MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = a t^{2}$ और $y = 2 a t$ परवलय $y^{2} = 4 a x$ को दर्शाते हैं।
यदि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के लंबवत है,तो यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा होनी चाहिए।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ द्वारा दी जाती है।
स्पर्श रेखा के $X$-अक्ष के लंबवत होने के लिए,इसकी ढाल अपरिभाषित होनी चाहिए,जो $t = 0$ पर होती है।
प्राचलिक समीकरणों में $t = 0$ रखने पर:
$x = a(0)^{2} = 0$
$y = 2a(0) = 0$
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, 0)$ है।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $ax^2 = 2y^2 - b$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2ax = 4y \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2ax}{4y} = \frac{ax}{2y}$।
बिंदु $(1, -1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$m = \frac{a(1)}{2(-1)} = -\frac{a}{2}$।
दी गई रेखा $x + y = 0$ है,जिसे $y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $-1$ है।
चूंकि रेखा वक्र को $(1, -1)$ पर स्पर्श करती है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-\frac{a}{2} = -1 \implies a = 2$।
अब,$a = 2$ और बिंदु $(1, -1)$ को मूल वक्र समीकरण में रखने पर:
$2(1)^2 = 2(-1)^2 - b$
$2 = 2 - b \implies b = 0$।
अतः,$a = 2$ और $b = 0$ मान प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया वक्र समीकरण $x^{2} = -4y$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x = -4 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$।
बिंदु $P(-4, -4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{-4}{2} = 2$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1) = (-4, -4)$ से गुजरने वाली और $m = 2$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $y - (-4) = 2(x - (-4))$ प्राप्त होता है।
$y + 4 = 2(x + 4)$।
$y + 4 = 2x + 8$।
$2x - y + 4 = 0$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $x+y=\frac{\pi}{2}$,अतः $y=\frac{\pi}{2}-x$ होगा।
इसे $\sin x \cdot \sin y$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin x \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x \cdot \cos x$.
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{2 \sin x \cdot \cos x}{2} = \frac{\sin 2x}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin 2x$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
अतः,$\frac{\sin 2x}{2}$ का परिसर $\left[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ होगा।
इस प्रकार,अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = a^{2} \cos^{2} x + b^{2} \sin^{2} x$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ और $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = a^{2} \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + b^{2} \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)$
$f(x) = \frac{a^{2} + a^{2} \cos 2x + b^{2} - b^{2} \cos 2x}{2}$
$f(x) = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + \left( \frac{a^{2} - b^{2}}{2} \right) \cos 2x$.
चूंकि $-1 \leq \cos 2x \leq 1$,फलन $f(x)$ अपना न्यूनतम मान तब प्राप्त करता है जब $\cos 2x = -1$ हो (क्योंकि $a^{2} > b^{2}$ है,इसलिए $\frac{a^{2} - b^{2}}{2} > 0$)।
$\cos 2x = -1$ रखने पर:
$f_{\text{min}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + \left( \frac{a^{2} - b^{2}}{2} \right) (-1)$
$f_{\text{min}} = \frac{a^{2} + b^{2} - a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{2b^{2}}{2} = b^{2}$.
अतः,न्यूनतम मान $b^{2}$ है।

(B) दिया गया परवलय समीकरण $x^{2}=12y$ है।
इसे मानक रूप $x^{2}=4ay$ से तुलना करने पर,हमें $4a=12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=3$ है।
परवलय का शीर्ष मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है।
नाभिलंब के सिरे $(2a, a)$ और $(-2a, a)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$a=3$ प्रतिस्थापित करने पर,निर्देशांक $L_{1}(6, 3)$ और $L_{2}(-6, 3)$ प्राप्त होते हैं।
त्रिभुज शीर्षों $O(0,0)$,$L_{1}(6, 3)$,और $L_{2}(-6, 3)$ द्वारा बनता है।
त्रिभुज का आधार $L_{1}L_{2}$ नाभिलंब की लंबाई है,जो $4a = 12$ है।
शीर्ष $O$ से रेखा $L_{1}L_{2}$ तक त्रिभुज की ऊँचाई नाभिलंब का $y$-निर्देशांक है,जो $a = 3$ है।
इसलिए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दी गई असमिका $|3x - 2| \leq \frac{1}{2}$ है।
मापांक के गुणधर्म के अनुसार,यदि $|u| \leq a$ है,तो $-a \leq u \leq a$ होता है।
अतः,$-\frac{1}{2} \leq 3x - 2 \leq \frac{1}{2}$.
असमिका के सभी भागों में $2$ जोड़ने पर:
$-\frac{1}{2} + 2 \leq 3x \leq \frac{1}{2} + 2$.
$\frac{3}{2} \leq 3x \leq \frac{5}{2}$.
$3$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{6}$.
अतः,$x \in [\frac{1}{2}, \frac{5}{6}]$।

(C) $e^{z}$ का विस्तार $e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}$ द्वारा दिया जाता है।
$z = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{n}}{n!}$ प्राप्त होता है।
$x^{6}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $n=6$ वाला पद देखते हैं:
$\frac{(2x)^{6}}{6!} = \frac{2^{6} \cdot x^{6}}{720}$.
मान की गणना करने पर: $\frac{64}{720} = \frac{64 \div 16}{720 \div 16} = \frac{4}{45}$.
अतः,$x^{6}$ का गुणांक $\frac{4}{45}$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^{2}-6x+9) + (y^{2}+4y+4) = 3+9+4$
$(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 16$
$(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 4^{2}$
इसे मानक रूप $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ से तुलना करने पर,केंद्र $(h, k) = (3, -2)$ और त्रिज्या $r = 4$ प्राप्त होती है।
वृत्त के प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ होते हैं।
मान रखने पर,$x = 3 + 4 \cos \theta$ और $y = -2 + 4 \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ है,जिसका केंद्र $(-g, -f)$ है।
प्रथम वृत्त $x^{2}+y^{2}+2x-4y+1=0$ के लिए,केंद्र $A$ $(-1, 2)$ है।
द्वितीय वृत्त $x^{2}+y^{2}-8x+6y+17=0$ के लिए,केंद्र $B$ $(4, -3)$ है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0$ होता है।
$A$ और $B$ के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-(-1))(x-4)+(y-2)(y-(-3))=0$
$(x+1)(x-4)+(y-2)(y+3)=0$
$x^{2}-4x+x-4+y^{2}+3y-2y-6=0$
$x^{2}+y^{2}-3x+y-10=0$.

(C) चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है और $x$-अक्ष पर $3$ तथा $y$-अक्ष पर $-5$ का अंतःखंड बनाता है,इसलिए बिंदु $(3,0)$ और $(0,-5)$ वृत्त पर स्थित हैं।
चूंकि वृत्त पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा बनाया गया कोण $90^{\circ}$ होता है,इसलिए $(3,0)$ और $(0,-5)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास है क्योंकि मूल बिंदु $(0,0)$ पर कोण $90^{\circ}$ है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $(3,0)$ और $(0,-5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-3)(x-0) + (y-0)(y-(-5)) = 0$
$x(x-3) + y(y+5) = 0$
$x^{2} - 3x + y^{2} + 5y = 0$
$x^{2} + y^{2} - 3x + 5y = 0$

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ है,जहाँ त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}$ होती है।
दिए गए समीकरण $x^{2}+y^{2}-4x+6y-k=0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$2g = -4 \Rightarrow g = -2$
$2f = 6 \Rightarrow f = 3$
$c = -k$
चूँकि त्रिज्या $r = 5$ दी गई है:
$5 = \sqrt{(-2)^{2} + (3)^{2} - (-k)}$
$5 = \sqrt{4 + 9 + k}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = 13 + k$
$k = 25 - 13 = 12$

(A) प्रथम वृत्त $x^{2}+y^{2}-2x+3y-3=0$ का केंद्र $C_{1} = (1, -3/2)$ है।
द्वितीय वृत्त $x^{2}+y^{2}+6x-12y-5=0$ का केंद्र $C_{2} = (-3, 6)$ है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $(x-1)(x+3) + (y+3/2)(y-6) = 0$
$x^{2}+2x-3 + y^{2}-9/2y-9 = 0$
$x^{2}+y^{2}+2x-9/2y-12 = 0$
$2$ से गुणा करने पर: $2x^{2}+2y^{2}+4x-9y-24 = 0$.

