MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બિંદુ $(4, 1)$ અને રેખા $3x - 4y + k = 0$ માટે:
$2 = \left| \frac{3(4) - 4(1) + k}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right|$
$2 = \left| \frac{12 - 4 + k}{\sqrt{9 + 16}} \right|$
$2 = \left| \frac{8 + k}{5} \right|$
$|8 + k| = 10$
આથી $8 + k = 10$ અથવા $8 + k = -10$ મળે.
જો $8 + k = 10$,તો $k = 2$.
જો $8 + k = -10$,તો $k = -18$.
તેથી,$k$ ની કિંમતો $2$ અને $-18$ છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $p = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ રેખા $x \sin \theta + y \cos \theta - 5 \cos 2 \theta = 0$ માટે,$p_{1} = \frac{|-5 \cos 2 \theta|}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |5 \cos 2 \theta|$.
તેથી,$p_{1}^2 = 25 \cos^2 2 \theta$.
બીજી રેખા $x \operatorname{cosec} \theta + y \sec \theta - 5 = 0$ માટે,$p_{2} = \frac{|-5|}{\sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta + \sec^2 \theta}} = \frac{5}{\sqrt{\frac{1}{\sin^2 \theta} + \frac{1}{\cos^2 \theta}}} = 5 \sin \theta \cos \theta = \frac{5}{2} \sin 2 \theta$.
તેથી,$4 p_{2}^2 = 4 \left( \frac{25}{4} \sin^2 2 \theta \right) = 25 \sin^2 2 \theta$.
આમ,$p_{1}^2 + 4 p_{2}^2 = 25 \cos^2 2 \theta + 25 \sin^2 2 \theta = 25$.

(B) આપેલ બે રેખાઓના સમીકરણો:
$x \sqrt{3}-y=k \sqrt{3} \quad ...(1)$
$\sqrt{3} k x+k y=\sqrt{3} \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$k = \frac{x \sqrt{3}-y}{\sqrt{3}}$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$k = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} x+y}$.
બંને સમીકરણોમાંથી $k$ ની કિંમતો સરખાવતા:
$\frac{x \sqrt{3}-y}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} x+y}$
$(x \sqrt{3}-y)(\sqrt{3} x+y) = (\sqrt{3})(\sqrt{3})$
$3x^{2} - y^{2} = 3$
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ મળે છે.
આ અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે,$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1) x \cos \theta + y \sin \theta = 5$
$2) x \sin \theta - y \cos \theta = 3$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(x \cos \theta + y \sin \theta)^{2} = 5^{2} \implies x^{2} \cos^{2} \theta + y^{2} \sin^{2} \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta = 25$
$(x \sin \theta - y \cos \theta)^{2} = 3^{2} \implies x^{2} \sin^{2} \theta + y^{2} \cos^{2} \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta = 9$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(x^{2} \cos^{2} \theta + x^{2} \sin^{2} \theta) + (y^{2} \sin^{2} \theta + y^{2} \cos^{2} \theta) = 25 + 9$
$x^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + y^{2}(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = 34$
કારણ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી:
$x^{2}(1) + y^{2}(1) = 34$
$x^{2} + y^{2} = 34$

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin^{2} x + 7 \cos x = 5$
$\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(1 - \cos^{2} x) + 7 \cos x = 5$
$2 - 2 \cos^{2} x + 7 \cos x = 5$
$2 \cos^{2} x - 7 \cos x + 3 = 0$
ધારો કે $t = \cos x$. તો $2t^{2} - 7t + 3 = 0$
$2t^{2} - 6t - t + 3 = 0$
$2t(t - 3) - 1(t - 3) = 0$
$(2t - 1)(t - 3) = 0$
તેથી,$t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = 3$.
$\cos x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$t = 3$ શક્ય નથી.
તેથી,$\cos x = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\cos 2x = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં $\theta = \frac{2\pi}{3}$ અને $\theta = \frac{4\pi}{3}$ માટે $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ થાય છે.
તેથી,$2x = \frac{2\pi}{3}$ અથવા $2x = \frac{4\pi}{3}$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{\pi}{3}$ અથવા $x = \frac{2\pi}{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}=3$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ અને $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = 3$
$\tan^2 x = 3$
$\tan^2 x = 3$ હોવાથી,$\tan^2 x = (\sqrt{3})^2 = \tan^2 \frac{\pi}{3}$ મળે.
$\tan^2 x = \tan^2 \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$.

(A) આપેલ છે કે $\cot x = \sqrt{3}$.
$\cot x = \frac{1}{\tan x}$ હોવાથી,$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે.
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $x$ ના મુખ્ય મૂલ્યો $(0, 2\pi)$ અંતરાલમાં હોય છે.
પ્રથમ ચરણમાં,$x = \frac{\pi}{6}$ માટે $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય છે.
$\tan x$ ત્રીજા ચરણમાં ધન હોવાથી,બીજો ઉકેલ $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ મળે.
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{7\pi}{6}$ છે.

(D) આપેલ છે: $\frac{\sin (A+B)}{\sin (A-B)}=\frac{\cos (C+D)}{\cos (C-D)}$
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)}{\sin (A+B)-\sin (A-B)}=\frac{\cos (C+D)+\cos (C-D)}{\cos (C+D)-\cos (C-D)}$
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \sin A \cos B}{2 \cos A \sin B} = \frac{2 \cos C \cos D}{-2 \sin C \sin D}$
$\tan A \cot B = -\cot C \cot D$

(B) આપેલ છે $\sec x + \tan x = 3$ $(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) = 1$
$(1)$ ની કિંમત મુકતા,$\sec x - \tan x = \frac{1}{3}$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$2 \sec x = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
તેથી,$\sec x = \frac{5}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos x = \frac{3}{5}$
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$\sin x$ ધન છે.
$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{2} x - \cos 2 x = 2 - \sin 2 x$
નિત્યસમ $\cos 2 x = 1 - 2 \sin ^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^{2} x - (1 - 2 \sin ^{2} x) = 2 - \sin 2 x$
$3 \sin ^{2} x - 1 = 2 - \sin 2 x$
$3 \sin ^{2} x + \sin 2 x - 3 = 0$
$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ અને $1 = \sin ^{2} x + \cos ^{2} x$ હોવાથી,$3 = 3(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x)$ લખી શકાય:
$3 \sin ^{2} x + 2 \sin x \cos x - 3(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x) = 0$
$2 \sin x \cos x - 3 \cos ^{2} x = 0$
$\cos x (2 \sin x - 3 \cos x) = 0$
આથી $\cos x = 0$ અથવા $2 \sin x = 3 \cos x$.
શરત $3 \cos x \neq 2 \sin x$ આપેલ હોવાથી,$\cos x = 0$ મળે.
$\cos x = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + \frac{\pi}{2}, n \in Z$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 3\theta = \tan(2\theta + \theta)$.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 3\theta = \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા:
$\tan 3\theta(1 - \tan 2\theta \tan \theta) = \tan 2\theta + \tan \theta$.
$\tan 3\theta - \tan 3\theta \tan 2\theta \tan \theta = \tan 2\theta + \tan \theta$.
$\tan 3\theta \tan 2\theta \tan \theta = \tan 3\theta - \tan 2\theta - \tan \theta$.
આપેલ સમીકરણ $\tan 3\theta \tan 2\theta \tan \theta + \tan 2\theta + \tan \theta = 1$ માં ઉપરની કિંમત મૂકતા:
$(\tan 3\theta - \tan 2\theta - \tan \theta) + \tan 2\theta + \tan \theta = 1$.
$\tan 3\theta = 1$.
$\tan 3\theta = \tan \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$3\theta = \frac{\pi}{4} + n\pi$.
$\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે,$n = 0$ લેતા $3\theta = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{12}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \tan 2\theta = \tan 3\theta$.
નિત્યસમ $\tan 3\theta = \tan(2\theta + \theta) = \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\tan \theta + \tan 2\theta = \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}$.
આથી $(\tan \theta + \tan 2\theta) \left(1 - \frac{1}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}\right) = 0$.
કિસ્સો $1$: $\tan \theta + \tan 2\theta = 0$ $\Rightarrow \frac{\sin 3\theta}{\cos \theta \cos 2\theta} = 0$ $\Rightarrow 3\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3}$.
કિસ્સો $2$: $1 - \tan 2\theta \tan \theta = 1 \Rightarrow \tan 2\theta \tan \theta = 0$.
આનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 0$ અથવા $\tan 2\theta = 0$.
જો $\tan \theta = 0$,તો $\theta = n\pi$.
જો $\tan 2\theta = 0$,તો $2\theta = k\pi \Rightarrow \theta = \frac{k\pi}{2}$.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi$ અથવા $\theta = \frac{p\pi}{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
સૂત્ર $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$.
તેથી,$\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{\pi}{4}-\theta = \frac{\pi}{6}$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા: $\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$.

