MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ તથા જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $KE = \frac{L^2}{2I}$.
અહીં ચાકગતિ ઉર્જા સમાન હોવાથી $(KE_1 = KE_2)$:
$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$
આપેલ કિંમતો $I_1 = I$ અને $I_2 = 2I$ મૂકતા:
$\frac{L_1^2}{2I} = \frac{L_2^2}{2(2I)}$
$\frac{L_1^2}{I} = \frac{L_2^2}{2I}$
$\frac{L_1^2}{L_2^2} = \frac{I}{2I} = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,તેમના કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $1:\sqrt{2}$ છે.

(D) મધ્યમાન સ્થાન પર સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે અને ગતિ ઉર્જા મહત્તમ હોય છે. દળ $m$ મૂકતી વખતે તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે મધ્યમાન સ્થાન પર દળ $M$ નો વેગ $v_1$ છે,અને $m$ મૂક્યા પછી તરત જ સંયુક્ત દળ $(M+m)$ નો વેગ $v_2$ છે.
વેગમાનનું સંરક્ષણ: $M v_1 = (M + m) v_2$.
$S.H.M.$ માં મહત્તમ વેગ $v_{max} = A \omega = A \sqrt{\frac{k}{m_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $v_1 = A_1 \sqrt{\frac{k}{M}}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $v_2 = A_2 \sqrt{\frac{k}{M+m}}$.
આ કિંમતોને વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M \left( A_1 \sqrt{\frac{k}{M}} \right) = (M + m) \left( A_2 \sqrt{\frac{k}{M+m}} \right)$.
$A_1 \sqrt{M k} = A_2 \sqrt{(M+m) k}$.
$A_1 \sqrt{M} = A_2 \sqrt{M+m}$.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{M+m}{M}} = \left( \frac{M+m}{M} \right)^{\frac{1}{2}}$.

(D) ધારો કે $x_{1}$ અને $x_{2}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $m_{1}$ અને $m_{2}$ દળના અંતર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$m_{1}x_{1} = m_{2}x_{2}$.
જ્યારે પ્રથમ કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું અંતર $(x_{1} - d)$ થાય છે.
ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અપરિવર્તિત રાખવા માટે બીજા કણને $D$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમાન સ્થિતિમાં રહે તે માટે,નવા અંતરોએ $m_{1}(x_{1} - d) = m_{2}(x_{2} - D)$ નું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $m_{1}x_{1} - m_{1}d = m_{2}x_{2} - m_{2}D$ મળે છે.
ચૂંક $m_{1}x_{1} = m_{2}x_{2}$ હોવાથી,સમીકરણ $-m_{1}d = -m_{2}D$ માં સરળ બને છે.
આમ,$D = \frac{m_{1}}{m_{2}} d$.
પ્રથમ કણ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ ખસ્યો હોવાથી,સંતુલન જાળવવા માટે બીજા કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી દૂર ખસવું પડશે.

(A)
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v$
અહીં $m_1 = 2 \,kg$, $u_1 = 10 \,ms^{-1}$, $m_2 = 3 \,kg$, અને $u_2 = 0 \,ms^{-1}$ આપેલ છે।
$2 \times 10 + 3 \times 0 = (2 + 3)v$
$20 = 5v \implies v = 4 \,ms^{-1}$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i) = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 = 100 \,J$
અંતિમ ગતિઊર્જા $(K_f) = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \,J$
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $= K_i - K_f = 100 \,J - 40 \,J = 60 \,J$

(B) પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,ગતિ ઊર્જા અને વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
આવી અથડામણમાં,અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ એ નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$.

(A) જ્યારે દડાને $h$ ઊંચાઈએથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દડો તેટલી જ ઝડપ $v = \sqrt{2gh}$ સાથે પાછો ફરે છે અને સમાન ઊંચાઈ $h$ સુધી પહોંચે છે.
એક સંપૂર્ણ દોલન (ઉપર અને નીચે) માટેનો કુલ આવર્તકાળ $T = 2t = 2 \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
આવૃત્તિ $f$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{2h}{g}}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{2h}}$.

(C) દીવાલ પર લાગતું બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
દર સેકન્ડે $N$ દડાઓનું પ્રારંભિક વેગમાન = $Nmu \hat{i}$.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દડાઓ સમાન ઝડપ સાથે વિરુદ્ધ દિશામાં પાછા ફરે છે.
દર સેકન્ડે $N$ દડાઓનું અંતિમ વેગમાન = $-Nmu \hat{i}$.
દર સેકન્ડે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર = $\text{અંતિમ વેગમાન} - \text{પ્રારંભિક વેગમાન} = -Nmu \hat{i} - (Nmu \hat{i}) = -2Nmu \hat{i}$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $2Nmu$ છે.
બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર હોવાથી,$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2Nmu}{1} = 2Nmu \ N$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m$ છે.
પ્રથમ બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $3 \vec{V}$ છે અને બીજા બ્લોકનો વેગ $0$ છે.
અથડામણ પછી,બંને બ્લોક એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને સામાન્ય વેગ $V_{c}$ થી ગતિ કરે છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m(3 \vec{V}) + m(0) = (m + m) V_{c}$
$3 m \vec{V} = 2 m V_{c}$
$V_{c} = \frac{3 m \vec{V}}{2 m} = \frac{3}{2} \vec{V}$

(A) આપેલ છે: ઊંચાઈ $h = 20 \,m$, ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$, અને પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 0.4$.
સૌ પ્રથમ, ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરીને જમીન સાથે અથડાતા પહેલા દડાનો વેગ $v$ શોધીએ (જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે):
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \,m/s$.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ એ દૂર જવાનો વેગ (ઉછાળાનો વેગ $v'$) અને નજીક આવવાના વેગ (અથડામણનો વેગ $v$) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$e = \frac{v'}{v}$.
તેથી, ઉપરની તરફનો ઉછાળાનો વેગ $v'$ નીચે મુજબ મળે:
$v' = e \times v = 0.4 \times 20 = 8 \,m/s$.

(D) પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 3 \ m/s$.
પ્રારંભિક દળ $m_2 = 2m$,પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0 \ m/s$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન = કુલ અંતિમ વેગમાન.
$P_i = m_1 u_1 + m_2 u_2 = m(3) + 2m(0) = 3m$.
અથડામણ પછી,પદાર્થો જોડાઈ જાય છે,તેથી અંતિમ દળ $M = m_1 + m_2 = m + 2m = 3m$ થાય છે.
ધારો કે અંતિમ વેગ $V$ છે.
$P_f = (m_1 + m_2)V = 3mV$.
$P_i = P_f$ લેતા:
$3m = 3mV$.
$V = 1 \ m/s$.

(A) આપેલ છે: ગોળીનું દળ $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$. પ્રારંભિક વેગ $u = 200 \,m/s$. અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$. સમયગાળો $\Delta t = \frac{1}{50} \,s = 0.02 \,s$.
આઘાત $(J)$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$J = \Delta p = m(v - u)$
$J = 0.02 \,kg \times (0 - 200) \,m/s = -4 \,kg \cdot m/s$.
આઘાતનું મૂલ્ય $4 \,Ns$ છે.
સરેરાશ બળ $(F_{avg})$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F_{avg} = \frac{J}{\Delta t} = \frac{4 \,Ns}{0.02 \,s} = 200 \,N$.
આમ,આઘાત $4 \,Ns$ અને સરેરાશ બળ $200 \,N$ છે.