(A) माना वृत्त $x^{2} + y^{2} - 6x + 2y - 54 = 0$ है। इसका केंद्र $O(3, -1)$ है।
माना जीवा का मध्य-बिंदु $M(h, k)$ है।
$OM$ जीवा $2x - 5y + 18 = 0$ पर लंब है,इसलिए $OM$ की ढाल रेखा की ढाल की ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी।
रेखा $2x - 5y + 18 = 0$ की ढाल $m = \frac{2}{5}$ है।
अतः,$OM$ की ढाल $-\frac{5}{2}$ होगी।
$OM$ की ढाल $\frac{k + 1}{h - 3}$ भी है।
समीकरण: $\frac{k + 1}{h - 3} = -\frac{5}{2} \Rightarrow 5h + 2k = 13$।
चूंकि $M(h, k)$ रेखा पर स्थित है,$2h - 5k = -18$।
समीकरणों को हल करने पर $h = 1$ और $k = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,मध्य-बिंदु $(1, 4)$ है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और त्रिज्या $r$ है। वृत्त $A(5,7)$,$B(2,-2)$ और $C(-2,0)$ से होकर गुजरता है।
केंद्र से प्रत्येक बिंदु की दूरी $r$ के बराबर है,इसलिए $r^2 = (h-2)^2 + (k+2)^2 = (h+2)^2 + k^2$.
इसका विस्तार करने पर: $h^2 - 4h + 4 + k^2 + 4k + 4 = h^2 + 4h + 4 + k^2$.
सरल करने पर,$-8h + 4k = -4$,या $2h - k = 1$ $(1)$.
इसी प्रकार,$(h-5)^2 + (k-7)^2 = (h+2)^2 + k^2$.
इसका विस्तार करने पर: $h^2 - 10h + 25 + k^2 - 14k + 49 = h^2 + 4h + 4 + k^2$.
सरल करने पर,$-14h - 14k = -70$,या $h + k = 5$ $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$3h = 6$,जिससे $h = 2$ प्राप्त होता है। $h=2$ को $(2)$ में रखने पर,$k = 3$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(2, 3)$ है।
त्रिज्या $r$,$(2, 3)$ से $(-2, 0)$ की दूरी है:
$r = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ इकाई।

(A) दिए गए समीकरण $x = 6 \cos \theta$ और $y = 6 \sin \theta$ हैं।
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर,हमें $x^{2} = 36 \cos^{2} \theta$ और $y^{2} = 36 \sin^{2} \theta$ प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$x^{2} + y^{2} = 36 \cos^{2} \theta + 36 \sin^{2} \theta$
$x^{2} + y^{2} = 36(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
चूंकि $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$,इसलिए:
$x^{2} + y^{2} = 36$.

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = 4a \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)$ और $y = \frac{8at}{1+t^2}$ हैं।
माना $t = \tan \theta$ है। तब $\cos 2\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $\sin 2\theta = \frac{2t}{1+t^2}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$x = 4a \cos 2\theta$ और $y = 4a \sin 2\theta$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^2 + y^2 = (4a \cos 2\theta)^2 + (4a \sin 2\theta)^2$
$x^2 + y^2 = 16a^2 (\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta)$
$x^2 + y^2 = (4a)^2$.
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $4a$ है।

(D) दिए गए समीकरण $x=3+5 \cos \theta$ और $y=2+5 \sin \theta$ हैं।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{x-3}{5} = \cos \theta$ और $\frac{y-2}{5} = \sin \theta$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{x-3}{5})^{2} + (\frac{y-2}{5})^{2} = 1$.
वर्गों का विस्तार करने पर: $\frac{x^{2}-6x+9}{25} + \frac{y^{2}-4y+4}{25} = 1$.
$25$ से गुणा करने पर: $x^{2}-6x+9 + y^{2}-4y+4 = 25$.
सरल करने पर: $x^{2}+y^{2}-6x-4y+13 = 25$.
अतः,कार्तीय समीकरण $x^{2}+y^{2}-6x-4y-12 = 0$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ है।
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर:
$\frac{9x^{2}}{144} + \frac{16y^{2}}{144} = 1$
$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$।
इसे मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^{2} > b^{2}$,उत्केंद्रता $e$ का सूत्र है:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $16x^{2} + 9y^{2} = 144$.
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर: $\frac{16x^{2}}{144} + \frac{9y^{2}}{144} = 1$,जो सरल होकर $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = 9$ और $b^{2} = 16$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b^{2} > a^{2}$,मुख्य अक्ष $y$-अक्ष पर है।
यहाँ $a = 3$ और $b = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm be) = (0, \pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}) = (0, \pm \sqrt{7})$ हैं।

(D) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{81}=\frac{1}{25}$ है।
मानक रूप में: $\frac{x^{2}}{144/25} - \frac{y^{2}}{81/25} = 1$.
यहाँ,$a^{2} = \frac{144}{25}$ और $b^{2} = \frac{81}{25}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए,$a^{2} = 16$ है। मान लीजिए इसकी उत्केंद्रता $e'$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm 4e', 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$4e' = 3 \Rightarrow e' = \frac{3}{4}$.
दीर्घवृत्त के लिए $e'^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{3}{4})^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{16} \Rightarrow \frac{9}{16} = 1 - \frac{b^{2}}{16}$.
$\frac{b^{2}}{16} = \frac{7}{16} \Rightarrow b^{2} = 7$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण: $y^{2}+4x^{2}-12x+6y+14=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4(x^{2}-3x) + (y^{2}+6y) = -14$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$4(x^{2}-3x+\frac{9}{4}) + (y^{2}+6y+9) = -14 + 9 + 9$.
$4(x-\frac{3}{2})^{2} + (y+3)^{2} = 4$.
$4$ से भाग देने पर,मानक रूप प्राप्त होता है: $\frac{(x-\frac{3}{2})^{2}}{1} + \frac{(y+3)^{2}}{4} = 1$.
यहाँ,$a^{2}=1$ और $b^{2}=4$ है। चूँकि $b^{2} > a^{2}$,दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}}$ है।
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
नाभियों के निर्देशांक $S(-ae, 0)$ और $S^{\prime}(ae, 0)$ हैं।
लघु अक्ष का अंतिम बिंदु $B(0, b)$ है।
चूँकि $\Delta SBS^{\prime}$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए समकोण त्रिभुज $\Delta SOB$ में कोण $\angle BSO = 60^{\circ}$ होगा।
$\Delta SOB$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae}$।
अतः,$\sqrt{3} = \frac{b}{ae}$,जिसका अर्थ है $b^{2} = 3a^{2}e^{2}$।
संबंध $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ का उपयोग करने पर,$a^{2}(1 - e^{2}) = 3a^{2}e^{2}$।
$1 - e^{2} = 3e^{2} \implies 4e^{2} = 1 \implies e^{2} = \frac{1}{4}$।
अतः,$e = \frac{1}{2}$।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (जहाँ $a > b$) के लिए,उत्केंद्रता $e_{1}$ का मान $e_{1}^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_{2}$ का मान $e_{2}^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ होता है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = (1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}) + (1 + \frac{b^{2}}{a^{2}})$.
अतः,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 1 + 1 = 2$.

(B) माना $P$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ हैं।
चूंकि $CD$ अर्ध-संयुग्मी व्यास है,$D$ के निर्देशांक $(a \cos(\theta + \frac{\pi}{2}), b \sin(\theta + \frac{\pi}{2})) = (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ होंगे।
अब,$CP^{2} = a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta$.
और $CD^{2} = (-a \sin \theta)^{2} + (b \cos \theta)^{2} = a^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta$.
इनका योग करने पर,$CP^{2} + CD^{2} = a^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + b^{2}(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)$.
चूंकि $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$,इसलिए $CP^{2} + CD^{2} = a^{2} + b^{2}$.

