MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન 'તે ગરીબ છે' અને $q$ એ વિધાન 'તે ખુશ છે' છે.
આપેલ વિધાન 'તે ગરીબ છે પણ ખુશ છે' ને તાર્કિક સ્વરૂપમાં $p \wedge q$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંયોજનનું નકારાત્મક વિધાન ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
અહીં,$\sim p$ એટલે 'તે ગરીબ નથી' અને $\sim q$ એટલે 'તે ખુશ નથી'.
આમ,નકારાત્મક વિધાન 'તે ગરીબ નથી અથવા તે ખુશ નથી' થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ આ તાર્કિક સમાનતા દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે: $p \equiv T, q \equiv T, r \equiv F$.
દરેક વિકલ્પનું સત્યતા મૂલ્ય તપાસતા:
$(A) (p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (T \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(B) (p$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow q \equiv (T$ $\rightarrow F)$ $\rightarrow T \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$.
$(C) (p \vee q) \vee r \equiv (T \vee T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$.
$(D) (p \leftrightarrow q) \leftrightarrow r \equiv (T \leftrightarrow T) \leftrightarrow F \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
અહીં $(B)$ અને $(C)$ બંને સત્ય છે.

(A) ધારો કે $p: 5 < 7$,$q: 7 > 2$,અને $r: 5 > 2$.
આપેલ વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow r$ સ્વરૂપમાં છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ નો નિષેધ $A \wedge \sim B$ થાય છે.
અહીં,$A = (p \wedge q)$ અને $B = r$ છે.
તેથી,નિષેધ $(p \wedge q) \wedge \sim r$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $(5 < 7 \wedge 7 > 2) \wedge \sim(5 > 2)$.
$5 > 2$ નો નિષેધ $5 \leq 2$ હોવાથી,અંતિમ વિધાન $(5 < 7 \text{ અને } 7 > 2) \text{ અને } 5 \leq 2$ મળે છે.

(A) આપેલ વિધાન '$p \land q$' છે,જ્યાં '$p$: Mangoes are delicious' અને '$q$: Mangoes are expensive'.
તર્કમાં,'but' શબ્દ સંયોજક તરીકે કાર્ય કરે છે,જે 'and' $(\land)$ ને સમાન છે.
વિધાનનું દ્વૈત (dual) મેળવવા માટે 'and' $(\land)$ ને 'or' $(\lor)$ સાથે અને તેનાથી ઉલટું બદલવામાં આવે છે.
તેથી,'$p \land q$' નું દ્વૈત '$p \lor q$' છે.
આમ,દ્વૈત વિધાન 'Mangoes are delicious or Mangoes are expensive' છે.

(A) વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું વિસ્તરણ કરીએ છીએ:
$p \wedge (q \vee \sim p) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge \sim p)$
ત્યારબાદ $(p \wedge \sim p) \equiv F$ (વ્યાઘાત) હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$(p \wedge q) \vee F$
તત્સમ નિયમ મુજબ,$(p \wedge q) \vee F \equiv p \wedge q$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) તાર્કિક વિધાન $A \rightarrow B$ નો નિષેધ $A \wedge \sim B$ થાય છે.
અહીં,$A = (p \vee \sim q)$ અને $B = (p \wedge \sim q)$ છે.
તેથી,નિષેધ $(p \vee \sim q) \wedge \sim(p \wedge \sim q)$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$ થાય.
આમ,નિષેધ $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$ છે.

(B) આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થનું તાર્કિક સમકક્ષ વિધાન $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ થાય છે.
અહીં,$\sim p$ એટલે 'સીમા જાડી નથી' અને $q$ એટલે 'તે ખુશ છે'.
તેથી,જરૂરી સમકક્ષ વિધાન 'સીમા જાડી નથી અથવા તે ખુશ છે' છે.

(B) ચાલો ગણ $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે દરેક વિધાનનું મૂલ્યાંકન કરીએ.
$A$: $\exists x \in A$ જેથી $(x-2) \in \mathbb{N}$. જો $x=3$ લઈએ,તો $3-2=1 \in \mathbb{N}$. આ સત્ય છે.
$B$: $\forall x \in A, x+6$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે. જો $x=3$ લઈએ,તો $3+6=9$,જે $2$ વડે વિભાજ્ય નથી. આ અસત્ય છે.
$C$: $\exists x \in A$ જેથી $x+2$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. જો $x=3$ લઈએ,તો $3+2=5$,જે અવિભાજ્ય છે. આ સત્ય છે.
$D$: $\exists x \in A$ જેથી $x^{2}+1$ એ બેકી સંખ્યા છે. જો $x=3$ લઈએ,તો $3^{2}+1=10$,જે બેકી સંખ્યા છે. આ સત્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge r)]$
બીજા ભાગ પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim p \wedge (q \vee r)]$
ફરીથી વિભાજનનો નિયમ વાપરતા:
$(q \vee r) \wedge (p \vee \sim p)$
કારણ કે $(p \vee \sim p) = T$ (નિત્યસત્ય):
$(q \vee r) \wedge T$
$= q \vee r$

(B) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^{2} + hxy + by^{2} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ રેખાઓ સંપાતી હોય તે માટે,દ્વિઘાત સ્વરૂપનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
રેખાઓ સંપાતી હોવાની શરત $h^{2} - 4ab = 0$ છે.
તેથી,$h^{2} = 4ab$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3x^{2}-2\sqrt{3}xy-3y^{2}=0$
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરતા: $3x^{2}-3\sqrt{3}xy+\sqrt{3}xy-3y^{2}=0$
સામાન્ય અવયવ લેતા: $3x(x-\sqrt{3}y)+\sqrt{3}y(x-\sqrt{3}y)=0$
$(3x+\sqrt{3}y)(x-\sqrt{3}y)=0$
તેથી,અલગ સમીકરણો $3x+\sqrt{3}y=0$ અને $x-\sqrt{3}y=0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $4x^{2} + 2hxy - 7y^{2} = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$2h = 2h$ અને $b = -7$ મળે છે.
ધારો કે $m_{1}$ અને $m_{2}$ રેખાઓના ઢાળ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_{1} + m_{2} = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{-7} = \frac{2h}{7}$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$ છે.
આપેલ છે કે ઢાળનો સરવાળો અને ગુણાકાર સમાન છે,તેથી $\frac{2h}{7} = -\frac{4}{7}$.
બંને બાજુ $7$ વડે ગુણતા,$2h = -4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h = -2$.

(A) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy=0$ છે.
એક રેખા યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાનો દ્વિભાજક હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y=x$ અથવા $y=-x$ એટલે કે $x-y=0$ અથવા $x+y=0$ થાય.
ધારો કે બીજી રેખા $lx+my+n=0$ છે.
કિસ્સો $1$: જો રેખા $x-y=0$ હોય,તો $(x-y)(lx+my+n) = lx^{2} + (m-l)xy - my^{2} + nx - ny = 0$.
આને આપેલ સમીકરણ $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -f$ મળે છે.
આ શરતોને આધારે,સાચો સંબંધ $(a+b)^{2}=4(h^{2}+g^{2})$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $9x^{2}-12xy+4y^{2}=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=9$,$2h=-12$ (તેથી $h=-6$),અને $b=4$ મળે છે.
રેખાઓનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $h^{2}-ab$ ની ગણતરી કરીએ:
$h^{2}-ab = (-6)^{2} - (9 \times 4) = 36 - 36 = 0$.
કારણ કે $h^{2}-ab=0$ છે,તેથી સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સંપાતી છે.

