MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)$ का कोणीय संवेग $(L)$ और जड़त्व आघूर्ण $(I)$ के साथ संबंध इस प्रकार है: $KE = \frac{L^2}{2I}$।
चूंकि घूर्णन गतिज ऊर्जा समान है $(KE_1 = KE_2)$:
$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$
दिए गए मान $I_1 = I$ और $I_2 = 2I$ रखने पर:
$\frac{L_1^2}{2I} = \frac{L_2^2}{2(2I)}$
$\frac{L_1^2}{I} = \frac{L_2^2}{2I}$
$\frac{L_1^2}{L_2^2} = \frac{I}{2I} = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,उनके कोणीय संवेग का अनुपात $1:\sqrt{2}$ है।

(D) माध्य स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है और गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है। चूंकि द्रव्यमान $m$ को रखते समय निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है,इसलिए रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि माध्य स्थिति पर द्रव्यमान $M$ का वेग $v_1$ है,और $m$ को रखने के तुरंत बाद संयुक्त द्रव्यमान $(M+m)$ का वेग $v_2$ है।
संवेग संरक्षण: $M v_1 = (M + m) v_2$.
$S.H.M.$ में अधिकतम वेग $v_{max} = A \omega = A \sqrt{\frac{k}{m_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले मामले के लिए: $v_1 = A_1 \sqrt{\frac{k}{M}}$.
दूसरे मामले के लिए: $v_2 = A_2 \sqrt{\frac{k}{M+m}}$.
इन मानों को संवेग समीकरण में रखने पर:
$M \left( A_1 \sqrt{\frac{k}{M}} \right) = (M + m) \left( A_2 \sqrt{\frac{k}{M+m}} \right)$.
$A_1 \sqrt{M k} = A_2 \sqrt{(M+m) k}$.
$A_1 \sqrt{M} = A_2 \sqrt{M+m}$.
इसलिए,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{M+m}{M}} = \left( \frac{M+m}{M} \right)^{\frac{1}{2}}$.

(D) मान लीजिए $x_{1}$ और $x_{2}$ द्रव्यमान केंद्र से $m_{1}$ और $m_{2}$ द्रव्यमान की दूरियाँ हैं।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$m_{1}x_{1} = m_{2}x_{2}$ होता है।
जब पहले कण को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक स्थानांतरित किया जाता है,तो उसकी नई दूरी $(x_{1} - d)$ हो जाती है।
मान लीजिए कि द्रव्यमान केंद्र को अपरिवर्तित रखने के लिए दूसरे कण को $D$ दूरी तक स्थानांतरित किया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थिति में बनाए रखने के लिए,नई दूरियों को $m_{1}(x_{1} - d) = m_{2}(x_{2} - D)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
इसका विस्तार करने पर,हमें $m_{1}x_{1} - m_{1}d = m_{2}x_{2} - m_{2}D$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m_{1}x_{1} = m_{2}x_{2}$ है,इसलिए समीकरण $-m_{1}d = -m_{2}D$ में सरल हो जाता है।
अतः,$D = \frac{m_{1}}{m_{2}} d$ है।
चूंकि पहला कण द्रव्यमान केंद्र की ओर चला गया है,इसलिए संतुलन बनाए रखने के लिए दूसरे कण को द्रव्यमान केंद्र से दूर जाना होगा।

(A)
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, टक्कर से पहले का कुल संवेग और टक्कर के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v$
यहाँ $m_1 = 2 \,kg$, $u_1 = 10 \,ms^{-1}$, $m_2 = 3 \,kg$, और $u_2 = 0 \,ms^{-1}$ दिया गया है।
$2 \times 10 + 3 \times 0 = (2 + 3)v$
$20 = 5v \implies v = 4 \,ms^{-1}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i) = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 = 100 \,J$
अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f) = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \,J$
गतिज ऊर्जा में हानि $= K_i - K_f = 100 \,J - 40 \,J = 60 \,J$

(B) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और निकट आने के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,गतिज ऊर्जा और संवेग संरक्षित रहते हैं।
ऐसी टक्कर में,पृथक्करण का सापेक्ष वेग,निकट आने के सापेक्ष वेग के बराबर होता है।
इसलिए,$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$।

(A) जब गेंद को $h$ ऊँचाई से छोड़ा जाता है,तो जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ होता है।
चूँकि टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है,गेंद समान चाल $v = \sqrt{2gh}$ से वापस उछलती है और समान ऊँचाई $h$ तक पहुँचती है।
एक पूर्ण दोलन (ऊपर और नीचे) के लिए कुल आवर्तकाल $T = 2t = 2 \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
आवृत्ति $f$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम है: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{2h}{g}}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{2h}}$.

(C) दीवार पर लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
प्रति सेकंड $N$ गेंदों का प्रारंभिक संवेग = $Nmu \hat{i}$।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,गेंदें समान गति के साथ विपरीत दिशा में वापस लौटती हैं।
प्रति सेकंड $N$ गेंदों का अंतिम संवेग = $-Nmu \hat{i}$।
प्रति सेकंड संवेग में परिवर्तन = $\text{अंतिम संवेग} - \text{प्रारंभिक संवेग} = -Nmu \hat{i} - (Nmu \hat{i}) = -2Nmu \hat{i}$।
संवेग परिवर्तन का परिमाण $2Nmu$ है।
चूंकि बल संवेग परिवर्तन की दर है,$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2Nmu}{1} = 2Nmu \ N$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि प्रत्येक ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है।
पहले ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $3 \vec{V}$ है और दूसरे ब्लॉक का वेग $0$ है।
टक्कर के बाद,दोनों ब्लॉक आपस में चिपक जाते हैं और एक उभयनिष्ठ वेग $V_{c}$ से गति करते हैं।
संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$m(3 \vec{V}) + m(0) = (m + m) V_{c}$
$3 m \vec{V} = 2 m V_{c}$
$V_{c} = \frac{3 m \vec{V}}{2 m} = \frac{3}{2} \vec{V}$

(A) दिया गया है: ऊँचाई $h = 20 \,m$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$, और प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.4$ है।
सबसे पहले, गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करके जमीन से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग $v$ ज्ञात करते हैं (जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है):
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \,m/s$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के वेग (उछाल वेग $v'$) और दृष्टिकोण के वेग (टकराव वेग $v$) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v'}{v}$.
अतः, ऊपर की ओर उछाल का वेग $v'$ होगा:
$v' = e \times v = 0.4 \times 20 = 8 \,m/s$.

(D) प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = m$,प्रारंभिक वेग $u_1 = 3 \ m/s$ है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m_2 = 2m$,प्रारंभिक वेग $u_2 = 0 \ m/s$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग = कुल अंतिम संवेग।
$P_i = m_1 u_1 + m_2 u_2 = m(3) + 2m(0) = 3m$ है।
टक्कर के बाद,पिंड जुड़ जाते हैं,इसलिए अंतिम द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = m + 2m = 3m$ है।
माना अंतिम वेग $V$ है।
$P_f = (m_1 + m_2)V = 3mV$ है।
$P_i = P_f$ रखने पर:
$3m = 3mV$ है।
$V = 1 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: गोली का द्रव्यमान $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$. प्रारंभिक वेग $u = 200 \,m/s$. अंतिम वेग $v = 0 \,m/s$. लिया गया समय $\Delta t = \frac{1}{50} \,s = 0.02 \,s$.
आवेग $(J)$ संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है:
$J = \Delta p = m(v - u)$
$J = 0.02 \,kg \times (0 - 200) \,m/s = -4 \,kg \cdot m/s$.
आवेग का परिमाण $4 \,Ns$ है।
औसत बल $(F_{avg})$ संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है:
$F_{avg} = \frac{J}{\Delta t} = \frac{4 \,Ns}{0.02 \,s} = 200 \,N$.
अतः,आवेग $4 \,Ns$ है और औसत बल $200 \,N$ है।

