MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $2x + y \geq 16$,$x \geq 6$,અને $y \geq 1$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે:
$1$. $x = 6$ અને $y = 1$ નું છેદબિંદુ $(6, 1)$ છે,પરંતુ આ બિંદુ $2x + y \geq 16$ શરતનું પાલન કરતું નથી $(12 + 1 = 13 < 16)$.
$2$. $2x + y = 16$ અને $y = 1$ નું છેદબિંદુ: $2x + 1 = 16 \implies 2x = 15 \implies x = 7.5$. તેથી,બિંદુ $E = (7.5, 1)$.
$3$. $2x + y = 16$ અને $x = 6$ નું છેદબિંદુ: $2(6) + y = 16 \implies 12 + y = 16 \implies y = 4$. તેથી,બિંદુ $F = (6, 4)$.
પ્રદેશ અનંત હોવાથી,આપણે શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમતો તપાસીએ છીએ:
$Z(E) = Z(7.5, 1) = 6(7.5) + 2(1) = 45 + 2 = 47$.
$Z(F) = Z(6, 4) = 6(6) + 2(4) = 36 + 8 = 44$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $44$ છે.

(D) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x + y \leq 3$,$4x + y \leq 6$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(1.5, 0)$,$B(1, 2)$ અને $C(0, 3)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 8x + 3y$ ની કિંમત તપાસતા:
$1$. $O(0, 0)$ પર,$Z = 8(0) + 3(0) = 0$.
$2$. $A(1.5, 0)$ પર,$Z = 8(1.5) + 3(0) = 12$.
$3$. $B(1, 2)$ પર,$Z = 8(1) + 3(2) = 8 + 6 = 14$.
$4$. $C(0, 3)$ પર,$Z = 8(0) + 3(3) = 9$.
$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $14$ છે,જે બિંદુ $(1, 2)$ પર મળે છે.
તેથી,શ્રેષ્ઠ ઉકેલ $x = 1, y = 2$ છે.

(C) આપેલ શરતો $x + y \geq 5$,$0 \leq x \leq 4$,અને $y \geq 2$ છે.
આલેખ પરથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x + y = 5$,$x = 4$,અને $y = 2$ રેખાઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે:
$1$. $x + y = 5$ અને $y = 2$ નું છેદબિંદુ: $y = 2$ ને $x + y = 5$ માં મૂકતા,$x = 3$ મળે છે. તેથી,શિરોબિંદુ $P = (3, 2)$.
$2$. $x + y = 5$ અને $x = 4$ નું છેદબિંદુ: $x = 4$ ને $x + y = 5$ માં મૂકતા,$y = 1$ મળે છે. પરંતુ શરત $y \geq 2$ છે.
આલેખ મુજબ,શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $P(3, 2)$ અને $D(4, 2)$ છે.
હવે,$Z = 5x + 8y$ ની કિંમત આ બિંદુઓ પર તપાસતા:
$Z(P) = 5(3) + 8(2) = 15 + 16 = 31$.
$Z(D) = 5(4) + 8(2) = 20 + 16 = 36$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $31$ છે.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $3x+2y \leq 18$,$x \leq 4$,$y \leq 6$ અને $x, y \geq 0$ શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$D(4,0)$,$Q(4,3)$,$P(2,6)$ અને $C(0,6)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z=3x+5y$ ની કિંમત મેળવીએ:
$O(0,0)$ પર: $Z = 3(0) + 5(0) = 0$
$D(4,0)$ પર: $Z = 3(4) + 5(0) = 12$
$Q(4,3)$ પર: $Z = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$P(2,6)$ પર: $Z = 3(2) + 5(6) = 6 + 30 = 36$
$C(0,6)$ પર: $Z = 3(0) + 5(6) = 30$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(2,6)$ પર $36$ મળે છે.

