MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) અમે સૂત્ર $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\cos x \cos 7 x - \cos 5 x \cos 13 x = \frac{1}{2} [2 \cos 7 x \cos x - 2 \cos 13 x \cos 5 x]$
$= \frac{1}{2} [(\cos 8 x + \cos 6 x) - (\cos 18 x + \cos 8 x)]$
$= \frac{1}{2} [\cos 6 x - \cos 18 x]$
સૂત્ર $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} [-2 \sin \frac{6 x + 18 x}{2} \sin \frac{6 x - 18 x}{2}]$
$= - \sin 12 x \sin(-6 x)$
$= \sin 12 x \sin 6 x$
કારણ કે $\sin 12 x = 2 \sin 6 x \cos 6 x$,તેથી:
$= (2 \sin 6 x \cos 6 x) \sin 6 x = 2 \sin ^{2} 6 x \cos 6 x$.

(A) આપેલ છે કે $A+B+C=180^{\circ}$,તેથી $\frac{A+B+C}{2} = 90^{\circ}$.
આથી,$\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(90^{\circ} - \frac{C}{2}\right) = \cot \left(\frac{C}{2}\right)$.
સૂત્ર $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan(A/2) + \tan(B/2)}{1 - \tan(A/2) \tan(B/2)} = \frac{1}{\tan(C/2)}$.
ગુણાકાર કરતા: $\tan(C/2) [\tan(A/2) + \tan(B/2)] = 1 - \tan(A/2) \tan(B/2)$.
પદોને ગોઠવતા: $\tan(A/2) \tan(B/2) + \tan(B/2) \tan(C/2) + \tan(C/2) \tan(A/2) = 1$.

(B) આપણે નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ અને $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1 = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 - (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) + (2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1)}{1 - (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) - (1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2})}$
$= \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} - 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}$
$= \frac{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})}{2 \sin \frac{\theta}{2} (\sin \frac{\theta}{2} - \cos \frac{\theta}{2})}$
$= \frac{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})}{-2 \sin \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})}$
$= -\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = -\cot \frac{\theta}{2}$.

(A) પદ $\sqrt{3} \sin x + \cos x$ ને $R \sin(x + \alpha)$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ છે.
આમ,$\sqrt{3} \sin x + \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે.
તેથી,વિધેય $y = e^{5 + \sqrt{3} \sin x + \cos x}$ ની મહત્તમ કિંમત $e^{5 + 2} = e^{7}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\cos 2\theta = \sin \alpha$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
તેથી,$\cos 2\theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\cos x = \cos y$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm y$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આ મુજબ,$2\theta = 2n\pi \pm (\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\theta = n\pi \pm (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$ મળે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \tan \alpha$ નો અર્થ $\theta = n\pi + \alpha$ થાય છે,જ્યાં $n \in Z$.
આપેલ છે કે $\tan 3x = 1$.
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{4} = 1$,તેથી $\tan 3x = \tan \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$3x = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$ મળે છે,જ્યાં $n \in Z$.

(C) $\triangle ABP$ અને $\triangle CDP$ માં,$AB \parallel DC$ અને $AB = DC$ છે. $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AP = PB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} DC$ થાય.
$\triangle APR$ અને $\triangle CPD$ ને ધ્યાનમાં લો:
$\angle PAR = \angle PCD$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel DC$)
$\angle APR = \angle CPD$ (અભિકોણ)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle APR \sim \triangle CPD$ થાય.
તેથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય:
$\frac{AR}{CR} = \frac{AP}{CD} = \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2}$.
આમ,$R$ એ $AC$ નું $1: 2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(A) આપેલ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(3,2,6), Q(1,4,5)$ અને $R(3,5,3)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{QP}$ અને $\vec{QR}$ ના દિશા ગુણોત્તર શોધીએ.
સદિશ $\vec{QP} = (3-1, 2-4, 6-5) = (2, -2, 1)$.
સદિશ $\vec{QR} = (3-1, 5-4, 3-5) = (2, 1, -2)$.
હવે,આપણે $\vec{QP}$ અને $\vec{QR}$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધીએ:
$\vec{QP} \cdot \vec{QR} = (2)(2) + (-2)(1) + (1)(-2) = 4 - 2 - 2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો $\vec{QP}$ અને $\vec{QR}$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$m \angle PQR = 90^{\circ}$ થાય.