(A) $1$. सिरे $B$ पर लगाया गया आवेग $P$ रैखिक संवेग $P = mv_{cm}$ प्रदान करता है,जहाँ $v_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है। अतः,$v_{cm} = \frac{P}{m}$.
$2$. यह आवेग द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय आवेग भी प्रदान करता है: $J_{\theta} = P \cdot \frac{\ell}{2}$.
$3$. चूँकि $J_{\theta} = I\omega$,जहाँ $I = \frac{m\ell^2}{12}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है,इसलिए $\frac{P\ell}{2} = \frac{m\ell^2}{12} \omega$.
$4$. कोणीय वेग $\omega$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega = \frac{6P}{m\ell}$ प्राप्त होता है।
$5$. $\theta = \frac{\pi}{2}$ कोण पर घूमने में लगा समय $t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\pi/2}{6P/m\ell} = \frac{\pi m \ell}{12P}$ है।

(A) किसी वस्तु को दिया गया आवेग उसके रैखिक संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
मान लीजिए गेंद का प्रारंभिक वेग $u = 6 \ m/s$ (बल्लेबाज की ओर) है।
हिट होने के बाद,गेंद समान गति के साथ गेंदबाज की ओर बढ़ती है,इसलिए अंतिम वेग $v = -6 \ m/s$ है।
गेंद का द्रव्यमान $m = 0.2 \ kg$ है।
आवेग $J = \Delta p = m(v - u)$।
$J = 0.2 \times (-6 - 6) = 0.2 \times (-12) = -2.4 \ Ns$।
गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण $2.4 \ Ns$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि पिंड प्रारंभ में स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है।
$P_{i} = 0$
विस्फोट के बाद,दोनों भाग विपरीत दिशाओं में गति करते हैं। मान लीजिए वेग $v_{1}$ और $v_{2}$ हैं।
$P_{f} = M_{1}v_{1} - M_{2}v_{2} = 0$
$M_{1}v_{1} = M_{2}v_{2}$
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{M_{2}}{M_{1}}$
पिंड की गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^{2}}{2M}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि संवेग के परिमाण समान हैं $(p_{1} = p_{2} = p)$,
$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{p^{2} / (2M_{1})}{p^{2} / (2M_{2})} = \frac{M_{2}}{M_{1}}$
अतः,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{M_{2}}{M_{1}}$ है।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,तो कुल संवेग स्थिर रहता है।
निकाय का प्रारंभिक संवेग = गोली का संवेग + गुटके का संवेग = $mv + M(0) = mv$.
टक्कर के बाद,गोली गुटके के अंदर धंस जाती है,इसलिए वे $(m+M)$ द्रव्यमान के एक निकाय के रूप में अंतिम वेग $V$ के साथ गति करते हैं।
निकाय का अंतिम संवेग = $(m+M)V$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$mv = (m+M)V$
$V = \frac{mv}{m+M}$.

(D) रॉकेट की गति रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है। जैसे-जैसे ईंधन जलता है,रॉकेट गर्म गैसों को उच्च गति से नीचे की दिशा में बाहर निकालता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,गैसें रॉकेट पर समान और विपरीत बल लगाती हैं,जिससे आवश्यक प्रणोद (thrust) प्राप्त होता है। चूंकि निकाय (रॉकेट + ईंधन) पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।

(A) वायुमंडल में जलवाष्प केवल इसकी सबसे निचली परत,यानी क्षोभमंडल (Troposphere) तक ही सीमित है।
यही कारण है कि सभी मौसमी घटनाएं,जैसे बादलों का बनना,बारिश और तूफान,केवल इसी परत में होती हैं।

(A) प्रकृति में चार मूलभूत बल होते हैं: गुरुत्वाकर्षण,विद्युतचुंबकीय,प्रबल नाभिकीय और दुर्बल नाभिकीय बल।
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल की परास अनंत होती है,इसलिए यह अधिकतम परास वाला बल है।
$2$. दुर्बल नाभिकीय बल की परास बहुत कम होती है,जो लगभग $10^{-16} \ m$ है,इसलिए यह न्यूनतम परास वाला बल है।
अतः,सही क्रम गुरुत्वाकर्षण बल (अधिकतम) और दुर्बल नाभिकीय बल (न्यूनतम) है।

(C) हम जानते हैं कि गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M = \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)$ होता है,हम इसे गुरुत्वाकर्षण के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \rho \frac{4}{3} \pi R^3 \right) = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
यह दर्शाता है कि $g \propto \rho R$.
दिया गया है कि $g_m = \frac{1}{6} g_e$ और घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_e}{\rho_m} = \frac{5}{3}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\rho_m}{\rho_e} = \frac{3}{5}$.
समानुपातिकता $g \propto \rho R$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{\rho_m R_m}{\rho_e R_e}$
$\frac{1}{6} = \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{R_m}{R_e} \right)$
$\frac{R_m}{R_e} = \frac{1}{6} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{18}$
अतः,$R_m = \frac{5}{18} R_e$.

(D) किसी अक्षांश $\phi$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g_{\phi} = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$,जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
भूमध्य रेखा पर,$\phi = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$,जिससे $g_{eq} = g - \omega^2 R$ (न्यूनतम मान) प्राप्त होता है।
ध्रुवों पर,$\phi = 90^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 90^{\circ} = 0$,जिससे $g_{pole} = g$ (अधिकतम मान) प्राप्त होता है।
इसके अतिरिक्त,पृथ्वी एक चपटा गोला है,जिसका अर्थ है कि भूमध्य रेखा पर त्रिज्या ध्रुवों की त्रिज्या से अधिक है $(R_{eq} > R_{pole})$।
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,ध्रुवों पर कम त्रिज्या के कारण $g$ का मान अधिक होता है।
इसलिए,जैसे-जैसे हम भूमध्य रेखा से ध्रुवों की ओर बढ़ते हैं,गुरुत्वीय त्वरण का मान बढ़ता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
सतह से '$h$' ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण '$g_h$' का सूत्र $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ है।
दिया गया है कि $g_h = \frac{g}{3}$,इसलिए:
$\frac{g}{3} = \frac{GM}{(R+h)^2}$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{3} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{GM}{(R+h)^2}$.
$\frac{1}{3R^2} = \frac{1}{(R+h)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}R} = \frac{1}{R+h}$.
$R+h = \sqrt{3}R$.
$h = \sqrt{3}R - R$.
$h = R(\sqrt{3}-1)$.

(A) माना पृथ्वी का द्रव्यमान $M_E$ है और चंद्रमा का द्रव्यमान $M_M$ है। दिया गया है कि $M_E = 81 M_M$ है।
माना पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर एक परीक्षण द्रव्यमान $m$ पर कुल गुरुत्वाकर्षण बल शून्य है।
इस बिंदु पर,पृथ्वी द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण खिंचाव और चंद्रमा द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण खिंचाव परिमाण में बराबर होना चाहिए।
$\frac{G M_E}{x^2} = \frac{G M_M}{(R - x)^2}$
$M_E = 81 M_M$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{G (81 M_M)}{x^2} = \frac{G M_M}{(R - x)^2}$
$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(R - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{9}{x} = \frac{1}{R - x}$
$9(R - x) = x$
$9R - 9x = x$
$9R = 10x$
$x = \frac{9}{10} R$

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह पर कुल ऊर्जा अनंत पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2} m(2 v_e)^2 - \frac{G M m}{R} = 2 m v_e^2 - m v_e^2 = m v_e^2$ (चूंकि $v_e^2 = \frac{2 G M}{R}$)।
अनंत पर अंतिम ऊर्जा: $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} m v^2 + 0$।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$m v_e^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 v_e^2$
$v = \sqrt{2} v_e$ ऊर्जा संतुलन दृष्टिकोण के अनुसार है। यदि हम दी गई गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m (2 v_e)^2 = 2 m v_e^2$ लेते हैं और पलायन के लिए आवश्यक ऊर्जा $K_{req} = \frac{1}{2} m v_e^2$ घटाते हैं,तो अनंत पर शेष गतिज ऊर्जा $K_f = 2 m v_e^2 - 0.5 m v_e^2 = 1.5 m v_e^2$ होगी।
अतः,$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{3}{2} m v_e^2$,जिससे $v^2 = 3 v_e^2$ प्राप्त होता है,यानी $v = \sqrt{3} v_e$।

