સૌથી મોટા લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો,જેના શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $x$-અક્ષ પર આવેલા છે અને શિરોબિંદુઓ $C$ અને $D$ એ $x$-અક્ષની નીચે પરવલય $y = x^{2}-1$ પર આવેલા છે.

$2 a$ વ્યાસ ધરાવતા ગોળામાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા લંબવૃત્તીય નળાકારની ઊંચાઈ કેટલી થાય?

વિધેય $f(x) = x e^{-x}$ માટે તમામ $x \in R$ પર મહત્તમ કિંમત $x = k$ આગળ મળે છે, તો $k = $

$f(x) = 3 + |x|, x \in R$ દ્વારા આપવામાં આવેલા વિધેય $f$ ની સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

$x \in [0, \pi]$ માટે $f(x) = \sin x + \cos x$ વિધેયની નિરપેક્ષ મહત્તમ અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિધેય છે. ધારો કે $f$ બે વાર વિકલનીય છે,$f(0)=f(1)=0$ અને $x \in[0,1]$ માટે $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$ નું પાલન કરે છે.
$1.$ $0 < x < 1$ માટે નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $0 < f(x) < \infty$
$(B)$ $-\frac{1}{2} < f(x) < \frac{1}{2}$
$(C)$ $-\frac{1}{4} < f(x) < 1$
$(D)$ $-\infty < f(x) < 0$
$2.$ જો વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ અંતરાલ $[0,1]$ માં તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x=\frac{1}{4}$ પર ધારણ કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(B)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(C)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$
$(D)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$