MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
આપેલ શરત $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ માં $a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\cos A}{2R \sin A} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{\cos C}{2R \sin C}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\cot A = \cot B = \cot C$ મળે છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A, B, C$ હોવાથી,$\cot A = \cot B = \cot C$ નો અર્થ છે કે $A = B = C$.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) આપેલ છે કે $\tan A, \tan B, \tan C$ એ $H.P.$ માં છે.
$\frac{2}{\tan B} = \frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C}$
$\frac{2 \cos B}{\sin B} = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos C}{\sin C}$
સાઇન નિયમ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$.
વળી,$\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}, \cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}, \cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$2 \left( \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \right) \cdot \frac{2R}{b} = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \cdot \frac{2R}{a} + \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \cdot \frac{2R}{c}$
બંને બાજુ $\frac{abc}{2R}$ વડે ગુણતા:
$2(a^{2}+c^{2}-b^{2}) = (b^{2}+c^{2}-a^{2}) + (a^{2}+b^{2}-c^{2})$
$2a^{2} + 2c^{2} - 2b^{2} = 2b^{2}$
$2a^{2} + 2c^{2} = 4b^{2}$
$a^{2} + c^{2} = 2b^{2}$
આમ,$a^{2}, b^{2}, c^{2}$ એ $A.P.$ માં છે.

(D) આપેલ છે $a=\sqrt{3}+1$,$b=\sqrt{3}-1$,$m \angle C=60^{\circ}$.
ટેન્જન્ટ નિયમ (નેપિયરની સાદ્રશ્યતા) નો ઉપયોગ કરતા: $\tan \left( \frac{A-B}{2} \right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left( \frac{C}{2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan \left( \frac{A-B}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cot \left( \frac{60^{\circ}}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cot(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$.
$\frac{A-B}{2} = 45^{\circ} \Rightarrow A-B = 90^{\circ}$.

(B) આપણે સાઈન નિયમથી જાણીએ છીએ કે $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$.
આપેલ છે કે $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$.
સાઈન નિયમના સમીકરણને આપેલ સમીકરણ વડે ભાગતા,આપણને $\tan A = \tan B = \tan C$ મળે છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોવાથી,આનો અર્થ એ છે કે $A = B = C = 60^{\circ}$,તેથી ત્રિકોણ સમબાજુ છે.
$a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
$a = \sqrt{6}$ આપેલ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{6})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6 = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \cos C = \sin B \cdot \operatorname{cosec} A$
$\operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A}$ હોવાથી,$2 \cos C = \frac{\sin B}{\sin A}$ મળે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin B}{\sin A} = \frac{b}{a}$.
તેથી,$2 \cos C = \frac{b}{a}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) = \frac{b}{a}$.
$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} = \frac{b}{a}$.
બંને બાજુ $ab$ વડે ગુણતા,$a^2 + b^2 - c^2 = b^2$ મળે.
$a^2 - c^2 = 0 \Rightarrow a^2 = c^2$.
બાજુઓની લંબાઈ હોવાથી,$a = c$.

(D) આપેલ છે કે $A, B, C$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2B = A + C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$A + C = 2B$ મૂકતા $3B = 180^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$,તેથી $\sin C = \frac{c}{b} \sin B$.
$b:c = \sqrt{3}:\sqrt{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{c}{b} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$C = 45^{\circ}$.
અંતે,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$\angle C = 90^{\circ}$,તેથી $A+B = 90^{\circ} \Rightarrow B = 90^{\circ}-A$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = k \sin A$ અને $b = k \sin B$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}} \sin (A-B) = \frac{\sin^{2} A + \sin^{2} B}{\sin^{2} A - \sin^{2} B} \sin (A-B)$.
કારણ કે $B = 90^{\circ}-A$,$\sin B = \cos A$ અને $\cos B = \sin A$.
તેથી,$\sin^{2} A + \sin^{2} B = \sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$.
અને $\sin^{2} A - \sin^{2} B = \sin^{2} A - \cos^{2} A = -\cos 2A$.
વળી,$\sin (A-B) = \sin (A - (90^{\circ}-A)) = \sin (2A - 90^{\circ}) = -\cos 2A$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{-\cos 2A} \cdot (-\cos 2A) = 1$.

(D) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,અને $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc} = \frac{k+7}{30}$
$\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc} = \frac{k+7}{30}$
અહીં $a=2, b=3, c=5$ આપેલ છે,તેથી $a^2+b^2+c^2 = 4+9+25 = 38$ અને $2abc = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60$.
તેથી,$\frac{38}{60} = \frac{k+7}{30}$
$\frac{38}{60} = \frac{2(k+7)}{60}$
$38 = 2k + 14$
$2k = 24 \Rightarrow k = 12$.

(D) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ અને $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ છે.
તેથી,$b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A$ અને $a^2 + c^2 - b^2 = 2ac \cos B$.
આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{c^2 - a^2 + b^2}{a^2 - b^2 + c^2} = \frac{2bc \cos A}{2ac \cos B} = \frac{b \cos A}{a \cos B}$.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,તેથી $a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{(2R \sin B) \cos A}{(2R \sin A) \cos B} = \frac{\sin B \cos A}{\sin A \cos B} = \frac{\tan B}{\tan A}$.

(A) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos 60^{\circ} = \frac{3^{2}+c^{2}-4^{2}}{2(3)(c)}$
$\frac{1}{2} = \frac{9+c^{2}-16}{6c}$
$\frac{1}{2} = \frac{c^{2}-7}{6c}$
$3c = c^{2}-7$
$c^{2}-3c-7 = 0$

(C) આપેલ પદ $\frac{\cos A-\cos C}{a-c}+\frac{\cos B}{b}$ છે.
લસાઅ લેતા,$\frac{b(\cos A-\cos C) + (a-c)\cos B}{b(a-c)}$ મળે.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{b \cos A - b \cos C + a \cos B - c \cos B}{b(a-c)}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{(a \cos B + b \cos A) - (b \cos C + c \cos B)}{b(a-c)}$ મળે.
પ્રક્ષેપણ સૂત્ર $c = a \cos B + b \cos A$ અને $a = b \cos C + c \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,પદ $\frac{c - a}{b(a-c)}$ બને છે.
અહીં $c - a = -(a - c)$ હોવાથી,સાદું રૂપ $\frac{-(a - c)}{b(a - c)} = \frac{-1}{b}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $\text{Area} = 10\sqrt{3} \text{ cm}^2$,$\angle B = 60^{\circ}$,અને $a+b+c = 20 \text{ cm}$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{Area} = \frac{1}{2}ac \sin B$.
$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ} \Rightarrow 10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$10\sqrt{3} = \frac{ac\sqrt{3}}{4} \Rightarrow ac = 40$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.
$b^2 = (a+c)^2 - 2ac - 2ac \cos 60^{\circ}$.
$a+c = 20-b$ હોવાથી,$b^2 = (20-b)^2 - 2(40) - 2(40)(0.5)$.
$b^2 = 400 + b^2 - 40b - 80 - 40$.
$0 = 280 - 40b$.
$40b = 280 \Rightarrow b = 7 \text{ cm}$.
આમ,$\ell(AC) = b = 7 \text{ cm}$.

