વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) dt = (\tan^{-1} x - t) dx$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

$\frac{dy}{dx} + y = e^x$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ પર વિકલનીય છે જેથી $f(1)=1$,અને દરેક $x>0$ માટે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ છે. તો $f(x)$ શું છે?

ધારો કે $g$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $\int_0^x g(t) dt = x - \int_0^x tg(t) dt, x \geq 0$ માટે. ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y \tan x = 2(x+1) \sec x g(x), x \in [0, \frac{\pi}{2})$ નું સમાધાન કરે છે. જો $y(0) = 0$ હોય,તો $y(\frac{\pi}{3})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $Y=Y(X)$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો એક વક્ર છે,જેથી સ્પર્શક રેખા $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ,જ્યાં $(x, y)$ એ વક્ર પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,તે હંમેશા $\frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)}+1$ છે,જ્યાં $Y^{\prime}(x) \neq 0$. જો $Y(1)=1$ હોય,તો $12 Y(2)$ ની કિંમત શોધો.

$r dx + (x - r^2) dr = 0$ નો ઉકેલ શોધો.