(C) આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = 5$ $(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot^{2} \theta = 1$
નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) = 1$
$(1)$ ની કિંમત મૂકતા,$(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(5) = 1 \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = \frac{1}{5}$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$2 \operatorname{cosec} \theta = 5 + \frac{1}{5} = \frac{26}{5}$
તેથી,$\operatorname{cosec} \theta = \frac{13}{5}$
$\sin \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{5}{13}$

(C) આપેલ છે કે $\sin x + \sin^{2} x = 1$.
આથી $\sin x = 1 - \sin^{2} x$,એટલે કે $\sin x = \cos^{2} x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\sin^{2} x = \cos^{4} x$ મળે.
હવે,પદાવલિ $\cos^{8} x + 2 \cos^{6} x + \cos^{4} x$ ને ધ્યાનમાં લો.
આને $(\cos^{4} x + \cos^{2} x)^{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$\cos^{4} x = \sin^{2} x$ મૂકતા,આપણને $(\sin^{2} x + \cos^{2} x)^{2}$ મળે.
$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ હોવાથી,પદાવલિની કિંમત $(1)^{2} = 1$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^{2} x \sec x = \tan x - \sin x + 1$
$\cos x$ વડે ગુણતા $(\cos x \neq 0)$:
$\sin^{2} x = \sin x - \sin x \cos x + \cos x$
$\sin^{2} x - \sin x + \sin x \cos x - \cos x = 0$
$\sin x(\sin x - 1) + \cos x(\sin x - 1) = 0$
$(\sin x + \cos x)(\sin x - 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin x = 1 \implies x = 2n \pi + \frac{\pi}{2} = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{2}$ ($n \in \mathbb{Z}$ માટે).
કિસ્સો $2$: $\sin x + \cos x = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = m \pi - \frac{\pi}{4} = m \pi + \frac{3 \pi}{4}$ ($m \in \mathbb{Z}$ માટે).
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{2}$ અથવા $x = m \pi + \frac{3 \pi}{4}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $3 \sin^{2} x - 8 \sin x + 4 = 0$ છે.
ધારો કે $u = \sin x$,તેથી $3u^{2} - 8u + 4 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(3u - 2)(u - 2) = 0$.
આથી $u = \frac{2}{3}$ અથવા $u = 2$ મળે.
$\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin x = 2$ શક્ય નથી.
તેથી,$\sin x = \frac{2}{3}$.
$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ હોવાથી,$x$ બીજા ચરણમાં છે જ્યાં $\cos x$ ઋણ હોય છે.
$\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
તેથી,$\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.
આમ,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2/3}{-\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \cos^{2} \theta + 3 \cos \theta = 2$
પદોને ગોઠવતા: $2 \cos^{2} \theta + 3 \cos \theta - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2 \cos^{2} \theta + 4 \cos \theta - \cos \theta - 2 = 0$
$2 \cos \theta(\cos \theta + 2) - 1(\cos \theta + 2) = 0$
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 2) = 0$
આથી બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $\cos \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos \theta = -2$
કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\cos \theta = -2$ શક્ય નથી.
તેથી,શક્ય કિંમત $\cos \theta = \frac{1}{2}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$.
આપેલ પદાવલિ $P = \tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \cdots \tan 44^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 46^{\circ} \cdots \tan 88^{\circ} \tan 89^{\circ}$ છે.
આપણે લખી શકીએ કે $\tan 89^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cot 1^{\circ}$,$\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$,વગેરે.
તેથી,$P = (\tan 1^{\circ} \cot 1^{\circ}) \times (\tan 2^{\circ} \cot 2^{\circ}) \times \cdots \times (\tan 44^{\circ} \cot 44^{\circ}) \times \tan 45^{\circ}$.
કારણ કે $\tan \theta \times \cot \theta = 1$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $P = 1 \times 1 \times \cdots \times 1 \times 1 = 1$.

(A) આપેલ છે $\sec \theta = \frac{13}{12}$,તેથી $\cos \theta = \frac{12}{13}$.
$\theta$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવાથી,$\sin \theta$ ઋણ છે.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta = -\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = -\frac{5}{13}$.
હવે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{5}{12}$ અને $\operatorname{cosec} \theta = -\frac{13}{5}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta \times \operatorname{cosec} \theta \times \sin \theta \times \cos \theta = (-\frac{5}{12}) \times (-\frac{13}{5}) \times (-\frac{5}{13}) \times (\frac{12}{13}) = -\frac{5}{13}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$.
$\tan \theta = 2$ ની કિંમત મૂકતા,$\sec^{2} \theta = 1 + (2)^{2} = 1 + 4 = 5$ મળે.
$\theta$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sec \theta$ ઋણ હોય.
તેથી,$\sec \theta = -\sqrt{5}$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$\tan \theta + \sin \theta = a$ $(1)$
$\tan \theta - \sin \theta = b$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2 \tan \theta = a + b$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{a+b}{2}$ $\Rightarrow \cot \theta = \frac{2}{a+b}$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$2 \sin \theta = a - b$ $\Rightarrow \sin \theta = \frac{a-b}{2}$ $\Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = \frac{2}{a-b}$
આમ,કિંમતો $\frac{2}{a+b}$ અને $\frac{2}{a-b}$ છે.

(D) $(a) \sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$(b) \cos 930^{\circ} = \cos(2 \times 360^{\circ} + 210^{\circ}) = \cos 210^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$(c) \tan 840^{\circ} = \tan(2 \times 360^{\circ} + 120^{\circ}) = \tan 120^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan 60^{\circ} = -\sqrt{3}$
$(d) \cot(-1110^{\circ}) = -\cot(1110^{\circ}) = -\cot(3 \times 360^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cot 30^{\circ} = -\sqrt{3}$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$(c)$ અને $(d)$ બંને $-\sqrt{3}$ છે.

(D) અમે વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ અને $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
$\sin \left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \sin \frac{\pi}{3} \cos x + \cos \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$.
$\cos \left(\frac{\pi}{6}+x\right) = \cos \frac{\pi}{6} \cos x - \sin \frac{\pi}{6} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x$.
બંને પદોની બાદબાકી કરતા:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x\right)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$
$= \sin x$.

(C) આપેલ છે: $x = 3 \sin \theta$,$y = 3 \cos \theta \cos \phi$,$z = 3 \cos \theta \sin \phi$
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (3 \sin \theta)^{2} + (3 \cos \theta \cos \phi)^{2} + (3 \cos \theta \sin \phi)^{2}$
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta \cos^{2} \phi + 9 \cos^{2} \theta \sin^{2} \phi$
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi)$
કારણ કે $\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1$:
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta (1)$
$= 9 (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)$
કારણ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$:
$= 9 \times 1 = 9$

(A) $\sin 690^{\circ} \times \sec 240^{\circ}$
$= \sin (2 \times 360^{\circ} - 30^{\circ}) \times \sec (180^{\circ} + 60^{\circ})$
$= \sin (-30^{\circ}) \times (-\sec 60^{\circ})$
$= (-\sin 30^{\circ}) \times (-2)$
$= (-\frac{1}{2}) \times (-2) = 1$

(D) આપેલ છે $\sin \theta = \frac{-12}{13}$ અને $\theta$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેથી $\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\sqrt{1 - (\frac{-12}{13})^2} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.
આમ,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$.
આપેલ છે $\cos \phi = \frac{-4}{5}$ અને $\phi$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેથી $\sin \phi = -\sqrt{1 - \cos^2 \phi} = -\sqrt{1 - (\frac{-4}{5})^2} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.
આમ,$\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$.
સૂત્ર $\tan(\theta - \phi) = \frac{\tan \theta - \tan \phi}{1 + \tan \theta \tan \phi}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\theta - \phi) = \frac{12/5 - 3/4}{1 + (12/5)(3/4)} = \frac{(48 - 15)/20}{1 + 36/20} = \frac{33/20}{56/20} = \frac{33}{56}$.

(C) આપેલ છે કે $a = \sin 175^{\circ} + \cos 175^{\circ}$.
સંબંધિત ખૂણાઓના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 175^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 5^{\circ}) = \sin 5^{\circ}$
$\cos 175^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 5^{\circ}) = -\cos 5^{\circ}$
તેથી,$a = \sin 5^{\circ} - \cos 5^{\circ}$.
અંતરાલ $0^{\circ} < \theta < 45^{\circ}$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta < \cos \theta$.
કારણ કે $5^{\circ}$ આ અંતરાલમાં છે,તેથી $\sin 5^{\circ} < \cos 5^{\circ}$.
આમ,$\sin 5^{\circ} - \cos 5^{\circ} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $a < 0$.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ પૂરક ખૂણાઓ છે,તેથી $A + B = 180^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $B = 180^{\circ} - A$,તેથી $\frac{B}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin^{2} \frac{A}{2} + \sin^{2} (90^{\circ} - \frac{A}{2})$.
નિત્યસમ $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sin^{2} \frac{A}{2} + \cos^{2} \frac{A}{2}$.
કારણ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી જવાબ $1$ છે.