(B) ધારો કે $u = \cot ^{-1} x$ અને $v = \log (1+x^{2})$.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં $u$ નું વિકલન શોધીએ:
$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{1+x^{2}}$.
ત્યારબાદ,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $v$ નું વિકલન શોધીએ:
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{1+x^{2}} \times \frac{d}{dx}(1+x^{2}) = \frac{2x}{1+x^{2}}$.
હવે,$v$ ની સાપેક્ષમાં $u$ નું વિકલન શોધીએ:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{-1/(1+x^{2})}{2x/(1+x^{2})} = -\frac{1}{2x}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે $y = \tan^{-1} \left[ \frac{x - \sqrt{1 - x^2}}{x + \sqrt{1 - x^2}} \right]$.
ધારો કે $x = \cos \theta$,તેથી $\theta = \cos^{-1} x$.
$x = \cos \theta$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} \right]$
અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} \right]$
સૂત્ર $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right] = \frac{\pi}{4} - \theta$
$\theta = \cos^{-1} x$ પાછું મૂકતા:
$y = \frac{\pi}{4} - \cos^{-1} x$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \cos^{-1} x \right) = 0 - \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)$.
રીત $1$: સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}\left[\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)$
$= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1-x}{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{2}}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= \frac{1}{\sqrt{\frac{1+x}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1-x}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1-x}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^{2}}}$.
રીત $2$: આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીને:
ધારો કે $x = \cos \theta$,તો $\sqrt{\frac{1-x}{2}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} = \sqrt{\frac{2\sin^{2}(\theta/2)}{2}} = \sin(\theta/2)$.
તેથી,$f(x) = \sin^{-1}(\sin(\theta/2)) = \theta/2 = \frac{1}{2}\cos^{-1}(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^{2}}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $x = \cos(2\theta)$,તેથી $2\theta = \cos^{-1}(x)$ અને $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x)$.
તેથી $\sqrt{1+x} = \sqrt{1+\cos(2\theta)} = \sqrt{2\cos^2(\theta)} = \sqrt{2} \cos(\theta)$ અને $\sqrt{1-x} = \sqrt{1-\cos(2\theta)} = \sqrt{2\sin^2(\theta)} = \sqrt{2} \sin(\theta)$.
આ કિંમતો $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \sin^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}\cos(\theta) + \sqrt{2}\sin(\theta)}{2} \right] = \sin^{-1} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\theta) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\theta) \right]$.
નિત્યસમ $\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(\theta) + \cos(\frac{\pi}{4}) \sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\theta) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$y = \sin^{-1} [\sin(\frac{\pi}{4} + \theta)] = \frac{\pi}{4} + \theta = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$.

(D) આપેલ છે કે $y = \sec(\tan^{-1} x)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \sec(\tan^{-1} x) \tan(\tan^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \sec(\tan^{-1} x) \cdot x \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
$x = 1$ આગળ,$\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \sec(\frac{\pi}{4}) \cdot 1 \cdot \frac{1}{1+1^2} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ધારો કે $\tan^{-1} x = \theta$,તો $\tan \theta = x$. $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ હોવાથી,$\sec \theta = \sqrt{1+x^2}$.
આમ,$y = \sqrt{1+x^2}$.
તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
$x = 1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=1$ છે.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dy} + 2y = 0$
$2x \frac{dx}{dy} = -2y$
$\frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dx}{dy}$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = \frac{d}{dy} \left( -\frac{y}{x} \right) = -\left[ \frac{x(1) - y(\frac{dx}{dy})}{x^{2}} \right]$
$\frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\left[ \frac{x - y(-\frac{y}{x})}{x^{2}} \right]$
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\left[ \frac{x + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} \right] = -\left[ \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} \right]$
કારણ કે $x^{2}+y^{2}=1$,તેથી:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\frac{1}{x^{3}}$

(A) આપેલ છે કે $y = e^{4x} \cos 5x$.
ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા,$\frac{dy}{dx} = e^{4x}(-5 \sin 5x) + \cos 5x(4e^{4x}) = e^{4x}(4 \cos 5x - 5 \sin 5x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{4x}(-20 \sin 5x - 25 \cos 5x) + (4 \cos 5x - 5 \sin 5x)(4e^{4x})$.
$x=0$ આગળ કિંમત મુકતા:
$\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)_{x=0} = e^{0}(-20 \sin 0 - 25 \cos 0) + (4 \cos 0 - 5 \sin 0)(4e^{0})$.
કારણ કે $\sin 0 = 0$ અને $\cos 0 = 1$:
$\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)_{x=0} = 1(0 - 25) + (4 - 0)(4) = -25 + 16 = -9$.

