WBJEE 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया समीकरण: $x+\log _{10}\left(1+2^{x}\right)=x \log _{10} 5+\log _{10} 6$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = x \log _{10} 5 - x + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = x \log _{10} 5 - x \log _{10} 10 + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = \log _{10} 5^{x} - \log _{10} 10^{x} + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = \log _{10}\left(\frac{5^{x} \cdot 6}{10^{x}}\right)$
दोनों पक्षों का एंटीलॉग लेने पर:
$1+2^{x} = \frac{5^{x} \cdot 6}{2^{x} \cdot 5^{x}}$
$1+2^{x} = \frac{6}{2^{x}}$
माना $2^{x} = t$। तब $1+t = \frac{6}{t}$
$t + t^{2} = 6$
$t^{2} + t - 6 = 0$
$(t+3)(t-2) = 0$
चूंकि $t = 2^{x} > 0$,इसलिए $t = 2$।
$2^{x} = 2^{1} \Rightarrow x = 1$.

(B) $0 \leq p \leq 1$ और $a, b > 0$ दिया गया है।
फलन $f(x) = x^p$ पर विचार करें।
चूंकि $0 \leq p \leq 1$,फलन $f(x) = x^p$ $x > 0$ के लिए एक अवतल (concave) फलन है।
अवतल फलन के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी $a, b > 0$ और $0 < p < 1$ के लिए,$(a+b)^p \leq a^p + b^p$ होता है।
यह दर्शाता है कि $I(p) \leq J(p)$ है।
$p=0$ के लिए,$I(0) = (a+b)^0 = 1$ और $J(0) = a^0 + b^0 = 1 + 1 = 2$,इसलिए $1 \leq 2$।
$p=1$ के लिए,$I(1) = a+b$ और $J(1) = a+b$,इसलिए $a+b \leq a+b$।
अतः,सभी $0 \leq p \leq 1$ के लिए $I(p) \leq J(p)$ सत्य है।

(A) दो द्विघात समीकरणों पर विचार करें:
$x^{2} + b_{1}x + c_{1} = 0$ और $x^{2} + b_{2}x + c_{2} = 0$.
माना $D_{1}$ और $D_{2}$ क्रमशः इन समीकरणों के विविक्तकर (discriminants) हैं।
$D_{1} = b_{1}^{2} - 4c_{1}$
$D_{2} = b_{2}^{2} - 4c_{2}$
दोनों विविक्तकरों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$D_{1} + D_{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - 4(c_{1} + c_{2})$
यह दिया गया है कि $b_{1}b_{2} = 2(c_{1} + c_{2})$,इसलिए $4(c_{1} + c_{2}) = 2b_{1}b_{2}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$D_{1} + D_{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - 2b_{1}b_{2}$
$D_{1} + D_{2} = (b_{1} - b_{2})^{2}$
चूँकि सभी वास्तविक $b_{1}, b_{2}$ के लिए $(b_{1} - b_{2})^{2} \geq 0$ है,इसलिए $D_{1} + D_{2} \geq 0$ होता है।
यदि दो वास्तविक संख्याओं का योग अऋणात्मक है,तो उनमें से कम से कम एक संख्या अऋणात्मक होनी चाहिए।
अतः,$D_{1}$ या $D_{2}$ में से कम से कम एक $\geq 0$ है,जिसका अर्थ है कि कम से कम एक समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

(D) मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}+ax+b=0$ के मूल हैं और $x^{2}-cx+d=0$ के मूल $\alpha^{4}$ और $\beta^{4}$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंधों से:
$\alpha+\beta=-a, \alpha\beta=b$ ...$(i)$
$\alpha^{4}+\beta^{4}=c, \alpha^{4}\beta^{4}=d$ ...$(ii)$
$(ii)$ से,$c = \alpha^{4}+\beta^{4} = (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2}-2(\alpha\beta)^{2} = ((\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta)^{2}-2(\alpha\beta)^{2}$.
$(i)$ को प्रतिस्थापित करने पर: $c = (a^{2}-2b)^{2}-2b^{2} = a^{4}+4b^{2}-4a^{2}b-2b^{2} = a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}$.
अतः,$2b^{2}-c = 2b^{2}-(a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}) = 4a^{2}b-a^{4} = a^{2}(4b-a^{2})$.
दिया गया है $a^{2}>4b$,इसलिए $4b-a^{2} < 0$,जिसका अर्थ है $2b^{2}-c < 0$.
समीकरण $x^{2}-4bx+(2b^{2}-c)=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $2b^{2}-c < 0$ है।
चूंकि मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है,इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होगा।

(D) मान लीजिए $w = \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}}$.
यह जाँचने के लिए कि क्या $w$ शुद्ध काल्पनिक है, हम $w + \bar{w}$ का मूल्यांकन करते हैं।
$w + \bar{w} = \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}} + \frac{\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}}{\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2}}$
$= \frac{(z_{1}+z_{2})(\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2}) + (\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2})(z_{1}-z_{2})}{(z_{1}-z_{2})(\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2})}$
$= \frac{(z_{1}\bar{z}_{1} - z_{1}\bar{z}_{2} + z_{2}\bar{z}_{1} - z_{2}\bar{z}_{2}) + (\bar{z}_{1}z_{1} - \bar{z}_{1}z_{2} + \bar{z}_{2}z_{1} - \bar{z}_{2}z_{2})}{|z_{1}-z_{2}|^2}$
चूँकि $|z_{1}| = |z_{2}|$, हमारे पास $z_{1}\bar{z}_{1} = z_{2}\bar{z}_{2} = |z_{1}|^2 = |z_{2}|^2$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर, अंश शून्य हो जाता है:
$|z_{1}|^2 - z_{1}\bar{z}_{2} + z_{2}\bar{z}_{1} - |z_{2}|^2 + |z_{1}|^2 - \bar{z}_{1}z_{2} + \bar{z}_{2}z_{1} - |z_{2}|^2$
$= 2|z_{1}|^2 - 2|z_{2}|^2 = 0$.
चूँकि $w + \bar{w} = 0$, इसलिए $w$ शुद्ध काल्पनिक है।

(B) दिया गया है $Z_{r} = \sin \frac{2 \pi r}{11} - i \cos \frac{2 \pi r}{11}$.
इसे $Z_{r} = -i (\cos \frac{2 \pi r}{11} + i \sin \frac{2 \pi r}{11})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यूलर के सूत्र $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,$Z_{r} = -i e^{i \frac{2 \pi r}{11}}$ प्राप्त होता है।
अब,$\sum_{r=0}^{10} Z_{r} = -i \sum_{r=0}^{10} (e^{i \frac{2 \pi}{11}})^{r}$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $11$ पद हैं और सार्व अनुपात $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{11}} \neq 1$ है।
इकाई के $n$ मूलों का योग $\sum_{r=0}^{n-1} e^{i \frac{2 \pi r}{n}} = 0$ होता है,जहाँ $n > 1$ है।
अतः,$\sum_{r=0}^{10} e^{i \frac{2 \pi r}{11}} = 0$.
इस प्रकार,$\sum_{r=0}^{10} Z_{r} = -i \times 0 = 0$.

(C) हम जानते हैं कि यदि $z_{1}, z_{2}$ और $z_{3}$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं,तो $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}z_{2}-z_{2}z_{3}-z_{3}z_{1}=0$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{1}}=1$,जिसे हल करने पर $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=z_{1}z_{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}z_{2}=0$।
यदि हम मूल बिंदु को तीसरे बिंदु $z_{3}=0$ के रूप में लें,तो शर्त $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+0^{2}-z_{1}z_{2}-z_{2}(0)-0(z_{1})=0$ बन जाती है,जो $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}z_{2}=0$ में सरल हो जाती है।
यह समबाहु त्रिभुज की शर्त को पूरा करता है।
अतः,मूल बिंदु और $z_{1}$ तथा $z_{2}$ बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(B) प्रत्येक छात्र अन्य सभी छात्रों को कार्ड भेजता है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक जोड़ी $(A, B)$ के लिए,छात्र $A$ ने $B$ को कार्ड भेजा और छात्र $B$ ने $A$ को कार्ड भेजा।
यह क्रमचय (permutation) का एक प्रश्न है जहाँ हमें $20$ में से $2$ छात्रों को एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित करना है (भेजने वाला और प्राप्त करने वाला)।
$20$ में से $2$ छात्रों को व्यवस्थित करने के तरीके क्रमचय के सूत्र ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ $n = 20$ और $r = 2$ है,इसलिए कार्डों की संख्या ${}^{20}P_{2} = 20 \times 19 = 380$ है।
वैकल्पिक रूप से,यह ${}^{20}C_{2} \times 2! = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} \times 2 = 380$ के बराबर है।

(A) $20$ में से $4$ संख्याओं को चुनने के कुल तरीके $^{20}C_{4}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$20$ में से $4$ क्रमिक संख्याओं को चुनने के तरीके $17$ हैं (जैसे $(1,2,3,4), (2,3,4,5), \ldots, (17,18,19,20)$)।
$4$ गैर-क्रमिक संख्याओं को चुनने के तरीके कुल चयन में से क्रमिक चयन की संख्या को घटाने पर प्राप्त होते हैं।
$\text{आवश्यक चयन} = {}^{20}C_{4} - 17$
$\text{आवश्यक चयन} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} - 17$
$\text{आवश्यक चयन} = 4845 - 17 = 4828$
विकल्पों की गणना करने पर: $284 \times 17 = 4828$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) हमें $2n$ वस्तुओं में से $n$ वस्तुओं का चयन करना है,जहाँ $n$ वस्तुएं समान हैं और $n$ वस्तुएं भिन्न हैं।
मान लीजिए $k$ चुनी गई भिन्न वस्तुओं की संख्या है,जहाँ $0 \le k \le n$ है।
तब शेष $(n-k)$ वस्तुओं का चयन $n$ समान वस्तुओं में से किया जाना चाहिए।
चूंकि $n$ वस्तुएं समान हैं,इसलिए उन्हें चुनने का केवल $1$ तरीका है।
अतः,$k=0$ से $n$ तक,भिन्न वस्तुओं को चुनने के तरीके $\binom{n}{k}$ हैं।
कुल तरीकों का योग: $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^{n}$.

