JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
प्रथम वक्र $\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 1$ के लिए,$(x_1, y_1)$ पर ढाल $m_1 = -\frac{bx_1}{ay_1}$ है।
दूसरे वक्र $\frac{x^2}{c} + \frac{y^2}{d} = 1$ के लिए,$(x_1, y_1)$ पर ढाल $m_2 = -\frac{dx_1}{cy_1}$ है।
चूंकि वक्र $90^{\circ}$ पर काटते हैं,इसलिए $m_1 m_2 = -1$ होगा।
$(-\frac{bx_1}{ay_1})(-\frac{dx_1}{cy_1}) = -1 \Rightarrow \frac{bd x_1^2}{ac y_1^2} = -1$ प्राप्त होता है।
दोनों वक्रों के समीकरणों को घटाने पर: $x_1^2(\frac{c-a}{ac}) + y_1^2(\frac{d-b}{bd}) = 0$।
इसे हल करने पर $a-b = c-d$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया सीमा $1^{\infty}$ के रूप में है।
माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{H_n}{n^{2}}\right)^{n}$,जहाँ $H_n = 1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ है।
सूत्र $\lim _{n \rightarrow \infty}(1+f(n))^{g(n)} = e^{\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)g(n)}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = \exp \left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{H_n}{n^2} \cdot n\right) = \exp \left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{H_n}{n}\right)$.
हम जानते हैं कि $H_n \approx \ln(n) + \gamma$ (जहाँ $\gamma$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है)।
अतः,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln(n) + \gamma}{n} = 0$.
इसलिए,$L = e^0 = 1$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ है।
समान मूलों के लिए विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए,अर्थात $b^{2} - 4ac = 0$,जिसका अर्थ है $b^{2} = 4ac$।
पासे को तीन बार फेंकने पर,प्रत्येक चर ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ से मान ले सकता है। कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
हमें ऐसी त्रिक $(a, b, c)$ ज्ञात करनी है जिनके लिए $b^{2} = 4ac$ हो:
$1$. यदि $a=1, c=1$,तो $b^{2} = 4(1)(1) = 4 \Rightarrow b=2$। त्रिक: $(1, 2, 1)$।
$2$. यदि $a=1, c=4$,तो $b^{2} = 4(1)(4) = 16 \Rightarrow b=4$। त्रिक: $(1, 4, 4)$।
$3$. यदि $a=4, c=1$,तो $b^{2} = 4(4)(1) = 16 \Rightarrow b=4$। त्रिक: $(4, 4, 1)$।
$4$. यदि $a=2, c=2$,तो $b^{2} = 4(2)(2) = 16 \Rightarrow b=4$। त्रिक: $(2, 4, 2)$।
$5$. यदि $a=3, c=3$,तो $b^{2} = 4(3)(3) = 36 \Rightarrow b=6$। त्रिक: $(3, 6, 3)$।
कुल अनुकूल परिणाम = $5$।
अतः,आवश्यक प्रायिकता $\frac{5}{216}$ है।

(D) $24$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^{3} \times 3^{1}$ है।
माना $x = 2^{\alpha_{1}} \times 3^{\beta_{1}}$,$y = 2^{\alpha_{2}} \times 3^{\beta_{2}}$,और $z = 2^{\alpha_{3}} \times 3^{\beta_{3}}$,जहाँ $\alpha_{i}, \beta_{i} \ge 0$ है।
चूँकि $xyz = 2^{3} \times 3^{1}$,इसलिए $\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} = 3$ और $\beta_{1} + \beta_{2} + \beta_{3} = 1$ है।
$\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} = 3$ के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{5}{2} = 10$ है।
$\beta_{1} + \beta_{2} + \beta_{3} = 1$ के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{3}{2} = 3$ है।
अतः,कुल धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $10 \times 3 = 30$ है।

(A) द्विघात असमिका $ax^{2}+bx+c > 0$ के प्रत्येक $x \in \mathbb{R}$ के लिए मान्य होने हेतु,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए और $a > 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1 > 0$,इसलिए हमें केवल $D < 0$ की आवश्यकता है।
$D = [-2(3k-1)]^{2} - 4(1)(8k^{2}-7) < 0$
$4(9k^{2}-6k+1) - 4(8k^{2}-7) < 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$9k^{2}-6k+1 - 8k^{2}+7 < 0$
$k^{2}-6k+8 < 0$
$(k-2)(k-4) < 0$
इसका अर्थ है $k \in (2, 4)$।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,अंतराल $(2, 4)$ में एकमात्र पूर्णांक मान $k = 3$ है।

(D) दिया गया कथन $A$ $\rightarrow (B$ $\rightarrow A)$ है।
निगमन नियम $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करने पर:
$A$ $\rightarrow (B$ $\rightarrow A) \equiv \sim A \vee (\sim B \vee A)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों द्वारा:
$\equiv (\sim A \vee A) \vee \sim B$
$\equiv T \vee \sim B \equiv T$ (पुनरुक्ति).
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $D$ है $A \rightarrow (A \vee B) \equiv \sim A \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$.
चूँकि मूल व्यंजक और विकल्प $D$ दोनों पुनरुक्ति हैं,इसलिए वे समतुल्य हैं।

(D) मान लीजिए $a_{n}$ वर्ग $A_{n}$ की भुजा की लंबाई है।
दिया गया है कि $A_{n}$ की भुजा की लंबाई = $A_{n+1}$ का विकर्ण,इसलिए $a_{n} = \sqrt{2} a_{n+1}$,जिसका अर्थ है $a_{n+1} = \frac{a_{n}}{\sqrt{2}}$।
यह भुजा की लंबाई के लिए एक गुणोत्तर श्रेणी बनाता है जिसका प्रथम पद $a_{1} = 12$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
भुजा की लंबाई $a_{n} = a_{1} \times r^{n-1} = 12 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$ है।
$A_{n}$ का क्षेत्रफल $(a_{n})^2 = 144 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{144}{2^{n-1}}$ है।
हम चाहते हैं कि क्षेत्रफल $1$ से कम हो,इसलिए $\frac{144}{2^{n-1}} < 1$।
इसका अर्थ है $2^{n-1} > 144$।
चूंकि $2^{7} = 128$ और $2^{8} = 256$,इसलिए $n-1 \geq 8$ होना चाहिए।
अतः,$n \geq 9$। $n$ का न्यूनतम मान $9$ है।

(A) हमें $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ अंकों का उपयोग करके $3$ अंकों की संख्याएँ बनानी हैं।
$1$. $3$ से विभाज्यता: अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए। संभव त्रिक: $(1, 2, 3), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (3, 4, 5)$। प्रत्येक के $3! = 6$ प्रकार,कुल $24$ संख्याएँ।
$2$. $5$ से विभाज्यता: अंतिम अंक $5$ होना चाहिए। शेष $2$ स्थानों के लिए $4 \times 3 = 12$ संख्याएँ।
$3$. $3$ और $5$ दोनों से विभाज्यता: अंतिम अंक $5$ हो और योग $3$ का गुणज हो। ऐसी संख्याएँ $135, 315, 345, 435$ हैं (कुल $4$)।
$4$. कुल संख्याएँ $= 24 + 12 - 4 = 32$।

(B) दी गई रेखाएँ $(\sqrt{3})kx + ky = 4\sqrt{3}$ और $\sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$ हैं।
प्रथम समीकरण से,$k = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}x + y}$।
दूसरे समीकरण से,$k = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$।
$k$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}x + y} = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$
$(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 48$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 48$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$48 = 16(e^2 - 1)$
$3 = e^2 - 1$
$e^2 = 4$
$e = 2$.

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ वर्धमान श्रेणी के लिए $a > 0$ और $r > 1$ है।
दिया है $T_2 + T_6 = \frac{25}{2} \Rightarrow ar(1 + r^4) = \frac{25}{2} \dots (1)$
दिया है $T_3 \cdot T_5 = 25$ $\Rightarrow (ar^2)(ar^4) = 25$ $\Rightarrow a^2r^6 = 25$ $\Rightarrow ar^3 = 5$ (चूंकि $a, r > 0$)
$(1)$ से,$ar + ar^5 = \frac{25}{2}$. $a = \frac{5}{r^3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{5}{r^3} \cdot r + \frac{5}{r^3} \cdot r^5 = \frac{25}{2} \Rightarrow \frac{5}{r^2} + 5r^2 = \frac{25}{2}$
$5$ से भाग देने पर: $\frac{1}{r^2} + r^2 = \frac{5}{2} \Rightarrow 2r^4 - 5r^2 + 2 = 0$
$(2r^2 - 1)(r^2 - 2) = 0 \Rightarrow r^2 = 2$ (चूंकि $r > 1$)
अतः $a = \frac{5}{r^3} = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
$4^{\text{th}}, 6^{\text{th}}, 8^{\text{th}}$ पदों का योग $ar^3 + ar^5 + ar^7 = ar^3(1 + r^2 + r^4)$ है।
$= 5(1 + 2 + 4) = 5(7) = 35$.

(B) मान लीजिए $PA = AQ = \lambda$ है।
चूंकि $PQ \perp OB$ है,वृत्त में प्रतिच्छेदित जीवाओं के गुणधर्म के अनुसार,$OA \cdot AB = PA \cdot AQ$ होता है।
दिया गया है $OA = 1$ और $OB = 13$,इसलिए $AB = OB - OA = 13 - 1 = 12$ है।
मान रखने पर,$1 \cdot 12 = \lambda \cdot \lambda$ प्राप्त होता है।
$\lambda^2 = 12 \Rightarrow \lambda = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ है।
$\Delta PQB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times PQ \times AB$ है।
चूंकि $PQ = PA + AQ = \lambda + \lambda = 2\lambda = 4 \sqrt{3}$ है,
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (4 \sqrt{3}) \times 12 = 2 \sqrt{3} \times 12 = 24 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(A) माना योग $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{7}{3^{2}} + \frac{12}{3^{3}} + \frac{17}{3^{4}} + \frac{22}{3^{5}} + \ldots$ है।
$\frac{1}{3}$ से गुणा करने पर: $\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{7}{3^{3}} + \frac{12}{3^{4}} + \frac{17}{3^{5}} + \ldots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - \frac{S}{3} = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{7}{3^{2}} - \frac{2}{3^{2}}) + (\frac{12}{3^{3}} - \frac{7}{3^{3}}) + \ldots$
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{5}{3^{2}} + \frac{5}{3^{3}} + \frac{5}{3^{4}} + \ldots$
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{\frac{5}{3^{2}}}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{5}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{4}{3} + \frac{5}{6} = \frac{13}{6}$
$S = \frac{13}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{13}{4}$

(A) माना $L = \lim_{h \rightarrow 0} 2 \left\{ \frac{\sqrt{3} \sin (\frac{\pi}{6} + h) - \cos (\frac{\pi}{6} + h)}{\sqrt{3} h (\sqrt{3} \cos h - \sin h)} \right\}$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ और $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ के विस्तार का उपयोग करते हुए:
अंश $= \sqrt{3} (\sin \frac{\pi}{6} \cos h + \cos \frac{\pi}{6} \sin h) - (\cos \frac{\pi}{6} \cos h - \sin \frac{\pi}{6} \sin h)$
$= \sqrt{3} (\frac{1}{2} \cos h + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin h) - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos h - \frac{1}{2} \sin h)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cos h + \frac{3}{2} \sin h - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos h + \frac{1}{2} \sin h = 2 \sin h$.
सीमा में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim_{h \rightarrow 0} 2 \left( \frac{2 \sin h}{\sqrt{3} h (\sqrt{3} \cos h - \sin h)} \right) = \frac{4}{\sqrt{3}} \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{\sin h}{h} \right) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\sqrt{3} \cos h - \sin h} \right)$.
चूंकि $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ और $\lim_{h \rightarrow 0} (\sqrt{3} \cos h - \sin h) = \sqrt{3}(1) - 0 = \sqrt{3}$:
$L = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}$.

(B) $\left( tx^{\frac{1}{5}} + \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (tx^{\frac{1}{5}})^{10-r} \left( \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^r$ है।
$t$ से स्वतंत्र पद के लिए,$t$ का घातांक शून्य होना चाहिए: $(10-r) - r = 0 \Rightarrow r = 5$.
अतः,$t$ से स्वतंत्र पद $T_6 = {}^{10}C_5 (x^{\frac{1}{5}})^5 ((1-x)^{\frac{1}{10}})^5 = {}^{10}C_5 x(1-x)^{1/2}$ है।
माना $f(x) = {}^{10}C_5 x(1-x)^{1/2}$ है। अधिकतम मान के लिए,$f'(x) = 0$ लेने पर:
$f'(x) = {}^{10}C_5 \left[ (1-x)^{1/2} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}} \right] = {}^{10}C_5 \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = {}^{10}C_5 \frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}$.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
अधिकतम मान $f(\frac{2}{3}) = {}^{10}C_5 (\frac{2}{3}) \sqrt{1-\frac{2}{3}} = {}^{10}C_5 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10!}{3\sqrt{3}(5!)^2}$.