(A) આપેલ છે કે $\sqrt{x+y}+\sqrt{y-x}=5$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $\sqrt{y-x}=5-\sqrt{x+y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y-x = 25 + (x+y) - 10\sqrt{x+y}$.
સાદું રૂપ આપતા,$-2x = 25 - 10\sqrt{x+y}$,જે આપે છે $10\sqrt{x+y} = 2x + 25$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$10 \times \frac{1}{2\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx}) = 2$.
$\frac{5}{\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx}) = 2$.
$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{x+y}}{5}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx})$.
અગાઉના સ્ટેપમાંથી $(1 + \frac{dy}{dx})$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{5\sqrt{x+y}} \times \frac{2\sqrt{x+y}}{5} = \frac{2}{25}$.

(B) આપેલ છે કે $x = a(1 - \cos \theta)$ અને $y = a(\theta - \sin \theta)$.
પ્રથમ,$\frac{dx}{d\theta} = a \sin \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = a(1 - \cos \theta)$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a(1 - \cos \theta)}{a \sin \theta} = \frac{2 \sin^{2}(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(\tan(\theta/2)) = \sec^{2}(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
કારણ કે $\frac{dx}{d\theta} = a \sin \theta$,તેથી $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{a \sin \theta}$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{1}{2} \sec^{2}(\theta/2) \cdot \frac{1}{a(2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2))} = \frac{1}{4a \sin(\theta/2) \cos^{3}(\theta/2)} = \frac{\sec^{4}(\theta/2)}{4a}$.

(D) અમને વિધેય $y = \cos^{2}\left(\frac{5x}{2}\right) - \sin^{2}\left(\frac{5x}{2}\right)$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(2\theta) = \cos^{2}(\theta) - \sin^{2}(\theta)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\theta = \frac{5x}{2}$ લઈને પદને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
આમ,$y = \cos\left(2 \times \frac{5x}{2}\right) = \cos(5x)$.
હવે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos(5x)) = -5 \sin(5x)$.
ત્યારબાદ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(-5 \sin(5x)) = -5 \times 5 \cos(5x) = -25 \cos(5x)$.
કારણ કે $y = \cos(5x)$,આપણે પદમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -25y$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{x} g(x)$ છે.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{x}) \cdot g(x) + e^{x} \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$.
આથી $f^{\prime}(x) = e^{x} g(x) + e^{x} g^{\prime}(x) = e^{x} (g(x) + g^{\prime}(x))$ મળે છે.
હવે,વિકલિતના પદમાં $x = 0$ મૂકતા:
$f^{\prime}(0) = e^{0} (g(0) + g^{\prime}(0))$.
આપેલ છે કે $g(0) = 4$ અને $g^{\prime}(0) = 2$,અને આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{0} = 1$:
$f^{\prime}(0) = 1 \cdot (4 + 2) = 6$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f^{\prime}(x) = 2 f(x)$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int 2 dx$
$\ln |f(x)| = 2x + C$.
પ્રારંભિક શરત $f(0) = 3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln |f(0)| = 2(0) + C \Rightarrow \ln 3 = C$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\ln |f(x)| = 2x + \ln 3$.
$f(2)$ શોધવા માટે,$x = 2$ મૂકતા:
$\ln |f(2)| = 2(2) + \ln 3 = 4 + \ln 3$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$f(2) = e^{4 + \ln 3} = e^{4} \cdot e^{\ln 3} = 3 e^{4}$.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{x+2}{9-x^{2}}$ એ છેદ શૂન્ય ન હોય ત્યાં સુધી વ્યાખ્યાયિત છે.
છેદને શૂન્ય લેતા: $9 - x^{2} = 0$.
આથી $x^{2} = 9$,એટલે કે $x = \pm 3$.
આમ,વિધેય $x = 3$ અને $x = -3$ આગળ વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $\{-3, 3\}$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,જે $R - \{-3, 3\}$ તરીકે લખાય છે.

(C) વિધેય $f(y) = \frac{\cos^{-1}(y-5)}{\sqrt{25-y^2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $\cos^{-1}$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $[-1, 1]$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ,તેથી $-1 \leq y-5 \leq 1$. બંને બાજુ $5$ ઉમેરતા $4 \leq y \leq 6$ મળે છે.
$2$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ અને વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ,તેથી $25-y^2 > 0$,જેનો અર્થ છે $y^2 < 25$,અથવા $-5 < y < 5$.
$3$. બંને શરતોનો છેદ લેતા: $y \in [4, 6]$ અને $y \in (-5, 5)$.
$4$. છેદ $4 \leq y < 5$ મળે છે,જેને અંતરાલ $[4, 5)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,પ્રદેશ $[4, 5)$ છે.