(A) આપેલ છે: $\tan \theta + \cot \theta = 4$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$(\tan \theta + \cot \theta)^{2} = 4^{2}$
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta + 2 \tan \theta \cot \theta = 16$
$\tan \theta \cot \theta = 1$ હોવાથી:
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta + 2(1) = 16$
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta = 14$
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta)^{2} = 14^{2}$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta + 2 \tan^{2} \theta \cot^{2} \theta = 196$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta + 2(1)^{2} = 196$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta = 196 - 2 = 194$

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ હોવાથી,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$A + C = 180^{\circ}$ અને $B + D = 180^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $A = 180^{\circ} - C$ અને $B = 180^{\circ} - D$.
ગુણધર્મ $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \cos(180^{\circ} - C) = -\cos C \implies \cos A + \cos C = 0$.
$\cos B = \cos(180^{\circ} - D) = -\cos D \implies \cos B + \cos D = 0$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0 + 0 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin x + \operatorname{cosec} x = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin x + \operatorname{cosec} x)^{2} = 3^{2}$
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x + 2 \sin x \operatorname{cosec} x = 9$
$\sin x \operatorname{cosec} x = 1$ હોવાથી:
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x + 2(1) = 9$
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x = 7$
હવે,ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x)^{2} = 7^{2}$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x + 2 \sin^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x = 49$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x + 2(1)^{2} = 49$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x = 49 - 2 = 47$

(D) આપણે બે ખૂણાઓના સરવાળા માટે ટેન્જન્ટનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ: $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\tan(A+B) = \frac{\frac{5}{6} + \frac{1}{11}}{1 - (\frac{5}{6} \times \frac{1}{11})}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{5}{6} + \frac{1}{11} = \frac{55 + 6}{66} = \frac{61}{66}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $1 - \frac{5}{66} = \frac{66 - 5}{66} = \frac{61}{66}$.
આમ,$\tan(A+B) = \frac{61/66}{61/66} = 1$.
તેથી,$\tan(A+B) = 1$ હોવાથી $A+B = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(A) $\sec 2 \theta - \tan 2 \theta = \frac{1}{\cos 2 \theta} - \frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = \frac{1 - \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}$
$\frac{(\cos \theta - \sin \theta)^2}{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta} = \frac{(\cos \theta - \sin \theta)^2}{(\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta)}$
$= \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \theta}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan \theta}$
$= \tan \left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta$ ના સંદર્ભમાં $\cos 2 \theta$ નું સૂત્ર છે:
$\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$
આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{1}{3}$,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos 2 \theta = \frac{1 - (\frac{1}{3})^2}{1 + (\frac{1}{3})^2} = \frac{1 - \frac{1}{9}}{1 + \frac{1}{9}}$
$\cos 2 \theta = \frac{\frac{8}{9}}{\frac{10}{9}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

(B) આપેલ સમીકરણો:
$\cos x + \cos y = -\cos \alpha$ ... $(1)$
$\sin x + \sin y = -\sin \alpha$ ... $(2)$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\cos \alpha$ ... $(3)$
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sin \alpha$ ... $(4)$
સમીકરણ $(4)$ ને સમીકરણ $(3)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{-\sin \alpha}{-\cos \alpha}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \tan \alpha$
તેથી,$\cot \left(\frac{x+y}{2}\right) = \cot \alpha$.

(B) $\triangle ABC$ માં,$A + B + C = \pi$,તેથી $2A + 2B + 2C = 2\pi$.
તેથી,$2A + 2B = 2\pi - 2C$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(2A + 2B) = \tan(2\pi - 2C) = -\tan 2C$.
$\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan 2A + \tan 2B}{1 - \tan 2A \tan 2B} = -\tan 2C$.
બંને બાજુ $(1 - \tan 2A \tan 2B)$ વડે ગુણતા:
$\tan 2A + \tan 2B = -\tan 2C(1 - \tan 2A \tan 2B)$.
$\tan 2A + \tan 2B = -\tan 2C + \tan 2A \tan 2B \tan 2C$.
પદોને ગોઠવતા:
$\tan 2A + \tan 2B + \tan 2C = \tan 2A \tan 2B \tan 2C$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 \theta}} = \sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 4 \theta)}}$
$= \sqrt{2+\sqrt{2(2 \cos^2 2 \theta)}}$
$= \sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 2 \theta}}$
$= \sqrt{2+2 \cos 2 \theta}$
$= \sqrt{2(1+\cos 2 \theta)}$
$= \sqrt{2(2 \cos^2 \theta)}$
$= \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \cos \theta$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\sin A - \sin C}{\cos C - \cos A} = \cot B$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)} = \cot B$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\cot \left(\frac{A+C}{2}\right) = \cot B$
આથી:
$\frac{A+C}{2} = B \implies A+C = 2B$
બે ખૂણાઓનો સરવાળો ત્રીજા ખૂણાના બમણા હોવાથી,$A, B, C$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} 2 \theta = \frac{1}{\sin 2 \theta}$ અને $\cot 2 \theta = \frac{\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\operatorname{cosec} 2 \theta - \cot 2 \theta = \frac{1}{\sin 2 \theta} - \frac{\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta} = \frac{1 - \cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos 2 \theta = 2 \sin^2 \theta$ અને $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે નિત્યસમ $\sin^{2}(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$\theta = \frac{\pi}{8}$ મૂકતા:
$\sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 - \cos\left(2 \times \frac{\pi}{8}\right)}{2}$
$= \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}$
કારણ કે $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ અને $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
$\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$
$= \left(\cos \frac{3 \pi}{4} \cos x - \sin \frac{3 \pi}{4} \sin x\right) - \left(\sin \frac{\pi}{4} \cos x - \cos \frac{\pi}{4} \sin x\right)$
કારણ કે $\cos \frac{3 \pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{3 \pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$= \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right)$
$= -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x$
$= -\frac{2}{\sqrt{2}} \cos x = -\sqrt{2} \cos x$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{\cos 12^{\circ}-\sin 12^{\circ}}{\cos 12^{\circ}+\sin 12^{\circ}} + \tan 147^{\circ}$
પ્રથમ પદના અંશ અને છેદને $\cos 12^{\circ}$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{1-\tan 12^{\circ}}{1+\tan 12^{\circ}} + \tan(180^{\circ}-33^{\circ})$
$E = \tan(45^{\circ}-12^{\circ}) - \tan 33^{\circ}$
$E = \tan 33^{\circ} - \tan 33^{\circ} = 0$

(C) આપેલ છે કે $\sin (y+z-x), \sin (z+x-y)$ અને $\sin (x+y-z)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$\therefore 2 \sin (z+x-y) = \sin (y+z-x) + \sin (x+y-z)$
સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin (z+x-y) = 2 \sin y \cos (z-x)$
આ શરતને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે કે $\tan x, \tan y, \tan z$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$2 \tan y = \tan x + \tan z$.

(A) નિત્યસમ $\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) = \cos(x-y)$ અને $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
આપેલ પદાવલિ: $\cos(36^{\circ}-A) \cos(36^{\circ}+A) + \cos(54^{\circ}+A) \cos(54^{\circ}-A)$
કારણ કે $54^{\circ}+A = 90^{\circ}-(36^{\circ}-A)$ અને $54^{\circ}-A = 90^{\circ}-(36^{\circ}+A)$,તેથી:
$\cos(54^{\circ}+A) = \sin(36^{\circ}-A)$ અને $\cos(54^{\circ}-A) = \sin(36^{\circ}+A)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos(36^{\circ}-A) \cos(36^{\circ}+A) + \sin(36^{\circ}-A) \sin(36^{\circ}+A)$
આ $\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $x = 36^{\circ}-A$ અને $y = 36^{\circ}+A$.
$= \cos((36^{\circ}-A) - (36^{\circ}+A))$
$= \cos(36^{\circ}-A-36^{\circ}-A)$
$= \cos(-2A)$
$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ હોવાથી,જવાબ $\cos(2A)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\sin A - \sin B = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin A = \sin B$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A, B \in (0, \pi)$ માટે,$\sin A = \sin B$ નો અર્થ $A = B$ અથવા $A = \pi - B$ થાય છે.
શરત $A = \pi - B$ એ $A + B = \pi$ ને સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે ખૂણાઓ પૂરક છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે ખૂણાઓ પૂરક નથી,તેથી $A = B$ હોવું જોઈએ.