(B) दिया गया संबंध $R = \{(a, b) : b = a - 1, a \in \mathbb{Z}, 5 < a < 9\}$ है।
चूंकि $a$ एक पूर्णांक है जहाँ $5 < a < 9$,इसलिए $a$ के संभावित मान $a \in \{6, 7, 8\}$ हैं।
यदि $a = 6$,तो $b = 6 - 1 = 5$ है।
यदि $a = 7$,तो $b = 7 - 1 = 6$ है।
यदि $a = 8$,तो $b = 8 - 1 = 7$ है।
अतः,संबंध $R = \{(6, 5), (7, 6), (8, 7)\}$ है।
$R$ का परिसर क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय है,जो $\{5, 6, 7\}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
दोनों पक्षों को $\cos x$ से गुणा करने पर (जहाँ $\cos x \neq 0$): $\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर: $\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
इससे दो संभावित मान मिलते हैं: $\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = -1$
स्थिति $1$: यदि $\sin x = -1$,तो $x = \frac{3 \pi}{2}$। $x = \frac{3 \pi}{2}$ पर $\cos x = 0$ होता है,जिससे $\tan x$ और $\sec x$ अपरिभाषित हो जाते हैं। अतः,यह एक मान्य हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\sin x = \frac{1}{2}$,तो $x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{5 \pi}{6}$। दोनों मान अंतराल $[0, 2 \pi]$ के भीतर हैं और इन बिंदुओं पर $\cos x \neq 0$ है।
इसलिए,कुल $2$ मान्य हल हैं।

(C) दिया गया अतिपरवलय $16x^{2}-9y^{2}=144$ है। $144$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2}=9$ और $b^{2}=16$ है।
उत्केंद्रता $e$,$b^{2}=a^{2}(e^{2}-1)$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $16=9(e^{2}-1)$,जिससे $e^{2}-1=\frac{16}{9}$ प्राप्त होता है,अतः $e^{2}=\frac{25}{9}$,$e=\frac{5}{3}$।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की नियताएँ $x=\pm \frac{a}{e}$ होती हैं।
यहाँ,$a=3$ और $e=\frac{5}{3}$ है,इसलिए $x=\pm \frac{3}{5/3} = \pm \frac{9}{5}$।
अतः,$5x-9=0$ और $5x+9=0$।
संयुक्त समीकरण $(5x-9)(5x+9)=0$ है,जो $25x^{2}-81=0$ है।
इसकी तुलना $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=25, h=0, b=0, g=0, f=0, c=-81$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$g+f-c = 0+0-(-81) = 81$।

(A) दिया गया समीकरण: $16x^{2} - 3y^{2} - 32x - 12y - 44 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $16(x^{2} - 2x) - 3(y^{2} + 4y) = 44$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $16(x^{2} - 2x + 1) - 3(y^{2} + 4y + 4) = 44 + 16 - 12$
$16(x - 1)^{2} - 3(y + 2)^{2} = 48$
$48$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^{2}}{3} - \frac{(y + 2)^{2}}{16} = 1$
मानक रूप $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = 3$ और $b^{2} = 16$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 + \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{3 + 16}{3}} = \sqrt{\frac{19}{3}}$.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ पर बिंदु $P$ के प्राचलिक निर्देशांक $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ हैं।
नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं,जहाँ उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ अर्थात $a^{2}e^{2} = a^{2} + b^{2}$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$SP = |ae \sec \theta - a|$ और $S^{\prime}P = |ae \sec \theta + a|$ प्राप्त होता है।
अतः,$SP \cdot S^{\prime}P = |a^{2}e^{2} \sec ^{2} \theta - a^{2}|$.
$a^{2}e^{2} = a^{2} + b^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$SP \cdot S^{\prime}P = |(a^{2} + b^{2}) \sec ^{2} \theta - a^{2}| = |a^{2}(\sec ^{2} \theta - 1) + b^{2} \sec ^{2} \theta| = a^{2} \tan ^{2} \theta + b^{2} \sec ^{2} \theta$.

(D) आयताकार अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - y^2 = a^2$ होता है,जिसे $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,अनुप्रस्थ अक्ष और संयुग्मी अक्ष की लंबाई समान है।
अतः,उत्केंद्रता $e$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(D) दिया गया समीकरण: $9x^{2} - 36x - 16y^{2} + 96y - 252 = 0$
$x$ और $y$ पदों को समूहबद्ध करने पर: $9(x^{2} - 4x) - 16(y^{2} - 6y) = 252$
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$9(x^{2} - 4x + 4) - 16(y^{2} - 6y + 9) = 252 + 36 - 144$
$9(x - 2)^{2} - 16(y - 3)^{2} = 144$
$144$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 2)^{2}}{16} - \frac{(y - 3)^{2}}{9} = 1$
अतिपरवलय का मानक रूप $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
तुलना करने पर,केंद्र $(2, 3)$ प्राप्त होता है।

(D) कथन $p \vee (q \rightarrow \sim r)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हैं: $\sim(p \vee (q$ $\rightarrow \sim r)) \equiv \sim p \wedge \sim(q$ $\rightarrow \sim r)$.
तार्किक तुल्यता $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर,हमें $\sim(q \rightarrow \sim r) \equiv q \wedge \sim(\sim r)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sim(\sim r) \equiv r$,इसलिए व्यंजक $q \wedge r$ में सरल हो जाता है।
अतः,अंतिम निषेध $\sim p \wedge (q \wedge r)$ है।

(D) एक कथन पैटर्न पुनरुक्ति (tautology) होता है यदि उसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए उसका सत्य मान $T$ हो।
दिए गए सत्यता सारणी के आधार पर:
स्तंभ $9$,$S_{1} \equiv \sim p \rightarrow (q \leftrightarrow p)$ को दर्शाता है। इसके मान $T, T, F, T$ हैं। यह पुनरुक्ति नहीं है।
स्तंभ $10$,$S_{2} \equiv \sim p \vee \sim q$ को दर्शाता है। इसके मान $F, T, T, T$ हैं। यह पुनरुक्ति नहीं है।
स्तंभ $11$,$S_{3} \equiv (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow p)$ को दर्शाता है। इसके मान $T, F, F, T$ हैं। यह पुनरुक्ति नहीं है।
स्तंभ $12$,$S_{4} \equiv (q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$ को दर्शाता है। इसके मान $T, T, T, T$ हैं।
चूंकि स्तंभ $12$ में सभी प्रविष्टियाँ $T$ हैं,इसलिए $S_{4}$ एक पुनरुक्ति है।

(A) कथन पैटर्न की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \vee q$ | $(p \vee q) \wedge \sim p$ | $[(p \vee q) \wedge \sim p] \wedge \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
चूंकि अंतिम कॉलम में सभी प्रविष्टियाँ $F$ (असत्य) हैं,इसलिए यह कथन पैटर्न एक व्याघात (contradiction) है.

(A) एक कथन पैटर्न एक विरोधाभास है यदि इसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए इसका सत्य मान $F$ हो।
हम $S_{1} \equiv (p \rightarrow q) \wedge (p \wedge \sim q)$ का विश्लेषण करते हैं।
तार्किक नियमों का उपयोग करते हुए:
$S_{1} \equiv (\sim p \vee q) \wedge (p \wedge \sim q)$
$S_{1} \equiv [(\sim p \vee q) \wedge p] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv [(\sim p \wedge p) \vee (q \wedge p)] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv [F \vee (p \wedge q)] \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv (p \wedge q) \wedge \sim q$
$S_{1} \equiv p \wedge (q \wedge \sim q)$
$S_{1} \equiv p \wedge F$
$S_{1} \equiv F$
चूंकि सत्य मान हमेशा $F$ है,इसलिए $S_{1}$ एक विरोधाभास है।

(B) किसी कथन का निषेध ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैं:
$1$. अस्तित्ववाचक क्वांटिफायर $\exists$ (अस्तित्व में है) को सार्वत्रिक क्वांटिफायर $\forall$ (सभी के लिए) से बदलें।
$2$. असमिका चिह्न $>$ को उसके निषेध $\leq$ से बदलें।
अतः,$\exists x \in A$ इस प्रकार है कि $x+5 > 8$ का निषेध $\forall x \in A, \quad x+5 \leq 8$ है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा कथन एक पुनरुक्ति है,हम प्रत्येक कथन पैटर्न के लिए एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं।
यदि कोई कथन अपने घटक कथनों के सभी संभावित सत्यता मानों के लिए $T$ है,तो वह एक पुनरुक्ति है।
$S_2 \equiv [p \wedge (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow q$ के लिए:
| $p$ | $q$ | $p \rightarrow q$ | $p \wedge (p \rightarrow q)$ | $[p \wedge (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow q$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
चूंकि $S_2$ के अंतिम कॉलम में सभी प्रविष्टियाँ $T$ हैं,इसलिए $S_2$ एक पुनरुक्ति है।

