WBJEE 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ગ્રહની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^{2}}$ હોવાથી,$v_{e} = \sqrt{2gR}$ થાય.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^{2}} = \frac{G}{R^{2}} \cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}\rho = \frac{4}{3}G\pi R\rho$ છે.
આમ,ત્રિજ્યા $R$ એ $\frac{g}{\rho}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $R \propto \frac{g}{\rho}$.
આ કિંમત $v_{e}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{e} = \sqrt{2g \cdot \left(\frac{3g}{4\pi G\rho}\right)} = \sqrt{\frac{3g^{2}}{2\pi G\rho}} \propto \frac{g}{\sqrt{\rho}}$.
આપેલ છે કે $\frac{g_{1}}{g_{2}} = \frac{5}{2}$ અને $\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = \frac{2}{1}$,તેથી નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{g_{1}}{g_{2}} \cdot \sqrt{\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $5:2\sqrt{2}$ છે.

(C) કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = C_{V} + \frac{P}{n} \frac{dV}{dT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_{V} = \frac{3}{2} R$.
આ પ્રક્રિયા $V-T$ આલેખમાં એક સીધી રેખા છે જે $(V_{0}, T_{0})$ અને $(2V_{0}, 3T_{0})$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાનું સમીકરણ $V - V_{0} = \frac{2V_{0} - V_{0}}{3T_{0} - T_{0}} (T - T_{0}) = \frac{V_{0}}{2T_{0}} (T - T_{0})$ છે.
તેથી,$\frac{dV}{dT} = \frac{V_{0}}{2T_{0}}$.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$P = \frac{nRT}{V}$ મળે.
$(V_{0}, T_{0})$ બિંદુએ,$P = \frac{nRT_{0}}{V_{0}}$.
આ કિંમતોને ઉષ્મા ધારિતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$C = \frac{3}{2} R + \left( \frac{nRT_{0}}{V_{0}} \right) \frac{1}{n} \left( \frac{V_{0}}{2T_{0}} \right) = \frac{3}{2} R + \frac{R}{2} = 2R$.

(B) ધારો કે $N_{1}$ એ બે બ્લોક્સ વચ્ચેનું લંબબળ છે અને $N_{2}$ એ નીચેના બ્લોક અને ટેબલ વચ્ચેનું લંબબળ છે.
$m_{1}$ દળના ઉપરના બ્લોક માટે,લંબબળ $N_{1} = m_{1}g$ છે.
$m_{2}$ દળના નીચેના બ્લોક માટે,કુલ અધોદિશાનું બળ $N_{2} = m_{2}g + N_{1} = (m_{1} + m_{2})g$ છે.
ઉપરના બ્લોક પર લાગતું આડું બળ $F$ એ નીચેના બ્લોક પર ઘર્ષણ બળ $f_{1}$ ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યાં $f_{1} \leq \mu_{1}N_{1} = \mu_{1}m_{1}g$ છે.
નીચેનો બ્લોક ક્યારેય ન ખસે તે માટે,ટેબલ દ્વારા લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ ઉપરના બ્લોક દ્વારા નીચેના બ્લોક પર લાગતા મહત્તમ ઘર્ષણ બળ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
આમ,$\mu_{2}N_{2} \geq \mu_{1}N_{1}$.
કિંમતો મૂકતા,$\mu_{2}(m_{1} + m_{2})g \geq \mu_{1}m_{1}g$.
બંને બાજુ $\mu_{2}m_{1}g$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}} \geq \frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}} \leq 1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}$.
મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય $1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$v = \frac{k}{\sqrt{x}} = k x^{-1/2}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
પ્રથમ,$\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = k \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-3/2} = -\frac{k}{2x^{3/2}}$.
હવે,$v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (k x^{-1/2}) \cdot (-\frac{k}{2x^{3/2}}) = -\frac{k^2}{2x^2}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$.
બળનું મૂલ્ય $F = |ma| = m \cdot \frac{k^2}{2x^2}$ થાય.
અહીં $m$ અને $k$ અચળ હોવાથી,$F \propto \frac{1}{x^2}$ મળે છે.