(A) આપેલ છે $\sin \theta = \sin 15^{\circ} + \sin 45^{\circ}$.
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \theta = 2 \sin \left( \frac{15^{\circ} + 45^{\circ}}{2} \right) \cos \left( \frac{15^{\circ} - 45^{\circ}}{2} \right)$
$\sin \theta = 2 \sin 30^{\circ} \cos(-15^{\circ})$
$\cos(-x) = \cos x$ અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$\sin \theta = 2 \times \frac{1}{2} \times \cos 15^{\circ}$
$\sin \theta = \cos 15^{\circ}$
$\cos 15^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin 75^{\circ}$ હોવાથી:
$\sin \theta = \sin 75^{\circ}$
તેથી,$\theta = 75^{\circ}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin A+\sin 7 A+\sin 13 A}{\cos A+\cos 7 A+\cos 13 A}$
$A$ અને $13A$ વાળા પદોને જૂથમાં લેતા:
$= \frac{(\sin 13 A+\sin A)+\sin 7 A}{(\cos 13 A+\cos A)+\cos 7 A}$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રો $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ અને $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin 7 A \cos 6 A + \sin 7 A}{2 \cos 7 A \cos 6 A + \cos 7 A}$
અંશમાંથી $\sin 7 A$ અને છેદમાંથી $\cos 7 A$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{\sin 7 A(2 \cos 6 A + 1)}{\cos 7 A(2 \cos 6 A + 1)}$
$= \frac{\sin 7 A}{\cos 7 A} = \tan 7 A$

(B) આપણે નિત્યસમ $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $\cot \theta = \tan \theta + 2 \cot 2\theta$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2 \cot 2\theta = \cot \theta - \tan \theta$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $E = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$ ધ્યાનમાં લો.
$\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને:
$\tan A = \cot A - 2 \cot 2A$
આને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = (\cot A - 2 \cot 2A) + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$
આ પદ્ધતિ જટિલ છે,તેથી ચાલો $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ નો વારંવાર ઉપયોગ કરીને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સાદું રૂપ આપીએ:
$8 \cot 8A = 4 \cot 4A - 4 \tan 4A$
$E = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + (4 \cot 4A - 4 \tan 4A) = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \cot 4A$
હવે,$4 \cot 4A = 2 \cot 2A - 2 \tan 2A$
$E = \tan A + 2 \tan 2A + (2 \cot 2A - 2 \tan 2A) = \tan A + 2 \cot 2A$
છેલ્લે,$2 \cot 2A = \cot A - \tan A$
$E = \tan A + (\cot A - \tan A) = \cot A$.

(B) ધારો કે $b$ એ બેક્ટેરિયાની સંખ્યા છે.
આપણી પાસે $\frac{db}{dt} \propto b \Rightarrow \int \frac{db}{b} = \int K dt$ છે.
$\therefore \log b = Kt + c$ ...$(1)$
ધારો કે $b_{0}$ એ બેક્ટેરિયાની પ્રારંભિક સંખ્યા છે. $t = 0$ સમયે,$b = b_{0}$.
$\log b_{0} = K(0) + c \Rightarrow c = \log b_{0}$.
$\therefore \log \left(\frac{b}{b_{0}}\right) = Kt$ ...$(2)$
જ્યારે $t = 3, b = 2b_{0}$.
$\therefore \log \left(\frac{2b_{0}}{b_{0}}\right) = 3K \Rightarrow K = \frac{1}{3}(\log 2)$.
આમ,$\log \left(\frac{b}{b_{0}}\right) = \frac{1}{3}(\log 2)t$.
જ્યારે $t = 6$:
$\log \left(\frac{b}{b_{0}}\right) = \frac{1}{3}(\log 2)(6) = 2 \log 2 = \log 4$.
$\therefore \frac{b}{b_{0}} = 4 \Rightarrow b = 4b_{0}$.
તેથી,બેક્ટેરિયાની સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતા $4$ ગણી વધશે.

(D) ધારો કે $t \text{ મિનિટ}$ સમયે પાણીનું તાપમાન $\theta^{\circ} C$ છે. ઓરડાનું તાપમાન $T_s = 25^{\circ} C$ છે.
ન્યુટનના શીતલન (cooling) ના નિયમ મુજબ,$\frac{d\theta}{dt} = -K(\theta - T_s)$.
આનું સંકલન કરતા,$\ln(\theta - 25) = -Kt + C$ મળે.
$t = 0$ સમયે,$\theta = 100^{\circ} C$,તેથી $\ln(75) = C$.
આમ,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{75}\right) = -Kt$.
$t = 15$ સમયે,$\theta = 75^{\circ} C$,તેથી $\ln\left(\frac{75 - 25}{75}\right) = -15K \Rightarrow \ln\left(\frac{50}{75}\right) = -15K \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{3}\right) = -15K$.
તેથી,$K = -\frac{1}{15} \ln\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{15} \ln\left(\frac{3}{2}\right)$.
હવે,$t = 30 \text{ મિનિટ}$ માટે,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{75}\right) = -30 \times \left(\frac{1}{15} \ln\left(\frac{3}{2}\right)\right) = -2 \ln\left(\frac{3}{2}\right) = \ln\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}\right) = \ln\left(\frac{4}{9}\right)$.
તેથી,$\frac{\theta - 25}{75} = \frac{4}{9} \Rightarrow \theta - 25 = \frac{4 \times 75}{9} = \frac{300}{9} = \frac{100}{3}$.
$\theta = 25 + \frac{100}{3} = \frac{75 + 100}{3} = \frac{175}{3}^{\circ} C$.

(B) ધારો કે સમય $t$ પર બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $x$ છે. વધારાનો દર $\frac{dx}{dt}$ એ $x$ ના પ્રમાણમાં છે.
$\frac{dx}{dt} = Kx \Rightarrow \frac{dx}{x} = Kdt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\ln x = Kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,ધારો કે $x = x_0$,તેથી $C = \ln x_0$.
આમ,$\ln \left(\frac{x}{x_0}\right) = Kt$.
આપેલ છે કે સંખ્યા $4$ કલાકમાં બમણી થાય છે,તેથી $t = 4$ સમયે,$x = 2x_0$.
$\ln(2) = 4K \Rightarrow K = \frac{\ln 2}{4}$.
$K$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,$\ln \left(\frac{x}{x_0}\right) = \frac{t}{4} \ln 2$.
$t = 12$ માટે,$\ln \left(\frac{x}{x_0}\right) = \frac{12}{4} \ln 2 = 3 \ln 2 = \ln(2^3) = \ln 8$.
તેથી,$\frac{x}{x_0} = 8$,જેનો અર્થ છે કે બેક્ટેરિયા $8$ ગણા વધે છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે,જ્યાં $N_0$ એ પ્રારંભિક દળ છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય સમય છે.
આપેલ છે: $N_0 = 1000 \text{ mg}$,$t = 50 \text{ દિવસ}$,અને $T_{1/2} = 10 \text{ દિવસ}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{50}{10} = 5$.
બાકી રહેતું દળ $N(t) = 1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5$.
$N(t) = 1000 \times \frac{1}{32} = \frac{1000}{32} \text{ mg}$.
અંશ અને છેદને $8$ વડે ભાગતા,આપણને $N(t) = \frac{125}{4} \text{ mg}$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમય $t$ પર વસ્તી $P$ છે અને પ્રારંભિક વસ્તી $P_{0}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{dP}{dt} = \frac{5P}{100} = \frac{P}{20}$.
ચલને અલગ કરતા,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{1}{20} dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln P = \frac{t}{20} + C$.
જ્યારે $t = 0$,$P = P_{0}$,તેથી $C = \ln P_{0}$.
આમ,$\ln P = \frac{t}{20} + \ln P_{0}$,જે $\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = \frac{t}{20}$ માં પરિણમે છે.
વસ્તી બમણી કરવા માટે,$P = 2P_{0}$,તેથી $\ln 2 = \frac{t}{20}$.
આપેલ કિંમત $\log 2 = 0.6912$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = 20 \times 0.6912 = 13.824$ વર્ષ.