(C) कथन पैटर्न का द्वैत ज्ञात करने के लिए,हम $\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से,$t$ को $c$ से और $c$ को $t$ से बदलते हैं।
दिया गया कथन पैटर्न: $\sim p \wedge (q \vee t)$ है।
$\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से और $t$ को $c$ से बदलने पर:
द्वैत $\sim p \vee (q \wedge c)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\sim(p \vee q) \vee(\sim p \wedge q)$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$।
अतः,व्यंजक $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ हो जाता है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$\sim p$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$।
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (पुनरुक्ति),व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(A) परिपथ दो मुख्य समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ में श्रेणीक्रम में स्विच $s_{1}$ और $s_{2}$ हैं,जिन्हें $(p \wedge q)$ द्वारा दर्शाया गया है।
शाखा $2$ में स्विच $s_{1}'$ (जो $\sim p$ है) श्रेणीक्रम में $s_{2}'$ $(\sim q)$,$s_{1}$ $(p)$,और $s_{3}$ $(r)$ के समानांतर संयोजन के साथ है।
यह समानांतर संयोजन $(\sim q \vee p \vee r)$ है।
अतः,प्रतीकात्मक रूप $(p \wedge q) \vee [\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r)] \equiv \ell$ है।

(B) माना $p$: राजू साहसी है,और $q$: राजू भारतीय सेना में शामिल होगा।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ का अर्थ है 'राजू भारतीय सेना में शामिल नहीं होता है' और $\sim p$ का अर्थ है 'राजू साहसी नहीं है'।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: 'यदि राजू भारतीय सेना में शामिल नहीं होता है,तो वह साहसी नहीं है'।

(D) दिया गया व्यंजक: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों का उपयोग करते हुए:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge (\sim q \wedge \sim r)]$
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim q \wedge \sim r \equiv \sim (q \vee r)$:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (q \vee r)]$
वितरण नियम $p \wedge (A \vee \sim A) = p \wedge T$ लागू करने पर:
$p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$
चूंकि $(q \vee r) \vee \sim (q \vee r) \equiv T$ (पुनरुक्ति):
$p \wedge T = p$

(A) दिया गया व्यंजक $[\sim p \vee (p \wedge \sim q)] \vee q$ है।
वितरण नियम लागू करने पर:
$= [(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)] \vee q$
$= [T \wedge (\sim p \vee \sim q)] \vee q$
$= (\sim p \vee \sim q) \vee q$
$= \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$= \sim p \vee T$
$= T$
चूंकि परिणाम $T$ (tautology) है,इसलिए स्विच की स्थिति पर ध्यान दिए बिना धारा प्रवाहित होती है।

(A) प्रतिबंधात्मक कथन $A \rightarrow B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
दिया गया है कि $(\sim p \wedge q) \rightarrow r$ असत्य है,इसलिए $(\sim p \wedge q) = T$ और $r = F$ होना चाहिए।
संयोजन $A \wedge B$ केवल तब सत्य होता है जब $A$ और $B$ दोनों सत्य हों।
इसलिए,$\sim p = T$ और $q = T$।
यदि $\sim p = T$ है,तो $p = F$ होगा।
अतः,सत्यता मान $p = F, q = T, r = F$ हैं।

(B) 'संदीप न तो चाय पसंद करता है और न ही कॉफी' कथन का अर्थ है 'संदीप चाय पसंद नहीं करता है और संदीप कॉफी पसंद नहीं करता है',जिसे $(\sim p \wedge \sim q)$ के रूप में दर्शाया गया है।
'लेकिन वह सॉफ्ट ड्रिंक का आनंद लेता है' वाक्यांश 'और संदीप सॉफ्ट ड्रिंक का आनंद लेता है' शर्त जोड़ता है,जिसे $\wedge r$ के रूप में दर्शाया गया है।
इन दोनों को मिलाने पर,प्रतीकात्मक रूप $(\sim p \wedge \sim q) \wedge r$ प्राप्त होता है।

(B) माना $p:$ घास हरी है।
माना $q:$ जुलाई में बारिश होती है।
दिए गए कथन का तार्किक रूप $p \rightarrow q$ है।
हम जानते हैं कि $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ होता है।
अतः,यह कथन 'घास हरी नहीं है या जुलाई में बारिश होती है' के समतुल्य है।

(C) $\sim(p \wedge q)$ के लिए सत्यता मान ज्ञात करने के लिए,हम सत्यता सारणी इस प्रकार बनाते हैं:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$\sim(p \wedge q)$
$T$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$

अंतिम कॉलम में प्रविष्टियाँ $F, T, T, T$ हैं।

(D) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है।
दिए गए विकल्पों के लिए सत्यता सारणी बनाने पर:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $\sim p \vee \sim q$ | $p \vee \sim q$ | $(\sim p \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
अंतिम कॉलम में देखने पर,कथन $(\sim p \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ $p$ और $q$ के सभी संयोजनों के लिए सत्य है।
अतः,यह एक पुनरुक्ति है।

(A) माना $p$ वह कथन है कि स्विच $S_{1}$ बंद है।
माना $q$ वह कथन है कि स्विच $S_{2}$ बंद है।
तब $\sim p$ स्विच $S_{1}'$ के बंद होने को दर्शाता है,और $\sim q$ स्विच $S_{2}'$ के बंद होने को दर्शाता है।
दिए गए परिपथ में:
$1$. ऊपरी शाखा में स्विच $S_{1}$ और $S_{2}$ समानांतर में हैं,जिसे $(p \vee q)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$2$. निचली शाखा में स्विच $S_{1}'$ और $S_{2}'$ श्रेणी में हैं,जिसे $(\sim p \wedge \sim q)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$3$. ये दोनों शाखाएं एक-दूसरे के साथ समानांतर में जुड़ी हुई हैं।
अतः,परिपथ का प्रतीकात्मक रूप $(p \vee q) \vee (\sim p \wedge \sim q) \equiv l$ है।

(D) वक्र के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं: $x=4 \sec \theta$ और $y=4 \tan^2 \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 4 \sec \theta \tan \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = 8 \tan \theta \sec^2 \theta$।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{8 \tan \theta \sec^2 \theta}{4 \sec \theta \tan \theta} = 2 \sec \theta$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $2 \sec(\frac{\pi}{4}) = 2 \sqrt{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $= -\frac{1}{\text{स्पर्शरेखा की ढाल}} = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,बिंदु $(x, y) = (4 \sec \frac{\pi}{4}, 4 \tan^2 \frac{\pi}{4}) = (4 \sqrt{2}, 4)$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - 4 = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}(x - 4 \sqrt{2})$।
$2 \sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$2 \sqrt{2} y - 8 \sqrt{2} = -x + 4 \sqrt{2}$।
अतः,$x + 2 \sqrt{2} y = 12 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा $6x - y - 4 = 0$ की प्रवणता (slope) $6$ है। चूंकि यह रेखा वक्र $y^{2} = ax^{3} + b$ को बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श करती है,इसलिए इस बिंदु पर अवकलज का मान रेखा की प्रवणता के बराबर होगा।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^{2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3ax^{2}}{2y}$.
बिंदु $(1, 2)$ पर प्रवणता $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)} = \frac{3a(1)^{2}}{2(2)} = \frac{3a}{4}$ है।
प्रवणता को $6$ के बराबर रखने पर:
$\frac{3a}{4} = 6 \Rightarrow 3a = 24 \Rightarrow a = 8$.
चूंकि बिंदु $(1, 2)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2)^{2} = a(1)^{3} + b \Rightarrow 4 = 8(1) + b \Rightarrow b = 4 - 8 = -4$.
अतः,$a + b = 8 + (-4) = 4$.

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $2x^{2} + 3y^{2} - 5 = 0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$4x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{6y} = -\frac{2x}{3y}$.
बिंदु $P(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $(m_{t})$:
$m_{t} = -\frac{2(1)}{3(1)} = -\frac{2}{3}$.
अभिलंब की ढाल $(m_{n})$ स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$.
बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)$
$2(y - 1) = 3(x - 1)$
$2y - 2 = 3x - 3$
$3x - 2y - 1 = 0$.

