माना एक फलन $f [0,1]$ मे ऋणोत्तर तथा $(0,1)$ में दो बार अवकलनीय है। यदि $\int_{0}^{ x } \sqrt{1-\left( f ^{\prime}( t )\right)^{2}} dt =\int \limits_{0}^{ x } f ( t ) dt$, $0 \leq x \leq 1$ तथा $f (0)=0$, है, तो $\lim \limits_{ x \rightarrow 0} \frac{1}{ x ^{2}} \int \limits_{0}^{ x } f ( t ) dt$

माना $f ( x )=2+| x |-| x -1|+| x +1|, x \in R$ है। माना 

$( S 1): f ^{\prime}\left(-\frac{3}{2}\right)+ f ^{\prime}\left(-\frac{1}{2}\right)+ f ^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)+ f ^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)=2$

$(S2): \int_{-2}^2 f ( x ) dx =12$ है। तब

यदि $b _{ n }=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^2 nx }{\sin x } dx , n \in N$ है तब

$\sum\limits_{k = 1}^n {\int_0^1 {f(k - 1 + x)\,dx} }  = . . . ..$

यदि ${I_1} = \int_0^1 {{2^{{x^2}}}dx,\;} {I_2} = \int_0^1 {{2^{{x^3}}}dx} ,\;{I_3} = \int_1^2 {{2^{{x^2}}}} $ $dx$ और ${I_4} = \int_1^2 {{2^{{x^3}}}dx} $, तब

यदि फलन $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$ निम्न प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है: $f(0) = - 1,$ $f'(\log 2) = 31$ तथा $\int_0^{\log 4} {(f(x) - Rx)\,dx = \frac{{39}}{2}} $ तो $P, Q, R$ के मान हैं