(D) प्रथम सेट $(a, 2b)$ के लिए सार्व अंतर $d_1 = \frac{2b-a}{n+1}$ है।
$m^{th}$ समांतर माध्य $A_m = a + m \left( \frac{2b-a}{n+1} \right)$ है।
दूसरे सेट $(2a, b)$ के लिए सार्व अंतर $d_2 = \frac{b-2a}{n+1}$ है।
$m^{th}$ समांतर माध्य $A'_m = 2a + m \left( \frac{b-2a}{n+1} \right)$ है।
दोनों माध्यों को बराबर रखने पर: $a + m \left( \frac{2b-a}{n+1} \right) = 2a + m \left( \frac{b-2a}{n+1} \right)$.
सरल करने पर: $m(b+a) = a(n+1)$.
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{m}{n+1-m}$.

(A) $(1+x)^n$ के विस्तार के लिए,महत्तम गुणांक मध्य पद में होता है। चूँकि $n$ सम है,महत्तम गुणांक $T_{n/2+1}$ पद में होता है।
$(1+x)^n$ के विस्तार में महत्तम पद $T_{r+1}$ के लिए,शर्त $\frac{n-r+1}{r} x \ge 1$ और $\frac{n-r+1}{r+1} x \le 1$ है।
महत्तम पद का गुणांक महत्तम होने के लिए,हम $r = n/2$ रखते हैं।
असमानता $\frac{n-r+1}{r} x > 1$ और $\frac{n-r+1}{r+1} x < 1$ में $r = n/2$ रखने पर:
$\frac{n - n/2 + 1}{n/2} x > 1$ $\Rightarrow \frac{n/2 + 1}{n/2} x > 1$ $\Rightarrow \frac{n+2}{n} x > 1$ $\Rightarrow x > \frac{n}{n+2}$.
$\frac{n - n/2 + 1}{n/2 + 1} x < 1$ $\Rightarrow \frac{n/2 + 1}{n/2 + 1} x < 1$ $\Rightarrow x < \frac{n+2}{n}$.
अतः,शर्त $\frac{n}{n+2} < x < \frac{n+2}{n}$ है।

(A) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $(101)^{100}-1$ को $(1+100)^{100}-1$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर:
$(1+100)^{100}-1 = \left(1 + {}^{100}C_{1}(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}\right) - 1$.
चूंकि ${}^{100}C_{1} = 100$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$100(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}$.
$= 10^{4} + {}^{100}C_{2}(10^{4}) + {}^{100}C_{3}(10^{6}) + \dots + 10^{200}$.
$= 10^{4} \left(1 + {}^{100}C_{2} + {}^{100}C_{3}(10^{2}) + \dots + 10^{196}\right)$.
अतः,यह व्यंजक $10^{4}$ से विभाज्य है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: ${}^{n}C_{r} + 2 \cdot {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2}$
मध्य पद को विभाजित करने पर:
$= {}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2}$
पास्कल के सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करने पर:
$= ({}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1}) + ({}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2})$
$= {}^{n+1}C_{r+1} + {}^{n+1}C_{r+2}$
पुनः सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= {}^{n+2}C_{r+2}$

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 6 \theta + \sin 4 \theta + \sin 2 \theta = 0$
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 6 \theta + \sin 2 \theta) + \sin 4 \theta = 0$
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 4 \theta \cos 2 \theta + \sin 4 \theta = 0$
$\sin 4 \theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sin 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $\sin 4 \theta = 0$ $\Rightarrow 4 \theta = n \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{4}$
स्थिति $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2 \pi}{3}$
$\cos x = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = 2 n \pi \pm \alpha$ होता है:
$2 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \Rightarrow \theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$
अतः,$\theta = \frac{n \pi}{4}$ या $\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(D) दिया गया बिंदु $P(1,5)$ है।
रेखा $y=x$ के सापेक्ष बिंदु $P(1,5)$ का प्रतिबिंब $Q(5,1)$ है।
रेखा $y=-x$ के सापेक्ष बिंदु $Q(5,1)$ का प्रतिबिंब $R(-1,-5)$ है।
चूंकि रेखाएं $y=x$ और $y=-x$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए कोण $\angle PQR = 90^{\circ}$ है।
अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $Q$ पर है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र उसके कर्ण $PR$ का मध्य-बिंदु होता है।
परिकेंद्र $= \left(\frac{1+(-1)}{2}, \frac{5+(-5)}{2}\right) = (0,0)$.

(B) भुजाओं की लंबाई इस प्रकार है:
$AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - (-7))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
$BC = \sqrt{(1 - 5)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle ABC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $AC$ को $AB:BC = 10:5 = 2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए $P$,$AC$ पर स्थित बिंदु है जो इसे $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left( \frac{2(1) + 1(-1)}{2 + 1}, \frac{2(4) + 1(-7)}{2 + 1} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$
बिंदु $B(5, 1)$ और $P(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
$y - 1 = \frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} - 5}(x - 5)$
$y - 1 = \frac{1}{7}(x - 5)$
$7y - 7 = x - 5$
$7y = x + 2$

(A) रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{-3} = 1$ है,जो $3x - 5y = 15$ में सरल हो जाता है।
चूंकि रेखा $PQ$,$AB$ के लंबवत है,इसलिए इसका समीकरण $5x + 3y = \lambda$ के रूप में है।
$P$ के निर्देशांक $(\frac{\lambda}{5}, 0)$ हैं और $Q$ के निर्देशांक $(0, \frac{\lambda}{3})$ हैं।
$A(5,0)$ और $Q(0, \frac{\lambda}{3})$ से गुजरने वाली रेखा $AQ$ का समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{\lambda/3} = 1$ है,जिससे $\frac{x}{5} + \frac{3y}{\lambda} = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{3y}(1 - \frac{x}{5})$।
$B(0,-3)$ और $P(\frac{\lambda}{5}, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $BP$ का समीकरण $\frac{x}{\lambda/5} + \frac{y}{-3} = 1$ है,जिससे $\frac{5x}{\lambda} - \frac{y}{3} = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{5x}(\frac{y}{3} + 1)$।
$\frac{1}{\lambda}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{3y}(1 - \frac{x}{5}) = \frac{1}{5x}(\frac{y}{3} + 1)$
$5x(1 - \frac{x}{5}) = 3y(\frac{y}{3} + 1)$
$5x - x^{2} = y^{2} + 3y$
$x^{2} + y^{2} - 5x + 3y = 0$।

(A) $P(h, k)$ से गुजरने वाली और $X$-अक्ष के समानांतर रेखा $y=k$ है।
$y=k$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(k, k)$ है।
$y=k$ और $x+y=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(2-k, k)$ है।
$y=x$ और $x+y=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1, 1)$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)| = h^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{2} |1(k-k) + k(k-1) + (2-k)(1-k)| = h^2$
$\frac{1}{2} |0 + k^2 - k + 2 - 2k - k + k^2| = h^2$
$\frac{1}{2} |2k^2 - 4k + 2| = h^2$
$|k^2 - 2k + 1| = h^2$
$(k-1)^2 = h^2$
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,$k-1 = \pm h$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$y-1 = \pm x$ मिलता है।
अतः,$x = y-1$ या $x = -(y-1)$।