(A) આપેલ છે $b \cos ^{2} \frac{C}{2}+c \cos ^{2} \frac{B}{2}=\frac{3 a}{2}$.
નિત્યસમ $\cos ^{2} \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b \left( \frac{1+\cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1+\cos B}{2} \right) = \frac{3 a}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$b(1+\cos C) + c(1+\cos B) = 3a$.
$b + b \cos C + c + c \cos B = 3a$.
પદોને ગોઠવતા:
$(b \cos C + c \cos B) + b + c = 3a$.
પ્રક્ષેપના નિયમ મુજબ,$b \cos C + c \cos B = a$,તેથી:
$a + b + c = 3a$.
$b + c = 2a$.
આ સૂચવે છે કે $b, a, c$ એ $A$.$P$. માં છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ માટે અડધા ખૂણાના સૂત્રો:
$\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$ અને $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$.
આપેલ શરત $(s-a)(s-b) = s(s-c)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$ab \sin^2 \frac{C}{2} = ab \cos^2 \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ $ab \cos^2 \frac{C}{2}$ વડે ભાગતા:
$\tan^2 \frac{C}{2} = 1$.
ત્રિકોણમાં $\frac{C}{2}$ લઘુકોણ હોવાથી,$\tan \frac{C}{2} = 1$ નો અર્થ છે કે $\frac{C}{2} = 45^{\circ}$.
તેથી,$C = 90^{\circ}$.
આમ,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} = 0$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $A = \sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta$,$2H = -2 \tan \theta$,અને $B = \sin^{2} \theta$.
રેખાઓની જોડી $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} = 0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_{1} + m_{2} = -\frac{2H}{B}$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_{1}m_{2} = \frac{A}{B}$ છે.
અહીં,$m_{1} + m_{2} = \frac{2 \tan \theta}{\sin^{2} \theta}$ અને $m_{1}m_{2} = \frac{\sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|m_{1} - m_{2}| = \sqrt{(m_{1} + m_{2})^{2} - 4m_{1}m_{2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$|m_{1} - m_{2}| = \sqrt{\left(\frac{2 \tan \theta}{\sin^{2} \theta}\right)^{2} - 4\left(\frac{\sec^{2} \theta - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}\right)}$
ગણતરી કરતા,$|m_{1} - m_{2}| = 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો સમાંતર મધ્યક ($A$.$M$.) $p$ છે,તેથી $\frac{\alpha+\beta}{2} = p$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha+\beta = 2p$.
આપેલ છે કે બીજનો ગુણોત્તર મધ્યક ($G$.$M$.) $q$ છે,તેથી $\sqrt{\alpha\beta} = q$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha\beta = q^{2}$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સ્વરૂપ $x^{2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - (2p)x + q^{2} = 0$ મળે છે,જે $x^{2} - 2px + q^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $a$ અને $b$ નો સમાંતર મધ્યક $34$ છે,તેથી $\frac{a+b}{2} = 34$,જેનો અર્થ છે કે $a+b = 68$.
આપેલ છે કે $a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક $16$ છે,તેથી $\sqrt{ab} = 16$,જેનો અર્થ છે કે $ab = 16^{2} = 256$.
બીજ $a$ અને $b$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (a+b)x + ab = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - 68x + 256 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = ax^{2} + bx + 2$.
$f(1) = 4$ માટે:
$a(1)^{2} + b(1) + 2 = 4 \implies a + b = 2$ ... $(1)$
$f(3) = 38$ માટે:
$a(3)^{2} + b(3) + 2 = 38 \implies 9a + 3b = 36 \implies 3a + b = 12$ ... $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(3a + b) - (a + b) = 12 - 2
2a = 10 \implies a = 5$
$(1)$ માં $a = 5$ મૂકતા:
$5 + b = 2 \implies b = -3$
તેથી,$a - b = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

(A) પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{5^{n} - 2^{n}}{2^{n}} = (\frac{5}{2})^{n} - 1$ આપેલ છે.
$n^{th}$ પદ $T_{n}$ એ $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n > 1$.
$n = 4$ માટે,$T_{4} = S_{4} - S_{3}$.
$S_{4} = (\frac{5}{2})^{4} - 1 = \frac{625}{16} - 1 = \frac{609}{16}$.
$S_{3} = (\frac{5}{2})^{3} - 1 = \frac{125}{8} - 1 = \frac{117}{8} = \frac{234}{16}$.
$T_{4} = \frac{609}{16} - \frac{234}{16} = \frac{375}{16}$.

(A) ધારો કે આપેલ $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$AP$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $9 \times a_9 = 13 \times a_{13}$.
પદો માટે સૂત્ર મૂકતા:
$9[a + (9-1)d] = 13[a + (13-1)d]$
$9[a + 8d] = 13[a + 12d]$
$9a + 72d = 13a + 156d$
પદોને ગોઠવતા:
$13a - 9a + 156d - 72d = 0$
$4a + 84d = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$a + 21d = 0$
કારણ કે $22$ મું પદ $a_{22} = a + (22-1)d = a + 21d$ છે,
તેથી,$a_{22} = 0$.

(C) પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $s_{n} = 7(3^{n} - 1)$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n^{th}$ પદ $t_{n} = s_{n} - s_{n-1}$ ($n > 1$ માટે).
$s_{n-1} = 7(3^{n-1} - 1)$.
$t_{n} = 7(3^{n} - 1) - 7(3^{n-1} - 1)$.
$t_{n} = 7(3^{n} - 1 - 3^{n-1} + 1)$.
$t_{n} = 7(3^{n} - 3^{n-1})$.
$t_{n} = 7 \cdot 3^{n-1}(3 - 1)$.
$t_{n} = 7 \cdot 3^{n-1} \cdot 2$.
$t_{n} = 14 \cdot 3^{n-1}$.

(C) ધારો કે $x = 1.\overline{41} = 1.414141...$ $(i)$
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 141.414141...$ (ii)
સમીકરણ (ii) માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$100x - x = 141.414141... - 1.414141...$
$99x = 140$
$x = \frac{140}{99}$
તેથી,સંમેય સ્વરૂપ $\frac{140}{99}$ છે.

(C) ધારો કે $G.P.$ ના પ્રથમ ચાર પદો $a, ar, ar^2, ar^3$ છે.
આપેલ છે કે,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ અને પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $S_4 = 160$.
પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $160 = \frac{a(3^4 - 1)}{3 - 1}$.
$160 = \frac{a(81 - 1)}{2} = \frac{a(80)}{2} = 40a$.
તેથી,$a = \frac{160}{40} = 4$.
$4^{th}$ પદ $T_4 = ar^3$ છે.
$T_4 = 4 \times (3)^3 = 4 \times 27 = 108$.

(C) હાર્મોનિક શ્રેણી $(HP)$ માં,પદોના વ્યસ્ત સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
ધારો કે અનુરૂપ $AP$ નું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
આપેલ છે $t_{7} = \frac{1}{10} \Rightarrow T_{7} = 10$,જ્યાં $T_{n}$ એ $AP$ નું $n$-મું પદ છે.
આપેલ છે $t_{12} = \frac{1}{25} \Rightarrow T_{12} = 25$.
સૂત્ર $T_{n} = A + (n-1)D$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A + 6D = 10$ (સમીકરણ $1$)
$A + 11D = 25$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $5D = 15 \Rightarrow D = 3$.
$D = 3$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $A + 6(3) = 10$ $\Rightarrow A + 18 = 10$ $\Rightarrow A = -8$.
હવે,$AP$ નું $20$-મું પદ શોધો: $T_{20} = A + 19D = -8 + 19(3) = -8 + 57 = 49$.
તેથી,$HP$ નું $20$-મું પદ $t_{20} = \frac{1}{T_{20}} = \frac{1}{49}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{4}, a, b, \frac{1}{19}$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,તેમના વ્યસ્ત $4, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, 19$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $A.P.$ એ $4, 4+d, 4+2d, 4+3d$ છે.
અહીં,$4+3d = 19 \implies 3d = 15 \implies d = 5$.
આમ,પદો $4, 4+5, 4+10, 19$ એટલે કે $4, 9, 14, 19$ છે.
પદોની સરખામણી કરતા,$\frac{1}{a} = 9 \implies a = \frac{1}{9}$ અને $\frac{1}{b} = 14 \implies b = \frac{1}{14}$.