(C) આપેલ મર્યાદાઓ $x \leq 3, y \leq 3, x+y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0$ છે.
સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીને આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ:
$1$. $x=0, y=0 \Rightarrow O(0,0)$
$2$. $x=3, y=0 \Rightarrow A(3,0)$
$3$. $x=3, x+y=5 \Rightarrow P(3,2)$
$4$. $x+y=5, y=3 \Rightarrow Q(2,3)$
$5$. $x=0, y=3 \Rightarrow D(0,3)$
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z=10x+25y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $O(0,0)$ પર: $Z = 10(0) + 25(0) = 0$
- $A(3,0)$ પર: $Z = 10(3) + 25(0) = 30$
- $P(3,2)$ પર: $Z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$
- $Q(2,3)$ પર: $Z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$
- $D(0,3)$ પર: $Z = 10(0) + 25(3) = 0 + 75 = 75$
$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $95$ છે,જે બિંદુ $(2,3)$ પર મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$) $x + y \leq 1$
$2$) $2x + 2y \geq 6 \implies x + y \geq 3$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
પ્રથમ શરત મુજબ,પ્રદેશ $x + y = 1$ રેખા માટે ઉગમબિંદુ તરફ છે.
બીજી શરત મુજબ,પ્રદેશ $x + y = 3$ રેખા માટે ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ એવું નથી કે જે $x + y \leq 1$ અને $x + y \geq 3$ બંનેનું એકસાથે પાલન કરે,તેથી કોઈ સામાન્ય શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ નથી.
તેથી,આપેલ $L$.$P$.$P$. નો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ શરતો $x + y \geq 5$,$x \leq 4$,$y \leq 2$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x + y = 5$ અને $x = 4$ લેતા $4 + y = 5 \implies y = 1$. બિંદુ: $(4, 1)$.
$2$. $x + y = 5$ અને $y = 2$ લેતા $x + 2 = 5 \implies x = 3$. બિંદુ: $(3, 2)$.
$3$. $x = 4$ અને $y = 2$ લેતા બિંદુ $(4, 2)$ મળે છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(4, 1)$,$(4, 2)$,અને $(3, 2)$ છે.
હવે,આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુ લક્ષી વિધેય $Z = 5x + 8y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $(4, 1)$ પર: $Z = 5(4) + 8(1) = 20 + 8 = 28$.
- $(4, 2)$ પર: $Z = 5(4) + 8(2) = 20 + 16 = 36$.
- $(3, 2)$ પર: $Z = 5(3) + 8(2) = 15 + 16 = 31$.
ન્યૂનતમ કિંમત $28$ છે,જે બિંદુ $(4, 1)$ પર મળે છે.

(A) સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન $(L.P.P.)$ માં,હેતુલક્ષી વિધેય એ સુરેખ વિધેય છે.
જો હેતુલક્ષી વિધેય શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના બે ભિન્ન ખૂણાના બિંદુઓ પર સમાન શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે,તો તે આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુ પર પણ સમાન શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરશે.
રેખાખંડમાં અનંત બિંદુઓ હોવાથી,$L.P.P.$ ને અનંત ઉકેલો હશે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $A^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) + (0)(-1) & (1)(0) + (0)(7) \\ (-1)(1) + (7)(-1) & (-1)(0) + (7)(7) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix}$
આપેલ સમીકરણ $A^{2} = 8A + kI$ માં શ્રેણિકોની કિંમત મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ -8 & 56 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -8 & 49 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 + k & 0 \\ -8 & 56 + k \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$8 + k = 1 \Rightarrow k = 1 - 8 = -7$
તે જ રીતે,$56 + k = 49 \Rightarrow k = 49 - 56 = -7$
આમ,$k$ ની કિંમત $-7$ છે.

(C) $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ છે.
અહીં,શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $n = 3$ છે.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & i \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - 1) - 2(0 - 1) + i(1 - 1) = -1 + 2 + 0 = 1$.
હવે,સૂત્રમાં $n = 3$ અને $|A| = 1$ મૂકતા:
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (1)^{3-2} A = (1)^1 A = A$.
તેથી,$[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)]^{-1} = (A)^{-1} = A^{-1}$.

