समुच्चय {A=begin{bmatrix} a & b 0 & d end{bm | vedclass

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Question

(A) दी गई शर्त $(I-A)^3 = I-A^3$ है। बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $I^3 - 3I^2A + 3IA^2 - A^3 = I - A^3$ प्राप्त होता है। चूँकि $I^2 = I$ और $IA = AI

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$8$

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(A) दी गई शर्त $(I-A)^3 = I-A^3$ है। बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $I^3 - 3I^2A + 3IA^2 - A^3 = I - A^3$ प्राप्त होता है। चूँकि $I^2 = I$ और $IA = AI = A$ है,यह समीकरण $I - 3A + 3A^2 - A^3 = I - A^3$ में सरल हो जाता है। दोनों पक्षों से $I$ घटाने और $A^3$ जोड़ने पर,हमें $3A^2 - 3A = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A^2 = A$। माना $A = \begin{bmatrix} a & b \ 0 & d \end{bmatrix}$ है। तब $A^2 = \begin{bmatrix} a & b \ 0 & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \ 0 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & ab+bd \ 0 & d^2 \end{bmatrix}$ होगा। $A^2 = A$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a^2 = a \Rightarrow a \in \{0, 1\}$। $d^2 = d \Rightarrow d \in \{0, 1\}$। $ab + bd = b \Rightarrow b(a + d - 1) = 0$। स्थिति $1$: यदि $b = 0$ है,तो $a \in \{0, 1\}$ और $d \in \{0, 1\}$ होगा। इससे $2 	imes 2 = 4$ आव्यूह मिलते हैं। स्थिति $2$: यदि $b 
eq 0$ है,तो $a + d - 1 = 0$,अर्थात $a + d = 1$ होगा। संभावित युग्म $(a, d)$ $(1, 0)$ और $(0, 1)$ हैं। प्रत्येक युग्म के लिए,$b \in \{-1, 1\}$ हो सकता है (क्योंकि $b 
eq 0$ है)। इससे $2 	imes 2 = 4$ आव्यूह मिलते हैं। कुल आव्यूहों की संख्या = $4 + 4 = 8$।

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