(D) वक्र के प्राचलिक समीकरण $x=t^{2}-1$ और $y=t^{2}-t$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = 2t$ और $\frac{dy}{dt} = 2t-1$.
वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t-1}{2t}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{2t-1}{2t} = 0$.
इसका अर्थ है $2t-1 = 0$,जिससे $t = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वक्र $y = \sin \left(\frac{\pi x}{4}\right)$ है।
सबसे पहले,स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{\pi x}{4}\right)$.
बिंदु $(2, 1)$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m_t$ है:
$m_t = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 1)} = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{2\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \times 0 = 0$.
चूंकि स्पर्शरेखा की ढाल $0$ है,इसलिए स्पर्शरेखा $X$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है।
इसलिए,अभिलंब,जो स्पर्शरेखा के लंबवत है,एक ऊर्ध्वाधर रेखा होनी चाहिए।
बिंदु $(2, 1)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x = 2$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया वक्र का समीकरण $2x^{2} + y^{2} = 12$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$।
बिंदु $(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{t} = -\frac{2(2)}{2} = -2$ है।
बिंदु $(2, 2)$ पर अभिलंब की ढाल $m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ है।
बिंदु $(2, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_{1} = m_{n}(x - x_{1})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 2)$।
$2$ से गुणा करने पर,$2y - 4 = x - 2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x - 2y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) रेखा $y=4x-5$ की ढाल $4$ है।
चूंकि रेखा वक्र को बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श करती है,इसलिए इस बिंदु पर वक्र का अवकलज रेखा की ढाल के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $y^{2}=ax^{3}+b$,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^{2}}{2y}$।
बिंदु $(2,3)$ पर,ढाल $\frac{3a(2)^{2}}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ है।
इसे रेखा की ढाल के बराबर रखने पर,$2a = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$।
चूंकि बिंदु $(2,3)$ वक्र $y^{2}=ax^{3}+b$ पर स्थित है,हम समीकरण में $x=2, y=3$ और $a=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$3^{2} = 2(2)^{3} + b$
$9 = 2(8) + b$
$9 = 16 + b$
$b = 9 - 16 = -7$।
अतः,$a=2$ और $b=-7$ है।

(B) विस्थापन $s = t^{3} - 4t^{2} - 5t$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^{3} - 4t^{2} - 5t) = 3t^{2} - 8t - 5$.
$t = 2 \text{ sec}$ पर वेग ज्ञात करने के लिए,$v$ के व्यंजक में $t = 2$ रखने पर:
$v = 3(2)^{2} - 8(2) - 5$.
$v = 3(4) - 16 - 5$.
$v = 12 - 16 - 5$.
$v = -9 \text{ इकाई/सेकंड}$.

(B) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ है।
चूंकि $1 \text{ decimeter} = 10 \text{ cm}$,इसलिए त्रिज्या $r = 5 \text{ decimeters} = 50 \text{ cm}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
मान $r = 50 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 50 \times 2 = 200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(A) माना $f(x) = \cot^{-1}(x)$ है। इसका अवकलज $f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ है।
हम रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग करते हैं: $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$.
यहाँ,$a = 1$ और $h = 0.001$ लें।
$f(a) = \cot^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ की गणना करें।
$f'(a) = -\frac{1}{1+1^2} = -\frac{1}{2}$ की गणना करें।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(1.001) \approx \frac{\pi}{4} + (0.001) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$.
$f(1.001) \approx \frac{\pi}{4} - 0.0005$.

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण: $s = t^{3} - 6t^{2} + 9t + 25$ ....$(1)$
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है:
$v = \frac{ds}{dt} = 3t^{2} - 12t + 9$
दिया गया है कि वेग शून्य है:
$3t^{2} - 12t + 9 = 0$
$t^{2} - 4t + 3 = 0$
$(t - 1)(t - 3) = 0$
अतः,$t = 1$ या $t = 3$.
$t = 1$ पर विस्थापन: $s(1) = 1 - 6 + 9 + 25 = 29 \text{ इकाई}$.
$t = 3$ पर विस्थापन: $s(3) = 27 - 54 + 27 + 25 = 25 \text{ इकाई}$.
विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $27$ है।

(C) माना $f(x) = \log _{10} x = \frac{\log _{e} x}{\log _{e} 10}$.
अतः,$f'(x) = \frac{1}{x \log_{e} 10} = \frac{1}{x} \log_{10} e$.
माना $a = 100$ और $h = -1$,जिससे $a + h = 99$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि सन्निकटन सूत्र $f(a + h) \approx f(a) + h f'(a)$ है।
यहाँ,$f(a) = \log_{10} 100 = 2$.
$f'(a) = \frac{1}{100} \log_{10} e = \frac{0.4343}{100} = 0.004343$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f(99) \approx 2 + (-1)(0.004343) = 2 - 0.004343 = 1.995657$.
दशमलव के चार अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.9957$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया विस्थापन फलन $s = 3t^{2} - 12t + 14$ है।
वेग $v$, समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है, जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$v = \frac{d}{dt}(3t^{2} - 12t + 14) = 6t - 12$.
जब वेग शून्य हो जाता है, तो हम $v = 0$ रखते हैं:
$6t - 12 = 0 \implies 6t = 12 \implies t = 2 \text{ सेकंड}$.
अब, उस क्षण पर विस्थापन ज्ञात करने के लिए $t = 2$ को विस्थापन समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$s = 3(2)^{2} - 12(2) + 14$
$s = 3(4) - 24 + 14$
$s = 12 - 24 + 14 = 2 \text{ इकाई}$.
अतः, जब वेग शून्य होता है तब कण का विस्थापन $2 \text{ इकाई}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^{3} + 5x^{2} - 7x + 10$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = 3x^{2} + 10x - 7$।
माना $a = 1$ और $h = 0.1$,इसलिए $x = a + h = 1.1$ है।
$f(a) = f(1) = (1)^{3} + 5(1)^{2} - 7(1) + 10 = 1 + 5 - 7 + 10 = 9$ की गणना करें।
$f'(a) = f'(1) = 3(1)^{2} + 10(1) - 7 = 3 + 10 - 7 = 6$ की गणना करें।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ का उपयोग करते हुए:
$f(1.1) \approx 9 + (0.1)(6) = 9 + 0.6 = 9.6$।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x^{3} - 3x + 5$ है।
हमें $x = 1.99$ पर सन्निकट मान ज्ञात करना है।
माना $x = a + h$,जहाँ $a = 2$ और $h = -0.01$ है।
रैखिक सन्निकटन का सूत्र $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ है।
सबसे पहले,$f(a) = f(2) = 2^{3} - 3(2) + 5 = 8 - 6 + 5 = 7$ ज्ञात करें।
इसके बाद,अवकलज $f'(x) = 3x^{2} - 3$ प्राप्त करें।
$f'(a) = f'(2) = 3(2)^{2} - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$ की गणना करें।
अब,इन मानों को सन्निकटन सूत्र में रखें:
$f(1.99) \approx f(2) + (-0.01) \cdot f'(2) = 7 + (-0.01)(9) = 7 - 0.09 = 6.91$।
अतः,सन्निकट मान $6.91$ है।

(C) माना वर्ग की भुजा $x$ है। क्षेत्रफल $A = x^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dA}{dt} = 0.5 \text{ cm}^2/\text{sec}$ और $x = 10 \text{ cm}$ है।
इन मानों को रखने पर: $0.5 = 2(10) \frac{dx}{dt} \Rightarrow 0.5 = 20 \frac{dx}{dt}$।
अतः,$\frac{dx}{dt} = \frac{0.5}{20} = 0.025 \text{ cm/sec}$।
वर्ग का परिमाप $P = 4x$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dP}{dt} = 4 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dx}{dt} = 0.025$ रखने पर,$\frac{dP}{dt} = 4(0.025) = 0.1 \text{ cm/sec}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $f(x)=3x^{2}+5x+3$।
हमें $x=3.02$ पर अनुमानित मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $x = a + h$,जहाँ $a=3$ और $h=0.02$ है।
रैखिक सन्निकटन (linear approximation) का सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f^{\prime}(a)$ है।
सबसे पहले,$f(a) = f(3) = 3(3)^{2} + 5(3) + 3 = 27 + 15 + 3 = 45$ की गणना करें।
इसके बाद,अवकलज $f^{\prime}(x) = 6x + 5$ ज्ञात करें।
फिर,$f^{\prime}(a) = f^{\prime}(3) = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$।
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$f(3.02) \approx 45 + (0.02)(23) = 45 + 0.46 = 45.46$।