(A) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 7 \text{ cm/sec}$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
$10 \text{ મિનિટ}$ પછી,સમય $t = 10 \times 60 = 600 \text{ સેકન્ડ}$ થાય.
ત્રિજ્યા $7 \text{ cm/sec}$ ના અચળ દરે વધતી હોવાથી,$600 \text{ સેકન્ડ}$ પછી ત્રિજ્યા $r = 7 \times 600 = 4200 \text{ cm}$ થશે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 4200 \times 7$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 22 \times 600 \times 7 = 1,84,800 \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) ધારો કે $t$ સમયે હાજર બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $N$ છે. ધારો કે શરૂઆતની સંખ્યા $N_{0}$ છે. અહીં $\frac{dN}{dt} \propto N \Rightarrow \frac{dN}{dt}=KN \Rightarrow \frac{dN}{N}=K dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dN}{N} = \int K dt \Rightarrow \log N = Kt + C$.
જ્યારે $t=0$,$N=N_{0}$,તેથી $\log N_{0} = C$.
આમ,$\log N - \log N_{0} = Kt \Rightarrow \log \left(\frac{N}{N_{0}}\right) = Kt$.
જ્યારે $t=4$ કલાક,$N=2N_{0}$,તેથી $\log(2) = 4K \Rightarrow K = \frac{\log 2}{4}$.
હવે,આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $N=4N_{0}$.
કિંમતો મૂકતા: $\log \left(\frac{4N_{0}}{N_{0}}\right) = \left(\frac{\log 2}{4}\right)t$.
$\log 4 = \frac{t}{4} \log 2 \Rightarrow 2 \log 2 = \frac{t}{4} \log 2$.
$\log 2$ વડે ભાગતા,$2 = \frac{t}{4} \Rightarrow t = 8$ કલાક.
વૈકલ્પિક રીતે,બેક્ટેરિયાની સંખ્યા દર $4$ કલાકે બમણી થાય છે,તેથી $4$ કલાક પછી તે $2N$ થાય છે,અને બીજા $4$ કલાક પછી (કુલ $8$ કલાક),તે $2 \times (2N) = 4N$ થાય છે.

(A) ધારો કે $P_{0}$ એ પ્રારંભિક વસ્તી છે અને $t$ વર્ષ પછી વસ્તી $P$ છે. વૃદ્ધિનો દર $\frac{dP}{dt} = \frac{8}{100} P = 0.08 P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dP}{P} = 0.08 dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\ln P = 0.08 t + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$P = P_{0}$,તેથી $C = \ln P_{0}$.
આમ,$\ln P = 0.08 t + \ln P_{0}$,જેનું સાદું રૂપ $\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = 0.08 t$ થાય છે.
વસ્તી બમણી થવા માટે,$P = 2 P_{0}$,તેથી $\ln 2 = 0.08 t$.
આપેલ છે કે $\log 2 = 0.6912$,તેથી $t = \frac{0.6912}{0.08} = 8.64$ વર્ષ.

(D) ધારો કે સમય $t$ પર પદાર્થનું દળ $m$ છે.
ઘટવાનો દર $\frac{dm}{dt} = -km$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dm}{m} = -k dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\log m = -kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$m = m_{0}$,તેથી $\log m_{0} = -k(0) + C$,જે $C = \log m_{0}$ આપે છે.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\log m = -kt + \log m_{0}$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $\log m - \log m_{0} = -kt$,અથવા $\log \left(\frac{m}{m_{0}}\right) = -kt$ મળે છે.
આમ,$t = -\frac{1}{k} \log \left(\frac{m}{m_{0}}\right) = \frac{1}{k} \log \left(\frac{m_{0}}{m}\right)$.
જ્યારે $m = m_{1}$ હોય,ત્યારે સમય $t = \frac{1}{k} \log \left(\frac{m_{0}}{m_{1}}\right)$ થાય છે.

(D) ધારો કે શરૂઆતની વસ્તી $P_{0}$ છે અને $t$ સમયે વસ્તી $P$ છે.
વધવાનો દર $\frac{dP}{dt} = \frac{5P}{100} = \frac{P}{20}$ આપેલ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{1}{20} dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln P = \frac{t}{20} + C$ મળે છે.
જ્યારે $t = 0$ હોય ત્યારે $P = P_{0}$,તેથી $C = \ln P_{0}$.
કિંમત મૂકતા,$\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = \frac{t}{20}$ મળે છે.
વસ્તી બમણી કરવા માટે $P = 2P_{0}$ લેતા,$\ln 2 = \frac{t}{20}$ મળે છે.
આપેલ $\log 2 = 0.6912$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = 20 \times 0.6912 = 13.8240$ વર્ષ.

(C) આપેલ છે કે દળના ઘટવાનો દર દળના સમપ્રમાણમાં છે: $\frac{dm}{dt} = -Km$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dm}{m} = \int -K dt$.
આથી $\log m = -Kt + c$ મળે છે.
જ્યારે $t = 0$,ત્યારે $m = m_{0}$,તેથી $\log m_{0} = c$.
$c$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\log m = -Kt + \log m_{0}$.
ગોઠવણી કરતા: $\log m - \log m_{0} = -Kt$,જેનો અર્થ થાય છે $\log \left(\frac{m}{m_{0}}\right) = -Kt$.
જ્યારે $m = m_{1}$ હોય,ત્યારે $\log \left(\frac{m_{1}}{m_{0}}\right) = -Kt$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = -\frac{1}{K} \log \left(\frac{m_{1}}{m_{0}}\right) = \frac{1}{K} \log \left(\frac{m_{0}}{m_{1}}\right)$.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $y = c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -a c_{1} \sin(ax) + a c_{2} \cos(ax)$.
ત્યારબાદ,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} c_{1} \cos(ax) - a^{2} c_{2} \sin(ax)$.
$-a^{2}$ સામાન્ય લેતા: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} (c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax))$.
કારણ કે $y = c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax)$,તેથી $y$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} y$.
તેથી,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a^{2} y = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dP(t)}{dt} = 0.5 P(t) - 450$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dP(t)}{dt} = \frac{1}{2} P(t) - 450 = \frac{P(t) - 900}{2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dP(t)}{P(t) - 900} = \int \frac{1}{2} dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\log |P(t) - 900| = \frac{1}{2} t + C$.
$2$ વડે ગુણતા: $2 \log |P(t) - 900| = t + C'$.
$P(0) = 850$ આપેલ હોવાથી,કિંમતો મૂકતા: $2 \log |850 - 900| = 0 + C' \Rightarrow C' = 2 \log 50$.
આમ,સમીકરણ છે: $2 \log |P(t) - 900| = t + 2 \log 50$.
જ્યારે વસ્તી શૂન્ય થાય તે સમય $t$ શોધવા માટે,$P(t) = 0$ લેતા:
$2 \log |0 - 900| = t + 2 \log 50$.
$t = 2 \log 900 - 2 \log 50 = 2 \log \left( \frac{900}{50} \right) = 2 \log 18$.

(B) ધારો કે $P_{0}$ એ પ્રારંભિક વસ્તી છે.
આપેલ છે કે વૃદ્ધિનો દર વસ્તીના પ્રમાણમાં છે: $\frac{dP}{dt} = \lambda P$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dP}{P} = \int \lambda dt \Rightarrow \ln P = \lambda t + C$.
$t = 0$ સમયે,$P = P_{0}$,તેથી $C = \ln P_{0}$.
આમ,$\ln P = \lambda t + \ln P_{0} \Rightarrow \ln \left(\frac{P}{P_{0}}\right) = \lambda t$.
આપેલ છે કે વસ્તી $50$ વર્ષમાં બમણી થાય છે: $\ln \left(\frac{2P_{0}}{P_{0}}\right) = 50\lambda \Rightarrow \ln 2 = 50\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{\ln 2}{50}$.
હવે,જ્યારે વસ્તી ત્રણ ગણી $(P = 3P_{0})$ થાય ત્યારે આપણે $t$ શોધવાની જરૂર છે:
$\ln \left(\frac{3P_{0}}{P_{0}}\right) = \lambda t \Rightarrow \ln 3 = \left(\frac{\ln 2}{50}\right) t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = 50 \left(\frac{\ln 3}{\ln 2}\right) \text{ વર્ષ}$.

(D) ધારો કે $t$ સમયે હાજર રેડિયમનો જથ્થો $R$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{dR}{dt} = kR$.
ચલને અલગ કરીને સંકલન કરતા,આપણને $\ln R = kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$R = R_0$,તેથી $C = \ln R_0$.
આમ,$\ln \left( \frac{R}{R_0} \right) = kt$.
આપેલ છે કે $t = 1600$ સમયે,$R = \frac{1}{2}R_0$,તેથી $\ln \left( \frac{1}{2} \right) = 1600k$.
$k = \frac{-\ln 2}{1600} = \frac{-0.6931}{1600} \approx -0.000433$.
$t = 100$ માટે,$\ln \left( \frac{R}{R_0} \right) = (-0.000433) \times 100 = -0.0433$.
તેથી,$\frac{R}{R_0} = e^{-0.0433} = 0.9576$.
આનો અર્થ એ છે કે $R = 0.9576 R_0$.
ટકાવારી ઘટાડો $\frac{R_0 - R}{R_0} \times 100 = \frac{R_0 - 0.9576 R_0}{R_0} \times 100 = 0.0424 \times 100 = 4.24 \%$ છે.