(C) मान लीजिए सात अंक $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ हैं जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3\}$ और $\sum_{i=1}^{7} x_i = 10$ है।
स्थिति $I$: अंक $1, 1, 1, 1, 1, 2, 3$ हैं।
योग $= 1+1+1+1+1+2+3 = 10$ है।
क्रमचयों की संख्या $= \frac{7!}{5!1!1!} = 42$ है।
स्थिति $II$: अंक $1, 1, 1, 1, 2, 2, 2$ हैं।
योग $= 1+1+1+1+2+2+2 = 10$ है।
क्रमचयों की संख्या $= \frac{7!}{4!3!} = 35$ है।
कुल संख्या $= 42 + 35 = 77$ है।

(C) माना रेखाएं $L_1: x-y=0$,$L_2: x+2y=3$ और $L_3: 2x+y=6$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ को हल करने पर:
$x-y=0 \implies x=y$
$x+2x=3 \implies 3x=3 \implies x=1, y=1$. बिंदु $A = (1, 1)$.
$L_1$ और $L_3$ को हल करने पर:
$x-y=0 \implies x=y$
$2x+x=6 \implies 3x=6 \implies x=2, y=2$. बिंदु $B = (2, 2)$.
$L_2$ और $L_3$ को हल करने पर:
$x+2y=3 \implies x=3-2y$
$2(3-2y)+y=6 \implies 6-4y+y=6 \implies -3y=0 \implies y=0, x=3$. बिंदु $C = (3, 0)$.
अब,भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
चूंकि $BC = AC = \sqrt{5}$,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(A) दिया गया समीकरण $3 \sin x + 4 \cos x = k + 1$ है।
हम जानते हैं कि फलन $f(x) = a \sin x + b \cos x$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है,इसलिए परिसर $[-5, 5]$ है।
समीकरण का हल होने के लिए,$k + 1$ का मान इस परिसर के भीतर होना चाहिए:
$-5 \le k + 1 \le 5$
सभी पक्षों से $1$ घटाने पर:
$-6 \le k \le 4$
$k$ के पूर्णांक मान $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
ऐसे पूर्णांक मानों की कुल संख्या $11$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\log _{4}(x-1)=\log _{2}(x-3)$
गुणधर्म $\log _{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log _{a}(b)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} \log _{2}(x-1)=\log _{2}(x-3)$
$\log _{2}(x-1)^{1/2}=\log _{2}(x-3)$
तर्कों की तुलना करने पर:
$(x-1)^{1/2} = x-3$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x-1 = (x-3)^2$
$x-1 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-2)(x-5) = 0$
$x = 2$ या $x = 5$
मूल समीकरण के प्रांत (domain) की जाँच करने पर:
$\log _{2}(x-3)$ के परिभाषित होने के लिए $x-3 > 0$,अर्थात $x > 3$ होना चाहिए।
$\log _{4}(x-1)$ के परिभाषित होने के लिए $x-1 > 0$,अर्थात $x > 1$ होना चाहिए।
अतः,प्रांत $x > 3$ है।
चूँकि $x=2$ प्रांत में नहीं है $(2 < 3)$,यह एक बाह्य हल है।
अतः केवल $x=5$ ही मान्य हल है।
इसलिए,हलों की संख्या $1$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^{3}-2x^{2}+2x-1=0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$x=1$ समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,$(x-1)$ बहुपद का एक गुणनखंड है।
विभाजन करने पर,$(x-1)(x^{2}-x+1)=0$ प्राप्त होता है।
मूल $x=1$ और $x^{2}-x+1=0$ के मूल हैं,जो $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
ये मूल $-\omega^{2}$ और $-\omega$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
$162^{\text{th}}$ घातों का योग $S = (1)^{162} + (-\omega^{2})^{162} + (-\omega)^{162}$ है।
$S = 1 + \omega^{324} + \omega^{162}$।
चूँकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए $\omega^{324} = 1$ और $\omega^{162} = 1$ है।
अतः,$S = 1 + 1 + 1 = 3$।

(A) दी गई व्यंजक $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ है।
गुणधर्म $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{30-k}$.
माना $r = 30-k$ है। जैसे-जैसे $k$,$0$ से $29$ तक जाता है,$r$,$30$ से $1$ तक जाता है।
$S = \sum_{r=1}^{30} r \binom{30}{r}$.
सर्वसमिका $\sum_{r=1}^{n} r \binom{n}{r} = n 2^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$S = 30 \cdot 2^{30-1} = 30 \cdot 2^{29}$.
$S = 15 \cdot 2 \cdot 2^{29} = 15 \cdot 2^{30}$.
दिया गया है कि $S = n \cdot 2^m$ जहाँ $\operatorname{gcd}(2, n) = 1$ है,अतः $n = 15$ और $m = 30$ है।
इसलिए,$n + m = 15 + 30 = 45$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3} \cos^2 x = (\sqrt{3}-1) \cos x + 1$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x + \cos x - 1 = 0$
गुणनखंड करने पर: $\sqrt{3} \cos x (\cos x - 1) + 1 (\cos x - 1) = 0$
$(\sqrt{3} \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$ (जो अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में है)
स्थिति $2$: $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$। चूँकि $\cos x$ दूसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है और $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए इस स्थिति के लिए दिए गए अंतराल में कोई हल नहीं है।
अतः,केवल $1$ हल है,जो $x = 0$ है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कथन पुनरुक्ति है या नहीं,हम प्रत्येक के लिए एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं।
कथन $(a)$ के लिए: $(\sim q \wedge (p$ $\rightarrow q))$ $\rightarrow \sim p$
(सत्यता सारणी के अनुसार,अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ हैं,इसलिए $(a)$ एक पुनरुक्ति है।)
कथन $(b)$ के लिए: $((p \vee q) \wedge \sim p) \rightarrow q$
(सत्यता सारणी के अनुसार,अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ हैं,इसलिए $(b)$ भी एक पुनरुक्ति है।)
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों पुनरुक्ति हैं।

(D) माना परवलय $y=x^{2}+4$ पर स्थित बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। चूँकि $P$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $k = h^{2}+4$ होगा।
दी गई सरल रेखा $L: y = 4x - 1$ है,जिसे $4x - y - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $P(h, k)$ से रेखा $4x - y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|4h - k - 1|}{\sqrt{4^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|4h - (h^{2} + 4) - 1|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{|4h - h^{2} - 5|}{\sqrt{17}} = \frac{|-(h^{2} - 4h + 5)|}{\sqrt{17}} = \frac{h^{2} - 4h + 5}{\sqrt{17}}$.
रेखा के सबसे निकटतम बिंदु को खोजने के लिए,हम $h$ के सापेक्ष अवकलन करके $d$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{dd}{dh} = \frac{1}{\sqrt{17}} (2h - 4)$.
$\frac{dd}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $2h - 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h = 2$.
$h = 2$ के लिए,$y$-निर्देशांक $k = (2)^{2} + 4 = 4 + 4 = 8$ होगा।
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2, 8)$ हैं।

(D) माना जेट विमान की ऊँचाई $h \, m$ है। जमीन पर स्थित बिंदु $A$ है।
पहली स्थिति से, $\tan 60^{\circ} = \frac{h}{y}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{y}$ $\Rightarrow y = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots (1)$
$20 \, s$ के बाद, विमान $x$ दूरी तय करता है।
गति $= 432 \, km/h = 432 \times \frac{5}{18} \, m/s = 120 \, m/s$.
दूरी $x = \text{गति} \times \text{समय} = 120 \times 20 = 2400 \, m$.
दूसरी स्थिति से, $\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x + y}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{2400 + y}$ $\Rightarrow 2400 + y = h\sqrt{3} \quad \dots (2)$
$(1)$ से $y$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$2400 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$2400 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{2400 \times \sqrt{3}}{2} = 1200 \sqrt{3} \, m$.

(B) हम सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करते हैं।
ध्यान दें कि ${}^{2}C_{2} = {}^{3}C_{3} = 1$ है।
श्रेणी $S = {}^{n+1}C_{2} + 2 \sum_{k=2}^{n} {}^{k}C_{2}$ है।
हॉकी-स्टिक सर्वसमिका $\sum_{i=r}^{n} {}^{i}C_{r} = {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sum_{k=2}^{n} {}^{k}C_{2} = {}^{n+1}C_{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = {}^{n+1}C_{2} + 2({}^{n+1}C_{3})$ है।
$S = \frac{(n+1)n}{2} + 2 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$ है।
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।

(D) रेखा का समीकरण $x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$ है,जिसे $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ ढाल $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
हम प्रत्येक वक्र के लिए बिंदु $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ की जाँच करते हैं।
विकल्प $D$ के लिए: $x^{2} + 9y^{2} = 9$.
बिंदु रखने पर: $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + 9\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{27}{4} + \frac{9}{4} = \frac{36}{4} = 9$. बिंदु वक्र पर स्थित है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{xx_{1}}{a^{2}} + \frac{yy_{1}}{b^{2}} = 1$ है।
$x^{2} + 9y^{2} = 9$ के लिए,$\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ प्राप्त होता है।
$\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ पर स्पर्शरेखा: $\frac{x \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}{9} + y \cdot \frac{1}{2} = 1$.
$\frac{\sqrt{3}x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \implies \sqrt{3}x + 3y = 6 \implies x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$.
यह दी गई रेखा से मेल खाता है।

(B) हम कथन $\sim p \wedge (p \vee q)$ का निषेध ज्ञात करना चाहते हैं।
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर: $\sim (\sim p \wedge (p \vee q)) \equiv \sim (\sim p) \vee \sim (p \vee q)$।
द्वि-निषेध और डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $p \vee (\sim p \wedge \sim q)$।
वितरण नियम को लागू करने पर: $(p \vee \sim p) \wedge (p \vee \sim q)$।
चूंकि $(p \vee \sim p) \equiv T$ (पुनरुक्ति),इसलिए $T \wedge (p \vee \sim q)$।
अतः,परिणाम $p \vee \sim q$ है।

(D) त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ है।
दिए गए शीर्ष $(a, c), (2, b), (a, b)$ हैं और केंद्रक $\left(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right)$ है।
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{a+2+a}{3} = \frac{10}{3} \implies 2a + 2 = 10 \implies a = 4$.
$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{c+b+b}{3} = \frac{7}{3} \implies c + 2b = 7$.
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,$2b = a + c$. $a=4$ रखने पर,$2b = 4 + c \implies c = 2b - 4$.
$c$ का मान $c + 2b = 7$ में रखने पर: $(2b - 4) + 2b = 7 \implies 4b = 11 \implies b = \frac{11}{4}$.
द्विघात समीकरण $4x^{2} + \frac{11}{4}x + 1 = 0$ है।
मूलों $\alpha, \beta$ के लिए,$\alpha + \beta = -\frac{11}{16}$ और $\alpha\beta = \frac{1}{4}$.
$\alpha^{2} + \beta^{2} - \alpha\beta = (\alpha + \beta)^{2} - 3\alpha\beta = \left(-\frac{11}{16}\right)^{2} - 3\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{121}{256} - \frac{3}{4} = -\frac{71}{256}$.