(A) $1$. છેડા $B$ પર લગાડવામાં આવેલ આઘાત $P$ એ રેખીય વેગમાન $P = mv_{cm}$ આપે છે,જ્યાં $v_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ છે. તેથી,$v_{cm} = \frac{P}{m}$.
$2$. આ આઘાત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કોણીય આઘાત પણ આપે છે: $J_{\theta} = P \cdot \frac{\ell}{2}$.
$3$. કારણ કે $J_{\theta} = I\omega$,જ્યાં $I = \frac{m\ell^2}{12}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,તેથી $\frac{P\ell}{2} = \frac{m\ell^2}{12} \omega$.
$4$. કોણીય વેગ $\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega = \frac{6P}{m\ell}$ મળે છે.
$5$. $\theta = \frac{\pi}{2}$ ખૂણે ફરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\pi/2}{6P/m\ell} = \frac{\pi m \ell}{12P}$ થાય છે.

(A) કોઈ પદાર્થને આપવામાં આવેલ આઘાત તેના રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
ધારો કે દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u = 6 \ m/s$ (બેટ્સમેન તરફ) છે.
ફટકાર્યા પછી,દડો સમાન ઝડપ સાથે બોલર તરફ ગતિ કરે છે,તેથી અંતિમ વેગ $v = -6 \ m/s$ છે.
દડાનું દળ $m = 0.2 \ kg$ છે.
આઘાત $J = \Delta p = m(v - u)$.
$J = 0.2 \times (-6 - 6) = 0.2 \times (-12) = -2.4 \ Ns$.
દડાને આપવામાં આવેલ આઘાતનું મૂલ્ય $2.4 \ Ns$ છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
$P_{i} = 0$
વિસ્ફોટ પછી,બે ભાગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. ધારો કે વેગ $v_{1}$ અને $v_{2}$ છે.
$P_{f} = M_{1}v_{1} - M_{2}v_{2} = 0$
$M_{1}v_{1} = M_{2}v_{2}$
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{M_{2}}{M_{1}}$
પદાર્થની ગતિઊર્જા $E = \frac{p^{2}}{2M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવાથી $(p_{1} = p_{2} = p)$,
$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{p^{2} / (2M_{1})}{p^{2} / (2M_{2})} = \frac{M_{2}}{M_{1}}$
આમ,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{M_{2}}{M_{1}}$ છે.

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન = ગોળીનું વેગમાન + બ્લોકનું વેગમાન = $mv + M(0) = mv$.
અથડામણ પછી,ગોળી બ્લોકની અંદર ફસાઈ જાય છે,તેથી તેઓ $(m+M)$ દળના એક તંત્ર તરીકે અંતિમ વેગ $V$ સાથે ગતિ કરે છે.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન = $(m+M)V$.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv = (m+M)V$
$V = \frac{mv}{m+M}$.

(D) રોકેટની ગતિ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. જેમ બળતણ બળે છે,તેમ રોકેટ ગરમ વાયુઓને ઊંચી ઝડપે નીચેની દિશામાં બહાર ફેંકે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,વાયુઓ રોકેટ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે,જે જરૂરી ધક્કો (thrust) પૂરો પાડે છે. સિસ્ટમ (રોકેટ + બળતણ) પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(A) વાતાવરણમાં પાણીની વરાળ માત્ર તેના સૌથી નીચેના સ્તર એટલે કે ક્ષોભમંડળ (Troposphere) સુધી જ મર્યાદિત છે.
આ જ કારણ છે કે તમામ હવામાનની ઘટનાઓ,જેમ કે વાદળોનું નિર્માણ,વરસાદ અને વાવાઝોડા,ફક્ત આ સ્તરમાં જ થાય છે.

(A) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ,વિદ્યુતચુંબકીય,પ્રબળ ન્યુક્લિયર અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ.
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અનંત અવધિ ધરાવે છે,તેથી તે મહત્તમ અવધિ ધરાવતું બળ છે.
$2$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ ખૂબ જ ટૂંકી અવધિ ધરાવે છે,જે આશરે $10^{-16} \ m$ છે,તેથી તે ન્યૂનતમ અવધિ ધરાવતું બળ છે.
આમ,સાચો ક્રમ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (મહત્તમ) અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ (ન્યૂનતમ) છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહનું દળ $M = \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)$ હોવાથી,આપણે તેને ગુરુત્વાકર્ષણના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \rho \frac{4}{3} \pi R^3 \right) = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
આ દર્શાવે છે કે $g \propto \rho R$.
આપેલ છે કે $g_m = \frac{1}{6} g_e$ અને ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_e}{\rho_m} = \frac{5}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\rho_m}{\rho_e} = \frac{3}{5}$.
પ્રમાણસરતા $g \propto \rho R$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{\rho_m R_m}{\rho_e R_e}$
$\frac{1}{6} = \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{R_m}{R_e} \right)$
$\frac{R_m}{R_e} = \frac{1}{6} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{18}$
તેથી,$R_m = \frac{5}{18} R_e$.

(D) કોઈપણ અક્ષાંશ $\phi$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર: $g_{\phi} = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$ છે,જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$\omega$ એ પૃથ્વીનો કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
વિષુવવૃત્ત પર,$\phi = 0^{\circ}$ હોવાથી,$\cos 0^{\circ} = 1$,જે $g_{eq} = g - \omega^2 R$ (ન્યૂનતમ મૂલ્ય) આપે છે.
ધ્રુવો પર,$\phi = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\cos 90^{\circ} = 0$,જે $g_{pole} = g$ (મહત્તમ મૂલ્ય) આપે છે.
વધુમાં,પૃથ્વી એક ચપટો ગોળો છે,જેનો અર્થ છે કે વિષુવવૃત્ત પરની ત્રિજ્યા ધ્રુવોની ત્રિજ્યા કરતા મોટી છે $(R_{eq} > R_{pole})$.
ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $g = \frac{GM}{R^2}$,ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા ઓછી હોવાથી $g$ નું મૂલ્ય વધારે મળે છે.
તેથી,જેમ આપણે વિષુવવૃત્તથી ધ્રુવો તરફ જઈએ છીએ,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું મૂલ્ય વધે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
સપાટીથી '$h$' ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ '$g_h$' નું સૂત્ર $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $g_h = \frac{g}{3}$,તેથી:
$\frac{g}{3} = \frac{GM}{(R+h)^2}$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{3} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{GM}{(R+h)^2}$.
$\frac{1}{3R^2} = \frac{1}{(R+h)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}R} = \frac{1}{R+h}$.
$R+h = \sqrt{3}R$.
$h = \sqrt{3}R - R$.
$h = R(\sqrt{3}-1)$.