(C) રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને ધન $Y$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ રેખાઓ ધન $X$-અક્ષ સાથે $90^{\circ} \pm 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,જે $60^{\circ}$ અને $120^{\circ}$ છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ છે,જેને $y - \sqrt{3}x = 0$ અને $y + \sqrt{3}x = 0$ તરીકે લખી શકાય.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $y^2 - 3x^2 = 0$ અથવા $3x^2 - y^2 = 0$ થાય છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m_1 = \sqrt{3}+1$ તથા $m_2 = \sqrt{3}-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓના સમીકરણો $y = m_1 x$ અને $y = m_2 x$ છે.
રેખાઓની જોડી $y = m_1 x$ અને $y = m_2 x$ માટેનું સહાયક સમીકરણ $(m - m_1)(m - m_2) = 0$ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$(m - (\sqrt{3}+1))(m - (\sqrt{3}-1)) = 0$
$m^2 - m(\sqrt{3}-1) - m(\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 0$
$m^2 - m(2\sqrt{3}) + (3 - 1) = 0$
$m^2 - 2\sqrt{3}m + 2 = 0$

(C) આપેલ રેખા $x+y=0$ છે,જેનો ઢાળ $m_{1} = -1$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ હોવાથી,આપણે સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_{1}}{1 + m m_{1}} \right|$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 30^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right| = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{3} = \frac{(m+1)^{2}}{(1-m)^{2}}$.
$(1-m)^{2} = 3(m+1)^{2} \Rightarrow 1 - 2m + m^{2} = 3(m^{2} + 2m + 1)$.
$1 - 2m + m^{2} = 3m^{2} + 6m + 3$.
$2m^{2} + 8m + 2 = 0 \Rightarrow m^{2} + 4m + 1 = 0$.
$m = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\left( \frac{y}{x} \right)^{2} + 4\left( \frac{y}{x} \right) + 1 = 0$.
$x^{2}$ વડે ગુણતા: $y^{2} + 4xy + x^{2} = 0$ અથવા $x^{2} + 4xy + y^{2} = 0$.

(C) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $x^{2}+kxy+2y^{2}=0$ છે.
કારણ કે $x+2y=0$ એ એક રેખા છે,આપણે $x = -2y$ લખી શકીએ.
$x = -2y$ ને $x^{2}+kxy+2y^{2}=0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-2y)^{2} + k(-2y)y + 2y^{2} = 0$
$4y^{2} - 2ky^{2} + 2y^{2} = 0$
$6y^{2} - 2ky^{2} = 0$
$2y^{2}(3 - k) = 0$
આ રેખા પરના તમામ બિંદુઓ માટે સાચું હોવું જોઈએ,તેથી $3 - k = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 3$.

(C) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ $k x^{2}+x y-y^{2}=0$ છે.
$x^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $k + \frac{y}{x} - (\frac{y}{x})^{2} = 0$ મળે છે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે. તેથી સહાયક સમીકરણ $-m^{2} + m + k = 0$ થાય.
જેহেতু એક રેખા યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \pm 1$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $m = 1$ હોય,તો $-(1)^{2} + 1 + k = 0 \implies -1 + 1 + k = 0 \implies k = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $m = -1$ હોય,તો $-(-1)^{2} + (-1) + k = 0 \implies -1 - 1 + k = 0 \implies k = 2$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $0$ અને $2$ છે.

(B) રેખાઓ પ્રથમ ચરણમાં $90^{\circ}$ ના ખૂણાનું ત્રિભાજન કરે છે. તેથી,આ રેખાઓ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા $30^{\circ}$ અને $60^{\circ}$ છે.
રેખા $L_{1}$ એ $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે: $y = \tan(30^{\circ})x$ $\Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ $\Rightarrow x - \sqrt{3}y = 0$.
રેખા $L_{2}$ એ $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે: $y = \tan(60^{\circ})x$ $\Rightarrow y = \sqrt{3}x$ $\Rightarrow \sqrt{3}x - y = 0$.
આ બે રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x - \sqrt{3}y)(\sqrt{3}x - y) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $\sqrt{3}x^{2} - xy - 3xy + \sqrt{3}y^{2} = 0$.
$\sqrt{3}(x^{2} + y^{2}) - 4xy = 0$.

(B) ધારો કે $L_{1}$ અને $L_{2}$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી જરૂરી રેખાઓ છે.
રેખાઓ અને રેખા $y=4$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,દરેક રેખા $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આમ,રેખાઓના ઢાળ $m_{1} = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $m_{2} = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ થશે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ છે.
તેથી,સંયુક્ત સમીકરણ $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $y^{2} - 3x^{2} = 0$ મળે,જે $3x^{2} - y^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(B) $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}-4xy+y^{2}=0$ ને $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$2h=-4$ (તેથી $h=-2$),અને $b=1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^{2}-(1)(1)}}{1+1} \right|$
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{4-1}}{2} \right|$
$\tan \theta = \sqrt{3}$.
અહીં $\theta = \tan^{-1}(k)$ હોવાથી,$\tan^{-1}(k) = \tan^{-1}(\sqrt{3})$,જેનો અર્થ છે કે $k = \sqrt{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $3x^{2}-4\sqrt{3}xy+3y^{2}=0$ ને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=3, h=-2\sqrt{3}, b=3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}-(3)(3)}}{3+3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{12-9}}{6} \right| = \left| \frac{2\sqrt{3}}{6} \right| = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\theta = 30^{\circ}$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^{2}-3xy+\lambda y^{2}+3x-5y+2=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$2h=-3 \Rightarrow h=-\frac{3}{2}$,અને $b=\lambda$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{1}{3} = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-\lambda}}{1+\lambda} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{9} = \frac{4(\frac{9}{4}-\lambda)}{(1+\lambda)^{2}} = \frac{9-4\lambda}{(1+\lambda)^{2}}$.
$(1+\lambda)^{2} = 9(9-4\lambda) = 81-36\lambda$.
$1+2\lambda+\lambda^{2} = 81-36\lambda$.
$\lambda^{2}+38\lambda-80=0$.
$(\lambda+40)(\lambda-2)=0$.
કારણ કે $\lambda \geq 0$,તેથી $\lambda=2$ મળે છે.

(B) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે.
સમીકરણ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ માટે,$m_{1} + m_{2} = \frac{-2h}{b}$ અને $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
ઢાળનો ગુણોત્તર $m_{1}:m_{2} = 5:3$ આપેલ છે,તેથી $m_{1} = 5k$ અને $m_{2} = 3k$ લો.
તેથી $m_{1} + m_{2} = 8k = \frac{-2h}{b} \Rightarrow k = \frac{-h}{4b}$.
વળી $m_{1}m_{2} = 15k^{2} = \frac{a}{b}$.
બીજા સમીકરણમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા: $15 \left( \frac{-h}{4b} \right)^{2} = \frac{a}{b}$.
$15 \left( \frac{h^{2}}{16b^{2}} \right) = \frac{a}{b}$.
$\frac{15h^{2}}{16b} = a$.
તેથી,$\frac{h^{2}}{ab} = \frac{16}{15}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+2xy \operatorname{cosec} \alpha+y^{2}=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$h=\operatorname{cosec} \alpha$,અને $b=1$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\operatorname{cosec}^{2} \alpha - 1}}{1+1} \right|$.
કારણ કે $\operatorname{cosec}^{2} \alpha - 1 = \cot^{2} \alpha$,તેથી $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\cot^{2} \alpha}}{2} \right| = |\cot \alpha|$.
આમ,$\tan \theta = \cot \alpha = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y^{2} \sin^{2} \theta - xy \sin^{2} \theta + x^{2}(\cos^{2} \theta - 1) = 0$ છે.
$\cos^{2} \theta - 1 = -\sin^{2} \theta$ હોવાથી,સમીકરણ $y^{2} \sin^{2} \theta - xy \sin^{2} \theta - x^{2} \sin^{2} \theta = 0$ બને છે.
$\sin^{2} \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $y^{2} - xy - x^{2} = 0$ મળે છે.
અહીં $x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $a + b = -1 + 1 = 0$ છે.
જ્યારે $a + b = 0$ હોય,ત્યારે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^{2} + 2xy - y^{2} = 0$ છે. તેને $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$h = 1$,અને $b = -1$ મળે છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડીનું સંયુક્ત સમીકરણ $\frac{x^{2} - y^{2}}{a - b} = \frac{xy}{h}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x^{2} - y^{2}}{3 - (-1)} = \frac{xy}{1}$ મળે છે.
$\frac{x^{2} - y^{2}}{4} = xy$.
$x^{2} - y^{2} = 4xy$.
$x^{2} - 4xy - y^{2} = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-y^{2}=0$ છે,જેને $(x-y)(x+y)=0$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,આપેલ રેખાઓના ઢાળ $m_{1}=1$ અને $m_{2}=-1$ છે.
$(2,3)$ માંથી પસાર થતી અને આ રેખાઓને સમાંતર રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$(y-3)=1(x-2) \Rightarrow x-y+1=0$
$(y-3)=-1(x-2) \Rightarrow x+y-5=0$
સંયુક્ત સમીકરણ આ બે રેખાઓનો ગુણાકાર છે:
$(x-y+1)(x+y-5)=0$
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2}-y^{2}-4x+6y-5=0$