(A) પ્રથમ $n$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_e = n(n+1)$ છે.
પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_o = n^2$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{n(n+1)}{n^2} = \frac{37}{36}$.
પદને સરળ બનાવતા: $\frac{n+1}{n} = \frac{37}{36}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $36(n+1) = 37n$.
$36n + 36 = 37n$.
$37n - 36n = 36$.
તેથી,$n = 36$.

(B) આપણે $S = 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + \ldots + 20^{2}$ નો સરવાળો શોધવો છે.
આને વર્ગોના બે સરવાળાના તફાવત તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$S = \sum_{k=1}^{20} k^{2} - \sum_{k=1}^{4} k^{2}$.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n=20$ માટે: $\sum_{k=1}^{20} k^{2} = \frac{20(21)(41)}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870$.
$n=4$ માટે: $\sum_{k=1}^{4} k^{2} = \frac{4(5)(9)}{6} = 2 \times 5 \times 3 = 30$.
તેથી,$S = 2870 - 30 = 2840$.

(B) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n+1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+1)} = \frac{n(2n+1)}{6} = \frac{2n^2 + n}{6}$.
આપણે પ્રથમ $8$ પદોનો સરવાળો શોધવો છે,$S_8 = \sum_{n=1}^{8} T_n = \sum_{n=1}^{8} \frac{2n^2 + n}{6}$.
$S_8 = \frac{1}{6} \left[ 2 \sum_{n=1}^{8} n^2 + \sum_{n=1}^{8} n \right]$.
$\sum_{n=1}^{8} n^2 = \frac{8(9)(17)}{6} = 204$ અને $\sum_{n=1}^{8} n = \frac{8(9)}{2} = 36$ નો ઉપયોગ કરતા.
$S_8 = \frac{1}{6} [2(204) + 36] = \frac{1}{6} [408 + 36] = \frac{444}{6} = 74$.

(D) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = n(2n+1)^2$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ મળે.
$10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} (4n^3 + 4n^2 + n)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{10} n^3 = \left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^2 = 3025$.
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$.
$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
તેથી,$S_{10} = 4(3025) + 4(385) + 55 = 13695$.

(B) આપેલ છે કે $n(X)=200, n(A)=90, n(B)=80$ અને $n(A' \cap B')=40$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(X) - n(A \cup B)$.
તેથી,$40 = 200 - n(A \cup B)$,જેનો અર્થ છે કે $n(A \cup B) = 160$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
$160 = 90 + 80 - n(A \cap B) \implies 160 = 170 - n(A \cap B) \implies n(A \cap B) = 10$.
હવે,$n(A \cap B') = n(A) - n(A \cap B) = 90 - 10 = 80$.

(C) $A \cap B = \{4\}$
$A \cup B = \{2, 3, 4, 5\}$
તેથી,કાર્તેઝિયન ગુણાકાર:
$(A \cap B) \times (A \cup B) = \{4\} \times \{2, 3, 4, 5\}$
$= \{(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5)\}$

(C) ગણ $A$ એ $0$ અને $9$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ધરાવે છે.
$A = \{2, 3, 5, 7\}$.
ગણ $A$ માં સભ્યોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.
$A$ ના ઘાતગણના સભ્યોની સંખ્યા $2^{n(A)}$ દ્વારા મળે છે.
$2^{4} = 16$.

(A) સંબંધ $R$ એ $A$ થી $B$ પર $R = \{(x, y) : x \in A, y \in B, x > y\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
દરેક $x \in A$ માટે $y \in B$ તપાસતા જ્યાં $x > y$:
$x = 2$ માટે,$y = 1$ $(2 > 1)$,તેથી $(2, 1) \in R$.
$x = 3$ માટે,$y = 1$ $(3 > 1)$,તેથી $(3, 1) \in R$.
$x = 4$ માટે,$y = 1$ $(4 > 1)$,તેથી $(4, 1) \in R$.
$x = 5$ માટે,$y = 1$ $(5 > 1)$ અને $y = 4$ $(5 > 4)$,તેથી $(5, 1) \in R$ અને $(5, 4) \in R$.
$R$ માંના તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓનો ગણ $\{(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (5, 4)\}$ છે.
વિસ્તાર એ $R$ ની ક્રમયુક્ત જોડીઓના બીજા ઘટકોનો ગણ છે.
વિસ્તાર $R = \{1, 4\}$.

(A) આપેલ ગણ $A = \{x, y, z\}$ અને $B = \{1, 2\}$ છે.
ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
ગણ $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 2$ છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં $n(A) \times n(B) = 3 \times 2 = 6$ ઘટકો હોય છે.
$A$ થી $B$ પરનો સંબંધ એ $A \times B$ નો ઉપગણ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
તેથી,$A$ થી $B$ પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^6 = 64$ થાય.

(D) આપેલ ધ્રુવીય યામ $P(r, \theta) = \left(\frac{1}{2}, 120^{\circ}\right)$ છે,જ્યાં $r = \frac{1}{2}$ અને $\theta = 120^{\circ}$ છે.
આપણે રૂપાંતરણ સૂત્રો $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$x$ માટે: $x = \frac{1}{2} \cos 120^{\circ} = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$.
$y$ માટે: $y = \frac{1}{2} \sin 120^{\circ} = \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
તેથી,કાર્તેઝિયન યામ $\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$ છે.

(C) શિરોબિંદુઓ $A(0,4,0)$,$B(0,0,3)$ અને $C(0,4,3)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી:
$a = BC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (3-3)^2} = 4$.
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-4)^2 + (3-0)^2} = 3$.
$c = AB = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2 + (3-0)^2} = 5$.
અંતઃકેન્દ્ર $I(x, y, z)$ નું સૂત્ર:
$I = \left( \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}, \frac{az_A + bz_B + cz_C}{a+b+c} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{4(0) + 3(0) + 5(0)}{12} = 0$.
$y = \frac{4(4) + 3(0) + 5(4)}{12} = \frac{36}{12} = 3$.
$z = \frac{4(0) + 3(3) + 5(3)}{12} = \frac{24}{12} = 2$.
આમ,અંતઃકેન્દ્ર $(0,3,2)$ છે.

(D) $A(2, p, -3)$,$B(q, -2, 5)$ અને $C(-5, 1, r)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ એ મધ્યકેન્દ્ર છે:
$x$-યામ માટે: $\frac{2+q-5}{3} = 0$ $\Rightarrow q-3 = 0$ $\Rightarrow q = 3$.
$y$-યામ માટે: $\frac{p-2+1}{3} = 0$ $\Rightarrow p-1 = 0$ $\Rightarrow p = 1$.
$z$-યામ માટે: $\frac{-3+5+r}{3} = 0$ $\Rightarrow r+2 = 0$ $\Rightarrow r = -2$.
આમ,$p=1, q=3, r=-2$.