(B) ટર્મિનલ વેગ $v$ માટેનું સૂત્ર $v = \frac{2}{9} r^{2} \frac{(\rho - \sigma)}{\eta} g$ છે.
હવાની ઉત્પ્લાવકતાને અવગણતા,આપણે $\sigma \approx 0$ લઈએ છીએ.
સૂત્ર $v = \frac{2}{9} \frac{\rho}{\eta} r^{2} g$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 1.8 \times 10^{-3} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.9 \times 10^{-3} \ m$.
ઘનતા $\rho = 10^{3} \ kg \ m^{-3}$,સ્નિગ્ધતા $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \ N \ s \ m^{-2}$,અને $g = 9.8 \ m \ s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{2}{9} \times \frac{10^{3}}{1.8 \times 10^{-5}} \times (0.9 \times 10^{-3})^{2} \times 9.8$.
$v = \frac{2}{9} \times \frac{10^{3}}{1.8 \times 10^{-5}} \times (0.81 \times 10^{-6}) \times 9.8$.
ગણતરી કરતા $v = 98 \ m \ s^{-1}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે પ્રતિબળ $\sigma_{s} = \frac{1}{100} Y$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{લંબાઈમાં વિકૃતિ}} = \frac{\sigma_{s}}{\Delta l / l}$.
પ્રતિબળની કિંમત મૂકતા: $Y = \frac{Y / 100}{\Delta l / l} \implies \frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{100} = 0.01$.
પોઈસન ગુણોત્તર $\nu = -\frac{\Delta w / w}{\Delta l / l} = -\frac{\Delta t / t}{\Delta l / l} = 0.3$.
તેથી,પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta w}{w} = \frac{\Delta t}{t} = -\nu \left( \frac{\Delta l}{l} \right) = -0.3 \times 0.01 = -0.003$.
લંબચોરસ સળિયાનું કદ $V = l \times w \times t$ છે.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} \approx \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta w}{w} + \frac{\Delta t}{t}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = 0.01 + (-0.003) + (-0.003) = 0.01 - 0.006 = 0.004$.
તેથી,કદમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $0.004 \times 100 \% = 0.4 \%$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$ અને વેગ $v = \frac{dy}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને ગોઠવતા,આપણને $\frac{y}{A} = \sin(\omega t)$ અને $\frac{v}{A \omega} = \cos(\omega t)$ મળે છે.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{v^2}{(A \omega)^2} + \frac{y^2}{A^2} = 1$ મળે છે,જે એક ઉપવલય દર્શાવે છે.
$X$-અક્ષ (વેગ) પરની ગૌણ અક્ષ $2A \omega$ છે અને $Y$-અક્ષ (સ્થાનાંતર) પરની લઘુ અક્ષ $2A$ છે.
ગૌણ અક્ષ અને લઘુ અક્ષનો ગુણોત્તર $\frac{2A \omega}{2A} = \omega$ છે.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $20 \pi$ છે,તેથી $\omega = 20 \pi$.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી $2 \pi f = 20 \pi$.
તેથી,$f = 10 \ Hz$.

(C) $\sigma$ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતી અનંત સમતલ પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળો $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો હોવાથી,તે ઉપરની તરફ $F_e = qE = \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0}}$ જેટલું સ્થિત-વિદ્યુત બળ અનુભવે છે.
ગોળા પર લાગતો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ એ $m g_{\text{eff}} = mg - F_e = mg - \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0}}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$g_{\text{eff}} = g - \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0} m}$.
સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g_{\text{eff}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g - \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0} m}}}$ મળે છે.

(D) ધારો કે બંને ગોળાઓનું દળ $M$ છે. નક્કર ગોળા માટે: $M = \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા પોલા ગોળા માટે: $M = \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})$.
દળને સરખાવતા: $\rho_{1} R^{3} = \rho_{2} (R^{3} - r^{3})$.
આનાથી $\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = 1 - \frac{r^{3}}{R^{3}}$ મળે,તેથી $\frac{r^{3}}{R^{3}} = 1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r}{R} = (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{1/3}$.
નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{S} = \frac{2}{5} M R^{2}$ છે.
પોલા ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{H} = \frac{2}{5} M \frac{R^{5} - r^{5}}{R^{3} - r^{3}}$ છે.
$M = \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I_{H} = \frac{2}{5} (\rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})) \frac{R^{5} - r^{5}}{R^{3} - r^{3}} = \frac{2}{5} \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{5} - r^{5})$ મળે.
$M = \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}$ હોવાથી,આપણી પાસે $I_{S} = \frac{2}{5} (\rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}) R^{2} = \frac{2}{5} \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{5}$ છે.
તેથી,$\frac{I_{H}}{I_{S}} = \frac{\rho_{2} (R^{5} - r^{5})}{\rho_{1} R^{5}} = \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} [1 - (\frac{r}{R})^{5}]$.
$\frac{r}{R} = (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{1/3}$ મૂકતા,આપણને $\frac{I_{H}}{I_{S}} = \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} [1 - (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{5/3}]$ મળે છે.