(B) उपग्रह की बंधन ऊर्जा $(BE)$ को कुल यांत्रिक ऊर्जा $(E)$ के ऋणात्मक मान के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$BE = -E = - (K.E. + P.E.) = - (\frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r}) = \frac{GMm}{2r}$.
उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = -\frac{GMm}{r}$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हम देख सकते हैं कि $P.E. = -2 \times BE$.
दिया गया है कि $BE = 3.5 \times 10^{8} \,J$.
इसलिए, $P.E. = -2 \times (3.5 \times 10^{8} \,J) = -7.0 \times 10^{8} \,J$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह से पलायन वेग का सूत्र $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी के लिए,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
नए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M^{\prime} = 3M$ और त्रिज्या $R^{\prime} = 3R$ है।
इस ग्रह के लिए पलायन वेग $V_{e}^{\prime} = \sqrt{\frac{2G(3M)}{3R}}$ होगा।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $V_{e}^{\prime} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = V_{e}$ प्राप्त होता है।
अतः,पलायन वेग समान ही रहेगा।

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R}$
ऊँचाई $h$ पर अंतिम ऊर्जा: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{1}{2}V^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$
चूँकि $GM = gR^2$:
$\frac{1}{2}V^2 = gR^2 \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = gR \left( \frac{h}{R+h} \right)$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
$V^2(R+h) = 2gRh$
$V^2R + V^2h = 2gRh$
$V^2R = h(2gR - V^2)$
$h = \frac{V^2R}{2gR - V^2}$

(A) पलायन वेग का सूत्र $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ होता है।
पृथ्वी के लिए,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M' = 6M$ और त्रिज्या $R' = 2R$ है।
अतः,इस ग्रह के लिए पलायन वेग $V_{e}'$ होगा:
$V_{e}' = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} V_{e}$.

(B) $M$ द्रव्यमान की वस्तु की पृथ्वी के केंद्र से $r/3$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$,पृथ्वी और चंद्रमा के कारण उत्पन्न विभव का योग है:
$U = -\frac{G M_{1} M}{r/3} - \frac{G M_{2} M}{2r/3} = -\frac{3 G M_{1} M}{r} - \frac{3 G M_{2} M}{2r} = -\frac{3 G M}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$.
अनंत तक पलायन करने के लिए,कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए। अतः,आवश्यक गतिज ऊर्जा $K$,स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए:
$K = \frac{1}{2} M V^{2} = |U| = \frac{3 G M}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$.
$V$ के लिए हल करने पर:
$V^{2} = \frac{6 G}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$,
$V = \left[ \frac{6 G}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस मान को पलायन वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v_{e} = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^{2} \rho}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $v_{e} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{8}{3}$,$G$,और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{e} \propto R \sqrt{\rho}$ होगा।

(B) पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि प्रक्षेपण वेग $v = \frac{1}{3} v_e = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$TE_{\text{surface}} = TE_{\text{height } h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$v^2 = \frac{1}{9} \times \frac{2GM}{R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left( \frac{2GM}{9R} \right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{8GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8}$

(A) उपग्रह के पृथ्वी के चारों ओर घूमने के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$m r \omega^{2} = \frac{G M m}{r^{2}}$
यहाँ,$r$ कक्षीय त्रिज्या है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $\omega$ कोणीय वेग है।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $r^{3} = \frac{G M}{\omega^{2}}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M}{R^{2}}$ है,जिसका अर्थ है कि $G M = g R^{2}$।
$r^{3}$ के व्यंजक में $G M$ का मान रखने पर,हमें $r^{3} = \frac{g R^{2}}{\omega^{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,कक्षा की त्रिज्या $r = \left(\frac{g R^{2}}{\omega^{2}}\right)^{1 / 3}$ है।

(B) पृथ्वी के चारों ओर '$r$' दूरी पर घूम रहे उपग्रह का क्रांतिक वेग (कक्षीय वेग) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
जहाँ '$G$' गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और '$M$' पृथ्वी का द्रव्यमान है।
'$R$' त्रिज्या वाले उपग्रह '$A$' के लिए:
$v_{A} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
'$2R$' त्रिज्या वाले उपग्रह '$B$' के लिए:
$v_{B} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$
दोनों वेगों का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{R}}}{\sqrt{\frac{GM}{2R}}} = \sqrt{\frac{GM}{R} \times \frac{2R}{GM}} = \sqrt{2}$
अतः,अनुपात $\frac{v_{A}}{v_{B}}$ का मान $\sqrt{2}: 1$ है।

(C) उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
परिक्रमण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ है।
परिक्रमण की आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$ है।
जैसा कि देखा जा सकता है,आवृत्ति '$f$' केवल पृथ्वी के द्रव्यमान '$M$' और कक्षा की त्रिज्या '$r$' पर निर्भर करती है।
यह उपग्रह के द्रव्यमान '$m$' से स्वतंत्र है।
इसलिए,उनकी आवृत्तियों का अनुपात $1:1$ होगा।

(A) ग्रह के चारों ओर परिक्रमा करने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ कक्षीय त्रिज्या है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ ग्रह का द्रव्यमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ केवल ग्रह के द्रव्यमान $M$ और कक्षीय त्रिज्या $r$ पर निर्भर करता है।
यह उपग्रह के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,परिक्रमण काल उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।

(D) उपग्रह को पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है:
$U = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm [\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}] = \frac{GMmh}{R(R+h)}$
उपग्रह को $h$ ऊँचाई पर कक्षा में स्थापित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा वृत्तीय गति के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा है:
$K = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{R+h}) = \frac{GMm}{2(R+h)}$
उपग्रह को ऊँचाई तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा और कक्षा में स्थापित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{U}{K} = \frac{GMmh}{R(R+h)} \times \frac{2(R+h)}{GMm} = \frac{2h}{R}$

(D) $m$ द्रव्यमान के उपग्रह की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{GMm}{2r}$ होता है।
यहाँ,$r = R + h$,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ सतह से ऊँचाई है।
उपग्रह '$A$' के लिए,$h_A = 2R$,इसलिए $r_A = R + 2R = 3R$ है।
उपग्रह '$B$' के लिए,$h_B = 3R$,इसलिए $r_B = R + 3R = 4R$ है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_A}{K_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{4R}{3R} = \frac{4}{3}$ होगा।

(D) पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा कर रहे उपग्रह का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ कक्षा की त्रिज्या है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
चूंकि दोनों उपग्रह एक ही कक्षा में परिक्रमा कर रहे हैं,इसलिए उनकी कक्षा की त्रिज्या $r$ समान है।
चूंकि $T$ केवल कक्षा की त्रिज्या $r$ और पृथ्वी के द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करता है,न कि उपग्रह के द्रव्यमान $m$ पर,इसलिए दोनों उपग्रहों का आवर्तकाल समान होगा।
अतः,सही कथन यह है कि उनका आवर्तकाल समान है।

(A) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B,$ और $C$ हैं। मान लीजिए कि $m_{2}$ द्रव्यमान को भुजा $BC$ के मध्य बिंदु $D$ पर रखा गया है।
$B$ और $C$ पर स्थित $m_{1}$ द्रव्यमानों के कारण $m_{2}$ पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
बिंदु $D$ की शीर्ष $A$ से दूरी समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है।
समकोण त्रिभुज $ABD$ में,कर्ण $AB = \frac{L}{3}$ और $\angle BAD = 30^{\circ}$ है।
अतः,$h = AB \cos 30^{\circ} = \frac{L}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.
$m_{2}$ पर लगने वाला कुल बल $A$ पर स्थित $m_{1}$ द्रव्यमान के कारण लगने वाला बल है:
$F = G \frac{m_{1} m_{2}}{h^{2}} = G \frac{m_{1} m_{2}}{\left(\frac{L}{2\sqrt{3}}\right)^{2}} = G \frac{m_{1} m_{2}}{\frac{L^{2}}{12}} = \frac{12 G m_{1} m_{2}}{L^{2}}$.

