यदि lim _{x rightarrow 0}(2-cos x sqrt{cos 2 | vedclass

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Question

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0}(2-\cos x \sqrt{\cos 2 x})^{\frac{x+2}{x^{2}}}$.यह $1^{\infty}$ के रूप में है।सूत्र $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)

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$3$

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(C) माना $L = \lim _{x ightarrow 0}(2-\cos x \sqrt{\cos 2 x})^{\frac{x+2}{x^{2}}}$.यह $1^{\infty}$ के रूप में है।सूत्र $\lim _{x ightarrow 0} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x ightarrow 0} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करने पर:$L = e^{\lim _{x ightarrow 0} (2-\cos x \sqrt{\cos 2 x}-1) \left(\frac{x+2}{x^{2}}ight)}$$L = e^{\lim _{x ightarrow 0} (1-\cos x \sqrt{\cos 2 x}) \left(\frac{x+2}{x^{2}}ight)}$जैसे $x ightarrow 0$,$\frac{x+2}{x^2} \approx \frac{2}{x^2}$.अतः,$L = e^{\lim _{x ightarrow 0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2 x}}{x^2} 	imes 2}$.माना $f(x) = 1-\cos x \sqrt{\cos 2 x}$. टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ और $\sqrt{\cos 2 x} = (1 - 2x^2)^{1/2} \approx 1 - x^2$.$f(x) \approx 1 - (1 - \frac{x^2}{2})(1 - x^2) = 1 - (1 - x^2 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2}) \approx \frac{3x^2}{2}$.इस प्रकार,$\lim _{x ightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2} = \frac{3}{2}$.इसलिए,$L = e^{\frac{3}{2} 	imes 2} = e^3$.$e^a$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 3$ प्राप्त होता है।

यदि $\lim _{x \rightarrow 0}(2-\cos x \sqrt{\cos 2 x})^{\left(\frac{x+2}{x^{2}}\right)}$ का मान $e^{a}$ के बराबर है,तो $a$ का मान $.....$ है।

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