(A) બિંદુઓ $A(5, k)$,$B(-3, 1)$ અને $C(-7, -2)$ સમરેખ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન થાય.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{1 - k}{-3 - 5} = \frac{1 - k}{-8}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{-2 - 1}{-7 - (-3)} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{1 - k}{-8} = \frac{3}{4}$.
બંને બાજુ $-8$ વડે ગુણતા: $1 - k = \frac{3}{4} \times (-8)$.
$1 - k = -6$.
$k = 1 + 6 = 7$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$.
બિંદુ $(-2, -2)$ એ $III$ ચરણમાં આવેલું હોવાથી,ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-2}{-2} = 1$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $III$ ચરણમાં હોવાથી,$\theta = \pi + \tan^{-1}(1) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5 \pi}{4}$.
તેથી,ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ એ $(2 \sqrt{2}, \frac{5 \pi}{4})$ છે.

(A) બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા રેખાખંડોના ઢાળ ચકાસી શકીએ છીએ.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{0 - (-b)}{0 - (-a)} = \frac{b}{a}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$.
$AB$ નો ઢાળ $BC$ ના ઢાળ જેટલો હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.
હવે,$CD$ નો ઢાળ તપાસો $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$ (જ્યાં $a \neq 1, a \neq 0$).
$BC$ નો ઢાળ $CD$ ના ઢાળ જેટલો હોવાથી,બિંદુઓ $B, C$ અને $D$ પણ સમરેખ છે.
બધા બિંદુઓ $\frac{b}{a}$ ઢાળવાળી એક જ રેખા પર આવેલા હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ સમરેખ છે.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (1, 4)$ અને $(x_2, y_2) = (-5, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{y - 4}{1 - 4} = \frac{x - 1}{-5 - 1}$.
$\frac{y - 4}{-3} = \frac{x - 1}{-6}$.
$2(y - 4) = x - 1$ $\Rightarrow 2y - 8 = x - 1$ $\Rightarrow x - 2y + 7 = 0$ ...$(1)$.
બીજી રેખાનું સમીકરણ: $4x + 3y - 5 = 0$ ...$(2)$.
$(1)$ પરથી,$x = 2y - 7$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$4(2y - 7) + 3y - 5 = 0$.
$8y - 28 + 3y - 5 = 0$.
$11y - 33 = 0 \Rightarrow y = 3$.
$y = 3$ ની કિંમત $x = 2y - 7$ માં મૂકતા: $x = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1$.
આમ,છેદબિંદુ $(-1, 3)$ છે.

(B) ધારો કે $A \equiv (a, 0)$ અને $B \equiv (0, b)$ છે.
ધારો કે $P \equiv (5, 6)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $3: 1$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતું બિંદુ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$5 = \frac{3 \times 0 + 1 \times a}{3 + 1}$ $\Rightarrow 5 = \frac{a}{4}$ $\Rightarrow a = 20$.
$6 = \frac{3 \times b + 1 \times 0}{3 + 1}$ $\Rightarrow 6 = \frac{3b}{4}$ $\Rightarrow 3b = 24$ $\Rightarrow b = 8$.
આમ,$X$-અંતઃખંડ $20$ અને $Y$-અંતઃખંડ $8$ છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{20} + \frac{y}{8} = 1$ મળે છે.
$40$ વડે ગુણતા,$2x + 5y = 40$ મળે છે.

(C) ધારો કે $a$ અને $b$ એ રેખા દ્વારા અક્ષો પર બનાવેલા અંતઃખંડ છે.
આપણને આપેલ છે કે $a + b = 8$ અને $ab = 15$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 8t + 15 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(t - 3)(t - 5) = 0$ મળે છે,તેથી $(a, b) = (3, 5)$ અથવા $(5, 3)$.
રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $a = 3$ અને $b = 5$,ત્યારે સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ થાય છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 3y - 15 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $a = 5$ અને $b = 3$,ત્યારે સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 1$ થાય છે,જેનું સાદું રૂપ $3x + 5y - 15 = 0$ છે.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $5x + 3y - 15 = 0$ અને $3x + 5y - 15 = 0$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: x - 2y + 8 = 0$ અને $L_2: 3x - y + 4 = 0$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$L_2$ ને $2$ વડે ગુણતા: $6x - 2y + 8 = 0$.
તેમાંથી $L_1$ બાદ કરતા: $5x = 0$,તેથી $x = 0$.
$x = 0$ ને $L_2$ માં મૂકતા: $y = 4$.
છેદબિંદુ $(0, 4)$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને $(0, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x = 0$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $x$-અક્ષને $(h, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $(0, k)$ પર છેદે છે.
કારણ કે $(a, -2a)$ એ રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે,તેથી:
$\frac{h + 0}{2} = a \Rightarrow h = 2a$
$\frac{0 + k}{2} = -2a \Rightarrow k = -4a$
રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણ $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{2a} + \frac{y}{-4a} = 1$
$4a$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$2x - y = 4a$
આમ,રેખાનું સમીકરણ $2x - y = 4a$ છે.

(A) બિંદુઓ $(2, 3)$ અને $(1, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{-2-3}{1-2} = \frac{-5}{-1} = 5$ છે.
માંગેલ રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{5}$ થશે.
બિંદુ $(7, -4)$ નો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-4) = -\frac{1}{5}(x - 7)$
$5(y + 4) = -(x - 7)$
$5y + 20 = -x + 7$
$x + 5y + 13 = 0$.

(A) પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ $x \sin \theta - y \cos \theta = 5$ છે. તેનો ઢાળ $m_1 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ છે.
બીજી રેખાનું સમીકરણ $x \sin \alpha - y \cos \alpha + 11 = 0$ છે. તેનો ઢાળ $m_2 = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\beta$ છે.
તેથી,$\tan \beta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\tan \theta - \tan \alpha}{1 + \tan \theta \tan \alpha} \right|$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(\theta - \alpha) = \frac{\tan \theta - \tan \alpha}{1 + \tan \theta \tan \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan \beta = |\tan(\theta - \alpha)|$ મળે છે.
તેથી,$\beta = |\theta - \alpha|$.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x - 1$ અને $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{7}{\sqrt{3}}$ છે.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_{1} = \sqrt{3}$ અને $m_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + (\sqrt{3})(\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{3-1}{\sqrt{3}}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{2/\sqrt{3}}{2} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી $\theta = 30^{\circ}$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y = 9$ અને $6x + 8y = 15$ છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે પહેલા $x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન બનાવીએ.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $2(3x + 4y) = 2(9) \Rightarrow 6x + 8y = 18$.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 6$,$b = 8$,$c_1 = -18$,અને $c_2 = -15$.
$d = \frac{|-18 - (-15)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0.3$ એકમ.

(B) આપેલ રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જેને $bx + ay - ab = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \left| \frac{Ax_{1} + By_{1} + C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A = b$,$B = a$,$C = -ab$,$x_{1} = a$,અને $y_{1} = b$ મૂકતા:
$d = \left| \frac{b(a) + a(b) - ab}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \right| = \left| \frac{ab + ab - ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right| = \left| \frac{ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right|$ એકમ.