(A) मान लीजिए $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$. हमें $f(66)$ का अनुमानित मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $x = 64$ और $\Delta x = 2$,ताकि $x + \Delta x = 66$ हो।
रैखिक सन्निकटन (linear approximation) के लिए सूत्र $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ है।
यहाँ,$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$,इसलिए $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$.
$x = 64$ पर,$f(64) = (64)^{\frac{1}{3}} = 4$.
और $f'(64) = \frac{1}{3(64)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(4^2)} = \frac{1}{3(16)} = \frac{1}{48}$.
अब,$f(66) \approx f(64) + f'(64) \Delta x$.
$f(66) \approx 4 + \left(\frac{1}{48}\right)(2) = 4 + \frac{1}{24}$.
चूंकि $\frac{1}{24} \approx 0.04166...$,इसलिए $f(66) \approx 4 + 0.04166... = 4.04166...$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $4.0417$ प्राप्त होता है,जो $4.0416$ के सबसे निकट है।

(D) दिया गया है $f(x) = \log x - \frac{2x}{x+2}$।
फलन का प्रांत $x > 0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{(x+2)(2) - 2x(1)}{(x+2)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{(x+2)^2}$
$f'(x) = \frac{(x+2)^2 - 4x}{x(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 4 - 4x}{x(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4}{x(x+2)^2}$
चूंकि $x^2 + 4 > 0$ और $(x+2)^2 > 0$ प्रांत के सभी $x > 0$ के लिए है,इसलिए $f'(x) > 0$ सभी $x > 0$ के लिए है।
अतः,फलन $x \in (0, \infty)$ के लिए निरंतर वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{a^x} = a^{-x}$ है,जहाँ $a > 0$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(a^{-x}) = -a^{-x} \cdot \ln(a)$.
चूंकि सभी $x$ के लिए $a^x > 0$ और $a > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $a$ के मान पर निर्भर करता है:
$1$. यदि $a > 1$ है,तो $\ln(a) > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $f'(x) < 0$,अतः फलन ह्रासमान है।
$2$. यदि $0 < a < 1$ है,तो $\ln(a) < 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $f'(x) > 0$,अतः फलन वर्धमान है।
$3$. यदि $a = 1$ है,तो $f(x) = 1$ होगा,जो एक अचर फलन है।
मानक पाठ्यपुस्तक संदर्भों में जहाँ $a > 1$ माना जाता है,फलन ह्रासमान होता है।

(C) दिया गया फलन: $f(x)=3x^{4}+16x^{3}-30x^{2}+10$
अवकलन ज्ञात करने पर: $f'(x)=12x^{3}+48x^{2}-60x$
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:
$12x^{3}+48x^{2}-60x > 0$
$12x$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$12x(x^{2}+4x-5) > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$12x(x+5)(x-1) > 0$
अंतराल ज्ञात करने के लिए,क्रांतिक बिंदु $x = -5, 0, 1$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x \in (-\infty, -5)$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x \in (-5, 0)$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$x \in (0, 1)$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x \in (1, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
अतः,फलन $x \in (-5, 0) \cup (1, \infty)$ के लिए वर्धमान है।

(C) माना $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं। त्रिभुज का परिमाप $a+b+c = 10 \text{ cm}$ है।
दिया है $a = 4 \text{ cm}$,अतः $b+c = 6 \text{ cm}$,जिसका अर्थ है $c = 6-b$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5(5-4)(5-b)(5-c)} = \sqrt{5(1)(5-b)(5-(6-b))} = \sqrt{5(5-b)(b-1)}$.
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $f(b) = 5(5-b)(b-1) = 5(-b^2 + 6b - 5)$ को अधिकतम करते हैं।
$b$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(b) = 5(-2b + 6)$.
$f'(b) = 0$ रखने पर $b = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f''(b) = -10 < 0$,इसलिए $b = 3 \text{ cm}$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
तब $c = 6 - 3 = 3 \text{ cm}$.
अतः,शेष भुजाएँ $3 \text{ cm}$ और $3 \text{ cm}$ हैं।

(B) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
अब,हम द्वितीय अवकलज परीक्षण (second derivative test) का उपयोग करते हैं:
$f''(x) = \frac{x^2 \cdot (-\frac{1}{x}) - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
$x = e$ पर,$f''(e) = \frac{2 \log e - 3}{e^3} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
चूंकि $f''(e) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = e$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(B) माना आयत की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं।
परिमाप $108 \ m$ दिया गया है,इसलिए $2x + 2y = 108$,जो $x + y = 54$ या $y = 54 - x$ में सरल हो जाता है।
आयत का क्षेत्रफल $A = x \times y$ है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$A = x(54 - x) = 54x - x^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dA}{dx} = 54 - 2x$।
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,$54 - 2x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 27$।
चूँकि $\frac{d^2A}{dx^2} = -2 < 0$ है,इसलिए $x = 27$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
अतः $y = 54 - 27 = 27$।
इस प्रकार,विमाएँ $27 \ m$ और $27 \ m$ हैं।

(C) माना $r$ त्रिज्या है और $\ell$ चित्र में दिखाए गए वृत्ताकार सेक्टर की चाप की लंबाई है। सेक्टर का परिमाप $P = 2r + \ell = 20 \ m$ है।
अतः,$\ell = 20 - 2r$.
वृत्ताकार सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \ell r$ द्वारा दिया जाता है।
$\ell$ का मान रखने पर,हमें $A = \frac{1}{2}(20 - 2r)r = 10r - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ रखने पर,हमें $10 - 2r = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 5 \ m$.
अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$.
चूंकि $\frac{d^2A}{dr^2} < 0$ है,इसलिए $r = 5 \ m$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(D) माना $ABCD$ एक वृत्त में अंतर्निहित आयत है जिसकी त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयत वृत्त के अंदर है,इसका विकर्ण वृत्त का व्यास है।
$\Rightarrow AC = BD = 2r = \text{व्यास}$.
माना $x$ और $y$ आयत की लंबाई और चौड़ाई हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^{2} + y^{2} = (2r)^{2} = 4r^{2}$.
$\Rightarrow y = \sqrt{4r^{2} - x^{2}}$.
अब,आयत का क्षेत्रफल $A = xy = x\sqrt{4r^{2} - x^{2}}$.
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{dA}{dx} = \sqrt{4r^{2} - x^{2}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{4r^{2} - x^{2}}} \cdot (-2x) = \sqrt{4r^{2} - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4r^{2} - x^{2}}} = \frac{4r^{2} - 2x^{2}}{\sqrt{4r^{2} - x^{2}}}$.
अधिकतम क्षेत्रफल के लिए,$\frac{dA}{dx} = 0$ रखें:
$4r^{2} - 2x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 2r^{2} \Rightarrow x = \sqrt{2}r$.
$y$ के व्यंजक में $x = \sqrt{2}r$ रखने पर:
$y = \sqrt{4r^{2} - (\sqrt{2}r)^{2}} = \sqrt{4r^{2} - 2r^{2}} = \sqrt{2r^{2}} = \sqrt{2}r$.
अतः,आयत के आयाम $\sqrt{2}r$ इकाई और $\sqrt{2}r$ इकाई हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = (x + 2) e^{-x}$.
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = (x + 2) \frac{d}{dx}(e^{-x}) + e^{-x} \frac{d}{dx}(x + 2)$
$f'(x) = (x + 2)(-e^{-x}) + e^{-x}(1)$
$f'(x) = e^{-x} [-(x + 2) + 1] = e^{-x}(-x - 1) = -e^{-x}(x + 1)$.
चूंकि $e^{-x} > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$f'(x)$ का चिह्न $-(x + 1)$ पर निर्भर करता है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0 \Rightarrow -(x + 1) > 0 \Rightarrow x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, -1)$ में वर्धमान है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0 \Rightarrow -(x + 1) < 0 \Rightarrow x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-1, \infty)$ में ह्रासमान है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है। दिया गया है कि $r + h = 6$, इसलिए $h = 6 - r$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $V(r) = \pi r^2 (6 - r) = \pi (6r^2 - r^3)$ प्राप्त होता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए, हम $V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dV}{dr} = \pi (12r - 3r^2) = 0$।
$3r(4 - r) = 0$, जिससे $r = 0$ (संभव नहीं) या $r = 4$ प्राप्त होता है।
जब $r = 4$ है, तो $h = 6 - 4 = 2$ होगा।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2V}{dr^2} = \pi (12 - 6r)$। $r = 4$ पर, $\frac{d^2V}{dr^2} = \pi (12 - 24) = -12\pi < 0$, अतः $r = 4$ पर आयतन अधिकतम है।
अधिकतम आयतन $V = \pi (4)^2 (2) = 32\pi \text{ m}^3$ है।