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $\Delta = ABC + 2FGH - AF^{2} - BG^{2} - CH^{2} = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $kxy + 5x + 3y + 2 = 0$ ને સરખાવતા:
$A = 0, B = 0, C = 2, H = \frac{k}{2}, G = \frac{5}{2}, F = \frac{3}{2}$.
શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$0 + 2(\frac{3}{2})(\frac{5}{2})(\frac{k}{2}) - 0 - 0 - 2(\frac{k}{2})^{2} = 0$.
$\frac{15k}{4} - \frac{2k^{2}}{4} = 0$.
$15k - 2k^{2} = 0$.
$k(15 - 2k) = 0$.
તેથી,$k = 0$ અથવા $k = \frac{15}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4x^{2}-y^{2}+2x+y=0$
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $(2x)^{2} - y^{2} + (2x+y) = 0$
નિત્યસમ $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $(2x-y)(2x+y) + (2x+y) = 0$
$(2x+y)$ સામાન્ય લેતા: $(2x+y)(2x-y+1) = 0$
આમ,અલગ સમીકરણો $2x+y=0$ અને $2x-y+1=0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણને $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, h=-\frac{3}{2}, b=\lambda, g=\frac{3}{2}, f=-\frac{5}{2}, c=2$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત: $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $\begin{vmatrix} 1 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & \lambda & -\frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} & 2 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $2(8\lambda - 25) + 3(-12 + 15) + 3(15 - 6\lambda) = 0$.
$16\lambda - 50 + 9 + 45 - 18\lambda = 0$ $\Rightarrow -2\lambda + 4 = 0$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-2}}{1+2} \right| = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\cot \theta = 3$.
આમ,$\operatorname{cosec}^{2} \theta = 1 + \cot^{2} \theta = 1 + 9 = 10$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + k = 0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & k \end{vmatrix} = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $ax^{2} + 0xy + by^{2} + cx + cy + 0 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$h = 0$,$g = c/2$,$f = c/2$,અને $k = 0$ મળે છે.
નિશ્ચાયકની શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} a & 0 & c/2 \\ 0 & b & c/2 \\ c/2 & c/2 & 0 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(0 - c^{2}/4) - 0 + (c/2)(0 - bc/2) = 0$.
$-ac^{2}/4 - bc^{2}/4 = 0$.
$-4$ વડે ગુણતા:
$ac^{2} + bc^{2} = 0$.
$c^{2}(a + b) = 0$.
$c \neq 0$ હોવાથી,$a + b = 0$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણને $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=3, h=5, b=3, g=0, f=8, c=k$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે,તેથી શરત $abc+2fgh-af^{2}-bg^{2}-ch^{2}=0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(3)(3)(k)+2(8)(0)(5)-3(8)^{2}-3(0)^{2}-k(5)^{2}=0$.
$9k+0-192-0-25k=0$.
$-16k=192$.
$k = -12$.

(A) ધારો કે $\phi(x, y) = 2x^{2}-xy-15y^{2}-7x+32y-9=0$ ...$(1)$
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે આંશિક વિકલન કરીએ:
$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 4x-y-7=0$ ...$(2)$
$\frac{\partial \phi}{\partial y} = -x-30y+32=0$ ...$(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = 4x-7$.
તેને $(3)$ માં મૂકતા: $-x - 30(4x-7) + 32 = 0$ $\Rightarrow -x - 120x + 210 + 32 = 0$ $\Rightarrow -121x + 242 = 0$ $\Rightarrow x = 2$.
તેથી $y = 4(2)-7 = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(2, 1)$ છે.
$(2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને યામ અક્ષોને સમાંતર રેખાઓ $x=2$ અને $y=1$ છે.
તેથી સંયુક્ત સમીકરણ $(x-2)(y-1) = 0$ થશે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $xy - x - 2y + 2 = 0$ મળે છે.

(B) પરવલયનું નાભિ $S = (1, -2)$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x + y + 3 = 0$ છે.
નાભિથી નિયામિકાનું અંતર $d$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ સુધીના અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{|1(1) + 1(-2) + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|1 - 2 + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times (\text{નાભિથી નિયામિકાનું અંતર})$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ એકમ.

(B) $(0, 0)$ પર શિરોબિંદુ અને $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ સ્વરૂપનું છે.
બિંદુ $(4, 4)$ પરવલય પર હોવાથી,$4^2 = 4a(4)$,જેનો અર્થ છે કે $16 = 16a$,તેથી $a = 1$.
પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4y$ છે.
આ પરવલયની નાભિ $(0, a) = (0, 1)$ છે.
પરવલય $x^2 = 4ay$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું નાભિ અંતર $|y_1 + a|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,નાભિ અંતર $|4 + 1| = 5$ મળે છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = x$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^{2} = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 1$ મળે,તેથી $a = \frac{1}{4}$.
પ્રાચલ $t$ ના સ્વરૂપમાં પરવલય $y^{2} = 4ax$ પરના બિંદુના યામ $(at^{2}, 2at)$ છે.
આપેલ પ્રાચલ $t = -\frac{4}{3}$ માટે,$a = \frac{1}{4}$ અને $t = -\frac{4}{3}$ મૂકતા:
$x = at^{2} = \frac{1}{4} \times \left(-\frac{4}{3}\right)^{2} = \frac{1}{4} \times \frac{16}{9} = \frac{4}{9}$.
$y = 2at = 2 \times \frac{1}{4} \times \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{2}{3}$.
આમ,બિંદુના યામ $\left(\frac{4}{9}, -\frac{2}{3}\right)$ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}+2y=8x-7$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$x^{2}-8x=-2y-7$ મળે છે.
ડાબી બાજુ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^{2}-8x+16=-2y-7+16$.
આનું સાદું રૂપ $(x-4)^{2}=-2y+9$ થાય છે.
જમણી બાજુથી $-2$ સામાન્ય લેતા: $(x-4)^{2}=-2(y-\frac{9}{2})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^{2}=4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં નાભિલંબની લંબાઈ $|4a|$ છે.
અહીં,$4a = -2$,તેથી નાભિલંબની લંબાઈ $|-2| = 2$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $3x^{2} = 16y$ છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^{2} = \frac{16}{3}y$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2} = 4ay$ સાથે સરખાવતા,$4a = \frac{16}{3}$ મળે છે,તેથી $a = \frac{4}{3}$.
પરવલય $x^{2} = 4ay$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $y = -a$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $y = -\frac{4}{3}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3y + 4 = 0$ થાય છે.

