या दर्शाता है?

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