(D) ધારો કે $t$ સમયે પદાર્થનો બાકી રહેલો જથ્થો $x$ છે. ક્ષયનો દર $\frac{dx}{dt} = -kx$ છે,જ્યાં $k > 0$.
વિકલ સમીકરણનું સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{x} dx = \int -k dt \implies \ln x = -kt + C$.
$t = 0$ સમયે,$x = 27$,તેથી $C = \ln 27$. આમ,$\ln x = -kt + \ln 27$,અથવા $\ln(\frac{x}{27}) = -kt$.
$t = 3$ સમયે,$x = 8$,તેથી $\ln(\frac{8}{27}) = -3k$.
કારણ કે $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$,આપણને મળે $\ln((\frac{2}{3})^3) = -3k \implies 3 \ln(\frac{2}{3}) = -3k \implies k = -\ln(\frac{2}{3}) = \ln(\frac{3}{2})$.
$k$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\ln(\frac{x}{27}) = -t \ln(\frac{3}{2}) = t \ln(\frac{2}{3})$.
$t = 4$ માટે,$\ln(\frac{x}{27}) = 4 \ln(\frac{2}{3}) = \ln((\frac{2}{3})^4) = \ln(\frac{16}{81})$.
તેથી,$\frac{x}{27} = \frac{16}{81} \implies x = 27 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{3} \text{ gms}$.

$(A)$ ન્યૂટનના શીતળતાના નિયમ મુજબ,તાપમાનમાં ફેરફારનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_m)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_m = 290 \ K$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
સમીકરણનું સંકલન કરતા: $\int \frac{dT}{T - 290} = \int -k \ dt \Rightarrow \ln(T - 290) = -kt + C$.
$t = 0$ સમયે,$T = 370 \ K$: $\ln(370 - 290) = C \Rightarrow C = \ln(80)$.
તેથી,$\ln(T - 290) = -kt + \ln(80) \Rightarrow \ln\left(\frac{T - 290}{80}\right) = -kt$.
$t = 10 \ \text{મિનિટ}$ સમયે,$T = 330 \ K$: $\ln\left(\frac{330 - 290}{80}\right) = -10k \Rightarrow \ln\left(\frac{40}{80}\right) = -10k \Rightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -10k \Rightarrow -\ln(2) = -10k \Rightarrow k = \frac{\ln(2)}{10}$.
હવે,$T = 295 \ K$ માટે: $\ln\left(\frac{295 - 290}{80}\right) = -kt \Rightarrow \ln\left(\frac{5}{80}\right) = -\left(\frac{\ln(2)}{10}\right)t$.
$\ln\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{\ln(2)}{10}t \Rightarrow -\ln(16) = -\frac{\ln(2)}{10}t$.
$-4 \ln(2) = -\frac{\ln(2)}{10}t \Rightarrow t = 40 \ \text{મિનિટ}$.

(B) ધારો કે સૂક્ષ્મજીવોની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ છે.
આપેલ છે કે સૂક્ષ્મજીવો દર $3$ કલાકે બમણા થાય છે.
આ વૃદ્ધિ પ્રક્રિયા વિકલ સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = kN$ દ્વારા સંચાલિત થાય છે.
તેનો ઉકેલ $N(t) = N_0 e^{kt}$ છે.
$t = 3$ સમયે,$N(3) = 2N_0$,તેથી $2N_0 = N_0 e^{3k}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{3k} = 2$.
આપણે $18$ કલાકમાં વસ્તી કેટલા ગણી વધશે તે શોધવું છે,જે $\frac{N(18)}{N_0}$ છે.
$N(18) = N_0 e^{18k} = N_0 (e^{3k})^6$.
$e^{3k} = 2$ મૂકતા,આપણને $N(18) = N_0 (2)^6$ મળે છે.
$N(18) = 64 N_0$.
આમ,તે $64$ ગણી વધશે.

(C) ન્યુટનના ઠંડકના નિયમ મુજબ,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,જ્યાં $\theta_0 = 10^{\circ} C$ છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\theta(t) = \theta_0 + Ce^{-kt}$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$\theta = 110^{\circ} C$,તેથી $110 = 10 + C \Rightarrow C = 100$.
આમ,$\theta(t) = 10 + 100e^{-kt}$.
$t = 1$ કલાક પર,$\theta = 60^{\circ} C$,તેથી $60 = 10 + 100e^{-k} \Rightarrow 50 = 100e^{-k} \Rightarrow e^{-k} = \frac{1}{2}$.
લોગ લેતા,$-k = \ln(1/2) = -\ln 2$,તેથી $k = \ln 2$.
હવે,જ્યારે $\theta = 30^{\circ} C$ હોય ત્યારે કુલ સમય $t$ શોધીએ:
$30 = 10 + 100e^{-kt} \Rightarrow 20 = 100e^{-kt} \Rightarrow e^{-kt} = \frac{1}{5}$.
લોગ લેતા,$-kt = \ln(1/5) = -\ln 5$,તેથી $kt = \ln 5$.
કારણ કે $k = \ln 2$,તેથી $t = \frac{\ln 5}{\ln 2}$ કલાક.
જરૂરી વધારાનો સમય $t - 1 = \frac{\ln 5}{\ln 2} - 1$ કલાક છે.

(B) આપેલ છે કે ગોળાકાર ડાઘની ત્રિજ્યા $r$ એ $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/min}$ ના દરે વધી રહી છે.
આપણે જ્યારે $r = 3 \text{ cm}$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ $A$ માં થતા ફેરફારનો દર શોધવાનો છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 3 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/min}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (3)(2) = 12 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર $12 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$ છે.

(D) ધારો કે $t$ સમયે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $N(t)$ છે. વૃદ્ધિનો દર બેક્ટેરિયાની સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dN}{dt} = kN$.
આ વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $N(t) = N_0 e^{kt}$ મળે છે,જ્યાં $N_0$ એ બેક્ટેરિયાની પ્રારંભિક સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે સંખ્યા $4$ કલાકમાં બમણી થાય છે,તેથી $N(4) = 2N_0$.
આમ,$2N_0 = N_0 e^{4k}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{4k} = 2$.
આપણે $12$ કલાક પછી બેક્ટેરિયાની સંખ્યા શોધવી છે,જે $N(12) = N_0 e^{12k}$ છે.
$N(12) = N_0 (e^{4k})^3$.
$e^{4k} = 2$ મૂકતા,આપણને $N(12) = N_0 (2)^3 = 8N_0$ મળે છે.
તેથી,$12$ કલાક પછી બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $8N$ હશે.

(C) ધારો કે સમય $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ તત્વનું દળ $m$ છે.
વિઘટનનો દર $\frac{dm}{dt}$ છે,જે $m$ ના પ્રમાણમાં છે.
$\frac{dm}{dt} = -km$,જ્યાં $k > 0$.
ચલ અલગ કરતા,$\frac{dm}{m} = -k \, dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{1}{m} \, dm = -k \int dt + C$,જે $\log m = -kt + C$ આપે છે.
શરૂઆતમાં,$t = 0$ સમયે,$m = 1.5 = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\log \left(\frac{3}{2}\right) = -k(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = \log \left(\frac{3}{2}\right)$.
સમીકરણ $\log m = -kt + \log \left(\frac{3}{2}\right)$ બને છે,અથવા $\log \left(\frac{m}{3/2}\right) = -kt$,જેનું સાદું રૂપ $\log \left(\frac{2m}{3}\right) = -kt$ થાય છે.
જ્યારે $m = 0.5 = \frac{1}{2}$ હોય,ત્યારે $\log \left(\frac{2 \times (1/2)}{3}\right) = -kt$.
$\log \left(\frac{1}{3}\right) = -kt$.
$-\log 3 = -kt$,તેથી $t = \frac{1}{k} \log 3$.
આમ,જરૂરી સમય $\log 3$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) ધારો કે $P_{0}$ એ શરૂઆતની વસ્તી છે અને $t$ વર્ષ પછીની વસ્તી $P$ છે. વૃદ્ધિનો દર $\frac{dP}{dt} = \frac{8P}{100} = 0 \cdot 08P$ છે.
વિકલ સમીકરણ $\frac{dP}{P} = 0 \cdot 08 dt$ નું સંકલન કરતા,આપણને $\ln P = 0 \cdot 08t + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$P = P_{0}$ હોવાથી,$C = \ln P_{0}$ મળે.
તેથી,$\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = 0 \cdot 08t$.
વસ્તી બમણી થવા માટે,$P = 2P_{0}$ લેતા,$\ln 2 = 0 \cdot 08t$ મળે.
આપેલ $\log 2 = 0 \cdot 6912$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{0 \cdot 6912}{0 \cdot 08} = \frac{69 \cdot 12}{8} = 8 \cdot 64$ વર્ષ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે સમય $t$ પર વસ્તી $p$ છે. આપેલ છે કે વસ્તીમાં થતો વધારો હાજર વસ્તીના પ્રમાણમાં છે:
$\frac{dp}{dt} = kp$
ચલને અલગ કરીને સંકલન કરતા:
$\int \frac{dp}{p} = \int k dt \Rightarrow \ln p = kt + c$
$t = 0$ સમયે,ધારો કે $p = p_0$. તેથી $c = \ln p_0$.
આમ,$\ln \left(\frac{p}{p_0}\right) = kt$.
આપેલ છે કે વસ્તી $50$ વર્ષમાં બમણી થાય છે $(t = 50, p = 2p_0)$:
$\ln 2 = 50k \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{50}$.
હવે,આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે વસ્તી $4p_0$ થાય:
$\ln \left(\frac{4p_0}{p_0}\right) = kt
\ln 4 = \left(\frac{\ln 2}{50}\right)t
2 \ln 2 = \left(\frac{\ln 2}{50}\right)t
t = 2 \times 50 = 100 \text{ વર્ષ}$.

