मान लीजिए S_{n} = 1 cdot (n-1) + 2 cdot (n-2) | vedclass

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Question

(A) $S_{n}$ के योग का सामान्य पद $T_{r} = r(n-r)$ है,जहाँ $r = 1$ से $n-1$ तक।$S_{n} = \sum_{r=1}^{n-1} (nr - r^{2}) = n \sum_{r=1}^{n-1} r - \sum_{r=

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$\frac{e-1}{3}$

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(A) $S_{n}$ के योग का सामान्य पद $T_{r} = r(n-r)$ है,जहाँ $r = 1$ से $n-1$ तक।$S_{n} = \sum_{r=1}^{n-1} (nr - r^{2}) = n \sum_{r=1}^{n-1} r - \sum_{r=1}^{n-1} r^{2}$.$S_{n} = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$.अब,योग के अंदर के पद पर विचार करें: $\frac{2 S_{n}}{n!} - \frac{1}{(n-2)!} = \frac{2 n(n-1)(n+1)}{6 n(n-1)(n-2)!} - \frac{1}{(n-2)!}$.$= \frac{n+1}{3(n-2)!} - \frac{1}{(n-2)!} = \frac{n+1-3}{3(n-2)!} = \frac{n-2}{3(n-2)!} = \frac{1}{3(n-3)!}$.$n=4$ से $\infty$ तक योग करने पर: $\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{3(n-3)!} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{3} (e-1)$.

मान लीजिए $S_{n} = 1 \cdot (n-1) + 2 \cdot (n-2) + 3 \cdot (n-3) + \dots + (n-1) \cdot 1$,$n \geq 4$ के लिए। योग $\sum_{n=4}^{\infty} \left( \frac{2 S_{n}}{n!} - \frac{1}{(n-2)!} \right)$ किसके बराबर है?

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यदि $S_n$ प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के दो-दो के गुणनफलों का योग दर्शाता है,तो $\sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{S_n}{(n + 1)!} = $

श्रेणी $\frac{2}{2 !} + \frac{2+4}{3 !} + \frac{2+4+6}{4 !} + \ldots$ का योग किसके बराबर है?

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