(B) माना नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं। रूपांतरण समीकरण $x = x' + 2$ और $y = y' + 3$ हैं।
इन मानों को दिए गए समीकरण $x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0$ में रखने पर:
$(x' + 2)^{2} + (y' + 3)^{2} - 4(x' + 2) - 6(y' + 3) + 9 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x'^{2} + 4x' + 4) + (y'^{2} + 6y' + 9) - 4x' - 8 - 6y' - 18 + 9 = 0$
समान पदों को संयोजित करने पर:
$x'^{2} + y'^{2} + (4x' - 4x') + (6y' - 6y') + (4 + 9 - 8 - 18 + 9) = 0$
$x'^{2} + y'^{2} - 4 = 0$
अतः,नया समीकरण $x^{2} + y^{2} = 4$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9 \sin^{2} \alpha + 13 \cos^{2} \alpha = 0$ है।
केंद्र $C = (-2, 3)$ और त्रिज्या $r = 2 \sin \alpha$ है।
माना $P(h, k)$ बिंदुपथ पर एक बिंदु है। स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2 \alpha$ है,इसलिए $\triangle PAC$ में $\sin \alpha = \frac{r}{PC}$ होगा।
अतः,$PC = \frac{2 \sin \alpha}{\sin \alpha} = 2$.
$PC^{2} = 4 \Rightarrow (h+2)^{2} + (k-3)^{2} = 4$.
सरल करने पर,$h^{2}+k^{2}+4h-6k+9 = 0$.
अतः,बिंदुपथ का समीकरण $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0$ है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}-2x-4y-20=0$ है।
केंद्र $A(1, 2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
$B(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा $y=7$ है।
$D(4, -2)$ पर स्पर्श रेखा $3x-4y-20=0$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(16, 7)$ है।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\Delta ABC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times 15 \times 5) = 75 \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}+4x+6y-12=0$ है।
केंद्र $C_{1}(-2, -3)$ और त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}-(-12)} = 5 \text{ इकाई}$ है।
वृत्त $S$ का केंद्र $C_{2}(2, -3)$ है।
केंद्र $C_{2}$ से जीवा (जो पहले वृत्त का व्यास है) की लंबवत दूरी $d = \sqrt{(2 - (-2))^{2} + (-3 - (-3))^{2}} = 4$ है।
वृत्त $S$ की त्रिज्या $R$ के लिए,$R^{2} = d^{2} + r_{1}^{2} = 4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$।
अतः,$R = \sqrt{41} \text{ इकाई}$।

(C) माना $M$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया है $A(0, 3)$ और $AM = 2AB$,इसका अर्थ है कि $B$ रेखाखंड $AM$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$B$ के निर्देशांक $\left(\frac{0+x}{2}, \frac{3+y}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y+3}{2}\right)$ होंगे।
चूंकि $B$ वृत्त $x^{2}+4x+(y-3)^{2}=0$ पर स्थित है,इसलिए $B$ के निर्देशांकों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{x}{2}\right)^{2} + 4\left(\frac{x}{2}\right) + \left(\frac{y+3}{2} - 3\right)^{2} = 0$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{4} + 2x + \left(\frac{y-3}{2}\right)^{2} = 0$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{4} + 2x + \frac{y^{2}-6y+9}{4} = 0$
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$x^{2} + 8x + y^{2} - 6y + 9 = 0$
अतः,$M$ का बिंदुपथ $x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0$ है।

(D) चूंकि $PQ$ एक नाभिलंब जीवा है और $P(at^{2}, 2at)$ है,इसलिए $Q$ के निर्देशांक $(\frac{a}{t^{2}}, \frac{-2a}{t})$ होंगे।
$QR$ की ढाल = $\frac{2ar - (-2a/t)}{ar^{2} - a/t^{2}} = \frac{2a(r + 1/t)}{a(r - 1/t)(r + 1/t)} = \frac{2}{r - 1/t} = \frac{2t}{rt - 1}$.
$PK$ की ढाल = $\frac{2at - 0}{at^{2} - 2a} = \frac{2at}{a(t^{2} - 2)} = \frac{2t}{t^{2} - 2}$.
चूंकि $PK \parallel QR$,इसलिए उनकी ढाल समान है:
$\frac{2t}{rt - 1} = \frac{2t}{t^{2} - 2}$.
$t \neq 0$ मानते हुए,$rt - 1 = t^{2} - 2$.
$rt = t^{2} - 1$.
$r = \frac{t^{2} - 1}{t}$.

(C) $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $R$ से रेखा $PQ$ की दूरी अधिकतम हो।
मान लीजिए $R$ बिंदु $(t^{2}, 2t)$ है। रेखा $PQ$,$P(4, -4)$ और $Q(9, 6)$ से होकर गुजरती है।
$PQ$ की ढाल $m = \frac{6 - (-4)}{9 - 4} = \frac{10}{5} = 2$ है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $y - 6 = 2(x - 9) \Rightarrow 2x - y - 12 = 0$ है।
$R(t^{2}, 2t)$ से $2x - y - 12 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2t^{2} - 2t - 12|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|2(t^{2} - t - 6)|}{\sqrt{5}} = \frac{2|t - 3||t + 2|}{\sqrt{5}}$ है।
$R$ के $P$ और $Q$ के बीच के चाप पर होने के लिए,पैरामीटर $t$ को $-2$ और $3$ के बीच होना चाहिए।
मान लीजिए $f(t) = t^{2} - t - 6$ है। दूरी को अधिकतम करने के लिए,हम $f'(t) = 2t - 1 = 0$ रखकर $f(t)$ का क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं,जिससे $t = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{1}{2}$ पर,$R$ के निर्देशांक $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}, 2\left(\frac{1}{2}\right)\right) = \left(\frac{1}{4}, 1\right)$ हैं।

(D) मान लीजिए कि बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(t_{1}^{2}, 2t_{1})$ और $(t_{2}^{2}, 2t_{2})$ हैं।
$AB$ को व्यास मानकर बनाए गए वृत्त का केंद्र $(\frac{t_{1}^{2}+t_{2}^{2}}{2}, t_{1}+t_{2})$ है।
परवलय $y^{2}=4x$ का अक्ष $x$-अक्ष है,जिसका समीकरण $y=0$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या केंद्र के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान है।
अतः,$r = |t_{1}+t_{2}|$,जिसका अर्थ है $t_{1}+t_{2} = \pm r$.
रेखा $AB$ की ढाल $m = \frac{2t_{2}-2t_{1}}{t_{2}^{2}-t_{1}^{2}} = \frac{2}{t_{1}+t_{2}}$ है।
$t_{1}+t_{2} = \pm r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें ढाल $m = \pm \frac{2}{r}$ प्राप्त होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिए गए परवलय $y = x^{2}$ और $y = -(x-2)^{2}$ हैं।
$y = x^{2}$ की स्पर्श रेखा $y = mx - \frac{m^{2}}{4}$ है।
यह रेखा $y = -(x-2)^{2}$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसे $(y-0) = -1(x-2)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के $y = a(x-h)^{2} + k$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = k - \frac{m^{2}}{4a}$ है।
यहाँ,$a = -1, h = 2, k = 0$ है। अतः,$c = 0 - \frac{m^{2}}{4(-1)} = \frac{m^{2}}{4}$।
$c$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-\frac{m^{2}}{4} = \frac{m^{2}}{4}$ $\Rightarrow \frac{m^{2}}{2} = 0$ $\Rightarrow m = 0$।
$m = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = 0$ है।
चूंकि $m$ का केवल एक ही मान है,इसलिए केवल $1$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ पर बिंदु $P(3\cos\theta, 2\sin\theta)$ है।
$P$ से गुजरने वाली $Y$-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण $x = 3\cos\theta$ है।
यह रेखा वृत्त $x^{2}+y^{2}=9$ को $Q$ पर मिलती है। वृत्त के समीकरण में $x = 3\cos\theta$ रखने पर:
$(3\cos\theta)^{2} + y^{2} = 9$ $\Rightarrow 9\cos^{2}\theta + y^{2} = 9$ $\Rightarrow y^{2} = 9\sin^{2}\theta$.
चूंकि $P$ और $Q$,$X$-अक्ष के एक ही ओर हैं,इसलिए $Q = (3\cos\theta, 3\sin\theta)$ होगा।
$PQ$ पर बिंदु $R(h, k)$ इस प्रकार है कि $\frac{PR}{RQ} = \frac{1}{2}$ है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{1(3\cos\theta) + 2(3\cos\theta)}{3} = 3\cos\theta$
$k = \frac{1(3\sin\theta) + 2(2\sin\theta)}{3} = \frac{7\sin\theta}{3}$
अतः,$\cos\theta = \frac{h}{3}$ और $\sin\theta = \frac{3k}{7}$ है।
सर्वसमिका $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{h}{3})^{2} + (\frac{3k}{7})^{2} = 1 \Rightarrow \frac{h^{2}}{9} + \frac{9k^{2}}{49} = 1$.
अतः,$R$ का बिंदुपथ $\frac{x^{2}}{9} + \frac{9y^{2}}{49} = 1$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+9y^{2}=9$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^{2}=9$ और $b^{2}=1$,इसलिए $a=3$ और $b=1$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_{e} = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_{h}$,$e_{e}$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $e_{h} = \frac{3}{\sqrt{8}}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_{h} = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ होती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$e_{h}^{2} = 1+\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{8}-1 = \frac{1}{8}$ है।
इसलिए,अनुपात $a^{2}:b^{2} = 8:1$ है।