(A) ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M_E$ છે અને ચંદ્રનું દળ $M_M$ છે. આપેલ છે કે $M_E = 81 M_M$.
ધારો કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે એક પરીક્ષણ દળ $m$ પરનું ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય છે.
આ બિંદુએ,પૃથ્વી દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ચંદ્ર દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મૂલ્યમાં સમાન હોવા જોઈએ.
$\frac{G M_E}{x^2} = \frac{G M_M}{(R - x)^2}$
$M_E = 81 M_M$ મૂકતા:
$\frac{G (81 M_M)}{x^2} = \frac{G M_M}{(R - x)^2}$
$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(R - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{9}{x} = \frac{1}{R - x}$
$9(R - x) = x$
$9R - 9x = x$
$9R = 10x$
$x = \frac{9}{10} R$

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ અનંત અંતરે રહેલી કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2} m(2 v_e)^2 - \frac{G M m}{R} = 2 m v_e^2 - m v_e^2 = m v_e^2$ (કારણ કે $v_e^2 = \frac{2 G M}{R}$).
અનંત અંતરે અંતિમ ઉર્જા: $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} m v^2 + 0$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$m v_e^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 v_e^2$
$v = \sqrt{2} v_e$ એ ઉર્જા સંતુલન પદ્ધતિ મુજબ છે. જો આપણે આપેલી ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} m (2 v_e)^2 = 2 m v_e^2$ લઈએ અને નિષ્ક્રમણ માટે જરૂરી ઉર્જા $K_{req} = \frac{1}{2} m v_e^2$ બાદ કરીએ,તો અનંત અંતરે બાકી રહેતી ગતિ ઉર્જા $K_f = 2 m v_e^2 - 0.5 m v_e^2 = 1.5 m v_e^2$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{3}{2} m v_e^2$,જે આપણને $v^2 = 3 v_e^2$ આપે છે,એટલે કે $v = \sqrt{3} v_e$.

(B) ઉપગ્રહની બંધન ઊર્જા $(BE)$ એ કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $(E)$ ના ઋણ મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$BE = -E = - (K.E. + P.E.) = - (\frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r}) = \frac{GMm}{2r}$.
ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = -\frac{GMm}{r}$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $P.E. = -2 \times BE$.
આપેલ છે કે $BE = 3.5 \times 10^{8} \,J$.
તેથી, $P.E. = -2 \times (3.5 \times 10^{8} \,J) = -7.0 \times 10^{8} \,J$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
નવા ગ્રહ માટે,દળ $M^{\prime} = 3M$ અને ત્રિજ્યા $R^{\prime} = 3R$ છે.
આ ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{e}^{\prime} = \sqrt{\frac{2G(3M)}{3R}}$ થશે.
પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $V_{e}^{\prime} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = V_{e}$ મળે છે.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ સમાન જ રહેશે.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R}$
ઊંચાઈ $h$ પરની અંતિમ ઉર્જા: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{1}{2}V^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$
કારણ કે $GM = gR^2$:
$\frac{1}{2}V^2 = gR^2 \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = gR \left( \frac{h}{R+h} \right)$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
$V^2(R+h) = 2gRh$
$V^2R + V^2h = 2gRh$
$V^2R = h(2gR - V^2)$
$h = \frac{V^2R}{2gR - V^2}$

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
આપેલ ગ્રહ માટે,દળ $M' = 6M$ અને ત્રિજ્યા $R' = 2R$ છે.
તેથી,આ ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{e}'$:
$V_{e}' = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} V_{e}$.

(B) $M$ દળના પદાર્થની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r/3$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U$ એ પૃથ્વી અને ચંદ્રને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$U = -\frac{G M_{1} M}{r/3} - \frac{G M_{2} M}{2r/3} = -\frac{3 G M_{1} M}{r} - \frac{3 G M_{2} M}{2r} = -\frac{3 G M}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$.
અનંત સુધી પલાયન કરવા માટે,કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ. તેથી,જરૂરી ગતિઊર્જા $K$ એ સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોવી જોઈએ:
$K = \frac{1}{2} M V^{2} = |U| = \frac{3 G M}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$.
$V$ માટે ઉકેલતા:
$V^{2} = \frac{6 G}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$,
$V = \left[ \frac{6 G}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ કિંમતને નિષ્ક્રમણ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{e} = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^{2} \rho}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $v_{e} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$ મળે છે.
અહીં $\frac{8}{3}$,$G$,અને $\pi$ અચળાંકો હોવાથી,$v_{e} \propto R \sqrt{\rho}$ થાય છે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષેપણ વેગ $v = \frac{1}{3} v_e = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$TE_{\text{surface}} = TE_{\text{height } h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$v^2 = \frac{1}{9} \times \frac{2GM}{R}$ મૂકતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left( \frac{2GM}{9R} \right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{8GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8}$

(A) ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ ફરે તે માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$m r \omega^{2} = \frac{G M m}{r^{2}}$
અહીં,$r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $r^{3} = \frac{G M}{\omega^{2}}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{G M}{R^{2}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $G M = g R^{2}$.
$r^{3}$ ના સમીકરણમાં $G M$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $r^{3} = \frac{g R^{2}}{\omega^{2}}$ મળે છે.
તેથી,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \left(\frac{g R^{2}}{\omega^{2}}\right)^{1 / 3}$ છે.

(B) પૃથ્વીની આસપાસ '$r$' અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો ક્રાંતિક વેગ (કક્ષીય વેગ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
જ્યાં '$G$' એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને '$M$' એ પૃથ્વીનું દળ છે.
'$R$' ત્રિજ્યા ધરાવતા ઉપગ્રહ '$A$' માટે:
$v_{A} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
'$2R$' ત્રિજ્યા ધરાવતા ઉપગ્રહ '$B$' માટે:
$v_{B} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$
બંને વેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{R}}}{\sqrt{\frac{GM}{2R}}} = \sqrt{\frac{GM}{R} \times \frac{2R}{GM}} = \sqrt{2}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{v_{A}}{v_{B}}$ એ $\sqrt{2}: 1$ છે.

(C) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભ્રમણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.
ભ્રમણની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$ છે.
અહીં જોઈ શકાય છે કે,આવૃત્તિ '$f$' માત્ર પૃથ્વીના દળ '$M$' અને કક્ષાની ત્રિજ્યા '$r$' પર આધાર રાખે છે.
તે ઉપગ્રહના દળ '$m$' થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,તેમની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $1:1$ થશે.

(A) ગ્રહની આસપાસ ફરતા ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T$ સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે અને $M$ એ ગ્રહનું દળ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સમયગાળો $T$ માત્ર ગ્રહના દળ $M$ અને કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ પર આધાર રાખે છે.
તે ઉપગ્રહના દળ $m$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,પરિભ્રમણનો સમયગાળો ઉપગ્રહના દળથી સ્વતંત્ર છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ઉપગ્રહને લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$U = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm [\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}] = \frac{GMmh}{R(R+h)}$
ઉપગ્રહને $h$ ઊંચાઈ પર ભ્રમણકક્ષામાં મૂકવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી ગતિ ઊર્જા છે:
$K = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{R+h}) = \frac{GMm}{2(R+h)}$
ઉપગ્રહને ઊંચાઈ પર લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા અને ભ્રમણકક્ષામાં મૂકવા માટે જરૂરી ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{U}{K} = \frac{GMmh}{R(R+h)} \times \frac{2(R+h)}{GMm} = \frac{2h}{R}$

(D) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{GMm}{2r}$ છે.
અહીં,$r = R + h$,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
ઉપગ્રહ '$A$' માટે,$h_A = 2R$,તેથી $r_A = R + 2R = 3R$.
ઉપગ્રહ '$B$' માટે,$h_B = 3R$,તેથી $r_B = R + 3R = 4R$.
ગતિઊર્જાઓનો ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{4R}{3R} = \frac{4}{3}$ થાય.