(C) ધારો કે બરફનું પ્રારંભિક દળ $m \ g$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા.
અહીં સંતુલન તાપમાન $0^{\circ} C$ છે કારણ કે અડધો બરફ ઓગળે છે.
પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = (50 + 10) \times 1.0 \times (15 - 0) = 60 \times 15 = 900 \ cal$.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા: બરફ $-10^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ થાય છે અને ત્યારબાદ અડધો બરફ ઓગળે છે.
$Q_{gained} = m \times 0.5 \times (0 - (-10)) + (m/2) \times 80 = 5m + 40m = 45m$.
બંનેને સરખાવતા: $900 = 45m$.
$m = 900 / 45 = 20 \ g$.

(B) $p-V$ આલેખમાં, કોઈપણ બિંદુએ સમોષ્મી વક્રનો ઢાળ તે જ બિંદુએ સમતાપી વક્રના ઢાળ કરતા વધારે હોય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $A(p_{i}, V_{i})$ છે।
$V_{0}$ કદ સુધીના પ્રતિવર્તી સમતાપી વિસ્તરણ દરમિયાન, વાયુ સમતાપી વક્ર પર અવસ્થા $B(p_{2}, V_{0})$ સુધી જાય છે, જ્યાં $p_{2} < p_{i}$ છે.
ત્યારબાદ $V_{0}$ કદથી મૂળ કદ $V_{i}$ સુધીના પ્રતિવર્તી સમોષ્મી સંકોચન દરમિયાન, વાયુ સમોષ્મી વક્ર પર અવસ્થા $B(p_{2}, V_{0})$ થી અવસ્થા $C(p_{f}, V_{i})$ સુધી જાય છે.
સમોષ્મી વક્ર સમતાપી વક્ર કરતા વધુ ઢાળવાળો હોવાથી, $p-V$ સમતલમાં $B$ થી $C$ નો માર્ગ $A$ થી $B$ ના માર્ગની ઉપર રહે છે.
તેથી, $V_{i}$ કદ પર અંતિમ દબાણ $p_{f}$ એ પ્રારંભિક દબાણ $p_{i}$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
આમ, $p_{f} > p_{i}$.

(B, C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ માત્ર તાપમાન $(T)$ પર આધાર રાખે છે, જે $U = f(T)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં, વાયુનું તાપમાન અચળ રહે છે $(\Delta T = 0)$.
આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધારિત હોવાથી, તે સમતાપી પ્રક્રિયામાં અચળ રહે છે.
સમદાબ પ્રક્રિયામાં, જો વાયુનું વિસ્તરણ થાય, તો તાપમાન વધે છે ($PV = nRT$ પરથી, જો $P$ અચળ હોય અને $V$ વધે, તો $T$ વધવું જ જોઈએ), જેના પરિણામે આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થાય છે.
તેથી, વિધાન $(B)$ અને વિધાન $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) જે ઘટનામાં અવાજની તીવ્રતા સમય સાથે આવર્તનીય રીતે બદલાય છે તેને $beats$ (બીટ્સ) કહેવામાં આવે છે.
$Beats$ ત્યારે થાય છે જ્યારે થોડી અલગ આવૃત્તિઓ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો,$f_1$ અને $f_2$,એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ (interference) કરે છે.
પરિણામી તીવ્રતા બંને આવૃત્તિઓના તફાવત,$|f_1 - f_2|$,જેટલી આવૃત્તિ સાથે બદલાય છે.
વધુમાં,જો સ્ત્રોતની તીવ્રતા પોતે જ આવર્તનીય રીતે બદલાતી હોય,તો અવલોકનકાર તીવ્રતામાં આવર્તનીય ફેરફાર અનુભવશે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ એ $beats$ માટેની ભૌતિક સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે,જે આવર્તનીય તીવ્રતાના ફેરફારનું પ્રમાણભૂત કારણ છે.

(D) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથમાં,જો બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ પર પ્રવાહ સમાન હોય,તો આ આવૃત્તિઓ અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ થી ભૌમિતિક રીતે સમાન અંતરે હોય છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ એ બે આવૃત્તિઓના ભૌમિતિક મધ્યક દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં પ્રવાહ સમાન હોય છે:
$f_0 = \sqrt{f_1 \times f_2}$
આપેલ છે:
$f_1 = 200 \ Hz$
$f_2 = 800 \ Hz$
કિંમતો મૂકતા:
$f_0 = \sqrt{200 \times 800}$
$f_0 = \sqrt{160000}$
$f_0 = 400 \ Hz$
આમ,પરિપથની અનુનાદ આવૃત્તિ $400 \ Hz$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો રેખીય વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$
જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આપેલ પરમાણુ માટે $n$ સિવાયના તમામ પદો અચળ છે.
તેથી,સંબંધ $v \propto \frac{1}{n}$ છે.