(A) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(X) - n(A \cup B)$.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n(A \cup B) = 200 + 300 - 100 = 400$.
હવે,$n(A' \cap B') = n(X) - n(A \cup B) = 700 - 400 = 300$.

(C) '$LOGARITHM$' શબ્દમાં $9$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $L, O, G, A, R, I, T, H, M$.
તેમાં $3$ સ્વર $(O, A, I)$ અને $6$ વ્યંજન $(L, G, R, T, H, M)$ છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $9!$ છે.
ગોઠવણી સ્વરથી શરૂ થાય અને વ્યંજન પર પૂર્ણ થાય તે માટે:
- પ્રથમ સ્થાન $3$ સ્વરોમાંથી $3$ રીતે ભરી શકાય.
- છેલ્લું સ્થાન $6$ વ્યંજનોમાંથી $6$ રીતે ભરી શકાય.
- બાકીના $7$ સ્થાનો બાકીના $7$ અક્ષરો દ્વારા $7!$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ સાનુકૂળ ગોઠવણી $= 3 \times 6 \times 7!$.
સંભાવના $= \frac{3 \times 6 \times 7!}{9!} = \frac{18 \times 7!}{9 \times 8 \times 7!} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$.

(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
પેકમાં રાજાની સંખ્યા $= 4$.
રાજા ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા $= 52 - 4 = 48$.
કોઈ ઘટના $E$ ની તરફેણમાં અવરોધ (odds) એટલે સાનુકૂળ પરિણામો અને પ્રતિકૂળ પરિણામોનો ગુણોત્તર.
રાજા ખેંચવાની તરફેણમાં અવરોધ $= \frac{\text{રાજાની સંખ્યા}}{\text{રાજા ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા}} = \frac{4}{48} = \frac{1}{12}$.
આમ,તરફેણમાં અવરોધ $1:12$ છે.

(A) જ્યારે પાસાની જોડી ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામો $6 \times 6 = 36$ છે.
$3$ ના ગુણક હોય તેવા સરવાળા $3, 6, 9$ અને $12$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો:
સરવાળો $3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $9$: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $12$: $(6, 6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 2 + 5 + 4 + 1 = 12$.
પ્રતિકૂળ પરિણામો $= 36 - 12 = 24$.
તરફેણમાં ઓડ્સ $= \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ એટલે કે $1: 2$.

(C) આપેલ છે કે $A$ ની તરફેણમાં મત $2:3$ છે,તેથી $P(A) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$.
આપેલ છે કે $B$ ની વિરુદ્ધમાં મત $4:5$ છે,તેથી $B$ ની તરફેણમાં મત $5:4$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $P(B) = \frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,તેમનો છેદ $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{2}{9}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $P(A) = \frac{2}{5}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,$P(A \cup B) = \frac{1}{2}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A' \cup B') = P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B)$.
સૌ પ્રથમ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધો:
$\frac{1}{2} = \frac{2}{5} + \frac{1}{4} - P(A \cap B)$
$\frac{1}{2} = \frac{13}{20} - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = \frac{13}{20} - \frac{10}{20} = \frac{3}{20}$.
હવે,$P(A' \cup B') = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.

(D) જ્યારે બે પાસાઓ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $2$ અથવા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
શક્ય સરવાળા $2$ થી $12$ સુધીના છે.
$2$ વડે વિભાજ્ય સરવાળા: $2, 4, 6, 8, 10, 12$.
$3$ વડે વિભાજ્ય સરવાળા: $3, 6, 9, 12$.
આમ,$2$ અથવા $3$ વડે વિભાજ્ય સરવાળા: $2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12$ છે.
દરેક સરવાળા માટે પરિણામોની ગણતરી કરતા:
સરવાળો $2: (1,1) - 1$ પરિણામ
સરવાળો $3: (1,2), (2,1) - 2$ પરિણામો
સરવાળો $4: (1,3), (2,2), (3,1) - 3$ પરિણામો
સરવાળો $6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) - 5$ પરિણામો
સરવાળો $8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) - 5$ પરિણામો
સરવાળો $9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) - 4$ પરિણામો
સરવાળો $10: (4,6), (5,5), (6,4) - 3$ પરિણામો
સરવાળો $12: (6,6) - 1$ પરિણામ
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 1 + 2 + 3 + 5 + 5 + 4 + 3 + 1 = 24$.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે વિદ્યાર્થીઓ $P, Q, R$ અનુક્રમે દાખલો ઉકેલે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(E_1) = \frac{1}{2}$,$P(E_2) = \frac{1}{3}$,$P(E_3) = \frac{1}{4}$ છે.
દાખલો કોઈના દ્વારા ઉકેલાતો નથી તેની સંભાવના એ છે કે ત્રણેય વિદ્યાર્થીઓ દાખલો ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય.
તેઓ સ્વતંત્ર રીતે પ્રયત્ન કરતા હોવાથી,કોઈ પણ દાખલો ઉકેલી શકતું નથી તેની સંભાવના:
$P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = P(E_1^c) \times P(E_2^c) \times P(E_3^c)$
$P(E_1^c) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(E_2^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(E_3^c) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
દાખલો ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી})$ છે.
$P(\text{ઉકેલાય}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(B) ધારો કે $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ $A = 45^{\circ}$,$B = 60^{\circ}$ અને $C$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$.
સૌથી નાનો ખૂણો $45^{\circ}$ અને સૌથી મોટો ખૂણો $75^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,સૌથી નાની બાજુ અને સૌથી મોટી બાજુનો ગુણોત્તર $\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$ થશે.
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
ગુણોત્તર = $\frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$.
આમ,ગુણોત્તર $(\sqrt{3}-1) : 1$ છે.

(C) સાઇનના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે છે: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $\frac{\sin A}{3} = \frac{(2/3)}{2}$
$\frac{\sin A}{3} = \frac{1}{3}$
$\sin A = 1$
તેથી,$A = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$.