(B) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बचने के लिए आवश्यक न्यूनतम गतिज ऊर्जा $K_e = \frac{GMm}{R}$ है।
दिया गया है कि प्रक्षेपण गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} K_e = \frac{GMm}{2R}$ है।
उच्चतम बिंदु पर पिंड का वेग शून्य हो जाता है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा शून्य होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गतिज ऊर्जा में कमी = स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि:
$K = U_f - U_i$
$\frac{GMm}{2R} = \left( -\frac{GMm}{R+h} \right) - \left( -\frac{GMm}{R} \right)$
$\frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{R+h}$
दोनों पक्षों को $GMm$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2R} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1}{R+h} = \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} = \frac{1}{2R}$
$R+h = 2R$
$h = R$.

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$ है।
दिया गया है कि $W = \frac{Q}{3}$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = Q - W = Q - \frac{Q}{3} = \frac{2}{3} Q$ होगा।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ होता है। चूंकि $n = 1$,इसलिए $\Delta U = C_v \Delta T = \frac{5}{2} R \Delta T$।
$\Delta U$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{2}{3} Q = \frac{5}{2} R \Delta T$,जिसका अर्थ है $Q = \frac{15}{4} R \Delta T$।
मोलर ऊष्मा धारिता $C$ को $C = \frac{Q}{n \Delta T}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$n = 1$ और $Q = \frac{15}{4} R \Delta T$ का मान रखने पर,हमें $C = \frac{\frac{15}{4} R \Delta T}{1 \cdot \Delta T} = \frac{15 R}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v} = \frac{n R}{2}$ द्वारा दी जाती है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{p} = C_{v} + R$ द्वारा दी जाती है।
$C_{v}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_{p} = \frac{n R}{2} + R = R \left(1 + \frac{n}{2}\right)$।
अनुपात $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\gamma = \frac{R \left(1 + \frac{n}{2}\right)}{\frac{n R}{2}} = \frac{\frac{2+n}{2}}{\frac{n}{2}} = \frac{2+n}{n} = 1 + \frac{2}{n}$।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_m = 3$ है। अतः,$\gamma_m = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ है।
दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_d = 5$ है। अतः,$\gamma_d = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ है।
$\gamma_d$ और $\gamma_m$ का अनुपात $\frac{\gamma_d}{\gamma_m} = \frac{7/5}{5/3} = \frac{7}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{21}{25}$ होगा।

(B) दिया गया है,$\frac{R}{C_{V}} = 0.4$।
मेयर के संबंध से,$C_{P} - C_{V} = R$,इसलिए $C_{P} = C_{V} + R$।
$R = 0.4 C_{V}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C_{P} = C_{V} + 0.4 C_{V} = 1.4 C_{V}$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma$ को $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,$\gamma = \frac{1.4 C_{V}}{C_{V}} = 1.4$।
एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$ है।
अतः,गैस दृढ़ द्विपरमाणुक अणुओं से बनी है।

(C) दिया गया है: $\frac{R}{C_{v}} = 0.67$।
हम जानते हैं कि गैस नियतांक $R = C_{p} - C_{v}$ होता है।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\frac{C_{p} - C_{v}}{C_{v}} = 0.67$।
$\frac{C_{p}}{C_{v}} - 1 = 0.67$।
चूंकि एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ है,इसलिए $\gamma - 1 = 0.67$,जिसका अर्थ है $\gamma = 1.67$।
एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है,इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = 1 + 0.666... \approx 1.67$।
अतः,यह गैस एक-परमाणुक है।

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ होता है।
यहाँ,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ तापमान है।
हम जानते हैं कि मोलों की संख्या $n = \frac{N}{N_A}$ होती है,जहाँ $N$ अणुओं की कुल संख्या है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
इस मान को आदर्श गैस समीकरण में रखने पर: $PV = \left(\frac{N}{N_A}\right) RT$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $PV = N \left(\frac{R}{N_A}\right) T$ प्राप्त होता है।
चूंकि बोल्ट्ज़मैन नियतांक $k = \frac{R}{N_A}$ होता है,इसलिए समीकरण $PV = NkT$ बन जाता है।
अतः,$\frac{PV}{kT} = N$,जो गैस के अणुओं की कुल संख्या को दर्शाता है।

(C) प्रारंभ में,प्रत्येक गैस का दाब $P$ और आयतन $V$ है। जब उन्हें मिलाया जाता है,तो मिश्रण का कुल आयतन $V_{1} = V + V = 2V$ होता है।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$।
मिश्रण का प्रारंभिक दाब $P_{1}$,$P$ है (क्योंकि प्रत्येक गैस का दाब $P$ है और वे समान तापमान और आयतन पर हैं)।
अंतिम आयतन $V_{2} = \frac{V}{2}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $P \times (2V) = P_{2} \times (\frac{V}{2})$।
$P_{2}$ के लिए हल करने पर: $P_{2} = \frac{P \times 2V}{V/2} = 4P$।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है। चूंकि अणुओं की संख्या $N$ मोलों की संख्या के समानुपाती होती है $(N = nN_A)$,इसलिए अणुओं की संख्या का अनुपात मोलों की संख्या के अनुपात के बराबर होता है।
पहले नमूने के लिए: $P_1 = P, V_1 = V, T_1 = T$. अतः,$n_1 = \frac{PV}{RT}$.
दूसरे नमूने के लिए: $P_2 = 2P, V_2 = V/4, T_2 = 2T$. अतः,$n_2 = \frac{(2P)(V/4)}{R(2T)} = \frac{PV/2}{2RT} = \frac{PV}{4RT}$.
अणुओं की संख्या का अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{PV/RT}{PV/4RT} = \frac{1}{1/4} = 4:1$ है।

(C) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल (r.m.s.) वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
समतापीय प्रक्रिया में,गैस का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि $v_{rms}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है (यह मानते हुए कि गैस का संगठन $M$ स्थिर रहता है),यदि $T$ स्थिर है,तो $v_{rms}$ भी स्थिर रहना चाहिए।
इसलिए,जब किसी गैस को समतापीय रूप से संपीड़ित किया जाता है,तो उसके अणुओं का r.m.s. वेग समान रहता है।

(B) गैस अणु का रूट मीन स्क्वायर ($R$.$M$.$S$.) वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि हाइड्रोजन $(H_2)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ के $R$.$M$.$S$. वेग समान हैं,इसलिए $v_{H} = v_{O}$।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर: $\frac{T_H}{M_H} = \frac{T_O}{M_O}$।
यहाँ $T_O = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$,$M_H = 2$,और $M_O = 32$ है।
$T_H$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $T_H = T_O \times \frac{M_H}{M_O}$।
मान रखने पर: $T_H = 320 \times \frac{2}{32} = 320 \times \frac{1}{16} = 20 \ K$।

(A) गैस के अणु का $r.m.s.$ वेग $C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $C \propto \sqrt{T}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ दिया गया है।
अंतिम तापमान $T_{2} = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$ दिया गया है।
वेगों का अनुपात $\frac{C_{2}}{C_{1}} = \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{C_{2}}{C_{1}} = \sqrt{\frac{600}{300}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(D) रिडबर्ग सूत्र के अनुसार:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$
पहली स्थिति में,इलेक्ट्रॉन तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 4)$ से दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_f = 3)$ में कूदता है:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7}{144} R$ .... $(i)$
दूसरी स्थिति में,इलेक्ट्रॉन दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 3)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n_f = 2)$ में कूदता है:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9 - 4}{36} \right] = \frac{5}{36} R$ .... $(ii)$
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{1}{\lambda_1}$ को $\frac{1}{\lambda_2}$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\frac{5}{36} R}{\frac{7}{144} R} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$
अतः,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{20}{7}$ है।