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^{1} [x+1] \, dx$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $[x+n] = [x] + n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $[x+1] = [x] + 1$ મળે છે.
તેથી,$I = \int_{-2}^{1} ([x] + 1) \, dx = \int_{-2}^{1} [x] \, dx + \int_{-2}^{1} 1 \, dx$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{-2}^{1} 1 \, dx = [x]_{-2}^{1} = 1 - (-2) = 3$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{-2}^{1} [x] \, dx = \int_{-2}^{-1} -2 \, dx + \int_{-1}^{0} -1 \, dx + \int_{0}^{1} 0 \, dx$.
$= -2[x]_{-2}^{-1} - 1[x]_{-1}^{0} + 0 = -2(-1 - (-2)) - 1(0 - (-1)) = -2(1) - 1(1) = -2 - 1 = -3$.
તેથી,$I = -3 + 3 = 0$.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$
$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi)}{2} \right) - \left( 0 - \frac{\sin(0)}{2} \right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0 \right]$
$= \frac{\pi}{4}$

(D) આ સંકલન $\int_{-2}^{2.24} [x] \, dx$ છે. આપણે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ ના કૂદકાના આધારે અંતરાલને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_{-2}^{2.24} [x] \, dx = \int_{-2}^{-1} -2 \, dx + \int_{-1}^{0} -1 \, dx + \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{2.24} 2 \, dx$
દરેક ભાગની ગણતરી કરતા:
$\int_{-2}^{-1} -2 \, dx = -2[-1 - (-2)] = -2(1) = -2$
$\int_{-1}^{0} -1 \, dx = -1[0 - (-1)] = -1(1) = -1$
$\int_{0}^{1} 0 \, dx = 0$
$\int_{1}^{2} 1 \, dx = 1[2 - 1] = 1$
$\int_{2}^{2.24} 2 \, dx = 2[2.24 - 2] = 2(0.24) = 0.48$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $-2 - 1 + 0 + 1 + 0.48 = -2 + 0.48 = -1.52$.

(B) આપણે નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{4}|x-2| d x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
વિધેય $|x-2|$ એ $x=2$ આગળ તેની વ્યાખ્યા બદલે છે. ખાસ કરીને,$x < 2$ માટે $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ અને $x \ge 2$ માટે $|x-2| = x-2$ થાય છે.
તેથી,આપણે સંકલનને $x=2$ આગળ વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_{0}^{4}|x-2| d x = \int_{0}^{2}(2-x) d x + \int_{2}^{4}(x-2) d x$
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્યાંકન: $\int_{0}^{2}(2-x) d x = [2x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = (4 - 2) - (0 - 0) = 2$.
બીજા ભાગનું મૂલ્યાંકન: $\int_{2}^{4}(x-2) d x = [\frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^{4} = (8 - 8) - (2 - 4) = 0 - (-2) = 2$.
બંને ભાગોનો સરવાળો કરતા: $2 + 2 = 4$.

(C) પદાવલિ $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ એ શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકનું બીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેના ગુણાકારનો સરવાળો એ નિશ્ચાયક $|A|$ ના મૂલ્ય જેટલો હોય છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(-5 - 9) - 0 + 2(6 - 0)$
$|A| = 1(-14) + 2(6) = -14 + 12 = -2$.
આમ,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = |A| = -2$.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX=B$ છે,જ્યાં $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$,અને $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1((-1)(-4) - (0)(3)) - (-1)((2)(-4) - (0)(3)) + 1((2)(3) - (-1)(3))$
$|A| = 1(4) + 1(-8) + 1(6+3) = 4 - 8 + 9 = 5$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ,$adj(A)$,એ કોફેક્ટર શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$C_{11} = 4, C_{12} = 8, C_{13} = 9$
$C_{21} = -1, C_{22} = -7, C_{23} = -6$
$C_{31} = 1, C_{32} = 2, C_{33} = 1$
$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right]$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right]$.
હવે,$X = A^{-1}B = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right] = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{l}4(1) - 1(1) + 1(2) \\ 8(1) - 7(1) + 2(2) \\ 9(1) - 6(1) + 1(2)\end{array}\right] = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{l}5 \\ 5 \\ 5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$.
તેથી,$x=1, y=1, z=1$.
અંતે,$x+y+z = 1+1+1 = 3$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX=B$ છે:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 15 \\ 13 \end{bmatrix}$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$
આનાથી સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$x + 3y + 3z = 12$
$y + z = 3$
$z = 1$
$z = 1$ ને $y + z = 3$ માં મૂકતા,$y + 1 = 3$ મળે,તેથી $y = 2$.
$y = 2$ અને $z = 1$ ને $x + 3y + 3z = 12$ માં મૂકતા:
$x + 3(2) + 3(1) = 12$
$x + 6 + 3 = 12$
$x + 9 = 12 \Rightarrow x = 3$
અંતે,$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3^{2} + 2^{2} + 1^{2} = 9 + 4 + 1 = 14$.

(C) વિકલ સમીકરણની ઘાત (degree) એ સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતની ઘાતાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જો સમીકરણને તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય.
આપેલ સમીકરણ $e^{\frac{dy}{dx}} + (\frac{dy}{dx})^3 = x$ માં,$e^{\frac{dy}{dx}}$ પદમાં વિકલિત ઘાતાંકમાં છે,જેનો અર્થ છે કે તેને $\frac{dy}{dx}$ ના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}=7 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $3$ ઘાત લઈને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\left(\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}\right)^{3} = \left(7 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
આનું સાદું રૂપ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{7} = 343 \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$ થાય છે.
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી સૌથી વધુ વિકલનનો ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^2}} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{3/2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^2} = (\frac{d^2y}{dx^2})^3$ મળે છે.
બંને બાજુ $(\frac{dy}{dx})^2$ વડે ગુણતા,$(\frac{dy}{dx})^2 + 1 = (\frac{d^2y}{dx^2})^3 (\frac{dy}{dx})^2$ મળે છે.
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સમીકરણને અપૂર્ણાંક અને કરણીથી મુક્ત કર્યા પછી,સૌથી વધુ વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,કક્ષા અને ઘાત અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{\frac{5}{3}}=5 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
કક્ષા અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $3$ ઘાત લઈને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરીએ છીએ:
$\left[1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{5} = (5 \frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3}$
$\left[\frac{(\frac{dy}{dx})^{2}+1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{5} = 125 (\frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3}$
$((\frac{dy}{dx})^{2}+1)^{5} = 125 (\frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3} (\frac{dy}{dx})^{10}$
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી સૌથી વધુ વિકલનની ઘાત $3$ છે.
આમ,કક્ષા $2$ અને ઘાત $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y = px + \sqrt{a^{2}p^{2} + b^{2}}$,જ્યાં $p = \frac{dy}{dx}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y - px = \sqrt{a^{2}p^{2} + b^{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y - px)^{2} = a^{2}p^{2} + b^{2}$
$y^{2} - 2pxy + p^{2}x^{2} = a^{2}p^{2} + b^{2}$
$p = \frac{dy}{dx}$ મૂકતા:
$y^{2} - 2xy\left(\frac{dy}{dx}\right) + x^{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = a^{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + b^{2}$
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $1$ છે.
સૌથી મોટા વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી તેની ઘાત $2$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $1$ અને $2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}=7\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)$.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે. બંને બાજુ $3$ ઘાત લેતા:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{7} = 7^{3}\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
પરિમાણ એ સમીકરણને વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવ્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત છે. અહીં,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ની ઘાત $3$ છે.
આમ,કક્ષા $2$ છે અને પરિમાણ $3$ છે.