(C) मान लीजिए $d(AP) = x$ है। तब $d(BP) = 12 - x$ होगा।
फलन $f(x) = AP^{2} + BP^{2} = x^{2} + (12 - x)^{2}$ को परिभाषित करें।
इसका विस्तार करने पर,हमें $f(x) = x^{2} + 144 - 24x + x^{2} = 2x^{2} - 24x + 144$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज निकालते हैं: $f'(x) = 4x - 24$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $4x = 24$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 6$।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर,$f''(x) = 4$ है। चूँकि $f''(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ का मान $x = 6$ पर न्यूनतम है।
चूँकि $x = 6$ कुल लंबाई $12 \text{ cm}$ का ठीक आधा है,इसलिए $P$,रेखाखंड $AB$ का मध्यबिंदु है।

(A) किसी फलन $f(x)$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर रोले का प्रमेय लागू होने के लिए तीन शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
यहाँ $f(x) = |x-2|$ अंतराल $[0, 4]$ पर दिया गया है:
$f(0) = |0-2| = 2$ और $f(4) = |4-2| = 2$ प्राप्त होता है,अतः $f(0) = f(4)$ है।
परंतु,अवकलनीयता की जाँच करने पर: $f(x) = |x-2|$,$x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है,जो अंतराल $(0, 4)$ के भीतर स्थित है।
चूँकि फलन $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं किया जा सकता है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[1, 3]$ पर है।
लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (1, 3)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ हो।
सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$,इसलिए $f'(c) = 1 - \frac{1}{c^2}$।
अब,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें: $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ और $f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$।
इन मानों को $LMVT$ सूत्र में रखने पर: $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{10}{3} - 2}{3 - 1}$।
दाहिनी ओर को सरल करने पर: $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$।
$c^2$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{c^2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $c^2 = 3$।
चूंकि $c \in (1, 3)$,इसलिए हम धनात्मक मान लेंगे: $c = \sqrt{3}$।

(A) लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $f(x) = \log(\sin x)$ अंतराल $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ पर दिया गया है,इसलिए $a = \frac{\pi}{6}$ और $b = \frac{5\pi}{6}$ है।
सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.
अतः,$f'(c) = \cot c$.
अब,$f(a)$ और $f(b)$ का मान ज्ञात करें:
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \log(\sin(\frac{\pi}{6})) = \log(\frac{1}{2})$
$f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \log(\sin(\frac{5\pi}{6})) = \log(\frac{1}{2})$
अब,सूत्र में मान रखने पर:
$f'(c) = \frac{\log(\frac{1}{2}) - \log(\frac{1}{2})}{\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}} = \frac{0}{\frac{4\pi}{6}} = 0$.
इसलिए,$\cot c = 0$,जिसका अर्थ है कि $c = \frac{\pi}{2}$।

(B) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा बिंदु $c \in (1, 3)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ होता है।
दिया गया है $f(x) = x + \frac{1}{x}$,इसलिए $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$।
अंत बिंदुओं पर मानों की गणना करने पर:
$f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$
$f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
सूत्र का उपयोग करने पर:
$f'(c) = \frac{\frac{10}{3} - 2}{3 - 1} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$।
अब,$f'(c)$ को $\frac{2}{3}$ के बराबर रखने पर:
$1 - \frac{1}{c^2} = \frac{2}{3}$
$\frac{1}{c^2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$c^2 = 3$
चूंकि $c \in (1, 3)$,हम धनात्मक मूल लेंगे: $c = \sqrt{3}$।

(D) वांछित क्षेत्रफल $x=1$ से $x=4$ तक फलन $y=x^{3}$ के निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{4} x^{3} dx$
समाकलन के घात नियम का उपयोग करते हुए,$\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$,हमें प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{4}$
अब,सीमाओं को लागू करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{4} [4^{4} - 1^{4}]$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{4} [256 - 1]$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{255}{4} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) परवलय $x^2 = 4y$ है,जिसका अर्थ है $x = \pm 2\sqrt{y}$.
चूंकि क्षेत्रफल $Y$-अक्ष और प्रथम चतुर्थांश में परवलय द्वारा घिरा हुआ है,इसलिए हम $x = 2\sqrt{y}$ लेंगे।
वक्र $x = f(y)$,$Y$-अक्ष और रेखाओं $y = 2$ तथा $y = 4$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = 2 \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$
$A = \frac{4}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}]$
$A = \frac{4}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{4}{3}(8 - 2\sqrt{2})$ वर्ग इकाई है।

(B) हमारे पास वक्र $y=4x-x^{2}$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ रखते हैं:
$x(4-x)=0 \Rightarrow x=0$ या $x=4$.
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=4$ तक फलन का समाकलन है:
$A = \int_{0}^{4} (4x-x^{2}) dx$
$A = \left[ \frac{4x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left[ 2x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left( 2(4)^{2} - \frac{(4)^{3}}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \left( 2(16) - \frac{64}{3} \right) = 32 - \frac{64}{3}$
$A = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय का समीकरण $x^{2}=16y$ है,जो प्रथम चतुर्थांश के लिए $x=4\sqrt{y}$ देता है।
क्षेत्रफल $A$ वक्र $x=4\sqrt{y}$,$Y$-अक्ष और रेखाओं $y=1$ तथा $y=4$ द्वारा परिबद्ध है।
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} 4\sqrt{y} \, dy$
$A = 4 \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = 4 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{8}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}]$
$A = \frac{8}{3} [8 - 1]$
$A = \frac{8}{3} \times 7 = \frac{56}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(B) क्षेत्रफल $A$ फलन के मापांक के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{-\pi}^{\frac{3\pi}{2}} |\sin x| dx$
हम $\sin x$ के चिह्न के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-\pi}^{0} |\sin x| dx + \int_{0}^{\pi} |\sin x| dx + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} |\sin x| dx$
चूंकि $x \in [-\pi, 0]$ और $x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]$ के लिए $\sin x \le 0$ है,और $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin x \ge 0$ है:
$A = \int_{-\pi}^{0} (-\sin x) dx + \int_{0}^{\pi} (\sin x) dx + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} (-\sin x) dx$
$A = [\cos x]_{-\pi}^{0} + [-\cos x]_{0}^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = (\cos 0 - \cos(-\pi)) + (-\cos \pi + \cos 0) + (\cos(\frac{3\pi}{2}) - \cos \pi)$
$A = (1 - (-1)) + (-(-1) + 1) + (0 - (-1))$
$A = (1 + 1) + (1 + 1) + (0 + 1) = 2 + 2 + 1 = 5 \text{ (unit)}^2$