(A) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,એડજોઈન્ટ $\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$,તેથી $a = 2, b = -3, c = 3, d = 5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & -(-3) \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(B) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
બીજી હારના ઘટકોના સહઅવયવો $(A_{21}, A_{22}, A_{23})$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(3(1) - 2(2)) = (-1)(3 - 4) = (-1)(-1) = 1$.
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1(1) - 5(2)) = (1)(1 - 10) = -9$.
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(1(2) - 5(3)) = (-1)(2 - 15) = (-1)(-13) = 13$.
સહઅવયવોનો સરવાળો $A_{21} + A_{22} + A_{23} = 1 + (-9) + 13 = 5$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ઘટક $a_{ij}$ નો સહઅવયવ $C_{ij}$ એ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો નિશ્ચાયક (minor) છે.
પ્રથમ સ્તંભ માટે,આપણે $C_{11}, C_{21},$ અને $C_{31}$ શોધવાની જરૂર છે.
$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2 - 2) = 0$.
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(0 - (-1)) = (-1)(1) = -1$.
$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(0 - (-1)) = (1)(1) = 1$.
આમ,સહઅવયવો $0, -1, 1$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (2)(2) - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3$ છે.
$A$ નો સહ-શ્રેણિક (adjoint) $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિકનો વ્યસ્ત $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,લાક્ષણિક સમીકરણ $A^{2} - 4A + 3I = 0$ નો ઉપયોગ કરીને,$A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A - 4I + 3A^{-1} = 0 \Rightarrow 3A^{-1} = 4I - A$.
$3A^{-1} = 4 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

(C) કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ત્યારે જ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો હોય જો તેનો નિશ્ચાયક $|A| \neq 0$ હોય.
ચાલો દરેક શ્રેણિક માટે નિશ્ચાયક શોધીએ:
$1$. $A_{1} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,$|A_{1}| = (4 \times 1) - (2 \times 2) = 4 - 4 = 0$. તેથી,$A_{1}$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
$2$. $A_{2} = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{bmatrix}$ માટે,નોંધો કે ત્રીજી હાર એ પ્રથમ હારના $-2$ ગણા છે $(R_{3} = -2R_{1})$. બે હાર પ્રમાણસર હોવાથી,$|A_{2}| = 0$. તેથી,$A_{2}$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
$3$. $A_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\ 7 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,$|A_{3}| = 1(2-2) - 0 + 0 = 0$. તેથી,$A_{3}$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
$4$. $A_{4} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,$|A_{4}| = 1(2-6) - 0(0-3) + 1(0-2) = 1(-4) + 1(-2) = -4 - 2 = -6$.
અહીં $|A_{4}| = -6 \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A_{4}$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \times 1 + 3 \times 3) & (2 \times 0 + 3 \times 1) \\ (1 \times 1 + 2 \times 3) & (1 \times 0 + 2 \times 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 3 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,નિશ્ચાયક $|AB|$ શોધો:
$|AB| = (11 \times 2) - (3 \times 7) = 22 - 21 = 1$
હવે,$AB$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ શ્રેણિક) શોધો:
શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$\text{adj}(AB) = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$
અંતે,$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (\cos \theta)(-\cos \theta) - (-\sin \theta)(-\sin \theta) = -\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = -(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = -1$.
ત્યારબાદ,આપણે $A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધીએ,જેમાં વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલવામાં આવે છે:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = A$ થાય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,ગુણધર્મ $(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1}$ સાચો છે.
કારણ કે $(A^{-1})^{-1} = A$ અને $(B^{-1})^{-1} = B$,તેથી પદાવલિ $AB$ માં સરળ બને છે.
હવે,આપણે ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરીએ:
$AB = \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} (2)(2) + (3)(-1) & (2)(-3) + (3)(2) \\ (1)(2) + (2)(-1) & (1)(-3) + (2)(2) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} 4 - 3 & -6 + 6 \\ 2 - 2 & -3 + 4 \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $A^4 A^{-1} = A^{4-1} = A^3$.
કારણ કે $A$ એ વિકર્ણ શ્રેણિક (diagonal matrix) છે,તેથી $A^n = \begin{bmatrix} a_{11}^n & 0 & 0 \\ 0 & a_{22}^n & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}^n \end{bmatrix}$.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ માટે,આપણે $A^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 = \begin{bmatrix} 2^3 & 0 & 0 \\ 0 & (-2)^3 & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^4 A^{-1} = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ શ્રેણિક $M = \left[\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^{2} \\ \omega & \omega^{2} & 1 \\ \omega^{2} & 1 & \omega\end{array}\right]$ છે.
શ્રેણિક $A$ એ $M$ ના ઘટકોના વ્યસ્તથી બનેલો છે,તેથી $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & \frac{1}{\omega} & \frac{1}{\omega^2} \\ \frac{1}{\omega} & \frac{1}{\omega^2} & 1 \\ \frac{1}{\omega^2} & 1 & \frac{1}{\omega}\end{array}\right]$.
ગુણધર્મ $\omega^3 = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ અને $\frac{1}{\omega^2} = \omega$.
આમ,$A = \left[\begin{array}{ccc}1 & \omega^2 & \omega \\ \omega^2 & \omega & 1 \\ \omega & 1 & \omega^2\end{array}\right]$.
હવે,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(\omega^3 - 1) - \omega^2(\omega^4 - \omega) + \omega(\omega^2 - \omega^2)$
$|A| = 1(1 - 1) - \omega^2(\omega - \omega) + \omega(0)$
$|A| = 0 - 0 + 0 = 0$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (singular) છે,અને તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(D) જો શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોય,તો તે શ્રેણિક વ્યસ્ત ન હોઈ શકે.
આપેલ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ લેતા:
$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$x(5 \times 5 - 6 \times 3) - 2(4 \times 5 - 6 \times 2) + 3(4 \times 3 - 5 \times 2) = 0$
$x(25 - 18) - 2(20 - 12) + 3(12 - 10) = 0$
$x(7) - 2(8) + 3(2) = 0$
$7x - 16 + 6 = 0$
$7x - 10 = 0$
$7x = 10$
$x = \frac{10}{7}$