(C) माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है। $S$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{5} = 32$ है।
चूंकि दो उपसमुच्चय $A$ और $B$ यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं,कुल युग्मों की संख्या $32 \times 32 = 2^{10}$ है।
प्रत्येक अवयव $x \in S$ के लिए,$A$ और $B$ में उसकी सदस्यता के लिए $4$ संभावनाएं हैं।
हमें चाहिए कि $A \cap B$ में ठीक $2$ अवयव हों।
$5$ में से $2$ अवयव चुनने के तरीके $\binom{5}{2} = 10$ हैं।
शेष $3$ अवयवों के लिए,प्रत्येक के पास $3$ विकल्प हैं,जिससे $3^{3} = 27$ तरीके मिलते हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $10 \times 27 = 270$ है।
प्रायिकता $\frac{270}{2^{10}} = \frac{135}{2^{9}}$ है।

(A) वेंडरमोंड की पहचान का उपयोग करते हुए,$\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}\binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k}$।
दी गई अभिव्यक्ति पर इसे लागू करने पर:
$\sum_{i=0}^{k}\binom{10}{i}\binom{15}{k-i} = \binom{10+15}{k} = \binom{25}{k}$।
इसी प्रकार,$\sum_{i=0}^{k+1}\binom{12}{i}\binom{13}{k+1-i} = \binom{12+13}{k+1} = \binom{25}{k+1}$।
कुल योग $\binom{25}{k} + \binom{25}{k+1}$ है।
पास्कल की पहचान का उपयोग करते हुए,$\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$,हमें $\binom{25}{k} + \binom{25}{k+1} = \binom{26}{k+1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\binom{n}{r}$ सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों $n$ और $r$ के लिए परिभाषित है,इसलिए अभिव्यक्ति $\binom{26}{k+1}$ किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $k$ के लिए मौजूद है। अतः,$k$ का कोई अधिकतम मान नहीं है।

(A) मान लीजिए बिंदु $P(x, y)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(5, 0)$ से दूरी,$(-5, 0)$ से दूरी की तीन गुनी है:
$\sqrt{(x-5)^{2} + y^{2}} = 3\sqrt{(x+5)^{2} + y^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-5)^{2} + y^{2} = 9((x+5)^{2} + y^{2})$
$x^{2} - 10x + 25 + y^{2} = 9(x^{2} + 10x + 25 + y^{2})$
$8x^{2} + 8y^{2} + 100x + 200 = 0$
$8$ से भाग देने पर:
$x^{2} + y^{2} + 12.5x + 25 = 0$
वृत्त के मानक समीकरण $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = 6.25$,$f = 0$,और $c = 25$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{(6.25)^{2} - 25} = \sqrt{39.0625 - 25} = \sqrt{14.0625}$।
अतः,$r^{2} = 14.0625$।
इसलिए,$4r^{2} = 4 \times 14.0625 = 56.25$।

(B) वृत्त का समीकरण $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25$ है। केंद्र $(2,3)$ और त्रिज्या $5$ है।
बिंदु $(5,7)$ पर त्रिज्या की ढाल $m_r = \frac{7-3}{5-2} = \frac{4}{3}$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{m_r} = -\frac{3}{4}$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y-7 = -\frac{3}{4}(x-5) \implies 3x+4y-43=0$ है।
स्पर्शरेखा का $x-$अंतःखंड $y=0$ रखने पर $x = \frac{43}{3}$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की ढाल $m_n = \frac{4}{3}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-7 = \frac{4}{3}(x-5) \implies 4x-3y+1=0$ है।
अभिलंब का $x-$अंतःखंड $y=0$ रखने पर $x = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज के शीर्ष $(-\frac{1}{4}, 0)$,$(\frac{43}{3}, 0)$ और $(5, 7)$ हैं।
आधार $b = \frac{43}{3} - (-\frac{1}{4}) = \frac{175}{12}$ और ऊँचाई $h = 7$ है।
क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \frac{175}{12} \times 7 = \frac{1225}{24}$ है।
अतः,$24A = 1225$।

(B) प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2}$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ $n = 10$ है।
$\Sigma x_{i} = 9 + k$ और $\Sigma x_{i}^{2} = 9 + k^{2}$ है।
$\frac{9 + k^{2}}{10} - \left(\frac{9 + k}{10}\right)^{2} < 10$.
$10(9 + k^{2}) - (9 + k)^{2} < 1000$.
$9k^{2} - 18k + 9 < 1000$.
$9(k - 1)^{2} < 1000$.
$(k - 1)^{2} < 111.11$.
$k - 1 < 10.54$.
$k < 11.54$.
चूंकि $k$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $k$ का अधिकतम मान $11$ है।

(D) माना प्रथम चार पद $a, ar, ar^2, ar^3$ हैं।
प्रथम चार पदों का योग $S_4 = a\frac{r^4-1}{r-1} = \frac{65}{12} \quad (1)$.
उनके व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} + \frac{1}{ar^3} = \frac{1}{a} \frac{r^4-1}{r^3(r-1)} = \frac{65}{18} \quad (2)$.
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,$a^2 r^3 = \frac{65/12}{65/18} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि प्रथम तीन पदों का गुणनफल $a^3 r^3 = 1$ है,जिसका अर्थ है $ar = 1$,इसलिए $a = \frac{1}{r}$।
$a = \frac{1}{r}$ को $a^2 r^3 = \frac{3}{2}$ में रखने पर,$r = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{2}{3}$।
तीसरा पद $\alpha = ar^2 = \frac{2}{3} \times (\frac{3}{2})^2 = \frac{3}{2}$।
इसलिए,$2\alpha = 2 \times \frac{3}{2} = 3$।

(D) मान लीजिए $n(C)$ समूह $C$ में छात्रों की संख्या है। चूंकि प्रत्येक समूह में कम से कम एक छात्र होना चाहिए,शेष $10 - n(C)$ छात्रों को समूहों $A$ और $B$ में इस प्रकार वितरित किया जाना चाहिए कि $A$ और $B$ दोनों में कम से कम एक छात्र हो।
समूह $C$ में $n(C)$ छात्रों के एक निश्चित सेट के लिए,शेष $10 - n(C)$ छात्रों को समूहों $A$ और $B$ में वितरित करने के तरीकों की संख्या $2^{10-n(C)} - 2$ है।
स्थिति $1$: $n(C) = 1$.
तरीकों की संख्या $= {}^{10}C_{1} \times (2^{9} - 2) = 10 \times 510 = 5100$.
स्थिति $2$: $n(C) = 2$.
तरीकों की संख्या $= {}^{10}C_{2} \times (2^{8} - 2) = 45 \times 254 = 11430$.
स्थिति $3$: $n(C) = 3$.
तरीकों की संख्या $= {}^{10}C_{3} \times (2^{7} - 2) = 120 \times 126 = 15120$.
कुल संभावनाओं की संख्या $= 5100 + 11430 + 15120 = 31650$.

(B) दिया गया है $k = \frac{(-1+i \sqrt{3})^{21}}{(1-i)^{24}}+\frac{(1+i \sqrt{3})^{21}}{(1+i)^{24}}$.
हम जानते हैं कि $-1+i \sqrt{3} = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 2e^{i \frac{2\pi}{3}}$ और $1+i \sqrt{3} = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i \frac{\pi}{3}}$.
साथ ही $1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}e^{-i \frac{\pi}{4}}$ और $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$k = \frac{(2e^{i \frac{2\pi}{3}})^{21}}{(\sqrt{2}e^{-i \frac{\pi}{4}})^{24}} + \frac{(2e^{i \frac{\pi}{3}})^{21}}{(\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}})^{24}} = \frac{2^{21} e^{i 14\pi}}{2^{12} e^{-i 6\pi}} + \frac{2^{21} e^{i 7\pi}}{2^{12} e^{i 6\pi}}$
$k = 2^9 (e^{i 20\pi} + e^{i \pi}) = 512(1 - 1) = 0$.
अतः,$n = [|k|] = 0$.
व्यंजक $\sum_{j=0}^{5} (j+5)^2 - \sum_{j=0}^{5} (j+5) = \sum_{j=0}^{5} ((j+5)^2 - (j+5)) = \sum_{j=0}^{5} (j^2 + 10j + 25 - j - 5) = \sum_{j=0}^{5} (j^2 + 9j + 20)$.
$= \sum_{j=0}^{5} j^2 + 9 \sum_{j=0}^{5} j + \sum_{j=0}^{5} 20 = \frac{5(6)(11)}{6} + 9 \frac{5(6)}{2} + 20(6) = 55 + 135 + 120 = 310$.

(D) स्थिति-$I$: $x \leq 5$
$(x+1)^{2} - (x-5) = \frac{27}{4}$
$(x+1)^{2} - (x+1) - \frac{3}{4} = 0$
$y = x+1$ रखने पर,$4y^{2} - 4y - 3 = 0$
$(2y-3)(2y+1) = 0 \implies y = \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2}$ और $x = -\frac{3}{2}$ (दोनों $x \leq 5$ के लिए मान्य हैं)
स्थिति-$II$: $x > 5$
$(x+1)^{2} + (x-5) = \frac{27}{4}$
$4x^{2} + 12x - 43 = 0$
इस समीकरण के मूल $x > 5$ की शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।
अतः,कुल $2$ वास्तविक मूल हैं।

(B) एक वक्र और एक रेखा के बीच की न्यूनतम दूरी वक्र पर उस बिंदु $P(x_0, y_0)$ पर होती है जहाँ स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है।
रेखा का समीकरण $x-y=1$ है,जिसे $y=x-1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m=1$ है।
वक्र का समीकरण $x^2=2y$ है,जिसका अर्थ है $y=\frac{x^2}{2}$।
किसी भी बिंदु $(x_0, y_0)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2}) = x$ द्वारा दी जाती है।
स्पर्श रेखा की ढाल को रेखा की ढाल के बराबर रखने पर,हमें $x_0 = 1$ प्राप्त होता है।
$x_0=1$ को वक्र के समीकरण $y_0 = \frac{x_0^2}{2}$ में रखने पर,हमें $y_0 = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,वक्र पर बिंदु $P(1, \frac{1}{2})$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax+By+C=0$ तक की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,रेखा $x-y-1=0$ है,इसलिए $A=1, B=-1, C=-1$. बिंदु $(1, \frac{1}{2})$ है।
न्यूनतम दूरी $= \left|\frac{1(1) + (-1)(\frac{1}{2}) - 1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \left|\frac{1 - \frac{1}{2} - 1}{\sqrt{2}}\right| = \left|\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\right| = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।

(B) चूंकि $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं। इसलिए,दूसरा मूल $1+2i$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए:
मूलों का योग $= -\alpha = (1-2i) + (1+2i) = 2 \implies \alpha = -2$.
मूलों का गुणनफल $= \beta = (1-2i)(1+2i) = 1^{2} - (2i)^{2} = 1 + 4 = 5$.
अतः,$\alpha - \beta = -2 - 5 = -7$.

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ के लिए,$a^{2}=25$ और $b^{2}=16$ है।
उत्केंद्रता $e_{1} = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae_{1}, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
दिया गया है कि दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की उत्केंद्रताओं का गुणनफल $1$ है,इसलिए $e_{1} \times e_{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{3}{5} \times e_{2} = 1$ $\Rightarrow e_{2} = \frac{5}{3}$ है।
माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
चूँकि अतिपरवलय दीर्घवृत्त की नाभियों $(\pm 3, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{3^{2}}{a^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 9$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए,$b^{2} = a^{2}(e_{2}^{2}-1) = 9((\frac{5}{3})^{2}-1) = 9(\frac{25}{9}-1) = 9(\frac{16}{9}) = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ है।

(B) दिया गया है कि $\cos x + \cos y - \cos(x + y) = \frac{3}{2}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = y$ और $\cos x = \frac{1}{2}$.
अतः,$x = \frac{\pi}{3}$ और $y = \frac{\pi}{3}$.
अब,$\sin x + \cos y = \sin(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

(D) मूल बिंदु पर जीवा $PQ$ द्वारा अंतरित कोण ज्ञात करने के लिए,हम रेखा $x + y = 1$ का उपयोग करके वक्र $x^{2} + 2y^{2} = 2$ के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं।
रेखा का समीकरण $x + y = 1$ है,इसलिए $1 = x + y$ है।
इसे वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} + 2y^{2} = 2(1)^{2}$
$x^{2} + 2y^{2} = 2(x + y)^{2}$
$x^{2} + 2y^{2} = 2(x^{2} + 2xy + y^{2})$
$x^{2} + 2y^{2} = 2x^{2} + 4xy + 2y^{2}$
$x^{2} + 4xy = 0$
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है। मान लीजिए ये रेखाएँ $y = m_{1}x$ और $y = m_{2}x$ हैं।
$x(x + 4y) = 0$ से,हमें $x = 0$ (ढाल $m_{1} = \infty$) और $y = -\frac{1}{4}x$ (ढाल $m_{2} = -\frac{1}{4}$) प्राप्त होता है।
इन दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$
चूंकि एक रेखा ऊर्ध्वाधर $(x=0)$ है,इसलिए कोण $\theta$ ऊर्ध्वाधर रेखा और $-\frac{1}{4}$ ढाल वाली रेखा के बीच का कोण है।
रेखा $y = -\frac{1}{4}x$ का $x$-अक्ष के साथ कोण $\alpha = \tan^{-1}(-\frac{1}{4}) = -\tan^{-1}(\frac{1}{4})$ है।
ऊर्ध्वाधर रेखा $(90^{\circ})$ और इस रेखा के बीच का कोण $\frac{\pi}{2} - (-\tan^{-1}(\frac{1}{4})) = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}(\frac{1}{4})$ है।

(C) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,कथन $p$ "आप काम करेंगे" है और $q$ "आप पैसे कमाएंगे" है।
इसलिए,प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ "यदि आप पैसे नहीं कमाएंगे,तो आप काम नहीं करेंगे" होगा।