(D) પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
બંને ઉપગ્રહો એક જ કક્ષામાં ભ્રમણ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ સમાન છે.
આવર્તકાળ $T$ ફક્ત કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ અને પૃથ્વીના દળ $M$ પર આધાર રાખે છે,ઉપગ્રહના દળ $m$ પર નહીં,તેથી બંને ઉપગ્રહોનો આવર્તકાળ સમાન હશે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તેમનો આવર્તકાળ સમાન છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ છે. ધારો કે $m_{2}$ દળને બાજુ $BC$ ના મધ્યબિંદુ $D$ પર મૂકવામાં આવ્યું છે.
$B$ અને $C$ પર રહેલા $m_{1}$ દળને કારણે $m_{2}$ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશાના હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
બિંદુ $D$ નું શિરોબિંદુ $A$ થી અંતર એ સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABD$ માં,કર્ણ $AB = \frac{L}{3}$ અને $\angle BAD = 30^{\circ}$ છે.
તેથી,$h = AB \cos 30^{\circ} = \frac{L}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.
$m_{2}$ પર લાગતું કુલ બળ એ $A$ પર રહેલા $m_{1}$ દળને કારણે લાગતું બળ છે:
$F = G \frac{m_{1} m_{2}}{h^{2}} = G \frac{m_{1} m_{2}}{\left(\frac{L}{2\sqrt{3}}\right)^{2}} = G \frac{m_{1} m_{2}}{\frac{L^{2}}{12}} = \frac{12 G m_{1} m_{2}}{L^{2}}$.

(B) પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ગતિઊર્જા $K_e = \frac{GMm}{R}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષિપ્ત ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} K_e = \frac{GMm}{2R}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થનો વેગ શૂન્ય થાય છે,તેથી તેની ગતિઊર્જા શૂન્ય થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિઊર્જામાં ઘટાડો = સ્થિતિઊર્જામાં વધારો:
$K = U_f - U_i$
$\frac{GMm}{2R} = \left( -\frac{GMm}{R+h} \right) - \left( -\frac{GMm}{R} \right)$
$\frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{R+h}$
બંને બાજુ $GMm$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2R} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1}{R+h} = \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} = \frac{1}{2R}$
$R+h = 2R$
$h = R$.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$.
અહીં $W = \frac{Q}{3}$ આપેલ છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = Q - W = Q - \frac{Q}{3} = \frac{2}{3} Q$ થશે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે. $n = 1$ હોવાથી,$\Delta U = C_v \Delta T = \frac{5}{2} R \Delta T$.
$\Delta U$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2}{3} Q = \frac{5}{2} R \Delta T$,જેનો અર્થ છે કે $Q = \frac{15}{4} R \Delta T$.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ ની વ્યાખ્યા $C = \frac{Q}{n \Delta T}$ છે.
$n = 1$ અને $Q = \frac{15}{4} R \Delta T$ મૂકતા,આપણને $C = \frac{\frac{15}{4} R \Delta T}{1 \cdot \Delta T} = \frac{15 R}{4}$ મળે છે.

(D) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v} = \frac{n R}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{p} = C_{v} + R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_{v}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $C_{p} = \frac{n R}{2} + R = R \left(1 + \frac{n}{2}\right)$.
ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\gamma = \frac{R \left(1 + \frac{n}{2}\right)}{\frac{n R}{2}} = \frac{\frac{2+n}{2}}{\frac{n}{2}} = \frac{2+n}{n} = 1 + \frac{2}{n}$.

(C) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_m = 3$ છે. તેથી,$\gamma_m = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_d = 5$ છે. તેથી,$\gamma_d = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$.
$\gamma_d$ અને $\gamma_m$ નો ગુણોત્તર $\frac{\gamma_d}{\gamma_m} = \frac{7/5}{5/3} = \frac{7}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{21}{25}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે,$\frac{R}{C_{V}} = 0.4$.
મેયરના સંબંધ મુજબ,$C_{P} - C_{V} = R$,તેથી $C_{P} = C_{V} + R$.
$R = 0.4 C_{V}$ મૂકતા,આપણને $C_{P} = C_{V} + 0.4 C_{V} = 1.4 C_{V}$ મળે છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ને $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$\gamma = \frac{1.4 C_{V}}{C_{V}} = 1.4$.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$ થાય છે.
આમ,વાયુ દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓનો બનેલો છે.

(C) આપેલ છે: $\frac{R}{C_{v}} = 0.67$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વાયુ અચળાંક $R = C_{p} - C_{v}$ થાય.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{C_{p} - C_{v}}{C_{v}} = 0.67$.
$\frac{C_{p}}{C_{v}} - 1 = 0.67$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ હોવાથી,$\gamma - 1 = 0.67$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = 1.67$.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f = 3$ છે,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = 1 + 0.666... \approx 1.67$.
તેથી,આ વાયુ એક-પરમાણ્વીય છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
અહીં,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,અને $T$ એ તાપમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મોલની સંખ્યા $n = \frac{N}{N_A}$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની કુલ સંખ્યા છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
આ કિંમત આદર્શ વાયુ સમીકરણમાં મૂકતા: $PV = \left(\frac{N}{N_A}\right) RT$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $PV = N \left(\frac{R}{N_A}\right) T$ મળે છે.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k = \frac{R}{N_A}$ હોવાથી,સમીકરણ $PV = NkT$ બને છે.
તેથી,$\frac{PV}{kT} = N$,જે વાયુના અણુઓની કુલ સંખ્યા દર્શાવે છે.

(C) શરૂઆતમાં,દરેક વાયુનું દબાણ $P$ અને કદ $V$ છે. જ્યારે તેમને મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે મિશ્રણનું કુલ કદ $V_{1} = V + V = 2V$ થાય છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$.
મિશ્રણનું પ્રારંભિક દબાણ $P_{1}$ એ $P$ છે (કારણ કે દરેક વાયુનું દબાણ $P$ છે અને તેઓ સમાન તાપમાન અને કદ પર છે).
અંતિમ કદ $V_{2} = \frac{V}{2}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P \times (2V) = P_{2} \times (\frac{V}{2})$.
$P_{2}$ માટે ઉકેલતા: $P_{2} = \frac{P \times 2V}{V/2} = 4P$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે. અણુઓની સંખ્યા $N$ એ મોલની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોવાથી $(N = nN_A)$,અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર એ મોલની સંખ્યાના ગુણોત્તર જેટલો જ હોય છે.
પ્રથમ નમૂના માટે: $P_1 = P, V_1 = V, T_1 = T$. તેથી,$n_1 = \frac{PV}{RT}$.
બીજા નમૂના માટે: $P_2 = 2P, V_2 = V/4, T_2 = 2T$. તેથી,$n_2 = \frac{(2P)(V/4)}{R(2T)} = \frac{PV/2}{2RT} = \frac{PV}{4RT}$.
અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{PV/RT}{PV/4RT} = \frac{1}{1/4} = 4:1$ થાય છે.

(C) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ (r.m.s. velocity) $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,વાયુનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
જેમ કે $v_{rms}$ ફક્ત તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે (ધારી લઈએ કે વાયુનું બંધારણ $M$ અચળ રહે છે),જો $T$ અચળ હોય,તો $v_{rms}$ પણ અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,જ્યારે વાયુનું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના અણુઓનો r.m.s. વેગ સમાન રહે છે.