(C) જ્યારે સ્વિચ ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ચાર્જ થવાનું શરૂ કરે છે. શરૂઆતમાં,કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $0$ હોય છે,તેથી તેના પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0 \ V$ હોય છે. પરિણામે,બેટરીનો સંપૂર્ણ વોલ્ટેજ બલ્બ પર લાગુ થાય છે,જેના કારણે તે મહત્તમ તીવ્રતા સાથે પ્રકાશિત થાય છે.
જેમ જેમ કેપેસિટર ચાર્જ થાય છે,તેમ તેના પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_c = q/C)$ સમય સાથે વધે છે. કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ,બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ $(V_b)$ એ $V_b = V_{battery} - V_c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $V_c$ વધે છે,તેમ $V_b$ ઘટે છે.
તેથી,પ્રકાશની તીવ્રતા,જે બલ્બ દ્વારા વપરાતી પાવર $(P = V_b^2 / R)$ પર આધાર રાખે છે,તે શરૂઆતમાં મહત્તમ હશે અને જેમ કેપેસિટર સંપૂર્ણ ચાર્જ થશે તેમ તે ક્રમશઃ ઘટશે.

(A) અલગ કરેલા ચાર્જ થયેલ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} = \frac{q}{A \varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે અચળ છે કારણ કે $q$,$A$ અને $\varepsilon_{0}$ અચળ છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ $F = qE = \frac{q^2}{2A \varepsilon_{0}}$ છે.
બળ અચળ હોવાથી,પ્લેટોનો પ્રવેગ $a$ અચળ છે $(a = F/m)$.
સમય $t$ પર પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d(t) = d_{0} - \frac{1}{2} a t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d_{0}$ એ પ્રારંભિક અંતર છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot d(t) = E (d_{0} - \frac{1}{2} a t^2)$ છે.
આ સમીકરણ $V(t) = E d_{0} - (\frac{E a}{2}) t^2$ એ નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે,જે આલેખ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(D) વિકર્ણ પર સમતુલ્ય અવરોધને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે અવરોધોને એવી રીતે જૂથબદ્ધ કરવા જોઈએ કે જેથી બે સમાંતર શાખાઓમાં અવરોધોનો સરવાળો સૌથી વધુ હોય. ધારો કે ચાર અવરોધો $R_1, R_2, R_3, R_4$ છે. જ્યારે વિકર્ણ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ બે સમાંતર શાખાઓ બનાવે છે,જેમાં દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે અવરોધો હોય છે. ધારો કે શાખાઓ $(R_a + R_b)$ અને $(R_c + R_d)$ છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{(R_a + R_b)(R_c + R_d)}{(R_a + R_b) + (R_c + R_d)}$ છે. આને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે બંને શાખાઓના સરવાળાને એકબીજાની શક્ય તેટલી નજીક રાખવા જોઈએ. કુલ સરવાળો $100 + 200 + 300 + 400 = 1000 \Omega$ છે. આમ,આપણે દરેક શાખાને $500 \Omega$ બનાવવાનું લક્ષ્ય રાખીએ છીએ. આપણે તેમને $(400 + 100) = 500 \Omega$ અને $(300 + 200) = 500 \Omega$ તરીકે જોડી શકીએ છીએ. સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{500 \times 500}{500 + 500} = \frac{250000}{1000} = 250 \Omega$ થશે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓમાંથી કોઈ સીધો વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,આપણે $1 \mu F$ અને $2 \mu F$ કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓને અવગણી શકીએ છીએ.
પરિપથ એક શ્રેણી લૂપમાં સરળ બને છે જેમાં $6 V$ ની બેટરી,$200 \Omega$ નો અવરોધ અને $400 \Omega$ નો અવરોધ હોય છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{\text{net}} = 200 \Omega + 400 \Omega = 600 \Omega$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{V}{R_{\text{net}}} = \frac{6 V}{600 \Omega} = 0.01 A$.
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતરિત કરતા,$I = 0.01 \times 1000 mA = 10 mA$.