(B) दिया गया फलन $f(x) = a^{a^{x}} + a^{1-a^{x}}$ है।
हम दूसरे पद को $a^{1-a^{x}} = \frac{a}{a^{a^{x}}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$f(x) = a^{a^{x}} + \frac{a}{a^{a^{x}}}$.
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a^{a^{x}}$ और $\frac{a}{a^{a^{x}}}$ दोनों धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $u$ और $v$ के लिए,$u + v \geq 2\sqrt{uv}$ होता है।
मान लीजिए $u = a^{a^{x}}$ और $v = \frac{a}{a^{a^{x}}}$.
तब $f(x) = u + v \geq 2\sqrt{u \cdot v} = 2\sqrt{a^{a^{x}} \cdot \frac{a}{a^{a^{x}}}} = 2\sqrt{a}$.
अतः,न्यूनतम मान $2\sqrt{a}$ है।

(A) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}-6x-2=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha^{2}-6\alpha-2=0$ और $\beta^{2}-6\beta-2=0$ है।
पहले समीकरण को $\alpha^{8}$ से गुणा करने पर,हमें $\alpha^{10}-6\alpha^{9}-2\alpha^{8}=0$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,दूसरे समीकरण को $\beta^{8}$ से गुणा करने पर,हमें $\beta^{10}-6\beta^{9}-2\beta^{8}=0$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर,हमें $(\alpha^{10}-\beta^{10})-6(\alpha^{9}-\beta^{9})-2(\alpha^{8}-\beta^{8})=0$ प्राप्त होता है।
$a_{n}=\alpha^{n}-\beta^{n}$ की परिभाषा का उपयोग करते हुए,यह $a_{10}-6a_{9}-2a_{8}=0$ में सरल हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $a_{10}-2a_{8}=6a_{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a_{10}-2a_{8}}{3a_{9}} = \frac{6a_{9}}{3a_{9}} = 2$.

(A) हमें $3^{n} + 7^{n} \equiv 0 \pmod{10}$ चाहिए।
चूँकि $7 \equiv -3 \pmod{10}$,इसलिए $7^{n} \equiv (-3)^{n} \pmod{10}$।
अतः,$3^{n} + 7^{n} \equiv 3^{n} + (-1)^{n} 3^{n} \pmod{10}$।
यदि $n$ सम है,तो $3^{n} + 3^{n} = 2 \cdot 3^{n}$,जो $10$ से विभाज्य नहीं है।
यदि $n$ विषम है,तो $3^{n} - 3^{n} = 0$,जो $10$ से विभाज्य है।
इसलिए,$n$ एक विषम संख्या होनी चाहिए।
दो अंकों की कुल $90$ संख्याएँ होती हैं ($10$ से $99$ तक)।
इनमें से आधी संख्याएँ विषम हैं,अतः कुल $45$ संख्याएँ हैं।

(A) दिया गया है कि जब $x$ को $4$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $3$ प्राप्त होता है,अतः हम $x = 4k + 3$ लिख सकते हैं।
हमें $(2020 + x)^{2022}$ को $8$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
$x = 4k + 3$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2020 + x)^{2022} = (2020 + 4k + 3)^{2022} = (2023 + 4k)^{2022}$.
चूंकि $2023 = 8 \times 252 + 7$,इसलिए $2023 \equiv 7 \equiv -1 \pmod{8}$ है।
अतः,$(2023 + 4k)^{2022} \equiv (-1 + 4k)^{2022} \pmod{8}$।
यदि $k$ सम है,तो $k = 2m$ लेने पर,$(-1 + 8m)^{2022} \equiv (-1)^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$।
यदि $k$ विषम है,तो $k = 2m + 1$ लेने पर,$(-1 + 4(2m + 1))^{2022} = (3 + 8m)^{2022} \equiv 3^{2022} \pmod{8}$।
चूंकि $3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$,इसलिए $3^{2022} = (3^2)^{1011} \equiv 1^{1011} \equiv 1 \pmod{8}$।
दोनों स्थितियों में,शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^{2}=4x$ पर स्पर्श बिंदु को $A(t^{2}, 2t)$ मानिए।
बिंदु $A(t^{2}, 2t)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + t^{2}$ है,जिसे $x - ty + t^{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $(x-3)^{2} + y^{2} = 9$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसका केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r=3$ है,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
$\left| \frac{3 - t(0) + t^{2}}{\sqrt{1^{2} + (-t)^{2}}} \right| = 3$
$\left| 3 + t^{2} \right| = 3\sqrt{1 + t^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3 + t^{2})^{2} = 9(1 + t^{2})$
$9 + t^{4} + 6t^{2} = 9 + 9t^{2}$
$t^{4} - 3t^{2} = 0$
$t^{2}(t^{2} - 3) = 0$
चूंकि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में हैं,$t > 0$,इसलिए $t^{2} = 3$,जिससे $t = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय पर स्पर्श बिंदु $A(t^{2}, 2t) = (3, 2\sqrt{3})$ है। इसलिए,$a=3$ और $b=2\sqrt{3}$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ है।
वृत्त पर स्पर्श बिंदु $B(c, d)$ केंद्र $(3, 0)$ से स्पर्श रेखा $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ पर लंब का पाद है।
लंब के पाद $(c, d)$ के लिए सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{c-3}{1} = \frac{d-0}{-\sqrt{3}} = -\frac{1(3) - \sqrt{3}(0) + 3}{1^{2} + (-\sqrt{3})^{2}} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$
$c - 3 = -\frac{3}{2} \Rightarrow c = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
$d = -\sqrt{3} \times (-\frac{3}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
हमें $2(a+c) = 2(3 + \frac{3}{2}) = 2(\frac{9}{2}) = 9$ ज्ञात करना है।

(C) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax-(e^{4x}-1)}{ax(e^{4x}-1)} = b$ है।
चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए $x=0$ पर इसका रूप $\frac{0}{0}$ होना चाहिए।
विस्तार $e^{4x} = 1 + 4x + \frac{(4x)^2}{2!} + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax - (1 + 4x + 8x^2 + \dots - 1)}{ax(4x + 8x^2 + \dots)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(a-4)x - 8x^2}{4ax^2 + 8ax^3}$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश में $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $a-4 = 0$,जिससे $a = 4$ प्राप्त होता है।
अब,सीमा में $a=4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$b = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8x^2}{4(4)x^2 + 8(4)x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8x^2}{16x^2 + 32x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8}{16 + 32x} = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$a = 4$ और $b = -\frac{1}{2}$.
अंत में,$a - 2b = 4 - 2(-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5$.

(D) दिया गया है $y+z=5$ और $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{6}$।
दूसरे समीकरण से,$\frac{y+z}{yz} = \frac{5}{6}$।
$y+z=5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{5}{yz} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $yz = 6$।
हमारे पास $y+z=5$ और $yz=6$ है। द्विघात समीकरण $t^2 - 5t + 6 = 0$ के मूल $t=2$ और $t=3$ हैं।
चूँकि $y > z$ है,इसलिए $y=3$ और $z=2$ है।
संख्या $n = 2^{x} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}$ है।
$n$ का एक विषम भाजक $3^{a} \cdot 5^{b}$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $0 \le a \le 3$ और $0 \le b \le 2$ है।
$a$ के लिए विकल्पों की संख्या $(3+1) = 4$ है।
$b$ के लिए विकल्पों की संख्या $(2+1) = 3$ है।
विषम भाजकों की कुल संख्या $= 4 \times 3 = 12$।

(C) मान लीजिए $x = n$,जहाँ $n \in Z$ है।
सबसे पहले,$x = n$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(n) = [n-1] \cos \left(\frac{2n-1}{2}\right) \pi = (n-1) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-1) \cdot 0 = 0$.
अब,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$LHL = \lim_{x \rightarrow n^-} [x-1] \cos \left(\frac{2x-1}{2}\right) \pi$.
जैसे $x \rightarrow n^-$,$[x-1] = n-2$ होता है।
$LHL = (n-2) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-2) \cdot 0 = 0$.
अब,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$RHL = \lim_{x \rightarrow n^+} [x-1] \cos \left(\frac{2x-1}{2}\right) \pi$.
जैसे $x \rightarrow n^+$,$[x-1] = n-1$ होता है।
$RHL = (n-1) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-1) \cdot 0 = 0$.
चूँकि सभी $n \in Z$ के लिए $LHL = RHL = f(n) = 0$ है,इसलिए फलन $x$ के सभी पूर्णांक मानों पर संतत है।
$x$ के गैर-पूर्णांक मानों के लिए,फलन एक अचर (स्थानीय रूप से) और एक संतत त्रिकोणमितीय फलन का गुणनफल है,इसलिए यह संतत है।
अतः,$f(x)$ प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए संतत है।

(D) माना रेखा $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2} = t$ है।
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $x = t+3$,$y = 2t+4$,और $z = 2t+5$ द्वारा दिया जाता है।
समतल $x+y+z=17$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(t+3) + (2t+4) + (2t+5) = 17$.
$5t + 12 = 17
\Rightarrow 5t = 5
\Rightarrow t = 1$.
$t=1$ को प्राचलिक समीकरणों में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1+3, 2(1)+4, 2(1)+5) = (4, 6, 7)$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं $(1, 1, 9)$ और $(4, 6, 7)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-1)^2 + (7-9)^2}
= \sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}
= \sqrt{9 + 25 + 4}
= \sqrt{38}$.

(A) वक्र $y=x^{3}$ के लिए $P(t, t^{3})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ है।
$x=t$ पर ढाल $3t^{2}$ है।
$P(t, t^{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - t^{3} = 3t^{2}(x - t)$ है।
$y=x^{3}$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=x^{3}$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:
$x^{3} - t^{3} = 3t^{2}(x - t)$.
$(x - t)(x^{2} + xt + t^{2}) = 3t^{2}(x - t)$.
चूंकि बिंदु $Q$ के लिए $x \neq t$,इसलिए $x^{2} + xt + t^{2} = 3t^{2}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x^{2} + xt - 2t^{2} = 0$ मिलता है।
गुणनखंड करने पर $(x - t)(x + 2t) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = -2t$ है।
$Q$ के निर्देशांक $(-2t, -8t^{3})$ हैं।
$PQ$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का कोटि (ordinate) विभाजन सूत्र द्वारा:
$y = \frac{1 \times (-8t^{3}) + 2 \times (t^{3})}{1 + 2} = \frac{-8t^{3} + 2t^{3}}{3} = \frac{-6t^{3}}{3} = -2t^{3}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{4x^3 - 3x^2}{6} - 2 \sin x + (2x - 1) \cos x$।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{12x^2 - 6x}{6} - 2 \cos x + [2 \cos x + (2x - 1)(-\sin x)]$
$f'(x) = (2x^2 - x) - 2 \cos x + 2 \cos x - (2x - 1) \sin x$
$f'(x) = x(2x - 1) - (2x - 1) \sin x$
$f'(x) = (2x - 1)(x - \sin x)$।
हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए,$x > \sin x$,इसलिए $(x - \sin x) > 0$।
$x < 0$ के लिए,$x < \sin x$,इसलिए $(x - \sin x) < 0$।
अब,$f'(x) = (2x - 1)(x - \sin x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं:
$1$. यदि $x \in [\frac{1}{2}, \infty)$,तो $(2x - 1) \geq 0$ और $(x - \sin x) > 0$,इसलिए $f'(x) \geq 0$। अतः,$f(x)$ वर्धमान है।
$2$. यदि $x \in [0, \frac{1}{2}]$,तो $(2x - 1) \leq 0$ और $(x - \sin x) \geq 0$,इसलिए $f'(x) \leq 0$। अतः,$f(x)$ ह्रासमान है।
$3$. यदि $x \in (-\infty, 0]$,तो $(2x - 1) < 0$ और $(x - \sin x) \leq 0$,इसलिए $f'(x) \geq 0$। अतः,$f(x)$ वर्धमान है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$f(x)$ अंतराल $[\frac{1}{2}, \infty)$ में वर्धमान है।