(B) दिया है,अतिपरवलय की अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2 a_{1} = 2 \sin \theta$ है,इसलिए $a_{1} = \sin \theta$.
दीर्घवृत्त $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ के लिए,$12$ से भाग देने पर $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2} = 4$ और $b^{2} = 3$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$,अतः $3 = 4(1 - e^{2})$,जिससे $e^{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,अर्थात $e = \frac{1}{2}$।
दीर्घवृत्त की नाभि $(\pm ae, 0) = (\pm 2 \times \frac{1}{2}, 0) = (\pm 1, 0)$ है।
चूंकि अतिपरवलय दीर्घवृत्त के साथ संनाभिक है,इसलिए इसकी नाभि $(\pm 1, 0)$ है।
अतिपरवलय के लिए,$a_{1} e_{1} = 1$ है। $a_{1} = \sin \theta$ रखने पर,$e_{1} = \frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ प्राप्त होता है।
अब,$b_{1}^{2} = a_{1}^{2}(e_{1}^{2} - 1) = a_{1}^{2} e_{1}^{2} - a_{1}^{2} = 1 - \sin^{2} \theta = \cos^{2} \theta$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ है,जो $\frac{x^{2}}{\sin^{2} \theta} - \frac{y^{2}}{\cos^{2} \theta} = 1$ बन जाता है।
अतः $x^{2} \operatorname{cosec}^{2} \theta - y^{2} \sec^{2} \theta = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = 3x^{10} - 7x^{8} + 5x^{6} - 21x^{3} + 3x^{2} - 7$.
हमें सीमा $L = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{h^{3} + 3h}$ का मूल्यांकन करना है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} \cdot \frac{-h}{h(h^{2} + 3)} \right)$.
चूंकि $f'(1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h}$,इसलिए:
$L = f'(1) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{h^{2} + 3}$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x) = 30x^{9} - 56x^{7} + 30x^{5} - 63x^{2} + 6x$ ज्ञात करें।
$x = 1$ पर मान रखने पर:
$f'(1) = 30 - 56 + 30 - 63 + 6 = -53$.
अब इस मान को सीमा व्यंजक में रखने पर:
$L = (-53) \cdot \left( \frac{-1}{0^{2} + 3} \right) = (-53) \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{53}{3}$.

(A) माना $X$ वह घटना है कि छात्र सफल होता है। $X_1, X_2, X_3$ क्रमशः परीक्षा $I, II, III$ में उत्तीर्ण होने की घटनाएँ हैं।
दिया गया है $P(X_1) = p$,$P(X_2) = q$,और $P(X_3) = 1/2$।
छात्र सफल होता है यदि $(X_1 \cap X_2)$ या $(X_1 \cap X_3)$ हो।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$P(X) = P(X_1 \cap X_2) + P(X_1 \cap X_3) - P(X_1 \cap X_2 \cap X_3)$।
चूँकि परीक्षाएँ स्वतंत्र हैं:
$P(X) = p \cdot q + p \cdot (1/2) - p \cdot q \cdot (1/2)$।
$P(X) = 1/2$ दिया गया है:
$1/2 = pq + p/2 - pq/2$।
$1/2 = p/2 + pq/2$।
$2$ से गुणा करने पर:
$1 = p + pq$।
$1 = p(1+q)$।

(B) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int f(x) \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log f(x) + c$ है।
समाकलन के अंदर $2$ से गुणा और भाग करने पर: $\frac{1}{2} \int f(x) (2 \sin x \cos x) \, dx = \frac{1}{2} \int f(x) \sin 2x \, dx$ प्राप्त होता है।
माना $f(x) = \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x}$ है।
इस मान को समाकलन में रखने पर: $\frac{1}{2} \int \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x} \sin 2x \, dx = \frac{1}{b^2 - a^2} \int \tan 2x \, dx$ प्राप्त होता है।
$\tan 2x$ का समाकलन करने पर: $\frac{1}{b^2 - a^2} \cdot \frac{\log |\sec 2x|}{2} + c = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log |\sec 2x| + c$ मिलता है।
चूंकि $\sec 2x = \frac{1}{\cos 2x}$,यह $\frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log |\frac{1}{\cos 2x}| + c$ हो जाता है।
इसे दाईं ओर $\frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log f(x) + c$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = x \log x + x - 3$.
$f'(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x + 1 = 1 + \log x + 1 = \log x + 2$.
$x \in (1, 3)$ के लिए,$\log x > 0$,इसलिए $f'(x) = \log x + 2 > 2 > 0$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $(1, 3)$ में निरंतर वर्धमान है।
$f(1) = 1 \cdot \log(1) + 1 - 3 = -2$.
$f(3) = 3 \log 3 + 3 - 3 = 3 \log 3 > 0$.
चूंकि $f(1) < 0$ और $f(3) > 0$ है और $f(x)$ सतत और वर्धमान है,इसलिए इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$(1, 3)$ में ठीक एक मूल विद्यमान है।

(A) हम जानते हैं कि,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = 0.5$।
प्रथम चतुर्थांश में,$\sin x$ एक वर्धमान फलन है।
चूंकि $31^{\circ} > 30^{\circ}$,इसलिए $\sin 31^{\circ} > \sin 30^{\circ}$ होगा।
अतः,$\sin 31^{\circ} > 0.5$।

(C) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in R$ के लिए,$x - x = 0$ है। चूँकि $0$ मान्य है,इसलिए $x \rho x$ सत्य है। अतः,$\rho$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $x \rho y$ है,तो $x - y$ शून्य या अपरिमेय है। चूँकि $y - x = -(x - y)$ है,यदि $x - y$ शून्य है,तो $y - x$ भी शून्य है। यदि $x - y$ अपरिमेय है,तो $y - x$ भी अपरिमेय है। अतः,$y \rho x$ सत्य है। $\rho$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $x = 1 + \sqrt{2}$,$y = 1$,और $z = \sqrt{2}$ है। यहाँ $x - y = \sqrt{2}$ (अपरिमेय) और $y - z = 1 - \sqrt{2}$ (अपरिमेय) है। लेकिन $x - z = 1$ (परिमेय,जो शून्य नहीं है)। अतः $x \rho y$ और $y \rho z$ सत्य हैं,लेकिन $x \rho z$ सत्य नहीं है। इसलिए,$\rho$ संक्रामक नहीं है।

(D) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर संबंध $\rho$ को $x \rho y \iff x > |y|$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$1$. स्वतुल्य गुण के लिए:
जाँचें कि क्या सभी $x \in R$ के लिए $x \rho x$ सत्य है।
$x \rho x \iff x > |x|$.
यह सभी $x \leq 0$ के लिए असत्य है (उदाहरण के लिए,यदि $x = -1$ है,तो $-1 > |-1| = 1$ असत्य है)।
अतः,$\rho$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित गुण के लिए:
जाँचें कि क्या $x \rho y \implies y \rho x$ सत्य है।
$x \rho y \implies x > |y|$.
$y \rho x \implies y > |x|$.
यदि हम $x = 2$ और $y = 1$ लें,तो $2 > |1|$ सत्य है,लेकिन $1 > |2|$ असत्य है।
अतः,$\rho$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक गुण के लिए:
जाँचें कि क्या $x \rho y$ और $y \rho z \implies x \rho z$ सत्य है।
$x \rho y \implies x > |y|$.
$y \rho z \implies y > |z|$.
चूंकि $y > |z|$,हमारे पास $|y| \geq y > |z|$ है,इसलिए $|y| > |z|$।
चूंकि $x > |y|$ और $|y| > |z|$,असमिका के संक्रामक गुण के अनुसार,$x > |z|$।
इसलिए,$x \rho z$ सत्य है।
अतः,$\rho$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: $x > |y|$ द्वारा परिभाषित संबंध $\rho$ संक्रामक है लेकिन न तो स्वतुल्य है और न ही सममित।