(B) $LR$ परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
जब एक संधारित्र को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ $LCR$ परिपथ बन जाता है।
$LCR$ परिपथ की नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) है।
यदि परिपथ प्रारंभ में प्रेरणिक $(X_L > X_C)$ था,तो संधारित्र जोड़ने से $X_C$ शामिल हो जाता है,जो $X_L$ के प्रभाव को आंशिक रूप से कम कर देता है,जिससे कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है।
चूंकि धारा $I = \frac{V}{Z}$ होती है,इसलिए प्रतिबाधा $Z$ में कमी होने से परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I$ बढ़ जाती है।

(A) अनुनाद आवृत्ति $f$ पर,प्रेरणिक प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात बराबर होते हैं: $X_L = X_C \implies 2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}$।
जब आवृत्ति को दोगुना करके $f' = 2f$ कर दिया जाता है,तो नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L' = 2\pi(2f)L = 2(2\pi f L) = 2X_L$ होता है।
नया धारितीय प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{2\pi(2f)C} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2\pi f C} \right) = \frac{1}{2} X_C$ होता है।
चूंकि $X_L = X_C$,हम $X_C = X_L$ लिख सकते हैं।
इस मान को $X_C'$ के समीकरण में रखने पर,$X_C' = \frac{1}{2} X_L$ प्राप्त होता है।
चूंकि $X_L = \frac{1}{2} X_L'$,इसलिए $X_C' = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} X_L') = \frac{1}{4} X_L'$ होगा।

(C) परिपथ में $r.m.s.$ धारा $I$ का मान $I = \frac{V}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 220 \ V$ और $Z = 33 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $I = \frac{220}{33} = \frac{20}{3} \ A$ प्राप्त होता है।
$a.c.$ परिपथ में खपत वास्तविक शक्ति $P$ का सूत्र $P = I^2 R$ है।
मान रखने पर,$P = \left(\frac{20}{3}\right)^2 \times 18$.
$P = \frac{400}{9} \times 18 = 400 \times 2 = 800 \ W$.

(C) $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र है: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$।
चूंकि अनुनाद आवृत्ति समान रहती है,इसलिए: $\omega_1 = \omega_2$।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{L_1 C_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}}$,जिसका अर्थ है कि $L_1 C_1 = L_2 C_2$।
यहाँ $L_1 = L$,$C_1 = C$,और $L_2 = 9 L$ दिया गया है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$L \times C = 9 L \times C_2$।
$C_2$ के लिए हल करने पर: $C_2 = \frac{L \times C}{9 L} = \frac{C}{9}$।

(B) दिया गया है: $R=200 \Omega$, $L=663 \text{ mH}$, $C=26.5 \mu F$, $V_{0}=50 \text{ V}$, $X_{L}=250 \Omega$, $X_{C}=100 \Omega$.
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$.
मान रखने पर: $Z = \sqrt{200^{2} + (250 - 100)^{2}} = \sqrt{40000 + 150^{2}}$.
$Z = \sqrt{40000 + 22500} = \sqrt{62500} = 250 \Omega$.
शिखर धारा $i_{0} = \frac{V_{0}}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
$i_{0} = \frac{50}{250} = 0.2 \text{ A}$.

(B) अनुनाद पर, प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है, अर्थात $X_{L} = X_{C}$.
$LCR$ श्रेणी परिपथ में अनुनाद पर, प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है。
इसलिए, परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{0.2 \, V}{4 \, \Omega} = 0.05 \, A$ है。
प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L} = \omega L = \frac{1}{\sqrt{LC}} \times L = \sqrt{\frac{L}{C}}$ होता है。
दिए गए मानों को रखने पर: $X_{L} = \sqrt{\frac{200 \times 10^{-3} \, H}{80 \times 10^{-6} \, F}} = \sqrt{\frac{200000}{80}} = \sqrt{2500} = 50 \, \Omega$.
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप $V_{L} = I \times X_{L}$ होता है。
$V_{L} = 0.05 \, A \times 50 \, \Omega = 2.5 \, V$.

(A) तात्क्षणिक e.m.f. $E = E_{0} \sin \omega t$ द्वारा दिया जाता है।
$AC$ परिपथ में व्यय होने वाली औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक (power factor) है।
यहाँ,$V_{rms} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2} Z}$ है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
अतः,$P = \left( \frac{E_{0}}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_{0}}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_{0}^{2} R}{2 Z^{2}}$.
$LR$ श्रेणी परिपथ के लिए,प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $X_{L} = R$,इसलिए $Z = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = \sqrt{2 R^{2}} = R \sqrt{2}$।
अतः,$Z^{2} = 2 R^{2}$।
शक्ति के समीकरण में $Z^{2}$ का मान रखने पर: $P = \frac{E_{0}^{2} R}{2 (2 R^{2})} = \frac{E_{0}^{2} R}{4 R^{2}} = \frac{E_{0}^{2}}{4 R}$।

(B) कैपेसिटिव रिएक्टेंस $X_{C}$ का सूत्र है: $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि कैपेसिटिव रिएक्टेंस आवृत्ति के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $X_{C} \propto \frac{1}{f}$।
माना प्रारंभिक आवृत्ति $f$ है और प्रारंभिक रिएक्टेंस $X_{C}$ है।
माना नई आवृत्ति $f' = 4f$ है और नया रिएक्टेंस $X_{C}'$ है।
व्युत्क्रमानुपाती संबंध $X_{C} \cdot f = \text{स्थिरांक}$ का उपयोग करने पर:
$X_{C}' \cdot f' = X_{C} \cdot f$
$X_{C}' \cdot (4f) = X_{C} \cdot f$
$X_{C}' = \frac{X_{C}}{4}$।

(B) दिया गया है: शिखर धारा $I_{0} = \frac{2}{\pi} \ A$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$,और अन्योन्य प्रेरण $M = 1 \ H$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (50) = 100 \pi \ rad/s$ है।
प्राथमिक कुंडली में धारा $I = I_{0} \sin(\omega t)$ है।
द्वितीयक कुंडली में प्रेरित e.m.f. $\mathcal{E} = M \frac{dI}{dt}$ है।
समय के सापेक्ष धारा का अवकलन करने पर,$\frac{dI}{dt} = I_{0} \omega \cos(\omega t)$ प्राप्त होता है।
प्रेरित e.m.f. का शिखर मान $\mathcal{E}_{0} = M \cdot I_{0} \cdot \omega$ है।
मान रखने पर: $\mathcal{E}_{0} = 1 \times (\frac{2}{\pi}) \times (100 \pi) = 200 \ V$.