(A) આપેલ છે કે વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2xy$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y} = 2x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx$.
આનાથી $\log y = x^{2} + C$ મળે છે.
વક્ર બિંદુ $(0,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $x = 0$ અને $y = 1$ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\log(1) = (0)^{2} + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $\log y = x^{2}$ છે.

(D) મૂળ દળ $N_0 = 800 \text{ mg}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 5 \text{ દિવસ}$.
કુલ સમય $t = 30 \text{ દિવસ}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{5} = 6$ છે.
બાકી રહેતું દળ $N$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ છે.
$N = 800 \times (\frac{1}{2})^6$.
$N = \frac{800}{64}$.
$N = 12.5 \text{ mg}$.

(B) આપણી પાસે $\frac{dP}{dt} \propto P$ છે,જેનો અર્થ છે $\frac{dP}{dt} = kP$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dP}{P} = \int k dt$,તેથી $\log P = kt + \log c$.
જ્યારે $t = 0$,$P = 20,000$,તેથી $\log 20,000 = \log c$.
જ્યારે $t = 10$,$P = 40,000$,તેથી $\log 40,000 = 10k + \log 20,000$.
આનાથી $\log \left(\frac{40,000}{20,000}\right) = 10k$ મળે છે,તેથી $10k = \log 2$,અથવા $k = \frac{1}{10} \log 2$.
સામાન્ય સમીકરણ $\log P = \left(\frac{1}{10} \log 2\right) t + \log 20,000$ છે.
આપણને બીજા $20$ વર્ષ પછી વસ્તી જોઈએ છે,એટલે કે $t = 10 + 20 = 30$ વર્ષે.
$t = 30$ મૂકતા: $\log P = \frac{30}{10} \log 2 + \log 20,000 = 3 \log 2 + \log 20,000 = \log (8 \times 20,000) = \log 1,60,000$.
તેથી,$P = 1,60,000$.

(C) આપેલ છે કે $y = 3 e^{5 x} + 5 e^{3 x}$.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલિત $\frac{d y}{d x}$ શોધો:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(3 e^{5 x} + 5 e^{3 x}) = 3(5 e^{5 x}) + 5(3 e^{3 x}) = 15 e^{5 x} + 15 e^{3 x}$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ શોધો:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x}(15 e^{5 x} + 15 e^{3 x}) = 15(5 e^{5 x}) + 15(3 e^{3 x}) = 75 e^{5 x} + 45 e^{3 x}$.
હવે,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 8 \frac{d y}{d x}$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 8 \frac{d y}{d x} = (75 e^{5 x} + 45 e^{3 x}) - 8(15 e^{5 x} + 15 e^{3 x})$
$= 75 e^{5 x} + 45 e^{3 x} - 120 e^{5 x} - 120 e^{3 x}$
$= -45 e^{5 x} - 75 e^{3 x}$
$= -15(3 e^{5 x} + 5 e^{3 x})$
$= -15 y$.

(D) આપેલ છે કે $s = (1+t)^{1/2}$.
પ્રથમ,$s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v$ શોધો:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{1+t}}$.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\sqrt{1+t} = \frac{1}{2v}$.
હવે,$v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(1+t)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(1+t)^{-3/2}$.
આને આપણે આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$a = -2 \cdot \left[ \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2} \right]^3$.
કારણ કે $v = \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2}$,આપણે $a$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકીએ:
$a = -2v^3$.
તેથી,પ્રવેગ $a$ એ વેગના ઘન $v^3$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) આપેલ છે કે $y = \cot^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right)$.
નિત્યસમ $1-\sin x = (\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})^2$ અને $1+\sin x = (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \cot^{-1}\left(\frac{\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}}\right)$
અંશ અને છેદને $\cos\frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$y = \cot^{-1}\left(\frac{1 - \tan\frac{x}{2}}{1 + \tan\frac{x}{2}}\right)$
$\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}(\frac{1}{z})$ હોવાથી:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \tan\frac{x}{2}}{1 - \tan\frac{x}{2}}\right)$
$\tan(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $y=e^{\sin \left(\operatorname{cosec}^{-1} x\right)}$.
કારણ કે $\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)$,તેથી $\sin \left(\operatorname{cosec}^{-1} x\right) = \sin \left(\sin^{-1} \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}$ થાય.
તેથી,વિધેય $y = e^{\frac{1}{x}}$ માં સરળ બને છે.
હવે,સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} \left(e^{\frac{1}{x}}\right) = e^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{d}{d x} \left(\frac{1}{x}\right)$.
કારણ કે $\frac{d}{d x} \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$,તેથી આપણને $\frac{d y}{d x} = e^{\frac{1}{x}} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $g(a)=b$,$g^{\prime}(a)=2$,અને $f(g(x))=x$ (કારણ કે $f \circ g = I$).
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $f(g(x))=x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
સમીકરણમાં $x=a$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f^{\prime}(g(a)) \cdot g^{\prime}(a) = 1$.
$g(a)=b$ અને $g^{\prime}(a)=2$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$f^{\prime}(b) \cdot 2 = 1$.
તેથી,$f^{\prime}(b) = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \log(\sec x + \tan x)$.
$f^{\prime}(x)$ શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} [\log(\sec x + \tan x)]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot \frac{d}{dx}(\sec x + \tan x)$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x \tan x + \sec^2 x)$
અંશમાંથી $\sec x$ સામાન્ય લેતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x}$
$f^{\prime}(x) = \sec x$
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ માટે કિંમત મૂકતા:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$.

(D) આપેલ છે કે $y = \log \left[a^{3x} \left(\frac{5-x}{x+4}\right)^{\frac{3}{4}}\right]$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log(mn) = \log m + \log n$ અને $\log(m^n) = n \log m$:
$y = \log(a^{3x}) + \log\left(\left(\frac{5-x}{x+4}\right)^{\frac{3}{4}}\right)$
$y = 3x \log a + \frac{3}{4} \log(5-x) - \frac{3}{4} \log(x+4)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3x \log a) + \frac{3}{4} \frac{d}{dx}(\log(5-x)) - \frac{3}{4} \frac{d}{dx}(\log(x+4))$
$\frac{dy}{dx} = 3 \log a + \frac{3}{4} \left(\frac{1}{5-x}\right)(-1) - \frac{3}{4} \left(\frac{1}{x+4}\right)(1)$
$\frac{dy}{dx} = 3 \log a - \frac{3}{4(5-x)} - \frac{3}{4(x+4)}$

(A) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ છે.
બંને બાજુ $\sqrt{xy}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = 1$
$\frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 1$
$y^{-1/2} + x^{-1/2} = 1$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{2} y^{-3/2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{2} x^{-3/2} = 0$
$-\frac{1}{2 y^{3/2}} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 x^{3/2}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2 y^{3/2}}{2 x^{3/2}}$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2}$

(B) આપેલ છે કે $\sin \left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\tan \frac{\pi}{5}$.
ધારો કે $K = \sin^{-1}(\tan \frac{\pi}{5})$,જે એક અચળાંક છે.
તેથી $\frac{x+y}{x-y} = K$.
$x+y = K(x-y)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 + \frac{dy}{dx} = K(1 - \frac{dy}{dx})$.
$1 + \frac{dy}{dx} = K - K\frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}(1+K) = K-1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{K-1}{K+1}$.
$K = \frac{x+y}{x-y}$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x+y}{x-y} - 1}{\frac{x+y}{x-y} + 1} = \frac{x+y - (x-y)}{x+y + (x-y)} = \frac{2y}{2x} = \frac{y}{x}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y \sqrt{1-x^{2}}+x \sqrt{1-y^{2}}=1$ છે.
$x = \sin \alpha$ અને $y = \sin \beta$ લેતા,જ્યાં $\alpha = \sin^{-1} x$ અને $\beta = \sin^{-1} y$ છે.
સમીકરણ $\sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha \cos \beta = 1$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin(\alpha + \beta) = 1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$.
કિંમતો પાછી મૂકતા,$\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\sin^{-1} y) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$.
$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = 0$.
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x}{\sqrt{1+x}} + \frac{y}{\sqrt{1+y}} = 0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{x}{\sqrt{1+x}} = -\frac{y}{\sqrt{1+y}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{x^2}{1+x} = \frac{y^2}{1+y}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $x^2(1+y) = y^2(1+x)$
$x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
$x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$
$(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$
$x \neq y$ હોવાથી,$(x-y)$ વડે ભાગતા:
$x + y + xy = 0$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