(C) મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ ને $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જો $x$ પૂર્ણાંક હોય,તો $[x] = x$,જે સૂચવે છે કે $[x] + 1 = x + 1 > x$.
જો $x$ પૂર્ણાંક ન હોય,તો $[x] < x < [x] + 1$.
બંને કિસ્સાઓમાં,આપણને $[x] + 1 > x$ મળે છે.

(C) $f(x) = \sqrt{x}$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ.
તેથી,$x \geq 0$.
પ્રદેશ એ તમામ અ-ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,જેને $[0, \infty)$ અથવા $R^{+} \cup \{0\}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ સંબંધ $R = \{(x, y) : y = x + \frac{6}{x}, x, y \in N, x < 6\}$ છે.
દરેક $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ માટે તપાસીએ કે $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $(N)$ છે કે નહીં:
$x = 1$ માટે,$y = 1 + \frac{6}{1} = 7 \in N$.
$x = 2$ માટે,$y = 2 + \frac{6}{2} = 2 + 3 = 5 \in N$.
$x = 3$ માટે,$y = 3 + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5 \in N$.
$x = 4$ માટે,$y = 4 + \frac{6}{4} = 4 + 1.5 = 5.5 \notin N$.
$x = 5$ માટે,$y = 5 + \frac{6}{5} = 5 + 1.2 = 6.2 \notin N$.
આમ,સંબંધ $R = \{(1, 7), (2, 5), (3, 5)\}$ છે.
પ્રદેશ એ પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે: $\{1, 2, 3\}$.
વિસ્તાર એ બીજા ઘટકોનો ગણ છે: $\{5, 7\}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2x+3}{3x-2}$.
આપણે $(f \circ f)(x) = f(f(x))$ શોધવાનું છે.
$f(f(x)) = \frac{2 \left( \frac{2x+3}{3x-2} \right) + 3}{3 \left( \frac{2x+3}{3x-2} \right) - 2}$
અંશ અને છેદને $(3x-2)$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(2x+3) + 3(3x-2)}{3(2x+3) - 2(3x-2)}$
$= \frac{4x + 6 + 9x - 6}{6x + 9 - 6x + 4}$
$= \frac{13x}{13} = x$
તેથી,$(f \circ f)(x) = x$ હોવાથી,આ વિધેય તદેવ વિધેય છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{x-3}{5-x}$.
$y(5-x) = x-3$
$5y - xy = x - 3$
$5y + 3 = x + xy$
$5y + 3 = x(1+y)$
$x = \frac{5y+3}{1+y}$.
$x$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે છેદ $1+y \neq 0$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $y \neq -1$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $R - \{-1\}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}$ છે.
વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે ચકાસવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{-(-x)}}{e^{-x} - e^{-(-x)}}$
$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{e^{-x} - e^{x}}$
છેદમાંથી ઋણ ચિહ્ન સામાન્ય કાઢતા:
$f(-x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{-(e^{x} - e^{-x})}$
$f(-x) = -\left( \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} \right)$
$f(-x) = -f(x)$
આમ,$f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2x+3}{3x-2}$.
આપણે $(f \circ f)(x) = f(f(x))$ શોધવાનું છે.
$(f \circ f)(x) = f\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) = \frac{2\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) + 3}{3\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) - 2}$.
અંશ અને છેદને $(3x-2)$ વડે ગુણતા:
$(f \circ f)(x) = \frac{2(2x+3) + 3(3x-2)}{3(2x+3) - 2(3x-2)}$.
$(f \circ f)(x) = \frac{4x + 6 + 9x - 6}{6x + 9 - 6x + 4} = \frac{13x}{13} = x$.
કારણ કે $(f \circ f)(x) = x$ અને $g(x) = x$ એ એક અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી પરિણામ એક અયુગ્મ વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{4x+7}{7x-4}$.
પ્રથમ,$f(2)$ ની ગણતરી કરો:
$f(2) = \frac{4(2)+7}{7(2)-4} = \frac{8+7}{14-4} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
ત્યારબાદ,$f[f(2)] = f(\frac{3}{2})$ ની ગણતરી કરો:
$f(\frac{3}{2}) = \frac{4(\frac{3}{2})+7}{7(\frac{3}{2})-4} = \frac{6+7}{\frac{21}{2}-4} = \frac{13}{\frac{21-8}{2}} = \frac{13 \times 2}{13} = 2$.
છેલ્લે,$f\{f[f(2)]\} = f(2)$ ની ગણતરી કરો:
$f(2) = \frac{3}{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,નોંધો કે $f(f(x)) = x$,જેનો અર્થ છે કે $f(f(f(x))) = f(x)$.
આમ,$f(f(f(2))) = f(2) = \frac{3}{2}$.