(C) दिया गया है $f(x) = 2x - 1$ और $g(x) = \frac{x - 1/2}{x - 1} = \frac{2x - 1}{2(x - 1)}$.
संयुक्त फलन $f(g(x))$ की गणना करने पर:
$f(g(x)) = 2(g(x)) - 1 = 2 \left( \frac{2x - 1}{2(x - 1)} \right) - 1$
$= \frac{2x - 1}{x - 1} - 1 = \frac{2x - 1 - (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$.
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए:
माना $f(g(x_1)) = f(g(x_2))$.
$1 + \frac{1}{x_1 - 1} = 1 + \frac{1}{x_2 - 1} \implies x_1 - 1 = x_2 - 1 \implies x_1 = x_2$.
अतः,$f(g(x))$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए:
$f(g(x)) = 1 + \frac{1}{x - 1}$ का परिसर $R - \{1\}$ है।
चूँकि सह-प्रांत $R$ है,इसलिए परिसर सह-प्रांत के बराबर नहीं है।
अतः,$f(g(x))$ आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: $f(g(x))$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(D) मान लीजिए कि पासे को $n$ बार उछाला जाता है। एक बार उछालने पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
विषम संख्या $2$ बार प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण द्वारा दी गई है: $P(X=2) = {}^{n}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{n-2} = {}^{n}C_{2} (\frac{1}{2})^{n}$.
सम संख्या $3$ बार प्राप्त करने की प्रायिकता,विषम संख्या $(n-3)$ बार प्राप्त करने के बराबर है: $P(Y=3) = {}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{n-3} = {}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{n}$.
यह दिया गया है कि $P(X=2) = P(Y=3)$,इसलिए ${}^{n}C_{2} = {}^{n}C_{3}$.
गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$2 + 3 = n$,अतः $n = 5$.
हमें विषम संख्या के विषम बार प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X=1) + P(X=3) + P(X=5)$ है।
$P(X=1) + P(X=3) + P(X=5) = {}^{5}C_{1} (\frac{1}{2})^{5} + {}^{5}C_{3} (\frac{1}{2})^{5} + {}^{5}C_{5} (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{2^{5}} (5 + 10 + 1) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

(C) सबसे पहले,$x^{2} + y^{2} = 36$ और $y^{2} = 9x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
वृत्त के समीकरण में $y^{2} = 9x$ रखने पर: $x^{2} + 9x - 36 = 0$.
$(x + 12)(x - 3) = 0$,अतः $x = 3$ (क्योंकि परवलय के लिए $x \geq 0$ है)।
$x = 3$ पर,$y^{2} = 27$,अतः $y = \pm 3 \sqrt{3}$।
वृत्त के अंदर और परवलय के बाहर का क्षेत्रफल,वृत्त के कुल क्षेत्रफल में से वृत्त और परवलय दोनों के अंदर के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त होता है।
दोनों के अंदर का क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{3} \sqrt{9x} \, dx + 2 \int_{3}^{6} \sqrt{36 - x^{2}} \, dx$ है।
$= 6 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{3} + 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{36 - x^{2}} + 18 \sin^{-1} \left( \frac{x}{6} \right) \right]_{3}^{6}$.
$= 12 \sqrt{3} + 2 [9 \pi - \frac{9 \sqrt{3}}{2} - 3 \pi] = 12 \pi + 3 \sqrt{3}$.
वृत्त का कुल क्षेत्रफल = $36 \pi$.
अभीष्ट क्षेत्रफल = $36 \pi - (12 \pi + 3 \sqrt{3}) = 24 \pi - 3 \sqrt{3}$.

(A) सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} dt}{x^{3}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम देखते हैं कि यह $\frac{0}{0}$ रूप में है।
एल-हॉस्पिटल नियम और लाइबनिज इंटीग्रल नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
अंश का अवकलन: $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} dt = (\sin \sqrt{x^{2}}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = (\sin x) \cdot (2x)$.
हर का अवकलन: $\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}$.
अब,सीमा इस प्रकार होगी:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x \sin x}{3x^{2}} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x}{3x}$.
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$.

(B) दिया गया है $\int_{-a}^{a} (|x| + |x-2|) dx = 22$ जहाँ $a > 2$ है।
हम समाकलन को $x=0$ और $x=2$ बिंदुओं पर विभाजित करते हैं:
$\int_{-a}^{0} (-x - (x-2)) dx + \int_{0}^{2} (x - (x-2)) dx + \int_{2}^{a} (x + x-2) dx = 22$
$\int_{-a}^{0} (-2x + 2) dx + \int_{0}^{2} 2 dx + \int_{2}^{a} (2x - 2) dx = 22$
$[-x^2 + 2x]_{-a}^{0} + [2x]_{0}^{2} + [x^2 - 2x]_{2}^{a} = 22$
$(0 - (-a^2 - 2a)) + (4 - 0) + ((a^2 - 2a) - (4 - 4)) = 22$
$a^2 + 2a + 4 + a^2 - 2a = 22$
$2a^2 + 4 = 22 \Rightarrow 2a^2 = 18 \Rightarrow a^2 = 9$। चूँकि $a > 2$,इसलिए $a = 3$ है।
अब,$\int_{3}^{-3} (x + [x]) dx = -\int_{-3}^{3} (x + [x]) dx$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\int_{-3}^{3} x dx + \int_{-3}^{3} [x] dx = 0 + ([-3] + [-2] + [-1] + [0] + [1] + [2])$
$= -3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 = -3$।
अतः,$-\int_{-3}^{3} (x + [x]) dx = -(-3) = 3$।

(D) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ है। $M^{T}M$ के विकर्ण अवयवों का योग $M^{T}M$ का ट्रेस है,जो $M$ के सभी अवयवों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
अतः,$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} + f^{2} + g^{2} + h^{2} + i^{2} = 7$ है।
चूंकि अवयव $\{0, 1, 2\}$ से हैं,हम वर्गों के संभावित संयोजनों पर विचार करते हैं जिनका योग $7$ है:
स्थिति-$I$: सात $1$ और दो $0$।
तरीकों की संख्या = $\binom{9}{7} = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$।
स्थिति-$II$: एक $2$ $(2^{2} = 4)$,तीन $1$ $(1^{2} = 1)$,और पांच $0$ $(0^{2} = 0)$।
योग = $4 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 7$।
तरीकों की संख्या = $\frac{9!}{1! 3! 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 504$।
आव्यूहों की कुल संख्या = $36 + 504 = 540$।

(B) माना $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1-\sin x}$.
माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $t \in (0, 1)$.
तब $f(t) = \frac{4}{t} + \frac{1}{1-t}$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(t) = -\frac{4}{t^2} + \frac{1}{(1-t)^2}$.
$f'(t) = 0$ रखने पर,हमें $\frac{1}{(1-t)^2} = \frac{4}{t^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(1-t)^2 = \frac{t^2}{4}$.
वर्गमूल लेने पर,$1-t = \frac{t}{2}$ (चूँकि $t \in (0, 1)$),इसलिए $1 = \frac{3t}{2}$,जिससे $t = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t = \frac{2}{3}$ अंतराल $(0, 1)$ में है,इसलिए न्यूनतम मान $f(\frac{2}{3}) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1-2/3} = 6 + 3 = 9$ है।
अतः,$\alpha$ का न्यूनतम मान जिसके लिए समीकरण का कम से कम एक हल हो,$9$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+r+r^{2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(r+1)-r}{1+r(r+1)}\right) = \tan ^{-1}(r+1) - \tan ^{-1}(r)$ है।
अतः,योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$\sum_{r=1}^{n} \left[\tan ^{-1}(r+1) - \tan ^{-1}(r)\right] = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \dots + (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$।
यह $\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(1) = \tan ^{-1}(n+1) - \frac{\pi}{4}$ में सरल हो जाता है।
अब,$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:
$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \tan \left(\tan ^{-1}(n+1) - \frac{\pi}{4}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$।

(A) चूंकि $\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के साथ समतलीय है,हम $\overrightarrow{c} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}$ लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$,इसलिए $\overrightarrow{b} \cdot (x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}) = 0$,जिसका अर्थ है $x(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + y|\overrightarrow{b}|^{2} = 0$.
यहाँ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-1)(2) + (1)(0) + (1)(1) = -1$ और $|\overrightarrow{b}|^{2} = 2^{2} + 0^{2} + 1^{2} = 5$ है।
अतः,$-x + 5y = 0 \Rightarrow x = 5y$.
इस प्रकार,$\overrightarrow{c} = y(5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = y(5(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{k})) = y(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k})$.
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 7$,इसलिए $y((-1)(-3) + (1)(5) + (1)(6)) = 7 \Rightarrow y(3 + 5 + 6) = 7 \Rightarrow 14y = 7 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
अतः,$\overrightarrow{c} = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}$.
अब $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{k}) + (-\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}) = (2 - 1 - \frac{3}{2})\hat{i} + (1 + \frac{5}{2})\hat{j} + (1 + 1 + 3)\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{7}{2}\hat{j} + 5\hat{k}$.
अंत में,$2|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}|^{2} = 2((\frac{-1}{2})^{2} + (\frac{7}{2})^{2} + 5^{2}) = 2(\frac{1}{4} + \frac{49}{4} + 25) = 2(\frac{50}{4} + 25) = 2(12.5 + 25) = 2(37.5) = 75$.

(B) मान लीजिए $P(B_{1}) = p_{1}$,$P(B_{2}) = p_{2}$,और $P(B_{3}) = p_{3}$ है।
दिया गया है कि $p_{1}(1 - p_{2})(1 - p_{3}) = \alpha$ $...(i)$
$p_{2}(1 - p_{1})(1 - p_{3}) = \beta$ $...(ii)$
$p_{3}(1 - p_{1})(1 - p_{2}) = \gamma$ $...(iii)$
और $(1 - p_{1})(1 - p_{2})(1 - p_{3}) = p$ $...(iv)$
इनसे,हमें $\frac{p_{1}}{1 - p_{1}} = \frac{\alpha}{p}$,$\frac{p_{2}}{1 - p_{2}} = \frac{\beta}{p}$,और $\frac{p_{3}}{1 - p_{3}} = \frac{\gamma}{p}$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण: $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta \Rightarrow \frac{1}{p} = \frac{1}{\beta} - \frac{2}{\alpha} \Rightarrow \frac{1}{\beta} = \frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}$.
साथ ही,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma \Rightarrow \frac{1}{2\gamma} - \frac{3}{2\beta} = \frac{1}{p} \Rightarrow \frac{1}{2\gamma} = \frac{1}{p} + \frac{3}{2\beta}$.
दूसरे समीकरण में $\frac{1}{\beta} = \frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2\gamma} = \frac{1}{p} + \frac{3}{2}(\frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}) = \frac{1}{p} + \frac{3}{2p} + \frac{3}{\alpha} = \frac{5}{2p} + \frac{3}{\alpha}$.
$\frac{\alpha}{p} = \frac{p_{1}}{1 - p_{1}}$ और $\frac{\gamma}{p} = \frac{p_{3}}{1 - p_{3}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - p_{3}}{p_{3}} = \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{1 - p_{1}}{p_{1}}$ प्राप्त होता है।
सरलीकरण करने पर $\frac{p_{1}}{p_{3}} = 6$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $PQ = kI_3$। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|P||Q| = |kI_3| = k^3|I_3| = k^3$।
दिया गया है $|Q| = \frac{k^2}{2}$,इसलिए $|P| \cdot \frac{k^2}{2} = k^3$। चूँकि $k \neq 0$,इसलिए $|P| = 2k$।
$|P|$ की गणना करने पर: $|P| = 3(0 - (-5\alpha)) - (-1)(0 - 3\alpha) + (-2)(-10 - 0) = 3(5\alpha) + (-3\alpha) + 20 = 12\alpha + 20$।
अतः,$12\alpha + 20 = 2k$,या $k = 6\alpha + 10$।
चूँकि $PQ = kI_3$,इसलिए $Q = kP^{-1} = k \cdot \frac{\text{adj}(P)}{|P|} = k \cdot \frac{\text{adj}(P)}{2k} = \frac{1}{2} \text{adj}(P)$।
अवयव $q_{23}$ आव्यूह $\frac{1}{2} \text{adj}(P)$ का $(2,3)$ वाँ अवयव है।
$\text{adj}(P)$ का $(2,3)$ वाँ अवयव सहखंड $C_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & \alpha \end{vmatrix} = -(3\alpha - (-4)) = -(3\alpha + 4)$ है।
अतः,$q_{23} = \frac{-(3\alpha + 4)}{2} = -\frac{k}{8}$।
यह दर्शाता है कि $4(3\alpha + 4) = k$।
$k = 6\alpha + 10$ रखने पर: $12\alpha + 16 = 6\alpha + 10 \Rightarrow 6\alpha = -6 \Rightarrow \alpha = -1$।
तब $k = 6(-1) + 10 = 4$।
अंत में,$\alpha^2 + k^2 = (-1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$।

(C) मान लीजिए $I$ वह घटना है कि मिसाइल इंटरसेप्ट हो जाती है और $H$ वह घटना है कि मिसाइल लक्ष्य को भेदती है।
दिया गया है: $P(I) = \frac{1}{3}$,इसलिए $P(\text{इंटरसेप्ट नहीं हुई}) = P(I^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
मिसाइल के इंटरसेप्ट न होने पर लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $P(H | I^c) = \frac{3}{4}$ है।
एक मिसाइल के लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $P(H) = P(I^c) \times P(H | I^c) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि तीन मिसाइलें स्वतंत्र रूप से दागी जाती हैं,इसलिए तीनों के लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $(P(H))^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ है।