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = 0(0) - 0(0) - 1(0 - 1) = -1(-1) = 1$ શોધીએ છીએ.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત છે.
હવે,આપણે $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
કારણ કે $A^2 = I$,બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા આપણને $A = A^{-1}$ મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,શ્રેણિકો $A$ અને $B$ નો સરવાળો શોધો:
$A+B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,$(A+B)$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A+B| = (5 \times 3) - (2 \times 4) = 15 - 8 = 7$
હવે,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને $(A+B)$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધો:
$\text{adj}(A+B) = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
અંતે,સૂત્ર $(A+B)^{-1} = \frac{1}{|A+B|} \text{adj}(A+B)$ નો ઉપયોગ કરો:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$

(B) સૌ પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1)+(2)(2)+(1)(0) & (1)(2)+(2)(1)+(1)(1) \\ (2)(1)+(1)(2)+(0)(0) & (2)(2)+(1)(1)+(0)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$
હવે,નિશ્ચાયક $|AB|$ શોધો:
$|AB| = (5)(5) - (5)(4) = 25 - 20 = 5$
ત્યારબાદ,$AB$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધો:
$adj(AB) = \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
છેલ્લે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} adj(AB)$ શોધો:
$(AB)^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
$\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ \alpha & 6 & -5 \\ \beta & -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુના શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
હાર $1$,સ્તંભ $1$: $(2)(3) + (0)(\alpha) + (-1)(\beta) = 6 - \beta$
પરિણામ $I$ હોવું જોઈએ,તેથી $6 - \beta = 1$,જે $\beta = 5$ આપે છે.
હાર $2$,સ્તંભ $1$: $(5)(3) + (1)(\alpha) + (0)(\beta) = 15 + \alpha$
પરિણામ $I$ હોવું જોઈએ,તેથી $15 + \alpha = 0$,જે $\alpha = -15$ આપે છે.
આમ,$\alpha = -15$ અને $\beta = 5$ છે.