(B) વાયુના અણુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર ($R$.$M$.$S$.) વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે હાઇડ્રોજન $(H_2)$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ ના $R$.$M$.$S$. વેગ સમાન છે,તેથી $v_{H} = v_{O}$.
સૂત્ર મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{T_H}{M_H} = \frac{T_O}{M_O}$.
અહીં $T_O = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$,$M_H = 2$,અને $M_O = 32$ છે.
$T_H$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $T_H = T_O \times \frac{M_H}{M_O}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_H = 320 \times \frac{2}{32} = 320 \times \frac{1}{16} = 20 \ K$.

(A) વાયુના અણુનો $r.m.s.$ વેગ $C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $C \propto \sqrt{T}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ આપેલ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_{2} = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$ આપેલ છે.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{C_{2}}{C_{1}} = \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{C_{2}}{C_{1}} = \sqrt{\frac{600}{300}} = \sqrt{2}$ મળે છે.

(D) રિડબર્ગના સૂત્ર મુજબ:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$
પ્રથમ કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 4)$ માંથી બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 3)$ માં સંક્રમણ કરે છે:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7}{144} R$ .... $(i)$
બીજા કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 3)$ માંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 2)$ માં સંક્રમણ કરે છે:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9 - 4}{36} \right] = \frac{5}{36} R$ .... $(ii)$
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ શોધવા માટે,આપણે $\frac{1}{\lambda_1}$ ને $\frac{1}{\lambda_2}$ વડે ભાગીશું:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\frac{5}{36} R}{\frac{7}{144} R} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{20}{7}$ થાય છે.

(B) $LR$ સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LCR$ સર્કિટ બની જાય છે.
$LCR$ સર્કિટનો નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ છે.
જો સર્કિટ શરૂઆતમાં ઇન્ડક્ટિવ હોય $(X_L > X_C)$,તો કેપેસિટર ઉમેરવાથી $X_C$ દાખલ થાય છે,જે $X_L$ ની અસરને આંશિક રીતે ઘટાડે છે,જેનાથી કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે.
કારણ કે કરંટ $I = \frac{V}{Z}$ છે,ઈમ્પીડન્સ $Z$ માં ઘટાડો થવાથી સર્કિટમાં વહેતા કરંટ $I$ માં વધારો થાય છે.

(A) અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે: $X_L = X_C \implies 2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}$.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરીને $f' = 2f$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L' = 2\pi(2f)L = 2(2\pi f L) = 2X_L$ થાય.
નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{2\pi(2f)C} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2\pi f C} \right) = \frac{1}{2} X_C$ થાય.
$X_L = X_C$ હોવાથી,આપણે $X_C = X_L$ લખી શકીએ.
આ કિંમત $X_C'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$X_C' = \frac{1}{2} X_L$ મળે.
$X_L = \frac{1}{2} X_L'$ હોવાથી,$X_C' = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} X_L') = \frac{1}{4} X_L'$ થાય.

(C) સર્કિટમાં $r.m.s.$ પ્રવાહ $I$ એ $I = \frac{V}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 220 \ V$ અને $Z = 33 \ \Omega$ આપેલ છે,તેથી $I = \frac{220}{33} = \frac{20}{3} \ A$ મળે.
$a.c.$ સર્કિટમાં વપરાતો સાચો પાવર $P$ એ $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \left(\frac{20}{3}\right)^2 \times 18$.
$P = \frac{400}{9} \times 18 = 400 \times 2 = 800 \ W$.

(C) $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સીનું સૂત્ર: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી સમાન રહેતી હોવાથી: $\omega_1 = \omega_2$.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{L_1 C_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}}$,જેનો અર્થ છે કે $L_1 C_1 = L_2 C_2$.
અહીં $L_1 = L$,$C_1 = C$,અને $L_2 = 9 L$ આપેલ છે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$L \times C = 9 L \times C_2$.
$C_2$ માટે ઉકેલતા: $C_2 = \frac{L \times C}{9 L} = \frac{C}{9}$.

(B) આપેલ છે: $R=200 \Omega$, $L=663 \text{ mH}$, $C=26.5 \mu F$, $V_{0}=50 \text{ V}$, $X_{L}=250 \Omega$, $X_{C}=100 \Omega$.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે: $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \sqrt{200^{2} + (250 - 100)^{2}} = \sqrt{40000 + 150^{2}}$.
$Z = \sqrt{40000 + 22500} = \sqrt{62500} = 250 \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_{0} = \frac{V_{0}}{Z}$ દ્વારા મળે છે.
$i_{0} = \frac{50}{250} = 0.2 \text{ A}$.

(B) અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે, એટલે કે $X_{L} = X_{C}$.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં અનુનાદ સમયે, ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.
તેથી, પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{0.2 \, V}{4 \, \Omega} = 0.05 \, A$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = \omega L = \frac{1}{\sqrt{LC}} \times L = \sqrt{\frac{L}{C}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $X_{L} = \sqrt{\frac{200 \times 10^{-3} \, H}{80 \times 10^{-6} \, F}} = \sqrt{\frac{200000}{80}} = \sqrt{2500} = 50 \, \Omega$.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{L} = I \times X_{L}$ થાય.
$V_{L} = 0.05 \, A \times 50 \, \Omega = 2.5 \, V$.

(A) તત્કાલીન e.m.f. $E = E_{0} \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$AC$ પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
અહીં,$V_{rms} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2} Z}$ છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.
તેથી,$P = \left( \frac{E_{0}}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_{0}}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_{0}^{2} R}{2 Z^{2}}$.
$LR$ શ્રેણી પરિપથ માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $X_{L} = R$,તેથી $Z = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = \sqrt{2 R^{2}} = R \sqrt{2}$.
તેથી,$Z^{2} = 2 R^{2}$.
પાવરના સમીકરણમાં $Z^{2}$ ની કિંમત મૂકતા: $P = \frac{E_{0}^{2} R}{2 (2 R^{2})} = \frac{E_{0}^{2} R}{4 R^{2}} = \frac{E_{0}^{2}}{4 R}$.

(B) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ નું સૂત્ર: $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ એ આવૃત્તિના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $X_{C} \propto \frac{1}{f}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f$ છે અને પ્રારંભિક રિએક્ટન્સ $X_{C}$ છે.
ધારો કે નવી આવૃત્તિ $f' = 4f$ છે અને નવું રિએક્ટન્સ $X_{C}'$ છે.
વ્યસ્ત પ્રમાણના સંબંધ $X_{C} \cdot f = \text{અચળ}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X_{C}' \cdot f' = X_{C} \cdot f$
$X_{C}' \cdot (4f) = X_{C} \cdot f$
$X_{C}' = \frac{X_{C}}{4}$.

(B) આપેલ છે: પીક કરંટ $I_{0} = \frac{2}{\pi} \ A$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$,અને મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = 1 \ H$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (50) = 100 \pi \ rad/s$ છે.
પ્રાયમરી કોઈલમાં કરંટ $I = I_{0} \sin(\omega t)$ છે.
સેકન્ડરી કોઈલમાં ઇન્ડ્યુસ થયેલ e.m.f. $\mathcal{E} = M \frac{dI}{dt}$ છે.
સમયની સાપેક્ષમાં કરંટનું વિકલન કરતા,$\frac{dI}{dt} = I_{0} \omega \cos(\omega t)$.
ઇન્ડ્યુસ થયેલ e.m.f. નું પીક મૂલ્ય $\mathcal{E}_{0} = M \cdot I_{0} \cdot \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\mathcal{E}_{0} = 1 \times (\frac{2}{\pi}) \times (100 \pi) = 200 \ V$.