(D) $x$-અંત:ખંડ $a$ અને $y$-અંત:ખંડ $b$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$ab$ વડે ગુણતા,આપણને $bx + ay = ab$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$b + a \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,કારણ કે $-\frac{b}{a}$ એ અચળ છે,તેથી $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y^{2}=(2 x+c)^{5}$ ...$(i)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 y \frac{dy}{dx} = 5(2 x+c)^{4} \times 2$
$y \frac{dy}{dx} = 5(2 x+c)^{4}$
આના પરથી,આપણે $(2 x+c)$ શોધીએ છીએ:
$(2 x+c)^{4} = \frac{y}{5} \frac{dy}{dx}$
$(2 x+c) = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{1/4}$
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y^{2} = \left[\left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{1/4}\right]^{5}$
$y^{2} = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{5/4}$
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા:
$(y^{2})^{4} = \left(\frac{y}{5} \frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{8} = \frac{y^{5}}{5^{5}} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{8} = \frac{y^{5}}{3125} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$y^{5}$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારીને):
$y^{3} = \frac{1}{3125} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$3125 y^{3} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5} - 3125 y^{3} = 0$

(D) આપેલ છે કે $y = e^{ax}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\log y = \log(e^{ax})$.
કારણ કે $\log(e^{ax}) = ax$,તેથી $\log y = ax$ ...$(1)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a$.
હવે,વિકલનમાંથી મળેલ $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\log y = \left( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \right) x$.
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા,આપણને $y \log y = x \frac{dy}{dx}$ મળે છે,જે $x \frac{dy}{dx} = y \log y$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = c$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\tan^{-1} y) = \frac{d}{dx}(c)$
$\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y^2}{1+x^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{x}{x-y} = \log a - \log(x-y)$.
ગોઠવતા,આપણને મળે $\log(x-y) + \frac{x}{x-y} = \log a$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x-y} \left(1 - \frac{dy}{dx}\right) + \frac{(x-y)(1) - x(1 - \frac{dy}{dx})}{(x-y)^2} = 0$.
$(x-y)^2$ વડે ગુણતા:
$(x-y)(1 - \frac{dy}{dx}) + x - y - x + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$x - y - (x-y) \frac{dy}{dx} - y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$x - 2y + \frac{dy}{dx} (x - x + y) = 0$.
$x - 2y + y \frac{dy}{dx} = 0$.
$y \frac{dy}{dx} = 2y - x$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x}{y}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m} \dots (1)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = m$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $m = \frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
$y = x \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{2}{\frac{dy}{dx}}$
બંને બાજુ $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right) = x \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 2$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos \left(\frac{dy}{dx}\right) = a$ છે.
બંને બાજુ $\cos^{-1}$ લેતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1} a$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\int dy = \int \cos^{-1} a \, dx$ મળે.
આથી $y = x \cos^{-1} a + c$ .... $(1)$.
આપેલ પ્રારંભિક શરત $y(0) = 2$ મુજબ,સમીકરણ $(1)$ માં $x = 0$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2 = 0 \cdot \cos^{-1} a + c \Rightarrow c = 2$.
$c = 2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $y = x \cos^{-1} a + 2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$y - 2 = x \cos^{-1} a$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{y - 2}{x} = \cos^{-1} a$.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા,આપણને $\cos \left(\frac{y - 2}{x}\right) = a$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $y=e^{x}(A \cos x+B \sin x)$ ... $(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^{x}(A \cos x + B \sin x) + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = y + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$ ... $(2)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} + e^{x}(-A \sin x + B \cos x) + e^{x}(-A \cos x - B \sin x)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી $e^{x}(-A \sin x + B \cos x) = \frac{dy}{dx} - y$ મૂકતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) - e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
કારણ કે $e^{x}(A \cos x + B \sin x) = y$ હોવાથી:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2\frac{dy}{dx} - y - y$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

(B) આપેલ વિધેય $y = a(x-a)^{2} \quad ...(1)$
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2a(x-a) \quad ...(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$a = \frac{1}{2} \frac{dy/dx}{x-a}$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{1}{2} \frac{dy/dx}{x-a} (x-a)^2 = \frac{1}{2} (x-a) \frac{dy}{dx}$
તેથી,$(x-a) = \frac{2y}{dy/dx}$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = 2a \left( \frac{2y}{dy/dx} \right) \implies a = \frac{(dy/dx)^2}{4y}$.
હવે,$a$ અને $(x-a)$ ની કિંમત $y = a(x-a)^2$ માં મૂકતા:
$y = \left( \frac{(dy/dx)^2}{4y} \right) \left( \frac{2y}{dy/dx} \right)^2$
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે $a$ નો લોપ કરતા,આપણને $8y^3 = (y')^2 (2x - y')$ મળે છે. તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, 8)$ છે.
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = 8$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2} + (y-8)^{2} = 8^{2} = 64$ ... $(1)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x-h) + 2(y-8) \frac{d y}{d x} = 0$
$(x-h) = -(y-8) \frac{d y}{d x}$
$(x-h)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$[-(y-8) \frac{d y}{d x}]^{2} + (y-8)^{2} = 64$
$(y-8)^{2} (\frac{d y}{d x})^{2} + (y-8)^{2} = 64$
$(y-8)^{2} [1 + (\frac{d y}{d x})^{2}] = 64$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે: $x = a \sin t - b \cos t$ અને $y = a \cos t + b \sin t$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^{2} + y^{2} = (a \sin t - b \cos t)^{2} + (a \cos t + b \sin t)^{2}$
$x^{2} + y^{2} = a^{2} \sin^{2} t + b^{2} \cos^{2} t - 2ab \sin t \cos t + a^{2} \cos^{2} t + b^{2} \sin^{2} t + 2ab \sin t \cos t$
$x^{2} + y^{2} = a^{2}(\sin^{2} t + \cos^{2} t) + b^{2}(\cos^{2} t + \sin^{2} t) = a^{2} + b^{2}$.
$x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies y \frac{dy}{dx} = -x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = -1$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ ની કિંમત મૂકતા:
$y \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left(-\frac{x}{y}\right)^{2} = -1$
$y \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} = -1$.
$y^{2}$ વડે ગુણતા:
$y^{3} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x^{2} = -y^{2}$
$y^{3} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x^{2} + y^{2} = 0$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec^{2} x \tan y \, dx + \sec^{2} y \tan x \, dy = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\sec^{2} x \tan y \, dx = -\sec^{2} y \tan x \, dy$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx = -\frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{\sec^{2} x}{\tan x} \, dx = -\int \frac{\sec^{2} y}{\tan y} \, dy$
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^{2} x \, dx$. તેવી જ રીતે,$v = \tan y$ લેતા,$dv = \sec^{2} y \, dy$.
તેથી,$\int \frac{1}{u} \, du = -\int \frac{1}{v} \, dv$
$\log |u| = -\log |v| + \log |c|$
$\log |\tan x| + \log |\tan y| = \log |c|$
$\log |\tan x \tan y| = \log |c|$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\tan x \tan y = c$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy + 2y dx = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$x dy = -2y dx$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x}$.
આથી $\ln|y| = -2 \ln|x| + C$ મળે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\ln|y| + 2 \ln|x| = C$,જે $\ln|y| + \ln|x^2| = C$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$\ln|yx^2| = C$,જેનો અર્થ છે કે $yx^2 = e^C = k$.
શરત $x = 2$ અને $y = 1$ આપેલ છે,આ કિંમતો $x^2y = k$ માં મૂકતા:
$(2)^2(1) = k \Rightarrow 4(1) = k \Rightarrow k = 4$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $x^2y = 4$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int dy = -\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x + c$
તેથી,ઉકેલ છે: $y = -\sin^{-1} x + c$
જેને આ રીતે લખી શકાય: $y + \sin^{-1} x = c$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 9x - 6y + 6$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $\frac{dy}{dx} = e^{9x - 6y + 6} = e^{9x+6} \cdot e^{-6y}$.
ચલને અલગ કરતા: $e^{6y} dy = e^{9x+6} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{6y} dy = \int e^{9x+6} dx$.
જેથી મળે: $\frac{e^{6y}}{6} = \frac{e^{9x+6}}{9} + C$.
જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $y = 1$ આપેલ છે: $\frac{e^{6}}{6} = \frac{e^{6}}{9} + C$.
$C$ માટે ઉકેલતા: $C = \frac{e^{6}}{6} - \frac{e^{6}}{9} = \frac{3e^{6} - 2e^{6}}{18} = \frac{e^{6}}{18}$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{e^{6y}}{6} = \frac{e^{9x+6}}{9} + \frac{e^{6}}{18}$.
બંને બાજુ $18$ વડે ગુણતા: $3e^{6y} = 2e^{9x+6} + e^{6}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dx}{dy} = x \log x$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{x \log x} = \frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$. સંકલન $\int \frac{1}{u} du = \log |u| = \log |\log x|$ થશે.
તેથી,$\log |\log x| = \log |y| + C$.
$x = e$ અને $y = 1$ આપેલ છે: $\log |\log e| = \log |1| + C \Rightarrow \log |1| = 0 + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\log |\log x| = \log |y|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\log x = y$,જેનો અર્થ થાય છે $x = e^y$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^{2})+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$
પદોને ગોઠવતા: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^{2})$
વ્યસ્ત લેતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{-(x-e^{\tan ^{-1} y})}{1+y^{2}} = \frac{-x}{1+y^{2}} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}}$
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^{2}}$ અને $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) = $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ દ્વારા મળે છે.
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + c$.
ધારો કે $t = e^{\tan ^{-1} y}$,તો $dt = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} dy$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int t dt + c = \frac{t^{2}}{2} + c$.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \frac{(e^{\tan ^{-1} y})^{2}}{2} + c$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{dy}{dx}\right)=x+y$
$\implies \frac{dy}{dx}=\sin (x+y)$
ધારો કે $x+y=t$. તેથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1+\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}-1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dt}{dx}-1=\sin t$
$\implies \frac{dt}{dx}=1+\sin t$
$\implies \int \frac{dt}{1+\sin t}=\int dx$
$\frac{1}{1+\sin t}$ નું સંકલન કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(1-\sin t)$ વડે ગુણતા:
$\int \frac{1-\sin t}{1-\sin^2 t} dt = \int dx$
$\implies \int \frac{1-\sin t}{\cos^2 t} dt = x+c$
$\implies \int (\sec^2 t - \sec t \tan t) dt = x+c$
$\implies \tan t - \sec t = x+c$
$t=x+y$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે: $x = \tan (x+y) - \sec (x+y) + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^{2} \frac{dy}{dx} = y^{2} + xy$ છે.
$x^{2}$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} + xy}{x^{2}} = \left(\frac{y}{x}\right)^{2} + \frac{y}{x}$ મળે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = ux$,તેથી $\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $u + x \frac{du}{dx} = u^{2} + u$.
બંને બાજુથી $u$ બાદ કરતા: $x \frac{du}{dx} = u^{2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{du}{u^{2}} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int u^{-2} du = \int \frac{1}{x} dx$.
$-u^{-1} = \log |x| + c$.
$u = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$-\frac{x}{y} = \log |x| + c$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{x}{y} + \log |x| = -c$,જેને $\frac{x}{y} + \log |x| = C$ તરીકે લખી શકાય (જ્યાં $C = -c$).