(A) શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત ન હોય જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & -1 & 4 \\ -3 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = a(0 \times 2 - 1 \times 1) - (-1)(-3 \times 2 - 1 \times (-1)) + 4(-3 \times 1 - 0 \times (-1)) = 0$
$|A| = a(0 - 1) + 1(-6 + 1) + 4(-3 - 0) = 0$
$|A| = a(-1) + 1(-5) + 4(-3) = 0$
$-a - 5 - 12 = 0$
$-a - 17 = 0$
$a = -17$.
આમ,શ્રેણિક વ્યસ્ત ન હોય જ્યારે $a = -17$ હોય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
પ્રથમ,આપણે $AB$ નો ગુણાકાર શોધીએ:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(1) + (3)(3) & (2)(0) + (3)(1) \\ (1)(1) + (2)(3) & (1)(0) + (2)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 3 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB)$ શોધીએ.
$|AB| = (11)(2) - (3)(7) = 22 - 21 = 1$.
$\text{adj}(AB) = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$.
તેથી,$B^{-1} A^{-1} = (AB)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = \omega \cdot \omega - 0 \cdot 0 = \omega^{2}$ શોધો.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ માટે એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} b & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{\omega^{2}} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\omega}{\omega^{2}} & 0 \\ 0 & \frac{\omega}{\omega^{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\omega} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\omega} \end{bmatrix}$.
કારણ કે $\omega^{3} = 1$,તેથી $\frac{1}{\omega} = \omega^{2}$ થાય.
આમ,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^{2} & 0 \\ 0 & \omega^{2} \end{bmatrix}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$A^{2} = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^{2} & 0 \\ 0 & \omega^{2} \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = A^{2}$.

(C) આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $A^{2}-5A-6I=0$ છે.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(A^{2}-5A-6I) = A^{-1}(0)$
$A - 5I - 6A^{-1} = 0$
$6A^{-1} = A - 5I$
મેટ્રિક્સની કિંમતો મૂકતા:
$6A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$6A^{-1} = \begin{bmatrix} 4-5 & 5-0 \\ 2-0 & 1-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(0 - 1) - (-3)(0 - (-2)) + 2(3 - 6)$
$|A| = 1(-1) + 3(2) + 2(-3) = -1 + 6 - 6 = -1$.
$A^{-1}$ ની ત્રીજી હાર અને પ્રથમ સ્તંભનો ઘટક $\frac{C_{13}}{|A|}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $C_{13}$ એ $A$ ની પ્રથમ હાર અને ત્રીજા સ્તંભના ઘટકનો સહ-અવયવ છે.
$C_{13} = (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{cc}-3 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right| = 1(3 - 6) = -3$.
તેથી,$A^{-1}$ ની ત્રીજી હાર અને પ્રથમ સ્તંભનો ઘટક $\frac{-3}{-1} = 3$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$.
ત્યારબાદ,$A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક શોધો: $\text{adj } A = \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
આપેલ સમીકરણ $A^{-1} = xA + yI$ માં શ્રેણિકોની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right] = x \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -5 & 1\end{array}\right] + y \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$\left[\begin{array}{cc}1/11 & -2/11 \\ 5/11 & 1/11\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}x+y & 2x \\ -5x & x+y\end{array}\right]$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$2x = -2/11$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = -1/11$.
વળી,$x+y = 1/11$. $x = -1/11$ મૂકતા,$-1/11 + y = 1/11$,તેથી $y = 2/11$.
આમ,$x = -1/11$ અને $y = 2/11$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = (2)(-7) - (-3)(5) = -14 + 15 = 1$ શોધીએ છીએ.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
હવે,$2A = 2 \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 10 & -14 \end{bmatrix}$ ગણીએ.
ત્યારબાદ,$3A^{-1} = 3 \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -21 & 9 \\ -15 & 6 \end{bmatrix}$ ગણીએ.
અંતે,$2A - 3A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 10 & -14 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -21 & 9 \\ -15 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - (-21) & -6 - 9 \\ 10 - (-15) & -14 - 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & -15 \\ 25 & -20 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ અને $AX = I$.
$AX = I$ હોવાથી,$X = A^{-1}$ થાય.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
$X = \begin{bmatrix} \frac{4}{-2} & \frac{-2}{-2} \\ \frac{-3}{-2} & \frac{1}{-2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.

(A) ત્રણ પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
$5$ થી ઓછો સરવાળો નીચેના પરિણામો દ્વારા મળે છે: $(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$.
$5$ થી ઓછો સરવાળો હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $n(E') = 4$ છે.
$5$ થી ઓછો સરવાળો મળવાની સંભાવના $P(< 5) = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ છે.
ઓછામાં ઓછો $5$ સરવાળો મળવાની સંભાવના $P(\geq 5) = 1 - P(< 5)$ છે.
$P(\geq 5) = 1 - \frac{1}{54} = \frac{53}{54}$.