(C) वांछित क्षेत्रफल $A$,फलन $y = \sin^{2} x$ का $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{2}$ तक का निश्चित समाकलन है।
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$
$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$
$A = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin \pi}{2} \right) - (0 - 0) \right]$
$A = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 \right] = \frac{\pi}{4}$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया परवलय $y^{2}=8x$ है। इसे $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=2$.
नाभिलंब रेखा $x=a$ है,जो $x=2$ है।
परवलय और नाभिलंब के प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 4)$ और $(2, -4)$ हैं।
परवलय और नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$,$x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
$A = 2 \int_{0}^{2} y \, dx = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{8x} \, dx$
$A = 2 \times 2\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2}$
$A = 4\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{8 \times 2 \times 2}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=16$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है,इसलिए रेखाओं $x=0$ और $x=2$ द्वारा परिबद्ध कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \int_{0}^{2} y \, dx = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{16-x^{2}} \, dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16-x^{2}} + \frac{16}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{4}\right) \right]_{0}^{2}$
$= 2 \left[ \left( \frac{2}{2} \sqrt{16-4} + 8 \sin^{-1} \left(\frac{2}{4}\right) \right) - (0 + 8 \sin^{-1}(0)) \right]$
$= 2 \left[ \sqrt{12} + 8 \sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) \right]$
$= 2 \left[ 2\sqrt{3} + 8 \left(\frac{\pi}{6}\right) \right]$
$= 4\sqrt{3} + 8 \left(\frac{\pi}{3}\right) = 4\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(B) दिया गया परवलय $y^{2}=16x$ है। इसकी तुलना $y^{2}=4ax$ से करने पर,हमें $4a=16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=4$.
नाभिलंब रेखा $x=a$ है,अतः $x=4$.
परवलय और नाभिलंब के प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 8)$ और $(4, -8)$ हैं।
प्रथम चतुर्थांश में,क्षेत्रफल वक्र $y=\sqrt{16x}=4\sqrt{x}$,$x$-अक्ष और रेखा $x=4$ द्वारा घिरा हुआ है।
वांछित क्षेत्रफल समाकलन द्वारा इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{4} y \, dx = \int_{0}^{4} 4\sqrt{x} \, dx$
$= 4 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} \, dx$
$= 4 \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}$
$= 4 \times \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{8}{3} \left[ 4^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}} \right]$
$= \frac{8}{3} \times 8 = \frac{64}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) वक्र $y=f(x)$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ तथा $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है: $A = \int_{a}^{b} f(x) dx$.
यहाँ,$f(x) = x^{2}+1$,$a=1$,और $b=2$ है।
अतः,क्षेत्रफल:
$A = \int_{1}^{2} (x^{2}+1) dx$
$A = \left[ \frac{x^{3}}{3} + x \right]_{1}^{2}$
$A = \left( \frac{2^{3}}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1^{3}}{3} + 1 \right)$
$A = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right)$
$A = \left( \frac{8+6}{3} \right) - \left( \frac{1+3}{3} \right)$
$A = \frac{14}{3} - \frac{4}{3}$
$A = \frac{10}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) वांछित क्षेत्रफल $x=1$ से $x=5$ तक फलन $y$ का $x$ के सापेक्ष निश्चित समाकलन है। चूंकि अंतराल $[1, 5]$ में वक्र $x$-अक्ष के ऊपर है,इसलिए क्षेत्रफल है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{5} (4x^{3}-6x^{2}+4x+1) dx$
$= \left[\frac{4x^{4}}{4} - \frac{6x^{3}}{3} + \frac{4x^{2}}{2} + x\right]_{1}^{5}$
$= \left[x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} + x\right]_{1}^{5}$
$= [5^{4} - 2(5)^{3} + 2(5)^{2} + 5] - [1^{4} - 2(1)^{3} + 2(1)^{2} + 1]$
$= [625 - 250 + 50 + 5] - [1 - 2 + 2 + 1]$
$= 430 - 2 = 428 \text{ वर्ग इकाई}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिए गए परवलय $y^{2} = 5x$ और $x^{2} = 5y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,पहले समीकरण में $y = \frac{x^{2}}{5}$ प्रतिस्थापित करें:
$(\frac{x^{2}}{5})^{2} = 5x \Rightarrow \frac{x^{4}}{25} = 5x \Rightarrow x^{4} = 125x \Rightarrow x(x^{3} - 125) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = 5$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(5, 5)$ हैं।
दोनों वक्रों द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{5} (\sqrt{5x} - \frac{x^{2}}{5}) dx$
$A = \sqrt{5} \int_{0}^{5} x^{1/2} dx - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} x^{2} dx$
$A = \sqrt{5} [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_{0}^{5} - \frac{1}{5} [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}$
$A = \sqrt{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot (5)^{3/2} - \frac{1}{15} \cdot (5)^{3}$
$A = \frac{2}{3} \cdot 5 \cdot 5 - \frac{125}{15} = \frac{50}{3} - \frac{25}{3} = \frac{25}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $y^{2}=x$ और $x+y=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y=2-x$ को परवलय के समीकरण में रखने पर:
$(2-x)^{2}=x$
$4-4x+x^{2}=x$
$x^{2}-5x+4=0$
$(x-4)(x-1)=0$
$x=1$ या $x=4$ प्राप्त होता है।
चूंकि हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं,इसलिए हम $x=1$ लेंगे। $x=1$ को $y^{2}=x$ में रखने पर,हमें $y=1$ प्राप्त होता है (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $y>0$ होता है)।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1,1)$ है।
रेखा $x+y=2$,$X$-अक्ष को $(2,0)$ पर काटती है।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल और $x=1$ से $x=2$ तक रेखा के नीचे के क्षेत्रफल का योग है:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx + \int_{1}^{2} (2-x) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} + \left[ 2x - \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{2}$
$= \frac{2}{3}(1) + \left( (4-2) - (2-0.5) \right)$
$= \frac{2}{3} + (2 - 1.5) = \frac{2}{3} + 0.5 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6}$ वर्ग इकाई।

(B) वांछित क्षेत्रफल $A$,$x=1$ से $x=e$ तक फलन $y = \log x$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$A = \int_{1}^{e} \log x \, dx$
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = \log x$ और $dv = dx$:
$A = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$A = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 \, dx$
$A = [x \log x - x]_{1}^{e}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$A = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1)$
चूंकि $\log e = 1$ और $\log 1 = 0$:
$A = (e(1) - e) - (0 - 1)$
$A = (e - e) - (-1)$
$A = 0 + 1 = 1 \text{ वर्ग इकाई}$

(B) वृत्त के व्यास द्वारा वृत्त पर किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण समकोण होता है। इसलिए,$\angle APB = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $AP \perp PB$ है।
$AP$ के दिक अनुपात $(5-3, 6-(-2), -1-2) = (2, 8, -3)$ हैं।
$PB$ के दिक अनुपात $(2-5, \lambda+1-6, 5-(-1)) = (-3, \lambda-5, 6)$ हैं।
चूंकि $AP \perp PB$ है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(2)(-3) + (8)(\lambda-5) + (-3)(6) = 0$
$-6 + 8\lambda - 40 - 18 = 0$
$8\lambda - 64 = 0$
$8\lambda = 64$
$\lambda = 8$.

(B) एक फलन $f(x)$ एक सतत यादृच्छिक चर $X$ का $p.d.f.$ होता है यदि यह दो शर्तों को पूरा करता है:
$1$. सभी $x$ के लिए $f(x) \ge 0$।
$2$. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$।
प्रत्येक फलन की जाँच करते हैं:
$F_{1}(x) = e^{-x}$ के लिए $0 < x < \infty$:
$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1$। यह एक $p.d.f.$ है।
$F_{2}(x) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{\sqrt{x}}$ के लिए $0 < x < 4$:
$\int_{0}^{4} \frac{1}{4\sqrt{x}} \, dx = \frac{1}{4} [2\sqrt{x}]_{0}^{4} = \frac{1}{4} (2 \times 2 - 0) = 1$। यह एक $p.d.f.$ है।
$F_{3}(x) = 6x(1-x)$ के लिए $0 < x < 1$:
$\int_{0}^{1} 6(x - x^2) \, dx = 6 [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 6 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{6}) = 1$। यह एक $p.d.f.$ है।
$F_{4}(x) = \frac{x}{2}$ के लिए $-2 < x < 2$:
यहाँ,$x \in (-2, 0)$ के लिए $f(x) = \frac{x}{2}$ ऋणात्मक है।
चूंकि एक $p.d.f.$ को सभी $x$ के लिए गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $F_{4}$ एक $p.d.f.$ नहीं है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $f(x)$ के $x = -2$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \rightarrow -2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2^{-}} (6 \beta - 3 \alpha x) = 6 \beta - 3 \alpha (-2) = 6 \beta + 6 \alpha$.
$\lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2^{+}} (4x + 1) = 4(-2) + 1 = -8 + 1 = -7$.
चूंकि $f(x)$ सतत है,इसलिए $6 \beta + 6 \alpha = -7$.
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर,हमें $\alpha + \beta = \frac{-7}{6}$ प्राप्त होता है।