(B, D) ધારો કે બેટરીનો વોલ્ટેજ $V = 10 \ V$ છે. જ્યારે કળ $K$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પરિપથ શ્રેણી-સમાંતર જોડાણ છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (200 + 300) \parallel (100 + G) = \frac{500(100+G)}{600+G}$ છે. ગેલ્વેનોમીટર શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{G, open} = \frac{V}{100+G}$ છે.
જ્યારે કળ $K$ બંધ હોય,ત્યારે પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બને છે. ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ બદલાતો નથી તેનો અર્થ એ છે કે બ્રિજ સંતુલિત છે,એટલે કે $\frac{200}{100} = \frac{300}{G}$.
$G$ માટે ઉકેલતા: $G = \frac{300 \times 100}{200} = 150 \ \Omega$. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
$G = 150 \ \Omega$ સાથે,જ્યારે કળ બંધ હોય ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{G, closed} = \frac{V}{R_{eq}'}$ છે. બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટરના બંને છેડા પરનો પોટેન્શિયલ સમાન છે,અને પ્રવાહ પોટેન્શિયલ ડિવાઈડર દ્વારા નક્કી થાય છે: $I_G = \frac{10}{100+150} = \frac{10}{250} = 0.04 \ A = 40 \ mA$. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,ભુજાઓમાં અવરોધનો ગુણોત્તર સમાન છે,તેથી ઉપરની અને નીચેની શાખાઓમાં પ્રવાહ ગેલ્વેનોમીટરના જોડાણથી સ્વતંત્ર છે,પરંતુ $200 \ \Omega$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $300 \ \Omega$ માંથી વહેતા પ્રવાહ જેટલો હોવો જરૂરી નથી સિવાય કે અવરોધો સમાન હોય. અહીં $200 \ \Omega \neq 300 \ \Omega$,તેથી વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(D) $V$ પોટેન્શિયલ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_e e V}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
તેથી,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
અહીં $\lambda_1 = \lambda$ અને $\lambda_2 = 2\lambda$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\lambda}{2\lambda} = \sqrt{\frac{V_2}{10000}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} = \frac{V_2}{10000}$.
આમ,$V_2 = \frac{10000}{4} = 2500 \ V$.

(A) પ્રવાહ $I$ વહેતા લાંબા સીધા તારથી $y$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે લૂપની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે. લૂપ $v$ વેગથી તારથી દૂર જાય છે. $t=0$ સમયે તારથી લૂપની અંદરની ધારનું અંતર $y_0$ છે. $t$ સમયે અંતર $y(t) = y_0 + vt$ થાય.
પહોળાઈ $b$ ખૂબ નાની $(b \ll y)$ હોવાથી,લૂપ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન ગણી શકાય,અને પ્રેરિત emf $E$ એ લંબાઈ $l$ ની બે બાજુઓ વચ્ચેના ગતિકીય emf નો તફાવત છે:
$E = E_1 - E_2 = v l (B_1 - B_2) = v l \left( \frac{\mu_{0} I}{2 \pi y} - \frac{\mu_{0} I}{2 \pi (y+b)} \right)$
$E = \frac{\mu_{0} I v l}{2 \pi} \left( \frac{y+b-y}{y(y+b)} \right) = \frac{\mu_{0} I v l b}{2 \pi y(y+b)}$
$b \ll y$ હોવાથી,$y+b \approx y$ લેતા,$E \approx \frac{\mu_{0} I v l b}{2 \pi y^2}$ મળે.
$y = y_0 + vt$ હોવાથી,મોટા $t$ માટે,$y \approx vt$ થાય. તેથી,$E \propto \frac{1}{(vt)^2} \propto \frac{1}{t^2}$.

(D) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$F_{\text{centripetal}} = m r \omega^{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$
આના પરથી,આપણે કોણીય વેગ $\omega$ શોધીએ છીએ:
$\omega^{2} = \frac{q_{1} q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} m r^{3}} \implies \omega \propto \frac{1}{r^{3/2}}$
ગતિશીલ વીજભાર $q_{1}$ એ પ્રવાહ $i$ ઉત્પન્ન કરે છે જે નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{q_{1}}{T} = \frac{q_{1} \omega}{2 \pi}$
વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ છે:
$B = \frac{\mu_{0} i}{2 r} = \frac{\mu_{0}}{2 r} \left( \frac{q_{1} \omega}{2 \pi} \right) = \frac{\mu_{0} q_{1} \omega}{4 \pi r}$
કારણ કે $\omega \propto r^{-3/2}$,તેથી:
$B \propto \frac{\omega}{r} \propto \frac{r^{-3/2}}{r} = r^{-5/2}$
આમ,$B \propto \frac{1}{r^{5/2}}$.

(C) નિયમિત ષટ્કોણમાં,કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર બાજુની લંબાઈ $a$ જેટલું હોય છે.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે ચાર વિદ્યુતભારોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $A, B, C$ અને $F$ શિરોબિંદુઓ પર મૂકીએ છીએ.
$F$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે,તેથી તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે $(E_F + E_C = 0)$.
કેન્દ્ર $O$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે છે.
દરેક વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{a^2}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશો $E_A$ અને $E_B$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{net}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{\text{net}} = \sqrt{E_A^2 + E_B^2 + 2 E_A E_B \cos 60^{\circ}}$
કારણ કે $E_A = E_B = E$,તેથી:
$E_{\text{net}} = \sqrt{E^2 + E^2 + 2 E^2 (1/2)} = \sqrt{3E^2} = E\sqrt{3}$
$E$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_{\text{net}} = \frac{\sqrt{3}Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2}$