(C) ધારો કે $n = 5$ એ ખરીદેલી લોટરીની ટિકિટોની સંખ્યા છે.
ધારો કે $p$ એ એક ટિકિટ પર ઇનામ જીતવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{4}$.
ધારો કે $q$ એ એક ટિકિટ પર ઇનામ ન જીતવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
આપણે ઓછામાં ઓછું એક ઇનામ જીતવાની સંભાવના શોધવી છે,જે $P(X \ge 1)$ છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
$5$ પ્રયત્નોમાં શૂન્ય ઇનામ જીતવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
$k = 0$ માટે,$P(X = 0) = \binom{5}{0} (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^5 = 1 \times 1 \times \frac{243}{1024} = \frac{243}{1024}$.
તેથી,$P(X \ge 1) = 1 - \frac{243}{1024} = \frac{1024 - 243}{1024} = \frac{781}{1024}$.

(A) પત્તાંના પેકમાં કુલ $52$ પત્તાં હોય છે અને તેમાં કુલ $4$ રાણી હોય છે.
જ્યારે પ્રથમ પત્તું ખેંચવામાં આવે,ત્યારે રાણી મળવાની સંભાવના $P(Q_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
પત્તું બદલ્યા વગર ખેંચવામાં આવતું હોવાથી,હવે $51$ પત્તાં બાકી રહે છે અને $3$ રાણી બાકી રહે છે.
પ્રથમ પત્તું રાણી હોય તે શરતે બીજા પત્તાની રાણી હોવાની સંભાવના $P(Q_2|Q_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ છે.
બંને પત્તાં રાણી હોય તેની સંભાવના $P(Q_1 \cap Q_2) = P(Q_1) \times P(Q_2|Q_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$ છે.

(D) અહીં $5$ પ્રશ્નો છે અને દરેક પ્રશ્નના $3$ વિકલ્પો છે જેમાંથી એક સાચો છે.
કોઈપણ પ્રશ્ન માટે સાચો જવાબ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$ છે.
ખોટો જવાબ મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક સાચો જવાબ મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે.
$P(\text{ઓછામાં ઓછો એક સાચો}) = 1 - P(\text{એક પણ સાચો નહીં})$.
$5$ પ્રશ્નોમાંથી એક પણ પ્રશ્નનો જવાબ સાચો ન હોય તેની સંભાવના $P(X=0) = {}^{5}C_{0} \times p^{0} \times q^{5}$ દ્વારા મળે છે.
$P(X=0) = 1 \times 1 \times (\frac{2}{3})^{5} = \frac{32}{243}$.
તેથી,$P(\text{ઓછામાં ઓછો એક સાચો}) = 1 - \frac{32}{243} = \frac{243 - 32}{243} = \frac{211}{243}$.

(B) લાલ દડાની કુલ સંખ્યા $= 4$.
સફેદ દડાની કુલ સંખ્યા $= 5$.
દડાની કુલ સંખ્યા $= 4 + 5 = 9$.
ધારો કે $R_1$ એ પ્રથમ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે અને $R_2$ એ બીજો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
પ્રથમ દડો લાલ હોવાની સંભાવના $P(R_1) = \frac{4}{9}$ છે.
દડા બદલ્યા વગર કાઢવામાં આવતા હોવાથી,જો પ્રથમ દડો લાલ હોય,તો હવે કુલ $8$ દડામાંથી $3$ લાલ દડા બાકી રહે છે.
પ્રથમ દડો લાલ હોય તે શરતે બીજો દડો લાલ હોવાની સંભાવના $P(R_2|R_1) = \frac{3}{8}$ છે.
બંને દડા લાલ હોય તેની સંભાવના $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $P(A') = 0.6$,તેથી $P(A) = 1 - 0.6 = 0.4$.
આપણને $P(B) = 0.8$ અને $P(B/A) = 0.3$ આપેલ છે.
ગુણાકારના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B/A) = 0.4 \times 0.3 = 0.12$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા,$P(A/B) = \frac{0.12}{0.8} = \frac{12}{80} = \frac{3}{20}$.