(D) આપેલ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2$ છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $y = ux$,તેથી $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$u + x\frac{du}{dx} = 1 + u + u^2$.
બંને બાજુથી $u$ બાદ કરતા:
$x\frac{du}{dx} = 1 + u^2$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા:
$\int \frac{du}{1 + u^2} = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\tan^{-1}(u) = \log|x| + C$.
$u = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + C$.
વક્ર બિંદુ $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\tan^{-1}(0) = \log|1| + C$,જેનો અર્થ છે $0 = 0 + C$,તેથી $C = 0$.
આમ,સમીકરણ $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x|$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y=c^{2}+\frac{c}{x}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = -\frac{c}{x^{2}}$
આના પરથી,આપણે $c$ ને $x$ અને $\frac{d y}{d x}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$c = -x^{2} \frac{d y}{d x}$
હવે,$c$ ની આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (-x^{2} \frac{d y}{d x})^{2} + \frac{-x^{2} \frac{d y}{d x}}{x}$
$y = x^{4} (\frac{d y}{d x})^{2} - x \frac{d y}{d x}$
પદોને ગોઠવતા આપણને વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$x^{4} (\frac{d y}{d x})^{2} - x \frac{d y}{d x} - y = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$
બંને બાજુ $dx \cdot x \sin \left(\frac{y}{x}\right)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x}{x \sin \left(\frac{y}{x}\right)} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin \left(\frac{y}{x}\right)}$
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$. તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{\sin v}$
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v} = -\operatorname{cosec} v$
ચલનું અલગીકરણ કરતા:
$\sin v \, dv = -\frac{1}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$-\cos v = -\log |x| + c$
$\cos v = \log |x| + c$
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\cos \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + c$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$.
$\sin^{2} y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} + (\operatorname{cosec}^{2} y)x = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \operatorname{cosec}^{2} y$ અને $Q(y) = \cot y \operatorname{cosec}^{2} y$.
વિકલ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \operatorname{cosec}^{2} y dy} = e^{-\cot y}$ છે.
ઉકેલ: $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$.
$x e^{-\cot y} = \int \cot y \operatorname{cosec}^{2} y e^{-\cot y} dy + C$.
ધારો કે $t = -\cot y$,તો $dt = \operatorname{cosec}^{2} y dy$.
$x e^{-\cot y} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$.
$t = -\cot y$ મૂકતા: $x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y) + C$.
$x = 0$ અને $y = \frac{3\pi}{4}$ લેતા: $0 = e^{-\cot(3\pi/4)}(1 + \cot(3\pi/4)) + C$.
$\cot(3\pi/4) = -1$ હોવાથી,$0 = e^{1}(1 - 1) + C \implies C = 0$.
તેથી,$x e^{-\cot y} = e^{-\cot y}(1 + \cot y)$,જેનું સાદું રૂપ $x = 1 + \cot y$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^3 - 3$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = x^3 - 3$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધવાનું સૂત્ર $I.F. = e^{\int P dx}$ છે.
$P = \frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ મળે છે.
તેથી,સંકલ્યકારક અવયવ $x$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $r dx + (x - r^2) dr = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$r dx = -(x - r^2) dr$ મળે.
$dr$ વડે ભાગતા,$r \frac{dx}{dr} = r^2 - x$ મળે.
તેને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dx}{dr} + P(r)x = Q(r)$ માં ગોઠવતા,$\frac{dx}{dr} + \frac{1}{r}x = r$ મળે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int \frac{1}{r} dr} = e^{\log r} = r$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(r) \cdot (I.F.) dr + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \cdot r = \int r \cdot r dr + c$.
જમણી બાજુનું સંકલન કરતા,$xr = \int r^2 dr + c$.
આમ,$xr = \frac{r^3}{3} + c$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2$ અને $Q = e^{-x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ થાય.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y e^{2x} = \int (e^{-x} \cdot e^{2x}) dx + c$.
$y e^{2x} = \int e^{x} dx + c$.
$y e^{2x} = e^{x} + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ મેળવવા માટે $(1-x^{2})$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^{2}}y = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
અહીં,$P = \frac{2x}{1-x^{2}}$ અને $Q = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^{2}} dx} = e^{-\ln(1-x^{2})} = e^{\ln(\frac{1}{1-x^{2}})} = \frac{1}{1-x^{2}}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \times (I.F.) = \int Q \times (I.F.) dx + c$ છે.
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \times \frac{1}{1-x^{2}} dx + c$
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = \int x(1-x^{2})^{-\frac{3}{2}} dx + c$
ધારો કે $u = 1-x^{2}$,તો $du = -2x dx$,તેથી $x dx = -\frac{1}{2} du$.
$y \times \frac{1}{1-x^{2}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{3}{2}} du + c = -\frac{1}{2} \left( \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} \right) + c = u^{-\frac{1}{2}} + c = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + c$.
બંને બાજુ $(1-x^{2})$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} + c(1-x^{2}) = \sqrt{1-x^{2}} + c(1-x^{2})$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^{2}) dt = (\tan^{-1} x - t) dx$.
બંને બાજુને $(1+x^{2}) dx$ વડે ભાગતા:
$\frac{dt}{dx} = \frac{\tan^{-1} x - t}{1+x^{2}}$
સમીકરણને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ માં ગોઠવતા:
$\frac{dt}{dx} + \frac{1}{1+x^{2}}t = \frac{\tan^{-1} x}{1+x^{2}}$
અહીં,$P(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા મળે છે:
$I.F. = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1} x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y (1 - x \cos y)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $\sin y \frac{d y}{d x} = \cos y - x \cos^2 y$.
બંને બાજુ $\cos^2 y$ વડે ભાગતા: $\frac{\sin y}{\cos^2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos y} - x$.
જેનું સાદું રૂપ: $\sec y \tan y \frac{d y}{d x} = \sec y - x$.
પદોને ગોઠવતા: $\sec y \tan y \frac{d y}{d x} - \sec y = -x$.
ધારો કે $v = \sec y$. તેથી $\frac{d v}{d x} = \sec y \tan y \frac{d y}{d x}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{d v}{d x} - v = -x$.
આ $\frac{d v}{d x} + P(x)v = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -1$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x+x^{3})dy = -(1+y(1+x^{2}))dx$ મળે.
$dx(x+x^{3})$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(1+x^{2})} - \frac{y(1+x^{2})}{x(1+x^{2})}$ થાય.
તેથી,$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{1}{x}\right)y = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = -\frac{1}{x(1+x^{2})}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ દ્વારા મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x^2$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\log x}{x}\right) y = x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{\log x}{x}$ અને $Q = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P dx}$ દ્વારા મળે છે.
$I$.$F$. $= e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
તેથી,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$.
આમ,$I$.$F$. $= e^{\frac{(\log x)^2}{2}} = (e^{\log x})^{\frac{\log x}{2}} = x^{\frac{\log x}{2}} = x^{\log (\sqrt{x})}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \log y \left(\frac{dx}{dy}\right) + x = \log y$ છે.
બંને બાજુને $y \log y$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y \log y} = \frac{\log y}{y \log y} = \frac{1}{y}$.
આ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{y \log y}$ અને $Q = \frac{1}{y}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P dy}$ દ્વારા મળે છે.
$I$.$F$. $= e^{\int \frac{1}{y \log y} dy}$.
ધારો કે $u = \log y$,તો $du = \frac{1}{y} dy$ થાય.
તેથી,$\int \frac{1}{y \log y} dy = \int \frac{1}{u} du = \log u = \log(\log y)$.
આમ,$I$.$F$. $= e^{\log(\log y)} = \log y$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 4 \log x$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ માં લાવવા માટે $(x \log x)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{4 \log x}{x \log x} = \frac{4}{x}$.
અહીં,$P = \frac{1}{x \log x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નું સૂત્ર $e^{\int P dx}$ છે:
$I.F. = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
તેથી,$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log u = \log(\log x)$.
આમ,$I.F. = e^{\log(\log x)} = \log x$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y + x \frac{dy}{dx}) \sin(xy) = \cos x$
ધારો કે $u = xy$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{du}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin(u) \frac{du}{dx} = \cos x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $\int \sin(u) du = \int \cos x dx$.
પરિણામે: $-\cos(u) = \sin x + C$.
$u = xy$ પાછું મૂકતા: $-\cos(xy) = \sin x + C$.
$x = 0$ આગળ,$\cos(0) = -\sin(0) - C$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $1 = 0 - C$,તેથી $C = -1$.
આમ,$-\cos(xy) = \sin x - 1$,જેનું સાદું રૂપ $\sin x + \cos(xy) = 1$ થાય છે.