(C) $1$. કેન્દ્ર $O$ પર રહેલો $+Q$ વિદ્યુતભાર આખા સમઘનમાંથી $\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ જેટલું કુલ ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે. સંમિતિ મુજબ,દરેક $6$ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{Q}{6\varepsilon_{0}}$ છે.
$2$. બિંદુ $P$ પર રહેલો $+Q$ વિદ્યુતભાર સપાટી $ABCD$ ના કેન્દ્રથી $a/2$ અંતરે છે. આ વિદ્યુતભારને કારણે સપાટી $ABCD$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{Q}{2\varepsilon_{0}}$ છે (કારણ કે વિદ્યુતભાર સપાટીના કેન્દ્રથી $a/2$ અંતરે હોવાથી તે સપાટી પર $2\pi$ સ્ટીરેડિયનનો ઘનકોણ આંતરે છે).
$3$. બંને વિદ્યુતભારોને કારણે સપાટી $ABCD$ માંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{ABCD} = \phi_{O, ABCD} + \phi_{P, ABCD} = \frac{Q}{6\varepsilon_{0}} - \frac{Q}{2\varepsilon_{0}} = -\frac{Q}{3\varepsilon_{0}}$ છે (કારણ કે $P$ થી આવતું ફ્લક્સ સમઘનમાં દાખલ થાય છે,તેથી તે ઋણ છે).
$4$. બંને વિદ્યુતભારોને કારણે સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ છે.
$5$. બાકીની $5$ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{5} = \phi_{total} - \phi_{ABCD} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}} - (-\frac{Q}{3\varepsilon_{0}}) = \frac{4Q}{3\varepsilon_{0}} = \frac{8Q}{6\varepsilon_{0}}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી રીંગના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{\sqrt{x^{2} + r^{2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ માટે,$x_A = \frac{4}{3}r$,તેથી રીંગની પરિધિથી અંતર $d_A = \sqrt{(\frac{4}{3}r)^2 + r^2} = \frac{5}{3}r$.
તેથી,$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{3q}{5r}$.
બિંદુ $B$ માટે,$x_B = \frac{3}{4}r$,તેથી રીંગની પરિધિથી અંતર $d_B = \sqrt{(\frac{3}{4}r)^2 + r^2} = \frac{5}{4}r$.
તેથી,$V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{4q}{5r}$.
$-q$ વિદ્યુતભારને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = (-q)(V_B - V_A)$.
$W = -q \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{4q}{5r} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{3q}{5r} \right) = -\frac{1}{5} \cdot \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.

(A) વિદ્યુતભારોની વચ્ચે બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q}{r} + \frac{4Q}{d-r} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ $A$ થી $P$ નું અંતર છે.
સ્થિતિમાન ન્યૂનતમ હોવા માટે,આપણે $\frac{dV}{dr} = 0$ લઈએ છીએ.
$\frac{dV}{dr} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( -\frac{Q}{r^2} + \frac{4Q}{(d-r)^2} \right) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{Q}{r^2} = \frac{4Q}{(d-r)^2}$,જે તે શરતને સમકક્ષ છે જ્યાં ચોખ્ખું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = 0$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{r} = \frac{2}{d-r}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $d - r = 2r \Rightarrow 3r = d \Rightarrow r = \frac{d}{3}$.
આમ,$A$ ની જમણી બાજુએ $\frac{d}{3}$ એકમ અંતરે સ્થિતિમાન ન્યૂનતમ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા પોલા નળાકાર માટે જે તેની લંબાઈ સાથે સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ વહન કરે છે:
$1$. નળાકારની અંદર $(d < R)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શૂન્ય છે કારણ કે બંધિત વિદ્યુતપ્રવાહ શૂન્ય છે.
$2$. નળાકારની બહાર $(d \geq R)$,એમ્પીયરના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} i}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $B \propto \frac{1}{d}$.
તેથી,$B$ વિરુદ્ધ $d$ નો આલેખ $d < R$ માટે $B = 0$ અને $d \geq R$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવશે. આ આકૃતિ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $(I)$: $r$ ત્રિજ્યાના લૂપ માટે,લંબાઈ $l_1 = 2\pi r$ છે. અવરોધ $R_1 = \rho \frac{l_1}{A} = \rho \frac{2\pi r}{A}$ છે. પ્રવાહ $I_1 = \frac{V}{R_1}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2r}$ છે.
કિસ્સો $(II)$: $2r$ ત્રિજ્યાના લૂપ માટે,લંબાઈ $l_2 = 2\pi(2r) = 2l_1$ છે. અવરોધ $R_2 = \rho \frac{l_2}{A} = 2R_1$ છે. પ્રવાહ $I_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{V}{2R_1} = \frac{I_1}{2}$ છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2(2r)} = \frac{\mu_0 (I_1/2)}{4r} = \frac{1}{4} \left( \frac{\mu_0 I_1}{2r} \right) = \frac{B_1}{4}$ થાય.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{2\pi m}{qB}$.
આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે આવર્તકાળ $T$ માત્ર દળ $m$,વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ પર આધાર રાખે છે.
અહીં $m$,$q$ અને $B$ અચળ રહેતા હોવાથી,આવર્તકાળ $T$ એ પ્રોટોનની ઝડપ $v$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો ઝડપ વધારીને $\sqrt{2}v$ કરવામાં આવે તો પણ,આવર્તકાળ $T$ જ રહેશે.