(D) दिया गया है $f(n+1) = f(n) + f(1)$। यह एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध है।
$n=1$ के लिए,$f(2) = f(1) + f(1) = 2f(1)$।
$n=2$ के लिए,$f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1)$।
गणितीय आगमन द्वारा,$f(n) = n f(1)$।
चूंकि $f: N \rightarrow N$,$f(1)$ एक धनात्मक पूर्णांक $k \in N$ होना चाहिए।
अतः,$f(n) = kn$। चूंकि $k \geq 1$,$f(n_1) = f(n_2) \Rightarrow kn_1 = kn_2 \Rightarrow n_1 = n_2$,इसलिए $f$ एकैकी है। कथन $C$ सत्य है।
यदि $fog$ एकैकी है,तो $f(g(x_1)) = f(g(x_2)) \Rightarrow g(x_1) = g(x_2)$ क्योंकि $f$ एकैकी है। चूँकि $fog$ एकैकी है,$x_1 = x_2$। अतः $g$ एकैकी है। कथन $A$ सत्य है।
यदि $f$ आच्छादक है,तो किसी भी $y \in N$ के लिए,एक $n \in N$ मौजूद है ताकि $f(n) = y$,अर्थात $kn = y$। यह केवल तभी संभव है जब $k=1$,इसलिए $f(n) = n$। कथन $B$ सत्य है।
यदि $g$ आच्छादक है,तो $fog$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है। यदि $g$ एकैकी नहीं है,तो $fog$ एकैकी नहीं हो सकता। अतः,कथन $D$ सत्य $\text{नहीं}$ है।

(D) माना दी गई रेखा $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-2} = r$ है।
$L_1$ पर कोई बिंदु $P(2r+1, 3r-1, -2r+1)$ है।
$L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{QP} = (2r+1)\hat{i} + (3r-2)\hat{j} + (-2r-1)\hat{k}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $L_1$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{QP} \cdot \vec{v_1} = 0$।
$2(2r+1) + 3(3r-2) - 2(-2r-1) = 0$।
$4r + 2 + 9r - 6 + 4r + 2 = 0$।
$17r - 2 = 0 \Rightarrow r = \frac{2}{17}$।
$r = \frac{2}{17}$ पर $\vec{QP}$ के घटक $\frac{21}{17}\hat{i} - \frac{28}{17}\hat{j} - \frac{21}{17}\hat{k}$ हैं।
$\frac{7}{17}$ से विभाजित करने पर,दिशा अनुपात $(3, -4, -3)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,बिंदु $(0,1,2)$ से गुजरने वाली और $(3, -4, -3)$ दिशा अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{3} = \frac{y-1}{-4} = \frac{z-2}{-3}$ है,जो $\frac{x}{-3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-2}{3}$ के बराबर है।

(NONE) दिए गए समीकरण $l+m-n=0$ और $l^{2}+m^{2}-n^{2}=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$n = l+m$.
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $l^{2}+m^{2}=(l+m)^{2} = l^{2}+m^{2}+2lm$.
यह $2lm = 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $l=0$ या $m=0$.
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $n=m$. चूँकि $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$,हमारे पास $0^{2}+m^{2}+m^{2}=1$ है,इसलिए $2m^{2}=1$,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः,दिक्-कोसाइन $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $n=l$. चूँकि $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$,हमारे पास $l^{2}+0^{2}+l^{2}=1$ है,इसलिए $2l^{2}=1$,$l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः,दिक्-कोसाइन $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
मान लीजिए दिक्-कोसाइन $\vec{u} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
उनके बीच के कोण $\alpha$ का कोसाइन $\cos \alpha = |\vec{u} \cdot \vec{v}| = |0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}| = \frac{1}{2}$ है।
हमें $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $\cos \alpha = \frac{1}{2}$,$\sin^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
अतः $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha = (\frac{3}{4})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{16} + \frac{1}{4} = \frac{9+4}{16} = \frac{13}{16}$.

(D) माना $I = \int \frac{\sin \theta \cdot \sin 2 \theta \left(\sin ^{6} \theta+\sin ^{4} \theta+\sin ^{2} \theta\right) \sqrt{2 \sin ^{4} \theta+3 \sin ^{2} \theta+6}}{1-\cos 2 \theta} d \theta$.
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ और $1 - \cos 2 \theta = 2 \sin ^{2} \theta$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin \theta \cdot (2 \sin \theta \cos \theta) \cdot \sin ^{2} \theta (\sin ^{4} \theta + \sin ^{2} \theta + 1) \sqrt{2 \sin ^{4} \theta + 3 \sin ^{2} \theta + 6}}{2 \sin ^{2} \theta} d \theta$.
$I = \int \sin ^{2} \theta \cos \theta (\sin ^{4} \theta + \sin ^{2} \theta + 1) \sqrt{2 \sin ^{4} \theta + 3 \sin ^{2} \theta + 6} d \theta$.
माना $t = \sin \theta$,तब $dt = \cos \theta d \theta$.
$I = \int t^{2} (t^{4} + t^{2} + 1) \sqrt{2 t^{4} + 3 t^{2} + 6} dt = \int (t^{6} + t^{4} + t^{2}) \sqrt{2 t^{4} + 3 t^{2} + 6} dt$.
यह $\int (t^{5} + t^{3} + t) \sqrt{2 t^{6} + 3 t^{4} + 6 t^{2}} dt$ में सरल हो जाता है।
माना $u^{2} = 2 t^{6} + 3 t^{4} + 6 t^{2}$,तब $2u du = (12 t^{5} + 12 t^{3} + 12 t) dt = 12(t^{5} + t^{3} + t) dt$.
अतः,$(t^{5} + t^{3} + t) dt = \frac{u du}{6}$.
$I = \int u \cdot \frac{u du}{6} = \frac{1}{6} \int u^{2} du = \frac{u^{3}}{18} + c = \frac{(2 t^{6} + 3 t^{4} + 6 t^{2})^{3/2}}{18} + c$.
$t^{2} = 1 - \cos^{2} \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $11 - 18 \cos^{2} \theta + 9 \cos^{4} \theta - 2 \cos^{6} \theta$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) माना $I = \int_{-1}^{1} x^{2} e^{[x^{3}]} dx$.
हम समाकलन को $x = 0$ पर विभाजित करते हैं:
$I = \int_{-1}^{0} x^{2} e^{[x^{3}]} dx + \int_{0}^{1} x^{2} e^{[x^{3}]} dx$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$x^{3} \in [-1, 0)$,इसलिए $[x^{3}] = -1$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$x^{3} \in [0, 1)$,इसलिए $[x^{3}] = 0$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{-1}^{0} x^{2} e^{-1} dx + \int_{0}^{1} x^{2} e^{0} dx$
$I = \frac{1}{e} \int_{-1}^{0} x^{2} dx + \int_{0}^{1} x^{2} dx$
$I = \frac{1}{e} \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$I = \frac{1}{e} \left( 0 - \left( -\frac{1}{3} \right) \right) + \left( \frac{1}{3} - 0 \right)$
$I = \frac{1}{3e} + \frac{1}{3} = \frac{1+e}{3e}$.

(D) दिया गया है कि वक्र मूल बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए $y(0) = 0$ है।
स्पर्शरेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}-4x+y+8}{x-2}$ है।
अंश को $(x-2)^{2} + y + 4$ के रूप में लिखने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)^{2} + y + 4}{x-2} = (x-2) + \frac{y}{x-2} + \frac{4}{x-2}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण मिलता है: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x-2} = (x-2) + \frac{4}{x-2}$।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{-\int \frac{1}{x-2} dx} = e^{-\ln|x-2|} = \frac{1}{x-2}$ है।
दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x-2} \right) = \frac{1}{x-2} \left( (x-2) + \frac{4}{x-2} \right) = 1 + \frac{4}{(x-2)^{2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{y}{x-2} = x - \frac{4}{x-2} + C$।
शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करने पर: $\frac{0}{-2} = 0 - \frac{4}{-2} + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2$।
अतः,$\frac{y}{x-2} = x - \frac{4}{x-2} - 2$।
$(x-2)$ से गुणा करने पर,$y = x(x-2) - 4 - 2(x-2) = x^{2} - 2x - 4 - 2x + 4 = x^{2} - 4x$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $x = 5$ के लिए,$y = 5^{2} - 4(5) = 25 - 20 = 5$ है। अतः,वक्र $(5, 5)$ से होकर गुजरता है।

(A) रोले के प्रमेय के अनुसार $[1, 2]$ पर $f(1) = f(2)$ होना चाहिए।
$f(1) = 1 - a + b - 4 = -a + b - 3$
$f(2) = 8 - 4a + 2b - 4 = -4a + 2b + 4$
दोनों को बराबर करने पर: $-a + b - 3 = -4a + 2b + 4 \Rightarrow 3a - b = 7$ $.......(1)$
दिया है $f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 2ax + b$।
चूंकि $f^{\prime}\left(\frac{4}{3}\right) = 0$,इसलिए $3\left(\frac{4}{3}\right)^{2} - 2a\left(\frac{4}{3}\right) + b = 0$।
$3\left(\frac{16}{9}\right) - \frac{8a}{3} + b = 0 \Rightarrow \frac{16}{3} - \frac{8a}{3} + b = 0$।
$3$ से गुणा करने पर,$16 - 8a + 3b = 0 \Rightarrow 8a - 3b = 16$ $.......(2)$
समीकरण $(1)$ से,$b = 3a - 7$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$8a - 3(3a - 7) = 16 \Rightarrow 8a - 9a + 21 = 16 \Rightarrow -a = -5 \Rightarrow a = 5$।
अतः $b = 3(5) - 7 = 15 - 7 = 8$।
इस प्रकार,$(a, b) = (5, 8)$।

(B) मान लीजिए $f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + cx^{3} + dx^{2} + ex + f$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}} = 1$ एक शून्येतर वास्तविक मान है,इसलिए $d = e = f = 0$ होना चाहिए।
अतः,$f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + cx^{3}$.
तब $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}} = \lim_{x \rightarrow 0} (x^{3} + ax^{2} + bx + c) = c = 1$.
इसलिए,$f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + x^{3}$.
अवकलन करने पर $f'(x) = 6x^{5} + 5ax^{4} + 4bx^{3} + 3x^{2}$.
चूंकि $f(x)$ के $x = 1$ और $x = -1$ पर चरम बिंदु हैं,इसलिए $f'(1) = 0$ और $f'(-1) = 0$.
$f'(1) = 6 + 5a + 4b + 3 = 0 \Rightarrow 5a + 4b = -9$.
$f'(-1) = -6 + 5a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 5a - 4b = 3$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $10a = -6 \Rightarrow a = -\frac{3}{5}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $8b = -12 \Rightarrow b = -\frac{3}{2}$.
अतः,$f(x) = x^{6} - \frac{3}{5}x^{5} - \frac{3}{2}x^{4} + x^{3}$.
$5 \cdot f(2) = 5 \left( 2^{6} - \frac{3}{5} \cdot 2^{5} - \frac{3}{2} \cdot 2^{4} + 2^{3} \right)$ की गणना करने पर।
$5 \cdot f(2) = 5 \left( 64 - \frac{3}{5} \cdot 32 - \frac{3}{2} \cdot 16 + 8 \right) = 320 - 96 - 120 + 40 = 144$.

