$(2 \cdot {}^{1}P_{0} - 3 \cdot {}^{2}P_{1} + 4 \cdot {}^{3}P_{2} - \dots 51^{\text{th}} \text{ પદ સુધી}) + (1! - 2! + 3! - \dots 51^{\text{th}} \text{ પદ સુધી})$ ની કિંમત શોધો.

"$INTERMEDIATE$" શબ્દના અક્ષરોમાંથી એવા કેટલા અલગ શબ્દો બનાવી શકાય કે જેમાં બે સ્વર ક્યારેય સાથે ન આવે?

$BARRACK$ શબ્દના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા ચાર અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા કેટલી છે?

$2, 3, 5, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી તમામ $4$-અંકી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો થાય?

એક પરીક્ષામાં,$3$ વિકલ્પો ધરાવતા $5$ બહુવિકલ્પ પ્રશ્નો છે,જેમાંથી બરાબર એક સાચો છે. દરેક સાચા જવાબ માટે $3$ ગુણ,દરેક ખોટા જવાબ માટે $-2$ ગુણ અને જો પ્રશ્નનો પ્રયત્ન ન કરવામાં આવે તો $0$ ગુણ મળે છે. તો,પરીક્ષામાં બેસનાર વિદ્યાર્થી $5$ ગુણ મેળવે તેવી રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $^nP_3 + ^nC_{n-2} = 14n$ હોય,તો $n = $