જો $(2 \leq r \leq n)$ હોય,તો ${}^{n}C_{r} + 2 \cdot {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2}$ ની કિંમત શું થાય?

એક દેશમાં $10$ સ્માર્ટ સિટી છે. સરકારે આ તમામ શહેરોને રોડ દ્વારા જોડવાનો નિર્ણય કર્યો છે. દરેક શહેર બીજા દરેક શહેર સાથે જોડાયેલું રહે તે માટે સરકારે કેટલા રસ્તાઓનું નિર્માણ કરવું પડશે?

જો $4$ પરિણીત યુગલોમાંથી મિક્સ્ડ ડબલ્સ ટેનિસ ગેમ રમવા માટે $4$ વ્યક્તિઓની ટીમ પસંદ કરવાની હોય,તો એવી ટીમ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે જેમાં કોઈ પણ પરિણીત યુગલ ન હોય?

દુકાનમાં $5$ પ્રકારની આઈસ્ક્રીમ ઉપલબ્ધ છે. એક બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદે છે.
વિધાન-$1$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ $^{10}C_5$ રીતે ખરીદી શકે છે.
વિધાન-$2$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદી શકે તે રીતોની સંખ્યા એ $6$ '$A$' અને $4$ '$B$' ને હારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે.

જો $2 \times {}^nC_5 = 9 \times {}^{n-2}C_5$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો:

જો ${ }^{n+4} C_{n+1}-{ }^{n+3} C_n=15(n+2)$ હોય,તો $n=$