ધારો કે $\{x\}$ અને $[x]$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ અને $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. જો $\int_{0}^{n}\{x\} dx$,$\int_{0}^{n}[x] dx$ અને $10(n^{2}-n)$ $(n \in N, n > 1)$ એ $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

યાદી $I$	યાદી $II$
$P.$ $f(0)=0$ અને $\int_0^1 f(x) dx=1$ નું પાલન કરતા,$\leq 2$ ઘાતવાળા અ-ઋણ પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતા બહુપદીઓ $f(x)$ ની સંખ્યા છે	$1.$ $8$
$Q.$ અંતરાલ $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા જ્યાં $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ બરાબર છે	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ બરાબર છે	$4.$ $0$

કોડ્સ: $P \quad Q \quad R \quad S$

$y = \int_{0}^{x} (t - 1)(t - 2) dt$ ની અંતિમ કિંમત (extremum value) શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી તેનું વિકલિત $f^{\prime}$ સતત છે અને $f(\pi)=-6$ છે. જો $F:[0, \pi] \rightarrow R$ એ $F(x)=\int_0^{ x } f( t ) dt$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,અને જો $\int_0^\pi\left(f^{\prime}( x )+ F ( x )\right) \cos x dx =2$ હોય,તો $f(0)$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ $4 \int_0^{3/2} f(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{\sqrt{f(x)+x^2}} = 108$ નું સમાધાન કરતા સતત વિધેયો $f : [0, \frac{3}{2}] \rightarrow (0, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ એક સતત વિધેય છે જેથી $f(0)=1$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) dt = 0$ થાય. તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \cos 3x = 0$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(B)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \sin 3x = -\frac{6}{\pi}$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{1 - e^{x^2}} = -1$
$(D)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \int_0^x f(t) dt}{x^2} = -1$