(B) $(f \circ g)(x) = f[g(x)] = f(2x + 1) = (2x + 1)^{2} - 3(2x + 1) + 4$
$= 4x^{2} + 4x + 1 - 6x - 3 + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
આપેલ છે કે $f(x) = (f \circ g)(x)$
$\therefore x^{2} - 3x + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
$3x^{2} + x - 2 = 0$
$3x^{2} + 3x - 2x - 2 = 0$
$3x(x + 1) - 2(x + 1) = 0$
$(x + 1)(3x - 2) = 0$
$\therefore x = -1, \frac{2}{3}$

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{3x+4}{5x-7}$ અને $g(x) = \frac{7x+4}{5x-3}$.
આપણે $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ શોધવાનું છે.
$g(f(x)) = \frac{7(f(x)) + 4}{5(f(x)) - 3}$
$f(x) = \frac{3x+4}{5x-7}$ મૂકતા:
$g(f(x)) = \frac{7(\frac{3x+4}{5x-7}) + 4}{5(\frac{3x+4}{5x-7}) - 3}$
અંશ અને છેદને $(5x-7)$ વડે ગુણતા:
$g(f(x)) = \frac{7(3x+4) + 4(5x-7)}{5(3x+4) - 3(5x-7)}$
$g(f(x)) = \frac{21x + 28 + 20x - 28}{15x + 20 - 15x + 21}$
$g(f(x)) = \frac{41x}{41} = x$
તેથી,$(g \circ f)(3) = 3$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 2x^{2} + bx + c$.
કારણ કે $f(0) = 3$,તેથી $2(0)^{2} + b(0) + c = 3$,જે આપણને $c = 3$ આપે છે.
હવે,$f(x) = 2x^{2} + bx + 3$.
આપેલ છે કે $f(2) = 1$,તેથી $2(2)^{2} + b(2) + 3 = 1$.
$8 + 2b + 3 = 1 \Rightarrow 2b + 11 = 1 \Rightarrow 2b = -10 \Rightarrow b = -5$.
આમ,$f(x) = 2x^{2} - 5x + 3$.
પ્રથમ,$f(1) = 2(1)^{2} - 5(1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$ શોધો.
હવે,$(f \circ f)(1) = f(f(1)) = f(0)$.
કારણ કે $f(0) = 3$,તેથી $(f \circ f)(1) = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=2x-3$ અને $g(x)=x^{3}+5$.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $(fog)(x)$ શોધો:
$(fog)(x) = f(g(x)) = f(x^{3}+5) = 2(x^{3}+5)-3 = 2x^{3}+10-3 = 2x^{3}+7$.
ધારો કે $y = (fog)(x) = 2x^{3}+7$.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,$y$ ના સ્વરૂપમાં $x$ ની કિંમત શોધો:
$y-7 = 2x^{3} \Rightarrow x^{3} = \frac{y-7}{2} \Rightarrow x = \left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $(fog)^{-1}(x) = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 7x + 8 = y$.
વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}(y)$ શોધવા માટે,આપણે $y$ ના સ્વરૂપમાં $x$ ની કિંમત મેળવીએ:
$7x = y - 8$
$x = \frac{y - 8}{7}$
આમ,$f^{-1}(y) = \frac{y - 8}{7}$,જેનો અર્થ છે કે $f^{-1}(x) = \frac{x - 8}{7}$.
આપેલ છે કે $f^{-1}(12) = \frac{k}{7}$,તેથી $x = 12$ ને વ્યસ્ત વિધેયમાં મૂકતા:
$f^{-1}(12) = \frac{12 - 8}{7} = \frac{4}{7}$.
$\frac{4}{7}$ ની સરખામણી $\frac{k}{7}$ સાથે કરતા,આપણને $k = 4$ મળે છે.

