વિકલ સમીકરણ (1-x^{2}) frac{dy}{dx} + 2xy = x( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ મેળવવા માટે $(1-x^{2})$ વડે ભ

Vedclass · Accepted Answer

$y = \sqrt{1-x^{2}} + c(1-x^{2})$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ મેળવવા માટે $(1-x^{2})$ વડે ભાગતા:$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^{2}}y = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$અહીં,$P = \frac{2x}{1-x^{2}}$ અને $Q = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$.સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^{2}} dx} = e^{-\ln(1-x^{2})} = e^{\ln(\frac{1}{1-x^{2}})} = \frac{1}{1-x^{2}}$.વ્યાપક ઉકેલ $y 	imes (I.F.) = \int Q 	imes (I.F.) dx + c$ છે.$y 	imes \frac{1}{1-x^{2}} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} 	imes \frac{1}{1-x^{2}} dx + c$$y 	imes \frac{1}{1-x^{2}} = \int x(1-x^{2})^{-\frac{3}{2}} dx + c$ધારો કે $u = 1-x^{2}$,તો $du = -2x dx$,તેથી $x dx = -\frac{1}{2} du$.$y 	imes \frac{1}{1-x^{2}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{3}{2}} du + c = -\frac{1}{2} \left( \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} ight) + c = u^{-\frac{1}{2}} + c = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + c$.બંને બાજુ $(1-x^{2})$ વડે ગુણતા:$y = \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} + c(1-x^{2}) = \sqrt{1-x^{2}} + c(1-x^{2})$.

વિકલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + \left( x - \frac{1}{y} \right) dy = 0$ માટે,જો $y(1) = 1$ હોય,તો $x = $ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(\tan ^{-1} y-x) dy = (1+y^2) dx$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $(1 + y^2) + (x - e^{\tan^{-1}y}) \frac{dy}{dx} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy + (y(x - \sqrt{x^2-1}) - x)dx = 0, x \geq 1$ નો ઉકેલ છે. જો $y(1) = 1$ હોય,તો $y(\sqrt{5})$ થી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાંક . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module