मान लीजिए a_{1}, a_{2}, ldots, a_{21} एक A.P. | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{4}{9}$.चूंकि $a_{n+1} = a_{n} + d$,इसलिए $\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{1}{d} \left

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$72$

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(B) दिया गया है $\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{4}{9}$.चूंकि $a_{n+1} = a_{n} + d$,इसलिए $\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n+1}} ight)$.अतः,$\frac{1}{d} \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n+1}} ight) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{21}} ight) = \frac{4}{9}$.$\frac{1}{d} \left( \frac{a_{21} - a_{1}}{a_{1} a_{21}} ight) = \frac{1}{d} \left( \frac{20d}{a_{1} a_{21}} ight) = \frac{20}{a_{1} a_{21}} = \frac{4}{9} \implies a_{1} a_{21} = 45$.$21$ पदों का योग $S_{21} = \frac{21}{2} (a_{1} + a_{21}) = 189 \implies a_{1} + a_{21} = 18$.हमारे पास $a_{1} + a_{21} = 18$ और $a_{1} a_{21} = 45$ है। समीकरण $x^{2} - 18x + 45 = 0$ के मूल $a_{1}, a_{21}$ हैं।$(x - 15)(x - 3) = 0 \implies \{a_{1}, a_{21}\} = \{3, 15\}$.स्थिति $1$: $a_{1} = 3, a_{21} = 15 \implies 3 + 20d = 15 \implies d = 0.6$.स्थिति $2$: $a_{1} = 15, a_{21} = 3 \implies 15 + 20d = 3 \implies d = -0.6$.$a_{6} a_{16} = (a_{1} + 5d)(a_{1} + 15d)$.स्थिति $1$ के लिए: $(3 + 5(0.6))(3 + 15(0.6)) = (3 + 3)(3 + 9) = 6 	imes 12 = 72$.स्थिति $2$ के लिए: $(15 + 5(-0.6))(15 + 15(-0.6)) = (15 - 3)(15 - 9) = 12 	imes 6 = 72$.अतः,$a_{6} a_{16} = 72$.

मान लीजिए $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{21}$ एक $A.P.$ है ताकि $\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{4}{9}$ हो। यदि इस $A.P.$ का योग $189$ है,तो $a_{6} a_{16}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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