ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ x y^{prime}-y=x^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x)$ છે.$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x(x \cos x+\sin x)$ મળે છે.આ $\frac{

Vedclass · Accepted Answer

$2+\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x)$ છે.$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x(x \cos x+\sin x)$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=-\frac{1}{x}$ અને $Q=x^{2} \cos x+x \sin x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ છે.ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.$\frac{y}{x} = \int \frac{1}{x} \cdot x(x \cos x+\sin x) dx = \int (x \cos x+\sin x) dx$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x$.તેથી,$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x - \cos x + C = x \sin x + C$.$y(\pi)=\pi$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\pi}{\pi} = \pi \sin(\pi) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C=1$.આમ,$y = x^{2} \sin x + x$.હવે,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}$.આગળ,$\frac{dy}{dx} = x^{2} \cos x + 2x \sin x + 1$.તેથી,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -x^{2} \sin x + 2x \cos x + 2x \cos x + 2 \sin x = -x^{2} \sin x + 4x \cos x + 2 \sin x$.$x=\frac{\pi}{2}$ પર કિંમત મુકતા,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi^{2}}{4} + 0 + 2 = 2 - \frac{\pi^{2}}{4}$.અંતે,$y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(2 - \frac{\pi^{2}}{4}\right) + \left(\frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2}$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x y^{\prime}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x), x>0$ નો ઉકેલ છે. જો $y(\pi)=\pi$ હોય,તો $y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)+y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ $(x \neq 0)$ માટે $y(1) = 1$ હોય તો તેનો ઉકેલ શોધો.

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $(1 + {x^2})\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = 4{x^2}$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શું છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^3 - 3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module