(C) दिया गया फलन: $f(x) = |2x+1| - 3|x+2| + |x^2+x-2|$
द्विघात पद का गुणनखंड करने पर: $|x^2+x-2| = |(x+2)(x-1)| = |x+2||x-1|$
फलन में मान रखने पर: $f(x) = |2x+1| - 3|x+2| + |x+2||x-1|$
$f(x) = |2x+1| + |x+2|(|x-1| - 3)$
वे बिंदु जहाँ मापांक के अंदर का मान शून्य होता है,वे $x = -1/2$,$x = -2$,और $x = 1$ हैं।
मान लीजिए $g(x) = |x-1| - 3$ है। फलन $f(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ मापांक का तर्क शून्य होता है,बशर्ते कि वहाँ फलन का कोई स्मूथ टर्निंग पॉइंट न हो।
$1$. $x = -1/2$ पर,$|2x+1|$ अवकलनीय नहीं है,और अन्य पद अवकलनीय हैं। अतः,$x = -1/2$ एक गैर-अवकलनीय बिंदु है।
$2$. $x = 1$ पर,$|x-1|$ अवकलनीय नहीं है,और $|x+2| = 3 \neq 0$ है। अतः,$x = 1$ एक गैर-अवकलनीय बिंदु है।
$3$. $x = -2$ पर,हम व्यवहार की जाँच करते हैं: $f(x) = |2x+1| + |x+2|(|x-1|-3)$। $x = -2$ के निकट,$|x-1| = -(x-1) = 1-x$ है। अतः $f(x) \approx |2x+1| + |x+2|(1-x-3) = |2x+1| + |x+2|(-x-2) = |2x+1| - |x+2|(x+2) = |2x+1| - (x+2)^2$। चूँकि $(x+2)^2$ बिंदु $x = -2$ पर अवकलनीय है,इसलिए $|x+2|$ की गैर-अवकलनीयता $(x+2)$ गुणनखंड द्वारा समाप्त हो जाती है।
अतः,गैर-अवकलनीय बिंदु $x = -1/2$ और $x = 1$ हैं।
गैर-अवकलनीय बिंदुओं की संख्या $2$ है।

(A) $y = \sin x$ और $y = \cos x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $\sin x = \cos x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जिसका अर्थ है $\tan x = 1$।
अतः,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$
प्रतिच्छेदन के दो क्रमागत बिंदुओं $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{5\pi}{4}$ के बीच का क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} |\sin x - \cos x| \, dx$
अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ में,$\sin x \geq \cos x$ है।
$A = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) \, dx$
$A = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4}$
$A = \left( -\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) - \left( -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right)$
$A = \left( -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \right) - \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$A = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( -\frac{2}{\sqrt{2}} \right) = \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$
अब,$A^{4} = (2\sqrt{2})^{4} = 2^{4} \times (\sqrt{2})^{4} = 16 \times 4 = 64$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix}$। चूँकि $A$ एक सममित आव्यूह है,$A^T = A$ है।
दिया गया है $A^2 = I$,इसलिए $AA^T = I$ है,जिसका अर्थ है कि $A$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है।
आव्यूह $A$ के लिए,$AA^T = I$ की शर्त का अर्थ है:
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$ और $xy + yz + zx = 0$।
हम जानते हैं कि $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$।
मान रखने पर,$(x + y + z)^2 = 1 + 2(0) = 1$।
चूँकि $x + y + z > 0$ है,इसलिए $x + y + z = 1$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx))$ का उपयोग करते हुए,
$x^3 + y^3 + z^3 - 3(2) = (1)(1 - 0)$।
$x^3 + y^3 + z^3 - 6 = 1$।
$x^3 + y^3 + z^3 = 7$।

(B) माना $t = \tan(\frac{\theta}{2})$. तब $A = \begin{bmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{bmatrix}$.
$I_{2} + A = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$ और $I_{2} - A = \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix}$.
$(I_{2} - A)^{-1} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$.
$(I_{2} + A)(I_{2} - A)^{-1} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 - t^{2} & -2t \\ 2t & 1 - t^{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} & -\frac{2t}{1 + t^{2}} \\ \frac{2t}{1 + t^{2}} & \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ से तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = \cos \theta$ और $b = \frac{2t}{1 + t^{2}} = \sin \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^{2} + b^{2} = \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$.
इसलिए,$13(a^{2} + b^{2}) = 13(1) = 13$.

(C) दिया गया है कि $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$,जिसे हम $(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{a} = 0$ लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}$ सदिश $\overrightarrow{a}$ के समांतर है,अतः किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{a}$ होगा।
दिया गया है कि $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{b} = 0$,अतः $\overrightarrow{r}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} + \lambda (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (-1)(-1) + (-1)(0) = 1 + 1 = 2$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (2)(-1) + (-1)(0) = 1 - 2 = -1$.
इस प्रकार,$2 + \lambda(-1) = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
अब,$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = (\overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} + 2|\overrightarrow{a}|^2$.
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = (1)(1) + (-1)(2) + (-1)(-1) = 1 - 2 + 1 = 0$.
$|\overrightarrow{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.
अतः,$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0 + 2(6) = 12$.

(A) दिया गया समीकरण निकाय है:
$1) kx + y + 2z = 1$
$2) 3x - y - 2z = 2$
$3) -2x - 2y - 4z = 3$
रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह को सुसंगत होना चाहिए।
माना गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} k & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -4 \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$|A| = k(4 - 4) - 1(-12 - 4) + 2(-6 - 2) = 0 - 1(-16) + 2(-8) = 16 - 16 = 0$.
चूंकि सारणिक हमेशा $0$ है,हम संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ का उपयोग करके सुसंगतता की जांच करते हैं।
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(3x - y - 2z) + (-2x - 2y - 4z) = 2 + 3$
$x - 3y - 6z = 5 \Rightarrow x = 3y + 6z + 5$.
अनंत हलों के लिए,निकाय को सुसंगत होना चाहिए। पहले दो समीकरणों को जोड़ने और सुसंगतता की शर्त की जांच करने पर,हमें $k = 21$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ क्योंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं।
सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक का चरण-दर-चरण मूल्यांकन करते हैं।
सबसे पहले,$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b} = 0 - |\vec{a}|^2 \vec{b} = -|\vec{a}|^2 \vec{b}$.
इसके बाद,$\vec{a} \times (\vec{a} \times (\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))) = \vec{a} \times (\vec{a} \times (-|\vec{a}|^2 \vec{b}))$.
$= -|\vec{a}|^2 (\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
$= -|\vec{a}|^2 (-|\vec{a}|^2 \vec{b}) = |\vec{a}|^4 \vec{b}$.

(A) माना कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
चूंकि सिक्का निष्पक्ष है,चित प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और पट प्राप्त करने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
$n$ उछालों में $r$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r} = {}^{n}C_{r} (\frac{1}{2})^{n}$।
दिया गया है कि $P(X=7) = P(X=9)$,इसलिए:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^{n} = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^{n}$
${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$
गुणधर्म ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \implies x+y=n$ (जब $x \neq y$) का उपयोग करने पर,हमें $n = 7 + 9 = 16$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $2$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X=2)$ है:
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16}$
$P(X=2) = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} \times \frac{1}{2^{16}}$
$P(X=2) = 8 \times 15 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{15}{2^{3} \times 2^{13}} = \frac{15}{2^{13}}$।

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
तब $A^{2} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^{2} + b^{2} & ab + bc \\ ab + bc & b^{2} + c^{2} \end{bmatrix}$.
$A^{2}$ के विकर्ण तत्वों का योग $\text{tr}(A^{2}) = a^{2} + b^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + 2b^{2} + c^{2}$ है।
हमें दिया गया है कि $a^{2} + 2b^{2} + c^{2} = 1$,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
चूंकि $a^{2}, b^{2}, c^{2} \ge 0$,योग $1$ होने के लिए,हमें $b^{2} = 0$ लेना होगा,जिसका अर्थ है $b = 0$.
तब समीकरण $a^{2} + c^{2} = 1$ में बदल जाता है।
चूंकि $a, c \in \mathbb{Z}$,$(a, c)$ के लिए संभावित पूर्णांक समाधान इस प्रकार हैं:
$1$. यदि $a = 0$,तो $c^{2} = 1 \Rightarrow c = \pm 1$. यह दो आव्यूह देता है: $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$2$. यदि $c = 0$,तो $a^{2} = 1 \Rightarrow a = \pm 1$. यह दो आव्यूह देता है: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $2 + 2 = 4$ है।

(A) माना $f(x) = e^{x-[x]} = e^{\{x\}},$ जहाँ $\{x\}$ का $x$ का भिन्नात्मक भाग है।
चूँकि फलन $f(x) = e^{\{x\}}$ का आवर्तकाल $1$ है,इसलिए किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $\int_{n-1}^{n} e^{\{x\}} dx = \int_{0}^{1} e^{\{x\}} dx$ होगा।
अंतराल $[0, 1]$ में,भिन्नात्मक भाग $\{x\} = x$ होता है।
अतः,$\int_{0}^{1} e^{\{x\}} dx = \int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$ प्राप्त होता है।
अब,योगफल $\sum_{n=1}^{100} \int_{n-1}^{n} e^{\{x\}} dx = \sum_{n=1}^{100} (e-1) = 100(e-1)$ होगा।

(A) माना $t$ समय पर बैक्टीरिया की संख्या $B(t)$ है। वृद्धि की दर $\frac{dB}{dt} = \lambda B$ द्वारा दी गई है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $B(t) = B_0 e^{\lambda t}$ प्राप्त होता है,जहाँ $B_0 = 1000$ है।
दिया गया है कि $t = 2$ पर,$B(2) = 1000 + 1000$ का $20\% = 1200$ है।
अतः,$1200 = 1000 e^{2\lambda} \Rightarrow e^{2\lambda} = \frac{6}{5} \Rightarrow 2\lambda = \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right) \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)$ है।
हमें दिया गया है कि $B(T) = 2000$ जहाँ $T = \frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}$ है।
$B(T) = B_0 e^{\lambda T}$ का उपयोग करते हुए,$2000 = 1000 e^{\lambda T} \Rightarrow 2 = e^{\lambda T} \Rightarrow \log_{e} 2 = \lambda T$ है।
$\lambda$ और $T$ का मान रखने पर: $\log_{e} 2 = \left(\frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)\right) \times \left(\frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}\right) = \frac{k}{2}$ है।
इस प्रकार,$k = 2 \log_{e} 2$ है।
अंत में,$\left(\frac{k}{\log_{e} 2}\right)^{2} = \left(\frac{2 \log_{e} 2}{\log_{e} 2}\right)^{2} = 2^{2} = 4$ है।

(C) माना बिंदु $A(1, 5, 35)$,$B(7, 5, 5)$,$C(1, \lambda, 7)$,और $D(2 \lambda, 1, 2)$ हैं।
सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = 6\hat{i} - 30\hat{k}$
$\vec{AC} = (\lambda-5)\hat{j} - 28\hat{k}$
$\vec{AD} = (2\lambda-1)\hat{i} - 4\hat{j} - 33\hat{k}$
चूंकि बिंदु समतलीय हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}] = 0$ होगा।
$\begin{vmatrix} 6 & 0 & -30 \\ 0 & \lambda-5 & -28 \\ 2\lambda-1 & -4 & -33 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$6[(\lambda-5)(-33) - (-28)(-4)] - 30[0 - (\lambda-5)(2\lambda-1)] = 0$
$6[-33\lambda + 165 - 112] + 30[2\lambda^2 - 11\lambda + 5] = 0$
$6$ से विभाजित करने पर:
$-33\lambda + 53 + 5(2\lambda^2 - 11\lambda + 5) = 0$
$10\lambda^2 - 88\lambda + 78 = 0$
$5\lambda^2 - 44\lambda + 39 = 0$
मूलों का योग $\lambda_1 + \lambda_2 = -\frac{b}{a} = \frac{44}{5}$ है।

(C) दिया गया है कि $\frac{\sin ^{-1} x}{a} = \frac{\cos ^{-1} x}{b} = \frac{\tan ^{-1} y}{c} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
तब $\sin ^{-1} x = ak$,$\cos ^{-1} x = bk$,और $\tan ^{-1} y = ck$ है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
मान रखने पर,$ak + bk = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $k(a + b) = \frac{\pi}{2}$,या $a + b = \frac{\pi}{2k}$।
अब,हमें $\cos \left(\frac{\pi c}{a + b}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$a + b = \frac{\pi}{2k}$ रखने पर,हमें $\cos \left(\frac{\pi c}{\frac{\pi}{2k}}\right) = \cos (2ck)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan ^{-1} y = ck$,इसलिए $\cos (2ck) = \cos (2 \tan ^{-1} y)$।
सूत्र $\cos (2\theta) = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \tan ^{-1} y$,हमें $\cos (2 \tan ^{-1} y) = \frac{1 - y^2}{1 + y^2}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \leq |(x - y)^2|$ है।
दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर ($x \neq y$ के लिए),हमें $\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \leq |x - y|$ प्राप्त होता है।
$x \to y$ सीमा लेने पर,हमें $\lim_{x \to y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \leq \lim_{x \to y} |x - y|$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $|f'(y)| \leq 0$ है।
चूंकि निरपेक्ष मान ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$ है।
वह फलन जिसका अवकलज हर जगह शून्य होता है,एक अचर फलन होता है,इसलिए $f(x) = C$ है।
$f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $C = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 1$ है।
चूंकि $1 > 0$,इसलिए सही कथन $f(x) > 0, \forall x \in R$ है।