(B) પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = y$ લઈએ.
$y = \frac{4x}{5} + 3$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$y - 3 = \frac{4x}{5}$
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા:
$5(y - 3) = 4x$
$4$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{5(y - 3)}{4}$
અહીં $x = f^{-1}(y)$ હોવાથી,$f^{-1}(y) = \frac{5(y - 3)}{4}$ મળે.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને મળે:
$f^{-1}(x) = \frac{5(x - 3)}{4}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $y = f(x) = \frac{3x+2}{5x-3}$.
તેથી $y(5x - 3) = 3x + 2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $5xy - 3y = 3x + 2$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $5xy - 3x = 3y + 2$ મળે છે.
$x$ સામાન્ય લેતા,$x(5y - 3) = 3y + 2$ મળે છે.
આમ,$x = \frac{3y+2}{5y-3}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{-1}(y) = x = \frac{3y+2}{5y-3}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{3x+2}{5x-3}$ મળે છે.
તેથી $f^{-1}(x) = f(x)$,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $[x]^{2} - 5[x] + 6 = 0$.
ધારો કે $t = [x]$. તો સમીકરણ $t^{2} - 5t + 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 3)(t - 2) = 0$.
આથી $t = 2$ અથવા $t = 3$ મળે છે.
તેથી,$[x] = 2$ અથવા $[x] = 3$.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ:
જો $[x] = 2$ હોય,તો $x \in [2, 3)$.
જો $[x] = 3$ હોય,તો $x \in [3, 4)$.
આ અંતરાલોને જોડતા,આપણને $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{2} - 3x + 4$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $f(2x + 1)$ શોધીએ:
$f(2x + 1) = (2x + 1)^{2} - 3(2x + 1) + 4$
$= (4x^{2} + 4x + 1) - 6x - 3 + 4$
$= 4x^{2} - 2x + 2$.
$f(x) = f(2x + 1)$ હોવાથી,બંને પદાવલિઓને સરખાવતા:
$x^{2} - 3x + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
$3x^{2} + x - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3x^{2} + 3x - 2x - 2 = 0$
$3x(x + 1) - 2(x + 1) = 0$
$(x + 1)(3x - 2) = 0$
આમ,$x = -1$ અથવા $x = \frac{2}{3}$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sqrt{5+4x-x^2}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરની દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$5+4x-x^2 = -(x^2-4x-5) = -((x-2)^2 - 4 - 5) = -( (x-2)^2 - 9 ) = 9 - (x-2)^2$.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{3^2 - (x-2)^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{3}\right) + c$.

(A) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=k(\cos x+\sin x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = \int k(\cos x + \sin x) dx = k(\sin x - \cos x) + C$.
શરત $f(0) = 9$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(0) = k(\sin 0 - \cos 0) + C = k(0 - 1) + C = -k + C = 9$ ...$(1)$.
શરત $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 15$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = k\left(\sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2}\right) + C = k(1 - 0) + C = k + C = 15$ ...$(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(-k + C) + (k + C) = 9 + 15 \Rightarrow 2C = 24 \Rightarrow C = 12$.
$C = 12$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$k + 12 = 15 \Rightarrow k = 3$.
આમ,$f(x) = 3(\sin x - \cos x) + 12$.

(C) અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{4 e^{2x} + 6}{9 e^{2x} - 4} dx$
ધારો કે $4 e^{2x} + 6 = A(18 e^{2x}) + B(9 e^{2x} - 4)$
$e^{2x}$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$18A + 9B = 4$ અને $-4B = 6$
$-4B = 6$ પરથી,આપણને $B = -\frac{3}{2}$ મળે છે
$18A + 9B = 4$ માં $B$ ની કિંમત મુકતા:
$18A + 9(-\frac{3}{2}) = 4 \Rightarrow 18A - \frac{27}{2} = 4 \Rightarrow 18A = \frac{35}{2} \Rightarrow A = \frac{35}{36}$
હવે,$I = \int \left[ \frac{\frac{35}{36}(18 e^{2x})}{9 e^{2x} - 4} - \frac{\frac{3}{2}(9 e^{2x} - 4)}{9 e^{2x} - 4} \right] dx$
$I = \frac{35}{36} \log |9 e^{2x} - 4| - \frac{3}{2} x + c$
$Ax + B \log |9 e^{2x} - 4| + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{3}{2}$ અને $B = \frac{35}{36}$ મળે છે.

(B) આપણને સંકલન $I = \int \frac{dx}{\cos 2x + \sin^2 x}$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને છેદમાં મૂકીએ છીએ:
$I = \int \frac{dx}{1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x}$
$I = \int \frac{dx}{1 - \sin^2 x}$
નિત્યસમ $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{dx}{\cos^2 x}$
$I = \int \sec^2 x \, dx$
$\sec^2 x$ નું સંકલન $\tan x + c$ થાય છે.
તેથી,$I = \tan x + c$.

(D) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{\cos 2x - \cos^2 x}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{(2\cos^2 x - 1) - \cos^2 x} = \int \frac{dx}{\cos^2 x - 1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 x - 1 = - (1 - \cos^2 x) = -\sin^2 x$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{-\sin^2 x} = -\int \csc^2 x \, dx$.
કારણ કે $\cot x$ નું વિકલન $-\csc^2 x$ થાય છે,તેથી $-\csc^2 x$ નું સંકલન $\cot x + c$ થાય.
તેથી,$I = \cot x + c$.