(D) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$ અને સફળતાની સંભાવના $p = 0.2$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$ છે.
આપણે બરાબર $x = 4$ દર્દીઓ બચી જાય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = x) = {}^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 4) = {}^{5}C_{4} (0.2)^{4} (0.8)^{5-4}$.
$P(X = 4) = 5 \times (0.0016) \times (0.8)$.
$P(X = 4) = 5 \times 0.00128 = 0.0064$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,$P(A) = \frac{2}{3}$ અને $P(B) = \frac{3}{5}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે,તેથી $A^{\prime}$ અને $B$ પણ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ થશે.
તેથી,$P(A^{\prime} \cap B) = P(A^{\prime}) \times P(B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
કિંમતો મૂકતા,$P(A^{\prime} \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,$P(A) = \frac{3}{5}$ અને $P(B) = \frac{2}{3}$.
આપણે $P(A' \cap B')$ શોધવાનું છે.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A'$ અને $B'$ પણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ થશે.
તેથી,$P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B')$.
પ્રથમ,$P(A')$ અને $P(B')$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
હવે,તેમનો ગુણાકાર કરીએ:
$P(A' \cap B') = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $M$ એ પસંદ કરેલી વ્યક્તિ પુરુષ હોવાની ઘટના છે,$W$ એ પસંદ કરેલી વ્યક્તિ સ્ત્રી હોવાની ઘટના છે,અને $G$ એ પસંદ કરેલી વ્યક્તિના વાળ સફેદ હોવાની ઘટના છે.
પુરુષો અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા સમાન હોવાથી,$P(M) = P(W) = \frac{1}{2}$ છે.
પુરુષના વાળ સફેદ હોવાની સંભાવના $P(G|M) = \frac{5}{100}$ છે.
સ્ત્રીના વાળ સફેદ હોવાની સંભાવના $P(G|W) = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$ છે.
આપણે $P(M|G)$ શોધવાનું છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(M|G) = \frac{P(M) \times P(G|M)}{P(M) \times P(G|M) + P(W) \times P(G|W)}$
$P(M|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{100}}{\frac{1}{2} \times \frac{5}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{0.25}{100}}$
$P(M|G) = \frac{5}{5 + 0.25} = \frac{5}{5.25} = \frac{500}{525} = \frac{20}{21}$.

(A) આપેલ છે કે $X \sim B(4, p)$,જ્યાં $n=4$. સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ છે.
શરત $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times ({}^{4}C_{3} p^{3} q^{1}) = 3 \times ({}^{4}C_{2} p^{2} q^{2})$.
સંયોજનોની ગણતરી કરતા: $2 \times (4 p^{3} q) = 3 \times (6 p^{2} q^{2})$.
સાદું રૂપ આપતા: $8 p^{3} q = 18 p^{2} q^{2}$.
બંને બાજુ $2 p^{2} q$ વડે ભાગતા ($p, q \neq 0$ ધારીને): $4 p = 9 q$.
કારણ કે $q = 1 - p$,તેથી $4 p = 9(1 - p)$.
$4 p = 9 - 9 p$.
$13 p = 9$.
તેથી,$p = \frac{9}{13}$.

(D) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલા $20$ બલ્બમાંથી ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે કુલ $100$ બલ્બ છે અને $10$ ખામીયુક્ત છે,તેથી ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ છે.
પરિણામે,ખામી રહિત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ થાય.
અહીં આપણે $n = 20$ બલ્બ પસંદ કરીએ છીએ. એક પણ બલ્બ ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
$k = 0$ માટે,$P(X = 0) = {}^{20}C_{0} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{20-0}$.
$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{20} = \left(\frac{9}{10}\right)^{20}$.