(B) આપેલ છે: $\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=4$
$\therefore \frac{x+y}{\sqrt{x y}}=4 \Rightarrow x+y=4 \sqrt{x y}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(x+y)^{2}=16 x y \Rightarrow x^{2}+2 x y+y^{2}=16 x y \Rightarrow x^{2}+y^{2}=14 x y$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 x+2 y \frac{d y}{d x}=14 \left(x \frac{d y}{d x}+y\right)$
$2$ વડે ભાગતા:
$x+y \frac{d y}{d x}=7 x \frac{d y}{d x}+7 y$
$\frac{d y}{d x}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$y \frac{d y}{d x}-7 x \frac{d y}{d x}=7 y-x$
$(y-7 x) \frac{d y}{d x}=7 y-x$
$\frac{d y}{d x}=\frac{7 y-x}{y-7 x}$

(A) આપેલ છે કે $\tan u=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$.
ધારો કે $x=\cos \theta$,તેથી $\theta=\cos ^{-1} x$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,$\tan u=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}=\sqrt{\frac{2 \sin ^{2} (\theta/2)}{2 \cos ^{2} (\theta/2)}}=\tan (\theta/2)$.
તેથી,$u=\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2} \cos ^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) = -\frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}$.
આપેલ છે કે $\cos v=4 x^{3}-3 x$.
$x=\cos \theta$ મૂકતા,$\cos v=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta = \cos 3 \theta$.
તેથી,$v=3 \theta = 3 \cos ^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dv}{dx}=3 \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
અંતે,$\frac{du}{dv}=\frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{-1/(2 \sqrt{1-x^{2}})}{-3/\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{1}{6}$.

(D) આપેલ શ્રેણી એ ઘાતાંકીય વિધેય $e^{x}$ માટેનું મેકલોરિન શ્રેણી વિસ્તરણ છે.
$y = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots = e^{x}$.
હવે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x})$.
$e^{x}$ નું વિકલન $e^{x}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = e^{x}$.
$y$ માટેના મૂળ અભિવ્યક્તિને પરિણામમાં પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = y$.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$x^{2}+y^{2}=t+\frac{1}{t}$ ... $(1)$
$x^{4}+y^{4}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ નો બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^{2}+y^{2})^{2} = (t+\frac{1}{t})^{2}$
$x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2} = t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત આ પરિણામમાં મૂકતા:
$(t^{2}+\frac{1}{t^{2}}) + 2x^{2}y^{2} = t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2$
$2x^{2}y^{2} = 2$
$x^{2}y^{2} = 1$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$x^{2}(2y \frac{dy}{dx}) + y^{2}(2x) = 0$
$2x^{2}y \frac{dy}{dx} = -2xy^{2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^{2}}{2x^{2}y} = -\frac{y}{x}$

(C) આપેલ છે કે $\log _{10}\left(\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}\right)=2$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}=10^{2}=100$.
તેથી,$x^{3}-y^{3}=100(x^{3}+y^{3})$.
$x^{3}-y^{3}=100x^{3}+100y^{3}$.
$-99x^{3}=101y^{3}$.
$y$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$-99 \cdot 3x^{2} \frac{dx}{dy} = 101 \cdot 3y^{2}$.
$-297x^{2} \frac{dx}{dy} = 303y^{2}$.
$\frac{dx}{dy} = -\frac{303y^{2}}{297x^{2}} = -\frac{101y^{2}}{99x^{2}}$.
આમ,$\frac{dx}{dy} = \left(-\frac{101}{99}\right) \frac{y^{2}}{x^{2}}$.

(A) આપેલ છે કે $y = \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right)^{x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log y = x \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) = x [\log(x^{2}) - \log(x+1)] = x [2 \log x - \log(x+1)]$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [x (2 \log x - \log(x+1))]$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot [2 \log x - \log(x+1)] + x \left[ \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} \right]$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) + x \left[ \frac{2(x+1) - x}{x(x+1)} \right]$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) + x \left[ \frac{2x + 2 - x}{x(x+1)} \right] = \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) + \frac{x+2}{x+1}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{x+2}{x+1} + \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) \right]$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} = y [g(x) + \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right)]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g(x) = \frac{x+2}{x+1}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x = e^{(y+e)^{(y+e)^{(y+\ldots \infty)}}}$,માં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઘાતાંક એ પ્રથમ $(y+e)$ થી શરૂ થતી પુનરાવર્તિત રચના છે.
આખી અભિવ્યક્તિ $x$ ની બરાબર હોવાથી,આપણે સમીકરણને $x = e^{y+x}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને $\ln(x) = y + x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{d}{dx}(y + x)$
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} + 1$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{x}$.

(B) આપેલ છે કે $y=2^{ax}$.
વિકલનના સૂત્ર $\frac{d}{dx}(b^{f(x)}) = b^{f(x)} \cdot \ln(b) \cdot f'(x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2^{ax} \cdot \ln(2) \cdot a$.
$x=1$ આગળ,વિકલિત $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = 2^a \cdot a \cdot \ln(2)$ થાય.
આપેલ શરત મુજબ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = \log 256$,અને આપણે જાણીએ છીએ કે $\log 256 = \log(2^8) = 8 \log 2$,તેથી:
$2^a \cdot a \cdot \ln(2) = 8 \ln(2)$.
બંને બાજુ $\ln(2)$ વડે ભાગતા:
$a \cdot 2^a = 8$.
અવલોકન કરતા,જો $a=2$ લઈએ,તો $2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$ મળે છે.
આમ,$a=2$.

(C) આપેલ છે કે $y = x^{x e^{x}}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log y = x e^{x} \log x$ મળે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(x e^{x}) \cdot \log x + (x e^{x}) \cdot \frac{d}{d x}(\log x)$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = (e^{x} + x e^{x}) \log x + (x e^{x}) \cdot \frac{1}{x}$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x} \log x + x e^{x} \log x + e^{x}$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x}(1 + \log x + x \log x)$.
કારણ કે $\frac{d y}{d x} = y \cdot g(x)$,તેથી $g(x) = e^{x}(1 + \log x + x \log x)$ થાય.

(C) ધારો કે $y = f(\sec x)$ અને $z = g(\tan x)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન મેળવીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(\sec x) \cdot \sec x \tan x$
$\frac{dz}{dx} = g^{\prime}(\tan x) \cdot \sec^2 x$
હવે,$z$ ની સાપેક્ષે $y$ નું વિકલન નીચે મુજબ છે:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{f^{\prime}(\sec x) \cdot \sec x \tan x}{g^{\prime}(\tan x) \cdot \sec^2 x} = \frac{f^{\prime}(\sec x) \tan x}{g^{\prime}(\tan x) \sec x}$
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ અને $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\left. \frac{dy}{dz} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = \frac{f^{\prime}(\sqrt{2}) \cdot 1}{g^{\prime}(1) \cdot \sqrt{2}} = \frac{4 \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) આપેલ છે કે $x = \log t$ અને $y + 1 = \frac{1}{t}$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}$ અને $\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{t^{2}}$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dx}{dy}$ મેળવો:
$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt} = \frac{1/t}{-1/t^{2}} = -t$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^{2}x}{dy^{2}}$ મેળવો:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = \frac{d}{dy}(-t) = \frac{d}{dt}(-t) \cdot \frac{dt}{dy} = (-1) \cdot \frac{1}{dy/dt} = (-1) \cdot \frac{1}{-1/t^{2}} = t^{2}$.
વળી,$e^{-x}$ ની કિંમત શોધો:
$e^{-x} = e^{-\log t} = e^{\log(t^{-1})} = \frac{1}{t}$.
છેલ્લે,આ કિંમતોને $e^{-x} \frac{d^{2}x}{dy^{2}} + \frac{dx}{dy}$ માં મૂકો:
$\left(\frac{1}{t}\right)(t^{2}) + (-t) = t - t = 0$.

(A) ધારો કે $y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}\right)$ અને $u = \cos ^{-1} x$.
$x = \cos \theta$ લો,જ્યાં $\theta = \cos ^{-1} x$.
તેથી,$\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2} = \frac{\sqrt{1+\cos \theta}+\sqrt{1-\cos \theta}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}}+\sqrt{2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cos \frac{\theta}{2} + \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{\theta}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{\theta}{2}$.
$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\theta}{2} = \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)$ મળે છે.
આમ,$y = \sin ^{-1} \left(\sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} u$.
હવે,$y$ નું $u$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} u\right) = \frac{1}{2}$.