(A) ઓલ્ટરનેટિંગ e.m.f. માટેનું સમીકરણ $e = e_{0} \sin(\omega t)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી સમીકરણ $e = e_{0} \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$ બને છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $e = \frac{e_{0}}{2}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{e_{0}}{2} = e_{0} \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$.
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$.
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{2\pi t}{T} = \frac{\pi}{6}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(D) વર્તુળાકાર કોઈલ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ દ્વારા બે ભાગમાં વહેંચાયેલી છે,જેના અવરોધ $R_1 = 30 \Omega$ અને $R_2 = 10 \Omega$ છે। આ બંને ભાગો બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે。
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{PQ}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{10} = \frac{1+3}{30} = \frac{4}{30}$
$R_{PQ} = \frac{30}{4} = 7.5 \Omega$
આંતરિક અવરોધ $r = 0.5 \Omega$ ને સમાવતો પરિપથનો કુલ અવરોધ:
$R_{total} = R_{PQ} + r = 7.5 \Omega + 0.5 \Omega = 8 \Omega$
ઓમના નિયમ મુજબ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{16 \text{ V}}{8 \Omega} = 2 \text{ A}$

(C) આપેલ આવૃત્તિ $f = 50 \,Hz$. સમયગાળો $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} = 0.02 \,s$.
શૂન્યથી મહત્તમ મૂલ્ય (પીક) સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ સમયગાળાનો ચોથો ભાગ છે:
$t = \frac{T}{4} = \frac{0.02}{4} = 0.005 \,s$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = 14.14 \,A$. પ્રવાહનું આર.એમ.એસ. (r.m.s.) મૂલ્ય $I_{rms}$ નીચે મુજબ છે:
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{14.14}{1.414} = 10 \,A$.
આમ,લાગતો સમય $0.005 \,s$ અને આર.એમ.એસ. મૂલ્ય $10 \,A$ છે.

(C) આપેલ છે: અવરોધ $R = 12 \ \Omega$ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 5 \ \Omega$.
$L-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \ \Omega$.
પ્રવાહ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે.
તેથી,$\tan \phi = \frac{5}{12}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{12}{13}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $C$ સૌથી સચોટ છે.

(A) સમાંતર રેઝોનન્ટ સર્કિટમાં,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_{C})$ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_{L})$ સમાન હોય છે $(X_{L} = X_{C})$.
ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વોલ્ટેજ સમાન હોય છે.
તેથી,પ્રવાહના મૂલ્યો સમાન હોય છે: $i_{L} = i_{C} = \frac{e}{X_{L}} = \frac{e}{X_{C}}$.
જોકે,ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ હોય છે,અને કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે.
આમ,પ્રવાહ $i_{L}$ અને $i_{C}$ એકબીજાથી $180^{\circ}$ ના ફેઝ તફાવત પર હોય છે.
સર્કિટમાં કુલ પ્રવાહ $i$ એ $i_{L}$ અને $i_{C}$ નો ફેઝર સરવાળો છે,જે $i = |i_{L} - i_{C}| = 0$ થાય છે.
તેથી,શરત $i = 0$ અને $i_{L} = i_{C} \neq 0$ છે.

(A) આપેલ છે કે,પ્રાયમરી વાઇન્ડિંગમાં આંટાની સંખ્યા,$N_{p} = 300$.
સેકન્ડરી વાઇન્ડિંગમાં આંટાની સંખ્યા,$N_{s} = 450$.
પ્રાયમરી વોલ્ટેજ,$V_{p} = 150 \ V$.
પ્રાયમરી પ્રવાહ,$I_{p} = 9 \ A$.
ટ્રાન્સફોર્મર માટે,વોલ્ટેજ અને આંટા વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{V_{s}}{V_{p}} = \frac{N_{s}}{N_{p}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{s}}{150} = \frac{450}{300}$.
$\Rightarrow V_{s} = \frac{450}{300} \times 150 = 1.5 \times 150 = 225 \ V$.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,પાવર ઇનપુટ = પાવર આઉટપુટ: $V_{p} I_{p} = V_{s} I_{s}$.
કિંમતો મૂકતા: $150 \times 9 = 225 \times I_{s}$.
$\Rightarrow I_{s} = \frac{1350}{225} = 6.0 \ A$.
આમ,સેકન્ડરી પ્રવાહ $6.0 \ A$ અને સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $225 \ V$ છે.

(D) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
ત્રીજી કક્ષામાંથી બીજી કક્ષામાં સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
ચોથી કક્ષામાંથી ત્રીજી કક્ષામાં સંક્રમણ માટે,ધારો કે તરંગલંબાઇ $\lambda'$ છે:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
હવે,બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5R/36}{7R/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{20}{7} \lambda$.

(A) વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષામાં ફરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = ef = e \left( \frac{v}{2 \pi r} \right) = \frac{ev}{2 \pi r}$ છે.
આને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા: $B = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi r^{2}}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,વેગ $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h}$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$ છે.
$v$ અને $r$ ની કિંમતો $B$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_{0} e}{4 \pi r^{2}} \left( \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} \right) = \frac{\mu_{0} e^{3}}{8 \pi \epsilon_{0} h r^{2}}$.
હવે,$r = \frac{h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$ મૂકતા:
$B = \frac{\mu_{0} e^{3}}{8 \pi \epsilon_{0} h} \left( \frac{\pi m e^{2}}{h^{2} \epsilon_{0}} \right)^{2} = \frac{\mu_{0} e^{3}}{8 \pi \epsilon_{0} h} \cdot \frac{\pi^{2} m^{2} e^{4}}{h^{4} \epsilon_{0}^{2}} = \frac{\mu_{0} \pi m^{2} e^{7}}{8 \epsilon_{0}^{3} h^{5}}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની લાયમન શ્રેણી એ ધરાસ્થિતિ $(n_f = 1)$ પર થતા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે,જે પારજાંબલી વિભાગમાં ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.
બામર શ્રેણી દ્રશ્ય વિભાગમાં આવેલી છે.
પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ શ્રેણીઓ ઇન્ફ્રારેડ (પારરક્ત) વિભાગમાં આવેલી છે.

(B) રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_{1} = 2$. શ્રેણીની સીમા $n_{2} = \infty$ પર મળે છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{1}} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = \frac{R}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{1} = \frac{4}{R}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_{1} = 4$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_{2} = 5$ પર મળે છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{2}} = R \left( \frac{1}{4^{2}} - \frac{1}{5^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25 - 16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$.
આનો અર્થ છે કે $\lambda_{2} = \frac{400}{9R}$.
હવે,ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{4}{R} \times \frac{9R}{400} = \frac{36}{400} = 0.09$.
તેથી,$\lambda_{1} = 0.09 \lambda_{2}$.