(A) प्रत्यावर्ती e.m.f. के लिए दिया गया समीकरण $e = e_{0} \sin(\omega t)$ है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए समीकरण $e = e_{0} \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$ हो जाता है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $e = \frac{e_{0}}{2}$ हो।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{e_{0}}{2} = e_{0} \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$.
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$.
चूँकि $\sin(30^{\circ}) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{2\pi t}{T} = \frac{\pi}{6}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(D) वृत्ताकार कुंडली बिंदुओं $P$ और $Q$ द्वारा दो भागों में विभाजित है,जिनके प्रतिरोध $R_1 = 30 \Omega$ और $R_2 = 10 \Omega$ हैं। ये दोनों भाग बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{PQ}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{10} = \frac{1+3}{30} = \frac{4}{30}$
$R_{PQ} = \frac{30}{4} = 7.5 \Omega$
आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.5 \Omega$ को मिलाकर परिपथ का कुल प्रतिरोध:
$R_{total} = R_{PQ} + r = 7.5 \Omega + 0.5 \Omega = 8 \Omega$
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में प्रवाहित धारा $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{16 \text{ V}}{8 \Omega} = 2 \text{ A}$

(C) दी गई आवृत्ति $f = 50 \,Hz$ है। आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} = 0.02 \,s$.
शून्य से अधिकतम मान (शिखर) तक पहुँचने में लगा समय आवर्तकाल का एक-चौथाई होता है:
$t = \frac{T}{4} = \frac{0.02}{4} = 0.005 \,s$.
शिखर धारा $I_0 = 14.14 \,A$ है। धारा का आर.एम.एस. (r.m.s.) मान $I_{rms}$ इस प्रकार है:
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{14.14}{1.414} = 10 \,A$.
अतः,लगा समय $0.005 \,s$ है और आर.एम.एस. मान $10 \,A$ है।

(C) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 12 \ \Omega$ और प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 5 \ \Omega$.
$L-R$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होता है।
मान रखने पर: $Z = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \ \Omega$.
धारा और विभवांतर के बीच कलान्तर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ है।
अतः,$\tan \phi = \frac{5}{12}$,जिसका अर्थ है $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.
वैकल्पिक रूप से,$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{12}{13}$ का उपयोग करने पर,हमें $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से,विकल्प $C$ सबसे सटीक है।

(A) समानांतर अनुनादी परिपथ में,धारिता प्रतिघात $(X_{C})$ और प्रेरणिक प्रतिघात $(X_{L})$ समान होते हैं $(X_{L} = X_{C})$।
चूंकि प्रेरक और संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए उनके सिरों पर वोल्टेज समान होता है।
अतः,धाराओं के परिमाण समान होते हैं: $i_{L} = i_{C} = \frac{e}{X_{L}} = \frac{e}{X_{C}}$।
हालाँकि,प्रेरक से बहने वाली धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ पीछे होती है,और संधारित्र से बहने वाली धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे होती है।
इस प्रकार,धाराएँ $i_{L}$ और $i_{C}$ एक-दूसरे से $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होती हैं।
परिपथ में कुल धारा $i$,$i_{L}$ और $i_{C}$ का फेजर योग है,जो $i = |i_{L} - i_{C}| = 0$ होता है।
अतः,सही स्थिति $i = 0$ और $i_{L} = i_{C} \neq 0$ है।

(A) दिया गया है कि,प्राथमिक वाइंडिंग में फेरों की संख्या,$N_{p} = 300$.
द्वितीयक वाइंडिंग में फेरों की संख्या,$N_{s} = 450$.
प्राथमिक वोल्टेज,$V_{p} = 150 \ V$.
प्राथमिक धारा,$I_{p} = 9 \ A$.
ट्रांसफार्मर के लिए,वोल्टेज और फेरों के बीच संबंध $\frac{V_{s}}{V_{p}} = \frac{N_{s}}{N_{p}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{V_{s}}{150} = \frac{450}{300}$.
$\Rightarrow V_{s} = \frac{450}{300} \times 150 = 1.5 \times 150 = 225 \ V$.
एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,पावर इनपुट = पावर आउटपुट: $V_{p} I_{p} = V_{s} I_{s}$.
मान रखने पर: $150 \times 9 = 225 \times I_{s}$.
$\Rightarrow I_{s} = \frac{1350}{225} = 6.0 \ A$.
अतः,द्वितीयक धारा $6.0 \ A$ है और द्वितीयक वोल्टेज $225 \ V$ है।

(D) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
तीसरी कक्षा से दूसरी कक्षा में संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
चौथी कक्षा से तीसरी कक्षा में संक्रमण के लिए,मान लीजिए तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
अब,दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5R/36}{7R/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.
अतः,$\lambda' = \frac{20}{7} \lambda$.

(A) वृत्तीय धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के लिए,समतुल्य धारा $I = ef = e \left( \frac{v}{2 \pi r} \right) = \frac{ev}{2 \pi r}$ है।
इसे चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर: $B = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi r^{2}}$।
हाइड्रोजन परमाणु की ग्राउंड स्टेट के लिए,वेग $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h}$ और त्रिज्या $r = \frac{h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$ है।
$v$ और $r$ के मानों को $B$ के व्यंजक में रखने पर:
$B = \frac{\mu_{0} e}{4 \pi r^{2}} \left( \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} \right) = \frac{\mu_{0} e^{3}}{8 \pi \epsilon_{0} h r^{2}}$।
अब,$r = \frac{h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$ रखने पर:
$B = \frac{\mu_{0} e^{3}}{8 \pi \epsilon_{0} h} \left( \frac{\pi m e^{2}}{h^{2} \epsilon_{0}} \right)^{2} = \frac{\mu_{0} e^{3}}{8 \pi \epsilon_{0} h} \cdot \frac{\pi^{2} m^{2} e^{4}}{h^{4} \epsilon_{0}^{2}} = \frac{\mu_{0} \pi m^{2} e^{7}}{8 \epsilon_{0}^{3} h^{5}}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की लाइमन श्रेणी मूल अवस्था $(n_f = 1)$ पर समाप्त होने वाले संक्रमणों के अनुरूप है,जिसके परिणामस्वरूप पराबैंगनी क्षेत्र में फोटॉन का उत्सर्जन होता है।
बामर श्रेणी दृश्य क्षेत्र में स्थित है।
पाश्चन,ब्रेकेट और फंड श्रेणियां अवरक्त (infrared) क्षेत्र में स्थित हैं।

(B) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_{1} = 2$. श्रेणी सीमा $n_{2} = \infty$ पर प्राप्त होती है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{1}} = R \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = \frac{R}{4}$,जिसका अर्थ है $\lambda_{1} = \frac{4}{R}$।
ब्रैकेट श्रेणी के लिए,$n_{1} = 4$. सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य $n_{2} = 5$ पर प्राप्त होती है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{2}} = R \left( \frac{1}{4^{2}} - \frac{1}{5^{2}} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25 - 16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$।
इसका अर्थ है $\lambda_{2} = \frac{400}{9R}$।
अब,अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{4}{R} \times \frac{9R}{400} = \frac{36}{400} = 0.09$।
अतः,$\lambda_{1} = 0.09 \lambda_{2}$।

(A) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,और $\lambda$ तरंग दैर्ध्य है।
इस संबंध से,हमारे पास $E \propto \frac{1}{\lambda}$ है।
इसका अर्थ है कि अधिकतम तरंग दैर्ध्य के विकिरण के उत्सर्जन के लिए,ऊर्जा का अंतर $(E)$ न्यूनतम होना चाहिए।
न्यूनतम तरंग दैर्ध्य के विकिरण के उत्सर्जन के लिए,ऊर्जा का अंतर $(E)$ अधिकतम होना चाहिए।
आइए दिए गए संक्रमणों के लिए ऊर्जा अंतर की गणना करें:
संक्रमण $A$: $\Delta E = 0 - (-2) = 2 \text{ eV}$ (न्यूनतम ऊर्जा अंतर)
संक्रमण $B$: $\Delta E = 0 - (-4.5) = 4.5 \text{ eV}$
संक्रमण $C$: $\Delta E = -2 - (-4.5) = 2.5 \text{ eV}$
संक्रमण $D$: $\Delta E = -2 - (-10) = 8 \text{ eV}$ (अधिकतम ऊर्जा अंतर)
चूंकि संक्रमण $A$ में ऊर्जा का अंतर न्यूनतम है,इसलिए यह अधिकतम तरंग दैर्ध्य के अनुरूप है।
चूंकि संक्रमण $D$ में ऊर्जा का अंतर अधिकतम है,इसलिए यह न्यूनतम तरंग दैर्ध्य के अनुरूप है।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तरंग दैर्ध्य के लिए संक्रमण क्रमशः $A$ और $D$ हैं।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
दिए गए समीकरण $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n_1 = 4$ प्राप्त होता है।
$n_1 = 4$ के अनुरूप स्पेक्ट्रल श्रृंखला ब्रैकेट श्रृंखला है।
ब्रैकेट श्रृंखला में संक्रमण उच्च ऊर्जा स्तरों $(n_2 = 5, 6, 7, \ldots)$ और $n_1 = 4$ स्तर के बीच होता है।
यह श्रृंखला विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र में स्थित है।