(D) આપેલ છે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 3$ દિવસ.
સમય $t$ પછી બાકી રહેલા સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 (1/2)^{t/t_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા દિવસની શરૂઆતમાં ($t = 2$ દિવસ),બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1 = N_0 (1/2)^{2/3} = N_0 / (2^{2/3}) = N_0 / (4^{1/3})$ છે.
આપેલ છે કે $\sqrt[3]{0.25} \approx 0.63$,તેથી $N_1 = N_0 \times 0.63$.
ત્રીજા દિવસના અંતે ($t = 3$ દિવસ),બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2 = N_0 (1/2)^{3/3} = 0.5 N_0$ છે.
ત્રીજા દિવસે ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા એ દિવસની શરૂઆતમાં અને અંતે હાજર ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta N = N_1 - N_2 = 0.63 N_0 - 0.5 N_0 = 0.13 N_0$.
આમ,ત્રીજા દિવસે ક્ષય પામતા પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસનો અંશ $0.13$ છે.

(A, C) ક્રાંતિકોણ $\theta_{C} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$ છે.
આપાત સપાટી $S$ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા $(n_{1} \sin \theta_{1} = n_{2} \sin \theta_{2})$:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \cdot \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 30^{\circ}$.
બિંદુ $P$ આગળ,આપાતકોણ $90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$ છે. $75^{\circ} > 45^{\circ}$ હોવાથી,$P$ આગળ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થાય છે.
બિંદુ $Q$ આગળ,આપાતકોણ $15^{\circ}$ છે. $15^{\circ} < 45^{\circ}$ હોવાથી,$Q$ આગળ આંશિક પરાવર્તન અને વક્રીભવન થાય છે.
$R$ આગળથી બહાર નીકળતું કિરણ $S$ આગળ આપાત થતા કિરણને સમાંતર છે કારણ કે પ્રિઝમની ભૂમિતિ અને કિરણનો માર્ગ કુલ વિચલન $0^{\circ}$ (અથવા $360^{\circ}$) આપે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાંતર છે. આમ,વિધાન $A$ અને $C$ સાચા છે.

(B) આપેલ લેન્સનું સંયોજન ત્રણ લેન્સના સંપર્કથી બનેલું છે: બે સમાન ઇક્વિકોન્વેક્સ કાચના લેન્સ ($L_1$ અને $L_3$) અને તેમની વચ્ચે બનેલો પાણીનો લેન્સ $(L_2)$.
ધારો કે દરેક કાચના લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ છે અને પાણીના લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ છે.
લેન્સ સંપર્કમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$
$L_1$ અને $L_3$ સમાન હોવાથી,$f_1 = f_3 = f$. પાણીનો લેન્સ $L_2$ એ બાયકોન્કેવ લેન્સ છે,તેથી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ ઋણ છે.
આમ,$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f} + \frac{1}{f_2}$.
ધારો કે $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે. કાચના લેન્સ માટે,$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1)(\frac{2}{R})$. પાણીના લેન્સ માટે,$\frac{1}{f_2} = -(\mu_w - 1)(\frac{2}{R})$.
કારણ કે $\mu_g > \mu_w$,કાચના લેન્સના પાવરનું મૂલ્ય પાણીના લેન્સ કરતા વધારે છે,એટલે કે $|\frac{1}{f}| > |\frac{1}{f_2}|$.
તેથી,$\frac{1}{F} = \frac{2}{f} - |\frac{1}{f_2}|$. કારણ કે $|\frac{1}{f_2}| > 0$,$\frac{1}{F} < \frac{2}{f}$,જે સૂચવે છે કે $F > \frac{f}{2}$.
વધુમાં,$\frac{1}{F} = \frac{2}{f} - |\frac{1}{f_2}|$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $\frac{1}{F} > \frac{1}{f}$ (કારણ કે આપણે $\frac{2}{f}$ માંથી ધન મૂલ્ય બાદ કરી રહ્યા છીએ પરંતુ ચોખ્ખો પાવર હજુ પણ ધન છે અને $\frac{2}{f}$ કરતા ઓછો છે),તેથી $F < f$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $\frac{f}{2} < F < f$ મળે છે.