(A) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=k(\cos x-\sin x)$.
વિકલનમાં $x=0$ મૂકતા: $f^{\prime}(0)=k(\cos 0-\sin 0)=k(1-0)=k$.
$f^{\prime}(0)=3$ હોવાથી,આપણને $k=3$ મળે છે.
હવે,$f(x)$ શોધવા માટે $f^{\prime}(x)$ નું સંકલન કરો:
$f(x)=\int 3(\cos x-\sin x) \, dx = 3(\sin x+\cos x)+C$.
$C$ શોધવા માટે શરત $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=15$ નો ઉપયોગ કરો:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3(\sin \frac{\pi}{2}+\cos \frac{\pi}{2})+C = 3(1+0)+C = 3+C$.
$3+C=15$ લેતા,આપણને $C=12$ મળે છે.
તેથી,$f(x)=3(\sin x+\cos x)+12$.

(A) સંકલન $\int \frac{d x}{x^{2}+4 x+13}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ છીએ:
$x^{2}+4 x+13 = (x^{2}+4 x+4) + 9 = (x+2)^{2} + 3^{2}$.
હવે,સંકલન $\int \frac{d x}{(x+2)^{2} + 3^{2}}$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=3$ અને ચલ $(x+2)$ છે:
$\int \frac{d x}{(x+2)^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x+2}{3}\right) + c$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{\cos x \sqrt{\cos 2 x}}$.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા અથવા પદને ફરીથી લખતા:
$I = \int \frac{d x}{\cos x \sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}} = \int \frac{d x}{\cos x \cdot \cos x \sqrt{1 - \tan^2 x}} = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{1 - \tan^2 x}} d x$.
$t = \tan x$ આદેશ લેતા,$dt = \sec^2 x d x$ મળે.
તેથી,$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + c$.
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \sin^{-1}(\tan x) + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\cos ^{-1} x = t$. તેથી $x = \cos t$ અને $dx = -\sin t \ dt$.
વધુમાં,$\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^t \left( \frac{\cos t}{\sin t} - 1 \right) (-\sin t \ dt) = \int e^t (\sin t - \cos t) dt$.
સૂત્ર $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \sin t$ અને $f'(t) = \cos t$,આપણને મળે છે:
$I = -\int e^t (\cos t - \sin t) dt = -e^t \cos t + c$.
$t = \cos ^{-1} x$ પાછું મૂકતા:
$I = -x e^{\cos ^{-1} x} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{5^{x}}{\sqrt{5^{-2x}-5^{2x}}} dx$.
છેદને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\sqrt{5^{-2x}-5^{2x}} = \sqrt{\frac{1}{5^{2x}} - 5^{2x}} = \sqrt{\frac{1 - (5^{2x})^2}{5^{2x}}} = \frac{\sqrt{1 - (5^{2x})^2}}{5^x}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{5^x}{\frac{\sqrt{1 - (5^{2x})^2}}{5^x}} dx = \int \frac{5^{2x}}{\sqrt{1 - (5^{2x})^2}} dx$.
ધારો કે $t = 5^{2x}$. તેથી $dt = 5^{2x} \cdot \ln(5) \cdot 2 dx = 2 \ln(5) \cdot 5^{2x} dx$.
તેથી,$5^{2x} dx = \frac{dt}{2 \ln(5)} = \frac{dt}{\ln(25)}$.
સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{dt}{\ln(25)} = \frac{1}{\ln(25)} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$.
$I = \frac{1}{\ln(25)} \sin^{-1}(t) + c = \frac{\sin^{-1}(5^{2x})}{\ln(25)} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{(x+2) \sqrt{x+1}}$.
$\sqrt{x+1} = t$ આદેશ લેતા,$x+1 = t^2$ મળે,તેથી $x = t^2 - 1$ અને $dx = 2t \, dt$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 - 1 + 2) \cdot t}$
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 + 1) \cdot t}$
$I = 2 \int \frac{dt}{t^2 + 1}$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dt}{t^2 + 1} = \tan^{-1}(t) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \tan^{-1}(t) + c$
હવે $t = \sqrt{x+1}$ પાછું મૂકતા:
$I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+1}) + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{\log (\sec x+\tan x)}} dx$.
$t = \log (\sec x + \tan x)$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$dt = \frac{1}{\sec x + \tan x} (\sec x \tan x + \sec^2 x) dx$.
$dt = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} dx$.
$dt = \sec x dx$.
હવે,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-1/2} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{t^{1/2}}{1/2} + c = 2\sqrt{t} + c$.
$t = \log (\sec x + \tan x)$ પાછું મૂકતા:
$I = 2\sqrt{\log (\sec x + \tan x)} + c$.