(B) अभिकेंद्र त्वरण $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बोहर मॉडल में,वेग $v \propto \frac{1}{n}$ और त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है।
इन मानों को त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$3^{\text{rd}}$ कक्षा $(n_1 = 3)$ और $5^{\text{th}}$ कक्षा $(n_2 = 5)$ के लिए अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात:
$\frac{a_3}{a_5} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$ होगा।

(B) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, धारा $I$ घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के कारण है: $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2 \pi r / v} = \frac{ev}{2 \pi r}$.
$I$ का मान चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर: $B = \frac{\mu_{0}}{2r} \left( \frac{ev}{2 \pi r} \right) = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi r^{2}}$.
इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr$ है, जिसका अर्थ है कि $v = \frac{L}{mr}$.
$v$ का मान $B$ के व्यंजक में रखने पर: $B = \frac{\mu_{0} e}{4 \pi r^{2}} \left( \frac{L}{mr} \right) = \frac{\mu_{0} eL}{4 \pi m r^{3}}$.

(D) बोर के सिद्धांत के अनुसार,मूल अवस्था $(n=1)$ में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = \frac{h}{2 \pi}$ होता है।
इससे,वेग $v = \frac{h}{2 \pi mR}$ प्राप्त होता है।
कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi R}{v} = \frac{2 \pi R}{h / (2 \pi mR)} = \frac{4 \pi^2 mR^2}{h}$ है।
घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के कारण समतुल्य धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{4 \pi^2 mR^2 / h} = \frac{eh}{4 \pi^2 mR^2}$ है।
कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = \pi R^2$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर,$M = \left( \frac{eh}{4 \pi^2 mR^2} \right) \times (\pi R^2) = \frac{eh}{4 \pi m}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
$n^{th}$ बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन के लिए,क्वांटाइजेशन शर्त $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है,जिसका अर्थ है $mv = \frac{nh}{2\pi r}$।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{nh / (2\pi r)} = \frac{2\pi r}{n}$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
अतः,$\lambda_n = \frac{2\pi (a_0 n^2)}{n} = 2\pi a_0 n$।
इसलिए,पहली $(n=1)$ और दूसरी $(n=2)$ कक्षाओं के लिए तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2\pi a_0 (1)}{2\pi a_0 (2)} = \frac{1}{2}$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की बोहर कक्षा में नाभिक से $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे इलेक्ट्रॉन के लिए:
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{2r} = \frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r}$ द्वारा दी जाती है।
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $P = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$K.E.$ और $P.E.$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{K}{P} = \frac{\frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r}}{-\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r}} = -\frac{4 \pi \epsilon_{0} r}{8 \pi \epsilon_{0} r} = -\frac{1}{2}$।

(C) हाइड्रोजन-समान परमाणु के लिए,ऊर्जा स्तर इस प्रकार हैं:
$T.E. = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$P.E. = 2 \times T.E. = -27.2 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$K.E. = -T.E. = 13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो मुख्य क्वांटम संख्या $n$ घटती है।
जैसे-जैसे $n$ घटता है:
$1$. $K.E. = 13.6 \frac{Z^2}{n^2}$ बढ़ता है।
$2$. $T.E. = -13.6 \frac{Z^2}{n^2}$ अधिक ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए यह घटता है।
$3$. $P.E. = -27.2 \frac{Z^2}{n^2}$ अधिक ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए यह घटता है।
अतः,$K.E.$ बढ़ता है,जबकि $P.E.$ और $T.E.$ घटते हैं।

(D) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.53 \text{ Å} = 0.53 \times 10^{-10} \text{ m}$.
समय अवधि $T = 1.571 \times 10^{-16} \text{ s}$.
इलेक्ट्रॉन का वेग $v$ सूत्र $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2 \pi r}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v = \frac{2 \times 3.142 \times 0.53 \times 10^{-10}}{1.571 \times 10^{-16}}$.
चूंकि $2 \times 3.142 = 6.284$,इसलिए $v = \frac{6.284 \times 0.53 \times 10^{-10}}{1.571 \times 10^{-16}}$.
यहाँ $\frac{6.284}{1.571} = 4$ है।
अतः,$v = 4 \times 0.53 \times 10^{6} \text{ m/s}$.
$v = 2.12 \times 10^{6} \text{ m/s}$.

(C) बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_{n} = -\frac{13.6}{n^{2}} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$E_{n} \propto \frac{1}{n^{2}}$.
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L_{n} = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$L_{n} \propto n$,जिसका अर्थ है कि $n \propto L_{n}$.
ऊर्जा संबंध में $n \propto L_{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E_{n} \propto \frac{1}{L_{n}^{2}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही संबंध $E_{n} \propto \frac{1}{L_{n}^{2}}$ है।

(A) बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$,इसलिए $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$ होगा।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E = \frac{L^{2}}{2I}$ द्वारा दी जाती है।
$L$ का मान रखने पर,हमें $E = \frac{(h/\pi)^{2}}{2I} = \frac{h^{2}}{2I\pi^{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) बोर के सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $F = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बोर मॉडल से,इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{1}{n}$ और कक्षा की त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है।
इन समानुपातों को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1/n^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$.
अतः,बल मुख्य क्वांटम संख्या से $F \propto n^{-4}$ के रूप में संबंधित है।

(C) बोहर के सिद्धांत के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $(v)$ $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$,इसलिए वेग $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h}$ है।
इलेक्ट्रॉन के वेग $(v)$ और प्रकाश के वेग $(c)$ का अनुपात $\frac{v}{c} = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h c}$ है।

(D) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = Rhc \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$R$ रिडबर्ग नियतांक है,$h$ प्लैंक नियतांक है,और $c$ प्रकाश की गति है।
$(i)$ दूसरे $(n_2 = 2)$ से पहले $(n_1 = 1)$ ऊर्जा स्तर के संक्रमण के लिए:
$E_{1} = Rhc \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right) = Rhc \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} Rhc$.
$(ii)$ उच्चतम ऊर्जा स्तर $(n_2 = \infty)$ से दूसरे $(n_1 = 2)$ ऊर्जा स्तर के संक्रमण के लिए:
$E_{2} = Rhc \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = Rhc \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{1}{4} Rhc$.
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{\frac{3}{4} Rhc}{\frac{1}{4} Rhc} = \frac{3}{1}$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$ वीं कक्षा की ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 3$ होता है।
अतः,कुल ऊर्जा $E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$ है।
किसी भी बोहर कक्षा में,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ कुल ऊर्जा $(E)$ के ऋणात्मक मान के बराबर होती है: $K.E. = -E = -(-1.51 \ eV) = +1.51 \ eV$।
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ कुल ऊर्जा $(E)$ के दोगुने के बराबर होती है: $P.E. = 2E = 2 \times (-1.51 \ eV) = -3.02 \ eV$।
इस प्रकार,गतिज ऊर्जा $+1.51 \ eV$ है और स्थितिज ऊर्जा $-3.02 \ eV$ है।

(B) कक्षीय आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2 \pi r}{v}$ है।
बोहर के मॉडल के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा की त्रिज्या $r = \frac{n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$ होती है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h}$ होता है।
इन मानों को $T$ के सूत्र में रखने पर:
$T = \frac{2 \pi \left( \frac{n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} \right)}{\left( \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h} \right)}$
$T = \frac{2 n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{m e^{2}} \times \frac{2 \epsilon_{0} n h}{e^{2}}$
$T = \frac{4 \epsilon_{0}^{2} n^{3} h^{3}}{m e^{4}}$.