(D) હવાનો પરપોટો નક્કર કાચના ગોળાના કેન્દ્ર $O$ પર સ્થિત છે.
જ્યારે હવામાંથી નીકળતા પ્રકાશના કિરણો ગોળાની સપાટી તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ ગોળાની ત્રિજ્યાની દિશામાં ગતિ કરે છે.
ત્રિજ્યા હંમેશા ગોળાની સપાટીને લંબ હોવાથી,પ્રકાશના કિરણો સપાટી પર $i = 0^\circ$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રકાશ સપાટી પર લંબ રૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે તેનું કોઈ વક્રીભવન કે વિચલન થતું નથી.
તેથી,પ્રકાશના કિરણો વાંકા વળ્યા વિના સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
પરિણામે,બહારથી જોનાર અવલોકનકારને પરપોટાનું પ્રતિબિંબ વસ્તુના સ્થાને જ દેખાય છે.
આમ,ગોળાના કેન્દ્રથી પરપોટાનું આભાસી અંતર શૂન્ય છે.

(A) ધારો કે ઉદગમ $S(0,1)$ પર છે અને અરીસા પરનું બિંદુ $M$ છે. પરાવર્તિત કિરણ $P(3,3)$ માંથી પસાર થાય છે.
અરીસો $X$-અક્ષ પર હોવાથી,અરીસા દ્વારા બનતું ઉદગમ $S(0,1)$ નું પ્રતિબિંબ $I(0,-1)$ છે.
પરાવર્તિત કિરણની પથ લંબાઈ $SM + MP$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,$SM = IM$.
તેથી,કુલ પથ લંબાઈ $IM + MP = IP$ થાય.
અંતર $IP$ એ બિંદુઓ $I(0,-1)$ અને $P(3,3)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $IP = \sqrt{(3-0)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(A) આપેલ સર્કિટમાં,ઝેનર ડાયોડ $4 \text{ k}\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. ઝેનર ડાયોડ તેના બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્યરત હોવાથી,તેની આસપાસનો વોલ્ટેજ $6 \text{ V}$ પર અચળ રહે છે.
ઝેનર ડાયોડ અને $4 \text{ k}\Omega$ નો અવરોધ સમાંતરમાં હોવાથી,$4 \text{ k}\Omega$ ના અવરોધની આસપાસનો વોલ્ટેજ પણ $6 \text{ V}$ થશે.
સર્કિટમાં કુલ વોલ્ટેજ $10 \text{ V}$ છે. $6 \text{ k}\Omega$ ના શ્રેણી અવરોધમાં વોલ્ટેજ ડ્રોપ એ સોર્સ વોલ્ટેજ અને ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$V_{6\text{k}\Omega} = 10 \text{ V} - 6 \text{ V} = 4 \text{ V}$.
$6 \text{ k}\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$I = \frac{V_{6\text{k}\Omega}}{R} = \frac{4 \text{ V}}{6 \text{ k}\Omega} = \frac{4}{6} \text{ mA} = \frac{2}{3} \text{ mA}$.

(C) આ સર્કિટ બે ક્રોસ-કપલ્ડ $NAND$ ગેટની બનેલી છે, જે $S-R$ લેચ બનાવે છે.
અહીં $A=1$ અને $B=0$ આપેલ છે.
નીચેના $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{B \cdot X} = \overline{0 \cdot X} = \overline{0} = 1$ થાય છે.
હવે, $Y$ ની આ કિંમતનો ઉપયોગ ઉપરના $NAND$ ગેટમાં કરતા, આઉટપુટ $X = \overline{A \cdot Y} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
આમ, સ્થિર સ્થિતિ $X=0$ અને $Y=1$ છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,સફેદ પ્રકાશ $4000 \ Å$ થી $7000 \ Å$ ની તરંગલંબાઇ ધરાવે છે.
સ્ક્રીન પરના મધ્યસ્થ બિંદુએ,તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે પથ તફાવત શૂન્ય હોય છે.
પથ તફાવત શૂન્ય હોવાથી,તમામ તરંગલંબાઇઓ મધ્યમાં સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,જેના પરિણામે સફેદ શલાકા રચાય છે.
જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ પથ તફાવત વધે છે,જેના કારણે વિવિધ તરંગલંબાઇઓ અલગ-અલગ સ્થાનો પર સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,પરિણામે રંગીન શલાકાઓ જોવા મળે છે.