(B) આપણે સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,છેદનું વિસ્તરણ કરો: $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.
હવે,દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરો: $x^2 - 3x + 2 = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $I = \int \frac{dx}{\sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}| + c$.
વર્ગમૂળની અંદરના પદને મૂળ સ્વરૂપમાં લાવતા,આપણને મળે છે:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{x^2 - 3x + 2}| + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{1+\log x}{\cos^{2}(x \log x)} dx$.
આદેશ લો: $t = x \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dt}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x$.
તેથી,$(1 + \log x) dx = dt$.
હવે સંકલનમાં કિંમત મુકતા: $I = \int \frac{1}{\cos^{2} t} dt = \int \sec^{2} t dt$.
$\sec^{2} t$ નું સંકલન $\tan t + c$ થાય છે.
$t = x \log x$ પાછું મુકતા,આપણને $I = \tan(x \log x) + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int x^{x}(1+\log x) dx$.
$u = x^{x}$ આદેશ લો.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log u = x \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = u(1 + \log x) = x^{x}(1 + \log x)$.
માટે,$du = x^{x}(1 + \log x) dx$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int du = u + c$.
$u$ ની જગ્યાએ $x^{x}$ મૂકતા,આપણને $I = x^{x} + c$ મળે છે.
આપેલ પદ $k x^{x} + c$ સાથે સરખાવતા,$k = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\log_{e} e = 1$,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx$.
$\sqrt{x} = t$ આદેશ લેતા.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \cos(t) \cdot 2 \, dt$.
$I = 2 \int \cos(t) \, dt$.
$\cos(t)$ નું સંકલન કરતા,$I = 2 \sin(t) + c$.
છેલ્લે $t = \sqrt{x}$ મૂકતા,આપણને $I = 2 \sin \sqrt{x} + c$ મળે છે.

(A) $\text{ધારો કે } I = \int 7^{7^{7^{x}}} 7^{7^{x}} 7^{x} dx$.
$\text{ધારો કે } u = 7^{x}$. $\text{તેથી } du = 7^{x} \log 7 dx$,$\text{એટલે કે } 7^{x} dx = \frac{du}{\log 7}$.
$\text{સંકલન આ મુજબ બનશે: } I = \int 7^{7^{u}} 7^{u} \frac{du}{\log 7} = \frac{1}{\log 7} \int 7^{7^{u}} 7^{u} du$.
$\text{ધારો કે } v = 7^{u}$. $\text{તેથી } dv = 7^{u} \log 7 du$,$\text{એટલે કે } 7^{u} du = \frac{dv}{\log 7}$.
$\text{આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,} I = \frac{1}{\log 7} \int 7^{v} \frac{dv}{\log 7} = \frac{1}{(\log 7)^{2}} \int 7^{v} dv$.
$\text{કારણ કે } \int 7^{v} dv = \frac{7^{v}}{\log 7} + C$,$\text{તેથી } I = \frac{7^{v}}{(\log 7)^{3}} + C$.
$\text{પાછી કિંમત } v = 7^{u} = 7^{7^{x}} \text{ મૂકતા,આપણને મળે } I = \frac{7^{7^{7^{x}}}}{(\log 7)^{3}} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \sqrt{x-\frac{1}{x}}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\right) d x$.
$u = x - \frac{1}{x}$ આદેશ લેતા.
તેથી $du = (1 + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{x^2+1}{x^2} dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \sqrt{u} du = \int u^{1/2} du$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{u^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3} u^{3/2} + c$.
$u = x - \frac{1}{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{2}{3} (x - \frac{1}{x})^{3/2} + c$.
આપેલ પદ $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{x})^k + c$ સાથે સરખાવતા,$k = \frac{3}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{1+2 e^{-x}}{1-2 e^{-x}} d x$.
અંશને $(1-2e^{-x}) + 4e^{-x}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int \frac{(1-2e^{-x}) + 4e^{-x}}{1-2e^{-x}} d x$.
$I = \int \left( 1 + \frac{4e^{-x}}{1-2e^{-x}} \right) d x$.
$I = \int 1 d x + 2 \int \frac{2e^{-x}}{1-2e^{-x}} d x$.
ધારો કે $u = 1-2e^{-x}$,તો $du = 2e^{-x} d x$.
$I = x + 2 \int \frac{1}{u} du = x + 2 \ln|u| + c$.
$u$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $I = x + 2 \ln|1-2e^{-x}| + c$ મળે છે.