(D) આપેલ રેખા $5x + 2y + 7 = 0$ છે.
તેનો ઢાળ $m_1 = -\frac{5}{2}$ છે.
આ રેખાને લંબ હોય તેવી કોઈપણ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{2}{5}$ થશે.
$\frac{2}{5}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓના સમૂહનું સમીકરણ $y = \frac{2}{5}x + c$ છે,જેને $2x - 5y + 5c = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $5c = k$,તેથી સમીકરણ $2x - 5y + k = 0$ બને છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2 - 5\frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
$dx$ વડે ગુણતા,આપણને $2dx - 5dy = 0$ મળે,અથવા $5dy - 2dx = 0$ થાય.

(C) વૃદ્ધિનો દર હાજર સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે.
$\frac{dN}{dt} = kN \Rightarrow \frac{dN}{N} = k dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln N = kt + C$ મળે.
$t = 0$ સમયે,$N = 1000$,તેથી $C = \ln 1000$.
આમ,$\ln N = kt + \ln 1000 \Rightarrow \ln(\frac{N}{1000}) = kt \Rightarrow N = 1000 e^{kt}$.
આપેલ છે કે $t = 1$ સમયે,$N = 2000$,તેથી $2000 = 1000 e^k$,જેનો અર્થ છે કે $e^k = 2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$N = 1000 \times (e^k)^t = 1000 \times 2^t$.
$t = 2 \frac{1}{2} = 2.5$ કલાક માટે:
$N = 1000 \times 2^{2.5} = 1000 \times 2^2 \times 2^{0.5} = 1000 \times 4 \times \sqrt{2}$.
$\sqrt{2} = 1.414$ આપેલ હોવાથી,$N = 1000 \times 4 \times 1.414 = 5656$.

(B) ધારો કે સમય $t$ પર પદાર્થનું તાપમાન $\theta$ છે. આસપાસનું તાપમાન $\theta_s = 20^{\circ} C$ છે. ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,$\frac{d\theta}{dt} = -K(\theta - \theta_s)$.
આનું સંકલન કરતા,$\ln(\theta - 20) = -Kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$\theta = 100^{\circ} C$,તેથી $\ln(100 - 20) = C \Rightarrow C = \ln(80)$.
આમ,$\ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -Kt$.
$t = 20 \text{ મિનિટ}$ સમયે,$\theta = 60^{\circ} C$,તેથી $\ln\left(\frac{60 - 20}{80}\right) = -K(20) \Rightarrow \ln(0.5) = -20K \Rightarrow K = \frac{-\ln(0.5)}{20}$.
આપણે $t = 60 \text{ મિનિટ}$ (એક કલાક) પર $\theta$ શોધવાનું છે.
$\ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -\left(\frac{-\ln(0.5)}{20}\right)(60) = 3 \ln(0.5) = \ln(0.5^3) = \ln(0.125)$.
$\frac{\theta - 20}{80} = 0.125 = \frac{1}{8}$.
$\theta - 20 = 10 \Rightarrow \theta = 30^{\circ} C$.