(C) એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને $2$ વાર ઉછાળવામાં આવે છે. નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
તેની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(X=0) = \frac{1}{4}$
$P(X=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=2) = \frac{1}{4}$
પ્રાપ્તિ $G(X) = X^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અપેક્ષિત પ્રાપ્તિ $E[G(X)]$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$E[G(X)] = \sum P(X=x) \cdot G(x)$
$E[G(X)] = (P(X=0) \cdot 0^{3}) + (P(X=1) \cdot 1^{3}) + (P(X=2) \cdot 2^{3})$
$E[G(X)] = (\frac{1}{4} \cdot 0) + (\frac{1}{2} \cdot 1) + (\frac{1}{4} \cdot 8)$
$E[G(X)] = 0 + 0.5 + 2 = 2.5$
આમ,અપેક્ષિત પ્રાપ્તિ $₹ 2.50$ છે.

(C) ધારો કે $X$ એ $8$ વખત સિક્કો ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા છે. અહીં,$n=8$,$p=\frac{1}{2}$,અને $q=\frac{1}{2}$ છે.
આપણે છાપની સંખ્યા કાંટા કરતા વધારે હોય તેની સંભાવના શોધવી છે,એટલે કે $X > 4$.
કુલ પરિણામો $2^8 = 256$ છે અને વિતરણ સંમિત હોવાથી,$P(X < 4) = P(X > 4)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{8} P(X=k) = 1$,તેથી $P(X < 4) + P(X=4) + P(X > 4) = 1$.
આમ,$2P(X > 4) + P(X=4) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(X > 4) = \frac{1 - P(X=4)}{2}$.
$P(X=4) = {}^{8}C_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{8} = \frac{70}{256}$ ગણતા.
તેથી,$P(X > 4) = \frac{1 - \frac{70}{256}}{2} = \frac{\frac{186}{256}}{2} = \frac{93}{256}$.

(B) લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 0.2 = \frac{1}{5}$ છે.
તેથી,લક્ષ્યને અથડાવાની સંભાવના $p = 1 - q = 1 - 0.2 = 0.8 = \frac{4}{5}$ છે.
અહીં $n = 10$ બોમ્બ ફેંકવામાં આવે છે અને આપણે બરાબર $r = 2$ સફળતા જોઈએ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 2) = {}^{10}C_{2} \times (0.8)^{2} \times (0.2)^{8}$
$P(X = 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{2} \times \left(\frac{1}{5}\right)^{8}$
$P(X = 2) = 45 \times \frac{16}{25} \times \frac{1}{5^{8}}$
$P(X = 2) = 45 \times \frac{16}{5^{2} \times 5^{8}} = 45 \times \frac{16}{5^{10}}$
$P(X = 2) = (9 \times 5) \times \frac{16}{5^{10}} = \frac{9 \times 16}{5^{9}} = \frac{144}{5^{9}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે વ્યક્તિને સામાન્ય શરદી હોવાની સંભાવના $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ છે.
તેથી,વ્યક્તિને સામાન્ય શરદી ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{9}{10}$ છે.
અહીં આપણે $n = 5$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરીએ છીએ. ધારો કે $X$ એ સામાન્ય શરદી ધરાવતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(5, 0.1)$ ને અનુસરે છે.
આપણે વધુમાં વધુ એક વ્યક્તિને સામાન્ય શરદી હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ છે.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^{5}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{5} = 1 \times 1 \times \frac{59049}{100000} = 0.59049$.
$P(X = 1) = {}^{5}C_{1} \left(\frac{1}{10}\right)^{1} \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = 5 \times \frac{1}{10} \times \frac{6561}{10000} = \frac{32805}{100000} = 0.32805$.
તેથી,$P(X \le 1) = 0.59049 + 0.32805 = 0.91854$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,સંભાવના $0.9185$ મળે છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $E(X) = np$ અને વિચરણ $\operatorname{Var}(X) = npq$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
આપેલ છે કે $E(X) = np = 4$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Var}(X) = npq = 2.4$.
વિચરણના સમીકરણમાં $np = 4$ મૂકતા: $4q = 2.4$.
$q$ માટે ઉકેલતા: $q = \frac{2.4}{4} = 0.6 = \frac{3}{5}$.
કારણ કે $p = 1 - q$,તેથી $p = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$.
હવે,મધ્યકના સમીકરણમાં $p$ ની કિંમત મૂકતા: $n \times \frac{2}{5} = 4$.
$n = 4 \times \frac{5}{2} = 10$.
આમ,$n$ ની કિંમત $10$ છે.