$I = \int_{\pi / 2}^{5 \pi / 2} \frac{e^{\tan^{-1}(\sin x)}}{e^{\tan^{-1}(\sin x)} + e^{\tan^{-1}(\cos x)}} dx$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, 1]$ એ $f(x) = \sin^2 x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે અને ધારો કે $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, \infty)$ એ $g(x) = \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે.
(આ ફકરા પર આધારિત બે પ્રશ્નો છે. નીચે આપેલા પ્રશ્નો તે બે છે.)
$(1)$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(2)$ $\frac{16}{\pi^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિધાન $(A)$: $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(\sin x)^{\sqrt{2}} dx}{(\sin x)^{\sqrt{2}}+(\cos x)^{\sqrt{2}}} = \frac{\pi}{12}$
કારણ $(R)$: $\int_{a}^{b} \frac{f(x) dx}{f(x)+f(a+b-x)} = \frac{b-a}{2}$

જો $n \geq 1$ માટે,$P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$ હોય,તો $P_{10} - 90P_8$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^1 f(1 - x) \, dx$ નું મૂલ્ય નીચેનામાંથી કયા સંકલન સમાન છે?

જો $S_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ અને $n$ એ પૂર્ણાંક હોય,તો $S_{n+1} - S_n =$