(A) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ પ્રકાશની ગતિ છે,અને $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણને મળે છે $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
આનો અર્થ એ છે કે મહત્તમ તરંગલંબાઇ ધરાવતા વિકિરણના ઉત્સર્જન માટે,ઉર્જાનો તફાવત $(E)$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ ધરાવતા વિકિરણના ઉત્સર્જન માટે,ઉર્જાનો તફાવત $(E)$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
ચાલો આપેલ સંક્રમણો માટે ઉર્જાના તફાવતોની ગણતરી કરીએ:
સંક્રમણ $A$: $\Delta E = 0 - (-2) = 2 \text{ eV}$ (ન્યૂનતમ ઉર્જા તફાવત)
સંક્રમણ $B$: $\Delta E = 0 - (-4.5) = 4.5 \text{ eV}$
સંક્રમણ $C$: $\Delta E = -2 - (-4.5) = 2.5 \text{ eV}$
સંક્રમણ $D$: $\Delta E = -2 - (-10) = 8 \text{ eV}$ (મહત્તમ ઉર્જા તફાવત)
સંક્રમણ $A$ માં ઉર્જાનો તફાવત ન્યૂનતમ હોવાથી,તે મહત્તમ તરંગલંબાઇને અનુરૂપ છે.
સંક્રમણ $D$ માં ઉર્જાનો તફાવત મહત્તમ હોવાથી,તે ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇને અનુરૂપ છે.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ માટેના સંક્રમણો અનુક્રમે $A$ અને $D$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n_1 = 4$ મળે છે.
$n_1 = 4$ ને અનુરૂપ વર્ણપટ શ્રેણી એ બ્રેકેટ શ્રેણી છે.
બ્રેકેટ શ્રેણીમાં સંક્રમણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો $(n_2 = 5, 6, 7, \ldots)$ અને $n_1 = 4$ સ્તર વચ્ચે થાય છે.
આ શ્રેણી વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં આવેલી છે.

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના મોડેલમાં,વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ અને ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ છે.
આ કિંમતોને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$ મળે છે.
તેથી,$3^{\text{rd}}$ કક્ષા $(n_1 = 3)$ અને $5^{\text{th}}$ કક્ષા $(n_2 = 5)$ માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{a_3}{a_5} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$ થાય.

(B) વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, પ્રવાહ $I$ એ ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે છે: $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2 \pi r / v} = \frac{ev}{2 \pi r}$.
$I$ ની કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા: $B = \frac{\mu_{0}}{2r} \left( \frac{ev}{2 \pi r} \right) = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi r^{2}}$.
ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ છે, જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{L}{mr}$.
$v$ ની કિંમત $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $B = \frac{\mu_{0} e}{4 \pi r^{2}} \left( \frac{L}{mr} \right) = \frac{\mu_{0} eL}{4 \pi m r^{3}}$.

(D) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{h}{2 \pi}$ છે.
આના પરથી,વેગ $v = \frac{h}{2 \pi mR}$ મળે છે.
કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi R}{v} = \frac{2 \pi R}{h / (2 \pi mR)} = \frac{4 \pi^2 mR^2}{h}$ છે.
ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે મળતો સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{4 \pi^2 mR^2 / h} = \frac{eh}{4 \pi^2 mR^2}$ છે.
કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi R^2$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા,$M = \left( \frac{eh}{4 \pi^2 mR^2} \right) \times (\pi R^2) = \frac{eh}{4 \pi m}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{th}$ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $mv = \frac{nh}{2\pi r}$.
આ કિંમતને તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{nh / (2\pi r)} = \frac{2\pi r}{n}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
આમ,$\lambda_n = \frac{2\pi (a_0 n^2)}{n} = 2\pi a_0 n$.
તેથી,પ્રથમ $(n=1)$ અને બીજી $(n=2)$ કક્ષા માટે તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2\pi a_0 (1)}{2\pi a_0 (2)} = \frac{1}{2}$ થાય.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની બોહર કક્ષામાં ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે:
ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ $K = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{2r} = \frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ $P = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K.E.$ અને $P.E.$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{K}{P} = \frac{\frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r}}{-\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r}} = -\frac{4 \pi \epsilon_{0} r}{8 \pi \epsilon_{0} r} = -\frac{1}{2}$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,ઉર્જા સ્તરો નીચે મુજબ છે:
$T.E. = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$P.E. = 2 \times T.E. = -27.2 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$K.E. = -T.E. = 13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ઘટે છે.
જેમ $n$ ઘટે છે તેમ:
$1$. $K.E. = 13.6 \frac{Z^2}{n^2}$ વધે છે.
$2$. $T.E. = -13.6 \frac{Z^2}{n^2}$ વધુ ઋણ બને છે,તેથી તે ઘટે છે.
$3$. $P.E. = -27.2 \frac{Z^2}{n^2}$ વધુ ઋણ બને છે,તેથી તે ઘટે છે.
તેથી,$K.E.$ વધે છે,જ્યારે $P.E.$ અને $T.E.$ ઘટે છે.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.53 \text{ Å} = 0.53 \times 10^{-10} \text{ m}$.
સમયગાળો $T = 1.571 \times 10^{-16} \text{ s}$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ સૂત્ર $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2 \pi r}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{2 \times 3.142 \times 0.53 \times 10^{-10}}{1.571 \times 10^{-16}}$.
કારણ કે $2 \times 3.142 = 6.284$,તેથી $v = \frac{6.284 \times 0.53 \times 10^{-10}}{1.571 \times 10^{-16}}$.
અહીં $\frac{6.284}{1.571} = 4$ થાય છે.
તેથી,$v = 4 \times 0.53 \times 10^{6} \text{ m/s}$.
$v = 2.12 \times 10^{6} \text{ m/s}$.

(C) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_{n} = -\frac{13.6}{n^{2}} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$E_{n} \propto \frac{1}{n^{2}}$.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L_{n} = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$L_{n} \propto n$,જેનો અર્થ છે કે $n \propto L_{n}$.
ઉર્જાના સંબંધમાં $n \propto L_{n}$ મૂકતા,આપણને $E_{n} \propto \frac{1}{L_{n}^{2}}$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $E_{n} \propto \frac{1}{L_{n}^{2}}$ છે.

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$,તેથી $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$ થાય.
પરિભ્રમણ ગતિ ઉર્જા $E = \frac{L^{2}}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E = \frac{(h/\pi)^{2}}{2I} = \frac{h^{2}}{2I\pi^{2}}$ મળે છે.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના મોડેલ પરથી,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ અને કક્ષાની ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ છે.
આ પ્રમાણભૂત સંબંધોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1/n^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$.
તેથી,બળ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક સાથે $F \propto n^{-4}$ મુજબ સંબંધિત છે.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $(v)$ $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$,તેથી વેગ $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h}$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોનના વેગ $(v)$ અને પ્રકાશના વેગ $(c)$ નો ગુણોત્તર $\frac{v}{c} = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h c}$ થાય છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = Rhc \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
$(i)$ બીજા $(n_2 = 2)$ થી પ્રથમ $(n_1 = 1)$ ઉર્જા સ્તર માટે:
$E_{1} = Rhc \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right) = Rhc \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} Rhc$.
$(ii)$ સૌથી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n_2 = \infty)$ થી બીજા $(n_1 = 2)$ ઉર્જા સ્તર માટે:
$E_{2} = Rhc \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = Rhc \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{1}{4} Rhc$.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{\frac{3}{4} Rhc}{\frac{1}{4} Rhc} = \frac{3}{1}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ મી કક્ષાની ઉર્જા $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 3$ લેવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ ઉર્જા $E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$.
કોઈપણ બોહર કક્ષામાં,ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ એ કુલ ઉર્જા $(E)$ ના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે: $K.E. = -E = -(-1.51 \ eV) = +1.51 \ eV$.
સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ એ કુલ ઉર્જા $(E)$ ના બમણા જેટલી હોય છે: $P.E. = 2E = 2 \times (-1.51 \ eV) = -3.02 \ eV$.
આમ,ગતિ ઉર્જા $+1.51 \ eV$ છે અને સ્થિતિ ઉર્જા $-3.02 \ eV$ છે.