(D) दिया गया संबंध $\rho = \{(x, y) \in N \times N : 2x + y = 41\}$ है।
$1$. स्वतुल्य: यदि $\rho$ स्वतुल्य है,तो प्रत्येक $x \in N$ के लिए $(x, x) \in \rho$ होना चाहिए। अतः $2x + x = 41 \Rightarrow 3x = 41 \Rightarrow x = \frac{41}{3} \notin N$। अतः,$\rho$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: यदि $\rho$ सममित है,तो यदि $(x, y) \in \rho$ है,तो $(y, x) \in \rho$ होना चाहिए। यदि $(x, y) = (1, 39) \in \rho$ (क्योंकि $2(1) + 39 = 41$),तो $(y, x) = (39, 1)$ होना चाहिए। लेकिन $2(39) + 1 = 79 \neq 41$। अतः,$(39, 1) \notin \rho$। इसलिए,$\rho$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: यदि $(x, y) \in \rho$ और $(y, z) \in \rho$ है,तो $(x, z) \in \rho$ होना चाहिए। मान लीजिए $x=11, y=19, z=3$। यहाँ $(11, 19) \in \rho$ और $(19, 3) \in \rho$ है। लेकिन $(11, 3) \notin \rho$ क्योंकि $2(11) + 3 = 25 \neq 41$। अतः,$\rho$ संक्रामक नहीं है।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & \sin \frac{\pi}{4} \\ -\sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$ है।
यह एक घूर्णन आव्यूह (rotation matrix) $R_{\theta} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ है,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
घूर्णन आव्यूह के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = R_{n\theta} = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$ होता है।
हमें $A^n = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\cos(n\theta) = 1$ और $\sin(n\theta) = 0$ होना चाहिए।
यह तब होता है जब $n\theta = 2k\pi$ हो,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,हमें $n \cdot \frac{\pi}{4} = 2k\pi$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 8k$ है।
न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$k = 1$ रखने पर,हमें $n = 8$ प्राप्त होता है।

(A) $3 \times 3$ आव्यूह $A$ के तत्वों के लिए दी गई शर्तें:
$a_{ij} = 0$ यदि $i = j$
$a_{ij} = 1$ यदि $i > j$
$a_{ij} = -1$ यदि $i < j$
आव्यूह $A$ का निर्माण करने पर:
$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
अब,परिवर्त आव्यूह $A^T$ ज्ञात करें:
$A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = -A$
चूंकि $A^T = -A$,इसलिए आव्यूह $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
अब,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 0(0 - (-1)) - (-1)(0 - (-1)) + (-1)(1 - 0)$
$|A| = 0 + 1(1) - 1(1) = 1 - 1 = 0$
चूंकि सारणिक $|A| = 0$ है,इसलिए आव्यूह singular है और इसका व्युत्क्रम संभव नहीं है।

(A) सबसे पहले,$A$ का मान ज्ञात करें:
$A = -1(1 - (-12)) - 7(2 - (-9)) + 0 = -1(13) - 7(11) = -13 - 77 = -90$.
अब,मान लीजिए $B = \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 5 \\ -7 & -1 & 25 \\ -21 & -3 & -15\end{array}\right|$.
$C_3$ से $5$ और $R_3$ से $3$ कॉमन लेने पर:
$B = 5 \times 3 \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 1 \\ -7 & -1 & 5 \\ -7 & -1 & -1\end{array}\right| = 15 \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 1 \\ -7 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -6\end{array}\right|$ ($R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ का उपयोग करते हुए)।
$R_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$B = 15 \times (-6) \left|\begin{array}{cc}13 & -11 \\ -7 & -1\end{array}\right| = -90 \times (-13 - 77) = -90 \times (-90) = 8100$.
चूंकि $A = -90$,इसलिए $A^2 = (-90)^2 = 8100$.
अतः,$B = A^2$.

(C) हमें दिया गया है,$a_{r}=(\cos 2 r \pi+i \sin 2 r \pi)^{1 / 9} = e^{\frac{2 r \pi i}{9}}$.
अब,सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} e^{\frac{2 \pi i}{9}} & e^{\frac{4 \pi i}{9}} & e^{\frac{6 \pi i}{9}} \\ e^{\frac{8 \pi i}{9}} & e^{\frac{10 \pi i}{9}} & e^{\frac{12 \pi i}{9}} \\ e^{\frac{14 \pi i}{9}} & e^{\frac{16 \pi i}{9}} & e^{\frac{18 \pi i}{9}} \end{array}\right|$ है।
यहाँ ध्यान दें कि पंक्ति $R_{2}$ और पंक्ति $R_{1}$ के संगत अवयवों का अनुपात $e^{\frac{6 \pi i}{9}} = e^{\frac{2 \pi i}{3}}$ है।
विशेष रूप से,$a_{4} = a_{1} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$,$a_{5} = a_{2} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$,और $a_{6} = a_{3} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$.
चूंकि पंक्ति $R_{2}$,पंक्ति $R_{1}$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं।
अतः,सारणिक का मान $0$ है।

(A) बहुपद $f(x)$ का अचर पद ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ रखते हैं।
सारणिक में $x = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(0) = \left|\begin{array}{ccc} (1+0)^{a} & (2+0)^{b} & 1 \\ 1 & (1+0)^{a} & (2+0)^{b} \\ (2+0)^{b} & 1 & (1+0)^{a} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2^{b} & 1 \\ 1 & 1 & 2^{b} \\ 2^{b} & 1 & 1 \end{array}\right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(0) = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 2^{b} \\ 1 & 1 \end{array}\right| - 2^{b} \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 2^{b} \\ 2^{b} & 1 \end{array}\right| + 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2^{b} & 1 \end{array}\right|$.
$2 \times 2$ सारणिकों की गणना करने पर:
$f(0) = 1(1 - 2^{b}) - 2^{b}(1 - (2^{b})^{2}) + 1(1 - 2^{b})$.
$f(0) = (1 - 2^{b}) - 2^{b}(1 - 2^{2b}) + (1 - 2^{b})$.
$f(0) = 1 - 2^{b} - 2^{b} + 2^{3b} + 1 - 2^{b}$.
$f(0) = 2 - 3 \cdot 2^{b} + 2^{3b}$.

(D) हमारे पास है,$S_{r} = \left|\begin{array}{ccc} 2r & x & n(n+1) \\ 6r^{2}-1 & y & n^{2}(2n+3) \\ 4r^{3}-2nr & z & n^{3}(n+1) \end{array}\right|$.
सारणिक पर योग $\sum_{r=1}^{n}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sum_{r=1}^{n} S_{r} = \left|\begin{array}{ccc} 2 \sum_{r=1}^{n} r & x & n(n+1) \\ \sum_{r=1}^{n} (6r^{2}-1) & y & n^{2}(2n+3) \\ \sum_{r=1}^{n} (4r^{3}-2nr) & z & n^{3}(n+1) \end{array}\right|$.
मानक योग सूत्रों $\sum r = \frac{n(n+1)}{2}$,$\sum r^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,और $\sum r^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ का उपयोग करके,पहले स्तंभ के अवयवों की गणना करते हैं:
$C_{11} = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
$C_{21} = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n = n(n+1)(2n+1) - n = n(2n^{2}+3n+1-1) = n^{2}(2n+3)$.
$C_{31} = 4 \cdot \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} - 2n \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n^{2}(n+1)^{2} - n^{2}(n+1) = n^{2}(n+1)(n+1-1) = n^{3}(n+1)$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sum_{r=1}^{n} S_{r} = \left|\begin{array}{ccc} n(n+1) & x & n(n+1) \\ n^{2}(2n+3) & y & n^{2}(2n+3) \\ n^{3}(n+1) & z & n^{3}(n+1) \end{array}\right|$.
चूंकि स्तंभ $C_{1}$ और स्तंभ $C_{3}$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,योग $0$ है,जो $x, y, z$ और $n$ से स्वतंत्र है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
सारणिक इस प्रकार है:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 4a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 2c & c\end{array}\right|=0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(3bc - 2bc) - 1(4ac - 2ac) + 1(4ab - 3ab) = 0$
व्यंजक को सरल करने पर:
$(bc) - (2ac) + (ab) = 0$
$bc + ab = 2ac$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $a, b, c \neq 0$):
$\frac{bc}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{2ac}{abc}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$
यह स्थिति दर्शाती है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $AP$ में हैं,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ $HP$ में हैं।

(C) माना $S = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2} \tan 2 A\right)+\tan ^{-1}(\cot A)+\tan ^{-1}(\cot ^{3} A)$ है।
सर्वसमिका $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1}(\cot A) + \tan ^{-1}(\cot ^{3} A) = \tan ^{-1}\left(\frac{\cot A + \cot ^{3} A}{1 - \cot A \cdot \cot ^{3} A}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\cot A(1 + \cot ^{2} A)}{1 - \cot ^{4} A}\right)$।
चूंकि $1 - \cot ^{4} A = (1 - \cot ^{2} A)(1 + \cot ^{2} A)$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार सरल होता है:
$\tan ^{-1}\left(\frac{\cot A}{1 - \cot ^{2} A}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1/\tan A}{1 - 1/\tan ^{2} A}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{\tan ^{2} A - 1}\right) = -\tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}\right)$।
अब,$\frac{1}{2} \tan 2 A = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \tan A}{1 - \tan ^{2} A} = \frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}$।
अतः,$S = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}\right) - \tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}\right) = 0$।

