माना a _{1}, a _{2}, ldots ldots, a _{21} समा | vedclass

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Question

$\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+d\right)}$

$=\frac{1}{d} \sum_{n=1}^{20}\left(\frac{1}{a_{n}}-\f

Vedclass · Accepted Answer

$72$

Vedclass · Answer

$\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+dight)}$

$=\frac{1}{d} \sum_{n=1}^{20}\left(\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n}+d}ight)$

$\Rightarrow \frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{21}}ight)=\frac{4}{9} 	ext { (Given) }$

$\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{~d}}\left(\frac{\mathrm{a}_{21}-\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{21}}ight)=\frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{~d}}\left(\frac{\mathrm{a}_{1}+20 \mathrm{~d}-\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}}ight)=\frac{4}{9}$$\Rightarrow \mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}=45 \ldots (1)$

Now sum of first $21$ terms $=\frac{21}{2}\left(2 \mathrm{a}_{1}+20 \mathrm{~d}ight)=189$

$\Rightarrow a_{1}+10 d=9 \ldots (2)$

For equation $(1) \,\&\,(2)$ we get

$a_{1}=3\,\&\, d=\frac{3}{5}$

OR

$a_{1}=15\, \&\, d=-\frac{3}{5}$

$\mathrm{So}, a_{6} \cdot \mathrm{a}_{16}=\left(\mathrm{a}_{1}+5 \mathrm{~d}ight)\left(\mathrm{a}_{1}+15 \mathrm{~d}ight)$

$\Rightarrow \mathrm{a}_{6} \mathrm{a}_{16}=72$

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माना कि किसी समांतर श्रेणी के $n, 2 n,$ तथा $3 n$ पदों का योगफल क्रमशः $S _{1}, S _{2}$ तथा $S _{3}$ है तो दिखाइए कि $S _{3}=3\left( S _{2}- S _{1}\right)$

$1$ व $100$ के बीच के उन सभी पूर्णाकों का योगफल जो कि $3$ व $5$ से विभाजित न हों

$1$ से $100$ तक के $2$ या $5$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग है

श्रेणियों $ S_1=3+7+11+15+19+\ldots \ldots $ $ S_2=1+6+11+16+21+\ldots $ का $8$ वाँ उभयनिष्ठ पद है।