(B) बोहर के मॉडल के अनुसार, हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 n^2$ है, जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
यह दर्शाता है कि त्रिज्या $r$ मुख्य क्वांटम संख्या के वर्ग के समानुपाती होती है, अर्थात $r \propto n^2$।
पहली चार कक्षाओं $(n = 1, 2, 3, 4)$ के लिए, त्रिज्याएँ $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$ के अनुपात में होंगी।
इन मानों की गणना करने पर, हमें $1: 4: 9: 16$ प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) $r$ त्रिज्या की कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को संबंध $2\pi r = n\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है।
इसे डी-ब्रोग्ली संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $2\pi (k n^2) = n\lambda$,जो सरल होकर $\lambda \propto n$ देता है।
मूल अवस्था $n = 1$ के अनुरूप है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 1 + 3 = 4$ के अनुरूप है।
चूंकि मुख्य क्वांटम संख्या $n$ का मान $1$ से बढ़कर $4$ हो जाता है,इसलिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ जाएगी।

(D) संधारित्र में संचित प्रारंभिक आवेश $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
जब विभवांतर को $V^{\prime}$ से कम किया जाता है,तो नया विभवांतर $(V - V^{\prime})$ हो जाता है।
नया संचित आवेश $Q^{\prime} = C(V - V^{\prime})$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $Q^{\prime} = CV - CV^{\prime}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $Q = CV$,हम समीकरण में $Q$ को प्रतिस्थापित कर सकते हैं: $Q^{\prime} = Q - CV^{\prime}$।
$C$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $CV^{\prime} = Q - Q^{\prime}$।
अतः,$C = \frac{Q - Q^{\prime}}{V^{\prime}}$।

(A) मान लीजिए कि पृथ्वी $R$ त्रिज्या का एक ठोस गोला है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^{2}$ है।
आयतन को क्षेत्रफल से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{V}{A} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^{3}}{4 \pi R^{2}} = \frac{R}{3}$.
इससे,त्रिज्या $R = 3 \frac{V}{A}$ प्राप्त होती है।
एक विलगित गोलीय चालक की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_{0} R$ द्वारा दी जाती है।
$R$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$C = 4 \pi \epsilon_{0} \left( 3 \frac{V}{A} \right) = 12 \pi \epsilon_{0} \frac{V}{A}$.

(A) जब एक परावैद्युत पदार्थ को संधारित्र की प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो यह ध्रुवीकृत (polarized) हो जाता है। यह ध्रुवीकरण एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र बनाता है जो प्लेटों पर आवेशों द्वारा उत्पन्न बाहरी विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है। परिणामस्वरूप,प्लेटों के बीच का कुल विद्युत क्षेत्र $E$ कम हो जाता है। चूंकि विभवांतर $V$,विद्युत क्षेत्र से $V = E \cdot d$ (जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है) द्वारा संबंधित है,इसलिए विद्युत क्षेत्र में कमी आने से दिए गए आवेश $Q$ के लिए प्लेटों के बीच विभवांतर कम हो जाता है। फलस्वरूप,धारिता $C = Q/V$ बढ़ जाती है।

(D) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $\epsilon_0$ मुक्त आकाश की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि धारिता $C$,प्लेटों के बीच की दूरी $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(C \propto \frac{1}{d})$।
अतः,प्लेटों के बीच की दूरी $d$ को घटाकर संधारित्र की धारिता $C$ को बढ़ाया जा सकता है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C$ है। जब एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भरा जाता है,तो उसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
दोनों संधारित्र $V$ e.m.f. की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
मान लीजिए $C_1 = KC$ परावैद्युत भरे संधारित्र की धारिता है और $C_2 = C$ वायु भरे संधारित्र की धारिता है।
श्रेणीक्रम संयोजन में वायु भरे संधारित्र $(C_2)$ के सिरों पर विभवांतर वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा दिया जाता है:
$V_2 = V \times \frac{C_1}{C_1 + C_2}$
मान रखने पर:
$V_2 = V \times \frac{KC}{KC + C}$
$V_2 = V \times \frac{KC}{C(K + 1)}$
$V_2 = \frac{KV}{K + 1}$

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
वायु माध्यम के लिए,धारिता $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} = 3 \mu F$ है।
जब एक परावैद्युत माध्यम रखा जाता है,तो नई धारिता $C = \frac{\varepsilon A}{d} = 15 \mu F$ हो जाती है।
दोनों धारिताओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{C}{C_{0}} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}} = K$ (जहाँ $K$ परावैद्युतांक है)।
$\frac{15}{3} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}} \implies 5 = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$.
अतः,माध्यम की विद्युतशीलता $\varepsilon = 5 \times \varepsilon_{0}$ है।
$\varepsilon = 5 \times 8.85 \times 10^{-12} = 44.25 \times 10^{-12} \text{ F/m}$.
वैज्ञानिक संकेतन में बदलने पर: $\varepsilon = 0.4425 \times 10^{-10} \text{ F/m}$।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ होता है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो संधारित्र की प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
यदि दूरी $d$ को बढ़ाकर $d' = 4d$ कर दिया जाए,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{4d} = \frac{C}{4}$ हो जाती है।
नई संचित ऊर्जा $U'$ का मान $U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C/4)} = 4 \times \frac{Q^2}{2C} = 4U$ होगा।
अतः,संचित ऊर्जा $4U$ हो जाती है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ का ऊर्जा घनत्व $u$,$u = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच की जगह का आयतन $V$,क्षेत्रफल $A$ और दूरी $d$ का गुणनफल है,इसलिए $V = Ad$ है।
संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा $U$,ऊर्जा घनत्व और आयतन का गुणनफल है।
अतः,$U = u \times V = (\frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}) \times (Ad) = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} Ad$.

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है। तीन संधारित्रों के समानांतर संयोजन की समतुल्य धारिता $C_{p} = 3C$ है और श्रेणी संयोजन की समतुल्य धारिता $C_{s} = C/3$ है।
मान लीजिए कि समानांतर संयोजन में विभवांतर $V_{p}$ है और श्रेणी संयोजन में विभवांतर $V_{s}$ है। यह दिया गया है कि दोनों स्थितियों में संचित ऊर्जा समान है:
$\frac{1}{2} C_{p} V_{p}^{2} = \frac{1}{2} C_{s} V_{s}^{2}$
$\frac{V_{p}^{2}}{V_{s}^{2}} = \frac{C_{s}}{C_{p}} = \frac{C/3}{3C} = \frac{1}{9}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{V_{p}}{V_{s}} = \frac{1}{3}$

(B) मान लीजिए प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है।
जब दो संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_s$ इस प्रकार होती है:
$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_s = \frac{C}{2}$.
जब दो संधारित्रों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_p$ इस प्रकार होती है:
$C_p = C + C = 2C$.
श्रेणीक्रम और समांतर क्रम संयोजन में परिणामी धारिता का अनुपात है:
$\frac{C_s}{C_p} = \frac{C/2}{2C} = \frac{1}{4}$.
अतः,अनुपात $1: 4$ है।

(C) माना प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य धारिता $C_{1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{4}{C}$ से $C_{1} = \frac{C}{4}$ प्राप्त होती है।
समांतर क्रम संयोजन में,तुल्य धारिता $C_{2} = C + C + C + C = 4C$ प्राप्त होती है।
अब,अनुपात $\frac{C_{2}}{C_{1}}$ की गणना करते हैं:
$\frac{C_{2}}{C_{1}} = \frac{4C}{C/4} = 4 \times 4 = 16$.

(D) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो सभी संधारित्रों पर आवेश $Q$ समान रहता है।
संबंध $Q = C V$ के अनुसार,प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर $V_i = \frac{Q}{C_i}$ होता है।
चूंकि श्रेणीक्रम में $Q$ स्थिर रहता है,इसलिए विभवांतर $V_i$ धारिता $C_i$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,विभवांतर का अनुपात $V_1 : V_2 : V_3$ इस प्रकार होगा:
$V_1 : V_2 : V_3 = \frac{Q}{C_1} : \frac{Q}{C_2} : \frac{Q}{C_3}$
$V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} : \frac{1}{C_3}$