(B) $f(x) = \sqrt{\frac{1-|x|}{2-|x|}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: $\frac{1-|x|}{2-|x|} \geq 0$.
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{|x|-1}{|x|-2} \leq 0$ प्राप्त होता है।
माना $t = |x|$। तो $\frac{t-1}{t-2} \leq 0$।
चूंकि $t = |x| \geq 0$,क्रांतिक बिंदु $t=1$ और $t=2$ हैं।
असमानता $1 \leq t < 2$ के लिए सत्य है।
अतः,$1 \leq |x| < 2$।
मूल व्यंजक के लिए,स्थिति $1$: $1-|x| \geq 0$ और $2-|x| > 0 \Rightarrow |x| \leq 1$ और $|x| < 2$ $\Rightarrow |x| \leq 1$ $\Rightarrow x \in [-1, 1]$।
स्थिति $2$: $1-|x| \leq 0$ और $2-|x| < 0 \Rightarrow |x| \geq 1$ और $|x| > 2$ $\Rightarrow |x| > 2$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$।
इन दोनों को मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f: R \rightarrow R$ जहाँ $f(x) = e^{x}$ और $g: R \rightarrow R$ जहाँ $g(x) = x^{2}$ है।
हम संयुक्त फलन $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e^{x}) = (e^{x})^{2} = e^{2x}$ की गणना करते हैं।
$(g \circ f)(x) = e^{2x}$ के लिए,यदि $(g \circ f)(x_{1}) = (g \circ f)(x_{2})$ है,तो $e^{2x_{1}} = e^{2x_{2}}$,जिसका अर्थ है $2x_{1} = 2x_{2}$,इसलिए $x_{1} = x_{2}$। अतः,$g \circ f$ इंजेक्टिव है।
हालाँकि,$g \circ f$ का परिसर $(0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए $g \circ f$ सर्जेक्टिव नहीं है।
$g(x) = x^{2}$ के लिए,$g(-1) = 1$ और $g(1) = 1$,इसलिए $g$ इंजेक्टिव नहीं है। इसके अलावा,$g$ का परिसर $[0, \infty)$ है,इसलिए $g$ सर्जेक्टिव नहीं है।
इसलिए,$g \circ f$ इंजेक्टिव है लेकिन $g$ बाइजेक्टिव नहीं है।

(C) दिया गया है,$y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$,$a > 0, a \neq 1$.
दोनों पक्षों का घातांकीय रूप लेने पर,$a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$.
अब,$a^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$ पर विचार करें।
हर का परिमेयकरण करने पर,$a^{-y} = \sqrt{x^{2} + 1} - x$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $a^{y} - a^{-y} = (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = 2x$.
अतः,$x = \frac{a^{y} - a^{-y}}{2}$.
चूँकि $a^{y} = e^{y \ln a}$,इसलिए $x = \frac{e^{y \ln a} - e^{-y \ln a}}{2}$.
परिभाषा $\sinh(u) = \frac{e^{u} - e^{-u}}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \sinh(y \ln a)$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y) = \sinh(y \log a)$ है।

(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$,$[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a)=0$ और $f(b)=0$,इसलिए $g(a) = e^{-a} f(a) = 0$ और $g(b) = e^{-b} f(b) = 0$ है।
रोल के प्रमेय (Rolle's Theorem) के अनुसार,$(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $g^{\prime}(c) = 0$ हो।
अब,$g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x} f^{\prime}(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$ है।
$g^{\prime}(c) = 0$ रखने पर,हमें $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी $c$ के लिए $e^{-c} \neq 0$ है,इसलिए $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ या $f^{\prime}(c) = f(c)$ सिद्ध होता है।

(B) $f(x)$ के संतत होने के लिए,इसे $x = -\frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर संतत होना चाहिए।
$x = -\frac{\pi}{2}$ पर:
$LHL = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} (-2 \sin x) = -2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = -2(-1) = 2$.
$RHL = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} (A \sin x + B) = A \sin(-\frac{\pi}{2}) + B = -A + B$.
सांतत्य के लिए,$LHL = RHL \implies -A + B = 2$ (समीकरण $i$)।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$LHL = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (A \sin x + B) = A \sin(\frac{\pi}{2}) + B = A + B$.
$RHL = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (\cos x) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
सांतत्य के लिए,$LHL = RHL \implies A + B = 0$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $i$ और $ii$ को जोड़ने पर: $(-A + B) + (A + B) = 2 + 0 \implies 2B = 2 \implies B = 1$.
$B = 1$ को समीकरण $ii$ में रखने पर: $A + 1 = 0 \implies A = -1$.
अतः,$f$,$A = -1$ और $B = 1$ के लिए संतत है।

(C) दिया गया है $f_1(x) = e^x$ और $f_{n+1}(x) = e^{f_n(x)}$.
$f_n(x) = e^{f_{n-1}(x)}$ के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें मिलता है $\ln(f_n(x)) = f_{n-1}(x)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f_n(x)} \cdot f_n'(x) = f_{n-1}'(x)$
$\Rightarrow f_n'(x) = f_n(x) \cdot f_{n-1}'(x) \quad \dots (i)$
$n=1$ के लिए,$f_1'(x) = e^x = f_1(x)$.
$n=2$ के लिए,$f_2'(x) = f_2(x) \cdot f_1'(x) = f_2(x) \cdot f_1(x)$.
$n=3$ के लिए,$f_3'(x) = f_3(x) \cdot f_2'(x) = f_3(x) \cdot f_2(x) \cdot f_1(x)$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,किसी भी $n \geq 1$ के लिए,$\frac{d}{dx} f_n(x) = f_n(x) \cdot f_{n-1}(x) \cdot \ldots \cdot f_1(x)$।

(C) गति का दिया गया समीकरण: $x = \frac{1}{2} vt$ है।
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{dx}{dt} \right) t$।
चरों को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{2 dt}{t} = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$2 \int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x} \implies 2 \ln |t| + C' = \ln |x|$।
यह $\ln |t^2| + C' = \ln |x|$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $x = c t^2$ है।
अब,$t$ के सापेक्ष $x$ का अवकलन करके वेग $v$ ज्ञात करें:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (c t^2) = 2ct$।
अंत में,$t$ के सापेक्ष $v$ का अवकलन करके त्वरण $f$ ज्ञात करें:
$f = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (2ct) = 2c$।
चूंकि $2c$ एक स्थिरांक है,इसलिए त्वरण $f$ स्थिर है।

(C) दिया गया वक्र $y = x^2 - x + 1$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x - 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{2x-1} = \frac{1}{1-2x}$ है।
$1$. $x_1 = 0$ पर,$y_1 = 1$. ढाल $m_1 = \frac{1}{1-0} = 1$.
समीकरण: $y - 1 = 1(x - 0) \Rightarrow x - y + 1 = 0$ $(i)$.
$2$. $x_2 = -1$ पर,$y_2 = (-1)^2 - (-1) + 1 = 3$. ढाल $m_2 = \frac{1}{1-2(-1)} = \frac{1}{3}$.
समीकरण: $y - 3 = \frac{1}{3}(x + 1) \Rightarrow 3y - 9 = x + 1 \Rightarrow x - 3y + 10 = 0$ (ii).
$3$. $x_3 = 5/2$ पर,$y_3 = (5/2)^2 - 5/2 + 1 = 19/4$. ढाल $m_3 = \frac{1}{1-2(5/2)} = -\frac{1}{4}$.
समीकरण: $y - 19/4 = -\frac{1}{4}(x - 5/2) \Rightarrow 2x + 8y - 43 = 0$ (iii).
$(i)$ और (ii) का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x - y = -1$ और $x - 3y = -10$. घटाने पर $2y = 9 \Rightarrow y = 9/2$. अतः $x = 7/2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(7/2, 9/2)$ है।
यह बिंदु (iii) को संतुष्ट करता है: $2(7/2) + 8(9/2) - 43 = 7 + 36 - 43 = 0$.
अतः,तीनों अभिलंब एक ही बिंदु से गुजरते हैं,इसलिए वे संगामी हैं।

(A) माना $x$ सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी है और $y$ ऊपरी सिरे की फर्श से ऊँचाई है।
सीढ़ी की लंबाई $20 \ ft$ दी गई है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$x^2 + y^2 = 20^2 = 400$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
चूंकि ऊपरी सिरा $2 \ ft/sec$ की दर से नीचे खिसक रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -2 \ ft/sec$ है।
जब $x = 12 \ ft$ है,तो $x^2 + y^2 = 400$ से $y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$12^2 + y^2 = 400$
$144 + y^2 = 400$
$y^2 = 256 \Rightarrow y = 16 \ ft$
अब,$x = 12$,$y = 16$,और $\frac{dy}{dt} = -2$ को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) + 16(-2) = 0$
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) - 32 = 0$
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) = 32$
$\frac{dx}{dt} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \ ft/sec$
अतः,निचला सिरा $\frac{8}{3} \ ft/sec$ की दर से दीवार से दूर जा रहा है।