(C) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થાય.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{2x} - 1) \sin x^{\circ}}{x^2}$
$x^{\circ} = \frac{x\pi}{180}$ રેડિયન રૂપાંતરનો ઉપયોગ કરતા:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{2x} - 1)}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{x\pi}{180})}{x}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{e^{2x} - 1}{2x} \right) \cdot \left( \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin(\frac{x\pi}{180})}{\frac{x\pi}{180}} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ અને $\lim_{v \to 0} \frac{\sin v}{v} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(0) = 2(1) \cdot \frac{\pi}{180}(1) = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90}$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = k$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,$f(x)$ ના પદને સાદું રૂપ આપીએ:
$f(x) = \frac{(1+\cos 2x) - \sin 2x}{(1+\cos 2x) + \sin 2x} = \frac{2\cos^2 x - 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x + 2\sin x \cos x}$.
અંશ અને છેદમાંથી $2\cos x$ સામાન્ય લેતા:
$f(x) = \frac{2\cos x(\cos x - \sin x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$.
હવે,$x \rightarrow \frac{\pi}{2}$ માટે લક્ષની કિંમત મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.
તેથી,$k = -1$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = k$ થાય.
આમ,$k = \lim_{x \to 0} \left[\tan \left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right]^{\frac{1}{x}}$.
સૂત્ર $\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right)^{\frac{1}{x}}$.
આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપ છે,તેથી આપણે લક્ષના ગુણધર્મ $\lim_{x \to 0} (1 + u(x))^{v(x)} = e^{\lim_{x \to 0} u(x)v(x)}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$k = \exp \left[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1 \right) \right]$.
$k = \exp \left[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x} \right) \right] = \exp \left[ \lim_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)} \right]$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,તેથી $k = e^{2(1)/(1-0)} = e^{2}$.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ $f(0)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = 2$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{81^{x}-9^{x}}{k^{x}-1} = 2$.
અંશમાંથી $9^{x}$ સામાન્ય લેતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9^{x}(9^{x}-1)}{k^{x}-1} = 2$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9^{x} \cdot \frac{9^{x}-1}{x}}{\frac{k^{x}-1}{x}} = 2$.
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x} = \ln a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{9^{0} \cdot \ln 9}{\ln k} = 2$.
$9^{0} = 1$ હોવાથી,$\frac{\ln 9}{\ln k} = 2$ મળે.
$\ln 9 = 2 \ln k \Rightarrow \ln 9 = \ln k^{2}$.
$k^{2} = 9 \Rightarrow k = 3$ (કારણ કે ઘાતાંકીય વિધેયના આધાર માટે $k$ ધન હોવો જોઈએ).
આમ,$k$ ની કિંમત $3$ છે.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = k$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $x \neq 0$ માટે $f(x) = \frac{\log 10 + \log(0.1 + 2x)}{2x}$.
ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log 10 + \log(0.1 + 2x) = \log(10 \times (0.1 + 2x)) = \log(1 + 20x)$.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + 20x)}{2x} = k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log(1 + u)}{u} = 1$.
$20$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + 20x)}{20x} \times 10 = k$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + 20x)}{20x} = 1$,તેથી $1 \times 10 = k$,એટલે કે $k = 10$.
આમ,$k + 2 = 10 + 2 = 12$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{|x-2|}{x-2}$ જ્યારે $x \neq 2$ અને $f(2) = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $x > 2$ હોય તો $|x-2| = (x-2)$ અને જો $x < 2$ હોય તો $|x-2| = -(x-2)$ થાય.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x-2}{x-2} = 1$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-(x-2)}{x-2} = -1$.
અહીં $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$ હોવાથી,$x=2$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.
વળી,$f(2) = 1$. લક્ષનું અસ્તિત્વ ન હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x=2$ આગળ અસતત છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ હોવું જરૂરી છે.
લક્ષની ગણતરી કરતા: $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1+4x}{1-4x}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{\lim_{x \rightarrow 0} (1+4x)^{\frac{1}{x}}}{\lim_{x \rightarrow 0} (1-4x)^{\frac{1}{x}}}$.
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim_{u \rightarrow 0} (1+u)^{\frac{1}{u}} = e$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\left[\lim_{x \rightarrow 0} (1+4x)^{\frac{1}{4x}}\right]^{4}}{\left[\lim_{x \rightarrow 0} (1-4x)^{\frac{1}{-4x}}\right]^{-4}} = \frac{e^{4}}{e^{-4}}$.
$= e^{4 - (-4)} = e^{8}$.

(B) વિધેય $f(x)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x) = \frac{1}{x-1}$ જ્યાં $0 \leq x \leq 2$
$f(x) = \frac{x+5}{x+3}$ જ્યાં $2 < x \leq 4$
પગલું $1$: અંતરાલોની અંદર અસતત બિંદુઓ તપાસો.
$0 \leq x \leq 2$ માટે,વિધેય $f(x) = \frac{1}{x-1}$ એ $x=1$ આગળ અવ્યાખ્યાયિત છે. કારણ કે $1 \in [0, 2]$,તેથી $x=1$ એ અસતત બિંદુ છે.
$2 < x \leq 4$ માટે,વિધેય $f(x) = \frac{x+5}{x+3}$ એ $x=-3$ આગળ અવ્યાખ્યાયિત છે. કારણ કે $-3 \notin (2, 4]$,તેથી આ અંતરાલમાં કોઈ અસતત બિંદુ નથી.
પગલું $2$: સીમાબિંદુ $x=2$ આગળ સાતત્ય તપાસો.
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2-1} = 1$
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x+5}{x+3} = \frac{2+5}{2+3} = \frac{7}{5}$
કારણ કે $\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x)$,તેથી વિધેય $x=2$ આગળ અસતત છે.
નિષ્કર્ષ: અસતત બિંદુઓ $x=1$ અને $x=2$ છે.

(A) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $x \to 0$ માટે વિધેયની લક્ષ કિંમત એ $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત જેટલી હોવી જોઈએ.
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$
$\lim_{x \to 0} \frac{4 \sin \pi x}{5 x} = 2k$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$.
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{4 \sin \pi x}{5 x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{4 \pi \sin \pi x}{5 \pi x} \right) = \frac{4 \pi}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{4 \pi}{5} \times 1 = \frac{4 \pi}{5}$.
આને $f(0) = 2k$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{4 \pi}{5} = 2k$
$k = \frac{4 \pi}{10} = \frac{2 \pi}{5}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) કારણ કે $f$ એ $x = \pi$ આગળ સતત છે,તેથી $f(\pi) = \lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$ થાય.
લક્ષ $\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{1 - \sin x + \cos x}{1 + \sin x + \cos x}$ માટે એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \sin x + \cos x)}{\frac{d}{dx}(1 + \sin x + \cos x)} = \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{-\cos x - \sin x}{\cos x - \sin x}$.
$x = \pi$ મૂકતા:
$f(\pi) = \frac{-\cos(\pi) - \sin(\pi)}{\cos(\pi) - \sin(\pi)} = \frac{-(-1) - 0}{-1 - 0} = \frac{1}{-1} = -1$.

(A) $x=0$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ ની કિંમત શોધીએ.
આપેલ છે કે $f(x) = \frac{(e^{3x}-1) \sin x^{\circ}}{x^2}$ જ્યારે $x \neq 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^{\circ} = \frac{\pi x}{180}$ રેડિયન.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1) \sin(\frac{\pi x}{180})}{x^2}$.
$3x$ અને $\frac{\pi}{180}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{3x}-1}{3x} \cdot 3 \right) \cdot \left( \frac{\sin(\frac{\pi x}{180})}{\frac{\pi x}{180}} \cdot \frac{\pi}{180} \right) = (1 \cdot 3) \cdot (1 \cdot \frac{\pi}{180}) = \frac{3\pi}{180} = \frac{\pi}{60}$.
અહીં $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = \frac{\pi}{60}$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે.

(D) વિધેય $f(x) = \frac{x+1}{9x+x^3}$ ને $f(x) = \frac{x+1}{x(9+x^2)}$ તરીકે લખી શકાય છે.
વિધેય ત્યાં અસતત હોય છે જ્યાં છેદ શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $x(9+x^2) = 0$.
આ સમીકરણ માટે,આપણને $x = 0$ અથવા $9+x^2 = 0$ મળે છે.
સમીકરણ $x^2 = -9$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે.
તેથી,વિધેય માત્ર $x = 0$ પર અસતત છે.
આમ,વિધેય બરાબર એક બિંદુ પર અસતત છે.

(C) વિધેયને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે: $f(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ -1 & x < 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$.
$x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
અહીં ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન ન હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ અસતત છે.
વિધેય $x = 0$ આગળ સતત ન હોવાથી,તે $x = 0$ આગળ વિકલનીય પણ નથી.
તેથી,વિધેય $x = 0$ આગળ સતત પણ નથી અને વિકલનીય પણ નથી.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left[\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}}\right] dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ અને $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sqrt{\frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\tan x) dx$ ... $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\tan \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\cot x) dx$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\log (\tan x) + \log (\cot x)] dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\tan x \cdot \cot x) dx$
કારણ કે $\tan x \cdot \cot x = 1$,તેથી:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (1) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 0 dx = 0$
આમ,$I = 0$.