(A) माना वक्र का ढाल $m(x) = \frac{dy}{dx}$ है।
$m(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} x^{4} - 5 x^{3} + 18 x^{2} - 19 x \right) = 2x^{3} - 15x^{2} + 36x - 19$.
अधिकतम ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $m(x)$ का अवकलन शून्य के बराबर रखकर इसके क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं:
$m'(x) = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6x^{2} - 30x + 36 = 0$.
$6$ से भाग देने पर,हमें $x^{2} - 5x + 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x-2)(x-3) = 0$ हैं।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 3$ हैं।
अधिकतम मान की जाँच करने के लिए,हम $m(x)$ पर द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं:
$m''(x) = \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = 12x - 30$.
$x = 2$ पर,$m''(2) = 12(2) - 30 = 24 - 30 = -6 < 0$। चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $m(x)$ का $x = 2$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।
$x = 3$ पर,$m''(3) = 12(3) - 30 = 36 - 30 = 6 > 0$। चूंकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $m(x)$ का $x = 3$ पर स्थानीय निम्निष्ठ मान है।
इसलिए,अधिकतम ढाल $x = 2$ पर प्राप्त होता है।
मूल समीकरण $y = \frac{1}{2} x^{4} - 5 x^{3} + 18 x^{2} - 19 x$ में $x = 2$ रखने पर:
$y = \frac{1}{2}(16) - 5(8) + 18(4) - 19(2) = 8 - 40 + 72 - 38 = 2$.
बिंदु $(2, 2)$ है।

(B) समतल $P_{1}$ का समीकरण $3x + 15y + 21z = 9$ है। $3$ से भाग देने पर,हमें $x + 5y + 7z = 3$ प्राप्त होता है।
समतल $P_{2}$ का समीकरण $x - 3y - z = 5$ है।
समतल $P_{3}$ का समीकरण $2x + 10y + 14z = 5$ है। $2$ से भाग देने पर,हमें $x + 5y + 7z = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
दो समतल $a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2}$ समांतर होते हैं यदि उनके अभिलंब सदिश समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$।
$P_{1}$ और $P_{3}$ की तुलना करने पर,अभिलंब सदिश $(1, 5, 7)$ और $(1, 5, 7)$ हैं,जो समान हैं। चूँकि अचर पद $3$ और $\frac{5}{2}$ अलग-अलग हैं,इसलिए समतल समांतर और भिन्न हैं।
अतः,$P_{1}$ और $P_{3}$ समांतर हैं।

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3) & a+3 & 1 \\ (a+3)(a+4) & a+4 & 1\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3) - (a+1)(a+2) & (a+3) - (a+2) & 1 - 1 \\ (a+3)(a+4) - (a+1)(a+2) & (a+4) - (a+2) & 1 - 1\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3-a-1) & 1 & 0 \\ (a^2+7a+12) - (a^2+3a+2) & 2 & 0\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ 2(a+2) & 1 & 0 \\ 4a+10 & 2 & 0\end{array}\right|$
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1 \times [2(a+2) \times 2 - 1 \times (4a+10)]$
$\Delta = 4(a+2) - (4a+10)$
$\Delta = 4a + 8 - 4a - 10$
$\Delta = -2$.

(A) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x}{1+3^{x}} dx$ --- $(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2}(-x)}{1+3^{-x}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x}{1+\frac{1}{3^{x}}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{3^{x} \cos ^{2} x}{3^{x}+1} dx$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x + 3^{x} \cos ^{2} x}{1+3^{x}} dx$
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x(1+3^{x})}{1+3^{x}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos ^{2} x dx$
चूँकि $\cos^{2} x$ एक सम फलन है:
$2I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} x dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi / 2}$
$I = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0)] = \frac{\pi}{4}$

(D) संबंध $R$ को उन सभी बिंदुओं $(P, Q)$ के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ मूलबिंदु से $P$ की दूरी,मूलबिंदु से $Q$ की दूरी के बराबर है।
किसी बिंदु $(x_0, y_0)$ का तुल्यता वर्ग उन सभी बिंदुओं $(x, y)$ का समुच्चय है जिनके लिए मूलबिंदु से $(x, y)$ की दूरी,मूलबिंदु से $(x_0, y_0)$ की दूरी के बराबर है।
बिंदु $(1, -1)$ की मूलबिंदु $(0, 0)$ से दूरी $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ है।
इसलिए,$(1, -1)$ का तुल्यता वर्ग उन सभी बिंदुओं $(x, y)$ से बना है जिनके लिए $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 + y^2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,तुल्यता वर्ग समुच्चय $S = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 = 2\}$ है।

(D) दिया गया वक्रों का परिवार: $y^{2}=a\left(x+\frac{\sqrt{a}}{2}\right) = ax + \frac{a^{3/2}}{2} \quad ...(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2yy' = a$
$a = 2yy'$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{2} = (2yy')x + \frac{(2yy')^{3/2}}{2}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$y^{2} - 2xyy' = \frac{(2yy')^{3/2}}{2}$
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y^{2} - 2xyy')^{2} = \frac{(2yy')^{3}}{4}$
$(y^{2} - 2xyy')^{2} = 2y^{3}(y')^{3}$
यहाँ उच्चतम अवकलज $y'$ है,इसलिए कोटि (order) $1$ है।
उच्चतम अवकलज की अधिकतम घात $3$ है,इसलिए घात (degree) $3$ है।
घात और कोटि के बीच का अंतर $3 - 1 = 2$ है।

(D) माना $e^{\sin y} = t$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $e^{\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ प्राप्त होता है।
दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dt}{dx} + t \cos x = \cos x$ बन जाता है।
यह $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \cos x$ और $Q(x) = \cos x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int \cos x \, dx} = e^{\sin x}$ है।
हल $t \cdot e^{\sin x} = \int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx$ है।
माना $u = \sin x$,तो $du = \cos x \, dx$ है।
अतः,$t \cdot e^{\sin x} = \int e^u \, du = e^u + c = e^{\sin x} + c$ है।
$t = e^{\sin y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x} + c$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$e^{\sin 0} \cdot e^{\sin 0} = e^{\sin 0} + c$,जिसका अर्थ है $1 \cdot 1 = 1 + c$,इसलिए $c = 0$ है।
इस प्रकार,$e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x}$,जो सरल होकर $e^{\sin y} = 1$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\sin y = 0$,जिसका अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $y = 0$ है।
अतः,$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$,$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$,और $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ है।
अतः,$1 + y\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} y\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$।

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ रेखाखंड $\vec{AB}$ के समांतर है।
$\vec{AB} = (-1 - (-2))\hat{i} + (-16 - (-21))\hat{j} + (33 - 29)\hat{k} = 1\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
समतल बिंदु $Q(4, -2, 2)$ और $P(\lambda, 2, 1)$ से होकर गुजरता है। अतः,सदिश $\vec{PQ}$ समतल में स्थित है।
$\vec{PQ} = (4 - \lambda)\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k} = (4 - \lambda)\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$.
चूंकि समतल रेखा $AB$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{AB}$ समतल के किसी भी सदिश के लंबवत होगा,जिसमें $\vec{PQ}$ भी शामिल है।
इसलिए,$\vec{AB} \cdot \vec{PQ} = 0$.
$(1\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot ((4 - \lambda)\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}) = 0$.
$1(4 - \lambda) + 5(-4) + 4(1) = 0$.
$4 - \lambda - 20 + 4 = 0$.
$-\lambda - 12 = 0 \Rightarrow \lambda = -12$.
अब,व्यंजक $\left(\frac{\lambda}{11}\right)^{2} - \frac{4\lambda}{11} - 4$ की गणना करें।
$\lambda = -12$ प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{-12}{11}\right)^{2} - \frac{4(-12)}{11} - 4 = \frac{144}{121} + \frac{48}{11} - 4 = \frac{144 + 528 - 484}{121} = \frac{188}{121}$.

(B) दिए गए वक्र $y = ||x - 1| - 2|$ और $y = 2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $||x - 1| - 2| = 2$ रखते हैं।
इसका अर्थ है $|x - 1| - 2 = 2$ या $|x - 1| - 2 = -2$।
स्थिति $1$: $|x - 1| = 4 \implies x - 1 = 4$ या $x - 1 = -4$,अतः $x = 5$ या $x = -3$।
स्थिति $2$: $|x - 1| = 0 \implies x = 1$।
ग्राफ को देखने पर,क्षेत्र $x = -3$ और $x = 5$ के बीच परिबद्ध है,जिसकी ऊपरी सीमा $y = 2$ और निचली सीमा $y = ||x - 1| - 2|$ है।
क्षेत्रफल $A = \int_{-3}^{5} (2 - ||x - 1| - 2|) \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x = 1$ के सापेक्ष सममिति के कारण,हम $2 \times \int_{1}^{5} (2 - ||x - 1| - 2|) \, dx$ की गणना कर सकते हैं।
$1 \le x \le 5$ के लिए,$|x - 1| = x - 1$,अतः $y = |x - 1 - 2| = |x - 3|$।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{1}^{5} (2 - |x - 3|) \, dx = 2 \left[ \int_{1}^{3} (2 - (3 - x)) \, dx + \int_{3}^{5} (2 - (x - 3)) \, dx \right]$.
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{1}^{3} (x - 1) \, dx + \int_{3}^{5} (5 - x) \, dx \right] = 2 \left[ \left( \frac{x^2}{2} - x \right)_{1}^{3} + \left( 5x - \frac{x^2}{2} \right)_{3}^{5} \right]$.
क्षेत्रफल $= 2 \left[ (4.5 - 3) - (0.5 - 1) + (25 - 12.5) - (15 - 4.5) \right] = 2 [2 + 2] = 8$ वर्ग इकाई।

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} |\sin 2x| dx$ है।
$2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 dx = dt$ या $dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = \pi$,तब $t = 2\pi$ होता है।
अतः,$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} |\sin t| dt$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $|\sin(2\pi - t)| = |\sin t|$ है।
अतः,$I = \frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{\pi} \sin t dt = \int_{0}^{\pi} \sin t dt$ है।
समाकलन करने पर: $[-\cos t]_{0}^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$।

(C) दो समतलों $P_1: \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_1} = d_1$ और $P_2: \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_2} = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_1} - d_1) + \lambda(\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_2} - d_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतल $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1 = 0$ और $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) + 2 = 0$ हैं।
आवश्यक समतल का समीकरण $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1 + \lambda(\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) + 2) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(1 + \lambda) + \hat{j}(1 - 2\lambda) + \hat{k}(1)] = 1 - 2\lambda$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल बिंदु $(1, 0, 2)$ से गुजरता है,स्थिति सदिश $\overrightarrow{r} = \hat{i} + 2\hat{k}$ है।
इसे समीकरण में रखने पर: $(\hat{i} + 2\hat{k}) \cdot [\hat{i}(1 + \lambda) + \hat{j}(1 - 2\lambda) + \hat{k}(1)] = 1 - 2\lambda$.
$(1 + \lambda) + 2(1) = 1 - 2\lambda$.
$3 + \lambda = 1 - 2\lambda$.
$3\lambda = -2 \implies \lambda = -\frac{2}{3}$.
$\lambda = -\frac{2}{3}$ को समीकरण में रखने पर: $\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(1 - \frac{2}{3}) + \hat{j}(1 + \frac{4}{3}) + \hat{k}(1)] = 1 - 2(-\frac{2}{3})$.
$\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(\frac{1}{3}) + \hat{j}(\frac{7}{3}) + \hat{k}] = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$.
$3$ से गुणा करने पर,हमें $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = 7$ प्राप्त होता है।

(D) यह ज्ञात करने के लिए कि $f(x)$ कहाँ वर्धमान (increasing) है,हम प्रत्येक अंतराल के लिए $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$1$. $x < -5$ के लिए,$f(x) = -55x$,इसलिए $f'(x) = -55$. चूंकि $f'(x) < 0$,फलन $(-\infty, -5)$ पर ह्रासमान (decreasing) है।
$2$. $-5 < x < 4$ के लिए,$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 120x$,इसलिए $f'(x) = 6x^2 - 6x - 120 = 6(x^2 - x - 20) = 6(x - 5)(x + 4)$.
$f'(x) > 0$ के लिए,हमें $(x - 5)(x + 4) > 0$ की आवश्यकता है,जो $x < -4$ या $x > 5$ होने पर होता है। अंतराल $(-5, 4)$ के भीतर,यह $x \in (-5, -4)$ के लिए संतुष्ट होता है।
$3$. $x > 4$ के लिए,$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x - 336$,इसलिए $f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 = 6(x^2 - x - 6) = 6(x - 3)(x + 2)$.
$x > 4$ के लिए,$(x - 3)$ और $(x + 2)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए सभी $x > 4$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
इन सबको मिलाने पर,$f(x)$ अंतराल $(-5, -4) \cup (4, \infty)$ पर वर्धमान है।