(D) दिया गया वक्र $12 y = x^{3}$ है।
मान लीजिए कि कोटि के परिवर्तन की दर $\frac{dy}{dt}$ है और भुज के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt}$ है।
हमें दिया गया है कि कोटि के परिवर्तन की दर भुज की दर से अधिक है,इसलिए $\frac{dy}{dt} > \frac{dx}{dt}$.
वक्र के समीकरण का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$12 \frac{dy}{dt} = 3x^{2} \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dt} = \frac{x^{2}}{4} \frac{dx}{dt}$.
इस मान को असमिका $\frac{dy}{dt} > \frac{dx}{dt}$ में रखने पर,हमें $\frac{x^{2}}{4} \frac{dx}{dt} > \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
यदि हम $\frac{dx}{dt} > 0$ मान लें,तो $\frac{x^{2}}{4} > 1$,जिसका अर्थ है $x^{2} > 4$.
यह असमिका $x^{2} - 4 > 0$ का गुणनखंड $(x - 2)(x + 2) > 0$ होता है।
इस असमिका का हल $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$x > 2$ हल का एक मान्य भाग है।

(A) दिया गया है $f(x) = \cos \left(\frac{\pi}{x}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = -\sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \cdot \left(-\frac{\pi}{x^2}\right) = \frac{\pi}{x^2} \sin \left(\frac{\pi}{x}\right)$.
फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $\frac{\pi}{x^2} > 0$ है,इसलिए $\sin \left(\frac{\pi}{x}\right) > 0$ होना आवश्यक है।
यह तब होता है जब $2k\pi < \frac{\pi}{x} < (2k+1)\pi$ हो।
$\pi$ से भाग देने पर,$2k < \frac{1}{x} < 2k+1$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,असमिका बदल जाती है: $\frac{1}{2k+1} < x < \frac{1}{2k}$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $\left(\frac{1}{2k+1}, \frac{1}{2k}\right)$ में वर्धमान है।
फलन $f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sin \left(\frac{\pi}{x}\right) < 0$।
यह तब होता है जब $(2k+1)\pi < \frac{\pi}{x} < (2k+2)\pi$ हो।
$\pi$ से भाग देने पर,$2k+1 < \frac{1}{x} < 2k+2$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{2k+2} < x < \frac{1}{2k+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $\left(\frac{1}{2k+2}, \frac{1}{2k+1}\right)$ में ह्रासमान है।

(C) फलन $g(x) = e^{kx} f(x)$ पर विचार करें। चूंकि $f(x)$,$[a, b]$ पर अवकलनीय है और $e^{kx}$ हर जगह अवकलनीय है,इसलिए $g(x)$,$[a, b]$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a) = 0$ और $f(b) = 0$,इसलिए $g(a) = e^{ka} f(a) = 0$ और $g(b) = e^{kb} f(b) = 0$ है।
चूंकि $g(a) = g(b) = 0$ है और $g(x)$,$[a, b]$ पर सतत है तथा $(a, b)$ पर अवकलनीय है,रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा मौजूद है कि $g'(c) = 0$ हो।
अब,$g'(x) = \frac{d}{dx} (e^{kx} f(x)) = k e^{kx} f(x) + e^{kx} f'(x) = e^{kx} (f'(x) + k f(x))$ है।
चूंकि $g'(c) = 0$ है,इसलिए $e^{kc} (f'(c) + k f(c)) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी $c$ के लिए $e^{kc} \neq 0$ होता है,इसलिए $f'(c) + k f(c) = 0$ होना चाहिए।
अतः,कम से कम एक $c \in (a, b)$ के लिए $J(c) = 0$ है।

(B) दिया गया है कि $f(0)=0$ और $f(1)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c_1$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c_1)=0$ हो।
हमें $f^{\prime}(0)=0$ भी दिया गया है।
अब,अंतराल $[0, c_1]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $f$ दो बार सतत अवकलनीय है,इसलिए $f^{\prime}$ अंतराल $[0, c_1]$ पर सतत है और $(0, c_1)$ पर अवकलनीय है।
हमारे पास $f^{\prime}(0)=0$ और $f^{\prime}(c_1)=0$ है।
अंतराल $[0, c_1]$ पर $f^{\prime}(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू करने पर,$(0, c_1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो।
चूंकि $(0, c_1) \subset (0, 1)$,इसलिए $(0, 1)$ में कोई $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो।

(A) दिया गया समाकलन: $\int e^{\sin x} \left( \frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} \right) dx = e^{\sin x} f(x) + c$.
समाकल्य को सरल करने पर: $\frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} = x \cos x - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = x \cos x - \sec x \tan x$.
अतः समाकलन इस प्रकार होगा: $\int e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x) dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\int [e^{\sin x} \cos x \cdot x - e^{\sin x} \sec x \tan x] dx$.
यहाँ ध्यान दें कि $\frac{d}{dx} [e^{\sin x} (x - \sec x)] = e^{\sin x} \cos x (x - \sec x) + e^{\sin x} (1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \cos x + 1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - 1 + 1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x)$.
इस प्रकार,$\int e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x) dx = e^{\sin x} (x - \sec x) + c$.
इसकी तुलना $e^{\sin x} f(x) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = x - \sec x$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ $(i)$
प्रतिस्थापन $x = \frac{1}{t}$ का उपयोग करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 1/2014$,तब $t = 2014$ और जब $x = 2014$,तब $t = 1/2014$ होता है।
$I = \int_{2014}^{1/2014} \frac{\tan^{-1}(1/t)}{1/t} (-\frac{1}{t^2}) dt = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\cot^{-1} t}{t} dt = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\cot^{-1} x}{x} dx$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1} x + \cot^{-1} x}{x} dx$
चूंकि $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$:
$2I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\pi/2}{x} dx = \frac{\pi}{2} [\ln x]_{1/2014}^{2014}$
$2I = \frac{\pi}{2} (\ln 2014 - \ln(1/2014)) = \frac{\pi}{2} (\ln 2014 + \ln 2014) = \frac{\pi}{2} (2 \ln 2014) = \pi \ln 2014$
अतः,$I = \frac{\pi}{2} \log 2014$.

(B) माना $I = \int_{\pi / 2}^{5 \pi / 2} \frac{e^{\tan^{-1}(\sin x)}}{e^{\tan^{-1}(\sin x)} + e^{\tan^{-1}(\cos x)}} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $f(x)$ एक $\frac{\pi}{2}$ आवर्तकाल वाला फलन है।
समाकलन की सीमा $\frac{\pi}{2}$ से $\frac{5\pi}{2}$ तक है,जिसकी लंबाई $2\pi$ है।
$I = \int_{0}^{2\pi} f(x) dx = 4 \int_{0}^{\pi/2} f(x) dx$ होगा।
माना $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{\tan^{-1}(\sin x)}}{e^{\tan^{-1}(\sin x)} + e^{\tan^{-1}(\cos x)}} dx$ है।
$\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,$J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{\tan^{-1}(\cos x)}}{e^{\tan^{-1}(\cos x)} + e^{\tan^{-1}(\sin x)}} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों को जोड़ने पर,$2J = \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$,जिससे $J = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = 4 \times \frac{\pi}{4} = \pi$।

(D) दिया गया है,$M = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x+2} dx$ और $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$.
सर्वसमिका $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ का उपयोग करते हुए,$N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2x}{2(x+1)^{2}} dx$.
माना $2x = t$,तब $dx = \frac{dt}{2}$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{4}, t=\frac{\pi}{2}$.
इन मानों को $N$ में प्रतिस्थापित करने पर,$N = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{2(\frac{t}{2}+1)^{2}} \cdot \frac{dt}{2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{(t+2)^{2}} dt$.
अब,$M - N = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x+2} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$.
प्रथम समाकलन के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \frac{1}{x+2}$ और $dv = \cos x dx$ लें। तब $du = -\frac{1}{(x+2)^{2}} dx$ और $v = \sin x$.
$M = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \left( -\frac{1}{(x+2)^{2}} \right) dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$.
अतः,$M - N = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2 + 2} - \frac{\sin(0)}{0+2} = \frac{1}{\frac{\pi+4}{2}} = \frac{2}{\pi+4}$.

(C) हमारे पास $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\sin x}{x} dx$ है।
चूंकि $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ पर एक घटता हुआ फलन है,इसलिए न्यूनतम मान $x = \frac{\pi}{3}$ पर और अधिकतम मान $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
अंतराल की लंबाई $\Delta x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$ है।
एक मोनोटोनिक फलन के लिए निश्चित समाकल के गुण का उपयोग करते हुए:
$(\text{अंतराल की लंबाई}) \times f(\text{ऊपरी सीमा}) \leq I \leq (\text{अंतराल की लंबाई}) \times f(\text{निचली सीमा})$.
मान रखने पर:
$\frac{\pi}{12} \times \frac{\sin(\pi/3)}{\pi/3} \leq I \leq \frac{\pi}{12} \times \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}$.
$\frac{\pi}{12} \times \frac{\sqrt{3}/2}{\pi/3} \leq I \leq \frac{\pi}{12} \times \frac{1/\sqrt{2}}{\pi/4}$.
$\frac{\pi}{12} \times \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \leq I \leq \frac{\pi}{12} \times \frac{4}{\pi\sqrt{2}}$.
$\frac{3\sqrt{3}}{24} \leq I \leq \frac{4}{12\sqrt{2}}$.
$\frac{\sqrt{3}}{8} \leq I \leq \frac{\sqrt{2}}{6}$.