(B) $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} d x$
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x \cos x}{1+(\sin ^{2} x)^{2}} d x$
ધારો કે $\sin ^{2} x = t$,તેથી $2 \sin x \cos x d x = dt$.
જ્યારે $x = 0$,$t = 0$ અને જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$,$t = 1$.
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^{2}} = \frac{1}{2} [\tan ^{-1} t]_{0}^{1}$
$I = \frac{1}{2} (\tan ^{-1} 1 - \tan ^{-1} 0) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x} d x = k \log 3$.
$t = \sin x - \cos x$ આદેશ લેતા,$dt = (\cos x + \sin x) dx$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = -1$ અને જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $t = 0$.
વળી,$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x$,તેથી $\sin 2x = 1 - t^2$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{9 + 16(1 - t^2)} = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{25 - 16t^2} = \frac{1}{16} \int_{-1}^{0} \frac{dt}{(\frac{5}{4})^2 - t^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log |\frac{a+x}{a-x}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{16} \times \frac{1}{2(\frac{5}{4})} [\log |\frac{\frac{5}{4} + t}{\frac{5}{4} - t}|]_{-1}^{0} = \frac{1}{40} [\log |\frac{5+4t}{5-4t}|]_{-1}^{0}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \frac{1}{40} [\log(1) - \log(\frac{1}{9})] = \frac{1}{40} \log(9) = \frac{1}{40} \log(3^2) = \frac{2}{40} \log 3 = \frac{1}{20} \log 3$.
$k \log 3$ સાથે સરખાવતા,$k = \frac{1}{20}$ મળે.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) dx$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 \theta d\theta$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = 0$; જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
સંકલન $I = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{-1}(\tan 2\theta) \sec^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/4} 2\theta \sec^2 \theta d\theta$ થશે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $I = 2 \left[ \theta \tan \theta - \int \tan \theta d\theta \right]_{0}^{\pi/4}$.
$I = 2 \left[ \theta \tan \theta + \log |\cos \theta| \right]_{0}^{\pi/4}$.
$I = 2 \left[ (\frac{\pi}{4} \cdot 1 + \log |\frac{1}{\sqrt{2}}|) - (0 + \log 1) \right]$.
$I = 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2 \right] = \frac{\pi}{2} - \log 2$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec^2 \frac{x}{2} dx$.
$\sec^2 \frac{x}{2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $2 \tan \frac{x}{2}$ મળે છે.
$I = \frac{1}{2} \left[ 2 \tan \frac{x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left[ \tan \frac{x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$.
સીમાઓ (limits) મૂકતા:
$I = \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$.

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int_{0}^{5} \frac{d x}{x^{2}+2 x+10}$ છે.
છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^{2}+2x+10 = (x+1)^{2} + 3^{2}$.
તેથી,$I = \int_{0}^{5} \frac{d x}{(x+1)^{2} + 3^{2}}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \left[ \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x+1}{3}) \right]_{0}^{5}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} [\tan^{-1}(\frac{5+1}{3}) - \tan^{-1}(\frac{0+1}{3})] = \frac{1}{3} [\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(\frac{1}{3})]$.
નિત્યસમ $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{2 - 1/3}{1 + 2(1/3)}) = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{5/3}{5/3}) = \frac{1}{3} \tan^{-1}(1)$.
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,તેથી $I = \frac{1}{3} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$.

(C) સંકલન $I = \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,$x = a \sin^2 \theta$ આદેશ લો.
તેથી $dx = 2a \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ થાય.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $\theta = 0$ અને જ્યારે $x = a$ હોય,ત્યારે $\sin^2 \theta = 1$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\frac{a \sin^2 \theta}{a - a \sin^2 \theta}} \cdot (2a \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} \cdot (2a \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot (2a \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 \theta \, d\theta$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = a \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta$
$I = a [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_{0}^{\pi/2} = a [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{2} a$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) સંકલન $I = \int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x$ ની ગણતરી કરવા માટે,ધારો કે $u = x^{2}-1$.
તેથી $du = 2x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $x \, dx = \frac{1}{2} du$.
જ્યારે $x = 2$,ત્યારે $u = 2^{2}-1 = 3$.
જ્યારે $x = 3$,ત્યારે $u = 3^{2}-1 = 8$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{3}^{8} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du$
$I = \frac{1}{2} [\log |u|]_{3}^{8}$
$I = \frac{1}{2} (\log 8 - \log 3)$
$I = \frac{1}{2} \log \left(\frac{8}{3}\right)$.

(B) સંકલન $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}-2}{x^{2}+1} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશને $(x^{2}+1)-3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$I = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}+1-3}{x^{2}+1} dx$
$I = \int_{0}^{1} \left( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1} - \frac{3}{x^{2}+1} \right) dx$
$I = \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{3}{x^{2}+1} \right) dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = [x - 3 \tan^{-1}(x)]_{0}^{1}$
સીમાઓ મૂકતા:
$I = (1 - 3 \tan^{-1}(1)) - (0 - 3 \tan^{-1}(0))$
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ અને $\tan^{-1}(0) = 0$ છે:
$I = (1 - 3 \cdot \frac{\pi}{4}) - (0 - 0)$
$I = 1 - \frac{3\pi}{4}$

(D) આપેલ નિશ્ચિત સંકલન: $\int_{1}^{k}(3x^{2}+2x+1)dx=11$
વિધેયનું પદવાર સંકલન કરતા: $[x^{3}+x^{2}+x]_{1}^{k}=11$
સીમાઓ લાગુ કરતા: $(k^{3}+k^{2}+k)-(1^{3}+1^{2}+1)=11$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $k^{3}+k^{2}+k-3=11$
$k^{3}+k^{2}+k-14=0$
બીજ માટે ચકાસણી કરતા,જો $k=2$ લઈએ: $(2)^{3}+(2)^{2}+2-14 = 8+4+2-14 = 0$
આમ,$k=2$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી $k$ ની કિંમત $2$ છે.

(B) સંકલનની અંદર આપેલ પદ એ $e^{-x}$ નું મેકલોરિન શ્રેણી વિસ્તરણ છે.
તેથી,સંકલન $\int_{0}^{1} e^{-x} \cdot e^{2x} \, dx$ બને છે.
ઘાતાંકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$e^{-x} \cdot e^{2x} = e^{-x + 2x} = e^{x}$.
આમ,સંકલન $\int_{0}^{1} e^{x} \, dx$ છે.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા,આપણને $[e^{x}]_{0}^{1}$ મળે છે.
સીમાઓ મૂકતા,$e^{1} - e^{0} = e - 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{1}^{e} \frac{dx}{x(1+\log x)^{2}}$.
$u = 1 + \log x$ આદેશ લેતા,$du = \frac{1}{x} dx$ મળે.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $u = 1 + \log 1 = 1 + 0 = 1$.
જ્યારે $x = e$,ત્યારે $u = 1 + \log e = 1 + 1 = 2$.
તેથી,$I = \int_{1}^{2} \frac{du}{u^{2}} = \int_{1}^{2} u^{-2} du$.
$I = \left[ \frac{u^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{2}$.
$I = -\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{1} \right) = -\left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ સંકલન $\int_{0}^{a} \frac{dx}{1+(2x)^{2}} = \frac{\pi}{8}$ છે.
ધારો કે $2x = t$,તેથી $2dx = dt$ અથવા $dx = \frac{dt}{2}$.
જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x = a, t = 2a$.
સંકલન આ મુજબ બનશે: $\int_{0}^{2a} \frac{1}{1+t^{2}} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{\pi}{8}$.
$\frac{1}{2} [\tan^{-1}(t)]_{0}^{2a} = \frac{\pi}{8}$.
$\tan^{-1}(2a) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4}$.
$\tan^{-1}(2a) = \frac{\pi}{4}$.
$2a = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$a = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}$.
તેથી,$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{e^{-x} - e^{x}} = \frac{e^{-x} + e^{x}}{-(e^{x} - e^{-x})} = -\frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ એ $[-a, a]$ પર અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ થાય.
અહીં $x = 0$ આગળ વિધેય અવ્યાખ્યાયિત છે,તેથી આ અનિયત સંકલન છે.
મુખ્ય કિંમત મેળવતા: $\int_{-5}^{5} \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} dx = \left[ \ln|e^{x} - e^{-x}| \right]_{-5}^{5} = \ln|e^{5} - e^{-5}| - \ln|e^{-5} - e^{5}| = 0$.