(B) કક્ષીય આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \frac{n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$ છે.
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h}$ છે.
આ કિંમતોને $T$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi \left( \frac{n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} \right)}{\left( \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h} \right)}$
$T = \frac{2 n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{m e^{2}} \times \frac{2 \epsilon_{0} n h}{e^{2}}$
$T = \frac{4 \epsilon_{0}^{2} n^{3} h^{3}}{m e^{4}}$.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ, હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 n^2$ છે, જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે。
આ સૂચવે છે કે ત્રિજ્યા $r$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંકના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $r \propto n^2$.
પ્રથમ ચાર કક્ષાઓ $(n = 1, 2, 3, 4)$ માટે, ત્રિજ્યાઓ $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$ ના પ્રમાણમાં હશે。
આ કિંમતોની ગણતરી કરતા, આપણને $1: 4: 9: 16$ મળે છે。
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે。

(C) $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ સંબંધ $2\pi r = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ છે.
આ કિંમતને ડી-બ્રોગ્લી સંબંધમાં મૂકતા: $2\pi (k n^2) = n\lambda$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\lambda \propto n$ મળે છે.
ધરા અવસ્થા $n = 1$ ને અનુરૂપ છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 1 + 3 = 4$ ને અનુરૂપ છે.
જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ $1$ થી વધીને $4$ થાય છે,તેમ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માં વધારો થશે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પોટેન્શિયલ $V^{\prime}$ જેટલો ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો પોટેન્શિયલ $(V - V^{\prime})$ થાય છે.
નવો સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q^{\prime} = C(V - V^{\prime})$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $Q^{\prime} = CV - CV^{\prime}$ મળે છે.
કારણ કે $Q = CV$,આપણે સમીકરણમાં $Q$ મૂકી શકીએ છીએ: $Q^{\prime} = Q - CV^{\prime}$.
$C$ માટે પદોને ગોઠવતા: $CV^{\prime} = Q - Q^{\prime}$.
તેથી,$C = \frac{Q - Q^{\prime}}{V^{\prime}}$.

(A) ધારો કે પૃથ્વી $R$ ત્રિજ્યાનો એક નક્કર ગોળો છે.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ છે.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi R^{2}$ છે.
કદને પૃષ્ઠફળ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{V}{A} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^{3}}{4 \pi R^{2}} = \frac{R}{3}$.
આના પરથી,ત્રિજ્યા $R = 3 \frac{V}{A}$ મળે છે.
અલગ કરેલા ગોળાકાર સુવાહકનું કેપેસીટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_{0} R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$C = 4 \pi \epsilon_{0} \left( 3 \frac{V}{A} \right) = 12 \pi \epsilon_{0} \frac{V}{A}$.

(A) જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ધ્રુવીભવન (polarization) થાય છે. આ ધ્રુવીભવન એક આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે પ્લેટો પરના વીજભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે. પરિણામે,પ્લેટો વચ્ચેનું ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઘટે છે. પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $V = E \cdot d$ (જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે) દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઘટાડો થવાથી આપેલ વીજભાર $Q$ માટે પ્લેટો વચ્ચેના પોટેન્શિયલ તફાવતમાં ઘટાડો થાય છે. પરિણામે,કેપેસિટન્સ $C = Q/V$ વધે છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C$ એ સૂત્ર $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેપેસીટન્સ $C$ એ પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(C \propto \frac{1}{d})$.
તેથી,પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ ઘટાડીને,કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C$ વધારી શકાય છે.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C$ છે. જ્યારે એક કેપેસિટરને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
બંને કેપેસિટર $V$ e.m.f. ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
ધારો કે $C_1 = KC$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક ભરેલા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ છે અને $C_2 = C$ એ હવા ભરેલા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં હવા ભરેલા કેપેસિટર $(C_2)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_2 = V \times \frac{C_1}{C_1 + C_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = V \times \frac{KC}{KC + C}$
$V_2 = V \times \frac{KC}{C(K + 1)}$
$V_2 = \frac{KV}{K + 1}$

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવા માધ્યમ માટે,કેપેસિટન્સ $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} = 3 \mu F$ છે.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક માધ્યમ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon A}{d} = 15 \mu F$ થાય છે.
બંને કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{C}{C_{0}} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}} = K$ (જ્યાં $K$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે).
$\frac{15}{3} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}} \implies 5 = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$.
તેથી,માધ્યમની પરમિટિવિટી $\varepsilon = 5 \times \varepsilon_{0}$ છે.
$\varepsilon = 5 \times 8.85 \times 10^{-12} = 44.25 \times 10^{-12} \text{ F/m}$.
વૈજ્ઞાનિક સંકેતમાં ફેરવતા: $\varepsilon = 0.4425 \times 10^{-10} \text{ F/m}$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
જો અંતર $d$ ને વધારીને $d' = 4d$ કરવામાં આવે,તો નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{4d} = \frac{C}{4}$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U'$ એ $U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C/4)} = 4 \times \frac{Q^2}{2C} = 4U$ છે.
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $4U$ થાય છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની ઉર્જા ઘનતા $u$ એ $u = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $V$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ નો ગુણાકાર છે,તેથી $V = Ad$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ એ ઉર્જા ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે.
તેથી,$U = u \times V = (\frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}) \times (Ad) = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} Ad$.

(C) ધારો કે દરેક કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C$ છે. ત્રણ કેપેસિટર્સના સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{p} = 3C$ અને શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{s} = C/3$ થાય.
ધારો કે સમાંતર જોડાણમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{p}$ છે અને શ્રેણી જોડાણમાં $V_{s}$ છે. આપેલ છે કે બંને કિસ્સાઓમાં સંગ્રહિત ઉર્જા સમાન છે:
$\frac{1}{2} C_{p} V_{p}^{2} = \frac{1}{2} C_{s} V_{s}^{2}$
$\frac{V_{p}^{2}}{V_{s}^{2}} = \frac{C_{s}}{C_{p}} = \frac{C/3}{3C} = \frac{1}{9}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{V_{p}}{V_{s}} = \frac{1}{3}$

(B) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
જ્યારે બે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_s = \frac{C}{2}$.
જ્યારે બે કેપેસિટરને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_p = C + C = 2C$.
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણના પરિણામી કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{C_s}{C_p} = \frac{C/2}{2C} = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(C) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{4}{C}$ પરથી $C_{1} = \frac{C}{4}$ મળે છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{2} = C + C + C + C = 4C$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{C_{2}}{C_{1}}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{C_{2}}{C_{1}} = \frac{4C}{C/4} = 4 \times 4 = 16$.

(D) જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બધા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન રહે છે.
સંબંધ $Q = C V$ મુજબ,દરેક કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_i = \frac{Q}{C_i}$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં $Q$ અચળ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_i$ એ કેપેસિટન્સ $C_i$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $V_1 : V_2 : V_3$ નીચે મુજબ મળે:
$V_1 : V_2 : V_3 = \frac{Q}{C_1} : \frac{Q}{C_2} : \frac{Q}{C_3}$
$V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} : \frac{1}{C_3}$