(A) दिया गया है $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$.
चूंकि $-1 \leq \cos 3x \leq 1$,इसलिए $-x^{3} \leq x^{3} \cos 3x \leq x^{3}$ है।
$2+x^{2} > 0$ से भाग देने पर,$\frac{-x^{3}}{2+x^{2}} \leq \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} \leq \frac{x^{3}}{2+x^{2}}$ प्राप्त होता है।
$x \in [0, 1]$ के लिए $2+x^{2} > x^{2}$ है,इसलिए $\frac{x^{3}}{2+x^{2}} < \frac{x^{3}}{x^{2}} = x$ होगा।
अतः,$-\int_{0}^{1} x dx < I < \int_{0}^{1} x dx$।
समाकलन करने पर,$-\left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} < I < \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1}$।
जिससे $-\frac{1}{2} < I < \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया सीमा मान: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sec ^{2} \left( \frac{r \pi}{4 n} \right)$.
निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f \left( \frac{r}{n} \right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
यहाँ,$f(x) = \sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right)$.
अतः,समाकलन $\int_{0}^{1} \sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right) dx$ हो जाता है।
$\sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right)$ का समाकलन करने पर,हमें $\frac{4}{\pi} \tan \left( \frac{\pi x}{4} \right)$ प्राप्त होता है।
$0$ से $1$ की सीमा में निश्चित समाकलन का मान: $\left[ \frac{4}{\pi} \tan \left( \frac{\pi x}{4} \right) \right]_{0}^{1} = \frac{4}{\pi} \left( \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 \right)$.
चूंकि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ और $\tan 0 = 0$,इसलिए मान $\frac{4}{\pi} (1 - 0) = \frac{4}{\pi}$ है।

(B) दिया गया है कि वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=2ax$ है,जिसे $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
परवलय का समीकरण $y^{2}=ax$ है,जहाँ $a>0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^{2}=ax$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2}+ax=2ax$
$x^{2}-ax=0$
$x(x-a)=0$
अतः,$x=0$ या $x=a$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(a, a)$ हैं ($X$-अक्ष के ऊपर का भाग लेते हुए)।
आवश्यक क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में वृत्त के एक-चौथाई भाग का क्षेत्रफल माइनस $x=0$ से $x=a$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{a} \sqrt{2ax-x^{2}} dx - \int_{0}^{a} \sqrt{ax} dx$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a}$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \frac{2}{3} \sqrt{a} (a^{3/2})$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \frac{2a^{2}}{3}$
$= a^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$

(C) दिया गया है,$y^{2}=2 d(x+\sqrt{d})$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y y_{1} = 2d \Rightarrow d = y y_{1}$
$d = y y_{1}$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{2} = 2(y y_{1})(x + \sqrt{y y_{1}})$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$y^{2} - 2y y_{1} x = 2y y_{1} \sqrt{y y_{1}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y^{2} - 2y y_{1} x)^{2} = (2y y_{1})^{2} (y y_{1})$
$(y^{2} - 2y y_{1} x)^{2} = 4(y y_{1})^{3}$
यहाँ उच्चतम अवकलज $y_{1}$ (कोटि $1$) है,और इसकी उच्चतम घात $3$ है। अतः,अवकल समीकरण की घात $3$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^{2}$ है।
$(1+x^{2})$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)y = \frac{4x^{2}}{1+x^{2}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1+x^{2}}$ और $Q(x) = \frac{4x^{2}}{1+x^{2}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx} = e^{\ln(1+x^{2})} = 1+x^{2}$ है।
सामान्य हल $y(IF) = \int Q(x)(IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y(1+x^{2}) = \int \left(\frac{4x^{2}}{1+x^{2}}\right)(1+x^{2}) dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \int 4x^{2} dx + C = \frac{4x^{3}}{3} + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(0) = -1$ का उपयोग करते हुए,$x=0$ और $y=-1$ रखने पर:
$-1(1+0^{2}) = \frac{4(0)^{3}}{3} + C \Rightarrow C = -1$.
अतः,$y(1+x^{2}) = \frac{4x^{3}}{3} - 1$.
$x=1$ के लिए,$y(1+1^{2}) = \frac{4(1)^{3}}{3} - 1$.
$2y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
इसलिए,$y(1) = \frac{1}{6}$.

(C) चूंकि $\vec{\delta}$,$\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ के समतल में स्थित है,हम $\vec{\delta} = \vec{\alpha} + \lambda \vec{\beta}$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{\delta} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}$.
$\vec{\delta}$ का $\vec{\gamma}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{\delta} \cdot \vec{\gamma}}{|\vec{\gamma}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{\delta} \cdot \vec{\gamma} = (1+\lambda)(-1) + (1-\lambda)(1) + (1-\lambda)(-1) = -1 - \lambda + 1 - \lambda - 1 + \lambda = -1 - \lambda$.
परिमाण $|\vec{\gamma}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\frac{-1-\lambda}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow -1-\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ का मान $\vec{\delta}$ के समीकरण में रखने पर,$\vec{\delta} = (1-2)\hat{i} + (1-(-2))\hat{j} + (1-(-2))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.

(C) चूंकि $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 0$ और $\vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma} = 0$,सदिश $\vec{\alpha}$,$\vec{\beta}$ और $\vec{\gamma}$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$\vec{\alpha}$ को सदिश गुणनफल $\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$ के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $\vec{\alpha} = \lambda(\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
चूंकि $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ इकाई सदिश हैं,हमारे पास $|\vec{\alpha}| = 1, |\vec{\beta}| = 1, |\vec{\gamma}| = 1$ है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर: $|\vec{\alpha}| = |\lambda| |\vec{\beta} \times \vec{\gamma}|$.
हम जानते हैं कि $|\vec{\beta} \times \vec{\gamma}| = |\vec{\beta}| |\vec{\gamma}| \sin(30^{\circ}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
मान रखने पर: $1 = |\lambda| \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow |\lambda| = 2 \Rightarrow \lambda = \pm 2$.
इसलिए,$\vec{\alpha} = \pm 2(\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$.

(D) मान लीजिए बिंदु $A(0, -11, 4)$ और $B(2, -3, 1)$ हैं। $A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{2-0} = \frac{y-(-11)}{-3-(-11)} = \frac{z-4}{1-4} = \lambda$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{x}{2} = \frac{y+11}{8} = \frac{z-4}{-3} = \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P$,$(2\lambda, 8\lambda-11, -3\lambda+4)$ है।
मान लीजिए $Q$ बिंदु $(1, 8, 4)$ है। रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(2\lambda-1, 8\lambda-11-8, -3\lambda+4-4) = (2\lambda-1, 8\lambda-19, -3\lambda)$ हैं।
चूंकि $PQ$ रेखा पर लंब है,इसलिए $PQ$ के दिक अनुपात और रेखा के दिक अनुपात $(2, 8, -3)$ का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\lambda-1) + 8(8\lambda-19) - 3(-3\lambda) = 0$.
$4\lambda - 2 + 64\lambda - 152 + 9\lambda = 0$.
$77\lambda - 154 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$P$ के निर्देशांकों में $\lambda = 2$ रखने पर:
$x = 2(2) = 4$,$y = 8(2)-11 = 5$,$z = -3(2)+4 = -2$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(4, 5, -2)$ हैं।

(A) $Q(1, -2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{5} = \lambda$ है।
चूंकि बिंदु $P$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $P(\lambda+1, 4\lambda-2, 5\lambda+3)$ के रूप में लिए जा सकते हैं।
चूंकि $P$,समतल $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(\lambda+1) + 3(4\lambda-2) - 4(5\lambda+3) + 22 = 0$।
इसे हल करने पर,$2\lambda + 2 + 12\lambda - 6 - 20\lambda - 12 + 22 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$-6\lambda + 6 = 0$,जिसका अर्थ है $\lambda = 1$।
$\lambda = 1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर,$P(2, 2, 8)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(2-1)^2 + (2 - (-2))^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}$ इकाई।

(B) माना कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और पट आने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
कम से कम एक बार चित आने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$P(X = 0)$ कोई भी चित न आने (अर्थात सभी पट आने) की प्रायिकता है,जो $q^n = (\frac{1}{2})^n$ है।
हमें दिया गया है कि $P(X \geq 1) \geq 0.9$ है।
अतः,$1 - (\frac{1}{2})^n \geq 0.9$.
$1 - 0.9 \geq (\frac{1}{2})^n$.
$0.1 \geq \frac{1}{2^n}$.
$\frac{1}{10} \geq \frac{1}{2^n}$.
$2^n \geq 10$.
$n = 3$ के लिए,$2^3 = 8 < 10$.
$n = 4$ के लिए,$2^4 = 16 \geq 10$.
अतः,सिक्का उछालने की न्यूनतम संख्या $4$ है।