(A) ધારો કે $t \text{ મિનિટ}$ સમયે પદાર્થનું તાપમાન $\theta^{\circ} C$ છે. ઓરડાનું તાપમાન $T_s = 25^{\circ} C$ છે. ન્યૂટનના શીતળતાના નિયમ મુજબ,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - T_s)$.
આનું સંકલન કરતા,$\ln(\theta - 25) = -kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$\theta = 135^{\circ} C$,તેથી $C = \ln(135 - 25) = \ln(110)$.
આમ,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{110}\right) = -kt$.
$t = 60 \text{ મિનિટ}$ સમયે,$\theta = 80^{\circ} C$,તેથી $\ln\left(\frac{80 - 25}{110}\right) = -60k \Rightarrow \ln(0.5) = -60k \Rightarrow k = -\frac{1}{60}\ln(0.5)$.
$t = 120 \text{ મિનિટ}$ $(2 \text{ કલાક})$ માટે,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{110}\right) = -120 \times \left(-\frac{1}{60}\ln(0.5)\right) = 2\ln(0.5) = \ln(0.5^2) = \ln(0.25)$.
તેથી,$\frac{\theta - 25}{110} = 0.25 \Rightarrow \theta - 25 = 110 \times 0.25 = 27.5$.
$\theta = 27.5 + 25 = 52.5^{\circ} C$.

(C) ધારો કે $f(x) = \sin^{2} x$.
અહીં $f(-x) = [\sin(-x)]^{2} = (-\sin x)^{2} = \sin^{2} x$ હોવાથી,$f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
યુગ્મ વિધેય માટેના ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$.
નિત્યસમ $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$= [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$= (\frac{\pi}{2} - \frac{\sin \pi}{2}) - (0 - \frac{\sin 0}{2}) = (\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0) = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{a} (a-x)^{\frac{3}{2}} x^{2} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{a} (a-(a-x))^{\frac{3}{2}} (a-x)^{2} dx = \int_{0}^{a} x^{\frac{3}{2}} (a^{2} - 2ax + x^{2}) dx$.
$I = \int_{0}^{a} (a^{2} x^{\frac{3}{2}} - 2a x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{7}{2}}) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = a^{2} \left[ \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{a} - 2a \left[ \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} \right]_{0}^{a} + \left[ \frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} \right]_{0}^{a}$.
$I = \frac{2}{5} a^{2} (a^{\frac{5}{2}}) - 2a \left( \frac{2}{7} a^{\frac{7}{2}} \right) + \frac{2}{9} a^{\frac{9}{2}}$.
$I = \frac{2}{5} a^{\frac{9}{2}} - \frac{4}{7} a^{\frac{9}{2}} + \frac{2}{9} a^{\frac{9}{2}}$.
$I = a^{\frac{9}{2}} \left( \frac{2}{5} - \frac{4}{7} + \frac{2}{9} \right) = a^{\frac{9}{2}} \left( \frac{126 - 180 + 70}{315} \right) = \frac{16}{315} a^{\frac{9}{2}}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left[\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right] d x$.
આપણે $\tan ^{-1}$ વિધેયના પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x - (1-x)}{1 + x(1-x)}$.
ગુણધર્મ $\tan^{-1} a - \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a-b}{1+ab} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{1} [\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x)] dx \quad \dots(1)$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{1} [\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1}(1-(1-x))] dx = \int_{0}^{1} [\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x] dx \quad \dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{1} [\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x) + \tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x] dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0$.
તેથી,$I = 0$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{2}{3}} x}{\sin^{\frac{2}{3}} x + \cos^{\frac{2}{3}} x} dx \quad ...(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{2}{3}}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^{\frac{2}{3}}(\frac{\pi}{2}-x) + \cos^{\frac{2}{3}}(\frac{\pi}{2}-x)} dx$
કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$ અને $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$,તેથી:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{\frac{2}{3}} x}{\cos^{\frac{2}{3}} x + \sin^{\frac{2}{3}} x} dx \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{2}{3}} x + \cos^{\frac{2}{3}} x}{\sin^{\frac{2}{3}} x + \cos^{\frac{2}{3}} x} dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$
$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(B) ધારો કે $f(x) = x^{2}\left(\frac{e^{x^{3}}-e^{-x^{3}}}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right)$.
હવે,$f(-x)$ ની ગણતરી કરીને વિધેયની યુગ્મતા કે અયુગ્મતા તપાસીએ:
$f(-x) = (-x)^{2}\left(\frac{e^{(-x)^{3}}-e^{-(-x)^{3}}}{e^{(-x)^{3}}+e^{-(-x)^{3}}}\right)$
$f(-x) = x^{2}\left(\frac{e^{-x^{3}}-e^{x^{3}}}{e^{-x^{3}}+e^{x^{3}}}\right)$
$f(-x) = x^{2}\left(\frac{-(e^{x^{3}}-e^{-x^{3}})}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right)$
$f(-x) = -x^{2}\left(\frac{e^{x^{3}}-e^{-x^{3}}}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right) = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય એક અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-a}^{a} x^{2}\left(\frac{e^{x^{3}}-e^{-x^{3}}}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right) d x = 0$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec x)^{1/3}}{(\sec x)^{1/3} + (\operatorname{cosec} x)^{1/3}} dx \quad ...(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec(\frac{\pi}{2}-x))^{1/3}}{(\sec(\frac{\pi}{2}-x))^{1/3} + (\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}-x))^{1/3}} dx$
કારણ કે $\sec(\frac{\pi}{2}-x) = \operatorname{cosec} x$ અને $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}-x) = \sec x$ હોવાથી:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\operatorname{cosec} x)^{1/3}}{(\operatorname{cosec} x)^{1/3} + (\sec x)^{1/3}} dx \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec x)^{1/3} + (\operatorname{cosec} x)^{1/3}}{(\sec x)^{1/3} + (\operatorname{cosec} x)^{1/3}} dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
તેથી,$I = \frac{\pi}{4}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cot x}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x$.
સાઇન અને કોસાઇન માં રૂપાંતરિત કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin x}+\cos x} d x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x \quad ...(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{1+\sin(\frac{\pi}{2}-x)\cos(\frac{\pi}{2}-x)} d x$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x-\sin x}{1+\cos x \sin x} d x \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x + \cos x-\sin x}{1+\sin x \cos x} d x$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 0 d x = 0$
તેથી,$I = 0$.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{2x}{1+\cos^2 x}$.
$f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય એકી છે કે બેકી તે તપાસો:
$f(-x) = \frac{2(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{-2x}{1+\cos^2 x} = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ એકી વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ એકી વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx = 0$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-1}^{1} \left( \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}} \right) dx$.
$f(x) = \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}}$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
હવે,$f(-x)$ ની ગણતરી કરો:
$f(-x) = \sqrt{1+(-x)+(-x)^{2}} - \sqrt{1-(-x)+(-x)^{2}} = \sqrt{1-x+x^{2}} - \sqrt{1+x+x^{2}}$.
આને $f(-x) = - \left( \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}} \right) = -f(x)$ તરીકે લખી શકાય છે.
જેથી $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,અને નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ મુજબ જો $f(x)$ અયુગ્મ હોય,તો $I = 0$ થાય.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \cos x \sin x}{\cos^{3} x + \cos x} dx$.
સંકલિતનું સાદું રૂપ આપતા: $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{\cos^{2}(\pi - x) + 1} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
$I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^{2} x + 1} dx - \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
$I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^{2} x + 1} dx - I$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
ધારો કે $t = \cos x$,તો $dt = -\sin x dx$.
જ્યારે $x = 0, t = 1$; જ્યારે $x = \pi, t = -1$.
$2I = -\pi \int_{1}^{-1} \frac{dt}{t^{2} + 1} = \pi \int_{-1}^{1} \frac{dt}{t^{2} + 1} = 2\pi \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^{2} + 1}$.
$2I = 2\pi [\tan^{-1} t]_{0}^{1} = 2\pi (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi^{2}}{2}$.
$I = \frac{\pi^{2}}{4}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \, dx$.
આપણે સંકલ્યને $\frac{x^{2}+1-1}{1+x^{2}} = \frac{1+x^{2}}{1+x^{2}} - \frac{1}{1+x^{2}} = 1 - \frac{1}{1+x^{2}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
હવે,પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{1}{1+x^{2}} \right) \, dx$.
$I = \left[ x - \tan^{-1}(x) \right]_{0}^{1}$.
સીમાઓ પર મૂલ્ય મેળવતા:
$I = (1 - \tan^{-1}(1)) - (0 - \tan^{-1}(0))$.
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ અને $\tan^{-1}(0) = 0$,
$I = 1 - \frac{\pi}{4} - 0 = 1 - \frac{\pi}{4}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\sin x} - e^{\cos x}) dx$ ....$(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\sin(\frac{\pi}{2}-x)} - e^{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}) dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\cos x} - e^{\sin x}) dx$ ....$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\sin x} - e^{\cos x} + e^{\cos x} - e^{\sin x}) dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (0) dx$
$2I = 0 \Rightarrow I = 0$

(D) ધારો કે $f(x) = \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right)$.
આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસીએ:
$f(-x) = \log \left(\frac{8-(-x)}{8+(-x)}\right) = \log \left(\frac{8+x}{8-x}\right)$.
ગુણધર્મ $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(-x) = -\log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) d x = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-4}^{4} \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) d x = 0$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-5}^{5} \log \left(\frac{7-x}{7+x}\right) dx$.
$f(x) = \log \left(\frac{7-x}{7+x}\right)$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
$f(-x)$ ની ગણતરી કરીને વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસો:
$f(-x) = \log \left(\frac{7-(-x)}{7+(-x)}\right) = \log \left(\frac{7+x}{7-x}\right)$.
ગુણધર્મ $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(-x) = -\log \left(\frac{7-x}{7+x}\right) = -f(x)$.
આમ,$f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ થાય.
તેથી,$I = 0$.

(D) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan x}{\tan x + \cot x} \, dx \quad \dots(1)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{\pi}{5}$ અને $b = \frac{3 \pi}{10}$,આપણને $a+b = \frac{\pi}{5} + \frac{3 \pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી,$I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan(\frac{\pi}{2}-x)}{\tan(\frac{\pi}{2}-x) + \cot(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx$.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{2}-x) = \cot x$ અને $\cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan x$,તેથી:
$I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\cot x}{\cot x + \tan x} \, dx \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan x + \cot x}{\tan x + \cot x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} 1 \, dx$
$2I = [x]_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} = \frac{3 \pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10}$
$I = \frac{\pi}{20}$

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^{2}}\right) dx$.
આપણે પ્રતિવિધેયના પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{2x-1}{1+x-x^{2}} = \frac{x - (1-x)}{1 + x(1-x)}$.
નિત્યસમ $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x)) dx$ ... $(1)$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1}(1-(1-x))) dx = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x) dx$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x) + \tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x) dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0$.
તેથી,$I = 0$.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin x}}{\sqrt[7]{\sin x}+\sqrt[7]{\cos x}} dx$ ... $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt[7]{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt[7]{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\cos x}}{\sqrt[7]{\cos x}+\sqrt[7]{\sin x}} dx$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin x} + \sqrt[7]{\cos x}}{\sqrt[7]{\sin x} + \sqrt[7]{\cos x}} dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$
$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} d x \quad ...(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos(\pi-x)}}{e^{\cos(\pi-x)}+e^{-\cos(\pi-x)}} d x$
કારણ કે $\cos(\pi-x) = -\cos x$,તેથી:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{-\cos x}}{e^{-\cos x}+e^{\cos x}} d x \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} + \frac{e^{-\cos x}}{e^{-\cos x}+e^{\cos x}} \right) d x$
$2I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x} + e^{-\cos x}}{e^{\cos x} + e^{-\cos x}} d x$
$2I = \int_{0}^{\pi} 1 d x$
$2I = [x]_{0}^{\pi} = \pi - 0 = \pi$
$I = \frac{\pi}{2}$

(B) ધારો કે $I = \int_{-8}^{8} \frac{x^{5}+x^{3}}{4-x^{2}} \, dx$.
$f(x) = \frac{x^{5}+x^{3}}{4-x^{2}}$ લો.
આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસીએ:
$f(-x) = \frac{(-x)^{5}+(-x)^{3}}{4-(-x)^{2}} = \frac{-(x^{5}+x^{3})}{4-x^{2}} = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ થાય.
તેથી,$I = 0$.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} x(1-x)^{5} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{1} (1-x)(1-(1-x))^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (1-x)x^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (x^{5} - x^{6}) dx$
$I = \left[ \frac{x^{6}}{6} - \frac{x^{7}}{7} \right]_{0}^{1}$
$I = \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) - (0 - 0)$
$I = \frac{7-6}{42} = \frac{1}{42}$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sin x+e^{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \int (\sin x + e^{x}) dx = -\cos x + e^{x} + c_{1}$.
આપેલ છે કે $x=0$ આગળ $\frac{d y}{d x} = 4$:
$4 = -\cos(0) + e^{0} + c_{1} \implies 4 = -1 + 1 + c_{1} \implies c_{1} = 4$.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = e^{x} - \cos x + 4$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$y = \int (e^{x} - \cos x + 4) dx = e^{x} - \sin x + 4x + c_{2}$.
આપેલ છે કે $y(0) = 3$:
$3 = e^{0} - \sin(0) + 4(0) + c_{2} \implies 3 = 1 - 0 + 0 + c_{2} \implies c_{2} = 2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = e^{x} - \sin x + 4x + 2$ છે.

(D) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int_{0}^{1}(5x^{2}-3x+k)dx=0$
દરેક પદનું સંકલન કરતા: $\left[\frac{5x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + kx\right]_{0}^{1} = 0$
સીમાઓ લાગુ પાડતા: $\left(\frac{5(1)^{3}}{3} - \frac{3(1)^{2}}{2} + k(1)\right) - (0) = 0$
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{5}{3} - \frac{3}{2} + k = 0$
છેદ સમાન કરતા: $\frac{10-9}{6} + k = 0$
$\frac{1}{6} + k = 0$
તેથી,$k = -\frac{1}{6}$